重点模块测评(三)-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 因为DE=EC,所以四边形DGCE是菱形 (2)BG的长为3+35. 18.证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M,EN1 CD于点N, 因为四边形ABCD是正方形， 所以∠BCD=90°，∠ECN=45°， 所以∠EMC=∠EWC=∠BCD=90°，所以NE= NC,所以四边形EMCN为正方形， 所以EM=EN,∠MEN=90°， 因为四边形DEFG是矩形，所以∠DEF=90°， 所以∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，所 以∠DEN=∠FEM, 因为∠DWE=∠FME=90°，所以△DEN≌ △FEM,所以ED=EF, 所以矩形DEFG为正方形 (2)因为矩形DEFG为正方形，所以DE=DG, ∠EDC+∠CDG=∠EDG=90°， 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD,∠ADE +∠EDC=∠ADC=90°，∠DAE=45°，所以∠ADE= ∠CDG. 所以△ADE≌△CDG,所以∠DCG=∠DAE=45°， 因为∠DCF=90°，所以CG平分∠DCF 19.(1)证明：因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°. 由旋转的性质得∠FED=90°，所以∠AEB= ∠FED, 所以∠AEB=∠AEF+∠BEF,∠FED=∠AEF+ ∠AED,所以∠BEF=∠AED. 因为∠ABC=45°，所以∠BAE=45°，所以AE= BE. 因为EF=ED,所以△BEF≌△AED,所以BF= AD, 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC= BF,所以AE+CE=BE+CE=BC=BF. (2)如题图15-②，当点E在线段BC延长线上， ∠ABC=45°时，同(1)可得AD=BF,AE=BE, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC=BF. 所以AE-EC=BE-EC=BC=BF, 即AE-EC=BF; 如题图15-③，当点E在线段CB延长线上，∠ABC =135°时，∠ABE=180°-∠ABC=45°， 因为AE⊥BC,所以∠AEB=90° 所以∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE=45°， 所以∠BAE=∠ABE,所以AE=BE, 同(1)可得BF=AD, 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD=BC=BF, 所以EC-AE=EC-EB=BC=BF, 即EC-AE=BF (3)1或7. 重点模块测评（三）】 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C A D C D C 二、11.40；12.3：13.310：14.(5,33)： 15.6. 三、16.证明略. 17.(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DF∥EB,AB=CD, 又因为CF=AE,所以DF=BE, 所以四边形BFDE是平行四边形， 因为DE⊥AB,所以四边形BFDE是矩形 (2)矩形BFDE的面积为20. 18.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD,AB=CD,所以∠ABE=∠CDF, 又因为BE=DF,所以△ABE≌△CDF (2)因为△ABE≌△CDF, 所以AE=CF,∠AEB=∠CFD, 所以∠AEF=∠CFE, 所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形. 参考答案 37 四、19.(1)如图6，点E 因为点E是BC的中点，所以BE=CE=BC, 即为所作， (2)如图6，连接DE 设EC=a,CG=b,则BE=a,BC=2a,DG=CD 因为△BCD为等边三角形， CG =2a-b, AB=4,AD=2,所以 所以EG=BE+DG=a+2a-b=3a-b, ∠BCD=60°，BC=DC,又 由勾股定理可得EC2+CG2=EG2,即a2+b2=(3a 因为∠DCE=∠BCA,CE 图6 b)2, =CA,所以△DCE≌△BCA 整理，得d+6=9m2-6b+6,所以g=子，所 所以DE=AB=4,∠CDE=∠CBA, 因为∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠BAD=(∠ABC以wLCGE=%=÷=是 +∠BCA+∠CAB)+(∠ACD+∠DAC+∠CDA)= (3)由(2)可知BE+DG=FE+FG=EG, 360°，∠BAD=120°， 所以∠ABC+∠CDA=180°，所以∠CDE+∠CDA =180°，所以点A,D,E三点在同一条直线上. BE EF 2x,DG GF =3x,BC CD =y, 所以AE=AD+DE=2+4=6,所以AE的长为6. 所以EG=5x,EC=y-2x,CG=y-3x, 20.(1)CF=BD,且CF⊥BD 由勾股定理可得EC2+CG=EG 证明：因为∠FAD=∠CAB=90° 即(y-2x)2+(y-3x)2=(5x)2,解得y=6x或y 所以∠FAC=∠DAB. =-x(舍去)，所以BC=CD=6x,EC=4x 又因为AC=AB,AF=AD, 过点F作FM⊥BC,则FM∥AB∥CD, 所以△ACF≌△ABD, 所以△EFM∽△EGC,△CFM∽△CHB, 所以CF=BD,∠FCA=∠B. 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90° 肌慌-兴-微晓=兴 所以∠FCB=∠FCA+∠ACD=∠B+∠ACB= 90°，所以FC⊥CB. 则EM=号，CM=EC-EM=号， 故CF=BD,且CF⊥BD 12 (2)作图如图7，(1)中的结论仍然成立.理由如下： 所子 因为∠CAB=∠DAF=90°， 所以∠CAB+∠CAD 23.(1)DM=EM. ∠DAF+∠CAD,即∠BAD (2)DM=EM仍然成立，理由如下： ∠CAF. 连接BD,DF, 在△ACF和△ABD中， 因为△ABC和△ADE是等边三角形， rAC AB. 图1 所以∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB ∠CAF=∠BAD,所以 AC,AD AE AF AD. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC △ACF≌△ABD, 所以∠BAD=∠CAE, 所以CF=BD,∠ACF=∠B. 所以△BAD≌△CAE(SAS), 由(1)得∠B+∠ACB=90° 所以∠ABD=∠ACE=180°-∠ACB=120°，BD=CE, 所以∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠B+∠ACB= 所以∠DBE=∠ABD-∠ABC=60°， 90°.所以CF⊥BD. 所以∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°， 故CF=BD,且CF⊥BD 所以BD∥EF,因为CE=EF,所以BD=EF, 所以四边形BDFE是平行四边形，所以DM=EM. 21.(1)AC=45. (3)如图8，当点E在BC的延长 (2)作CH⊥AF于点H,CG⊥AB交AB的延长线于 线上时，作AG⊥BC于点G, 点G,所以∠CHF=∠CGB=90°， 因为∠ACB=60°，所以CG=3 由题意，得△ADC兰△ABC, AG=33, 所以AB=BC=4,∠BAC=30° 因为∠DAC=∠BAC=30°， 所以EG=CG+CE=5, 所以CH=CG,∠DAB=60, 所以AE=√JAG+EG= 所以∠AEC+∠AFC=360°-∠DAB-∠ECF=2√/I3. 180°，∠AEC+∠CEG=180°，所以∠CFH=∠CEG,所： 连接AM,由(2)知DM=EM,所以AM⊥DE, 以△CFH≌△CEG,所以CF=CE. 所以∠AME=90°， 在Rt△CBG中，∠CBG=2∠CAB=60°，CB=4, 因为∠AED=60°，所以AM=√/39， 所以BG=2,CG=23. 当点E在BC上时，作AG⊥BC于点G,同上可得AM 在Rt△CEG中，EG=EB+BG=2AB+BG=4, = 所以CE=√EG+CG=2万 综上所述，AM=√39或/2I. 所以CF的长为27. 备考风向标（三） (3)AE+AF=√3AC.证明如下： 1.(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD,所以 由(2)得△CFH≌△CEG, ∠AGB=90°， 所以FH=EG,CH=CG, 所以Rt△ACH≌Rt△ACG,所以AH=AG 因为AD=√2AB, 在Rt△ACG中，∠CAG=30°， 所以设AB=a,则AD=√2a,BD=5a, 所以4G=5AC, 因为四边形ABCD是矩形， 2 所以∠BAD=∠ABC=90°， 所以AE+AF=AG-EG+AH+FH=2AG=√3AC 所以∠BAG=∠ADB=∠GBF 五、22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以sin LBAG=sin∠ADB, 所以∠B=∠D=90°，AB=AD, 由折叠的性质可知，AB=AF,∠B=∠AFE=90°， 即铝=品所以G=是解得G=系。， a BE=FE,所以AF=AD,∠AFG=∠D=90°， 又因为AG=AG,所以Rt△ADG≌Rt△AFG,所以 根据勾股定理得AG= 3 DG FG. 3 (2)由(1)可知，DG=FG,BE=FE, 所以BE+DG=FE+FG=EG, 38 参考答案 数理极 6。 10.3:11.以点E为圆心，EF长为半径画弧： 《投影与视图》抢分演练 解号8=号。 12.①②④→③或②③④=①：13.2； 因为BC=AD=2a,所以BF=25C, 14.2② 7 题号12345678 所以点F为BC的中点 三、15.如图10，点M即为所求. 答案CC CCCCC A (2)∠AGH=120°，理由如下： 二、9.中心投影；10.4m;11.8;12.8; 连接HF,由折叠的性质可知∠GBH=∠FBH,BF 13:44 HF,所以∠FBH=∠FHB, 所以∠GBH=∠BHF,所以BD∥HF 三、15.三视图略. 所以∠DGH=∠GHF, 16.(1)是中心投影 由(1)知AF⊥BD,所以AF⊥HF,所以∠AGD=90° (2)略 17.延长AB交MW于点H,过C作CG⊥MW于点G, 设AB=a,则AD=反a=BC,Bp=-。,BG 图10 11 所以四边形BHGC是矩形，所以HG=BC=2m,∠CGD 16.(1)如图11. =90°，BH=CG, 3a,所以GF=6 (2)证明：因为OP平分∠AOB,所以∠AOP = a, 因为∠CDG=30°，CD=2m, ∠BOP, 在R△GFH中，m∠GP-张-9， 由作图可知CD∥OA,所以∠AOP=∠OCD,所以 所以cG=2CD=1m,DG=万m, LOCD=∠BOP,所以OD=CD. 所以∠GHF=30°，所以∠DGH=30°， 所以HE=HG+GD+DE=(9+√3)m, 17.(1)连接AC,因为四边形ABCD是菱形，所以 所以∠AGH=∠AGD+∠DGH=120° 因为同一时刻，物高和影长成正比， ACE=∠ACF,因为CE=CF,AC=AC,所以△ACE兰 2.(1)BG=2CE. △ACF,所以AE=AF (2)成立，理由如下： (2)命题“若AE=AF,则CE=CF”是假命题，作图 过点E在AC右侧作EM⊥EC且使EM=EC,连接 27+35 格： m, AM.CM. 18.(1)如图12-①所示，点E就是所求作的符合条 因为∠DAE=∠AEM=90°，所以AD∥EM. 件的点 所以AB=AH-BH=27+35-1=15.1(m, 因为AC=AB,BD=AE,所以AD=CE 答：旗杆AB的高度为15.1m. 所以AD=EM. 18.(1)这个几何体的名称是圆柱体 所以四边形ADEM为平行四边形， (2)图略. 所以AM∥DE. (3)这个几何体的表面积是66πcm2,体积是 由AG⊥DE,可得AG⊥AM,所以∠CAM=∠BAG 90°-∠CAG. 72n cm'. 因为EM⊥EC且EM=EC,所以CM=2CE, 图12 19.(1)a=0.23,c=1.08. (2)由(1)得函数表达式为y=0.23(t-12)2+ 所以∠ACM=∠ABG=45°， (2)如图12-②所示，点F就是所求作的符合条件 的点 :1.08(8≤t≤16)，把t=14代入y=0.23(t-12)2+ 因为AC=AB,所以△ACM≌△ABG, 所以BG=CM=2CE. 3)如图12-③所示，点G就是所求作的符合条件1.08得y=2.则am0-2-1.35, 的点 (3)BG的长为42 (3)对于函数y=0.23(t-12)2+1.08(9≤t≤ 19.（1)如图13，菱形BMEN即为所求（答案不惟一 14), 点M,N可以对调位置) 《命题与尺规作图》跟踪训练 因为a=0.23>0,所以当t=12时，y取得最小值 此时y=0.23(12-12)2+1.08=1.08 1.5. 当t=9时，y取得最大值，此时y=0.23(9-12)2+ 2.(1)如图9所示，MN即为 1.08=3.15, 所求. (2)证明：因为四边形ABCD 因为=2所以=等=名 是平行四边形，所以AD∥BC,所 所以m的取值范围为2.16≤m≤6.3 以∠CAE=∠ACF 《图形的变换》跟踪训练 设EF与AC交于点O,因为EF 图9 是AC的垂直平分线，所以AO 图13 1.C;2.B:3.B. OC,EF⊥AC, (2)如图14，菱形BEPQ即为所求 4.(1)如图16所示，线段BF和点G即为所作. 因为∠AOE=∠COF,所以△AOE兰△C0F,所以 OE=OF,所以四边形AFCE为平行四边形，因为EF AC,所以四边形AFCE为菱形 3.A. 4.(1)①，③或④：②，③或④：③，①或②或④ (2)条件是①，结论是③或④. 图16 图17 证明：因为∠BAD=∠C,∠B=∠B,所以△ABD 《投影与视图》跟踪训练 (2)如图17所示，点N与点H即为所作. △cA所提-船号-能=D:C 1.D:2.B;3.D:4.A 5.(1)小星在A处的影子为1.6米 《图形的变换》抢分演练 条件是②，结论是③或④： 证明：因为∠ADB=∠CAB,∠B=∠B,所以△ABD (2)如图15，因为 太阳光线 一△c,航光-器岩-荒所以A=B0C ∠FBG=30°，设FG= x米，则BF=2x米，所以 EHB8G68AB 条件是③，结论是①或②或④： BG=3x米，所以EG=CA 二、9.1；10.4；11.18；12.2+V6;13.n-1; 证明：因为4B=BD,BC,所以瓷-胎因为∠B EF+FG=(x+1.6)米， 图15 14.90°或270°或180°. 在Rt△EBG中，∠EBG=45°，所以BG=EG, 三、15.(1)图略.(2)图略.(3)√13 =∠B,所以△ABD∽△CBA, 16.(1)图略 所∠BD=∠G,∠A0服-∠c4,品- AB 所以x=.6+,解得x=号(5+， (2)8. 所以小星在斜坡上的影子为BF=2×号(，万+1) 17.(1)图略.(2)图略.(3)(m-4,-n) 《命题与尺规作图》抢分演练 8(5+1山（米）. 18.延长BF交CD于点H,连接EH, 5 因为四边形ABCD是正方形， 题号12345678 所以AB∥CD,∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB 答案CBACCC B D 答：当他在坡面上至少前进8(5，+山米时，他的影 =1,所以AC=AD2+CD=2. 二、9.两个底角相等的三角形是等腰三角形； 子恰好都落在坡面上. 由翻折的性质可知，AE=EF,∠EAB=∠EFB=数理相 专项提分 45 重点模块测评（三） 【测试范围：三角形、四边形与多边形】 ©数理报社试题研究中心 =DG=AH,则四边形EFGH是 (满分：120分 时间：120分钟) A.平行四边形 B.菱形 一、精心选一选（每小题5分，共40分） C.矩形 D.正方形 题号12345678 9.如图7，在矩形ABCD中，AD=3,AB=4, 答案 M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P,MQ⊥ 1.如图1，在平行四边形ABCD中，对角线 BC于点Q,则PQ的最小值为 ( AC,BD相交于点O,E为BC的中点，AB=6,则 4.2 B.3 24 D. OE的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 17.如图14，在平行四边形ABCD中，过点D 作DE⊥AB于点E,点F在CD边上，CF=AE, 连接AF,BF 图7 (1)求证：四边形BFDE是矩形： 10.如图8，在菱形ABCD中，AB=6cm,P为 (2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求 1 对角线AC上的一个动点，过点P作AC的垂线 四边形BFDE的面积 2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是 交AD或CD于点E,交AB或BC于点F,点P从 A.2 cm,3 cm,5 cm B.2 cm,3 cm,4 cm 点A出发以5cm/s的速度向终点C运动，设运 C.2 cm,2 cm,4 cm D.I cm,2 cm,4 cm 动时间为（单位：s),以EF为折线将菱形ABCD 3如图2，“三等分角仪”由两根有槽的棒 向右折叠，若重合部分面积为45cm2,求t的 14 OA,OB组成，两根棒在0点相连并可绕0转动， 值，对于其答案，甲答：1=2，乙答：4=3，丙答：1 C点固定，OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑 =4,则下列说法正确的是 动，若∠BDE=75°，则∠A0B= ( A.只有甲答的对 A.15° B.20°C.359 D.25 B.甲、乙答案合在一起才完整 4.下列命题中，真命题是 ( C.甲、丙答案合在一起才完整 18.如图15，在平行四边形ABCD中，点E,F A.一组对边平行，另一组对边相等的四边 D.三人答案合在一起才充整 在对角线BD上，且BE=DF.求证： 形是平行四边形 二、细心填一填（每小题3分，共15分）】 (I)△ABE≌△CDF; B.对角线互相垂直的四边形是菱形 11.已知一个正多边形的内角和为1260°， 则这个正多边形的每个外角为 度 (2)四边形AECF是平行四边形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.一组邻边相等的平行四边形是正方形 12.如图9，CD为Rt△ABC斜边AB上的中 5.如图3，△ABC是等边三角形，P是∠ABC 线，E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则DE= 的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E,线段BP 的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF 图15 =2,则PE的长为 A.5 B.23 C.2 D.3 风0 10 13.如图10，将矩形ABCD沿对角线AC折 叠，使点B在点E处，CE与AD交于点F.若AF= 5,DF=4,则AC的长为 四、耐心解一解（本大题共3小题，每小题 4 14.如图11，在平面直角坐标系x0y中，点9分，共27分) 6.如图4，E,F是正方形ABCD的对角线BDA,C,F在坐标轴上，E是OA的中点，四边形 19.如图16，在四边形ABCD中，∠BAD= 上的两点，BD=10,DE=BF=2,则四边形 AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的： 120°，△BCD为等边三角形 AECF的周长等于 坐标为(33,0)，则点D的坐标为 (I)在CD右侧找点E,使得∠DCE= A.20 B.202C.30 D.434 ∠BCA,CE=CA(要求：尺规作图，不写作法，保 7.如图5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A 留作图痕迹)； =30°，D是AC的中点，连接BD,将线段BD绕点 (2)在(1)的条件下，连接AE,若AB=4, B逆时针旋转90°得到线段BE,连接DE,CE,则 AD=2,求AE的长 ∠CED的度数是 ( 图11 图12 A.15° B.25 C.30° D.35 15.如图12，在△ABC中，∠ABC=90°，BD 为AC边上的中线，过点C作CE⊥BD于点E,过 点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在 AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF若 AG=13,BG=5,则CF的长为 三、耐心解一解（本大题共3小题，每小题 图5 客6 7分，共21分) 8.如图6，将正方形ABCD的各边AB,BC 16.如图13，点D在AB上，点E在AC上，AB CD,DA顺次延长至点E,F,G,H,且使BE=CF=AC,∠B=∠C,求证：BD=CE. (下转第46版) 46 专项提分 数理极 (上接第45版) 五、耐心解一解（本大题共2小题，第22题 23.已知△ABC是等边三角形，点E是射线 20.如图17-①所示，在△ABC中，AB=13分，第23题14分，共27分) BC上的一点（不与点B,C重合），连接AE,在AE AC,∠BAC=90°.点D为射线BC上一动点，连 22.如图19-①，在正方形ABCD中，点E在 的左侧作等边三角形AED,将线段EC绕点E逆 接AD,以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧线段BC上，连接AE,将△ABE沿着AE折叠得到 时针旋转120°，得到线段EF,连接BF,交DE于 作等腰直角三角形ADF,连接CF △AFE,延长EF交CD于点G. 点M. (1)当点D在线段BC上时（与点B不重 (1)求证：DG=FG: (1)如图20-①，当点E为BC中点时，请直 合)，试探时CF与BD的数量关系和位置关系 (2)如图19-②，当点E是BC的中点时，求 接写出线段DM与EM的数量关系； 并给予证明； an∠CGE的值； (2)如图20-②，当点E在线段BC的延长 (2)当点D在线段BC的延长线上时，(1)中 线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立， 的结论是否仍然成立？请在图17-②中画出相 (3)如图19-③，当器=号时连接cF并 请写出证明过程：若不成立，请说明理由. 应图形，并说明理由。 延长交AB于点H,求器的值 (3)当BC=6,CE=2时，请直接写出AM 的长 1 21.如图18-①，在△ADC中，AD=CD= 4,∠DAC=30°，将△ADC沿直线AC翻折得 2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点 △ABC,点E为AB边上一动点（与，点A,B不重 备考风向标（三） D,E分别是AB和AC边上的动点，且AE=BD, 合)，连接CE,将射线CE绕点C顺时针旋转 AF⊥DE于点F,交BC于点G 120°，交射线AD于点F 1.如图1，矩形ABCD是一张A4纸，其中AD (1)如图2-①，当点D为AB的中点时，请 (1)求AC的长度； =2AB,小天用该A4纸玩折纸游戏， 直接写出BG与CE的数量关系： (2)如图18-②，当E为AB中点时，求C 游戏I折出对角线BD,将点B翻折到BD (2)当D,E两点运动到图2-②所示的位 的长度； 上的点E处，折痕AF交BD于点G,展开后得到 置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明： (3)用等式表示线段AE,AF与AC之间的数 图1-①，发现点F恰为BC的中点 若不成立，请说明理由： 量关系，并加以证明. 游戏2在游戏1的基础上，将点C翻折到 (3)若AB=2,当AD=2AE时，请直接写出 BD上，折痕为BP;展开后将点B沿过点F的直 BG的长度 线翻折到BP上的点H处；再展开并连接GH后得 到图1-②，发现∠AGH是一个特定的角. (1)请你证明游戏1中发现的结论： (2)请你猜想游戏2中∠AGH的度数，并说 明理由，