第三讲 方程与方程组-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理招 参考答案 31 《实数》跟踪训练 6.原式=2xy 5.C;6.C. 7.第一年到第三年买书资金的平均增长率为20% 1.(1)C,(2)B:2.±2：3.A:4.A:5.B:6.C 当x=(宁)”y=2严时，原武=2x(宁)严×2=1 7.原式=2+3-3+1+1=4. 7-18子：9.c 《方程与方程组》抢分演练 《实数》抢分演练 10.原式=62 题号12345678 《代数式》抢分演练 答案ADBDCADB 题号12345678 二、9.4：10.1684： 答案BACCC DDC 11.50012.12或2， 二、9.-2：10.3×107；11.-3：12.1： 题号12345678 13.2:14.4或7. 13.-2%:14.3. 答案DDDDCAC C 三，15.(1)x=3, 三、15.(1)原式=3.(2)原式=4. 二、9.-1：10.6：11.16：12.-2a-2b: ly=4. 16.(1)因为B是原点，AB=2,BC=1,所以点C表 13.39:14.128. 三、15.(1)原式=2 2)r=号 示1，点A表示-2，所以p=-2+0+1=-1. (2)因为原点O在图中数轴上点C的右边，且CO (2)原式=x2-3y 16.(1)证明：因为△=[-(2m+1)]-4×(m2+ m)=1>0, 28,所以点C表示-28，点B表示-29，点A表示-31，所 16.原式=-2m-6, 所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 以p=-28+(-29)+(-31)=-88. 因为m=√16+tan45°=4+1=5，所以原式= (2)因为x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数 17.(1)乙村位于甲村的正东方向，距离甲村18千米 -2×5-6=-16. 根为a,b,所以a+b=2m+1,ab=m2+m. (2)记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为： 17.(1)20,n(n+1). 第1次：1+141=14（千米）， (2)42,(n+2)(n+3). 因为(2a+b)(a+2b)=20,所以2a2+4ab+2b2+ ab=20,2(a+b)2+ab=20. 第2次：114+(-10)1=4（千米） (3)当n=10时，共有白色瓷砖110块，黑色瓷砖 以2(2m+1)2+m2+m=20,即m2+m-2=0 第3次：14+(+8)1=12（千米）， 46块，所以110×30+46×25=4450（元）. 解得m=1或m=-2,所以m的值为1或-2. 第4次：112+(-7)1=5（千米）， 答：共需4450元购买瓷砖. 17.(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份. 第5次：15+(+13)1=18（千米）， 18.(1)由题意，得M=b-2a-2(a-2b)=b-2a (2)设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份， 第6次：118+(-6)1=12（千米）， 2a+4b=5b-4a. 第7次：112+(+12)1=24（千米）， (2)5a-4b-(5b-4a)=9a-9b. 由题您知，梁+6120解得a=60 a 第8次：124+(-6)1=18（千米）， (3)第四次操作后甲、乙所得整式的差为3(a-b) 经检验，a=60是分式方程的解 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处 =81a-81b. 答：购买牛肉面60份. 为24千米. 19.(1)1024不是“和差数”，2046是“和差数” 18.(1)公司销售A产品每月的增长率为50% (3)冲锋舟当天航行总路程为1+141+1-10】 (2)因为“和差数”M的千位数字为a,百位数字为 (2)设每套A产品需部降价y万元，则平均每月可售出 +1+81+1-71+1+131+1-61+1+121+-61=14+ b,十位数字为c,个位数字为d, 10+8+7+13+6+12+6=76(千米)， 所以M=1000a+100b+10c+d,(d+c)(d-c)= (30+0.5×20)套，依题意，得(2-y)(30+05×20)= 10a+b.所以M=100(10a+b)+10c+d. 则76×0.5=38（升）. 答：该冲锋舟油箱容量至少是38升 所拟P0-11t0+ 70,解得1=4=1.因为尽量减少库存，所以灯=1. c+d 答：每套A产品需降价1万元 18.(1)两；9；3. 19.(1)豆沙棕的单价为4元，肉棕的单价为8元 (2)求32768的立方根，因为1000<32768 < 100(d+c)(d-c)+c+d+9c=100(d-c)+1+ c+d 1000000,所以32768的立方根是两位数， (2)①设豆沙棕优惠后的单价为α元，则肉棕优惠 因为32768的个位数是8，所以32768的立方根个 c+d 后的单价为b元， 位数是2. 因为C(),P()均是整数，所以设是=：≠ 依超十保号化 因为33<32<4，所以32768的立方根十位数是3 综合可得，32768的立方根是32. 9c o),eta=m,所以d=c,9e=m(c+d)=m(hkc+c) 所以豆沙棕优惠后的单价为3元，肉棕优惠后的单 价为7元 求-274625的立方根，因为1000<274625 < =mc(k+1),所以9=m(k+1). ②依题意得[3m+(40-m)×7]×(80-4m)+[3 1000000,所以274625的立方根是两位数. ×(40-m)+7m]×(4m+8)=17280, 因为274625的个位数是5，所以274625的立方根个 因为m,k均为整数，所以可得三3， 或 k+1=3 位数是5. 解得m=19或m=10.因为m≤子(40-m),所以 因为63<274<7，所以274625的立方根十位数是 或{”所以 (k=2 6,所以274625的立方根是65，所以-274625的立方根 m≤9所以m=10 9c 是-65. 名当时即=2=3.解得d lk=8, 《不等式与不等式组》跟踪训练 19.(1)已知a,b是有理数，当ab≠0时，①a<0,b 2c. a 1.B:2.(1)B:(2)-3≤a<-2. <0a+0=-1-1=-2:20>0,6>0 因为100>(d+c)(d-c)=10a+b>10,所以 e=2,e=3,c=4,所以M的数值为1224,2736. 3.(1)A,B玩具的单价分别为50元、75元 +0=1+1=2:③a,6异号，10+6=0，故0 b ld=4,ld=6,ld=8. (2)设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个 9e 由题意可得50y+75×2y≤20000，解得y≤100，所 +6=±2或0. 4848,当m=时，即4=8：+=1，解得d=8c,以最多购置100个A玩真 (2)已知a,6c是有理数，当abc≠0时，①a<0,b所以C二所以M的数值为6318， 4.x>1. ld=8, 5.(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价 <0.c0,a+6+=-1-1-1=-3:2a 综上，M的数值为1224,2736,4848,6318 为9元 b >0,6>0,e>0,a+b+ =1+1+1=3: 《方程与方程组》跟踪训练 (2)0根据题意得600-≥390，解得120≤x≤ l600-x≤4x, 210且x为整数， ③0,6，c两负一正，+6+后=-1-1+1= b 1.D 2.客车的载客量为40人 ②设采购A种饰品x件时的总利润为元 当120≤x≤150时，w=15×600-10x-9(600- -1:④a,6c两正一负a+6+=-1+1+1 3.(1)B (2)每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格 x),即0=-x+3600 =1.故+合+=±1或±3， 是300元. 因为-1<0，所以w随x的增大而减小，所以当x= 4.设第一批足球单价为x元，则第二批足球单价为 120时，w有最大值3480， (3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc<0,则 (x-2)元， 当150<x≤210时，0=15×600-[10×150+10 b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,a,b,c两正一负，则 由题意得00×2=1560，解得x=80. ×60%(x-150)]-9(600-x), +折+出 =-1-1+1=-1. 1x-2 整理得m=3x+3000,因为3>0，所以w随x的增 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，则 大而增大，所以当x=210时，0有最大值3630. 《代数式》跟踪训练 第二批足球单价为x-2=80-2=78(元)， 因为3630>3480，所以w的最大值为3630，此时 所以学校两批共买了是球'公=30个)。 600-x=390. 1.A;2.B;3.D;4.(1)±2，(2)36x-25: 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获 5.(x+y)(x-z). 答：该学校两批共购买了30个足球 利最大，最大利润为3630元数理极 专项提分 第三讲 方程与方程纽今 ©山东乔智 第一部分 <← 抢分前言 (1)等式的基本性质：① :② (2)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程 其一般形式为 (3)解一元一次方程的步骤：去分母、、移项、、系数化为1 (1)一元二次方程：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程 其一般形式为 (2)一元二次方程的解法有 方 (3)一元二次方程的求根公式是 一元二次方程根的判别式是 时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当」 时， 一元二次方程有两个相等的实数根，当 一时，一元二次方程没有实数根 方 (1)分式方程： 中含有未知数的方程叫做分式方程 组 (2)解分式方程的基本思想是 ,即将分式方程转化为」 ,而转化的关键 是 ,将分式方程转化为整式方程后，所得整式方程的根有可能使原分式方程 的分母为0，这时的根就是原分式方程的 ,因此求得的根必须检验 二元 (1)二元一次方程：含有个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程叫二 元一次方程. 次 方程 (2)含有相同未知数的两个二元一次方程合在一起组成了二元一次方程组 (3)解二元一次方程组的基本思想是」 ,即化“二元”为 ,达到将二元 (组) 一次方程组转化为 —的目的，消元的基本方法有 和 第二部分 抢分培训 考点1：等式的基本性质 例1设x,y,c是实数，正确的是( A.若x=y,则x+c=c-y B.若x=y,则c-x=c-y 考点3：解二元一次方程（组）及其应用 例3某学校课后兴趣小组在开展手工制 C.若x=y,则=上 作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱 D.若元=六则2=3y 体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分 做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁 解：A.若x=y,则x+c=y+c,故该选项错 出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面利 误，不符合题意；B.若x=y,则c-x=c-y,故 2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可 该选项正确，符合题意；C.若x=y且c≠0，则x 以做成包装盒的个数为 A.6 B.8 C.12 D.16 =亡，故该选项错误，不符合题意：D.若=六 解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底 则3x=2y,故该选项错误，不符合题意.故选B. 面 跟踪训练1：已知a=b,下列等式不一定成 立的是 由阳金62邦所以 ly=8, ( A.5a =56 B.a+4=b+4 2x=12.故选C. D.3=3 跟踪训练3(1)：已知关于x,y的二元一次方 C.b-2=a-2 c 程组3x-y=4m+1, 的解满足x-y=4,则m 考点2：一元一次方程的应用 lx +y =2m-5 的值为 () 例2古代中国的数学专著《九章算术》中 有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两 A.0 B.1 C.2 D.3 今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有 (2)某商家销售A,B两种查干湖野生鱼，如 生丝30斤，干燥后耗损3斤12两（古代中国1斤等 果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元； 于16两).今有干丝12斤，问原有生丝多少？”则 购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元.分 原有生丝为 别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格， 斤 解：设原有生丝x斤，依题意，得30 0-3号 音解得：=约故填的 跟踪训练2：某校组织七年级学生到江姐故 考点4：分式方程的解法及其应用 里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没 例43月12日植树节期间，某校环保小卫 有座位；租用5辆，还空10个座位.求该客车的载 士组织植树活动.第一组植树12棵；第二组比第 客量 一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树 7 的棵数相等，则第一组有 解：设第一组有x人，则第二组有(x+6)人， 根据题意，得12-36 6,去分母，得2(x+6)3 36x,解得x=3,经检验，x=3是原方程的根.故 填3. 跟踪训练4：为营造良好体育运动氛围，某 学校用800元购买了一批足球，又用1560元加 购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量 的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买 了多少个足球？ 考点5：解一元二次方程 例5 解方程：x2-3x+2=0. 解：方程可化为(x-1)(x-2)=0,解得x1 =1,x2=2. 跟踪训练5：用配方法解方程x2-4x-1=0 时，配方后正确的是 ( A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 考点6：一元二次方程根的判别式 例6若关于x的一元二次方程x2-2x+k =0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 解：因为关于x的方程x2-2x+k=0有两 个不相等的实数根，所以△=b2-4ac=（-2) -4h>0,解得k<1.故填k<1. 跟踪训练6：关于x的一元二次方程x2+2ax +a2-1=0的根的情况是 A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.实数根的个数与实数a的取值有关 考点7：一元二次方程的应用 例7如图，在长为100m, 宽为50m的矩形空地上修筑 四条宽度相等的小路，若余 下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 3600m2,则小路的宽是 A.5 m B.70m C.5m或70m D.10m 解：设小路宽为xm,依题意得(100 2x)(50-2x)=3600,解得x1=5,x2=70(不 合题意，舍去)，所以小路宽为5m.故选A. 跟踪训练7：为了让学生养成热爱图书的习 惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍.已知 第一年该学校用于购买图书的费用为5000元， 第三年用于购买图书的费用是7200元，求第一 年到第三年买书资金的平均增长率. 8 专项提分 数理极 17.(10分)某公司不定期为员工购买某预 第三部分 《方程与方程组》 制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品 抢分演练 (1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱 面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格 ○数理报社试题研究中心 分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ 元一次方程，则a= (满分：120分 时间：90分钟) 10.若x=3是关于x的方程ax2-bx=6的 (2)由于公司员工人数和食品价格有所调 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 解，则1688-6a+2b的值为 整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购 买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份 题号12 3 4 56 78 11.某市政府切实为残疾人办实事，在区道 数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛 答案 路改造中为盲人修建一条长3000m的盲道，根 肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 1.关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 据规划设计和要求，该市工程队在实际施工时增 x=1,则m的值为 ( )加了施工人员，每天修建的盲道比原计划增加 A.3 B.-3C.7 D.-7 50%,结果提前2天完成，则原计划每天修建 2.a,b,c为有理数，如果a=b,那么下列变 m. 形不正确的是 () 12.数学的美无处不在，数学家们研究发现 A.a+2=b+2 B.2-a=2-b :弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度， 如三根弦长之比为15：12：10，把它们绷得一样 C.ac =be D.a=b c 紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和 3.用代人法解二元一次方程组的乐声：do,mi,s0,研究15,12,10这三个数的倒 18.(10分)某公司2月份销售新上市的A产 品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上 [,时，将方程①代入方程②，得到数发现立古0立此时我们称15,2,0升，4月份该公司销倍A产品达到5套，并且2月 1x+2y=4② ()为一组调和数，现有三个数：6,4，x(x>4),若要 到3月和3月到4月两次的增长率相同. 结果正确的是 组成调和数，则x的值为 (1)求该公司销售A产品每月的增长率； A.x-2-2x=4 B.x+2-2x=4 (2)若4产品每套盈利2万元，则平均每月 C.x+2+x=4 D.x+2-x=4 13.如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其 4.关于x的分式方程2x, 对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取 「程，=1一，2的解A4C”,若两个三角形重叠部分的面积为也的呼百地，经同查发现，A产品每套 的情况为 )4cm2,则它移动的距离A4'等于 cm. 0.5万元，公司平均每月可多售出20套；若该公 A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解 司在5月份要获利70万元，则每套4产品需降价 5.若关于x的一元二次方程x2-3x+m=0 多少？ 有两个相等的实数根，则实数m的值为( A.-9 B.-9 C. D.9 6.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速 14.若质数a,b满足a2-9b-4=0,则数据 通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路 a,b,2,3的中位数是 线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速 三、耐心解一解（共50分） 通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提 15.（每小题5分，共10分)解方程（组）： 高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的 19.(12分)为纪念爱国诗人屈原，人们有了 平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为 (1)x+y=7, 端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购 l2x-y=2: x千米/时，依题意，可列方程为 ( 买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知 4.10 7 10 肉粽单价是豆沙粽的2倍. x (1+409%)元=60 (1)求豆沙粽和肉粽的单价： B.10 7 (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上 x(1+40%)元=10 时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的 7 10 C.(1+40%)xx =0 60 20 5 购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）： 豆沙棕数量肉棕数量 付款金额 7 0=10 D.1+40%)xx 小欢妈妈20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 7若关于的方程，-2=22的解为 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种 正数，则m的取值范围是 ( 16.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-粽子打包成A,B两种包装销售，每包都是40个 人m>-号 B.m<3 4 (2m+1)x+m2+m=0. 粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按 C.m>-号且m≠0Dm<且m≠号 (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个其中每个粽子优惠后的单价合计.A,B两种包装 不相等的实数根； 中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙 8.某社区为了打造“书香社区”，丰富小区 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a+粽数量不超过肉粽的一半端午节当天统计发现， 居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于b)(a+2b)=20,求m的值. A,B两种包装的销量分别为(80-4m)包，(4m+ 采购A,B,C三种图书，A种每本30元，B种每本 8)包，A,B两种包装的销售总额为17280元.求 25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本， m的值. 最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案 有 () A.5种B.6种 C.7种D.8种 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 9.已知方程(a+4)x-3+2=0是关于x的