第一讲 实数-【数理报】2026年中考数学高效复习

数理招 参考答案 31 《实数》跟踪训练 6.原式=2xy 5.C;6.C. 7.第一年到第三年买书资金的平均增长率为20% 1.(1)C,(2)B:2.±2：3.A:4.A:5.B:6.C 当x=(宁)”y=2严时，原武=2x(宁)严×2=1 7.原式=2+3-3+1+1=4. 7-18子：9.c 《方程与方程组》抢分演练 《实数》抢分演练 10.原式=62 题号12345678 《代数式》抢分演练 答案ADBDCADB 题号12345678 二、9.4：10.1684： 答案BACCC DDC 11.50012.12或2， 二、9.-2：10.3×107；11.-3：12.1： 题号12345678 13.2:14.4或7. 13.-2%:14.3. 答案DDDDCAC C 三，15.(1)x=3, 三、15.(1)原式=3.(2)原式=4. 二、9.-1：10.6：11.16：12.-2a-2b: ly=4. 16.(1)因为B是原点，AB=2,BC=1,所以点C表 13.39:14.128. 三、15.(1)原式=2 2)r=号 示1，点A表示-2，所以p=-2+0+1=-1. (2)因为原点O在图中数轴上点C的右边，且CO (2)原式=x2-3y 16.(1)证明：因为△=[-(2m+1)]-4×(m2+ m)=1>0, 28,所以点C表示-28，点B表示-29，点A表示-31，所 16.原式=-2m-6, 所以无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 以p=-28+(-29)+(-31)=-88. 因为m=√16+tan45°=4+1=5，所以原式= (2)因为x2-(2m+1)x+m2+m=0的两个实数 17.(1)乙村位于甲村的正东方向，距离甲村18千米 -2×5-6=-16. 根为a,b,所以a+b=2m+1,ab=m2+m. (2)记录时冲锋舟离出发点甲村的距离为： 17.(1)20,n(n+1). 第1次：1+141=14（千米）， (2)42,(n+2)(n+3). 因为(2a+b)(a+2b)=20,所以2a2+4ab+2b2+ ab=20,2(a+b)2+ab=20. 第2次：114+(-10)1=4（千米） (3)当n=10时，共有白色瓷砖110块，黑色瓷砖 以2(2m+1)2+m2+m=20,即m2+m-2=0 第3次：14+(+8)1=12（千米）， 46块，所以110×30+46×25=4450（元）. 解得m=1或m=-2,所以m的值为1或-2. 第4次：112+(-7)1=5（千米）， 答：共需4450元购买瓷砖. 17.(1)购买杂酱面80份，购买牛肉面90份. 第5次：15+(+13)1=18（千米）， 18.(1)由题意，得M=b-2a-2(a-2b)=b-2a (2)设购买牛肉面a份，则购买杂酱面1.5a份， 第6次：118+(-6)1=12（千米）， 2a+4b=5b-4a. 第7次：112+(+12)1=24（千米）， (2)5a-4b-(5b-4a)=9a-9b. 由题您知，梁+6120解得a=60 a 第8次：124+(-6)1=18（千米）， (3)第四次操作后甲、乙所得整式的差为3(a-b) 经检验，a=60是分式方程的解 由此可知，救灾过程中，冲锋舟离出发点甲村最远处 =81a-81b. 答：购买牛肉面60份. 为24千米. 19.(1)1024不是“和差数”，2046是“和差数” 18.(1)公司销售A产品每月的增长率为50% (3)冲锋舟当天航行总路程为1+141+1-10】 (2)因为“和差数”M的千位数字为a,百位数字为 (2)设每套A产品需部降价y万元，则平均每月可售出 +1+81+1-71+1+131+1-61+1+121+-61=14+ b,十位数字为c,个位数字为d, 10+8+7+13+6+12+6=76(千米)， 所以M=1000a+100b+10c+d,(d+c)(d-c)= (30+0.5×20)套，依题意，得(2-y)(30+05×20)= 10a+b.所以M=100(10a+b)+10c+d. 则76×0.5=38（升）. 答：该冲锋舟油箱容量至少是38升 所拟P0-11t0+ 70,解得1=4=1.因为尽量减少库存，所以灯=1. c+d 答：每套A产品需降价1万元 18.(1)两；9；3. 19.(1)豆沙棕的单价为4元，肉棕的单价为8元 (2)求32768的立方根，因为1000<32768 < 100(d+c)(d-c)+c+d+9c=100(d-c)+1+ c+d 1000000,所以32768的立方根是两位数， (2)①设豆沙棕优惠后的单价为α元，则肉棕优惠 因为32768的个位数是8，所以32768的立方根个 c+d 后的单价为b元， 位数是2. 因为C(),P()均是整数，所以设是=：≠ 依超十保号化 因为33<32<4，所以32768的立方根十位数是3 综合可得，32768的立方根是32. 9c o),eta=m,所以d=c,9e=m(c+d)=m(hkc+c) 所以豆沙棕优惠后的单价为3元，肉棕优惠后的单 价为7元 求-274625的立方根，因为1000<274625 < =mc(k+1),所以9=m(k+1). ②依题意得[3m+(40-m)×7]×(80-4m)+[3 1000000,所以274625的立方根是两位数. ×(40-m)+7m]×(4m+8)=17280, 因为274625的个位数是5，所以274625的立方根个 因为m,k均为整数，所以可得三3， 或 k+1=3 位数是5. 解得m=19或m=10.因为m≤子(40-m),所以 因为63<274<7，所以274625的立方根十位数是 或{”所以 (k=2 6,所以274625的立方根是65，所以-274625的立方根 m≤9所以m=10 9c 是-65. 名当时即=2=3.解得d lk=8, 《不等式与不等式组》跟踪训练 19.(1)已知a,b是有理数，当ab≠0时，①a<0,b 2c. a 1.B:2.(1)B:(2)-3≤a<-2. <0a+0=-1-1=-2:20>0,6>0 因为100>(d+c)(d-c)=10a+b>10,所以 e=2,e=3,c=4,所以M的数值为1224,2736. 3.(1)A,B玩具的单价分别为50元、75元 +0=1+1=2:③a,6异号，10+6=0，故0 b ld=4,ld=6,ld=8. (2)设A玩具购置y个，则B玩具购置2y个 9e 由题意可得50y+75×2y≤20000，解得y≤100，所 +6=±2或0. 4848,当m=时，即4=8：+=1，解得d=8c,以最多购置100个A玩真 (2)已知a,6c是有理数，当abc≠0时，①a<0,b所以C二所以M的数值为6318， 4.x>1. ld=8, 5.(1)A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价 <0.c0,a+6+=-1-1-1=-3:2a 综上，M的数值为1224,2736,4848,6318 为9元 b >0,6>0,e>0,a+b+ =1+1+1=3: 《方程与方程组》跟踪训练 (2)0根据题意得600-≥390，解得120≤x≤ l600-x≤4x, 210且x为整数， ③0,6，c两负一正，+6+后=-1-1+1= b 1.D 2.客车的载客量为40人 ②设采购A种饰品x件时的总利润为元 当120≤x≤150时，w=15×600-10x-9(600- -1:④a,6c两正一负a+6+=-1+1+1 3.(1)B (2)每箱A种鱼的价格是700元，每箱B种鱼的价格 x),即0=-x+3600 =1.故+合+=±1或±3， 是300元. 因为-1<0，所以w随x的增大而减小，所以当x= 4.设第一批足球单价为x元，则第二批足球单价为 120时，w有最大值3480， (3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc<0,则 (x-2)元， 当150<x≤210时，0=15×600-[10×150+10 b+c=-a,a+c=-b,a+b=-c,a,b,c两正一负，则 由题意得00×2=1560，解得x=80. ×60%(x-150)]-9(600-x), +折+出 =-1-1+1=-1. 1x-2 整理得m=3x+3000,因为3>0，所以w随x的增 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意，则 大而增大，所以当x=210时，0有最大值3630. 《代数式》跟踪训练 第二批足球单价为x-2=80-2=78(元)， 因为3630>3480，所以w的最大值为3630，此时 所以学校两批共买了是球'公=30个)。 600-x=390. 1.A;2.B;3.D;4.(1)±2，(2)36x-25: 即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获 5.(x+y)(x-z). 答：该学校两批共购买了30个足球 利最大，最大利润为3630元数理极 专项提分 3 第一讲 实数 跟踪训练4：下列实数-1,0,2，-2，其 中最小的是 A.-1 B.0 ⊙江西刘平羽 C.2 第一部分 抢分前言 考点5：实数的估算 有理数 :无理数： 统称为实数 例8估计23的值应在 ( A.3.5和4之间 B.4和4.5之间 相反数： :倒数 确定了 和 的直线叫做敢轴： C.4.5和5之间 D.5和5.5之间 绝对值：正数的绝对值是 ,负数的绝对值是」 ,0的绝对值是 解：因为16<23<25，所以4<23<5， ,两个负数相比较，绝对值大的 排除A和D. 实数 科学记数法 又因为23更接近25，所以√23更接近5，所 平方根：一个正数a有两个平方根，它们 ,其中平方根为正数的四叫做 以23在4.5和5之间.故选C. a的 :0的平方根是」 :负教没有平方根 立方根：正数的立方根是 ,负数的立方根是 ,0的立方根是 跟踪训练5：如图2，数轴上表示实数7的点 可能是 () (a≠0)，a _(a≠0) P Q R S -2-1 0 12 345 图2 第二部分 抢分培训 A.点P B.点Q C.点R D.点S 考点1：实数的有关概念 A.-1 B.5 考点6：实数与数轴 例1 -子的倒数为 C.2 D.3.14 例9 已知数轴上的点A,B分别表示数a, A.- B.-3 考点2：平方根、立方根 b,其中-1<a<0,0<b<1.若a×b=c,数 例4 面积为9的正方形，其边长等于 c在数轴上用点C表示，则点A,B,C在数轴上的 c ( 位置可能是 () A.9的平方根 B.9的算术平方根 A B C A C B 解：- 子的倒数为- 故选入 -1 0 01 C.9的立方根 D.5的算术平方根 A B 例2 如图1，数轴上点A所表示的数的相 解：因为面积等于边长的平方，所以面积为 C A B 反数是 )9的正方形，其边长等于9的算术平方根.故选 -101 -101 D 解：因为-1<a<0,0<b<1,所以a< 0 36 9 例5-8的立方根是 ( 图1 ab<0.因为a×b=c,所以a<c<0. A.±2 B.2 A.9 B.- A.0<b<c<1,故此选项不符合题意： C.-2 D.不存在 B.a<c<0,故此选项符合题意： c D.-9 解：因为(-2)3=-8，所以-8的立方根是 C.c>1,故此选项不符合题意； 2.故选C. 解：因为A点表示的数为9，所以数轴上点A D.c<-1,故此选项不符合题意.故选B. 跟踪训练2：√6的平方根是 所表示的数的相反数是-9.故选D. 跟踪训练6：实数a,b,c在数轴上对应点的 例3下列各数中，是无理数的是( 考点3：科学记数法 位置如图3所示，下列式子正确的是 A号 例6科学家们通过对月球样品的研究，精 B.T a 0 确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿 图3 C.-1 D.0 年用科学记数法表示为 ( A.c(b-a)<0 B.b(c-a)<0 解：A.是分数，属于有理数，故本选项不 A.2.03×108年 B.2.03×10°年 C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0 C.2.03×100年 D.20.3×109年 考点7：实数的运算 符合题意： 解：20.3亿年=2030000000年=2.03× B.π是无理数，故本选项符合题意； 10年.故选B. 例10计算：（万-1）°+(-号)2-8= C.-1是整数，属于有理数，故本选项不符 跟踪训练3：纳米是非常小的长度单位，1nm 合题意； =0.000000001m,把0.000000001用科学记 解：原式=1+9-2=8.故填8 D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合 数法表示为 ( 题意.故选B. 跟踪训练7：计算：1-21+（兮）-厅+ A.1×10-9 B.1×10-8 跟踪训练1：(1)若a,b互为相反数，c的倒 C.1×109 D.1×10 (sin45°-1)°-(-1). 数是4，则3a+3b-4c的值为 A.-8 B.-5 考点4：实数的大小比较 C.-1 D.16 例7下列各数中，最大的是 A.-3B.0 C.2 D.-1 (2)在实数-1,5,2,3.14中，无理数是 解：因为1-11=1，所以-3<0<1-11< ( )2,所以最大的数是2.故选C 专项提分 数理报 第三部分 17.(10分)在某次抗洪抢险中，解放军战士 《实数》 的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从甲 抢分演练 村出发，晚上到达乙村，约定向东为正方向，当天 的航行路程记录如下（单位：千米）： ©数理报社试题研究中心 时山顶的气温约为 "C +14,-10,+8,-7,+13,-6,+12,-6. (满分：120分 时间：90分钟) (1)请确定乙村相对于甲村的具体方位？ 12.已知实数a,b在数轴上对应的点的位置 (2)救灾过程中，冲锋舟离出发地最远处有 一、精心选一选（每小题5分，共40分） 如图1所示，则化简1a-b1-1-a1+1b-21 多远？ 题号123 4 5678 的结果是 (3)为了尽快抢救灾民，冲锋舟出发前就加 答案 a 满了油，而且在救灾过程中不再加油，若冲锋舟 1.23的相反数是 -3-2-10123 图1 每千米耗油0.5升，那么该冲锋舟油箱容量至少 B.-23C.23 D.一23 13.现有若干张卡片，分别写有1，-2,4，是多少升？ 2.负数的概念最早出现在我国古代著名的 -8,16,-32,…,小明从中取出三张卡片，要满 数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作 :足三张卡片上的数字乘积为2”，其中三数之和 +5元，那么支出5元记作 的最大值记为A,最小值记为B,则A+B-4的值 ( 等于 A.-5元 B.0元 14.如果一个数的平方等于-1，记作2= C.+5元 D.+10元 -1,这个数叫做虚数单位.形如a+bi(a,b为有 3.在下列各数中：2万，3.142.只.A,m, 理数)的数叫复数，其中a叫做这个复数的实部， 18.(10分)据说，我国著名数学家华罗庚在 b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与 次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读 16,0.3737737773…(相邻两个3之间的7的 个数逐次加1)，其中无理数的个数是() 整式的加，减、乘法运算类似.如(2+)+(3-的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望 5i)=(2+3)+(1-5)i=5-4i,(5+i)×(3 求它的立方根.华罗庚脱口而出：39.乘客十分惊 A.2个B.3个C.4个D.5个 4.山西是全国电力外送基地，某年山西省全 -4i)=5×3+5×(-4)+i×3+i×(-4i)讶，忙问计算的奥秘.你知道华罗庚是怎样迅速 年外送电量达到1464亿千瓦时，同比增长 =15-20i+3i-4×2=15-17i-4×(-1)准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一 =19-17i. 试： 18.55%.数据1464亿千瓦时用科学记数法表示 为 请根据对以上内容的理解，利用目前学习的 (1)由103=1000.1003=1000000，可以 ( 有关知识计算：(2+)2+4°= 确定/59319是位数.由59319的个位 A.1.464×103千瓦时 三、耐心解一解（共50分） B.1464×108千瓦时 上的数是9，可以确定59319的个位上的数字 C.1.464×101千瓦时 15.(每小题5分，共10分)计算： 一，如果划去59319后面的三位319得 D.1.464×102千瓦时 13+5-1)°+2im30°-(-号： 到数59，而33=27,43=64，由此可以确定 5.下列无理数中，大小在3与4之间的是 59319的十位上的数字是 (2)已知32768，-274625都是整数的立 A.万 B.22C.3 方，按照上述方法，请你分别求它们的立方根. D./17 6.定义新运算“⑧”，规定：a⑧b=a2-b1, 则(-2)⑧(-1)的运算结果为 A.-5B.-3C.5 D.3 7.若a是最小的正整数，b是绝对值最小的 数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距 (2)(-1)m+(3)2+3am30°-(3-m)° 离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c:+1√5-21. rx(x>0), +d+e的值为 ( 19.(12分)我们知道x={0(x=0),所 A.1 B.2 C.-1D.-2 -x(x<0), 8.一般地，如果x”=a(n为正整数，且n> 1),那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的 以当>0时于=产=1当<0时云 是 ( A.16的4次方根是2 =兰=1，现在我们可以用这个结论来解决 B.32的5次方根是±2 16.(8分)如图2，在一条不完整的数轴上从 下面问题： C.当n为奇数时，2的n次方根随n的增大左到右有三个点A,B,C,其中AB=2,BC=1,设 (1)已知a,b是有理数，当ab≠0时，求 而减小 点A,B,C所对应数的和是P. D.当n为偶数时，2的n次方根有n个 若以B为原点，写出点A,C所对应的：a了+6的值 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 数，并求出p的值： (2)已知a,b,c是有理数，当abc≠0，求 9.若a,b互为相反数，c为8的立方根，则2a (2)若原点0在图中数轴上点C的右边，且： a+6+的值： +2b-c= C0=28,求p的值 10.我国古代数学家祖冲之推算出π的近似 (3)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,abc 值为需它与云的误差小于0.0003，将 <0,+析+片的值 图2 0.0000003用科学记数法可以表示为 11.“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地 势对气温的影响，大致海拔每升高100米，气温 约下降0.6℃，有一座海拔1150米的山，在这座 山上海拔为150米的地方测得气温为3℃，则此