概率与统计全真试题专项解析-【数理报】2026年高考数学专项提分

60 概率与统计全 ©湖北 一、透析概率的定义 概率反映的是随机事件在一次试验中发生 的可能性的大小，是在大量相同的重复试验下随 机事件出现的频率的稳定性，是偶然中的必然 二、透析互斥事件的概率 若事件A发生，则事件B就不会发生，同样， 若事件B发生，则事件A就不会发生，这样的两 个事件称为互斥事件或称事件A与事件B互斥 从集合角度来看，事件A,B都是包含若千个结果 的集合，这两个集合的交集是空集，这一概念可 以推广到n个事件的情况.其中在一次试验中必 有一个会发生的两个互斥事件称为对立事件，从 集合角度来看，事件A,B都是包含若千个结果的 集合，这两个集合的交集是空集且这两个集合的 并集是全集， 三、透析相互独立事件的概率与条件概率 两个事件之间，事件A是否发生对事件B发 生的概率没有影响，同时事件B是否发生对事件 A发生的概率也没有影响，这样的两个事件称为 相互独立事件.若n个事件两两相互独立，则称 这n个事件相互独立.一些复杂事件有时可以转 化为相互独立事件同时发生的概率进行计算， 四、透析期望与方差 期望与方差是统计中的两个基本概念，高考 试题中常以它作为媒介，渗透函数、方程、不等 式、数列、向量、解析几何、立体几何等知识，设计 出一些新颖别致、知识融合、值得思索的试题 题型一 两个基本计数原理、。 排列与组合 例1 从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0， 2,4,6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数（用数字作答） 解析：若取的4个数字不包括0， 则排列数为CCA, 若取的4个数字包括0， 则排列数为CCA;A, 因此一共有CC?A+CC3AA?=1260个 没有重复数字的四位数， 点评：本题主要考查排列、组合的知识，考查 学生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能 力. 专题复习 真试题 必专项解析 李毅文 例2 4个家长和2个儿童去爬山，6个人需 要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长， 则不同的排列种数为 解析：先排队列的头和尾，有A:=12(种) 排法，再排中间的4人，有A=24(种)排法， 则不同的排法有12×24=288（种）. 点评：本题考查排列问题，考查学生分析问 题、解决问题的能力以及运算求解能力 题型二 二项式定理 例3 在(x-1)6的展开式中，x3项的系数 为 解析：(x-1)6展开式的通项公式为 T+1=C6x6-(-1)=（-1)Cgx6-, 令6-k=3,得k=3, 所以x3项的系数为(-1)3C6=-20. 点评：本题主要考查二项展开式通项公式的 应用，考查学生的运算求解能力 例4 已知(1-2x)4=-2a1x+4a2x2- 8a3x23+16a4x2,则a= ;a1+a2+a3+ 4= 解析：(1-2x)4=a +a(-2x）+ a2（-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4, 结合(1-2x)4的展开式可知a=C4=1, a1+a2+a3+a4=C4+C+C+C4=15. 点评：本题考查二项式定理的应用，考查学 生的运算求解能力. 题型三。 互斥事件、对立事件与 相互独立事件学为 例5 已知事件A,B相互独立，事件A发生 的概率为P(4)=弓，事件B发生的概率为 P(B)=2,则事件AnB发生的概率P(AnB) 为 (A 8 (B) 4 (D)0 解析：因为事件A,B相互独立，所以P(A∩ 数理极 BA)=P)P(B)=3x方=子 点评：本题考查相互独立事件的概率，考查 运算求解能力. 例6 有一道选择题考查了一个知识点， 甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对， 乙校有75人答对，用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人，求这个人做对该 题目的概率. (2)从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做 对该题的人数，求恰有1人做对的概率以及X的 数学期望. (3)若甲校同学掌握这个知识点则有100% 的概率做对该题目，若乙校同学掌握这个知识点 则有85%的概率做对该题目，未掌握该知识点 的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲 校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握 该知识点的概率为P2,试比较P1与P2的大小（结 论不要求证明) 解析：(1)从甲校抽取的100人中，有80人 答对，则从甲校随机抽取1人，这个人做对该题 目的概率P= 80 4 100 (2)由题知，X的所有可能取值为0,1,2， 从乙校随机抽取1人，答对该题目的概率 P'=75 100 所以PX=0)=(1-专)×(1-)=0 P(x=1)=专x(1-子)+(1-)× 1 3 4 5 P(X=2)= 3 所以E(0=0×0+1×7+2× 3 5= 即恰有1人做对的藏率为品 X的数学期塑为品 (3)该题做对分两种情况，一种是掌握知识 点并做对，另一种是没有掌握但随机选一个对 了，所以n×100%+(1-p)×=专 内×85%+(1-P)×=子， 解得A,=5=名所以>p 点评：本题考查相互独立事件、互斥事件的 概率、数学期望，考查学生的逻辑思维能力和运 数理招 专题复习 61 算求解能力. (2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),×0.72=0.85 (3,5),(5,3),(3,6),(6,3),(6,5),(5,6),共 点评：本题主要考查全概率公式，考查运算 题型四。 古典概型 16种 求解能力 当c=5时，a,b需要满足“7≤a+b≤13”， 例7某校文艺部有4名学生，其中高一、 所有可能情况为(1,6)，(6,1)，(2,6)，(6,2)， 题型六。 二项分布、超几何分布 与正态分布心衫 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组 (3,4),(4,3),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),共 织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概 10种. 例11小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈 率为 () 当c=6时，a,b需要满足“9≤a+6≤15”，或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若 所有可能情况为(4,5)，(5,4)，共2种. (A) 第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑 6 ()} 故共有2+10+16+16+10+2=56（种）6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑 c号 (D号 可能情况，所以所求概率P=0=5 7 5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一 解析：根据题意，从这4名学生中随机选2名 点评：本题主要考查古典概型，突出考查学 周跑11圈的概率为一；若一周至少跑11 组织校文艺汇演的基本事件有C=6(个)， 圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为 生的理性思维和探究能力. 其中这2名学生来自不同年级的基本事件 X,则期望E(X)= 有CC=4(个)， 题型五。条件概率与全概率公式 解析：小桐一周跑11圈的概率P=0.5× 所以这2名学生来自不同年级的概率 0.6+0.5×0.6=0.6.小桐一周运动量达标的 2 例9A,B,C,D,E五种活动，甲、乙都要选 概率p=1-0.5×0.4=0.8,显然X服从二项 分布B(4,0.8),故E(X)=4×0.8=3.2. 择三个活动参加.甲选到A的概率为 故选(D) 点评：本题考查相互独立事件的概率、二项 已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为 点评：本题主要考查古典概型、计数原理等 分布，创设健身活动的实际生活情境，考查概率 知识，考查学生的运算求解能力. 问题中的数学建模和运算素养 例8有6个相同的球，分别标有数字1,2， 解析：由题意知甲选到A的概率P二三 例12随着“一带一路”国际合作的深入， 3,4,5,6,从中无放回地随机取3次，每次取1个 记乙选择A活动为事件M, 某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推 球，设m为前两次取出的球上数字的平均值，n 乙选了A活动再选择B活动为事件N, 动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植 为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差 则P(M)= 3 区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 = 5, -1 x=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往 的绝对值不大于？的概率为 P(MN)= C3 的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推 解析：设3次取出的球上的数字依次为a,b, 三10 动出口后的亩收人Y服从正态分布N(x,s2),则 c,则无放回地随机取3次球的取法有A?= 3 所以P(NIM= P(MN) 10 (若随机变量Z服从正态分布N(u,σ2)，则P(Z 120(种)，则1m-n=“十b-a+6+c P(M) 3 5 <u+σ)≈0.8413) 点评：本题考查古典概型和条件概率，考查 (A)P(X>2)>0.2 +2|≤分，可得1a+6-21≤3 学生的运算求解能力， (B)P(X>2)<0.5 当c=1时，a,b需要满足“1≤a+b≤5”， (C)P(Y>2)>0.5 例10某校举办科学竞技比赛，有A,B,C 所有可能情况为(2,3)，(3,2)，共2种. (D)P(Y>2)<0.8 3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道 当c=2时，a,b需要满足“1≤a+b≤7”， 解析：由题意可知X~N(1.8,0.12),所以 题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A 所有可能情况为(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈ (3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,4),(4,3),共 题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86， 0.8413,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1 C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机 10种 P(X<1.9)≈1-0.8413=0.1587<0.2，所 当c=3时，a,b需要满足“3≤a+b≤9”， 选一题，正确率是 以(A)错误，(B)正确。 5000 所有可能情为(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)， 解析：A题库占5000+4000+3000-2' 5 因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2) (1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,4),(4,2), 4000 ≈0.8413，P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所 (2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4),共 B题库占5000+4000+3000=3， 以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y 16种 3000 1 C题库占500+400+300-4 <2.2)-P(Y≤2.1)≈0.8413-0.5=0.3413， 当c=4时，a,b需要满足“5≤a+b≤11”， 所以P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1) 则所求概率P=2×0.92+3×0.86+4 5 所有可能情况为(1,5)，(5,1)，(1,6)，(6,1)， ≈0.3413+0.5=0.8413>0.8，所以(C)正 62 确，(D)错误 故选(B)(C). 点评：本题主要考查正态分布，考查学生的 运算求解能力 例13 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球 胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为 p(2<p<1）,乙胜的概率为，p+9=1,且各 球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记P:为打完 k个球后甲比乙至少多得2分的概率，9为打完k 个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求P3P4(用p表示)； (2)若-=4，求p 94-93 (3)证明：对任意正整数m,P2m+1一92m+1< P2m-92m<P2m+2-92m+2 解析：(1)打完3个球后甲比乙至少多得2 分，只有一种情况：甲全胜得3分.所以P3=p. 打完4个球后甲比乙至少多得2分， 有两种情况：甲全胜得4分； 甲胜3个球得3分，乙胜1个球得1分 所以p4=p+C4·p(1-p)=p3(4-3p). (2)由(1)可知P4-P3=p3(4-3p)-p =3p3(1-p), 同理94-93=3g(1-9)=3p(1-p)3. 么=4，可得 94-93 4 即3p2-8p+4=0, 解得p=子或p=2(会) 所以p=子 (3)由2<p<1p+9=1, 可知0<9<3<p<1. 设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”， 则X~B(k,p), p2m=p2m+C2m‘p2m-lg+Cn‘p2-2q2+… +C2 对于P2m+1,考虑前2m个球的情况 若打完2m个球后，甲、乙得分一样，或者甲 比乙得分少，则第2m+1个球无论甲胜负，甲都 不可能比乙至少多得2分. 若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则 第2m+1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少 多得2分. 若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则 专题复习 第2m+1个球甲必须胜才能满足甲比乙至少多 得2分 所以pP2m*1=(p2m-Cm·p+g-l)+p Cn·p +1m-1 ·pm+l 故P2m-P2m41=9·Cm· m+ 0 同理92m-92m+1=p·C2·g >0 m-1 =9· p· m-1 22n =卫>1， 即P2m-P2m+l>92m-92m+1, 所以P2m+1-92m+1<P2m-92m: 对于P2m+2,考虑前2m个球的情况， 若打完2m个球后，甲比乙得分少，则剩下两 个球（第2m+1和2m+2个球）无论甲胜负，甲 都不可能比乙至少多得2分. 若打完2m个球后，甲、乙得分一样，则剩下 两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2 分 若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则 剩下两个球甲全胜，或者一胜一负都能满足甲比 乙至少多得2分. 若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则 剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多 得2分 所以P2m+2=p2.Cm·pg+(1-g2)·C ·pg-1+(p2m-C gm-1) p2·Cnm 2 ·p 9 m-I =P2n+pg·(Cm‘p2-Cm·p, 故P2m*2-Pp2m=pg·(Cn·p2-C·pg), 同理92m+2-92m=9pm·(C2m·9-Cm1·gp）, 所以(P2m+2-P2n）-(92m+2-92n） =pq"·Cm·(p2-g2)>0, 即P2m+2-P2m>92m+2-92m, 所以P2m-92m<P2m+2-q2m+2: 综上，P2m+1-92m+1<Pm-92m<P2m+2- 92m+2 点评：本题考查二项分布、递推思想、不等式 的性质，本题设置了乒乓球练习的情境，引入了 一组事件，并研究其概率之间的关系.试题要求 学生能够创造性地分析问题，在新颖的情境中积 极主动思考，建立新问题、新要求与已有知识的 联系，形成解题思路 数理极 题型七。离散型随机变量的分布 列、期望与方差 例14 已知随机变量X的分布列为 X 5 6 P 0.2 0.3 0.5 则期望E(X)= 解析：E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5 =6.3. 点评：本题考查随机变量的数学期望，意在 考查学生的数学运算能力. 例15 有5个相同的球，分别标有数字1,2， 3,4,5,从中有放回地随机取3次，每次取1个球 记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数， 则X的数学期望E(X)= 解析：X的所有可能取值为1,2,3， P(x=2)=C(5)）广x6 25 P(X=3)=CG×(5)）×6= 60 125 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 25 号 号 所以5()=1×云+2×号+3×号- 点评：本题考查离散型随机变量的分布列和 数学期望、排列组合，考查学生分析问题、解决问 题的能力，逻辑思维和运算求解能力. 题型八 用样本估计总体 例16 样本数据2,8,14,16,20的平均数为 ( (A)8 (B)9 (C)12 (D)18 解析：5(2+8+14+16+20)=12， 故选(C) 点评：本题考查平均数求解，考查运算求解 能力 例17 2024年巴黎奥运会，中国获得了男 子4×100米混合泳接力金牌，以下是历届奥运 会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录 (单位：秒)，数据按照升序排列. 数理极 206.78207.46 207.95 209.34209.35 210.68213.73 214.84216.93216.93 (1)求这组数据的极差与中位数； (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个 数据在211以上的概率； (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 y=-0.311x+b,年份x的平均数为2006，预测 2028年冠军队的成绩（精确到0.01秒）. 解析：(1)这组数据的极差为 216.93-206.78=10.15, 中位数为209.35+210.68 210.015. 2 (2)记“从这10个数据中任选3个，恰有2 个数据在211以上”为事件A, 由题可知，这10个数据中在211以上的有4 个，故P(A)= C2C 、 6×6 120- (3)由题可知，x=2006,y=211.399, 代人y=-0.311x+6, 得211.399=-0.311×2006+b, 解得b=835.265, 则y=-0.311x+835.265, 将x=2028代入， 得y=204.557≈204.56， 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒. 点评：本题考查极差、中位数、平均数、古典 概型、回归方程，考查学生的数据处理能力和运 算求解能力. 例18 某研究小组经过研究发现某种疾病 的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差 异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病 者该指标的频率分布直方图： 频率 频率 组距 组距 0.040 0.040 0.036 0.038 0.034 88 0.012 0.010 0.002 0.002入 095100105110115120125130指标0707580859095100105指标 患病者 未患病者 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临 界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或 等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是 将患病者判定为阴性的概率，记为p(c);误诊率 是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假 设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为 相应事件发生的概率. …专题复习 (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c 和误诊率g(c); (2)设函数f(c)=p(c)+g(c).当c∈ [95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区 间[95,105]的最小值 解析：(1)由题图知，(100-95)×0.002= 1%>0.5%,所以95<c<100, 则(c-95)×0.002=0.5%,解得c=97.5. q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002 =0.035=3.5%. (2)当95≤c≤100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002 =-0.01c+1.01, 以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82; 当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012 =0.012c-1.19, 9(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述， fe)=-0.008c+0.82,95≤c≤100， l0.01c-0.98,100<c≤105. 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95， 100]上单调递减，在(100,105]上单调递增，作 出f(c)在区间[95,105]上的大致图象（略），可 得f(c)在区间[95，I05]的最小值f八c)mm f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. 点评：本题主要考查频率分布直方图，函数 的解析式及最值，属于生活实践情境和探索创新 情境融合试题，第(1)问通过求临界值让学生切 实感受检测标准是如何制定的，第(2)问通过分 段函数考查利用函数的单调性求最值和数形结 合思想 题型九 变量间的相关关系 与统计案例总衫 例19 已知，为相关系数，则下列说法中错 误的是 (A)若X~N(,σ2)，则P(X≤u-o)= P(x≥4+σ） (B)若X~N(1,2),Y~N(2,2),则P(X <1)<P(Y<2) (C)1r1越接近1，线性相关性越强 63 (D)丨r丨越接近0，线性相关性越弱 解析：由正态曲线的对称性可知 P(X≤4-σ)=P(X≥u+σ)，(A)正确； 若X~N(1,2),Y~N(2,2), 则P(X<1)=P(Y<2)=?,(B)错误： 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成 对样本数据之间线性相关的程度，当！1越接近 1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当1r 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 弱.(C)(D)正确 故选(B). 点评：本题考查正态曲线、样本相关系数，考 查学生的运算求解能力. 例20 为研究某疾病与超声波检查结果的 关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病 的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值=0.001的独立性检 验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关， n(ad-be)2 附：x=a+b)(c+d)(a+c)(b+d n a+b+c+d. C 0.050 0.010 0.001 Xa 3.841 6.635 10.828 解析：(1)由题表可知，检查结果不正常者 有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有 180人，所以由样本估计总体得p= 280 =0.9. (2)零假设H:超声波检查结果与是否患该 疾病无关 X2=1000×(20×20-180×780)2 800×200×200×800 =765.625>10.828, 所以依据小概率值α=0.001的独立性检 验，我们推断H。不成立，即认为超声波检查结果 与是否患该疾病有关。 点评：本题考查古典概型、独立性检验，围绕 疾病与超声波检查结果的关系，考查学生分析问 题、解决问题的能力和运算求解能力.