第二讲 代数式-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理招 参考答案 31 《实数》跟踪训练 6.原式=2xy 5.C;6.C. 7.第一年到第三年买书资金的平均增长率为20% 1.(1)C,(2)B:2.±2：3.A:4.A:5.B:6.C 当x=(宁)”y=2严时，原武=2x(宁)严×2=1 7.原式=2+3-3+1+1=4. 7-18子：9.c 《方程与方程组》抢分演练 《实数》抢分演练 10.原式=62 题号12345678 《代数式》抢分演练 答案ADBDCADB 题号12345678 二、9.4：10.1684： 答案BACCC DDC 11.50012.12或2， 二、9.-2：10.3×107；11.-3：12.1： 题号12345678 13.2:14.4或7. 13.-2%:14.3. 答案DDDDCAC C 三，15.(1)x=3, 三、15.(1)原式=3.(2)原式=4. 二、9.-1：10.6：11.16：12.-2a-2b: ly=4. 16.(1)因为B是原点，AB=2,BC=1,所以点C表 13.39:14.128. 三、15.(1)原式=2 2)r=号 示1，点A表示-2，所以p=-2+0+1=-1. (2)因为原点O在图中数轴上点C的右边，且CO (2)原式=x2-3y 16.(1)证明：因为△=[-(2m+1)]-4×(m2+ m)=1>0, 28,所以点C表示-28，点B表示-29，点A表示-31，所 16.原式=-2m-6, 所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 以p=-28+(-29)+(-31)=-88. 因为m=√16+tan45°=4+1=5，所以原式= (2)因为x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数 17.(1)乙村位于甲村的正东方向，距离甲村18千米 -2×5-6=-16. 根为a,b,所以a+b=2m+1,ab=m2+m. (2)记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为： 17.(1)20,n(n+1). 第1次：1+141=14（千米）， (2)42,(n+2)(n+3). 因为(2a+b)(a+2b)=20,所以2a2+4ab+2b2+ ab=20,2(a+b)2+ab=20. 第2次：114+(-10)1=4（千米） (3)当n=10时，共有白色瓷砖110块，黑色瓷砖 以2(2m+1)2+m2+m=20,即m2+m-2=0 第3次：14+(+8)1=12（千米）， 46块，所以110×30+46×25=4450（元）. 解得m=1或m=-2,所以m的值为1或-2. 第4次：112+(-7)1=5（千米）， 答：共需4450元购买瓷砖. 17.(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份. 第5次：15+(+13)1=18（千米）， 18.(1)由题意，得M=b-2a-2(a-2b)=b-2a (2)设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份， 第6次：118+(-6)1=12（千米）， 2a+4b=5b-4a. 第7次：112+(+12)1=24（千米）， (2)5a-4b-(5b-4a)=9a-9b. 由题您知，梁+6120解得a=60 a 第8次：124+(-6)1=18（千米）， (3)第四次操作后甲、乙所得整式的差为3(a-b) 经检验，a=60是分式方程的解 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处 =81a-81b. 答：购买牛肉面60份. 为24千米. 19.(1)1024不是“和差数”，2046是“和差数” 18.(1)公司销售A产品每月的增长率为50% (3)冲锋舟当天航行总路程为1+141+1-10】 (2)因为“和差数”M的千位数字为a,百位数字为 (2)设每套A产品需部降价y万元，则平均每月可售出 +1+81+1-71+1+131+1-61+1+121+-61=14+ b,十位数字为c,个位数字为d, 10+8+7+13+6+12+6=76(千米)， 所以M=1000a+100b+10c+d,(d+c)(d-c)= (30+0.5×20)套，依题意，得(2-y)(30+05×20)= 10a+b.所以M=100(10a+b)+10c+d. 则76×0.5=38（升）. 答：该冲锋舟油箱容量至少是38升 所拟P0-11t0+ 70,解得1=4=1.因为尽量减少库存，所以灯=1. c+d 答：每套A产品需降价1万元 18.(1)两；9；3. 19.(1)豆沙棕的单价为4元，肉棕的单价为8元 (2)求32768的立方根，因为1000<32768 < 100(d+c)(d-c)+c+d+9c=100(d-c)+1+ c+d 1000000,所以32768的立方根是两位数， (2)①设豆沙棕优惠后的单价为α元，则肉棕优惠 因为32768的个位数是8，所以32768的立方根个 c+d 后的单价为b元， 位数是2. 因为C(),P()均是整数，所以设是=：≠ 依超十保号化 因为33<32<4，所以32768的立方根十位数是3 综合可得，32768的立方根是32. 9c o),eta=m,所以d=c,9e=m(c+d)=m(hkc+c) 所以豆沙棕优惠后的单价为3元，肉棕优惠后的单 价为7元 求-274625的立方根，因为1000<274625 < =mc(k+1),所以9=m(k+1). ②依题意得[3m+(40-m)×7]×(80-4m)+[3 1000000,所以274625的立方根是两位数. ×(40-m)+7m]×(4m+8)=17280, 因为274625的个位数是5，所以274625的立方根个 因为m,k均为整数，所以可得三3， 或 k+1=3 位数是5. 解得m=19或m=10.因为m≤子(40-m),所以 因为63<274<7，所以274625的立方根十位数是 或{”所以 (k=2 6,所以274625的立方根是65，所以-274625的立方根 m≤9所以m=10 9c 是-65. 名当时即=2=3.解得d lk=8, 《不等式与不等式组》跟踪训练 19.(1)已知a,b是有理数，当ab≠0时，①a<0,b 2c. a 1.B:2.(1)B:(2)-3≤a<-2. <0a+0=-1-1=-2:20>0,6>0 因为100>(d+c)(d-c)=10a+b>10,所以 e=2,e=3,c=4,所以M的数值为1224,2736. 3.(1)A,B玩具的单价分别为50元、75元 +0=1+1=2:③a,6异号，10+6=0，故0 b ld=4,ld=6,ld=8. (2)设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个 9e 由题意可得50y+75×2y≤20000，解得y≤100，所 +6=±2或0. 4848,当m=时，即4=8：+=1，解得d=8c,以最多购置100个A玩真 (2)已知a,6c是有理数，当abc≠0时，①a<0,b所以C二所以M的数值为6318， 4.x>1. ld=8, 5.(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价 <0.c0,a+6+=-1-1-1=-3:2a 综上，M的数值为1224,2736,4848,6318 为9元 b >0,6>0,e>0,a+b+ =1+1+1=3: 《方程与方程组》跟踪训练 (2)0根据题意得600-≥390，解得120≤x≤ l600-x≤4x, 210且x为整数， ③0,6，c两负一正，+6+后=-1-1+1= b 1.D 2.客车的载客量为40人 ②设采购A种饰品x件时的总利润为元 当120≤x≤150时，w=15×600-10x-9(600- -1:④a,6c两正一负a+6+=-1+1+1 3.(1)B (2)每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格 x),即0=-x+3600 =1.故+合+=±1或±3， 是300元. 因为-1<0，所以w随x的增大而减小，所以当x= 4.设第一批足球单价为x元，则第二批足球单价为 120时，w有最大值3480， (3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc<0,则 (x-2)元， 当150<x≤210时，0=15×600-[10×150+10 b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,a,b,c两正一负，则 由题意得00×2=1560，解得x=80. ×60%(x-150)]-9(600-x), +折+出 =-1-1+1=-1. 1x-2 整理得m=3x+3000,因为3>0，所以w随x的增 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，则 大而增大，所以当x=210时，0有最大值3630. 《代数式》跟踪训练 第二批足球单价为x-2=80-2=78(元)， 因为3630>3480，所以w的最大值为3630，此时 所以学校两批共买了是球'公=30个)。 600-x=390. 1.A;2.B;3.D;4.(1)±2，(2)36x-25: 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获 5.(x+y)(x-z). 答：该学校两批共购买了30个足球 利最大，最大利润为3630元数理极 专项提分。 第二讲 代数式- ⊙河南杨向南 第一部分 抢分前言 单项式： ;多项式 统称为整式.同类项 单项式乘以多项式：m(a+b+c)= ;多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)= 平方差公式：(a+b)(a-b)=」 ;完全平方公式：(a±b)2 整式 幂的运算：am·a”= _;(a")"= ;(ab)"= :am÷a"= (a≠0). 因式分解的方法：①提公因式法：ma+mb+mc= -;②公式法：a2-2= 2ab +b2 代数式 设A,B表示两个整式，如果B中含有」 ,那么式子具(B≠0)叫做分式 分式有意义的条件是」 分式 一；分式值为零的条件是 分式的基本性质：分式的分子与分母」 ,分式的值 分式运第的公式：· ± 形如 (a≥0)的式子，叫做二次根式 二次根式 二次根式的运算：（√a)2= (a≥0)；/a2= :ab (a≥0，b≥0) _(a≥0，b>0);a.6 a0208 (a≥0，b>0). 第二部分 抢分培训 考点1：列代数式 B.2·a3=a,故该选项不正确，不符合题 例1某同学参加了7.5公里健康跑项目， 意； 他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了 C.3ab÷a=3ab,故该选项不正确，不符合 10分钟，此时他离健康跑终点的路程为 题意； 公里（用含x的代数式表示）： D.(a+2)(2-a)=4-2,故该选项正确， 解：根据题意可得，他离健康跑终点的路程 符合题意故选D. 为(7.5-10x).故填(7.5-10x). 跟踪训练3：下列计算正确的是( 跟踪训练1：某学校计划购买甲、乙两种品 A.5a-3a=2 B.a6÷a3=a2 牌的电子白板共40台.甲、乙两种品牌电子白板 C.(a-b)2=a2-D.(a2b)3=ab 的单价分别为2.5万元/台和1.5万元/台，若购 考点4：平方差公式和完全平方公式 买甲品牌电子白板费用为2.5(20+x)万元，则 例4已知2a2-a-3=0,则(2a+3)(2a 购买乙品牌电子白板费用为 ( -3)+(2a-1)2的值是 ( A.1.5(20-x)万元B.1.5(40-x)万元 A.6 B.-5C.-3D.4 C.1.5(20+x)万元D.1.5x万元 解：由2a2-a-3=0得2a2-a=3, 考点2：同类项的识别 所以(2a+3)(2a-3)+(2a-1)2=4a2- 例2下列单项式中，xy2的同类项是 9+4a2-4a+1=8a2-4a-8=4(2a2-a）- 8=4×3-8=4.故选D A.y2 B.-2xyC.xy D.2x2v 跟踪训练4：(1)已知y2-my+1是完全平 解：x3y2的同类项是-2x3y2.故选B. 方式，则m的值是 跟踪训练2：下列每组中的两个代数式，属 (2)(5+6x)(6x-5)= 于同类项的是 考点5：因式分解 A.7a2b和3ab2 B和-2) 例5因式分解：x2y+2xy+y= 解：x2y+2xy+y=y(x2+2x+1)=y(x+ C.x2yz和x2y D.3x2和3y 1)2.故填y(x+1)2. 考点3：整式的运算 跟踪训练5：因式分解：x2+xy-xz-yz= 例3下列计算正确的是 A.2ab-2a =b 考点6：整式的化简求值 B.a2·a3=a6 例6先化简，再求值：(a-3b)(a+3b)+ C.3a2b÷a=3a D.(a+2)(2-a)=4-a2 (a-36)3,其中a=-3,6=分 解：A.2ab-2a≠b,故该选项不正确，不符 解：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)2=a2-9%2 合题意； +a2-6ab+9b2=2a2-6ab, 5 当a=-3,6=3时，原式=2×(-3)2 6×(-3)×号=24 跟踪训练6：先化简，再求值：(2x+y)2 (2x+)(2x-)-2y(x+),其中x=()。 y=210. 考点7：分式有意义的条件 例7 若代数式，2有意义，实数：的取 值范围是 解：若代数式32有意义，则x-2≠0，解 得x≠2.故填x≠2. 跟踪训练7：分式- 的值为0，则x的值 是 ( A.0 B.-1 C.1 D.0或1 考点8：分式的化简与求值 例8 已知x=5,则代数式3 24 x-4x2-16 的值为 解：原式 3(x+4) = (x-4)(x+4) 24 3x-12 3 (x-4)(x+4)=(x-4)(x+4)=x+4 因 为x=5,所以454=故填时 跟踪训练8：若3ab-3b2-2=0,则代数式 (1 2b)÷的值为 a2b 考点9：二次根式的有关概念 例9 若式子公+5 有意义，则x的取值范 围是 解：因为式子x+5 有意义，所以x+5≥0 且x≠0，所以x≥-5且x≠0.故填x≥-5且 x≠0. 跟踪训练9：下列二次根式中，与2是同类 二次根式的是 ( A.4 B.6 C.8 D.12 考点10：二次根式的混合运算 例10 计第：（露-3）÷万 解：原式=(4厅-3×)：万=(45- 5)÷√5=35÷√5=3.故填3. 跟踪训统10：计算：V2÷×2,2-62 6 专项提分。 数理极 17.(10分)如图5，用同样规格的黑白两色 第三部分 《代数式》 正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形，并探究 抢分演练 下列问题： ○数理报社试题研究中心 (1)在第4个图中，共有白色瓷砖 块，在第n个图中，共有白色瓷砖 块； 10.若x+y=3,y=2,则xy+xy的值是 (满分：120分 时间：90分钟) (2)在第4个图中，共有瓷砖 块，在 11.若m,n满足3m-n-4=0,则8m÷2" 第n个图中，共有瓷砖 块； 一、精心选一选（每小题5分，共40分）》 题号1 2 3 4 5 6 7 8 的值是 (3)如果每块黑瓷砖25元，白瓷砖30元，当 答案 12.若实数a,6在数轴上对应点的位置如图n=10时，共需花多少钱购买瓷砖？ 1.若代数式2有意义，则实数x的取值范 2所示，则化简√辰-√F+√(a+b)的结果 没 围是 ( =3 A.x≠2 B.x≥0 -3-2-10 n=2 图5 图2 C.x≥2 D.x≥0且x≠2 2.已知3=y,则31= 13.在初中数学文化节游 16 A.y B.1+yC.3+y D.3y 园活动中，被称为“数学小王 子”的王小明参加了“智取九 7 3化简42+x-2的结果是 宫格”游戏比赛，活动规则是： 18.(10分)甲、乙两人分别以a,b作为起始 在九宫格中，除了已经填写的 整式，第一次分别用自已的整式减去对方整式的 A.1 三个数之外的每一个方格中 图3 2倍，得到新的整式；以后每次都用自己得到的 C.x+2 ”药 填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对 整式分别减去对方得到整式的2倍.如下表所 角线上的3个数之和分别相等，且均为m.王小 4.下列计算正确的是 明抽取到的题目如图3所示，他运用初中所学的 甲、乙所得整式的差 A.(2)0=√2 数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= 起始整式 b a-b B.25+35=56 第一次操作 a-2b b 2a 3a-3b 14.1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作 -2b-2(b-2a) C.8=42 第二次操作 =5a-4b 《详解九章算法》中提到了如图4所示的数表，人 D.3(23-2)=6-23 们将这个数表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三 5.小敏在做数学作业时，不小心将式子中除 (1)写出M代表的整式，并化简； 角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，（α 号后边的代数式污染，即(：24-1)÷*，通 (2)求第二次操作后甲、乙所得整式的差： a2-1 +b)?展开的多项式中各项系数之和为 (3)请直接写出第四次操作后甲、乙所得整 过查看答案，答案为 一，则被污染的代数式* 式的差 为 (a+b)=a+b A.2a+1 B.a+1 (a+b)2=d2+2ab+b2 a+1 2a-1 1331 (a+b)=m+3a品+3ab2+b3 C.2a-1 D.+1 14641 (a+b)=d+4ab+6ab2+4ab+b a+1 2a-2 图4 6.下列计算正确的是 三、耐心解一解（共50分） A.x2·x3=x3 B.(x3)3=x6 15.(每小题5分，共10分)计算： C.x(x+1)=x2+1D.(2a-1)2=4a (1)5×6-⑧； 19.(12分)若一个四位数M的个位数字与 7.已知直角三角形的三边 十位数字的和与它们的差之积恰好是M去掉个 a,b,c满足c>a>b,分别以a 位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位 b,c为边作三个正方形，把两个 数M为“和差数”. 较小的正方形放置在最大正方 例如：M=1514,因为(4+1)(4-1)=15， 形内，如图1，设三个正方形无 图1 (2)(x+2y)(x-2y)-y(3-4y). 所以1514是“和差数”. 重叠部分的面积为S,,均重叠 又如：M=2526,因为(6+2)(6-2)=32 部分的面积为S2,则 ≠25，所以2526不是“和差数” A.S>S2 (1)判断1024,2046是否是“和差数”，并说 B.S <S, 明理由； (2)一个“和差数”M的千位数字为a,百位 C.S=S2 16.(8分)先化简，再求值：(m+2+2-m 5 数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记G(M) D.S,S,大小无法确定 8.观察下面两行数： 2m=4,其中m=6+an459 3-m1 =兰.且代0=”当《奶，P0为是整 1,5,11,19,29,… 数时，求出所有满足条作的M. 1,3,6,10,15,… 取每行数的第7个数，计算这两个数的和是 ( A.92B.87C.83 D.78 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 9.若最简二次根式√1-a与32是同类二 次根式，则a=