第七讲 函数与一次函数-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理招 参考答案 33 (2)∠CBD的度数为35° 200)的位置如图. 17.(1)20. 《函数与一次函数》抢分演练 16.(1)图略 (2)由题易得AD=32cm,AC=28cm (2)图略. ①P,Q两点第一次相遇时，根据题意可得3t+t= 17.(1)如图3，过点B作AC 题号12345678 32,解得t=8秒， 的平行线，取BD=AC,作直线 答案D DC C ACAC 故P,Q两点第一次相遇时，t的值是8秒 AD,则直线AD将△ABC分成面积 二、9.>；10.2：11.150：12.5：13.4： ②当P,Q两点第二次相遇时，3t-28=t-4,解得t 相等的两部分。 14.(5,8). =12秒， (2)图3，设BC交y轴于点 三、15.(1)y=x+4. 所以AQ=32-t=32-12=20(cm), Q,由图可知点Q(0,2), 故P,Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm (2)设C(a,0),由题意知S6=号BC×0A,即号 设点B到y轴的距离为h1,点 18.(1)连接0C,0E,因为点C在量角器上的读数为 C到y轴的距离为h2,由图可知h1=2,h2=1 a+41×4=12,解得a=2或a=-10, 25°，所以∠A0C=25° 所以点C的坐标为(2,0)或(-10,0) 因为∠CBE=45°，所以∠C0E=90°，所以∠A0E 16.(1)把(4,3)代人y=a(x-2)+1,得a(4-2)》 =∠A0C+∠C0E=25°+90°=115 (2)如图1所示，连接0C, 2P0(h,+h)=PQ×3, 1=3.解得a=1. (2)①当a>0时，y随x的增大而增大，所以当x= OD. 3时，y有最大值3， 因为直角边为圆0的切 因为△BPC的面积等于3，即？PQ×3=3,解得PQ 把x=3,y=3代入函数关系式，解得a=2: 线，D为切点，所以∠PDO = =2,所以点P的坐标为(0.0)或(0,4) ②当a<0时，y随x的增大而减小，所以当x=2时， 90°，所以∠PD0+∠P= 18.(1)A(0,4),B(4,0). y有最大值3， 180°，所以D0∥PB,所以 (2)由(1)可知OA=OB=4,△OAB的面积为8，所 把x=2,y=3代入函数关系式，得3=a(2-2)+ ∠AOD=∠ABP=B, 以△40E的面积为，则时×4×1x1=号，所以x 1,此方程无实数解 又因为∠ABC= 2∠A0C= -a,∠ABC=∠ABF 综上分析可知，a=2 ±，所以点E的坐标为（号4）或(-4) 4 17.(1)根据题意，设两种计费金额分别为y1,2, -∠PBC=B-45°，所以B-45°=2Qa 当t≤200时，方式A的计费金额为78元，方式B的 19.(1)因为四边形A0BC是矩形，A(0,8),B(10 计费金额为108元： 19.(I)证明：过点C在AC左侧作CF∥AD,则CF∥ 0),所以BC=OA=8,AC=0B=10,所以C(10,8) BE. 当200<t≤500时，方式A的计费金额y1=78+(t- 由翻折可知AF=AC=10,CE=EF,所以OF= 200)×0.25=0.25t+28,方式B的计费金额为108元： 因为CF∥AD∥BE,所以∠ACF=∠A,∠BCF+ AF-OA=6,所以F(6,0),BF=0B-OF=4. ∠B=18O°，所以∠ACB+∠B-∠A=∠ACF+∠BCF 当t>500时，方式A的计费金额y1=0.25t+28,方 设BE=x,则CE=EF=8-x,因为BFP+BE2= +∠B-∠A=∠A+180°-∠A=180°. 式B的计费金额y2=108+(t-500)×0.19=0.19t+ EF2,所以x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以BE=3, 13. (2)过点Q作QM∥AD,则QM∥BE. 所以E(10,3), 总结如下表： 因为QM∥AD,QM∥BE,所以∠AQM=∠NAD 即C(10.8),F(6,0),E(10,3). ∠BQM=∠EBQ. 主叫时间/分钟 方式A计费(y1) 方式B计费(y2) 因为AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,所以∠NAD= (2)因为在(1)中求得CE=EF,BE=3,又因为BC t≤200 78 108 =8,所以EF=CE=BC-BE=8-3=5,即EF的长 )∠CAD,LEBQ三号∠CBE,所以∠AQB=∠BD 度为5. 200<t≤500 0.251+28 108 (3)在(1)中求得F(6,0),且AF=AC=10 t>500 0.251+28 0.191+13 LAOM =(LCBE LCAD). ①当AF=AP时，在等腰△PAF中，根据AO⊥PF (2)令y1≤108，有0.251+28≤108，解得t≤320， 因为∠C=180°-（∠CBE-∠CAD)=180° 可得OP=0F=6,所以点P坐标是(-6,0)： 所以当t<320时，方式A更省钱： 2∠AQB,所以2∠AQB+∠C=180°. ②当AF=PF,且点P在点F左侧时，可得PF=AF 当t=320时，方式A和B金额一样： (3)因为AC∥OB,所以∠AQB=∠CAP= =10,所以0P=PF-0F=10-6=4,所以点P坐标 当t>320时，方式B更省钱 之∠CAD,LACP=∠PB0=∠CBE,j所以∠ACB= 是(-4,0)： 18.(1)100:15. ③当AF=PF,且点P在点F右侧时，可得PF=10 (2)由图象可知，甲车的速度为900÷15=60（千米 180P-LACP=180°-7∠CBE 所以OP=PF+0F=10+6=16,所以点P坐标是(16 时) 0) 设甲车从C地到B地过程中，y与x的函数表达式为 因为2∠AQB+∠ACB=180°，所以∠CAD 综上可知，点P的坐标为(-6.0)，(-4,0)，(16,0) y=kx+b(k≠0)， ∠CBE 1 《函数与一次函数》跟踪训练 由图象可知，直线经过点(0,900)，(15,0)，所以 又因为QP⊥PB,所以∠CAP+∠ACP=90°，即 rb=900, ∠CAD+∠CBE=180°，所以∠CAD=60°，∠CBE= 1.C;2.(1)C,(2)b<c:3.D:4.D. 0=15k+b, 得化网以y=-c+m 120°，所以∠ACB=120°，所以∠DAC:∠ACB:∠CBE 5.(1)250:8. 由图象可知，A地到C地的距离为300km,所以甲车 =60°：120°：120°=1：2：2. (2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间 从A地到C地所用时间为300÷60=5（小时）， 故填1：2：2. x(天)之间的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 所以甲车从C地到B地过程中y与x的函数表达式 ①当0≤x≤10时，图象过点(0,9200)，(10 为y=-60x+900(5≤x≤15). 《坐标系与点的变换》跟踪训练 5200),易求得函数关系式为y=-400x+9200: (3)两车出发后经过1小时或片小时或号小时时 1.B;2.(-3,1):3.D: ②由(1)可知，甲维修了8天，则乙加工了8天，即点 B的坐标为(18,3200). 相距140千米 4(-3):5(1+) 所以当10<x≤18时，图象过点(10,5200)，(18 《反比例函数》跟踪训练 3200),易求得函数关系式为y=-250x+7700: 《坐标系与点的变换》抢分演练 ③当18<x≤26时，图象过点(18,3200)，(26,0) 1y=g;2.C:3-6:40.6 易求得函数关系式为y=-400x+10400. 综上所述，未生产零件的个数y(个)与乙机器工作 题号12345678 5.()反比例函数表达式为=（x>0),一次 L答案BDCDAABB 时间x(天)之间的函数关系式为y= 函数的表达式为y1=-2x+9. ,400x+9200(0≤x≤10)， 二、9.(0，-2)； 0.-111.号)或0)： 250x+7700(10<x≤18) (2)由图象得满足1-为>0时，x的取值范围为) ,400x+10400(18<x≤26) <x<4. 2(5,)或5，-0：13.-号； 14.(5×20- (3)根据题意可知，乙机器一直处于工作状态，当。 =10时，甲、乙共加工9200-5200=4000（个），当x= (3)设点Pp,-2+9),则0p,号.所以P0= 1,3×2). 三、15.(1)画出平面 18时，甲、乙共加工了9200-3200=6000（个）， -2p+9-手，所以Sam=P0n=7×(-2p+ 所以当加工7600个零件时，x>18,即函数关系式 直角坐标系如图2. 为y=-400x+10400(18<x≤26)， 9-4)p=3 (2)(-200,-100) 水果店 所以9200-7600=1600，所以1600=-400 (200,0). 车 10400,解得x=22, 整理得2p2-9p+10=0,解得n=2=号 (3)在图中标出超市 宠物店 所以当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机 (-200,100),学校(0 图2 器加工了22天 当p=2时，-2印+9=5，当p=号时，-2印+9数理极 专项提分。 17 第七讲 图数与一次極数 考点4：一次函数的性质 例5 一次函数y=kx-1的函数值y随x的 增大而减小，当x=2时，y的值可以是() A.2 B.1 C.-1 ⊙湖南姚允东 D.-2 解：因为一次函数y=x-1的函数值y随 第一部分 抢分前言 x的增大而减小，所以k<0,所以当x=2时，y= 2k-1<-1.故选D 概念：在某一变化过程中，有两个变量x与y,如果对于x的 都有 与它对应 跟踪训练4：已知(x1,少)，(x2y2),(x3) 那么就说x是 ,y是x的 为直线y=kx-2k(k>0)上的三个点，且x1< 函数 表示方法 名<，则以下判断正确的是 函数 自变量的取值范国：对于分母中有字母的函数，需保证分母不为0，对于含有根式的函，要保证分 A.若x2>0,则yy3>0 与 式有意义 B.若x1x3<0,则y2>0 一次 定义：形如y (k,b为常数， )的函数叫做一次函数.当b 时，函数y C.若x2x3>0,则y1y3>0 函数 _(k )叫微正比例函数 D.若x2x3<0,则y12>0 一次 图象：经过点(0 )、( ,0)的一条 考点5：一次函数的应用 性质：当k>0时，y随x的增大而 :当k<0时，y随x的增大而 例6甲、乙两地相距a 互相平行的两条直线的一次项系数 ,常数项 千米，小亮8：00乘慢车从甲 第二部分 抢分培训 地去乙地，10分钟后小莹乘 快车从乙地赶往甲地.两人 08008:108:409101 考点1：函数图象的识别 故选D. 分别距甲地的距离y(千米) 图3 例1向高为10的容器（形状如 例3将正比例函数y=kx向右平移2个单 与两人行驶时刻(×时×分)的函数图象如图3 图1)中注水，注满为止，则水深h与 位长度，再向下平移4个单位长度，平移后依然 所示，则小亮与小莹相遇的时刻为 () 是正比例函数，则k的值为 ( A.8:28B.8:30C.8:32 注水量，的函数关系的大致图象是 D.8:35 A.-4 B.-2 C.2 D.4 解：令小亮出发时对应的值为0，小莹出发 解：因为将正比例函数y=kx向右平移2个时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的！ 单位长度，再向下平移4个单位长度，所以平移值为70，小莹到达甲地时对应的值为40. 后的函数表达式为y=k(x-2)-4=kx-2k- 设小亮对应函数图象的表达式为为=k, 4.因为平移后依然是正比例函数，所以-2k-4将(70，)代入表达式，得a=70k,解得k三 B =0且k≠0，所以k=-2.故选B. 解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的 无所以小亮对应函数图象的表达式为片=易， 跟踪训练2：(1)若正比例函数的图象经过 变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽。则注入的 点(4m,3m)(m≠0)，则下列各点也在该正比例 设小莹对应函数图象的表达式为y2=,1+b,将 水量随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又 函数图象上的是 (10,a), (40,0)代入表达式，得 变慢，那么从函数的图象上看，C对应的图象变化 A.(-1,- B.(-12,-1) a=10k+解得 k2=- a 30 为先快再慢，最后又变快，不符合：A,B对应的图 所以小莹对应 象中间没有变化，只有D符合条件.故选D. 0=40k2+b, 跟踪训练1：如图2，长方 C1,) D.(3,4) b= 3a, 体水池内有一无盖圆柱形铁 (2)已知点A(a-1,b),B(a,c)是正比例函 函数图象的表达式为力=一品+，令1 桶，现用水管往铁桶中持续 数y=2x图象上的两点，则b,c的大小关系是 4 匀速注水，直到长方体水池 图2 ,得品=-分+专0，解得1=28，所以小亮与 有水溢出一会儿为止.设注水时间为，y表示铁 考点3：一次函数的图象 小莹相遇的时刻为8：28.故选A, 桶中水面高度，2表示水池中水面高度（铁桶高 例4 在平面直角坐标系中，一次函数y= 跟踪训练5：某车间甲 个 度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的2x-3的图象是 乙两台机器共生产9200个9200 一半，注水前铁桶和水池内均无水)，则y1,y2随 零件，两台机器同时加工一 5200.. B 时间：变化的函数图象大致为 段时间后，甲机器出现故 3200-- 障，维修一段时间后仍按原 010261天 来的效率加工，已知甲机器 图4 每天加工150个零件，如图4是表示未生产零件 解：一次函数y=2x-3中，令x=0,则y 的个数y(个)与乙机器工作时间x(天)之间的 =-3;令y=0,则x= 号，所以一次函数y=2x函数图象 (1)乙机器每天加工 个零件，甲机 3的图象经过点(0，-3)和（号，0）， 器维修了 天； 所以一次函数y=2x-3的图象经过一、三 (2)求未生产零件的个数y(个)与乙机器 四象限.故选D. 工作时间x(天)之间的函数关系式； 考点2：正比例函数的图象与性质 跟踪训练3：在同一平面直角坐标系中，函数 (3)当甲、乙两台机器共生产7600个零件 例2若直线y=x(k是常数，k≠0)经过 =ax和y=x+a(a为常数，a<0)的图象可能 时，乙机器加工了多少天？ 第一、第三象限，则k的值可为 A.-2B.-1 C.-2 D.2 解：因为直线y=kx(k是常数，k≠0)经过 米来 第一、第三象限，所以k>0,所以k的值可为2. 18 专项提分 数理极 第三部分 点的运动称为点的斜平移，如 《函数与一次您数 分演练 点P(2,3)经1次斜平移后的 点的坐标为(3,5).已知点A的 ◎数理报社试题研究中心 坐标为(1,0).如图9，点M是 直线l上的一点，点A关于点M (满分：120分 时间：90分钟) 是(8,6)，D为AB边上一个动 的对称点为点B,点B关于直 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 点，把△OAD沿OD折叠，若 线1的对称点为点C.若点B由点A经n次斜平移 题号123 456 78 点A的对应点A'恰好落在矩 后得到，且点C的坐标为(7,6)，则点B的坐标为 答案 形的对角线AC上，则点A'的 1.一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随 坐标为 ( 图4 三、耐心解一解（共44分） x增大而减小，则k的取值范围是 ( A(岩 15.(10分)在平面直角坐标系x0y中，一次 A.k>0B.k<0C.k>3 D.k<3 c曾号 函数y=x+b(k≠0)的图象过点A(0,4), 2.正比例函数y=-2x的图象过A(x1,y), n尝爱 B(-4,0). B(x2,2)两点，假设1-x2=3,那么y1-2的 8.如图5-①，在四边形ABCD中，AB∥ (1)求这个一次函数的表达式： 值为 ( ）CD,点P从点D开始沿折线DA-AB运动，直线 (2)已知点C在x轴上，且△ABC的面积为 A.3 B.-3 C.6 D.-6 过点P,直线11AD.当点P运动时，直线1与四 12,求点C的坐标 3.如图1，直线y= 3 边形ABCD的另一边交于点Q.设点P的运动路 2 程为x,线段PQ的长为y,且y与x的函数关系如 +3分别与x轴，y轴交于点A, 图5-②.当x=5时，△DPQ的面积为( B,将△OAB绕着点A顺时针 旋转90°得到△CAD,则点B 16.(10分)设一次函数y=a(x-2)+1(a 的对应点D的坐标是 是常数，a≠0). A.(2,5) B.(3,5) (1)若点(4,3)在该一次函数图象上，求a C.(5,2) D.(13,2》 的值： 4.已知一次函数y=x+b,函数值y随自变 图5 (2)当2≤x≤3时，该函数的最大值是3， 量x的增大而减小，且b<0,则y=x+b的图 A.105B.10 C.93 D.9 求a的值. 象大致是 二、细心填一填（每小题6分，共36分） 9.若A(-1,y),B(3,2)是直线y=-2x+ b上的两点，则y y2(填“>”“<”或 =”) 17.(12分)某移动公司推出A,B两种电话 10.如图6，直线y=x+3分别与x轴y轴计费方式 交于点A和点C,直线y2=-x+3分别与x轴、 月使用 主叫限定 主叫超时费 5.图2-①是我国青海湖最深处的某一截 计货方式 被叫 y轴交于点B和点C,点P(m,2)是△ABC内部 /元 时间/min /(元/min) 面图，青海湖水面下任意一点A的压强p(单位： (包括边上)的一点，则m的最大值与最小值之 A 78 200 0.25 免费 cmHg)与其离水面的深度h(单位：m)的函数表 B 108 500 0.19 免费 差为 达式为p=kh+p。,其图象如图2-②所示，其中 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为 P。为青海湖水面大气压强，k为常数（计算结果 1=+3 min,根据上表，分别写出在不同时间范围内，方 200 保留一位小数)，根据图中信息分析，下列结论正 式A,方式B的计费金额关于t的函数表达式： 确的是 (2)请你根据月主叫时间的不同范围，直 p/cmHg 接写出最省钱的计费方式， M32.8.309.2) 300 图6 图7 200 11.明君社区有一块空地需要绿化，某绿化 组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提 100 18.(12分)在同一条公路上有A,B,C三地 高了工作效率.该绿化组完成的绿化面积S(单 C地在A,B两地之间.甲车从A地出发匀速驶往 青海湖最深某一处面图 0 020广30*h/m 位：m)与工作时间t(单位：h)之间的函数关系： ① B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A 图2 如图7所示，则该绿化组提高工作效率前每小时地因故停留3小时后按原路原速驶往B地结果 A.青海湖水深16.4m处的压强约为完成的绿化面积是 m2. 甲、乙两车同时到达B地，在两车行驶的过程中， 189.36cmHg 12.在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b甲，乙两车距B地的路程y(单位：千米)与甲车 B.青海湖水面大气压强为76.0cmHg 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系行驶时间x(单位：小时)之间的函数图象如图10 C.函数表达式p=h+P。中自变量h的取 中的三个点：A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们所示，请结合图象解决下列问题： 值范围是h≥0 画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的 (1)乙车的速度为 千米/时，在图 D.p与h的函数表达式为p=9.8×103h+76: 图象，并得到对应的函数表达式y1=kx+b,中括号内填人正确数值； 6.现有甲、乙两个长方体蓄 =x+b2,为=kx+b3.分别计算k+b1,k2+ (2)求甲车从C地到B地过程中y与x的函 水池，将甲池中的水匀速注入乙 b,k,+b,的值，其中最大的值等于 数表达式，直接写出自变量x的取值范围； 池，如图3是甲、乙两个蓄水池中 13.如图8，直线y=x+4 (3)两车出发后经过多长时间相距140千 水的高度y甲（单位：米），y2（单 与x轴交于点A,与y轴交于点 米？请直接写出答案 川千来 位：米)随注水时间x(单位：小 B,点D为OB的中点， 900 60 时)变化的图象.当甲、乙两池水 口OCDE的顶点C在x轴上， 的高度相同时，其相同的高度是 顶点E在直线AB上，则 A.2.4米B.3米C.3.2米 D.3.6米 口OCDE的面积为 x/小时 310 7.如图4，在平面直角坐标系中，矩形O4BC 14.对于坐标平面内的点，先将该点向右平 的边OA在y轴上，边OC在x轴上，点B的坐标：移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，这种