第九讲 二次函数-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理极 专项提分。 第九讲 二次函数 ⊙山西魏丽敏 第一部分 抢分前言 定义 一般地，形如 的函数叫做二次函数。 (1)-般式： 关系式 (2)顶点式： [a≠0，(h,k)是抛物线的顶点坐标]； (3)交点式： (a≠0，x1,x是抛物线与x轴交点的横坐标) 图象：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是 一，它是 图形. 性质：(1)抛物线的开口方向由a确定，当a>0时，开口 ;当a<0时，开口」 (2)抛物线的对称轴是直线x= (3)抛物线的顶，点坐标是( 图象 二次函数 及性质 (4)若a 一0，当=名时，y有最小值，为 ;若a 0,当=时， y有最大值，为」 (5)当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 ,在对称轴右侧，y随x的增大而 ;当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而 _,在对称轴右侧，y随x的增大 而 图象的 确定平移后抛物线关系式的最好方法是选用顶点式，根据 ”的口诀进行计算. 平移 对于二次函数y=ax2+x+c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次 与一元二次 方程.当y=0时，a2+m+c=0,此时方程的解就是抛物线与x轴交点的 方程的联系 由此我们可利用二次函数的图象求一元二次方程的 或根的范围 第二部分 抢分培训 考点1：二次函数的基本特征 :的交点应该在y轴的负半轴上， 例1二次函数y=-(x+1)2+2图象的 所以选项A和D不符合题意； 顶点所在的象限是 选项B和C中，抛物线的对称轴为直线x= -b 2a A.第一象限 B.第二象限 >0, C.第三象限 D.第四象限 因为b>0,所以a<0, 解：因为y=-(x+1)2+2,所以顶点坐标 所以抛物线开口向下，所以选项B不符合题 为(-1,2)，所以顶点在第二象限故选B. 意故选C 例2已知二次函数y=2x2-4x+5,当函 跟踪训练2：下列图象中，当ab>0时，函数 数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 y=ax2与y=ax+b的图象是 A.x<1B.x>1C.x<2D.x>2 解：因为y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3, 函数图象开口向上，对称轴为直线x=1, 所以x>1时，函数值y随x的增大而增大， 考点3：二次函数图象的平移 故选B. 跟踪训练1：已知二次函数y=a(x-h)2+ 例4在平面直角坐标系中，将二次函数y k(a>0),其图象过点A(0,2),B(8,2),则h的 =(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再 :向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数 值应该是 ( A.6 B.5 C.4 D.3 :表达式为 () 考点2：二次函数的图象 A.y=(x+3)2+2B.y=(x-1)2+2 C.y=(x-1)2+4D.y=(x+3)2+4 例3已知二次函数y=ax2+bx-c(a 0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 解：由二次函数y=(x+1)2+3的图象向右 平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所 得抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)2+2. 故选B. 跟踪训练3：将二次函数y=x2的图象先向 下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度， 解：对于二次函数y=ax2+bx-c(a≠0)， 得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共 令x=0,则y=-,所以抛物线与y轴的交点坐点，则实数b的取值范围是 () 标为(0，-c), A.b>8 B.b>-8 因为c>0,所以-c<0,所以抛物线与y轴 C.b≥8 D.b≥-8 21 考点4：二次函数的基本性质 例5已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+ 3(a≠0)，下列说法正确的是 A.点(1,2)在该函数的图象上 B.当a=1且-1≤x≤3时，0≤y≤8 C.该函数的图象与x轴一定有交点 D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在 直线x=号的左侧 解：因为y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0)， 当x=1时，y=a-(3a+1)+3=2-2a, 因为a≠0，所以2-2a≠2，所以点(1,2) 不在该函数的图象上，故A选项错误； 当a=1时，y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x=2,所 以抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 因为-1≤x≤3,1-1-21>|3-21>12 -21,所以当x=-1时，y有最大值为(-1-2)2 -1=8,当x=2时，y有最小值为-1，所以-1 ≤y≤8，故B选项错误； 因为4=[-(3a+1)]2-4×3a=9a2- 6a+1=(3a-1)2≥0，所以该函数的图象与x 轴一定有交点，故C选项正确； 当a>0时，抛物线的对称轴为直线x= 3a+1=3 2a +六>子，所以该函数图象的对称 +2a 轴一定在直线x=弓的右侧，故D选项错误，故 选C. 跟踪训练4：如图1，二次函 数y=ax2+x-6的图象与x轴 交于A(-3,0),B两点，下列说 A O B 法正确的是 () A.抛物线的对称轴为直线x =1 图1 B抛物线的顶点坐标为(-？，一6) C.A,B两点之间的距离为5 D.当x<-1时，y的值随x值的增大而增大 考点5：二次函数与一元二次方程 例6抛物线y=x2-6x+c与x轴只有一 个交点，则c= 解：因为抛物线y=x2-6x+c与x轴只有 一个交点，所以△=b2-4ac=(-6)2-4c=0, 解得c=9.故填9. 跟踪训练5：二次函数y=x2+3x+n的图象 与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 (填一个值即可) 考点6：二次函数的图象与系数的关系 例7已知抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)的部分图象如 1 图2所示，则下列结论中正确的 是 A.abe <0 图2 B.4a-2b+c<0 C.3a+c=0 D.am2+bm+a≤0(m为实数) (下转第22版) 22 专项提分 数理极 (上接第21版) 考点8：二次函数综合题 解：因为抛物线开口向上，与y轴交于负半 . 例9如图6，抛物线y= 轴，所以a>0,c<0,因为抛物线对称轴为直线 如图7，设Q(0,n),过点 x=1,所以-多=1，所以6=-2a<0,所以c a2+氵：+c与x轴交于点A和 M作MN⊥x轴于点N,由题 2a 点B(3,0),与y轴交于点C(0 意知∠QBM=90°，所以 >0,故A选项错误，不符合题意； 4),点P为第一象限内抛物线上Ao ∠QB0+∠MBN=90°， 因为当x=4时，y>0,抛物线对称轴为直 的动点，过点P作PE⊥x轴于点 因为∠QB0+∠OQB= 线x=1,所以当x=-2时，y>0,所以4a-2b 图7 E,交BC于点F. 90°，所以∠OQB=∠MBN +c>0,故B选项错误，不符合题意； (1)求抛物线的表达式： 又因为∠QOB=∠BNM=90°，BQ=BM, 因为当x=3时，y=0,抛物线对称轴为直 线x=1,所以当x=-1时，y=0,所以a-b+ (2)当△BEF的周长是线段PF长度的2倍所以△BQ0≌△MBN,所以OQ=NB,B0= 时，求点P的坐标； c=0,又因为b=-2a,所以3a+c=0,故C选 MN,所以M(3+n,3), (3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y 项正确，符合题意； 设直线QM的表达式为y='x+n,则'(3 轴上的动点，连接BQ,过点B作直线1⊥BQ,连 因为抛物线对称轴为直线x=1,且抛物线 开口向上，所以抛物线的最小值为a+b+c=a 接OF并延长交直线1于点M当0=M时，请+a)+a=3,解得”=：么所以直线OM的 3+n 直接写出点Q的坐标 -2a+c=-a+c,所以am2+bm+c≥-a+c, 解：(1)将B(3,0),C(0,4)代入y=ax2+ 表达式为)=了+员+a, 所以am2+bm+a≥0，故D选项错误，不符合题 意.故选C. 3t+c, 名点r1,号)代入，号+a=号解得 跟踪训练6：抛物线y= 8 ax2+bx+c(a,b,c为常数)的 可得 32×a+ ×3+c=0,解得n= 3+ 或n=-所以00， 3 部分图象如图3所示，设m=a =4 -b+c,则m的取值范围是 46)或(0，-46) 3 3-3 图3 跟踪训练8：如图8-①，二次函数y=ax2+ C三4 考点7：二次函数的实际应用 bx+4的图象经过点A(-4,0),B(-1,0) 例8如图4-①，在一次“水门礼”（寓意 所以抛物线的表达式为y= +x+ 3 “接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪)的预 :4 演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两 (2)因为B(3,0),C(0,4),所以0B=3,0C 条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如 图4-②，当两辆消防车喷水口A,B的水平距离 =4,所以tan∠0BC= 所以B=F,BF 为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇 =EF,所以△BEF的周长=BE+BF+EF= 5 图8 此时相遇点H距地面20米，喷水口A,B距地面 (1)求二次函数的表达式； 均为4米.若两辆消防车同时后退10米，两条水 3EF. 柱的形状及喷水口A',B到地面的距离均保持 因为△BEF的周长是线段PF长度的2倍， (2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP 不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面所以2PF=3EF.易求得直线BC的表达式为y 的面积为5时，求点P的坐标； 米 、 3t+4. (3)如图8-②，小明认为，在第三象限的抛 物线上有一点D,使得∠DAB+∠ACB=90°；请 H B 设P,-+；+4),则F4,- t+判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D 3 的坐标；如果不正确，请说明理由， 4),E,0),所以EF=-手+4，PF=- 42+ ② 图4 解：由题意可知，A(-40,4),B(40,4), +4-(-+4=-+4 H(0,20), 设抛物线表达式为y=ax2+20,将A(-40, 所以3×(-子+=2x(-学+4， 4)代人得4=(-40)a+20,解得a=0所解得4=4=3（合）。 3 以y=-10+20,消防车同时后退10米，即抛物 所以-++4=号×(+号× 线y=二0+20向左（右）平移10米 子+4=5，所以P子5)， 所以平移后的抛物线表达式为y= 42 ,8 (x+10+20,令x=0,解得y=19.故填19 (3)因为y=-++4=-(x 100 跟踪训练7：如图5， A D 1)2+华，所以当x=1时y取最大值9，所以 王叔叔想用长为60m的 P1,9. 栅栏，再借助房屋的外 图5 4 墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够 因为直线BC的表达式为y=-3+4,所 长，当矩形ABCD的边AB= 一m时，羊圈 4 的面积最大 以当x=1时，y= 8 3 ×1+4= 3,所以F(1, 数理极 专项提分 第三部分 《二次图数》抢分演练a ©数理报社试题研究中心 （满分：120分 时间：90分钟) :关系图象（点M为图象的最高点），则平行四边 一、精心选一选（每小题5分，共40分） :形ABCD的面积为 题号1 2 3 4 5 6 7 8 v/m 答案 1.抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是 A.(9,3) B.(9,-3) 图3 C.（-9,3) D.(-9,-3) A.12m2 B.123m 2.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度，再 C.24m2 D.24√3m2 向上平移4个单位长度，得到的物线是() A.y=(x-3)2+4B.y=(x+3)2+4 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 9.如图4，二次函数与x轴交点坐标为(-1， y=(x+3)-4D.y=（x-3)-40),(2.0)当y<0时，x的取值范围品 3.某农户要改造部分农田种植蔬菜，经调 查，平均每亩改造费用是900元，添加辅助设备 费用（元）与改造面积（亩）的平方成正比，比例 系数为18，每亩种植蔬菜还需种子、人工费用 600元，若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造 农田x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的 图5 数量关系可列式为 10.已知抛物线y=ax2+bx+c上部分点的 A.y=7000x-(900x+18x+600x) 横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： B.y=7000x-(900x+18x2+600x) -10234. C.y=7000-(900x+18x2+600x) y…522510… D.y=7000x-(900x+18x2+600) 如果点(-2，m)在此抛物线上，那么m= 4.二次函数y=2x2-3x-c(c>0)的图象 与x轴的交点情况是 ) 11.如图5，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相 A.有1个交点 B.有2个交点 交于点A(1,0),点B(3,0),与y轴相胶于点C,点 C.无交点 D.无法确定 :D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD= 5.已知抛物线y=-x2+2x+c,若点(0， 12.如图6，要修一个圆形喷水池，在池中心 ),(1,y2),(3,y)都在该抛物线上，则，2，竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头， y3的大小关系是 ( ）使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 A.y3>y1>y2 B.y3<y2<y1 为1m处达到最高，高度为3m,水柱落地处离池 C.ys >y >y D.y3<y1<y2 中心3m,水管长度应为 6.如图1，抛物线y=ax2+c经过正方形 OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上，则ac的 值为 :3m A.-1 B.-2 C. -3 D 1 m 图6 图7 13.如图7，物线y=-x2+4x+5与x轴交于 A,B两点（点A在B的左边），与y轴交于点C,点D为 此物线上的一动点(，点D在第一象限)，连接BD 1 7.如图2，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与 CD,四边形OBDC面积的最大值为 x轴交于点A,B,与y轴交于点C,对称轴为直线x 14.在平面直角坐标系x0y 三：1，若点A的坐标为(-4,0)，则下列结论正中，一个图形上的点都在一边 确的是 )平行于x轴的矩形内部（包括 A.2a+b=0 :边界)，这些矩形中面积最小的 B.4a-2b+c>0 矩形称为该图形的关联矩形. C.x=2是关于x的一元二次方程ax2+r例如：如图8，函数y=(x 图8 +c=0(a≠0)的一个根 2)2(0≤x≤3)的图象（抛物线中的实线部分）， D.点(x1),(x232)在抛物线上，当x> 它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y= x2>-1时，y1<y2<0 +6:+e(0≤≤3)图象的关联毛形拾好也 8.如图3-①，在平行四边形ABCD中， ∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以1m/s的是矩形0ABC,则b= 速度从点A向点B运动，点Q在边BC上，以 三、耐心解一解（共50分） 15.(8分)已知二次函数y=2x2+bx+c的 万m/s的速度从点B向点C运动若点P,Q同图象经过点A(0,-6),B(1,-8).求该二次函 时出发，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C数的表达式 处，此时两点都停止运动.图3-②是△BPQ的 面积y(m)与点P的运动时间t(s)之间的函数 23 16.(10分)晨光中学课外活动小组准备围 建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三 边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米 (如图9所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的 长为x米 (1)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间 的函数关系，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当矩形场地的面积为100m2时，求垂直 于墙的一边的长 18米 苗國国 图9 17.（10分)已知二次函数y=-3x2+6x+9. (1)用配方法把二次函数y=-3x2+6x+9 化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)如果将该函数图象向右平移2个单位长 度，所得的新函数的图象与x轴交于点A,B(点A 在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,求四边 形DACB的面积， 18.(10分)“端午节”吃粽子是中国传统习 俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽 子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于 50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经 验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为 500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少 10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒. (1)当x=60时，p= (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润 W(元)最大？最大利润是多少？ 19.(12分)如图10，抛物线y=-72+x +c与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点 C(0,4),点E在抛物线上. (1)求抛物线的表达式； (2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y 轴，交BC于点F,作EH∥x轴，交抛物线于点H, 点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩 形EFGH,当矩形EFGH的周长为I1时，求线段 EH的长； (3)点M在直线AC上，点N在平面内，点E 不在x轴下方，当四边形OEVM是正方形时，请 直接写出点N的坐标 图10 备用图 24 专项提分。 数理极 第三部分 好落在灯孔P处，求tan∠DCB的值 《二次函数 》抢分演练(a) 个/m 个/m ○数理报社试题研究中心 （满分：120分时间：90分钟) :则m的值为 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 10.如图4，一名学生推铅球，铅球行进高度 图7 题号12 3 4 5 6 78 y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系 答案 是y= 12x-10)(x+4),则铅球推出的距离 1.已知抛物线y=(2-a)x+1有最低点，O4= m 那么a的取值范围是 17.(10分)如图8，正方形纸片ABCD的边 A.a>0 B.a<0 Y/m 长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四 C.a>2 D.a<2 边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积 2.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0) 为y. 和点(-3,0)，则该抛物线的对称轴为（ (1)求y关于x的函数表达式； 图4 5 A.y轴 B.直线x=-1 (2)当AE取何值时，四边形EFGH的面积 C.直线x=-2 D.直线x=2 11.将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单 为10？ 3.如图1是二次函数y 位长度，再向右平移 个单位长度后，得 =ax2+bx+c和一次函数y2 到的新抛物线经过原点， =mx+n的图象，观察图象 12.已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经 写出当y2≥y,时，x的取值范 过A(2n+3,y),B(n-1,y2)两点，若A,B分别 位于抛物线对称轴的两侧，且y<2,则n的取 围为 ( 值范围是 A.x≥0 B.0≤x≤1 13.如图5，抛物线y=子2-4与x轴交于 C.-2≤x≤1 A,B两点，P是以点C(0,3)为圆心，2为半径的 D.x≤1 圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ,则线 18.(10分)如图9，抛物线y=2-x+a 4.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 段0Q的最小值是 10米/秒，经过t(秒)时球距离地面的高度 与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其顶点纵坐 14.如图6，抛物线y=x2 h(米)适用公式h=10t-52,那么球弹起后又 标为-2. 6x+5与x轴交于点A,B,与y轴 回到地面所花的时间（秒）是 (1)求a的值； ( 交于点C,点D(2,m)在抛物线 A.5 B.10 C.1 D.2 (2)求A,B两点的坐标； 上，点E在直线BC上，若∠DEB 5.已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x (3)以AC,CB为一组邻边作口ACBD,则点 =2∠DCB,则点E的坐标是 -3-m=0的解为x1,x,(x<x2）.关于x的方 D关于x轴的对称点D,是否在该抛物线上？请说 图6 程x2+2x-3-n=0的解为x3,x4(x3<x4),则 明理由. 三、耐心解一解（共50分） 下列结论正确的是 15.(8分)在平面直角坐标系中，抛物线y A.x3<x1<x2<x4B.x1<x3<x4<x2 ax(x-6)+1(a≠0)的顶点为A,与x轴相 C.x1<2<3<x4D.x3<x4<x1<为 交于B,C两点(C点在B点的右侧) 6.抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx (1)判断点(0,1)是否在抛物线y=ax(x 交于A(x1,y),B(x2y2)两点，若x+x2<0,则6)+1(a≠0)上，并说明理由； 直线y=ax+k一定经过 ( (2)若点A到x轴的距离为5，求a的值， A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 19.（12分)如图10，在平面直角坐标系中， 7.如图2是一款抛物 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(-1, 线型落地灯筒示意图，防 0)和B(0,3),其顶点的横坐标为1. 滑螺母C为抛物线支架的 1.5 (1)求抛物线的表达式； 最高点，灯罩D距离地面 (2)若直线x=m与x轴交于点N,在第一象 1.5米，最高点C距灯柱的 限内与抛物线交于点M,当m取何值时，使得AW 水平距离为1.6米，灯柱 图2 +MN有最大值，并求出最大值； AB为1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶 16.(10分)如图7-①，一个圆形喷水池的 (3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠ 几到灯柱的距离AE为 ( A.3.2米 中央竖直安装了一个柱形喷水装置04，A处的喷0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单 B.0.32米 C.2.5米 D.1.6米 头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛位长度后，Q为平移后抛物线上一动点.在(2) 物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流的条件下求得的点M,是否能与A,P,Q构成平行 8.如图3，直线y=kx+c i=1 喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系 四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成， 与抛物线y=ax2+bx+c的图 象都经过y轴上的D点，抛物 式是y=-2+2x+子(x≥0) 请说明理由. B C 线与x轴交于A,B两点，其对 (1)柱子OA的高度是多少米？若不计其他 称轴为直线x=1,且OA= 图3 因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的 OD.直线y=kx+c与x轴交于点C(点C在点B水流不至于落在池外？ 的右侧)，则下列选项正确的是 (2)如图7-②，为了吸引更多的游客前来 A.abe >0 B.3b 2c 参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光 C.a+b =k D.-1<ac+k<0灯的底座为Rt△BCD,其中BC边在地面上，点C 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 离柱子的距离为2.1m,∠CBD=90°，灯孔P在 9.已知二次函数y=-ax2+2ax+3(a> 0),若点P(m,3)在该函数的图象上，且m≠0， CD边上，灯孔P离地面的距离为m,若水流恰34 参考答案 数理极 4,所以点P的坐标为(2,5)或（号，4）. 因为点P是反比例函数y=三(x>0)的图象上的 三、15.二次函数的表达式为y=2x2-4x-6. 16.(1)设平行于墙的一边长为y米，则有y=30 《反比例函数》抢分演练 点.所以P9,宁) 2 因为0<y≤18，即0<30-2x≤18，所以6≤x< 《二次函数》跟踪训练 15,所以S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x. 题号12345678 (2)由(1)可得-2x2+30x=100, 答案DACCDBAB 1.C;2.D:3.D;4.C:5.-3(答案不惟一)： 解得x1=5,x2=10, 6.-4<m<0:7.15. 二、9.>； 10.20:11.1023 128；12.6 因为6≤x<15,所以x=10. 8.(1)抛物线表达式为y=x2+5x+4. 答：垂直于墙的一边长为10米 1By=8:4或号 (2)由抛物线y=x2+5x+4可知，其对称轴为直线 17.(1)二次函数的顶点式为y=-3(x-1)2+12, 号c04 函数图象开口向下，对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1， 三、15.(1)m=2,反比例函数的表达式为上= 12). 设直线BC的表达式为y=kx+c,将B(-I,O), (2)平移后的新抛物线的表达式为y=-3(x-3) (2)当x<-1或0<x<3时，y>2 C(0,4)代人并解得=4：所以直线BC的表达式为y 1c=4, +12,得到顶点D(3,12),当y=0时，由-3(x-3)2+12 =0,得x1=1,=5,即点A(1.0),B(5,0),所以AB= 16.(1)加与：的函数关系式是。=600， =4x+4, 4,当x=0时，得y=-15,所以点C(0,-15),所以四边 此时，如图4所示，作PQ∥x 因为60≤v≤120，所以t的取值范围为5≤t≤10. 轴，交BC于点Q, 形DACB的面积=S么en+SAac=之X4×12+之× (2)由题意得到6≤1≤7.5，当t=6时，：=600 因为点P在二次函数对称轴 4×15=54. 1四，当1=75时-架=0，由图象可知：随首1的 上，所以设P(- 三m),则 18.(1)400 (2)由题意，得W=p(x-40)=[500-10(x 增大而减小，所以80≤≤100，即客车行驶速度的取 Q(m-4 4 m),所以PQ=1m-4 50)](x-40)=-10x2+1400.x-40000=-10(x-70)2 4 值范围为80≤v≤100. 图4 +9000. 17.(1)一次函数的表达式为y=2x+2.作图略. (-之)1=1m4,所以5ac= A 又因为p≥350，即500-10(x-50)≥350，解得x (2)SA=12 2P0(c-a)=1m1, ≤65， 18.(1)k=2,m=12 2 因为-10<0，所以当x=65时，W最大，最大值为 (2)由(1)得反比例函数的表达式为y=2,令x= 因为S。p=5,所以1m+61=5,解得m=4或m 8750. 所以当每盒售价定为65元时，日销售利润W最大， 0,则y=2x+2=2,所以点B(0,2) =-16,所以点P的坐标为(-多4)或(-子-16 最大利润是8750元 设点D(a,2a+2),则点E(a,2),因为以B,D,E,0 (3)正确，(-号，-马)，理由如下： 8 19.()抛物线的表达式为y=-之2+x+4 为顶点的四边形为平行四边形，所以DE=OB=2, (2)因为点B(4,0)和C(0,4),设直线BC的表达式 所以12a+2-二1=2，整理得2a+2-2=2或 设AC与对称轴交点为K,对称轴与x轴交点为H,连 为y=kx+4,则0=4k+4,解得k=-1, a a 接BK,延长AD与对称轴交于点M, 所以直线BC的表达式为y=-x+4, 2a+2-2=-2, 由题可得OA=OC=4,∠AOC=90°，所以∠CA0 =45°，AC=42 设E(x,-++4),且0<x<4,则，- 由2a+2-2=2得2a2+2a-12=2a,解得a= 根据抛物线的对称性可得，AK=BK,所以∠KAB= 4),所以EF=- ∠KBA=45°，∠AKB=90°， +x+4-(-x+4)=-+ ±√6， 因为AB=3,所以AK=BK=32,所以CK=4C 2x, 因为a>0,所以a=6,所以点D(6,26+2): 1 因为抛物线的对称轴为直线x=- -=1 由2a+2-2=-2得202+2a-12=-2a,解得AK=5,2 2×(-2) a 2 a=±万-1， 所以H(2-x,-2+x+4),所以EH=x-(2-x)= 因为a>0,所以a=7-1,所以点D(7-1, ∠ACB=90°且∠DAB+∠ACB=90°，所以∠DAB= 2x-2, 27). 依题意得2(-+2x+2x-2)=11,解得x= 综上，点D的坐标为(6,26+2)或（万-1,2√7） ∠CBK,所以tan_DAB=am∠CBK=子，即在R△AW 5(舍去)或x=3,所以EH=4. 19.()反比例函数的表达式为y=是，点E的坐标 中册= （)点N的坐标为4,4或-子》 为(2 因为AH=-2 5 《二次函数》抢分演练(B卷) (2)因为点E的坐标为2，弓)，点B的坐标为(2,3)。 多所以M(-，- 点D的坐标(1,3)，所以BD=1,BE=号，BC=2 设直线AM的表达式为y=sx+t,将A(-4,0) 题号12345678 s= 答案DBCDBDAB M(- ，-)代人并解得 5 3 所以直线AM的 二、9.2；10.10；11.2或4：12.-1<n<0 3 20 2 = 3 所以FC=专，所以点F的坐标为(0，名)， 5 表达式为y=- 20 3-31 三、15.(1)点(0,1)在抛物线y=ax(x-6)+1(。 ≠0)上，理由略。 设直线FB的表达式为y=kx+b(k≠O),则 y=x2+5x+4, 8 [x=- 3 (2)因为y=ax(x-6)+1=a(x-3)2+1-9a, 2k+6=3, k= 2 联立 飞子9解得 或 所以直线FB的表达式为) (y 20 又因为点A到x轴的距离为5，所以当a>0时，1- 5 解得 b= 5 9 3 b=- 9=-5,解得a=子， 3 [x=-4(不合题意，舍去) 子+ Ly =0 当a<0时，l-9a=5解得a=-号， 阴以小明的说法正确，点D的坐标为(-；、-9)。 8 (3)过点P作PG⊥y轴于点G,由(2)可知，CF= 所以a=子或a=-手 3, 《二次函数》抢分演练(A卷) 7 16.(1)柱子01的高度为4m,水池的半径至少要 因为矩形OABC的顶，点A,C分别在x轴和y轴上，点 B的坐标为(2,3)，所以0A=2,0C=3,所以SE0m= 题号12345678 工+1)m才能使喷出的水流不至于落在池外 2 2×3=6, 答案DABBDBCC 因为Saer=SEnc,所以Saer=6,所以Saer= 二、9.-1<x<2；10.10；11.4； (2)灯孔P离地面的距离为；m,即点P的纵坐标 之×CF×PG=6,所以PG=9, 12.2.25m; 132 8147 为分，且点P在抛物线y=-+2x+子(c≥0)的图象 数理招 参考答案 35 上，所以当y=子时.即-2+2x+子=分解得无= 重点模块测评（二） 润为22100元， 即-0.01(x-1500)2+22500=22100,解得x1= 多=-（舍去）所以P(号， 1700,x2=1300; 题号1 2345678910 当一次销售量不低于1750千克时，均以某一固定价 过点P作PE⊥BC于点E,所以∠CEP=90 答案AAAAAACCDB 格销售，设此时函数表达式为y=kx, E(号，0， =1.-1<x<2:12.-3:13.(-子0： 由(2)知，当x=1750时，y=-0.01(1750- 1500)2+22500=21875,所以B(1750,21875), 因为点C离柱子的距离为2.1m,所以CE=OE 把B(1750,21875)代入表达式，得21875=1750k 0c=子m,且PE=m, 4：15- 解得k=12.5,所以y=12.5x 所以在△PCE中，m∠DCB=瓷=子 三、6，(m=多，直线B的函数表达式为y= 当y=22100时，解得x=1768 答：当一次性销售为1300或1700或1768千克时， 17.(1)因为在正方形纸片ABCD上剪去4个全等的 +3 利润为22100元 直角三角形，易证得四边形EFGH为正方形， (2)因为点P(t,y1)在线段AB上，点Q(t-1,2)在 五、22.(1)函数y3的表达式为y3=-2x+5,△PGH 在△AEH中，AE=x,AH=BE=4-x,∠A=90° 所以HE2=AE2+Af=x2+(4-x)2=2x2-8x+16, 直线y=2x-子上， 的面积为 所以正方形EFGH的面积y=HE=2x2-8x+16. (2)△PGH的面积不变，理由如下： 因为AE,AH不能为负，所以0≤x≤4，故y关于x的 所以=-子+3(0≤1≤2)4=21-）-号 因为4(m.0),B(m-a.0)=只=，所 函数表达式为y=2x2-8x+16(0≤x≤4). (2)令y=10,得2x2-8x+16=10,解得x1=1. =24-号，所以-=-子+3-(2-号)=- 1 4t以AB=a, =3,故当AE取1或3时，四边形EFGH的面积为10. 15 当x=m时，=匹=1，则E(m,1):当y=a时， m 180a=-号 因为k=-<0,所以-方的值随x的增大而减a=朵，解得x=只，则C(日)：当为=a时，a= (2)由(1)知，抛物线表达式为y=2-x- 3 小，所以当：=0时-为的最大值为号 m-4,解得x=m-a,则Hm-,a】 令y=0,得宁2-x-多=0，解得。-15 17.(1)波长A关于频率f的函数表达式为A=300 设一次函数y为的表达式为y3=kx+b1,将E(m, 3,所以A的坐标为(-1,0)，B的坐标为(3,0) (2)当f=75MHz时，此电磁波的波长入为4m. ),6ga)代入为=ke+4, (3)由y=宁--子，令=0，解得y 2 18.(1)b=1,抛物线的对称轴为直线x=1. [mh+=1, 解得{ m 所以c0,-子》 (2)因为点B(5,0),对称轴为直线x=1,所以 A(-3,0), g+=a, b1=1+a 因为四边形ACBD是平行四边形，A(-1,0),B(3, 所以点A先向上平移m(m>0)个单位长度，再向右 所以为品+1+a 0),c(0,- 子)，所以D2,2),又因为点D,是点D关于 平移n(n>0)个单位长度得点C(-3+n,m),点B先向 上平移m个单位长度，再向左平移3n个单位长度也得点 当x=0时，y3=1+a,则P(0,I+a),所以SarH= ￥轴的对称点，所以D,(2,一之). C(5-3n,m), 之×[g-m。]x(1+a-a0）=之，所以△PGH的 所以-3+n=5-3n,所以n=2,所以C的横坐标 面积不变. 当x=2时y=宁×2-2-子=-子所以点D 为-1， (3)直线PH与BC边的交点在函数y2的图象上，理 在抛物线上 把x=-1代人y=-之++受得y=6,所似由如下 19.(1)抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 设直线PH的表达式为y=kx+b2, C(-1,6) (2)因为M在抛物线上，所以设M(m,-m2+2m+ 四、19.(1)y=t+b能正确反映总水量y与时间t的 3) 将P0.1+a),H。2,a)代入y=k+,得 函数关系，y关于t的表达式为y=5t+2. 因为M在第一象限，所以MN=-m2+2m+3,AN= rb2=1+a, b2=1+a, (2)①当t=20时，y=5×20+2=102, m+1,所以AN+MN=-m2+2m+3+m+1=-m2+ m-akz +b a, ,所以y。 解得 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫 a-m +1+a, ②由表达式可知，每分钟的滴水量为5毫升，30天 所以当m=子时，AV+N有最大值为空 =30×24×60=43200(分钟)， 当x=m-a时，y=。“m×(m-a）+1+a=1, (3)由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,得向左平 可供-人饮水天数为9005：14（天）。 所以直线PH与BC边的交点坐标为(m-a,1), 移后的抛物线为y=-2+4,由(2)知M(号，只)， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供 当x=m-a时，为=m-C=1,所以直线PH与BC m-a A(-1,0),设P(1,r),Q(x0yo),假设存在以A,P,Q, 人饮用144天 边的交点在函数y2的图象上. M为顶点的平行四边形. 20()反比例函数表达式为y=是 23.(1)该抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3. 1+立1解得 3 (2)取点M(-2,1),N(-2,-1),连接MN,BM ①当以AM为对角线时，得一2 （2)因为点A的碳坐标为2，所以：号4，即 BV,MN交x轴于点P,则∠BOC=∠MPB=∠NPB= 2 0°，OB=PM=PN=1,OC=BP=3, A(2,4),则C(-2,4), x0=-2 因为直线y=2x+b过点C,所以-4+b=4,所以 所以△BOC≌△MPB,△BOC≌△NPB,所以 ∠BCO=∠MBA=∠NBA,所以点G为直线BM或直线 因为0在物线y=-2+4上所以o=早所以6=8所以店线为y:2+8,所以=是 BN与抛物线的交点.易求得直线BM解析式为y= Q的坐标为(-之)： y=2x+8, 3+3,联立 =-子+分解得任人或 解得=-2+25或=-2-25。 =0 y=x2+2x-3, 1+ y=4+42 y=4-42, 1 包当以40为对角线时，得2222解特 x=- 2 经检验，符合题意，所以P(-2+22,4+42)或 3'所以直线BM与抛物线的交点G的坐标为 =子则0=- 733、 P(-2-22,4-42). 13 平，所以Q的坐标为(2，- 4: y=9 21.(1)一次性销售800千克时利润为16000元 (2)由题意得一次性销售量在100-1750g之同(-9号). ③当以AP为对角线时：得+山”2邮侣时销杏价格为50一30-00：100二001E+ 2 同理可得直线BW与抛物线的交点G的坐标为 30,所以y=x(-0.01x+30)=-0.01x2+30x= 0=会则0=子所以0的坐标为(-会子 8 -0.01(x2-3000x)=-0.01(x-1500)2+22500, (- -号.综上所述，点G的坐标为(-9昌， 综上所述，存在以A,P,Q,M为顶点的平行四边形， 因为-0.01<0,1000≤x≤1750，所以当x=1500 点0的坐标为0(-分空).0，（子，-2），0，(-号 时，y有最大值，最大值为22500， .) 所以一次性销售量在1000~1750kg之间时的最大 (3)因为⊙T经过A,B,C三点，所以圆心T在AB的 子 利润为22500元. 垂直平分线x=-1与AC的垂直平分线y=x的交点处， (3)当一次性销售量在1000~1750kg之间时，利所以T(-1,-1).