精品解析：浙江省宁波市2022年初中毕业生学业水平考试冲刺演练数学试题(六)

宁波市2022年初中毕业生学业水平考试冲刺演练数学（六） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 2. 2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 用六个相同的正方体组成如图所示的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 6. 在观看奥运会的10米跳台跳水决赛时，小明根据比赛中7位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，若去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.5 10 9.571 0.173 A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 7. 已知一个不完整的题目：某工厂计划生产1800个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产5个，结果延期5天完成 B. 每天比原计划多生产5个，结果提前5天完成 C. 每天比原计划少生产5个，结果延期5天完成 D. 每天比原计划少生产5个，结果提前5天完成 8. 如图，正方形的对角线在y轴上，点A落在反比例函数第二象限内的图象上，若正方形的边长为，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 9. 如图，线段是半圆O的直径，直线l切半圆O于点C，于点D，直线l于点E，若，，则半圆O的半径是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（ ） A. ⑤和③的面积差 B. ④和②的面积差 C. ③和②的面积差 D. ⑤和②的面积差 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 分解因式：________． 12. 一个正五边形的外角和为________． 13. 在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和4个黄球，从袋中随机摸出一个小球，该小球是白色的概率为 _____． 14. 如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是_________． 15. 如图，在中，，，动点P在上，过的中点D作交的平分线于点Q，当点P沿直线从点B运动至点C时，点Q运动的路径长为___________． 16. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数图象恰好过DE的中点F．则k＝_____，线段EH的长为：____　． 三、解答题（本大题有8小题，共80分） 17. 计算以及解不等式： （1）计算． （2）解不等式． 18. 如图，在的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的点E，使得； （2）在图2中作出边上的点F（不与点B重合），使得； （3）在图3中作出边上的点G，使得． 19. 图1是放置在水平地面上的某款儿童自行车的实物图，图2是其示意图．点C，M，N位于同一水平线上，伸缩杆可以用来调节坐垫高度，已知车轮的半径为，，，当时，求自行车坐垫点A距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. 在平面直角坐标系中，已知关于x的一次函数和二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，求n的值． 21. 目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？ （2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 22. 甲、乙两地之间有一条笔直的公路，张老师从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地．小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上张老师后两人一起步行到乙地．设张老师与乙地的距离为，小亮与乙地的距离为，张老师与小亮之间的距离为，张老师行走的时间为．、与之间的函数图象如图1所示，与之间的函数图象（部分）如图2所示． （1）求小亮从乙地到甲地过程中y2（m）与x（min）之间的函数关系式； （2）直接写出点E的坐标和它的实际意义； （3）在图2中，补全整个过程中s（m）与x（min）之间的函数图象（标注关键点的坐标，所画图象加粗）． 23. 如图，在中，，，点D为边上的一点，将绕点C逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点A、E，连接． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）若取的中点F，连接，试探究线段和的关系，并说明理由． 24. 在中，，点是优弧上一动点． （1）如图1，当、、三点在同一直线上时，求证：为等边三角形． （2）如图2，延长，分别交，于点，，求证：． （3）如图3，延长交于点，过点作于点，交于点，的延长线与交于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2022年初中毕业生学业水平考试冲刺演练数学（六） （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的相反数为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义．直接根据“只有符号不同的两个数是相反数”判断即可． 【详解】解：的相反数为． 故选：B． 2. 2021年5月国家统计局公布了第七次人口普查结果，我国人口数约为1412000000，其中数据1412000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键． 3. 用六个相同的正方体组成如图所示的立体图形，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形即为主视图． 【详解】解：该立体图形的主视图为： ． 4. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，完全平方公式，根据相关运算法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，正确； C、，选项计算错误； D、，选项计算错误； 故选B． 5. 要使分式有意义，x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 分式有意义， 故选： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键． 6. 在观看奥运会的10米跳台跳水决赛时，小明根据比赛中7位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，若去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ） 中位数 众数 平均数 方差 9.5 10 9.571 0.173 A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据各统计量的概念，判断去掉一个最高分和一个最低分后统计量的变化即可． 【详解】解：从小到大排序后，原中位数为排序后第4个数据，去掉1个最高分和1个最低分后，剩余5个数据，新中位数为排序后第3个数据，对应原排序的第4个数据， 则中位数一定不变； 众数是出现次数最多的数，去掉的分数可能包含原众数，因此众数可能发生变化； 平均数受数据总和影响，去掉最高分和最低分后总和改变，因此平均数可能改变； 方差反映数据波动程度，数据改变后波动程度也会改变，因此方差可能改变； 综上，一定不发生变化的是中位数． 7. 已知一个不完整的题目：某工厂计划生产1800个零件，但是在实际生产时，…，求实际每天生产零件的个数．在这个题目中，若设实际每天生产零件x个，可得方程．则题目中用“…”表示的条件应是（ ） A. 每天比原计划多生产5个，结果延期5天完成 B. 每天比原计划多生产5个，结果提前5天完成 C. 每天比原计划少生产5个，结果延期5天完成 D. 每天比原计划少生产5个，结果提前5天完成 【答案】B 【解析】 【分析】根据设出的未知数和给定方程，结合工作总量、工作效率、工作时间的关系，即可推得缺失条件． 【详解】解：∵设实际每天生产零件个，给定方程为， ∴原计划每天生产个零件，可得实际每天比原计划多生产个零件， ∵工作时间， ∴原计划完成工作的时间为，实际完成工作的时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴原计划用时比实际多天，即实际生产提前天完成， 因此题中缺失条件为每天比原计划多生产个，结果提前天完成． 8. 如图，正方形的对角线在y轴上，点A落在反比例函数第二象限内的图象上，若正方形的边长为，则k的值为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据正方形的性质和勾股定理可得，进而得到点的坐标，即可求出k的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 正方形的对角线在y轴上，边长为， ，， ，， ， ， 点A落在反比例函数第二象限内的图象上， ． 9. 如图，线段是半圆O的直径，直线l切半圆O于点C，于点D，直线l于点E，若，，则半圆O的半径是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接、，根据圆的切线的性质推出，再结合等边对等角的性质得出，利用角平分线的性质可得，则，设半圆O的半径是，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、， \ 直线l切半圆O于点C， 直线l， 直线l， ， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 设半圆O的半径是，则，， 在中，， ， 解得：，即半圆O的半径是3． 10. 如图是由7个等边三角形拼成的图形，若要求出阴影部分的面积，则只需要知道（ ） A. ⑤和③的面积差 B. ④和②的面积差 C. ③和②的面积差 D. ⑤和②的面积差 【答案】B 【解析】 【分析】设每个等边三角形边长为xn，计算阴影部分面积可由③的边长减去②的边长乘③的高得到． 【详解】设每个等边三角形边长为xn， 如图，是等边三角，， ∴每个三角形面积为xn2． ∴阴影部分面积S＝x3（x3﹣x2）． ∵x1＝x3﹣x2，x1+x3＝x4， ∴④与②面积差等于（x42﹣x22）＝（x4+x2）（x4﹣x2）． ∵x1＝x3﹣x2，x1+x3＝x4， ∴x4+x2=2x3，x4﹣x2=2x1=2（x3﹣x2）， ∴化简得x3（x3﹣x2）． ∴观察上式可得阴影面积与④与②面积差相差四倍，则只需知道④和②的面积差． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，掌握边长为等边三角形的面积为是解题的关键． 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个正五边形的外角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】任意多边形的外角和为． 【详解】解：正五边形的外角和为． 13. 在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和4个黄球，从袋中随机摸出一个小球，该小球是白色的概率为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．用红球的个数除以球的总数即可求得答案． 【详解】解：袋子中装有3个红球，5个白球和4个黄球， 从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率是． 故答案为： 14. 如图，已知半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，使点B落在点处，与半圆O交于点C，若弧BC的长为，则图中阴影部分的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OB，根据BC的弧长可求得∠BOC=90°，进而可得∠BAC=45°，利用求解即可． 【详解】解：连接OC，设∠BOC=n°， ∵弧BC的长为，半圆O的直径， ∴，解得：n=90，即∠BOC=90°， ∴∠BAC=45°， ∴根据旋转的性质得 = = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式、圆周角定理、扇形面积公式，熟记公式，掌握圆周角定理是解答的关键． 15. 如图，在中，，，动点P在上，过的中点D作交的平分线于点Q，当点P沿直线从点B运动至点C时，点Q运动的路径长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接、，则是的中位线，，从而得出点、、三点共线，根据等角对等边，得出，点的运动路径是以为圆心，长为半径的弧上运动，即，根据为的中位线，得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，的中点，连接、， 点为的中点， 是的中位线， ， ， 点、、三点共线，即， ， 平分， ， ， ， 点的运动路径是以为圆心，长为半径的弧上运动， 点P沿直线从点B运动至点C， 点Q从点O开始运动，到C点停止，即为，如图， 的中点，的中点， 为的中位线， ， ， 点Q运动的路径长为． 16. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数图象恰好过DE的中点F．则k＝_____，线段EH的长为：____　． 【答案】 ①. -2 ②. 2 【解析】 【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值． 【详解】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示， ∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合， ∴BQ＝OQ，BE＝EO． ∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°． ∴∠EBQ＝∠DOQ． 在△BEQ和△ODQ中， ． ∴△BEQ≌△ODQ（ASA）． ∴EQ＝DQ． ∴点Q是ED的中点． ∵∠QNO＝∠BCO＝90°， ∴QN∥BC． ∴△ONQ∽△OCB． ∴． ∴S△ONQ＝ S△OCB． ∵S矩形OABC＝8， ∴S△OCB＝S△OAB＝4． ∴S△ONQ＝． ∵点F是ED的中点， ∴点F与点Q重合． ∴S△ONF＝． ∵点F在反比例函数y＝上， ∴＝． ∵k＜0， ∴k＝﹣2． ∴S△OAE＝＝． ∵S△OAB＝4， ∴AB＝4AE． ∴BE＝3AE． 由轴对称的性质可得：OE＝BE． ∴OE＝3AE．OA＝＝2AE． ∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝． ∴AE＝1． ∴OA＝2×1＝2． ∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°， ∴四边形OAEH是矩形． ∴EH＝OA＝2． 故答案分别为：﹣2、2． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性． 三、解答题（本大题有8小题，共80分） 17. 计算以及解不等式： （1）计算． （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根定义，绝对值意义，乘方运算法则，进行计算即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 18. 如图，在的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹． （1）在图1中作出边上的点E，使得； （2）在图2中作出边上的点F（不与点B重合），使得； （3）在图3中作出边上的点G，使得． 【答案】（1）如图1所示， （2）如图2所示， （3）如图3所示， 【解析】 【分析】（1）构造线段APCH，且使连接PH，交AC于点E．利用相似三角形的性质即可证明点E是符合条件的点； （2）过点A作AM⊥BC，交BC于点F．连接DF，利用直角三角形的性质可证明点F是符合条件的点； （3）取格点N，连接AN，交网格线于点G．连接NC，GC，利用全等三角形、勾股定理的逆定理、锐角三角函数可以证得点G是符合条件的点． 【详解】解：（1）取AP=3，CH=1，连接PH，交AC于点E． ∵APCH， ∴点E就是所求作的符合条件的点． （2）过点A作AM⊥BC，交BC于点F，连接DF． ∵AM⊥BC于点F， ∴∠AFB=90° ∵点D是AB的中点， ∴BD=DF． ∴点F就是所求作的符合条件的点． （3）取格点N，连接AN，交网格线于点G，连接NC，GC． 取格点Q，R，在和中， 且AN=AC． 在中， ∴点G就是所求作的符合条件的点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，熟知上述图形的判定与性质是解题的基础，利用正方形网格构造相应的相似三角形和直角三角形是解题的关键． 19. 图1是放置在水平地面上的某款儿童自行车的实物图，图2是其示意图．点C，M，N位于同一水平线上，伸缩杆可以用来调节坐垫高度，已知车轮的半径为，，，当时，求自行车坐垫点A距离地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】自行车坐垫点A距离地面的高度约为 【解析】 【分析】作，垂足为点H，解直角三角形得出，再求出结果即可． 【详解】解：作，垂足为点H，如图所示： ，， ， 在中，， ， ， 自行车坐垫点A距离地面的高度约为． 20. 在平面直角坐标系中，已知关于x的一次函数和二次函数． （1）求该二次函数图象的对称轴． （2）当时，一次函数的图象与二次函数的图象只有一个交点，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标，对称性求出对称轴即可； （2）联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，根据两个图象只有一个交点，得到对应方程的判别式等于0，进行求解即可． 【小问1详解】 解：令， 解得或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 对称轴为直线． 【小问2详解】 解：当时，二次函数的解析式为， 令，整理，得． ， ． 21. 目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？ （2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整； （3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率． 【答案】（1）200 （2）， 补图如下： （3） 【解析】 【分析】题目主要考查根据折线统计图与扇形统计图获取相关信息，包括满足条件的人数，圆心角度数，列表法或树状图法求概率等，理解题意，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据B类的人数及扇形统计图中所占的百分比即可得出调查的总人数； （2）先求出D、C类在扇形统计图中所占的百分比，然后用乘以C类百分比即为圆心角，用总人数乘以百分比即为C类的人数，然后补全折线统计图即可； （3）利用树状图法表示出所有可能，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：共调查的中学生家长数是：（人）； 【小问2详解】 D类所占百分比为：， 扇形C所对的圆心角的度数是：， C类的人数是：（人）， 故答案为：； 【小问3详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中2人来自不同班级共有8种， ∴选出的2人来自不同班级的概率． 22. 甲、乙两地之间有一条笔直的公路，张老师从甲地出发沿公路步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路骑自行车前往甲地．小亮到达甲地停留一段时间，原路原速返回，追上张老师后两人一起步行到乙地．设张老师与乙地的距离为，小亮与乙地的距离为，张老师与小亮之间的距离为，张老师行走的时间为．、与之间的函数图象如图1所示，与之间的函数图象（部分）如图2所示． （1）求小亮从乙地到甲地过程中y2（m）与x（min）之间的函数关系式； （2）直接写出点E的坐标和它的实际意义； （3）在图2中，补全整个过程中s（m）与x（min）之间的函数图象（标注关键点的坐标，所画图象加粗）． 【答案】（1） （2）点，实际意义：张老师出发后，被从甲地原路原速返回的小亮追上，此时他们距甲地 （3） 解：图象如下： 【解析】 【分析】此题为一次函数的应用，求一次函数解析式，一次函数的性质，画出函数图象，掌握相关知识是解决问题的关键， （1）把代入到中，即可求解； （2）点表示张老师出发后，被从甲地原路原速返回的小亮追上的距离，即可求解； （3）将关键点在图上标出，用折线连接即可． 【小问1详解】 解：设小亮从乙地到甲地过程中与之间的函数关系式为， 将代入到中， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：小亮的速度为，张老师的速度为：， 设分钟后，小亮追上张老师，根据题意得： ， 解得， ， 点， 张老师出发后，被从甲地原路原速返回的小亮追上，此时他们距甲地； 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，，点D为边上的一点，将绕点C逆时针旋转得到，点B、D的对应点分别为点A、E，连接． （1）求证：． （2）当，时，求的长． （3）若取的中点F，连接，试探究线段和的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3），．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，再根据角度的数量关系求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质，得出，，再结合旋转的性质，得出，利用勾股定理求出即可； （3）延长到点G，使，记和的交点为点O，证明，得到，，再根据平行和旋转的性质，证明，得到，，进而推出，即可得解． 【小问1详解】 证明：由旋转可知， ， ． 【小问2详解】 解：，， ，， 由旋转可知，，， ， ． 【小问3详解】 解：，．理由如下： 如图，延长到点G，使，记和的交点为点O， 点F为的中点， ． ， ． ，， ， ． 由（1）知， ． 由旋转知，， ， ，， ， ． 24. 在中，，点是优弧上一动点． （1）如图1，当、、三点在同一直线上时，求证：为等边三角形． （2）如图2，延长，分别交，于点，，求证：． （3）如图3，延长交于点，过点作于点，交于点，的延长线与交于点，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理得出，根据即可证明为等边三角形； （2）延长交于点，连接，同（1）证明为等边三角形，得出，根据圆周角定理得出，即可证明，得出，根据线段的和差关系即可得结论； （3）连接，设，则，利用含角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，根据，得出，根据相似三角形的性质即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，点、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 如图，延长交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是直径， ∴， 同理可知，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $