第四讲 不等式与不等式组-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理柄 专项提分 第四讲 不等式与不等组 ⊙山西柳雯慧 第一部分 << 抢分前言 (1)不等式： (2)不等式的解： 不等式的相关概念 (3)不等式的解集： (4)不等式解集的表示方法：①写成x>a或x<a或x≥a或x≤a的形式； ②用数轴表示。 (1)性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或代数式，不等号的方向 不等式与不等式组 不等式的性质 (2)性质2：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向 (3)性质3：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向 (1)一元一次不等式组 (2)一元一次不等式组的解集 (3)不等式组解集的表示方法（将下表中的空白处补充完整）. 不等式组 不等式组 「x≥a, 「t≤a, 「x≥a, 「x≤a, (其中a<b) x≥b x≤b lx<b 1x≥b 解集 第二部分 抢分培训 考点1：不等式的基本性质 考点3：一元一次不等式的应用 例1如果a>b,那么下列运算正确的是 例3端午节是我国传统节日，端午节前 () 夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽 A.a-3<b-3 B.a+3<b+3 子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为 () C.3a 3b A.20%B.25%C.75%D.80% 解：因为a>b,所以a-3>b-3,a+3> 解：设粽子的成本为a(a是常数且a>0) 6+33a>3b,3< 元，降价幅度为x,则(1+25%)a×(1-x)≥a, 解得x≤20%，即为了不亏本，降价幅度最多为 所以A,B,C不符合题意，D符合题意.故选20%.故选A. 跟踪训练3：某商场在世博会上购置A,B两 跟踪训练1：已知a-1>0,则下列结论正确 种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵 25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费 的是 200元. A.-1<-a<a<1 (1)求A,B玩具的单价： B.-a<-1<1<a (2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩 C.-a<-1<a<1 具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于 D.-1<-a<1<a 20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？ 考点2：解不等式（组） 例2关于x的不等式7-1>0的解集为 解：分-1>0，移项，得>1，系数化为 考点4：不等式与一次函数 例4如图2.函数y=2x 1,得x>2.故填x>2 和y=ax+4的图象相交于点 跟踪训练2(1)：关于x的一元一次不等式xA(m,3),则不等式2x≥ax+4 -1≤m的解集在数轴上的表示如图1所示，则的解集为 m的值为 ( ) A.x≤3 B.x≥3 -1 1234 C.x≥3 图1 D≤ A.3 B.2 C.1 D.0 解：因为函数y=2x的图象过点A(m,3),所 (2)若关于x的不等式组以将点A(m,3)代入y=2x,得2m=3,解得m [3(x-1)>x-6·只有三个整数解，则实数a的 = 2,所以点A的坐标为（号，3），所以由图可 l8-2x+2a≥0 知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥ 3 取值范围为 故选B. 跟踪训练4：如图3，直线y =kx+b(k≠0)经过点P(1, 2),当(k-2)x+b<0时，则x的 取值范围为 考点5：不等式组的应用 图3 例5为积极响应州政府“悦享成长·书香 恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比 赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装。 经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需 220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相 同. (1)男装、女装的单价各是多少？ (2)如果参加活动的男生人数不超过女生 人数的号，购买服装的总费用不超过17000元， 那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用 最低，最低费用是多少？ 解：(1)设男装单价为x元，女装单价为 y元， 根据题意得 。+y二220角解得 6x=5y, 答：男装单价为100元，女装单价为120元 (2)设参加活动的女生有a人，则男生有 (150- a)人，根据题意，得 150-a≤子a, L120a+100(150-a)≤17000， 解得90≤a≤100. 因为a为整数，所以a可取90,91,92,93， 94,95,96,97,98,99,100,一共11个数，故一共 有11种方案， 设总费用为w元，则0=120a+100(150- a)=15000+20a.因为20>0，所以当a=90 时，w有最小值，最小值为15000+20×90= 16800(元)，此时150-a=60(套). 答：当女装购买90套，男装购买60套时，所 需费用最少，最少费用为16800元. 跟踪训练5：荆州古城旁“荆街”某商铺打算 购进A,B两种文创饰品对游客销售.已知 1400元采购A种的件数是630元采购B种件数 的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两 种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种 饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不 超过A种件数的4倍 (1)求A,B饰品每件的进价分别为多少元？ (2)若采购这两种饰品只有一种情况可优 惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的 部分按进价打6折.设购进A种饰品x件， ①求x的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方 案，并求出最大利润。 10 专项提分。 数理极 17.(10分)今年植树节，某班同学共同种植 第三部分《不等式与不等式组 批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每 抢分演练 人种4棵，则还缺25棵 (1)求该班的学生人数； ○数理报社试题研究中心 (2)这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗 (满分：120分 时间：90分钟) 10.某商品进价4元，标价5元出售，商家准 每棵30元，乙树苗每棵40元.购买这批树苗的总 备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多 费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 可打 折 多少棵？ 题号12 3 4 5 678 11.设a,b是任意两个实数，用maxa,b}表 答案 示a,b两数中较大者，例如：mx{-2,-2}= -2,max-1,2}=2,max{3,2}=3.参照上面 1.x与5的和不大于-1，用不等式表示为 的材料，如果max-2x+1,-x+2}=-x+2, ( 那么x的取值范围是 A.x+5≥-1 B.x+5<-1 12.“输人一个实数x,然后经过如图3的运 C.x+5>-1 D.x+5≤-1 算，到判断是否大于190为止”叫做一次操作，那 2.实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如 么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是 图1所示，下列结论正确的是 18.(10分)某县著名传统土特产品“豆 0e6→ 笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全 a 输入-x32190降止 国，深受广大消费者喜爱.已知2件豆笋和3件豆 图1 A.a>c>b B.c-a >b-a 干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价 C.a+b<0 D.ac2 be2 图3 为340元. 3.若关于x的一元一次不等式组 3.小霞原有存款52元，小明原有存款70元 (1)分别求出每件豆笋、豆干的进价： 从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每 (2)某特产店计划用不超过10440元购进 月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超 子：>x-1恰有3个整数解，且一次函数) 4x+1≥a 豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干 过小明，可列不等式为 ( (0-2)x+a+1不经过第三象限，则a的取值范数量的弓，该特产店有哪几种进货方案？ A.52+15n>70+12n 围是 B.52+15n<70+12m (3)若该特产店每件豆笋售价为80元，每件 14.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记 C.52+12n>70+15n 豆干售价为55元，在(2)的条件下，怎样进货可 D.52+12n<70+15n 为<x>,即当n为非负整数时，如n-2≤x< 使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？ 4.已知不等式组：之2的解集是-10+分则<x>=m如：<0.48>=0.<3.5 lx+1<b <x<1,则(a+b)0= ( =4.如果<x>=,则x三 A.0 B.-1C.1 D.501 5.已知点P(a+1,2a-3)在第四象限，则a 三、耐心解一解（共50分） 的取值范围是 ( 15.(8分)解不等式组24<2，①请按 l3x+2≥，② A.a<-1 B.-1<a<2 下列步骤完成解答 c-<a<1 3 D.a>2 (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 19.(12分)如果一元一次方程的解是一元 6.如图2，数轴上-6，-3与6表示的点分别 (3)把不等式①和②的解集在图4的数轴 次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不 为M,A,N,点B为线段AN上一点，分别以A,B为 上表示出来； 等式组的“有缘方程”，如：方程x-1=0就是不 中心旋转MA,NB,若旋转后M,N两点可以重合 -2 -101 成一点C(即构成△ABC),则点B代表的数不可 234 图4 等式任之0的有缘方程 能的是 ( ) (4)原不等式组的解集是 (1)试判断方程①2x-3=0,②3x-(x- 16.(10分)解不等式组： 1)=-1是否是不等式组5x-?<3的有缘 L2x+4>1 6 122>40 6 2 方程，并说明理由； 图2 2-3x≤4-x.② (2)若关于x的方程3x+2k=5(k为整数) A.1 B.1.5 C.2 D.3 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读 7.已知点P(m,n)在一次函数y=-2x+1并完成任务： 是不等式组3(x+1)-2x>2, 的一个 l4(x-1)≥2(x-3)+5x 上，且2m-3n≤0，则下列不等关系一定成立的 解：由①，得4-2(2x-1)>3x-1 有缘方程，求整数k的值； 是 ) 第1步 (3)若方程3-x=2x,3x+5=x+9都是关 B≥ 4-4x+2>3x-1 第2步 n 于x的不等式组3x+2≥2x+3m,的有缘方程 -4x-3x>-1-4-2 l2x<3(2m+1)-x D品≤号 -7x>-7 第3步：且不等式组的整数解有3个，求m的取值范围 x>1 第4步 4 任务一：该同学的解答过程第 步出 8.若关于x的不等式组 +> 无现了错误，错误原因是 一，不等式①的正 2 确解集是 ,且关于y的分式方-1，产有整糊 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的 数解，则满足条件的所有整数α的和为（ A.10 B.12C.16D.14 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 9.9>-3x的解集为32 参考答案 数理报 《不等式与不等式组》抢分演练 二、11.3m(a-b)2；12.28×109；13.-2: 14.84；15-1或了或号 解得5≤m≤8子 因为m取正整数，所以m=5,6,7,8,所以共有4种 题号12345678 三、16.(1)原式=0. 租车方案 答案DDABBDAB (2)原式=本2当x=1时原式=分 设总租金为0元，则0=500m+600(10-m)= 二、9.x>-3:10.8.8:11.x≥-1： -100m+6000. 22<r≤64,1B-1≤a≤1：140或号或号 17.(1)x=3, 因为-100<0，所以w随着m的增大而减小，所以m ly =-1. =8时，0最小， 三、15.(1)x<3. (2)x=-1+页 所以租8辆A型车，2辆B型车最省钱 (2)x≥-1. 4 =1-7 4 (3)设s甲=kt,s乙=kt+b. (3)图略. 18.解不等式2(x-1)<x+1,得x<3,解不等式 由题意可知，甲车的函数图象经过(4,300)，乙车的 (4)-1≤x<3 x+2≥1，得x≥0，所以0≤x<3,所以不等式的整数解 函数图象经过(0.5,0)，(3.5,300)两点， 2 16.任务一：4，不等号的方向没有发生改变，x<1 所以s▣=75t,8z=100t-50,所以sz-sm=25, 任务二：不等式组的解集为-1≤x<1. 为0,1,2. 17.(1)该班的学生人数为45人. 因为2-1<x<2+1,所以x取2，所以三角形周长 即1001-50-75t=25,解得t=3, (2)由(1)得一共购买了3×45+20=155棵树苗 为1+2+2=5. 或300-751=25，解得1=号 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗(155-m)棵， 四、19.(1)19°-172=8×9 所以，在甲、乙两车第一次相遇后，当t=3小时或 由题意得30m+40(155-m)≤5400，解得m≥80 (2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n 所以至少购买了甲树苗80棵 (3)(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2 号小时时，两车相距25千米 答：至少购买了甲树苗80棵 +1-2n+1)=4n×2=8n. 20.(1)设甲种电子产品的销售单价是x元，乙种电 备考风向标（一） 18.(1)豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元 件 子产品的销售单价为y元 1.原式=4. (2)设豆干购进n件，则豆笋购进(200-n)件， 题题金网5m解3：0 2.不等式组的解集为-2<x≤2，数轴表示略， 40m+60(200-n)≤10440， 由题意得 20-m≥ 解得78≤ 答：甲种电子产品的销售单价是900元，乙种电子产 原武受 品的销售单价为600元 n≤80， (2)设销售甲种电子产品a万件，则销售乙种电子 当x=月+1y=万时，原武=3+ 2 当n=78时，200-n=122,所以豆干购进78件，豆 产品(8-a)万件. 4.(1)因为[a,b]*[c,d]=ac-bd, 笋购进122件： 根据题意得900a+600(8-a)≥5400，解得a≥2 所以[-4,3]*[2，-6]=-4×2-3×(-6)=-8 当n=79时，200-n=121,所以豆干购进79件，豆 答：至少销售甲种电子产品2万件 +18=10. 笋购进121件： 21.(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC=70 (2)因为[x,2x-1]*[mx+1,m]=0,所以x·(mx 当n=80时，200-n=120,所以豆干购进80件，豆 -2x+2=(72-2x)m. +1)-(2x-1)·m=0, 笋购进120件.所以有这3种进货方案 根据题意，得x(72-2x)=640,解得x1=16,x3= 整理得mx2+(1-2m)x+m=0, (3)设总利润为W元，豆干购进n件 20. 因为关于x的方程[x,2x-1][mx+1,m]=0有 则W=(55-40)n+(80-60)(200-n)=-5n+ 当x=16时，72-2x=72-32=40;当x=20时， 两个实数根， 4000(78≤n≤80且n为整数)， 72-2x=72-40=32. 所以△=b2-4ae=(1-2m)2-4m2≥0，且m≠ 因为-5<0，当78≤n≤80时，W随n的增大而减 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽为 小， 20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈. 0,解得m≤子且m≠0， 所以当n=78时，W取最大值，为W=-5×78+ (2)不能，理由如下： 5.(1)设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件(x 4000=3610. 由题意，得x(72-2x)=650,化简，得x2-36x+325 -10)元， 此时，豆干购进78件，豆笋购进122件，获得最大利 =0 润为3610元 因为=(-36)2-4×325=-4<0，所以一元 由题意得，0.0解得50， 19.(1)①不是不等式组的“有缘方程”，②是不等 次方程没有实数根 检验，当x=50时，x(x-10)≠0，所以x=50是原 式组的“有缘方程”，理由略 所以羊圈的面积不能达到650m2. 方程的解，所以x-10=40. (2)解方程3x+2k=5得x=5,2水：解不等式组 五、22.(1)设《周脾算经》单价为x元，则《孙子算 答：A款文化衫每件50元，B款文化衫每件40元. 3 (2)设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫(300 3(x+1)-2x>2, 得-1<≤子 经》单价为子x元， a)件， 4(x-1)≥2(x-3)+5x 由题意得，14750≤50a+40(300-a)≤14800，解 因为方程3x+2k=5是不等式组 依题意，得0=60+5，解得x=40, 4 得275≤a≤280， 3(x+1)-2x>2, 因为a是正整数，所以a的取值可以为275,276,277， 4(x-1)≥2(x-3)+5x 的“有缘方程”， 3 经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，子×40278,279,280， 所以-1<5；24≤子，所以号≤k<4因为k为 所以一共有六种购买方案 3 =30. 答：《周髀算经》单价为40元，《孙子算经》单价为 (3)设购买资金为W元，购买A款文化衫α件，则购 整数，所以k=2,3. 30元 买B款文化衫(300-a)件， (3)解方程3-x=2x,得x=1:解方程3x+5=x 由题意得，W=0.7×50a+(40-m)(300-a)= +9,得x=2 (2)设购买的《周髀算经》数量为m本，则购买的 不2品 《孙子算经》数量为(80-m)本， m-5)a+12000-300m, 依题意，得m≥宁(80-m),解得m≥26子， 因为(2)中的所有购买方案所需资金恰好相同，所 因为方程3-x=2x,3x+5=x+9都是关于x的不 以W的取值与a的值无关， 等式组女的有缘方程，且不等式 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y元， 所以m-5=0,所以m=5. 依题意，得y=40×0.8m+30×0.8(80-m)=8m 《图形的初步认识》跟踪训练 组的整数解有3个，所以3m-2≤x<2m+1. +1920. 当整数解为01,2时，{20，架得号 因为k=8>0,所以y随m的增大而增大， 1.B:2.D:3.(1)80或20，(2)100：4.D:5.C 所以当m=27时，y有最小值，此时y=8×27+ 《图形的初步认识》抢分演练 <m≤子 1920=2136(元).80-27=53（本）. 答：当购买《周脾算经》27本，《孙子算经》53本时 0<3m-2≤L,此不等式 购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元. 题号12345678 当整数解为1,2,3时， 3<2m+1≤4， 23.(1)设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人 答案CABDBCBA 组无解，所以了<m≤子 二、9.5218'；10.60：11.北偏东53度； 由题意得，x+2=3引0：解得任=0. 12.30度：13.3；14.40或80. 重点模块测评（一）】 3x+4y=340, ly=55. 三、15.(1)图略. 答：每辆A型车、B型车坐满后各载客40人55人， (2)这个长方体盒子的体积为64cm3, (2)设租用A型车m辆，则相用B型车(10-m)辆， 16.(1)正明：因为AB∥CD,所以∠DBF=∠1， 题号12345678910 由题意得，/500m+600(10-m)≤5500. 因为∠1与∠2互补，所以∠1+∠2=180°，所以 答案AACBDADBBB l40m+55(10-m)≥420， ∠2+∠DBF=I80°，所以EF∥BD.