第九章 因式分解（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材苏科版八年级下册

第九章 因式分解·拔尖卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故选项不符合题意； B、，是整式的乘法运算，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 2．（3分）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 3．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用、因式分解，设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为．根据题意，两数的乘积能被9整除，由此推导出的性质，进而确定整数的值． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为． 原数和新数的乘积为： ∵能被9整除，且能被9整除， ∴也能被9整除， ∴能被3整数， 又∵这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除， ∴， 因此，整数为3， 故选：A． 4．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的应用；设两个连续偶数为，，再利用因式分解可判断①，设两个连续奇数为，，再利用因式分解可判断②，设个位数为的整数为，再进一步可判断③． 【详解】解：设两个连续偶数为，， 则， ∵n为整数， 所以中的是正奇数， ∴是4的倍数， 故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数． 故①不符合题意； 设两个连续奇数为，， 则， ∵n为整数， 所以中的是正奇数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数数的平方差一定是8的倍数． 故②符合题意； 设个位数为的整数为， ∴， ∴任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数，故③符合题意； 故选：C． 5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值． 【详解】解：，， ， 整理得：， ， ， ，， 解得：，， ， ． 故选：A． 6．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键． 提取公因式后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： 原式 ∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大； 故选：D． 7．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 8．（3分）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 9．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（   ） A．121 B．210 C．335 D．505 【答案】B 【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式因式分解可得，则代数式表示三个连续正整数的积．据此分析即可． 【详解】解：由题意可知：原式， ∴为三个连续的正整数的积， ∴可写成三个连续自然数的积，其中有因数必为偶数，也有因数必为3的倍数， ∴是一个偶数．而且是3的倍数， 选项只有B，符合条件， 又∵， 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则 【答案】 【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据，可得：，从而可得：，根据可得：，从而可得：，所以可求． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：(为为非负整数)，进而列不等式求解即可 【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差， ∴“神秘数”满足：(为非负整数)的规律， ， ∴， ∴， ∴， ∴在这个数中，“神秘数”的个数是 故答案为：． 15．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【答案】84 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 由题意给出的定义新运算可得，然后利用提公因式法及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解； （2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（6分）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行变形进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： ，这种方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解：； (2)已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键． （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ∴， ∴是等边三角形． 20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 21．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【答案】(1) (2)8 (3)最小值是； 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答； （3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （3）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． (1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． (2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解，根据例题的方法求解是解题的关键； （1）根据例题的方法可得有一个因式是，进而设，展开，即可求解． （2）同（1）的方法求解，即可． 【详解】（1）解：∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， 故答案为：，． （2）解：分解因式的结果为，理由如下， ∵当时，二次多项式等于0， ∴这个多项式有一个因式是 设， 展开，得，所以，解得． ∴另一个因式是， ∴分解因式的结果为 23．（12分）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分解因式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据已知运算法则计算即可； （2）综合提公因式法和公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（12分）（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． (1)用含，代数式表示，，； (2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示) 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查代数式，完全平方公式因式分解的运用，作差法比较大小， （1）记产品原价为1，根据题意分别表示，，； （2）根据（1）的结论可得，进而计算，根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：记产品原价记为单位1， ，，， （2）解：∵，， ∴ ， 又，均为正数， ， ∴最高价与最低价之间的价差是 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解·拔尖卷 【新教材苏科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 3．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 4．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 我 爱 中 华 大 地 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大 7．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 8．（3分）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 9．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果。其中正确的结果是（   ） A．121 B．210 C．335 D．505 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知，，且，则 13．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是 ． 14．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如，）．在这个数中，所有“神秘数”的个数是 ． 15．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 16．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非的两个实数，，规定，那么将进行因式分解的结果为 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解： (1)； (2)． 18．（6分）简便计算： (1) (2) 19．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式因式分解，可以先把它进行分组再因式分解： ，这种方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法因式分解：； (2)已知、、是三边的长，且满足，试判断的形状． 20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 21．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得． (1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ． (2)小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由． 23．（12分）若定义一种运算：， 如：． (1)计算：． (2)将（1）计算所得的多项式分解因式； 24．（12分）（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；②第一次降价百分率为，第二次降价百分率为；③第一、二次降价百分率为．(其中，，)若产品原价记为单位1，设降价后方案①的产品价格为A，方案②的产品价格为B，方案③的产品价格为C． (1)用含，代数式表示，，； (2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示) 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $