第十讲 三角形-【数理报】2026年中考数学高效复习

36 参考答案 数理招 设D(m,m2+2m-3),E(n,n2+2n-3),经过 AC BD. 又因为∠AHC=∠FHG,所以△AHC≌△FHG,所 T(-1,-1)的直线DE的解析式为y=k(x+1)-1,联 在△AEC和△BFD中，AE=BF,所以△AEC≌：以AH=HF. n2鉴现得24-0加2- CE DF 《四边形与多边形》跟踪训练 △BFD(SSS),所以∠A=∠B,所以AE∥BF 0,所以m+n=k-2,mn=-k-2. AE BF, 1.B;2.(1)14 因为V为抛物线的顶点，所以N(-1,-4),易求得 (ⅱ)在△ADE和△BCF中， ∠A=∠B,所以 (2)证明：(i)因为点D,E分别为AB,AC的中点， 直线ND的解析式为y=(m+1)(x+1)-4,因为直线 LAD BC, 所以AE=CE,又因为∠AED=∠CEF,EF=DE,所以 ND交x轴于点P,所以令y=0,得(m+1)(x+1)-4= △ADE≌△BCF(SAS),所以DE=CE △CEF≌△AED. 4 0,解得n=m十-1，所以MP=+11=1 4 又因为EC=DF,所以四边形DECF是平行四边形， (iⅱ)由(1)证得△CEF≌△AED,所以∠A= m+】 因为DF=FC,所以四边形DECF是菱形. ∠FCE,所以BD∥CF,因为DF∥BC,所以四边形DBCE 1+1=m十，同理可得，M0=n十 4 4 是平行四边形 《三角形》抢分演练 3.(1)5. 所以MP·MQ=I 4 (2)四边形ABFC是矩形 n+1 题号12345678 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 16 1(m+1)(n+1 =1 16 答案BCBABBDD 所以AB∥CD,AD=BC,∠D=∠ABC mn m +n +1 所以∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE. -2-6-2+1=华故wP,M0的值为9 16 二、9.65：10.12：11.10：12.1+5 13.24:14.5. 因为E为BC的中点，所以BE=CE, 三、15.证明：因为∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+ 所以△ABE≌△FCE,所以AB=CF 备考风向标（二） 因为AB∥CF,所以四边形ABFC是平行四边形 ∠ACB=180°，所以∠ACB=∠AED. 1.()反比例函数的表达式为y=是 因为BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE,所以 因为AD=AF,AD=BC,所以AF=BC △ABC兰△ADE(SAS),所以AB=AD. 所以四边形ABFC是矩形. (2)过点A作AE⊥x轴于点E,因为∠AB0= 16.(1)证明：因为D为AC的中点，F为CE的中点， 4.(1)D, ∠BOE=∠AE0=90°，所以四边形ABOE是矩形，所以所以DF∥AE,所以∠AED=∠FDE, (2)(1)正明：因为点O为对角线BD的中点，所以 OE AB 2.0B AE =4. B0=D0, 因为AE=AD,所以∠AED=∠ADE,所以∠ADE= 因为∠AD0=45°，所以△AED是等腰直角三角形， 因为AD∥BC,所以∠ODE=∠OBF,∠OED= ∠EDF 所以DE=AE=4,所以OD=OE+DE=6,所以D(6 ∠OFB, (2)BD的长为4. 所以△DOE≌△BOF. 0), 17.(1)证明：因为∠C4B=75°，∠B=60°，所以 设直线AD的表达式为y=x+b,所以 ∠ACB=180°-∠CAB-∠B=45°，因为AE⊥BC,所 (ⅱ)四边形EBFD为菱形，理由如下： 连接EB,FD, 2k+b=4,解得。所以直线AD的表达式为y :以∠CEF=∠AEB=90°，△ACE为等腰三角形，所以AE L6k+b=0. =CE. 由(i)可知△DOE≌△BOF,所以ED=BF 因为ED∥BF,所以四边形EBFD为平行四边形. =-x+6, 因为CD⊥AB,所以∠FCE+∠B=90°，又因为∠B +∠BAE=90°，所以∠BAE=∠FCE,所以△CEF≌ 因为I⊥BD,即EF⊥BD,所以四边形EBFD为菱 因为点A,C是反比例函数y= 8和一次函数y= 形 △AEB(ASA),所以EF=EB. 5.(1)C, +6的交点，联立=8 解得=2或 (2)S△cr=18-65. (2)(i)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 ly=4 18.(1)正明：由旋转的性质得DM=DE,∠MDE= y=-龙+6， 以AD=BC,AD∥BC 2a,因为∠C=a,所以∠DEC=∠MDE-∠C=a,所 [x=4因为4(2,4)，所以C(4,2) 以∠C=∠DEC,所以DE=DC,所以DM=DC,即D是 因为点E,F是BC,AD的中点，所以AF=AD,EC ly 2. MC的中点. 2.（1)a的值为号，直线4B的表达式为y (2)∠AEF=90. 2BC,所以AF=EC,又因为AF∥EC,所以四边形 41 正明：延长FE到点H,使FE=EH,连接CH,AH, AECF是平行四边形，所以AE=CF 6 因为DF=DC,所以DE是△FCH的中位线，所以 (iⅱ)四边形AECF是正方形.理由如下： (2)①由题意得点M的坐标为(m,- m+6),点NDE∥CH,CH=2DE,由旋转的性质得DM=DE,∠MDE 因为AC=CD,F是AD的中点，所以CF⊥AD,CF平 3 =2a,所以∠FCH=2am. 的坐标为(m,2m-2),所以MN=-子m+6-2m 3 因为∠B=∠C=a,所以∠ACH=a,△ABC是等 分∠ACD,所以∠AFC=90°，∠ACF=2∠ACD=45, 155 腰三角形，所以∠B=∠ACH,AB=AC, 所以AF=CF,所以口AECF是正方形 设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m+ 《四边形与多边形》抢分演练 因为点C(6,2),线段E0的长度为1，所以c0=1+ n,所以DF=CD=n,所以FM=DF-DM=n-m, 因为AM⊥BC,所以BM=CM=m+n, 所以BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m,所 题号12345678 以CH=BF 答案CBCAABBD 因为MN=c0,所以9-子m=1+号即1=6 .155 rAB AC, 二、9.6：10.AD∥BC(答案不惟一)： 在△ABF和△ACH中， ∠B=∠ACH,所以△ABH 11.25:12.正方形：13.2；14.3 BF CH, 三、15.证明：因为EF∥AC, 兰△ACH(SAS),所以AF=AH,因为FE=EH,所以AE 所以∠EDC+∠BCD=180° ②因为S。00= 010=3.即×8×B0 ⊥FH,即∠AEF=90 又因为∠EDC=∠CBE, 3,解得EQ=4 3 19.(1)(2-1)AB=BD. 所以∠CBE+∠BCD=18O°，所以BE∥CD, (2)证明：因为CE=BC,∠BCD=∠ECF,CF= 因为ED∥BC, 由①知，EQ=6- 子，所以16-子m1= 3 4,解 DC,所以△CBD≌△CEF,所以∠E=∠DBC,所以EH 所以四边形BCDE是平行四边形. ∥BD,因为BD⊥AB,所以AB⊥EF 16.(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC, 得m或m=号，即m的值为号或号 (3)证明：如图5所 因为AC⊥BC,所以∠ACE=∠ACB=90°， 5 示，延长BA,EF交于点M 所以∠DAC=∠ACE=90°， 《三角形》跟踪训练 延长CH交ME于点G,因为 因为DE∥AC,所以∠ACE=∠E=90°， EF⊥AB,AC⊥AB,所以 所以∠DAC=∠ACE=∠E=90°， 1.C:2.(1)D,(2)25°或115°；3.8：4.D: ME∥AC,所以∠CGE= 所以四边形ADEC是矩形. 5.(1)8,(2)120;6.(1)3或6，(2)25；7.C. ∠ACG. (2)四边形ADEB的面积为90. 5 8.()(i)证明：在△ACE和△BDF中， 因为CH是∠ACE的 17.(1)证明：因为CD平分∠ACB ∠ACE=∠BDF, 角平分线，所以∠ACG=∠ECG,所以∠CGE=∠ECG 所以∠ACD=∠DCG, ∠A=∠B, 所以△ACE≌△BDF(AAS). 所以EG=EC,因为△CBD≌△CEF,所以EF=BD,CE 因为EG垂直平分CD,所以DG=CG,DE=EC AE BF, =CB,所以EG=CB. 所以∠DCG=∠GDC,∠ACD=∠EDC. (iⅱ)CD的长为4. 又因为BC=AB+BD,所以EG=AB+BD=AC+ 所以∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC, (2)证明：(i)因为AD=BC,所以AD+DC=BC:EF,即FG+EF=AC+EF,所以AC=FG, 所以CE∥DG,DE∥GC, +DC,即AC=BD. 又因为AC∥FG,则∠HAC=∠HFG. 所以四边形DECG是平行四边形，数理极 专项提分 27 第十讲 (2)如图5，在三角 三角形 形纸片ABC中，AB= AC,∠B=20°，点D是 边BC上的动点，将三角 ⊙黑龙江武丽春 形纸片沿AD对折，使点 图5 第一部分 抢分前言 B落在点B'处，当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 由 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 考点3：三角形的中位线 基 三边 例4如图6，A,B两点被池塘隔开，A,B,C 概念 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 性质 推论1：三角形的一个外角等于 ;推论2：三角形的一个外角大于 三点不共线.设AC,BC的中点分别为M,N.若 MN=3米，则AB的长为 米 三角形的特性：三角形具有 性 解：由题易得MN是△ABC的中位线，因为 三角 MN=3米，所以AB=2MN=6米.故填6. 的 三角形的中线、角平分线、高 重 三角形的中住线定理： 段 性质：L.等腰三角形的 相等，简称 2.等腰三角形顶角的 互相重合.（简称 等腰 “三线合一”) 三角 形 3.等腰三角形是 图形 图6 图7 判定：1. 的三角形是等腰三角形.（定义） 的三角形是等腰三角形.（等角对等边） 跟踪训练3：如图7，把两根钢条0A,OB的 2. 个端点连在一起，点C,D分别是OA,0B的中点 性质：1.等边三角形的 相等， 相等 若CD=4cm,则该工件内槽宽AB的长为 2.等边三角形的每个内角都等于」 特殊 等边 度 3,等边三角形是 图形 cm. 角 三角 判定：l 的三角形是等边三角形.（定义） 2.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形 考点4：三角形的稳定性 3. 的三角形是等边三角形 例5如图8，钢架桥的设计中采用了三角 形的结构，其数学道理是 1.直角三角形的两锐角 直角 2.勾股定理： :勾股定理的逆定理」 解：其数学道理是三角形结构具有稳定性， 三角 形 3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的 故填三角形具有稳定性， 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 全等 性质：全等三角形的 相等 相等 三角 判定：1. 2 形 3. .4. 第二部分 抢分培训 图8 图9 跟踪训练4：王师傅用6根木条钉成一个六 考点1：三角形的三边关系 ∠P0F=∠2=30°，所以∠3=∠P0F+边形木架，如图9，要使这个木架不变形，他至少 ∠BF0=55°.故填55°. 还要再钉上木条的数量为 () 例1若一个三角形的边长均为整数，且两 边长分别为3和5，则第三边的长可以为 例3 如图3，a∥b,直 A.0根 B.1根 C.2根 D.3根 (写出一个即可). 线I与直线a,b分别交于B 考点5：等腰（边）三角形 解：设第三边的长为x,则有5-3<x<5+ A两点，分别以点A,B为圆 例6如图10，在 3.即2<x<8,因为该三角形的边长均为施数，心，大于4B的长为半径画 △ABC中，若AB=AC,AD 图3 所以第三边的长可以为3,4,5,6,7.故填4（答案 =BD,∠CAD=24°，则 不惟一) 弧，两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线 ∠C= 跟踪训练1：如图1， a,b于点C,D,连接AC,若∠CDA=30°，则 解：因为AB=AC,AD 图10 AB=3,AD=2,BC=1, ∠CAB的度数为 =BD,所以∠B=∠C,∠B=∠BAD,所以∠B CD=5,则线段BD的长 解：由作图可知EF为线段AB的垂直平分 =∠C=∠BAD. 度可能是 线，所以AC=BC,所以∠CAB=∠CBA,∠ACD 因为∠B+∠C+∠BAC=180°，所以∠B A.3.5 B.4 =∠BCD.因为a∥b,所以∠CDA=∠BCD=+∠C+∠BAD+∠CAD=180°，即3∠C+24° C.4.5 D.5 30°，所以∠ACD=∠BCD=30°，因为∠ACD+=180°，所以∠C=52°.故填52° 考点2：三角形的外角与内角和定理 ∠BCD+∠CAB+∠CBA=180°，所以∠CAB= 例7如图11，在菱 例2如图2，一束平行 60°.故填60 形ABCD中，AC,BD为菱 于主光轴的光线经凸透镜 跟踪训练2：(1)如图4， 形的对角线，∠DBC 折射后，其折射光线与一束 将一副直角三角板重叠摆放， 60°，BD=10,点F为BC 经过光心O的光线相交于 其中∠B=30°，∠CDE= 的中点，则EF的长为 点P,点F为焦点.若∠1= 45°，且DE⊥AB于点D,交BC 155°，∠2=30°，则∠3的度数 于点F,则∠DCF的度数为 解：因为在菱形ABCD中，AC,BD为菱形的 解：因为AB∥OF,所以∠1+∠BFO= 图4 对角线，所以AB=AD=DC=BC. 180°，因为∠1=155°，所以∠BF0=25°.因为 A.75° B.55 C.35 D.15 (下转第28版) 28 专项提分 数理极 (上接第27版) 的长为 合题意故选D 因为∠DBC=60°，所以△BDC是等边三角 (2)如图17，在Rt△ABC 例12如图21，∠ACB B 形，因为BD=10,所以DC=BD=10. 中，∠ACB=90°，CD是AB边 b =90°，AC=BC,BE⊥CE 因为E是BD的中点，F为BC的中点，所以： 上的中线，将△ACD沿CD折 AD⊥CE于点D,AD=2cm, BF=DC=5.故填5. 叠，当点A落在点A'处时，恰好 BE=0.5cm,则DE的长为 CA'⊥AB,若BC=2,则CA'= 图17 () 跟踪训练5：(1)如图12，在 A.0.5 cm B.I cm △ABC中，AB=AC,AB的垂直平 图2 考点7：勾股定理 C.1.5 cm D.2 cm 分线交AC于点D,交AB于点E, 连接BD,若AB=5,BC=3,则 例10将一副直角 解：因为BE⊥CE,AD⊥CE,所以∠ADC= △BDC的周长为 三角板和一把宽度为2cm ∠CEB=90°.因为∠ACB=90°，所以∠CAD= (2)用一块等边三角形的硬 的直尺按如图18方式摆 ∠BCE. 图12 放：先把60°和45°角的顶 在 △ACD 和 △CBE 中 图18 纸片（如图13-①）做一个底面为等边三角形且 点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直 ,∠ADC=∠CEB 高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图13- 尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个 ∠CAD=∠BCE,所 以 △ACD ②)，在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边 AC CB. 形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为 三角板的斜边分别交直尺上沿于A,B两点，则 AB的长是 ( △CBE(AAS). B.(25-2)cm 所以AD=CE=2cm,CD=BE=0.5cm, A.(2-5)cm 所以DE=CE-CD=L.5cm.故选C. C.2 cm D.2./3 cm 跟踪训练8：(1)如图 解：如图18，在Rt△ACD中，∠ACD=45°， 22,点A,B,C,D在同一条直 CD=2cm,所以∠CAD=45°，所以AD=CD= 线上，点E,F分别在直线AB 2 cm. 2 的两侧，且AE=BF,∠A= 图13 在RI△BCD中，∠BCD=60°，所以∠CBD ∠B,∠ACE=∠BDF. 考点6：直角三角形的性质 = 30°，所以BC=2CD=4cm,所以BD= (i)求证：△ACE≌△BDF: 例8如图14，在 √BC2-CD=25cm,所以AB=BD-AD= (iⅱ)若AB=8,AC=2,求CD的长 RL△ABC中，∠C= (25-2)cm.故选B. 90°，BC<AC.点D,E 跟踪训练7：第二十四届国际数学家大会会 分别在边AB,BC上，连 徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵 接DE,将△BDE沿DE 14 爽的“弦图”.如图19，在由四个全等的直角三角 折叠，点B的对应点为点B,若点B'刚好落在边形（△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中间一个 AC上，∠CB'E=30°，CE=3,则BC的长为 小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中， ∠ABF>∠BAF,连接BE.设∠BAF=a,∠BEF 解：由折叠的性质得B'E=BE =B,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之 在R1△ABC中，∠C=90,BC<AC,比为1：，lana=am2B,则n= ∠CB'E=30°，CE=3,所以B'E=BE=2CE= 6,所以BC=CE+BE=3+6=9.故填9. 例9如图15，菱形 ABCD的对角线AC与BD (2)如图23，已 相交于点O,E为边BC的中 知点A,D,C,B在同 点，连接0E.若AC=6,BD 图19 一条直线上，且ADA 图2 A.5 B.4 C.3 D.2 BC.AE BF.CE =8,则0E=( 考点8：全等三角形的判定与性质 DF. A.2 B 例11 如图20，点 (i)求证：AE∥BF; C.3 D.4 E,F在BC上，BE=CF (ⅱ)若DF=FC时，求证：四边形DECF是 解：因为在菱形ABCD中，AC=6,BD=8, ∠B=∠C,添加一个条 菱形 所以AC⊥BD,OC= AC=3,0B=BD=件，不能证明△MBF≌ △DCE的是 ( 图20 4,所以由勾股定理得，BC=√OB+OC=5. A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC 因为E为边BC的中点，所以0=BC- C.AB DC D.AF DE 子故选B 解：因为BE=CF,所以BE+EF=CF+ EF,即BF=CE 跟踪训练6：(1)如图16 因为∠B=∠C,所以当∠A=∠D时，利用 在△ABC中，∠ABC=60°，AB AAS可得△ABF≌△DCE,故A不符合题意：当 =9,点D为AB边上一动点，点 ∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌ E在AC边上，DE∥BC,将 △DCE,故B不符合题意；当AB=DC时，利用 △ADE沿DE翻折，点A的对应 图16 SAS可得△ABF≌△DCE,故C不符合题意；当 点为F,连接BF.当△BDF为直角三角形时，ADAF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE,故D符 数理招 专项提分。 29 第三部分 《三角形》 16.(10分)如图15，在Rl△ABC中，D为斜 抢分演练 边AC的中点，E为BD上一点，且AE=AD,F为 CE的中点. ○数理报社试题研究中心 (1)求证：∠ADE=∠EDF: (2)若DF=2,求BD的长 (满分：120分 时间：90分钟) CD=4,点M在边BC上，BM=2,点N是CD的 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 中点，若点P为AB上任意一点，则PM+PN的最 题号12 345678 小值为 ( 答案 A.25+2 B.2万+2 1.若某三角形的三边长分别为3,4，m,则m C.25-2 D.2万-2 的值可以是 ( 二、细心填一填（每小题5分，共30分） A.1 B.5 C.7 D.9 9.如图8，已知∠ABC=50°，点D在BA上 2.如图1，在△ABC中，点D,E分别是AB,以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点E, AC的中点，且∠1=70°，∠B=50°，则∠A的度连接DE,则∠BDE的度数是 度 17.(10分)如图16，在△ABC中，∠CAB= 数为 75°，∠B=60°，AE⊥BC于点E,CD⊥AB于点 A.409 B.50° C.609 D.709 D,AE,CD交于点F (1)求证：EF=EB: (2)若CE=6,求△ACF的面积 图8 10.如图9，在△ABC中，AD是BC边上的 图) 高，E,F分别是AB和AC的中点，且3DF=2EF 3.在“自动化立体库”中有许多几何元素， 若AC=8,则BC的长为 其中有一个等腰三角形模型（示意图如图2所 11.如图10，在口ABCD中，O为BD的中点， 示)，它的顶角为120°，腰长为12m,则底边上的EF过点0且分别交AB,CD于点E,F.若AE= 高是 ()10,则CF的长为 A.4m B.6m C.10m D.12m 4.如图3，在 18.(10分)如图17，在△ABC中，∠B= △ABC中，∠CAD ∠C=a(0°<a<45),AM⊥BC于点M,D是 90°，AD=3,AC=4, 线段MC上的动点（不与点M,C重合），将线段 BD=DE=EC,点F DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE. 图10 是AB边的中点，则DF= (1)如图17-①，当点E在线段AC上时，求 12.如图11，边长为2的等边△ABC的两个 证：D是MC的中点； A是 B.5 顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动，若 C.2 D.1 OM⊥ON,则OC的最大值是 (2)如图17-②，若在线段BM上存在点 5.如图4，EF是△ABC F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连接AE, 13.如图12，分别以△ABC的边AC和AB向 的中位线，BD平分∠ABC交 外作等腰Rt△ACE和等腰Rt△ABD,点M,N分 EF,直接写出∠AEF的大小，并证明. EF于点D,若AE=3,DF= 别是BC,CE的中点，若MN=25,则四边形 1,则边BC的长为() BCED的面积为 A.7 B.8 图4 C.9 D.10 6.如图5，在 17 Rt△ABC中，AB=4,点 M是斜边BC的中点，以 AM为边作正方形 图12 图13 AMEF,若SE方形MEr= 14.如图13，线段AB=8,点C是线段AB上 16,则SA8c= )的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120°得到 19.(12分)如图18，∠A=90°，AB=AC, A.43B.85 C.12 BD⊥AB,BC=AB+BD. D.16 线段BD,连接CD,在AB的上方作Rt△DCE,使 7.如图6，在△ABC中，AC=AB,∠BAC=∠DCE=90°，∠E=30°，点F为DE的中点，连 (1)写出AB与BD的数量关系： 90°，BD平分∠ABC,与AC相交于点F,CD⊥接AF,当AF最小N时，△BCD的面积为 (2)延长BC到点E,使CE=BC,延长DC到 BD,垂足为D,交BA的延长线于点E,AH⊥BC 三、耐心解一解（共50分） 点F,使CF=DC,连接EF求证：EF⊥AB; 交BD于点M,交BC于点H,下列选项不正确的 15.(8分)如图14，在△ABC和△ADE中， (3)在(2)的条件下，作∠ACE的平分线， 是 交AF于点H,求证：AH=FH. () 延长BC交DE于F,BC=DE,AC=AE,∠ACF A.∠E=67.5° B.∠AMF=∠AFM :+∠AED=180°.求证：AB=AD. C.BF =2CD D.BD AB +AF 图6 8.如图7，∠A=30°，∠B=60°，AB=8,点 C,D分别在∠A,∠B的另一边上运动，并保持