三角函数全真试题专项解析-【数理报】2026年高考数学专项提分

专题复习 三角函数全真试题 鸣专顶解析 ⊙湖南柏川 一、注重诱导公式和三角恒等式的学习 2sin,co=1+cos 2an=1-cos 2a 2 利用诱导公式可以把任意的三角函数转化 为锐角三角函数，诱导公式起着变名、变号、变角 (4)幂的变换：如sina+cosa,sin-cosa, 等作用，可用“奇变偶不变，符号看象限”来帮助 sin·cosa,这三个式子如果已知其中一个式子 记忆三角恒等式在运用时要审查公式成立的条 的值，则其余两个的值也可求出。 件，要熟练掌握公式的逆用、反用、变形用，注意升 题型一。 任意角的三角函数 幂、降幂的特定公式 二、注重三角函数的图象、性质的学习 熟练掌握和运用函数y=sinx,y=C0sx, 例1已知角α的顶点为坐标原点，始边与 y=anx的性质解决三角函数的定义域、值域、x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1,a), 单调性、奇偶性、周期性等问题，这是解决函数与B(2,b),且cos2a= 三角函数结合问题的基础重点掌握函数y= 则1a-61=（ Asin(owr+p),y=Acos(ox+p)两类函数的五点 (B)5 5 作图法和图象变换过程，有关三角函数的定义域 与值域问题，最大值、最小值问题通常把函数解 (C)25 (D)1 5 析式化为y=Asin(wx+p)+B这种结构，然后 解析：由题意知cosa>0. 根据图象去求解 三、注重解三角形知识的学习 因为cos2a=2cos2a-1= 3 在高考解答题中解三角形知识常与三角函 5 1 数知识结合考查.正弦定理和余弦定理是解三角 所以cos= √后sina=±√6， 形问题的主要工具，是联系三角形边和角关系的 桥梁，在解答过程中要通过三角公式对由其得到 得1ana1= 5 的关系式进行化简、变形、整理，得到三角形的边 由题意知I tan a l= a-b 1-2 角关系.另外要注意角的取值范围和三角形这一 特定的几何背景 所以1a-61= 5 四、注重三角函数应用题 故选(B) 三角函数的实际应用是指用三角函数理论 点评：本题主要考查任意角的三角函数和三 解决生产、科研和日常生活中的实际问题.三角 角恒等变换，考查学生分析问题、解决问题的能 函数的知识产生于测量、航海和天文学，进而在 力以及运算求解能力 机械制造、电工、物理学等学科中得到广泛应用 对于测量、航海问题，要理解有关仰角、俯角、方 题型二 三角函数的化简、求值 位角等概念，画出示意图，将问题归结为解三角 形问题 五、注重常见方法和技巧的学习 例2设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0” 化归与转化思想是三角函数问题的主要思 的 想，主要表现在变换上，多种变换都需要我们去 (A)充分不必要条件 掌握 (B)必要不充分条件 函数的变换：如切化弦，一般来说把正切函 (C)充要条件 数变为正、余弦函数便于问题的解决，我们可用 (D)既不充分也不必要条件 同角三角函数关系中商数关系来转换；再如用诱 解析：由x=0得sin2x=0, 导公式呈现正弦和余弦之间的转化. 所以充分性成立； 其他常用的变换主要有： 由sn2x=0得x=受ke. (1)1的变换：如1=an平，1=sin2a+ 所以必要性不成立 c0s2a等. 故“x=0”是“sin2x=0”的充分不必要条 件，故选(A). (2角的变换：如a=2·号a=(a+B)-B, 点评：本题考查三角函数求值和充要关系的 &=[(a+B)+(a-B)]等. 判断，考查运算求解能力」 (3)式的变换：如cos2a=2cosa-1=1 例3已知0<&<T,cosg 草则 数理极 sin(a-平）= ( (B 2 (C) 32 10 (D) 72 10 解析：c0sa=2cas受-1 =2× -3 因为0<a<m,所以sina=4 所以in(a平）=牙(sma-eosa 点评：本题考查二倍角公式、两角差的正弦 公式、同角三角函数的基本关系，角的范围是三 角函数值的符号保证，时刻关注角的范围的影 响，考查学生的化归与转化能力以及运算求解 能力. 题型三 三角函数的图象与性质 例4 函数y=csx在[-受，平]上的值 域为 解祈：由函数)=0sx在[-受，0]上单调 递增，在[0，平]上单调递减， /(-号)=010)=1()=只 故函数y=osx在[-乃，4]上的值域为 [0,1]. 点评：本题考查余弦函数的值域，考查学生 的运算求解能力 例5 已知点(a,0)(a>0)是函数y= 2an(x-牙) 的图象的一个对称中心，则a的最 小值为 ( (A) 石 (B) 3 (C) (D) 3 解折：令-号= 2 k∈Z, 得x=钙+keZ 故y=2am(x-号) 的图象的对称中心为 (+号，0），kez. 由题意知a-经+号keN, 其最小值为于故选(B). 点评：本题考查正切函数图象的对称性，同 数理极 时考查运算求解能力. 6f(x)=sin(ox+o)(a >0,-< <)在[-晋]上单调递增，且x=晋为 f(x)图象的一条对称轴，（牙，0）是∫(x)图象 的一个对称中心，当x∈[0，]时，(x)的最 小值为 (A)- (B)- (C)-1 (D)0 解析：由题意得直线x=5与点（牙，0）是 ∫(x)图象相邻的对称轴和对称中心， 则×石=解得=2 且/(B)=sim(2×8+9）=1, 解得p=牙+2π(keZ), 又-m<9<m,所以p=哥， 故f()=sin(2x+写） 当xe[0,]时，2x+号e[罗]， 所以f()的最小值为f(受）=sin 、 ,故选(A. 点评：本题主要考查三角函数的图象与性 质，考查学生的转化与化归能力以及运算求解能 力. 例7 设函数f(x)=sin wx+cos wx(w> 0),若f(x+)=f(x)恒成立，且f(x)在[0， 平]上存在零点，则。的最小值为 (A)8 (B)6 (C)4 (D)3 解析：f(x)=sinωx+cos wx =2sin(ox+平）月 因为f(x+π)=f(x)恒成立， 所以π是f(x)的一个周期， 所以心2(aeN 则w=2m(m∈N). 当xe[o,g]时2r+e["+牙] 因为f(x)在[0，平]上存在零点， 所以+子≥，即m≥多 又meN,所以当m=2时，w取得最小值， 最小值为4，故选(C). 点评：本题考查三角函数的性质、辅助角公 式以及零点问题，考查学生的转化与化归能力以 及运算求解能力. …专题复习 例8 已知函数f(x)=cos(2x+p)(0≤ 9<m)f(0)=2 (1)求p; (2)设函数g()=了(x)+f(x-石)，求 g(x)的值域和单调区间. 解析：(1)因为f(0)=c0s9=2, 且0≤9<m,所以0=号 (2)g(x)=f(x)+f(x-石) =co(2x+5）+cos2x =cos2xcos号-sin2sin号+cos2x w2a-9n2 =5(停s2x-7in2) =5cos(2x+石） 因为余弦函数y=cos0的值域是[-1,1]， 令6=2x+石，那么函数y=5os0的值域就是 [-5,5],所以g(x)的值域为-√5,5]. 易知余弦函数y=cos0在[-T+2kT, 2kπ](k∈Z)上单调递增， 令2km-m≤2x+石≤2km(keZ), 得m侣≤x≤行-员e, 所以g(x)的单调递增区间为 [m-7晋m-]kez. 易知余弦函数y=cos0在[2kπ，2T+ π](keZ)上单调递减， 令2km≤2x+石≤2km+π(keZ), 得m晋≤x≤m+(keZ), 所以g(x)的单调递减区间为 -.k+( 点评：本题考查三角函数的解析式、值域、单 调区间，考查学生的应用意识及计算能力. 题型四 三角函数恒等变换 例9 已知 cos a cos a-sin a =5,则tan(a+ ( (A)25+1 (B)23-1 (C) (D)1-√3 解析：根据题意有cosa-sinc cos a 3 7 即1-am&=有，所以ana:1-5 3 以an(a+牙）=巴t 2、3 3 =25-1, 3 3 故选(B). 点评：本题主要考查三角函数的恒等变换， 考查学生的转化与化归能力以及运算求解能力. 例10 已知△ABC的面积为4，cos2A+ cos2B+2sinC=2,cos Acos Bsin C=子，则 ( (A)sin C sin2A+sin2 B (B)AB=√2 (C)sin A +sin B= 2 (D)AC2+BC2 =3 解析：cos2A+cos2B+2sinC=1-2sin2A +1-2sin2B+2sinC=2,所以sin2A+sin2B= sinC,(A)正确； 令a=BC,b=AC,e=AB,则= sin B 品C=2R(R为△ABC的外接国半径)， 由sin2A+sin2B=sinC, 得a2+b2=c·2R≥c2. 若a2+2>c2,则△ABC为锐角三角形， 则A+B>受，即A>牙-B, 则sinA>sin(号-B）=cosB, 所以sinC=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B =1,矛盾. 故+=心，即C=A+B=受， 所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0, 又co Acos Bsin C=cos Acos B=子， 所以sin Asin B=子 1 ab=2,所以n b 2 =2, 1 4 所以2R=√2，所以c=2R·sinC=2,(B) 正确； (sin A sin B)2=sin2A+sin2 B+2sin A. sin B sin C+2sin Asin B =1+2 2, 所以n4+加公=9(0正确： AC2+BC2=AB2=c2=2,(D)错误 故选(A)(B)(C). 点评：本题考查三角恒等变换和正余弦定理， 考查学生的转化与化归能力以及运算求解能力. 题型五 解三角形 例11 在△ABC中，BC=2,AC=1+√5， AB=6,则A= ( (A)45 (B)60 (C)120° (D)135 解析：cosA=1+3)2+6-4 2(1+3)×6 2(1+5)×6 因为0°<A<180°，所以A=45°. 点评：本题考查余弦定理的应用，在计算带 有根式的式子时，针对式子中相同或相近的数据 进行因式分解，减少计算量 例12 在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c.已知asin B=3 bcosA,c-2b=1,a= 万. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值， 解析：(1)因为asin B=√3 bcosA, 所以由正弦定理可得 sin Asin B =3sin Bcos A, 因为B∈(0，π)，所以sinB>0, 所以sinA=5cosA,所以tanA=√5. 又因为A∈(0，m),所以A=哥 (2)因为c-26=1,a=万，cosA=2, 所以由a2=b2+c2-2 becosA, 可得7=6+(26+1)2-26(26+1)×2 化简得b2+b-2=0, 又b>0,故b=1. 由c=2b+1,得c=3. (3)由正弦定理A b sin B' 得⑦ T sin B' sin 解得sinB=2T 14 因为b=1<3=c,所以B为锐角， cosB=V个-sinB=57 14 sin 2B =2sin Beos B=53 14 cos 2B =2cos2 B-1 =11 4 所以sin(A+2B)=sin(写+2B） =sin号cos2B+cos胥sin2B 专题复习 14 -7 点评：本题考查正弦定理与余弦定理、同角 三角函数的基本关系、二倍角公式、和角公式，意 在考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力. 例13 在△ABC中，a,b,c分别为△ABC的 内角A,B,C所对的边，c0sA=-行usin C= 42 (1)求c的值； (2)再从条件①，条件②，条件③这三个条 件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高 条件①：a=6; 条件②：asin B=10,2, 条件③：△ABC的面积为102. 解析：(1)因为osA=-子，A∈(0，m), 所以sinA=√个-cos2A=2 3 由正弦定理有asin C=sinA=22。 C= 42, 解得c=6. (2)如右图所 示，若△ABC存在，则 D 设其BC边上的高为 AD. A B 若选①，a=6,因为c=6,所以C=A, 因为4=-子<0， 这表明此时△ABC有两个钝角，而这是不 可能的，所以此时△ABC不存在，故BC边上的 高也不存在， 若选②，asin B= 102 3 102 由as加0=4万，有名 3 5 42 6 由正弦定理得么=各，所以6=5， 所以由余弦定理得 a=√02+c2-2 becos A =√25+36-2×5×6×(-3)=9. 此时△ABC是存在的，且唯一确定， 所以SAe=2 besin A=BC×AD, 解得AD=202 所以BC边上的高是20,2 若选③，△ABC的面积是102， 则Sam=besinA 2 数理极 =×6×22=10， 解得b=5, 由余弦定理可得 a=√2+c2-2 becos A =/25+36-2×5×6× (-3)=9, 此时△ABC是存在的，且唯一确定， 所以S=2a·AD=号4D=10万， 解得AD=202 所以BC边上的高是202 9 点评：本题主要考查利用正弦定理与余弦定 理解三角形、三角形面积公式及其应用，意在考 查学生的逻辑思维能力、运算求解能力 例14 记△ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,已知sinA+√5cosA=2. (1)求A; (2)若a=2,N2 bsin C=csin2B,求△ABC 的周长 解析：(1)由sinA+5cosA=2, 得7nA+亮sA=1, 所以sin(4+牙）=1 因为0<A<,所以牙<A+ 4T 3 所以4+号=受，故4=君 (2)由√2 bsin C=csin2B, 得2 bsin C=2 csin Bcos B, 由正弦定理得2 sin Bsin C=2 sin Csin Bcos B, 所以ewB=是 因为0<B<m,所以B=平 C=m-(A+B)-7晋 所以sinC=si 1个 n7=sin(+)》 sin T 3 cos E+cos3sin平 64 ,2 1 2 2+2 =6+2 4 b C 由正弦定理 sin A sin B sin C' 2 得 b T 7 sin m 4 sin 12 解得b=22,c=√6+2， 所以△ABC的周长为a+b+c=2+√6+32. 点评：本题考查辅助角公式、二倍角公式、正 弦定理等，意在考查学生的逻辑思维能力、运算 求解能力.