第六讲 坐标系与点的变换-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理招 参考答案 33 (2)∠CBD的度数为35° 200)的位置如图. 17.(1)20. 《函数与一次函数》抢分演练 16.(1)图略 (2)由题易得AD=32cm,AC=28cm (2)图略. ①P,Q两点第一次相遇时，根据题意可得3t+t= 17.(1)如图3，过点B作AC 题号12345678 32,解得t=8秒， 的平行线，取BD=AC,作直线 答案D DC C ACAC 故P,Q两点第一次相遇时，t的值是8秒 AD,则直线AD将△ABC分成面积 二、9.>；10.2：11.150：12.5：13.4： ②当P,Q两点第二次相遇时，3t-28=t-4,解得t 相等的两部分。 14.(5,8). =12秒， (2)图3，设BC交y轴于点 三、15.(1)y=x+4. 所以AQ=32-t=32-12=20(cm), Q,由图可知点Q(0,2), 故P,Q两点第二次相遇时，与点A的距离是20cm (2)设C(a,0),由题意知S6=号BC×0A,即号 设点B到y轴的距离为h1,点 18.(1)连接0C,0E,因为点C在量角器上的读数为 C到y轴的距离为h2,由图可知h1=2,h2=1 a+41×4=12,解得a=2或a=-10, 25°，所以∠A0C=25° 所以点C的坐标为(2,0)或(-10,0) 因为∠CBE=45°，所以∠C0E=90°，所以∠A0E 16.(1)把(4,3)代人y=a(x-2)+1,得a(4-2)》 =∠A0C+∠C0E=25°+90°=115 (2)如图1所示，连接0C, 2P0(h,+h)=PQ×3, 1=3.解得a=1. (2)①当a>0时，y随x的增大而增大，所以当x= OD. 3时，y有最大值3， 因为直角边为圆0的切 因为△BPC的面积等于3，即？PQ×3=3,解得PQ 把x=3,y=3代入函数关系式，解得a=2: 线，D为切点，所以∠PDO = =2,所以点P的坐标为(0.0)或(0,4) ②当a<0时，y随x的增大而减小，所以当x=2时， 90°，所以∠PD0+∠P= 18.(1)A(0,4),B(4,0). y有最大值3， 180°，所以D0∥PB,所以 (2)由(1)可知OA=OB=4,△OAB的面积为8，所 把x=2,y=3代入函数关系式，得3=a(2-2)+ ∠AOD=∠ABP=B, 以△40E的面积为，则时×4×1x1=号，所以x 1,此方程无实数解 又因为∠ABC= 2∠A0C= -a,∠ABC=∠ABF 综上分析可知，a=2 ±，所以点E的坐标为（号4）或(-4) 4 17.(1)根据题意，设两种计费金额分别为y1,2, -∠PBC=B-45°，所以B-45°=2Qa 当t≤200时，方式A的计费金额为78元，方式B的 19.(1)因为四边形A0BC是矩形，A(0,8),B(10 计费金额为108元： 19.(I)证明：过点C在AC左侧作CF∥AD,则CF∥ 0),所以BC=OA=8,AC=0B=10,所以C(10,8) BE. 当200<t≤500时，方式A的计费金额y1=78+(t- 由翻折可知AF=AC=10,CE=EF,所以OF= 200)×0.25=0.25t+28,方式B的计费金额为108元： 因为CF∥AD∥BE,所以∠ACF=∠A,∠BCF+ AF-OA=6,所以F(6,0),BF=0B-OF=4. ∠B=18O°，所以∠ACB+∠B-∠A=∠ACF+∠BCF 当t>500时，方式A的计费金额y1=0.25t+28,方 设BE=x,则CE=EF=8-x,因为BFP+BE2= +∠B-∠A=∠A+180°-∠A=180°. 式B的计费金额y2=108+(t-500)×0.19=0.19t+ EF2,所以x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以BE=3, 13. (2)过点Q作QM∥AD,则QM∥BE. 所以E(10,3), 总结如下表： 因为QM∥AD,QM∥BE,所以∠AQM=∠NAD 即C(10.8),F(6,0),E(10,3). ∠BQM=∠EBQ. 主叫时间/分钟 方式A计费(y1) 方式B计费(y2) 因为AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,所以∠NAD= (2)因为在(1)中求得CE=EF,BE=3,又因为BC t≤200 78 108 =8,所以EF=CE=BC-BE=8-3=5,即EF的长 )∠CAD,LEBQ三号∠CBE,所以∠AQB=∠BD 度为5. 200<t≤500 0.251+28 108 (3)在(1)中求得F(6,0),且AF=AC=10 t>500 0.251+28 0.191+13 LAOM =(LCBE LCAD). ①当AF=AP时，在等腰△PAF中，根据AO⊥PF (2)令y1≤108，有0.251+28≤108，解得t≤320， 因为∠C=180°-（∠CBE-∠CAD)=180° 可得OP=0F=6,所以点P坐标是(-6,0)： 所以当t<320时，方式A更省钱： 2∠AQB,所以2∠AQB+∠C=180°. ②当AF=PF,且点P在点F左侧时，可得PF=AF 当t=320时，方式A和B金额一样： (3)因为AC∥OB,所以∠AQB=∠CAP= =10,所以0P=PF-0F=10-6=4,所以点P坐标 当t>320时，方式B更省钱 之∠CAD,LACP=∠PB0=∠CBE,j所以∠ACB= 是(-4,0)： 18.(1)100:15. ③当AF=PF,且点P在点F右侧时，可得PF=10 (2)由图象可知，甲车的速度为900÷15=60（千米 180P-LACP=180°-7∠CBE 所以OP=PF+0F=10+6=16,所以点P坐标是(16 时) 0) 设甲车从C地到B地过程中，y与x的函数表达式为 因为2∠AQB+∠ACB=180°，所以∠CAD 综上可知，点P的坐标为(-6.0)，(-4,0)，(16,0) y=kx+b(k≠0)， ∠CBE 1 《函数与一次函数》跟踪训练 由图象可知，直线经过点(0,900)，(15,0)，所以 又因为QP⊥PB,所以∠CAP+∠ACP=90°，即 rb=900, ∠CAD+∠CBE=180°，所以∠CAD=60°，∠CBE= 1.C;2.(1)C,(2)b<c:3.D:4.D. 0=15k+b, 得化网以y=-c+m 120°，所以∠ACB=120°，所以∠DAC:∠ACB:∠CBE 5.(1)250:8. 由图象可知，A地到C地的距离为300km,所以甲车 =60°：120°：120°=1：2：2. (2)设未生产零件的个数y(个)与乙机器工作时间 从A地到C地所用时间为300÷60=5（小时）， 故填1：2：2. x(天)之间的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 所以甲车从C地到B地过程中y与x的函数表达式 ①当0≤x≤10时，图象过点(0,9200)，(10 为y=-60x+900(5≤x≤15). 《坐标系与点的变换》跟踪训练 5200),易求得函数关系式为y=-400x+9200: (3)两车出发后经过1小时或片小时或号小时时 1.B;2.(-3,1):3.D: ②由(1)可知，甲维修了8天，则乙加工了8天，即点 B的坐标为(18,3200). 相距140千米 4(-3):5(1+) 所以当10<x≤18时，图象过点(10,5200)，(18 《反比例函数》跟踪训练 3200),易求得函数关系式为y=-250x+7700: 《坐标系与点的变换》抢分演练 ③当18<x≤26时，图象过点(18,3200)，(26,0) 1y=g;2.C:3-6:40.6 易求得函数关系式为y=-400x+10400. 综上所述，未生产零件的个数y(个)与乙机器工作 题号12345678 5.()反比例函数表达式为=（x>0),一次 L答案BDCDAABB 时间x(天)之间的函数关系式为y= 函数的表达式为y1=-2x+9. ,400x+9200(0≤x≤10)， 二、9.(0，-2)； 0.-111.号)或0)： 250x+7700(10<x≤18) (2)由图象得满足1-为>0时，x的取值范围为) ,400x+10400(18<x≤26) <x<4. 2(5,)或5，-0：13.-号； 14.(5×20- (3)根据题意可知，乙机器一直处于工作状态，当。 =10时，甲、乙共加工9200-5200=4000（个），当x= (3)设点Pp,-2+9),则0p,号.所以P0= 1,3×2). 三、15.(1)画出平面 18时，甲、乙共加工了9200-3200=6000（个）， -2p+9-手，所以Sam=P0n=7×(-2p+ 所以当加工7600个零件时，x>18,即函数关系式 直角坐标系如图2. 为y=-400x+10400(18<x≤26)， 9-4)p=3 (2)(-200,-100) 水果店 所以9200-7600=1600，所以1600=-400 (200,0). 车 10400,解得x=22, 整理得2p2-9p+10=0,解得n=2=号 (3)在图中标出超市 宠物店 所以当甲、乙两台机器共生产7600个零件时，乙机 (-200,100),学校(0 图2 器加工了22天 当p=2时，-2印+9=5，当p=号时，-2印+9数理极 专项提分 第方讲 坐标系与点的变换 ©陕西刘成茂 第一部分 < 抢分前 在平面内两条互相 、原点的数轴，就组成平面直角坐标系.一般 平面直角坐标系 地，水平的数轴称为 轴（或 轴)，常取向 为正方向；竖直的 数轴称为轴（或 轴)，取向一为正方向. 由坐标平面上任意一点向x轴、y轴分别作垂线，垂足对应的数分别称为该 平面直角坐标系点的坐标 点的坐标、坐标，合起来就是该点的坐标 一个点的坐标是一对有序数对，一坐标写在前，一坐标写在后 平面直角坐标系把平面分成四个象限，各象限内点的坐标的特征如下： 各象限内点的 第一象限( ),第二象限( ), 坐标的特征 第三象限( ),第四象限( 坐标轴上的点不属于任何象限，x轴上的点的 坐标为0，y轴上的点的 坐标为0 点Px,y)关于x轴对称的点的坐标是，关于y轴对称的点的坐标是 点的对称变换 ,关于原点0对称的点的坐标是 图形上各点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，所得图形与原图形关于 变换中的坐标 图形的对称变换 轴成轴对称；图形上各点的纵坐标不变，横坐标都乘以-1，所得图形与原图 形关于 轴成轴对称：图形上各点的横坐标、纵坐标都乘以-1，所得的 图形与原图形关于点成对称. 图形上各点的横坐标不变，纵坐标都增加（或减少）>1)个单位，则图形向 图形的平移变换 (或向)平移了 一个单位；图形上各，点的纵坐标不变，横坐标都 增加（或减少）>1)个单位，则图形向（或向）平移了个单 位 第二部分 抢分培训 考点1：关于坐标轴对称的点的坐标 标系，因为贵阳北站的坐标是(-2,7)，所以方格 例1 在平面直角坐标系中，已知点P(a, 中一个小格代表一个单位，因为龙洞堡机场与喷 1)与点Q(2,b)关于x轴对称，则a+b= 水池的水平距离为9个单位长度，与喷水池的垂 直距离为4个单位长度，且在平面直角坐标系的 解：因为点P(a,1)与点Q(2,b)关于x轴对 第四象限，所以龙洞堡机场的坐标是(9，-4). 称，所以点P(a,1)与点Q(2,b)的横坐标相同， 故填(9，-4). 纵坐标互为相反数，所以a=2,1+b=0,解得b 跟踪训练2：中国象 国 棋是一种古老的棋类游 炮 =-1,所以a+b=1.故填1. 戏，大约有两千年的历 跟踪训练1：小明作点A(1,2)关于x轴的对 史，是中华文明非物质 图3 称点A1,再作A,关于y轴的对称点42，则42的坐 文化经典产物.如图3，若在象棋盘上建立平面 标为 直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-2)，“马”位 A.(1,2) B.(-1,-2) 于点(3，-2)，则“兵”位于点 C.(-1,2) D.(1,-2) 考点3：坐标与平移 考点2：坐标的确定 例3在平面直角坐标系中，将点M(3 例2如图1，是贵阳市城市轨道交通运营 -4)向左平移5个单位长度，得到点M,则点M' 部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北 的坐标是 方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系， 解：点M(3,-4)向左平移5个单位长度后， 若贵阳北站的坐标是(-2,7)，则龙洞堡机场的 坐标为(3-5，-4)，即M'的坐标为(-2，-4). 坐标是 故填(-2，-4). 跟踪训练3：在平面直角坐标系中，将点(m, n)先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度，最后所得点的坐标是 () A.(m-2,n-1)B.(m-2,n+1) 站中 龙洞堡机场 龙洞堡机场 C.(m+2,n-1) D.(m+2,n+1) 图1 考点4：旋转中点的坐标 图2 解：如图2，以喷水池为原点，分别以正东、 例4如图4，在平面直角坐标系中，菱形 正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐OABC的边长为26，点B在x轴的正半轴上，且 15 ∠AOC=60°，将菱形OABC绕 y个 B 原点0按逆时针方向旋转60°， 得到四边形OA'B'C'(点A'与 C(A') ,点C重合)，则点B'的坐标是 B A.(36,32) 图4 B.(32,36) C.(32,62) D.(62,36) 解：延长B'C交x轴于点D,因为四边形 OABC是菱形，点B在x轴的正半轴上，OB平分 ∠AOC,∠A0C=60°，所以∠C0B=∠AOB= 30°，∠CBA=60°. 由旋转的性质得∠C'0C=60°，所以 ∠C'0D=90°，所以∠B'D0=90. 在Rt△CD0中，OC=B'C=26,所以CD =20C=6,0D=5CD=5×6=35,所 以DB=3√6，所以B'(32,36).故选B. 跟踪训练4：银杏是著名的 活化石植物，其叶有细长的叶 柄，呈扇形.如图5是一片银杏叶 标本，叶片上两点B,C的坐标分 别为(-3,2)，(4,3)，将银杏叶 图5 绕原点顺时针旋转90°后，叶柄 上点A对应点的坐标为 考点5：坐标中点的变化规律 例5已知△0AA2,△A3A4A5,△4，AAg…都 是边长为2的等边三角形，按图6所示摆放.点A2, A3,A5…都在x轴正半轴上，且A243=A46= AgAg=…=1,则点A1的坐标是 A11 图6 解：由图形可得：A2(2,0),A3(3,0),A(5, 0),46(6,0),Ag(8,0),Ag(9,0),过A1作AB⊥x 轴， 因为△OAA2是等边三角形，所以OB c0s60°×0A1=1,A1B=sin60°×0A1=3,所 以A(1,√3)， 同理：A4(4,-√5)，A(7,5),Ao(10, -√5)，所以点A的横坐标为1，点A2的横坐标 为2，点A3的横坐标为3…所以Am的横坐标 为1111， 因为纵坐标六个一循环，1111÷6= 185…1,所以点Am的纵坐标为3，所以 Am(1111,W5).故填(1111,3). 跟踪训练5：如图7，在平面 A 直角坐标系中，直线1：y=√5x B3 3与x轴交于点A1,以OA1为边 B2 7A 作正方形AB,C,0,点C,在y轴 上，延长CB,交直线1于点A2,以 图7 C,A2为边作正方形AB2C2C1,点 C2在y轴上，以同样的方式依次作正方形 A3B3C3C2,…,正方形A.B C.C-1,则点B2222的横 坐标是 16 专项提分。 数理极 (-100,200) 第三部分《坐标系与点的变换 (1)请根据题目条件，在图中画出平面直角 分演练 坐标系； (2)邮局的坐标是 ,汽车站的坐标 ○数理报社试题研究中心 ； (满分：120分 时间：90分钟)） 次操作：将正方形ABCD绕点O (3)在图中标出超市(-200,100)，学校(0， 、精心选一选（每小题5分，共40分） 顺时针旋转90°得到正方形 200)的位置 题号1 2 3 45 78 A,B,C,D;第二次操作：将正方 答案 形A,B,CD,绕点O顺时针旋转 1.在平面直角坐标系中，点P(-1,m2+1) 90°得到正方形AB,C,D,… 位于 则第1023次操作得到正方形 图6 A.第一象限 B.第二象限 A12B12C123D12中，点C123的坐标为( C.第三象限 D.第四象限 A.(-2,4) B.(-4,2) 图13 14 2.已知点A(a-1,3),点B(-3,a+1),且 C.(4,-2) D.(2,-4) 16.(10分)如图14，在平面直角坐标系中 直线AB∥y轴，则a的值为 ) 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别 A.1 B.-1 C.2 D.-2 9.如图7是一只蝴蝶标本，将其放在适当的 是A(2,3),B(1,0),C(0,3). 3.如图1，在平面直角坐标系x0y中，有三点 平面直角坐标系中，若翅膀两端B,C两点的坐标 (1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度 4(0,1),B(4,1),C(5,6),则sin∠BAC= 分别为(-1,3)，(3,0)，则蝴蝶“尾部”点A的坐 后的图形 ( 标为 (2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形 17.(10分)如图15，△ABC三个J顶点均在平 B. /13 C. D. 面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形 的边长均为1.按下列要求画图（画图只能借助 无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示 画图结果) 1 (1)找出格点D并画出直线AD,使直线AD 10.如图8，一束光线从点A(-2,5)出发，经 图2 将△ABC分成面积相等的两部分； 图1 过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则 4.已知a+b>0,ab>0,则在如图2所示的2m-n的值是 (2)在y轴上存在点P,使△BPC的面积等 于3，直接写出点P的坐标 平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是 11.我们知道：四边形具有 不稳定性.如图9，在平面直角 A.(a,b) B.(-a,b) 坐标系中，边长为1的正方形 C.(-a,-b) D.(a,-b) ABCD的边AB在x轴上，AB的 5.蜂巢结构精巧，其巢 中点是坐标原点O,固定点A, 图g 房横截面的形状均为正六边 B,把正方形的边CD推动，使它的一个顶点落在 图15 形.如图3是部分巢房的横截 y轴的正半轴上，则点C的对应点C'的坐标为 18.（10分)如图16，在平面直角坐标系中， 面图，图中7个全等的正六边 已知点A(0,m),B(n,0),且m,n满足(m-n) 形不重叠且无缝隙，将其放 12.如图10，在平面直角坐 y 在平面直角坐标系中，点P, 标系中，将等边三角形ABC的顶 +n-4=0. Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分点B与原点重合，边BC放在x轴 (1)求点A,B的坐标： 别为(-23,3)，(0，-3)，则点M的坐标为 上，顶点A在第一象限内，点M (2)若点E(x,4)为平面直角坐标系内一 是线段BC的中点，且OM=2, O(B)M 1 图10 点，且满足S△0r=3S△om,求点E的坐标 A.(35,-2) B.(35,2) 将△ABC绕点0旋转30°，记点 C.(2,-35) D.(-2,-33) M的对应点为点N,则点N的坐标为 6.如图4，在平面直角坐标 13.如图11，在平面直角个 系中，0为坐标原点，点A,B的坐 坐标系中，四边形OABC是矩 A 标分别为(0,4)，(-3,0)，点E, 形，B的坐标为(8,4)，将 16 F分别为AB,B0的中点，分别连 △ABC沿直线AC翻折，使点BO 接AF,EO,交点为P,点P的坐标 落在点D处，AD交x轴于点E, 图11 19.(12分)如图17，在y 为 ( 则点D的纵坐标为 图4 平面直角坐标系内存在矩形 A(-1,) 14.如图12，在平面直角坐标系中，四边形 B.(-22) AOBC,0为坐标原点，OB,OA 0A1B,C1,A14B2C2,443B,C3…都是菱形，点 分别在x轴、y轴上，点A的坐 c(-) A,A2,A3…都在x轴 D.(-1,2) 标为(0,8)，点B的坐标为O 上，点C1,C2,C3…都在 (10,0),点E在BC边上，把 图17 7.如图5，在直角坐标系 B" 中，边长为2个单位长度的正 +上，且 直线y=尽 长方形AOBC沿AE翻折后，C点恰好落在x轴上 0 点F处 方形ABC0绕原点O逆时针旋 ∠C,0A1=∠C2AA2= (1)求点C,E,F的坐标； 转75°，再沿y轴方向向上平 ∠C3A243=…=60°， 移1个单位长度，则点B”的坐 (2)求EF的长度； -2-101 2 0OA,=1,则点Bo的坐标是 (3)在x轴上求一点P,使△PAF成为以AF 标为 图5 三、耐心解一解（共50分） 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的 A.(-2,6) B.(-2,6+1) 15.(8分)九年级(1)班的李明同学在学习 点P的坐标 C.(2,-6) D.(-2,6-1) 了平面直角坐标系的相关知识后，绘制一幅坐标 8.如图6，平面直角坐标系中，4(1,1)，B(0,示意图，图13中标明了李明家附近的一些地方， 3),以AB为边在AB右侧作正方形ABCD.第一 已知他家的坐标是(0，-100)，书店的坐标是