《数理报》高考数学信息优化卷(一)函数与不等式-【数理报】2026年高考数学专项提分

数理极 高考数学信息优化卷（一） 函数与不等式参考答案 一、单项选择题 1~4 CDCD 5~8 ACDD 提示： 1.因为W={x1x2-x-6≥0} ={x}x≥3或x≤-2}， 所以M∩W={-2}. 2.因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-2,3]， 所以-2≤x≤3，则-5≤2x-1≤5， 所以函数f(x)的定义域为[-5,5] 要使y=） x+3 有意义， 需满足 解得-3<x≤5， 即y=x） x+3 的定义域为(-3,5]. 3.f(x)=-lnx在(0，+)上单调递减， (A)错误； f(x)==(3）在(0，+0)上单调递减。 (B)错误； f(x)=-上=二1在(0，+0)上单调递增， (C)正确； f()=3=x≥1， 3-,0<x<1, 显然f(x)=3-"在(0,1)上单调递减， 在[1，+∞)上单调递增， (D)错误. 4.依题意得，当x<0时， fx)=-f-x)=-(e-1)=-e+1. 5.a=logs 2<logs5 而c=05>0.5=方，故a<c: b=log.50.2>1og.50.25=2, 而c=0.502<0.50=1,故c<b. 所以a<c<b. 6.经过t小时后，体内的酒精含量为1×(1 0.1)'mg/mL, 则1×(1-0.1)'<0.2，即0.9<0.2， 所以1oga.g0.9>1oga.g0.2, 1 可得1>g%方- lg 2 -lg 10 9 2lg3-1g10 g10 lg2-1 0.301-1 15.196, 21g3-12×0.477-1 又t为整数，所以t=16. 所以他至少经过16小时才能驾驶机动车. 参考答案 7.由题图可知函数f(x)的图象关于y轴对称，所以 函数f(x)是偶函数， 对于(A)f(x)=5(C）,定义域为R,f(-x) x2+2 =5(e-2=-f(x),所以函数()=5(c。 x2+2 x2+2 是奇函数，所以排除(A): 对于(B)f(x)= 5sinx x2+11 定义域为R,f(-x)= 5sin(-x2= 5sinx 5sin x x2+1 x2+1 =-f(x),所以函数(x)= x2+1 是奇函数，所以排除(B); 对于(C)f(x)=c+。2,定义域为R,f(-) x2+2 c+2=f(x),所以函数f(x)=5(c+。2是 x2+2 x2+2 偶函数，又x2+2>0,e*+e>0,所以f(x)>0恒成 立，不符合题意，所以排除(C); 分析知，选项(D)符合题意， 8.由题意画出f(x)的图象，如图1所示 图1 当直线y=-子+a与曲线y=(x>1)相切时， 方程=-名+a有一个解， x2-4ax+4=0,4=（-4a)2-4×4=0, 得a=1,此时)=-子+a有两个解 当直线y=-子+a经过点(1,2)时， 2=-子x1+a,所以a=子 当直线y=-子+0经过点(1，)时， 1=-4×1+a,得a= 从图象可以看出当ae[子，]时， r2E,0≤x≤1， 函数f(x)= 的图象与直线 y=-子+有两个交点， 即方程x)=一子x+a有两个互异的实数解 综上，a的取值范围为[子，]U1。 二、多项选择题 9.BC:10.ABC:11.ABD. 提示： 9.作出f(x)的大致图象如图2所示. 图2 25 对于(A),取特殊值，f(2)=1,f(3)=1,故(A)错 误； 对于(B),由图象知f(x)有唯一零点xof(x)在 (-∞，2]上单调递增，且f(1)<0,f(2)>0,故(B) 正确； 对于(C),当x≤2时，2*-3≤1，故log2(m-1)= 5,解得m=33,故(C)正确； 对于(D)f(x)的值域为(0，+∞)U（-3,1]= (-3,+0),故(D)错误 故选(B)(C). 10.令x-1=1,解得x=2,且f(2)=log.1+4= 4,即函数f(x)的图象过定点(2,4)，所以m+n=8,故 (A)错误； 因为m>0,n>0,所以m2+m2≥m+n)=32, 当且仅当m=n=4时等号成立，故(B)错误； 因为m>0,n>0,所以m≤(m士）=16，当 且仅当m=n=4时等号成立，故(C)错误； 因为m>0,n>0,且m+n=8,所以元+= 8(债+日)m+)=g(2+品+只)≥日(2+ 2√份·只)=子，当且仅当m=m=4时等号成立，故 (D)正确 故选(A)(B)(C). 11.由题可得f(1)=g(-3)=1,故(A)正确： 由g(x)=f(4+x)及f(x+y)+f(x-y)=g(x -4)f(y)f (x+y)+f(x-y)=f(x)f (y). 令x=1,y=0,可得f(1)+f(1)=f(1)f(0), 又f(1)=1,解得f(0)=2. 令x=0,得f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y), 整理得f(y)=f(-y),即f(x)=f(-x), 所以f(x)为偶函数，故(B)正确； 令y=1, 则f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x), 所以f(x+2)+f(x)=f(x+1), ① f(x+3)+f(x+1)=f(x+2), ② 联立①②可得f(x+3)+f(x)=0, 则f(x+6)+f(x+3)=0,所以f(x+6)=f(x), 即f(x)的周期为6，故(C)错误： 因为f(x+3)+f(x)=0,且f(1)=1,f(0)=2, 令x=1,y=1,可得f(2)+f(0)=f(1)f(1), 解得f(2)=-1, 则f(3)=-f(0)=-2f(4)=-f(1)=-1, f(5)=-f(2)=1,f(6)=f(0)=2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 又f(x)的周期为6， 2026 所以∑(k)=37×0+f)+f(2)+f(3)+ f(4)=-3,故(D)正确， 26 故选(A)(B)(D). 三、填空题 2[2,31:13[子3）：14①③④ 提示： 12.函数y=x2-4x+1是开口向上， 对称轴为x=2的抛物线， 因为函数y=x2-4x+1的定义域为[1，t], 所以当x=1时，y=-2;当x=2时，y=-3, 因为在定义域内函数的最大值与最小值之和为一5， 且当y=-2时，x=1或x=3, 所以2≤t≤3. 13.因为对于任意实数x1≠x2, 都有）- X1-X2 <0成立， 所以函数f代x)在R上单调递减， 3a-1<0, 所以0<a<1, 【(3a-1)×1+4a≥a2-+ 解得片≤a<} 所以实数a的取值范围是[子号)）片 14.对于①：因为f(x)的定义域为R, 且y=1+e*在R上单调递减， 所以f(x)是R上的增函数，故①正确： 对于2：因为f()=1十。>0对任客女eR恒 成立， 别|- 1+e +1 |- + 整理得e*1>e*2,无解， 所以不存在x∈R,输人x会提示“可能出现梯度爆 炸”，故②错误； 对于④：因为f(x)是R上的增函数， 所以f(x+1)>f(x),即f(x+1)-f(x)>0, 则f(x+)-f()=+号 、、e +1 e +1 =e2.e(e+1)-e1-1 (e+1)(e*+1) e(e-1)】 =(e+1)(e+1） 1 参考答案 e e+l 则gw)=e厅+e+l 、 e(e-1)(e21-1) (e+1)2(e+1+1)3 令h(x)=e21-1, 易知()在R上单调递增，且h(-之）=0， 当x>-2时，h(x)>0,则g(x)<0, 所以g()在(-分，+女）上单调递减： 当x<-弓时，h()<0,则g'(x)>0, 所以g()在(-x,-分）上单调递增 o() 且当x无限趋近于+∞或-∞时， g(x)无限趋近于0， 所以4)的值战为(0，：】 因此对Ha>0,3x∈R,输人x会提示“可能出现 梯度消失”，故④正确； 对于③：由④知，g(x)在[5，+∞)上单调递减， 则g)≤(5)=十十 1 =-e(e5+1)(e+1) <0, 即g(x)<e5对任意x≥5恒成立， 所以当a=e5时，Hx≥5，输人x会提示“可能出 现梯度消失”，故③正确， 综上，所有正确结论的序号是①③④. 四、解答题 15.解：(1)由函数f(x)的定义域为R知， 当f(x)为幂函数时， 3a-2 =1,3a-2=0, 应满足{2b-18=0,或{2b-18=1, 3c-2=0,3c-2=0, 解得a=1,b=9,c=号或a= -.b (2)当a=子时f)=(2h-18x+3c-2eR. 由题得2b-18<0,解得0<b<9,所以ab<6: 当a>子时，函数f(x)图象的对称轴为 9-b x= 3a-2' 由题得 -b a-2 ≥3，整理得9a+b≤15， 所以15≥9如+6≥6瓜，解得ab≤孕。 当且仅当a=名，6=时等号成立。 综上，ab的最大值为票 数理招 16.解：(1)因为f(x)=log(2-x)+1og(x+4), 所以->0. 解得-4<x<2, 1x+4>0. 即函数的定义域为(-4,2)， f(x)=log[(2-x)(x+4)] =l0g(-x2-2x+8) =log[-(x+1)2+9], 因为y=-(x+1)2+9在(-4，-1)上单调递增， 在(-1,2)上单调递减， 又a>1,所以y=log。x在定义域上单调递增， 所以函数f(x)=log.[-(x+1)2+9]在(-4，-1) 上单调递增，在(-1,2)上单调递减 (2)由(1)令t=-(x+1)2+9, 则t∈(0,9]，f(t)=logt, 当a>1时，函数f(t)=logt在(0,9]上单调递增， 函数不存在最小值，故舍去； 当0<a<1时，函数f(t)=logt在(0,9]上单调 递减f0)m=f(9)=1g9=-之， 所以a寸=9，解得a=8T 17.解：(1)因为f(x)+f(-x)=0, 所以f(0)=0,即b=-1. 又因为f代x-)=f(x+)3)=1-2, 所以3）=-）=-2）=1-a=1-2, 所以a=2, 所以当xe[0,1)时，f(x)=2-1. 又当x∈(-1,0]时，-x∈[0,1)， 所以f(-x）=2*-1, 所以f(x)=-f代-x)=1-2 因为f(x)+f(-x)=0,f(x-1)=fx+1), 所以f1)=f代-1)=0， 1-2",x∈(-1,0)， 21 xe[0,1). (2)因为f(x)+f(-x)=0, f(x-1)=fx+1), 所以f代x+2)=f(x), 所以f(x)是奇函数，且以2为周期 方程f代x)-|log4xI=0的实数解的个数也就是函 数y=f(x)和y=I1og4xI的图象交点的个数 在同一直角坐标系中作出函数的图象如图3， 图3 由图象得交点个数为3， 所以方程f(x)-log4x1=0的实数解的个数为3. 18.解：(1)当a=3时， 数理极 )={2+5x,<3: -x,x≥3， 结合函数f代x)的图象可得其单调递增区间为 (-,3)和(3，+∞) (2)由题意对任意的实数x∈[1,2]， f(x)<g(x)恒成立， 即x1x-a|<1,当xe[1,2]恒成立， 即1x-al<名，-士<a<x+士 故只要x-↓<a且a<x+1在xe[1,2】上恒 成立即可，即当x∈[1,2]时，只要x-上的最大值小于 1 a且x+1日 的最小值大于a即可. 而当xe1,2]时，(x-)=1+>0, -士为增函致(x-士)=多： 当e1,2]时，(x+)=1-≥0， x+为增函数，(x+）=2, 所以ae(3,2）】片 (3)当a∈[-2,2]时f(x)在R上是增函数， 则关于x的方程f(x)=f(a)不可能有三个不相等 的实数根； 当ae2时)。0，。 则当x≥a时，fx)=x2+(2-a)x,对称轴x= 22<a,则)在e[a,+0)为增函数， 此时f(x)的值域为[f(a),+o)=[2a,+o); 当x<a时，f(x)=-x2+(2+a)x,对称轴x= 2<a,则f)在x∈(-，]为增函数， 2 此时f)的信城为(-，a2], )在x∈[2.a为减函数， 此时)的值城为(2，a42]。 则由题意，存在a∈(2,4]， 使得1e(,“2》)即可， 令eo)-a点2-g(+÷+4 只要使t<g(a)m即可， 而g(a)在a∈(2,4]上是增函数， 所以g@)=g4)=令， 故实数：的取值范围为(1，令)： 同理可得当ae[-4,-2)时， 4的取值范围为(1，名)， 参考答案 综上所述，实数：的取值范围为(1，？】 19.解：(1)函数y=sinx-m的导函数为y'=cosx, 因为函数y=simx-m(x∈R)是“牙跃点”函数， 则方程m(。+受）-m=(受+1），有解， 即-m=受c0s有解， 又c0E[-1,山，则-me[-受，受]， 解得me【-受，受]， 所以实数m的取值范围是[-受，号] (2)函数y=x2-ax+1,x∈(-1,3)的导函数为 y'=2x-a, 根据题意，方程(x0+1)2-a(x。+1)+1=2(2x。 a)在(-1,3)上有两个不等实根， 即x后-(a+2)x+a+2=0在(-1,3)上有两个 不等实根， 令h(x)=x2-(a+2)x+a+2,xe(-1,3), 则函数h(x)在(-1,3)上有两个不同零点， 4=(a+2)2-4(a+2)>0, h(-1)=2a+5>0, 所以 h(3)=-2a+5>0, -1<+2<3, 解得-吾<a<-2或2<a<多， 所以实数a的取值范是(-多，-2U(2,) (3)函数y=e+bx,x∈R的导函数为y'=e+b, 因为函数y=e+bx(x∈R)是“1跃点”函数， 且在定义域内恰存在一个“1跃点”， 则方程e0+1+b(x。+1)=2(e0+b)在R上恰有 一个实数根，显然≠1， 所以-6=01-2e0 x。-1 在R上恰有一个实数根 令8)--c2 x-1 则g'(w)=e-2)e(x-2 (x-1)2 由g'(x)>0,得x>2; 由g'(x)<0,得x<2且x≠1， 且g(2)=e2(e-2), 所以函数g(x)在(-∞，1)和(1,2]上单调递减， 在[2，+∞)上单调递增， 画出函数y=g(x)的大致图象（如图4）. y=g(x) e2(e-2) 2 y=-b x=1 图4 27 当-be(-o,0)U{e2(e-2)}时， 直线y=-b与函数y=g(x)的图象有一个交点， 所以b∈(0，+o)U{e2(2-e)}, 即实数b的取值范围是(0，+o)U{e(2-e)}. 高考数学信息优化卷（二） 三角函数参考答案 一、单项选择题 1 ~4 BABB 5~8 DBCC 提示： 1.根据题意结合正弦定理可得 (a+c)(a-c)=b(a-b), 即a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab, 所以由余弦定理得 2ab 2ab 又0<C<π，所以C= 3 2由ama=子，得na=csa=号 或 sin a =-3 ,C0s as、4 所以cos2a+2sin2a= 25+4× 6 25 3.把y=si血=co0(x-受）上的所有点向左平移 号-子个单位长度，得到函数y=0(x-号)的图 4.由2sin2a=cos2ax+1, 4sin acos a 1 -2sin'a +1, 即2 sin acos a=1-sina. 因为ae(0,受），所以eosa=个-sima, 所以2sina√1-sin'a=1-sin2a, 2 第得s如a=有 5.由题可得f(x)的图象关于点（石，0）对称， 即对任意xeR,有f()+f(晋-=0， 取x=0,可得/0)+（号）=9+号=0， 解得a=-5. 所以f()=sim2x-5cos2x=2sim(2x-号） 令2x-号=+km,keZ, 可得f(x)的图象的对称轴为x= 5g+-,keZ 122 当=0时，x=哥 6根据题意f(6）=2o(石+P）=0, 则e(君+）=0 由0<9<，得石<石+9 6《数理报》高考数学 信息优化卷（一） 考试范围：丞数与不等式 ©数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2,N={x1x2-x-6≥0}， 则M∩N= 数 (A){-2,-1,0,1} (B){0,1,2 报 (C){-2} (D){2 高 2.已知函数y=∫(2x-1)的定义域是[-2,3]，则y= f(x) /X+3 数 的定义域是 新 (A)[-3,5] (B)[5,2] (C)[-1,3] (D)(-3,5] 3.下列函数中，在区间(0，+0)上单调递增的是 (A)f (x)=-In x B/)=是 (cr)=- (D)f(x）=3-山 4.设f(x)为奇函数，且当x≥0时f(x)=e-1,则当x<0时， 信x)= 优 (A)e *-1 (B)e-*+1 (C)-ex-1 (D)-ex+1 5.已知a=l0g52,b=logo50.2,c=0.502,则a,b,c的大小关 系为 (A)a<c<b (B)a <b <c (C)b<e<a (D)c<a <b 6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全， 根据国家有关规定：机动车驾驶员血液中酒精含量大于等于20 mg/100mL,小于80mg/100mL即为酒后驾车，80mg/100mL及以上 认定为醉酒驾车.假设某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含 量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以 每小时10%的速度减少，他至少经过t小时才能驾驶机动车，则整数 t的值为(lg2≈0.301,1g3≈0.477) ( (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 7.函数f(x)的图象如图1所示，则f(x)的解析式可能为 (A)f(x)= 5(e*-e-*) x2+2 (B)f(x)= 5sinx x2+1 (C)f(x)= 5(e+e) x2+2 图1 (D)f(x)= 5cosx x2+1 2x, 0≤x≤1， 8.已知函数f(x)= 若关于x的方程(x) x>1. =- 4x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为 ( ([] (®)（] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.设函数f(x)= g:(x-1),x>2,则以下结论正确的是 2-3, x≤2， (A)f(x)为R上的增函数 (B)f(x)有唯一零点x,且1<x。<2 (C)若∫(m)=5,则m=33 (D)f(x)的值域为R 10.已知函数f(x)=1og(x-1)+4(a>0且a≠1)的图象 过定点(s,t),正数m,n满足m+n=st,则下列选项错误的是 (A)m+n=6 (B)m2+n2≤32 (C)mn≥16 D上+≥号 m n 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且g(x)=∫(4+x), ∫(x+y)+∫(x-y)=g(x-4)f(y),g(-3)=1,则下列说法正确 的有 () (A)f(1)=1 (B)f(x)为偶函数 2026 (C)f(x)的周期为4 (D)∑∫(k) =-3 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1，t],在该定义域内函 数的最大值与最小值之和为-5，则实数t的取值范围是 r(3a-1)x+4a,x≤1， 13.已知f(x)= 满足对于任意实数 x>1 ≠，都有）-∫(x ,<0成立，则实数a的取值范围是 X1-X2 14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训川练语 言模型正在深刻影响和改变着各行各业.为了解决复杂的现实问题， 预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层 神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输人.经过实践 研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯 度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用∫(x) ，】一作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代 1+e 码中自定义：若输入的x满足I∫(x+1)-∫(x)I<a,则提示“可能 理 出现棉度消大"：老输入的x调足》】 >b,则提示“可能出 现梯度爆炸”.其中α表示梯度消失阈值，b表示梯度爆炸间值.给出 下列四个结论： ①f(x)是R上的增函数； 数学 ②当b=e时，3x∈R,输入x会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当a=e5时，Hx≥5，输入x会提示“可能出现梯度消失”； 考 ④Ha>0,3x∈R,输入x会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是 全国 四、解答题：本题共5小题，共77分 省 15.(13分)已知a,b,c为实数，函数f(x)=(3a-2)x2+(2b -18)x+3c-2(x∈R). 信 (1)若函数∫(x)为幂函数，求a,b,c的值； 息优 (2)若a≥子6>0，且函数()在区间[1,3]上单调递减，求 化卷 ab的最大值 16.(15分)已知函数f(x)=1og.(2-x)+1og.(x+4)(a>0 且a≠1). (1)若a>1,求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)的最小值为-7，求a的值 《数理报。高中数学新高考》全国 17.(15分)已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(x)+f代-x) =0f(x-1)=f(x+1),若当x∈[0,1)时f(x)=a+b(a>0, a≠1)(》=1-5. (1)求xe[-1,1]时，f(x)的解析式； 各省市信息优化卷 (2)求方程f(x)-|log4x1=0的实数解的个数 18.（17分)已知函数f(x)=x1x-a1+2x. (1)当a=3时，求函数∫(x)的单调递增区间； (2)求所有的实数a,使得对任意的x∈[1,2]，函数f(x)的图 象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方； (3)若存在a∈[-4,4]，使得关于x的方程∫(x)=f(a)有 三个不相等的实数根，求实数的取值范围， 19.(17分)对于函数y=∫(x)的导函数y'=∫'(x),若在其定 义域内存在实数o和t,使得∫(+)=(t+1)·∫'()成立，则 称y=∫(x)是“跃点”函数，并称x是函数y=∫(x)的“t跃点”. (1)若函数y=sinx-m(xeR)是“牙跃点”函数，求实数m 的取值范围； (2)若函数y=x2-ax+1是定义在(-1,3)上的“1跃点”函 数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数α的取值范围； (3)若函数y=e+bx(xeR)是“1跃点”函数，且在定义域内 恰存在一个“1跃点”，求实数b的取值范围。 数理报·高中数学新高考》全国各省市信息优化卷( (参考答案与解题提示见25版)