第十二讲 命题与尺规作图-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 因为DE=EC,所以四边形DGCE是菱形 (2)BG的长为3+35. 18.证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M,EN1 CD于点N, 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCD=90°，∠ECN=45°， 所以∠EMC=∠EWC=∠BCD=90°，所以NE= NC,所以四边形EMCN为正方形， 所以EM=EN,∠MEN=90°， 因为四边形DEFG是矩形，所以∠DEF=90°， 所以∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，所 以∠DEN=∠FEM, 因为∠DWE=∠FME=90°，所以△DEN≌ △FEM,所以ED=EF, 所以矩形DEFG为正方形 (2)因为矩形DEFG为正方形，所以DE=DG, ∠EDC+∠CDG=∠EDG=90°， 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD,∠ADE +∠EDC=∠ADC=90°，∠DAE=45°，所以∠ADE= ∠CDG. 所以△ADE≌△CDG,所以∠DCG=∠DAE=45°， 因为∠DCF=90°，所以CG平分∠DCF 19.(1)证明：因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°. 由旋转的性质得∠FED=90°，所以∠AEB= ∠FED, 所以∠AEB=∠AEF+∠BEF,∠FED=∠AEF+ ∠AED,所以∠BEF=∠AED. 因为∠ABC=45°，所以∠BAE=45°，所以AE= BE. 因为EF=ED,所以△BEF≌△AED,所以BF= AD, 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC= BF,所以AE+CE=BE+CE=BC=BF. (2)如题图15-②，当点E在线段BC延长线上， ∠ABC=45°时，同(1)可得AD=BF,AE=BE, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC=BF. 所以AE-EC=BE-EC=BC=BF, 即AE-EC=BF; 如题图15-③，当点E在线段CB延长线上，∠ABC =135°时，∠ABE=180°-∠ABC=45°， 因为AE⊥BC,所以∠AEB=90° 所以∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE=45°， 所以∠BAE=∠ABE,所以AE=BE, 同(1)可得BF=AD, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC=BF, 所以EC-AE=EC-EB=BC=BF, 即EC-AE=BF (3)1或7. 重点模块测评（三）】 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C A D C D C 二、11.40；12.3：13.310：14.(5,33)： 15.6. 三、16.证明略. 17.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DF∥EB,AB=CD, 又因为CF=AE,所以DF=BE, 所以四边形BFDE是平行四边形， 因为DE⊥AB,所以四边形BFDE是矩形 (2)矩形BFDE的面积为20. 18.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD,所以∠ABE=∠CDF, 又因为BE=DF,所以△ABE≌△CDF (2)因为△ABE≌△CDF, 所以AE=CF,∠AEB=∠CFD, 所以∠AEF=∠CFE, 所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形. 参考答案 37 四、19.(1)如图6，点E 因为点E是BC的中点，所以BE=CE=BC, 即为所作， (2)如图6，连接DE 设EC=a,CG=b,则BE=a,BC=2a,DG=CD 因为△BCD为等边三角形， CG =2a-b, AB=4,AD=2,所以 所以EG=BE+DG=a+2a-b=3a-b, ∠BCD=60°，BC=DC,又 由勾股定理可得EC2+CG2=EG2,即a2+b2=(3a 因为∠DCE=∠BCA,CE 图6 b)2, =CA,所以△DCE≌△BCA 整理，得d+6=9m2-6b+6,所以g=子，所 所以DE=AB=4,∠CDE=∠CBA, 因为∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=(∠ABC以wLCGE=%=÷=是 +∠BCA+∠CAB)+(∠ACD+∠DAC+∠CDA)= (3)由(2)可知BE+DG=FE+FG=EG, 360°，∠BAD=120°， 所以∠ABC+∠CDA=180°，所以∠CDE+∠CDA =180°，所以点A,D,E三点在同一条直线上. BE EF 2x,DG GF =3x,BC CD =y, 所以AE=AD+DE=2+4=6,所以AE的长为6. 所以EG=5x,EC=y-2x,CG=y-3x, 20.(1)CF=BD,且CF⊥BD 由勾股定理可得EC2+CG=EG 证明：因为∠FAD=∠CAB=90° 即(y-2x)2+(y-3x)2=(5x)2,解得y=6x或y 所以∠FAC=∠DAB. =-x(舍去)，所以BC=CD=6x,EC=4x 又因为AC=AB,AF=AD, 过点F作FM⊥BC,则FM∥AB∥CD, 所以△ACF≌△ABD, 所以△EFM∽△EGC,△CFM∽△CHB, 所以CF=BD,∠FCA=∠B. 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90° 肌慌-兴-微晓=兴 所以∠FCB=∠FCA+∠ACD=∠B+∠ACB= 90°，所以FC⊥CB. 则EM=号，CM=EC-EM=号， 故CF=BD,且CF⊥BD 12 (2)作图如图7，(1)中的结论仍然成立.理由如下： 所子 因为∠CAB=∠DAF=90°， 所以∠CAB+∠CAD 23.(1)DM=EM. ∠DAF+∠CAD,即∠BAD (2)DM=EM仍然成立，理由如下： ∠CAF. 连接BD,DF, 在△ACF和△ABD中， 因为△ABC和△ADE是等边三角形， rAC AB. 图1 所以∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB ∠CAF=∠BAD,所以 AC,AD AE AF AD. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC △ACF≌△ABD, 所以∠BAD=∠CAE, 所以CF=BD,∠ACF=∠B. 所以△BAD≌△CAE(SAS), 由(1)得∠B+∠ACB=90° 所以∠ABD=∠ACE=180°-∠ACB=120°，BD=CE, 所以∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠B+∠ACB= 所以∠DBE=∠ABD-∠ABC=60°， 90°.所以CF⊥BD. 所以∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°， 故CF=BD,且CF⊥BD 所以BD∥EF,因为CE=EF,所以BD=EF, 所以四边形BDFE是平行四边形，所以DM=EM. 21.(1)AC=45. (3)如图8，当点E在BC的延长 (2)作CH⊥AF于点H,CG⊥AB交AB的延长线于 线上时，作AG⊥BC于点G, 点G,所以∠CHF=∠CGB=90°， 因为∠ACB=60°，所以CG=3 由题意，得△ADC兰△ABC, AG=33, 所以AB=BC=4,∠BAC=30° 因为∠DAC=∠BAC=30°， 所以EG=CG+CE=5, 所以CH=CG,∠DAB=60, 所以AE=√JAG+EG= 所以∠AEC+∠AFC=360°-∠DAB-∠ECF=2√/I3. 180°，∠AEC+∠CEG=180°，所以∠CFH=∠CEG,所： 连接AM,由(2)知DM=EM,所以AM⊥DE, 以△CFH≌△CEG,所以CF=CE. 所以∠AME=90°， 在Rt△CBG中，∠CBG=2∠CAB=60°，CB=4, 因为∠AED=60°，所以AM=√/39， 所以BG=2,CG=23. 当点E在BC上时，作AG⊥BC于点G,同上可得AM 在Rt△CEG中，EG=EB+BG=2AB+BG=4, = 所以CE=√EG+CG=2万 综上所述，AM=√39或/2I. 所以CF的长为27. 备考风向标（三） (3)AE+AF=√3AC.证明如下： 1.(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD,所以 由(2)得△CFH≌△CEG, ∠AGB=90°， 所以FH=EG,CH=CG, 所以Rt△ACH≌Rt△ACG,所以AH=AG 因为AD=√2AB, 在Rt△ACG中，∠CAG=30°， 所以设AB=a,则AD=√2a,BD=5a, 所以4G=5AC, 因为四边形ABCD是矩形， 2 所以∠BAD=∠ABC=90°， 所以AE+AF=AG-EG+AH+FH=2AG=√3AC 所以∠BAG=∠ADB=∠GBF 五、22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以sin LBAG=sin∠ADB, 所以∠B=∠D=90°，AB=AD, 由折叠的性质可知，AB=AF,∠B=∠AFE=90°， 即铝=品所以G=是解得G=系。， a BE=FE,所以AF=AD,∠AFG=∠D=90°， 又因为AG=AG,所以Rt△ADG≌Rt△AFG,所以 根据勾股定理得AG= 3 DG FG. 3 (2)由(1)可知，DG=FG,BE=FE, 所以BE+DG=FE+FG=EG, 38 参考答案 数理极 6。 10.3:11.以点E为圆心，EF长为半径画弧： 《投影与视图》抢分演练 解号8=号。 12.①②④→③或②③④=①：13.2； 因为BC=AD=2a,所以BF=25C, 14.2② 7 题号12345678 所以点F为BC的中点 三、15.如图10，点M即为所求. 答案CC CCCCC A (2)∠AGH=120°，理由如下： 二、9.中心投影；10.4m;11.8;12.8; 连接HF,由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF 13:44 HF,所以∠FBH=∠FHB, 所以∠GBH=∠BHF,所以BD∥HF 三、15.三视图略. 所以∠DGH=∠GHF, 16.(1)是中心投影 由(1)知AF⊥BD,所以AF⊥HF,所以∠AGD=90° (2)略 17.延长AB交MW于点H,过C作CG⊥MW于点G, 设AB=a,则AD=反a=BC,Bp=-。,BG 图10 11 所以四边形BHGC是矩形，所以HG=BC=2m,∠CGD 16.(1)如图11. =90°，BH=CG, 3a,所以GF=6 (2)证明：因为OP平分∠AOB,所以∠AOP = a, 因为∠CDG=30°，CD=2m, ∠BOP, 在R△GFH中，m∠GP-张-9， 由作图可知CD∥OA,所以∠AOP=∠OCD,所以 所以cG=2CD=1m,DG=万m, LOCD=∠BOP,所以OD=CD. 所以∠GHF=30°，所以∠DGH=30°， 所以HE=HG+GD+DE=(9+√3)m, 17.(1)连接AC,因为四边形ABCD是菱形，所以 所以∠AGH=∠AGD+∠DGH=120° 因为同一时刻，物高和影长成正比， ACE=∠ACF,因为CE=CF,AC=AC,所以△ACE兰 2.(1)BG=2CE. △ACF,所以AE=AF (2)成立，理由如下： (2)命题“若AE=AF,则CE=CF”是假命题，作图 过点E在AC右侧作EM⊥EC且使EM=EC,连接 27+35 格： m, AM.CM. 18.(1)如图12-①所示，点E就是所求作的符合条 因为∠DAE=∠AEM=90°，所以AD∥EM. 件的点 所以AB=AH-BH=27+35-1=15.1(m, 因为AC=AB,BD=AE,所以AD=CE 答：旗杆AB的高度为15.1m. 所以AD=EM. 18.(1)这个几何体的名称是圆柱体 所以四边形ADEM为平行四边形， (2)图略. 所以AM∥DE. (3)这个几何体的表面积是66πcm2,体积是 由AG⊥DE,可得AG⊥AM,所以∠CAM=∠BAG 90°-∠CAG. 72n cm'. 因为EM⊥EC且EM=EC,所以CM=2CE, 图12 19.(1)a=0.23,c=1.08. (2)由(1)得函数表达式为y=0.23(t-12)2+ 所以∠ACM=∠ABG=45°， (2)如图12-②所示，点F就是所求作的符合条件 的点 :1.08(8≤t≤16)，把t=14代入y=0.23(t-12)2+ 因为AC=AB,所以△ACM≌△ABG, 所以BG=CM=2CE. 3)如图12-③所示，点G就是所求作的符合条件1.08得y=2.则am0-2-1.35, 的点 (3)BG的长为42 (3)对于函数y=0.23(t-12)2+1.08(9≤t≤ 19.（1)如图13，菱形BMEN即为所求（答案不惟一 14), 点M,N可以对调位置) 《命题与尺规作图》跟踪训练 因为a=0.23>0,所以当t=12时，y取得最小值 此时y=0.23(12-12)2+1.08=1.08 1.5. 当t=9时，y取得最大值，此时y=0.23(9-12)2+ 2.(1)如图9所示，MN即为 1.08=3.15, 所求. (2)证明：因为四边形ABCD 因为=2所以=等=名 是平行四边形，所以AD∥BC,所 所以m的取值范围为2.16≤m≤6.3 以∠CAE=∠ACF 《图形的变换》跟踪训练 设EF与AC交于点O,因为EF 图9 是AC的垂直平分线，所以AO 图13 1.C;2.B:3.B. OC,EF⊥AC, (2)如图14，菱形BEPQ即为所求 4.(1)如图16所示，线段BF和点G即为所作. 因为∠AOE=∠COF,所以△AOE兰△C0F,所以 OE=OF,所以四边形AFCE为平行四边形，因为EF AC,所以四边形AFCE为菱形 3.A. 4.(1)①，③或④：②，③或④：③，①或②或④ (2)条件是①，结论是③或④. 图16 图17 证明：因为∠BAD=∠C,∠B=∠B,所以△ABD 《投影与视图》跟踪训练 (2)如图17所示，点N与点H即为所作. △cA所提-船号-能=D:C 1.D:2.B;3.D:4.A 5.(1)小星在A处的影子为1.6米 《图形的变换》抢分演练 条件是②，结论是③或④： 证明：因为∠ADB=∠CAB,∠B=∠B,所以△ABD (2)如图15，因为 太阳光线 一△c,航光-器岩-荒所以A=B0C ∠FBG=30°，设FG= x米，则BF=2x米，所以 EHB8G68AB 条件是③，结论是①或②或④： BG=3x米，所以EG=CA 二、9.1；10.4；11.18；12.2+V6;13.n-1; 证明：因为4B=BD,BC,所以瓷-胎因为∠B EF+FG=(x+1.6)米， 图15 14.90°或270°或180°. 在Rt△EBG中，∠EBG=45°，所以BG=EG, 三、15.(1)图略.(2)图略.(3)√13 =∠B,所以△ABD∽△CBA, 16.(1)图略 所∠BD=∠G,∠A0服-∠c4,品- AB 所以x=.6+,解得x=号(5+， (2)8. 所以小星在斜坡上的影子为BF=2×号(，万+1) 17.(1)图略.(2)图略.(3)(m-4,-n) 《命题与尺规作图》抢分演练 8(5+1山（米）. 18.延长BF交CD于点H,连接EH, 5 因为四边形ABCD是正方形， 题号12345678 所以AB∥CD,∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB 答案CBACCC B D 答：当他在坡面上至少前进8(5，+山米时，他的影 =1,所以AC=AD2+CD=2. 二、9.两个底角相等的三角形是等腰三角形； 子恰好都落在坡面上. 由翻折的性质可知，AE=EF,∠EAB=∠EFB=数理极 专项提分。 第十二讲 命题与尺规作图 。辽宁安志强 第一部分 抢分前言 命题 的句子叫做命题.正确的命题称为】 ,错误的命题称为 公理、定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依 据，这样的真命题叫做」 ,用证明方法判断为正确的命题叫做 互逆命题、 在两个命题中，如果一个命题的题设和结论是另一个命题的 和 ,那么这两个命题称为互 互逆定理 逆命题，其中一个命题称为另一个命题的一如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它 也是】 ,这两个定理称为互逆定理其中一个定理叫做另一个定理的 先假设命题的结论一，经过推理得出矛盾，由矛盾判定所作假设一，从而得到原命题成立，这种 证明的方法叫反证法」 反证法 反证法的步骤：先假设结论的反面是，然后通过逻辑推理，推出与 或已知条件 相矛盾，说明假设 ,从而得到原结论 概念 只用 的直尺和圆规的作图方法叫做尺规作图 (1)已知：当作图题只用文字语言叙述时，要根据文字语言用数学语言写 步骤 出题目中的条件； 尺规作图 (2)求作：根据题目写出要求作出的图形以及这个图形需要满足的条件： (3)作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程. 基本作图：(1)作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；(3)作 角的平分线：(4)作线段的垂直平分线 类型 利用基本图形作三角形：(1)已知三边作三角形；(2)已知两边夹角作三角 形：(3)已知两角夹边作三角形. 作圆：过一点、两，点和不在同一直线上的三点作图 第二部分 <← 抢分培训 考点1：尺规作图与计算 解：(1)证明：因为AD∥BC,所以∠ADB= 例1如图1，①在OA, ∠CBD. OB上分别截取线段OD,OE, 因为∠A=∠C, 使0D=OE;②分别以D,E 所以180°-（∠ADB +∠A)=180°-（∠CBD 为圆心，以大于2DE的长为 +∠C),即∠ABD 半径画弧，在∠AOB内两弧 ∠CDB, 网 交于点C;③作射线0C.若∠A0B=60°，则 所以AB∥CD. ∠AOC= 所以四边形ABCD是平行四边形 解：由题意可知，OC是∠AOB的角平分线， (2)如图4，四边形BEDF就是所求作的菱 所以∠A0C=∠40B=30故填30 跟踪训练2：如图5 跟踪训练1：如图2 四边形ABCD是平行四 在口ABCD中，∠D= 边形 60°.以点B为圆心，以 (1)尺规作图；作对 图5 BA的长为半径作弧交 角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)； 边BC于点E,连接AE. 图2 (2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点， 分别以点A,E为圆心，以大于？AE的长为半径求证：四边形AFCE是菱形. 作弧，两弧交于点P,作射线BP交AE于点O,交 边4D于点P,E的值为 考点2：尺规作图与证明 例2如图3，四边形 ABCD中，AD∥BC,∠A= ∠C,BD为对角线 考点3：判断命题的真假 (1)求证：四边形 图3 例3下列命题是真命题的是 ABCD是平行四边形； A.同位角相等 (2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆 B.菱形的四条边相等 规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上 C.正五边形是中心对称图形 (保留作图痕迹，不要求写作法) D.单项式5ab2的次数是4 47 解：A.两平行线被第三条直线所截，同位角 相等，故此命题为假命题； B.根据菱形的性质可知，菱形的四条边相 等，故此命题为真命题； C.正五边形不是中心对称图形，故此命题 为假命题； D.单项式5ab的次数是3，故此命题是假命 题 故选B. 跟踪训练3：如图6，锐角 三角形ABC中，AB=AC,点 D,E分别在边AB,AC上，连 接BE,CD.下列命题中，假命 题是 A.若CD=BE,则 图6 ∠DCB=∠EBC B.若∠DCB=∠EBC,则CD=BE C.若BD=CE,则∠DCB=∠EBC D.若∠DCB=∠EBC,则BD=CE 考点4：构造命题 例4如图7，在△ABC E 和△DEB中，点D在边AB 上，下面有四个条件：①BD =CA,②DE=AB,③DE∥ D B AC,④∠ABC=∠E. 图7 (1)从中选三个作为题设，余下的一个作为 结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论 的序号分别填写在对应的横线上，已知： ,求证： (2)请对你写出的命题进行证明. 解：(1)①②③，④. (2)已知：BD=CA,DE=AB,DE∥AC,求 证：∠ABC=∠E. 证明：因为DE∥AC,所以∠CAB=∠BDE, AC BD, 在△ABC和△DEB中，{∠CAB=∠BDE, LAB DE. 所以△ABC≌△DEB,所以∠ABC=∠E. 跟踪训练4：如图8， 将①∠BAD =∠C; ②∠ADB ∠CAB; B ③AB2=BD·BC;④ AC 图8 AD AB G-2中的个作为条件，另个作 为结论，组成一个真命题， (1)条件是 ,结论是 (填 序号)； (2)写出你的证明过程 48 专项提分。 数理极 第三部分 点D(保留作图痕迹，不写作法)； 《命题与尺规作图》 抢分演练 (2)在作出符合(1)的图形冲，求证：0D=CD. ⊙数理报社试题研究中心 (满分：120分 时间：90分钟) △ABC的中线时，S=角形Fc=S四边形DFE;②当CD, 一、精心选一选（每小题5分，共40分） BE是△ABC的角平分线时，∠BFC=90°+ 题号1 2 5 678 ↓∠A.下列说法正确的是 图1 答案 A.①是真命题，②是假命题 1.用尺规作图，已知三边作三角形，用到的 B.①是假命题，②是真命题 基本作图是 ( C.①是假命题，②是假命题 17.(10分)点E,F分别是菱形ABCD边 A.作一个角等于已知角 D.①是真命题，②是真命题 BC,CD上的点. B.作已知直线的垂线 C.作一条线段等于已知线段 二、细心填一填（每小题5分，共30分） (1)如图12，若CE=CF,求证AE=AF; (2)判断命题“若AE=AF,则CE=CF”的 D.作角的平分线 9.命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆 命题是 2.如图1，在等腰△ABC中， 真假，若真，请证明；若假，请画出反例 ∠A=40°，分别以点A,点B为 10.如图5，在x轴，y轴上 分别截取OA,OB,使OA= 圆心，大于24B为半径画弧，两 OB,再分别以点A,B为圆心， 弧分别交于点M和点N,连接 以大于)AB长为半径画弧，两 0 MN,直线MW与AC交于点D,连 图1 5 接BD,则∠DBC的度数是 ) 弧交于点P.若点P的坐标为(a,2a-3),则a的 A.20° B.30°C.40° D.50° 值为■ 3.下列命题是假命题的是 11.如图6，用尺规作图作 () A,平行四边形既是轴对称图形又是中心对∠A0C=LA0B的第一步是① 称图 ①以点0为圆心，以任意长为 18.(10分)如图13，在6×6的正方形网格 B.三角形的外心是三边垂直平分线的交点 半径画弧，分别交OA,OB于点 中，A,B,C,D均为小正方形的顶点，请仅用无刻 C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距 :E,F,那么第二步的作图痕迹 图6 度的直尺作图，保留作图痕迹 离相等 ②的作法是 (1)在图13-①中作出AB边上的点E,使 D.正方形的对角线相等且互相垂直平分 12.如图7，在△ABC和 得BE=4AE: 4.如图2，Rt△ABC中 △ADE中，有以下四个论断： (2)在图13-②中作出BC边上的点F(不 ∠ACB=90°，∠A=30°，分别以B ①AB=AD,②AC=AE,③∠G 与点A重合)，连接DF,使得DF=BD; XD =∠E,④BC=DE.请以其中 点A,C为圆心，大于4C长为半 (3)在图13-③中作出AB边上的点G,使 三个论断为条件，余下一个论 图7 得1an∠BCG= 3 径作弧，两弧交于点D,E,以C为C 断为结论，写出一个真命题（用序号“①②③④” 圆心，AC长为半径作弧，与直线 米E 的形式写出)： DE交于点F,CF与AB交于点G 图2 13.如图8，以矩形ABCD 若AB=4,则CG的长为 ()的顶点C为圆心，以任意长为 A.1B.2 C.5 D.25 半径作弧，分别交AC及BC的 3 5.下面a,b的取值，能够说明命题“若a> 延长线于点E,F,再分别以点 图13 b,则lal>1b1”是假命题的是 ( E,F为圆心，以大于EF的长 图8 A.a=3,b=2 B.a=3,b=-2 C.a=-3,b=-5 D.a=-3,b=5 为半径作弧，两弧交于点H,作射线CH交AD的 6.如图3，在△ABC 延长线于点G.若BC=3,AB=4,则DG= M 中，∠A=36°，AB=AC= 2,以点B为圆心，适当长为 14.如图9，在 半径画弧，分别交BA,BCA D Rt△ABC中，以点A为圆 于点M,N,再分别以点M, 图3 心，以合适的长为半径画 19.(12分)已知正六边形ABCDEF,请仅用 弧，分别交AC,AB于点E, 无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不 N为圆，心，大于？MW的长为半径画弧，两弧交于 F,分别以E,F为圆心，以 写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结 点P,射线BP交AC于点D,则线段CD的长度是相同长度为半径作弧，两弧相交于点D,过点P 果) (1)在图14-①中作出以BE为对角线的 （）作PM1AC,交AC于点M,若AC=2,BC=5 一个菱形BMEN; A.2-5B.2+5C.3-√5D.3+√5则PM+PC长度的最小值为 (2)在图14-②中作出以BE为边的一个 7.已知C为线段AB外一点，用尺规作图作 三、耐心解一解（共50分） 菱形BEPQ. 四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB,在四 15.(8分)如图10，在 边形ABCD中，AC,BD相交于点P,AB,CD的中： △ABC中，AC>AB,请用尺 点分别为M,N,则M,P,N三点间关系为( 规作图法在AC上求作一点 A.共圆B.共线C.重合 D.相离M,使得∠AMB=2∠C(保留B 图10 8.如图4，点D,E分别是 作图痕迹，不写作法). △ABC的边AB,AC上的点， 16.(10分)如图11,0P平分∠A0B,点C CD,BE交于点F,现给出下面 是OP上一点 两个命题：①当CD,BE是 (I)尺规作图：过点C作CD∥OA交OB于