平面向量全真试题专项解析-【数理报】2026年高考数学专项提分

数理极 专题复习 平面而量全真试题%专项解析 ◎安徽胡福民 平面向量也是高考中的常考，点之一，考查方 解析：因为a∥b,所以2k=5×6, 式有两种，一是以选择题、填空题的形式去考查 解得k=15. 有关向量的基本知识；二是与三角函数、解析几 点评：本题主要考查平面向量的平行、向量 何等知识结合起来以解答题的形式考查，本文总的坐标运算，考查学生的运算求解能力. 结了第一种考查方式下的常见题型. 例3已知平面向量a=(x,1),b=(x- 题型一。 1,2x),若a1(a-b),则1a1= 向量的线性运算 解析：a-b=(1,1-2x), 根据a1(a-b),得 例1帆船比赛中，运 a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0, 动员可借助风力计测定风速 所以x=1,所以Ia=√2 的大小与方向，测出的结果 点评：本题考查平面向量的坐标运算和向量 在航海学中称为视风风速 的垂直、模，考查学生的运算求解能力. 12 视风风速对应的向量是真风 图1 例4已知向量a=(x+1,x),b=(x,2), 风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，则 () 其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量 (A)“x=-3”是“a1b”的必要条件 大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级 (B)“x=-3”是“a∥b”的必要条件 名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员 (C)“x=0”是“a1b”的充分条件 在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对 (D)“x=-1+5”是“a∥b”的充分条件 应的向量如图1所示（线段长度代表速度大小， 解析：a⊥bx2+x+2x=0x=0或x 单位：m/s),则该时刻的真风为 () =-3,所以x=-3是a1b的充分条件，x=0 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 是a⊥b的充分条件，故(A)错误，(C)正确 2 轻风 1.63.3 微风 a∥b2+2=x29x2-2x-2=0x= 3.45.4 4和风 5.5≈7.9 1±3，故(B)(D)错误 5劲风 8.0-10.7 点评：本题将向量和常用逻辑用语结合，通 (A)轻风 (B)微风 过向量的垂直、平行的判定考查充要条件，考查 (C)和风 (D)劲风 学生的运算求解能力 解析：真风风速对应的向量=视风风速对 题型三。 应的向量-船行风风速对应的向量=视风风速 向量的模 对应的向量+船速对应的向量=AB,如图2， 1AB1=22∈(1.6,3.3)，故选(A). 例5已知向量a,b满足1a1=1,1a+ 2b1=2,且(b-2a)⊥b,则1b1=( 3视风风迹 2 (a号 (B)② 2 0123x c9 (D)1 图2 点评：本题设置了帆船比赛的情境，引入了 解析：由(b-2a)⊥b,得 视风风速、真风风速、船行风风速、风力等级等概 (b-2a）·b=b2-2a·b=0 念，考查向量加法、向量的模等相关知识，考查学 所以b2=2a·b. 生应用数学知识和方法解决问题的能力 将1a+2b1=2的两边同时平方，得 a2+4a·b+4b2=4, 题型二。 向量平行与垂直 即1+2b2+4b2=1+61b12=4, 解得161：=分 例2已知a=(2,5),b=(6,k),且 所以1bI= a∥b,则k的值为 品成运 9 点评：本题主要考查平面向量的模、平面向 量的数量积，考查学生的运算求解能力， 例6 在平面直角坐标系x0y中，1041= 10B1=√2,1AB1=2.设C(3,4),则12C4+ AB!的取值范围是 (A)[6,14] (B)[6,12] (C)[8,14] (D)[8,12] 解析：因为10A1=10B1=2,1AB1=2, 由AB=0B-0A平方可得0M.0=0, 所以o,0=受 又2CA+AB=2(0-0元+0B-0A =0+0B-20元， 且10元1=√32+4=5， 所以12C+AB12 =0+0B+40C-4(0M+0·0G =2+2+4×25-4(0M+0B.0元 =104-4(0+0B).0元， 又1(0i+0B)·0Ci≤10A+0Bi10元1 =5×2+2=10, 即-10≤(0i+0·0元≤10， 所以12C+AB12∈[64,144]， 即12C+AB1∈[8,12]， 故选(D). 点评：本题主要考查平面向量的模、平面向 量的数量积，考查学生的运算求解能力. 题型四 向量的夹角 例7 已知向量a=(3,1),b=(2,2),则 cos〈a+b,a-b〉= ( () (B) /17 11 (c) 25 5 (D) 解析：根据题意，a+b=(5,3), a-b=(1,-1), 所以a+ba--28 2 17 /34x2 17 故选(B) 点评：本题主要考查向量的坐标运算、数量 积、夹角公式，考查学生的运算求解能力 题型五。 平面向量基本定理 例8 如图3，在△ABC中，D是BC的中 点，E在边AB上，BE=2EA,AD与CE交于点O.若 10 店.aC=6ad.元， 2的值是 E 0 B D 图3 解析：由A,0,D三点共线，可设A6=入AD, 则ad=之(A店+A, 由E,O,C三点共线可设Ed=uE元， 则A6-A正=u(AC-A正)， 则AG=(1-)A正+LAC =专1-w)正+u记 由平面向量基本定理可得 31 0=分 入 u= 21 解得u=子A=乃 1 则Ad=(店+G, 武=C-正=A花-子店， 则6A0.EC =6×子（正+⊙·(C-3正） =多（行店.记+衣-分胶） =AB.AC, 化简得3心=应，则怨=5， 点评：本题主要考查向量的线性运算、平面 向量基本定理，考查学生分析问题、解决问题的 能力. 题型六。 向量的数量积 例9 △ABC中，D为AB中点，CE 号命，=a,4C=b,则E: (用a, b表示)；若1A正1=5，AE1CB,则AE.CD= 解析：正-C+庄-AC+号而 =C+号(a0-C 1 如图4，延长AE交BC于点O,则A0⊥BC, 以OC,OA所在直线分别为x,y轴建立平面 直角坐标系， 专题复习 D E B 图4 设E(0,h),B(n,0),C(m,0), 则40.A+5).D(分）， 所以而=（货-m,“5）, CE=(-m,h), 因为C⑦=3CE, h+5 所以5-m=-3m,2 =3h, 即n=-4m,h=1, 所以cD=(-3m,3), 又AE=(0,1)-(0,6)=(0,-5), 所以4正.cD=-15. 点评：本题考查平面向量的线性运算、平面 向量的数量积，求解平面向量问题，常用的方法 有两种：①基底法，②坐标法.本题已给出了一 个垂直关系，即AE⊥BC,恰好为建系提供便利. 例10 在三角形ABC中，LA=牙，BC =1,D为线段AB的中点，E为线段CD的中点， 若设AB=a,AC=b,则A正可用a,b表示为 ;若BF=了BC,则A正，A的最大值为 解析：如图5， E D B 图5 由题得证=)布+号4d =4+4C 正：：（子+）·（骨+） /2 =石0+高ab+后配 在三角形ABC中，∠A=号，BC1=1, 设三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,则a=1,Ia1=c,Ib1=b, 所以a·b=6cse号-冬， 由余弦定理得d=+c-2ceos于， 即1=b2+c2-bc,所以2+c2=bc+1, 所以证.示=石a2+ab+6b 数况极 6 (he c+6 又b2+c2=bc+1≥2bc,解得bc≤1. 当且仅当b=c=1时，等号成立 所以正·正的最大值为8+名=是 点评：本题主要考查平面向量基本定理、向 量数量积、余弦定理和基本不等式，考查学生分 析问题、解决问题的能力及运算求解能力 题型七。 向量综合 例11 已知函数∫(x) 1，x>0, 0,x=0,a,b,c是平面内三个不同的单位向 -1,x<0, 量.若∫(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0,则 1a+b+c1的取值范围是 解析：若∫(a·b)=∫(b·c)=∫(c·a)= 0,则a,b,c两两垂直，在平面内显然不成立； f(a·b)=1, 不妨设f(b·c)=0, f(c·a)=-1, ra=（cosa,sina), 即不妨设{b=(0,1), c=(1,0), sina >0, 则 Lcosa <0, 可得a∈(+2km,m+2km）,keZ, 则1a+b+c1 =(1 +cosa)2+(1 sina)2 =22sim(a+平）+3， 由ae(受+2km,m+2km)）,keZ,得 a+开∈(+2km.平+2km）,keZ 故如(e+）e(-孕). 故，2Ein(a+平）+3∈(1,5， 即1a+b+c1的取值范围为(1,5). 点评：本题在向量问题中引入了函数语言，在 知识网络的交汇点设计试题，考查对新情境中向 量关系的理解、将抽象的向量关系具体化，要求学 生在面对具体问题时，能将各模块的知识结合起 来并综合应用，引导学生构建整体数学知识网络