2026年数学中考一轮复习分层训练-不等式与不等式组

不等式与不等式组 一、基础题 1．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（　　） A． B． C． D． 3．北京烤鸭不仅是一道美食，更是中华民族美食瑰宝中的璀璨明珠．为保证口感，北京烤鸭的标准鸭子重量一般不低于，不高于．下面用不等式表示这一范围正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若二次根式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．不等式组的整数解的和为　 　． 6．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是　 　． 7．若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　． 8．解不等式组并写出满足不等式组的整数解。 9．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ▲ ； （II）解不等式②，得 ▲ ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ▲ ． 10．解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 11．解不等式组：，并写出它的所有整数解 12．贵州玉屏县被誉为“箫笛之乡”．玉屏县某中学举办“箫笛艺术节”活动，现需购买玉箫、玉笛若干支．已知玉萧单价比玉笛单价高10元，用1000元购买的玉萧数量与800元购买的玉笛数量相同． （1）求玉萧和玉笛的单价各是多少元？ （2）学校计划购买玉箫与玉笛共30支，且玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍，则学校最少需花费多少元？ 二、能力题 13．若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是(　　) A． B． C． D． 14．若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 15．若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 16．若关于x的不等式x≤4+m的解集如图所示，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 17． 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得，第步 去括号得，第步 移项得，第步 合并同类项得，第步 两边都除以，得第步 任务一：填空： （1）以上运算步骤中，第步去括号依据的运算律是　 　； （2）任务二：请写出正确的解答过程． 18．若整数a使得关于x的一元二次方程有实数根，且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，则符合条件的整数a有　 　个. 19．如图所示的是小星同学解不等式的过程． 解不等式：． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ （1）小星的解答从第　 　步开始出错（填序号）； （2）请写出正确的解答过程． 20．深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化、现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等.请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务： 材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人. 材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下，租车费用不超过7200元. 型号 每辆载客量 每辆租金 甲型号 30 320 乙型号 45 400 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务. （1）请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场. （2）有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？ 三、拓展题 21．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n为自然数时，若则<x>=n；反之，当n为自然数时，若<x>=n，则例如：<0>=<0.49>=0，<0.51>=<1.49>=1，<2>=2，<3.5>=<4.1>=4，…，试着解决下列问题： （1）①<π>=　 　. ②若<x+1>=3，则非负实数x的取值范围是　 　. （2）求满足的所有非负实数x的值. （3）若关于x的不等式组的整数解有4个，求a的取值范围。 22． 【综合与实践】 深圳某条东西方向的道路共有五车道，早晚高峰期间经常拥堵，数学兴趣小组的同学就此问题开展研究性学习活动. 【信息一】通过实地考察，兴趣小组的同学对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行数据的收集统计和分析，整理得到下列表格，发现时间和交通量的变化规律符合一次函数特征，并由此得到与x的函数关系式及与x的函数关系式 时间x 7时 10时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆/分钟） 93 78 a 43 28 自东向西交通量（辆/分钟） 42 48 56 62 68 【信息二】兴趣小组的同学希望根据两个不同方向的拥堵情况来合理设置中间“可变车道”的方向. 通过查阅资料发现：若单位时间内双向交通总量设为，当车流量较大的方向的交通量时，道路非常拥堵，需要通过把“可变车道”的行车方向与交通量较大的方向变为相同，去改善交通状况. 【解决问题】 （1）已知与x之间的函数关系式为，表格中=　 　； （2）求与x之间的函数系式（不写自变量的取值范围）； （3）请你通过计算判断该路段从7时至20时在比较拥堵时如何设置“可变车道”的方向以缓解交通拥堵？（即在什么时间段把“可变车道”设为哪个方向的车道） 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： 解不等式①，可得：x>－2 解不等式②，可得：x≤3 ∴不等式组的解集为：-2<x≤3， 在数轴上表示为： 故答案为：C． 【分析】先根据不等式的性质，求出每一个不等式解集，然后在数轴上画出每一部分，再取公共部分，要注意实心点和空心点的区别. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 得， 在数轴上表示为： ， 故选：A． 【分析】 当，方程有两个不相等的实数根，由此求出不等式的解集，即可得出选项． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，得． 故选：B． 【分析】根据不低于表示为“”，不高于表示为“”，即可得出答案． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：B. 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可得出答案. 5．【答案】5 【解析】【解答】解： 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解的和为， 故答案为：． 【分析】先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，得到整数解，再求和即可求出答案. 6．【答案】 【解析】【解答】解：∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【分析】根据同小取小得到，即可解题． 7．【答案】 【解析】【解答】解：∵点关于轴的对称点在第二象限， ∴点， ∴且， 解得，， 故答案为：． 【分析】根据第二象限点的坐标特征建立不等式组，解不等式组即可求出答案. 8．【答案】解：解不等式2x+5≤3(x+2) 去括号：2x+5≤3x+6 移项：2x−3x≤6−5 合并同类项：−x≤1 解得x≥−1； 解不等式 去分母：3x−1<1 移项：3x<1+1 合并同类项：3x<2 解得：x<. ∴不等式组的解集为−1≤x<， ∴不等式组的整数解−1，0。 【解析】【分析】首先分别求解不等式组中的每个不等式，对于含有括号的不等式，先去括号，再通过移项、合并同类项等步骤求解；对于含有分母的不等式，先去分母，再进行后续的移项、合并同类项等操作。然后求出两个不等式解集的公共部分，得到不等式组的解集。最后在解集范围内找出所有的整数，即为不等式组的整数解。 9．【答案】解：解：（I）； （II）； （III） （IV）． 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集. 10．【答案】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可. 11．【答案】解：， 解①得：， 解②得：， 不等式组的解集为， 它的整数解为． 【解析】【分析】 先求出每个不等式的解集解①得；解②得，再求不等式组的解集的为，最后写出所有整数解即可解答． 12．【答案】（1）解：设玉笛单价为元，则玉萧单价元， 由题意得：， 解得：， 经检验为分式方程的根， ， 答：玉萧的单价为元，玉笛的单价为元； （2）解：设学校计划购买玉箫支，玉笛支， 根据玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍， ， 解得：， 设总费用为， 则， ，则随的增大而增大， ∴当时，费用最少为：（元）， 答：学校最少需花费元． 【解析】【分析】（1）设玉笛单价为元，则玉萧单价元，再找出等量关系式求出，最后解方程求解即可； （2）根据题意找出等量关系求出，再求出，最后求解即可. （1）解：设玉笛单价为元，则玉萧单价元， 由题意得：， 解得：， 经检验为分式方程的根， ， 答：玉萧的单价为元，玉笛的单价为元； （2）解：设学校计划购买玉箫支，玉笛支， 根据玉箫的数量不少于玉笛数量的2倍， ， 解得：， 设总费用为， 则， ，则随的增大而增大， 故当时，费用最少为：元， 答：学校最少需花费元． 13．【答案】D 【解析】【解答】解：， 由①＋②，得：7x＋7y＝7m＋14， ∴x＋y＝m＋2， ∵x＋y≤1， ∴m＋2≤1，解得：m≤−1， 解不等式5x−m＞0，得：x＞， 解不等式x−4＜−1，得：x＜3， 故不等式组的解集是：＜x＜3， ∵不等式组只有3个整数解， ∴−1≤＜0，解得−5≤m＜0， ∴−5≤m≤−1， ∴符合条件的整数m的值的和为−5−4−3−2−1＝−15， 故答案为：D. 【分析】先利用加减消元法求出x＋y＝m＋2，再结合可得m＋2≤1，解得：m≤−1，再利用不等式的性质及不等式组的解法求出＜x＜3，再结合“不等式组只有3个整数解”可得−1≤＜0，解得−5≤m＜0，可得−5≤m≤−1，最后将符合条件的整数m的值相加即可. 14．【答案】B 【解析】【解答】解：， 得：， ∵ ∴ 解得：， ∴m的最小整数解为4， 故答案为：B． 【分析】观察方程组中未知数的系数和x、y满足的不等式，将方程组相减得，然后代入不等式可得关于m的不等式，解不等式求出m的范围，再找出最小整数解即可. 15．【答案】B 【解析】【解答】解：解不等式得：， 解不等式得， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或， ∴或或或， 时，，原分式方程无解，故将舍去， ∴符合条件的所有整数的个数为3， 故答案为：B． 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答． 16．【答案】B 【解析】【解答】解：由数轴可得不等式的解集是x≤3，则4+m=3，则m=-1. 故选：B. 【分析】根据数轴上表示x的范围可得不等式的解集，根据解集求出m的值即可. 17．【答案】（1）乘法分配律 （2）去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 【解析】【分析】（1） 第步去括号依据的运算律是：乘法分配律； （2） 在第步 的时候就错了，右边的2漏乘了6，后面根据不等式基本性质解即可. 18．【答案】5 【解析】【解答】解：∵ 整数a使得关于x的一元二次方程有实数根， ∴a-2且， ∴且a-2， 解不等式组， 解得：， ∵ 且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解， ∴a=2、1、0、-1、-2、-3， 又∵a-2， ∴a=2、1、0、-1、-3， ∴ 符合条件的整数a有5个. 故答案为：5. 【分析】根据已知条件可得a-2且，可求出a的范围，再根据的解集及关于x的不等式组有解且最多有6个整数解，即可得出答案. 19．【答案】（1）⑤ （2）解：去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得x<2． 【解析】【解答】解：根据性质3：两边同时除于负数不等号要改变方向，故⑤开始错误. 【分析】(1)根据解不等式的步骤与不等式的性质可知答案； （2）利用解不等式的步骤解答即可 20．【答案】（1）解：设在提供的时间段内进入停车场有私家车x辆，客车y辆， 根据题意，得：， 解得：， 答：在提供的时间段内进入停车场有私家车 200辆，客车 120辆. （2）解：设学校租用 A型号客车a辆车，租用 B型号客车(20-a)辆， 根据题意，得： 解得：10 ≤a≤12， ∵a为整数， ∴a的整数解为10、11、12， 即：学校有3种租车的方案 ①租用 A 型号 10 辆，租用 B型号 10 辆，租金为：10×320+10×400=7200(元)， ②租用A型号 11 辆，租用B型号9辆，租金为：11×320+9×400=7120(元)， ③租用 A 型号 12 辆，租用B型号8辆，租金为：12×320+8×400=7040(元)， ∵7040<7120<7200，∴最少的租车费用为7040 元. 答：学校可以选择①、②、③三种租车方案，最少租车费用为 7040 元. 【解析】【分析】 （1）方法一设在提供的时间段内进入停车场有私家车x辆，客车y辆，根据私家车和客车共320辆 ， 每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人.等量关系，列二元一次方程组，求解即可； （2）根据已知条件，设学校租用 A型号客车a辆车，租用 B型号客车(20-a)辆，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，租车费用不超过7200元列不等式组，根据a的整数解的取值数，可以确定租车方案，以及最少的租车费用. 21．【答案】（1）3；1.5≤x<2.5 （2）解： 根据题意可得：，为整数， 设，为整数， 则， ， ，， ， ，，， 则，，； （3）解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵不等式组有解， ∴， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴，则， ∴． 【解析】【解答】解：（1）∵， ∴； 故答案为：， ， ∴，即， ∴； 故答案为：；（2）（3） 【分析】（1）①根据题目所给新定义，将的十分位进行四舍五入即可；②根据题意可得，再根据不等式的性质求解即可； （2）根据题意可得：，为整数，设，为整数，将原式改写为，根据题目所给新定义可得，求出k的取值范围，即可求出x， （3）求解不等式组得，根据该不等式组有且只有4个整数解，得出，则，即可求解． 22．【答案】（1）58 （2）解：设 将，和，代入 得， 解得， （3）解： ①当时，即 解得， ②当时，即 解得， 时到时，可变车道方向设为自西向东； 19时到20时，可变车道方向设为自东向西. 【解析】【解答】解：（1）当x＝14时，a＝﹣5×14+128＝58， 故答案为：58 【分析】（1）根据题意将x的值代入一次函数解析式，进而即可求解； （2）根据题意运用待定系数法即可得到y2与x的函数关系式； （3）根据题意得到，进而分类讨论：①当时，②当时，分别求出x的取值即可。 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $