精品解析：河南省郑州市中牟县求实学校2025-2026学年 上学期九年级知识掌握评估 数学试题

九年级知识掌握评估 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为、整式方程”这三个条件判断． 【详解】解：A、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合题意； B、分母含有未知数，是分式方程，不符合题意； C、整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合题意； D、整理为，未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合题意． 2. 如图所示，该几何体的主视图是从正面看（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 找到从几何体的正面看所得到的图形即可． 【详解】解：该几何体的主视图是从正面看是 故选：C． 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题可利用比例的性质，通过将a、c用b、d表示，再代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵，， ∴，， 将，代入得：， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个四边形是（ ） A. 梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可作答． 【详解】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴该平行四边形是矩形． 5. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子 C. 阳光下窗框的影子 D. 路灯下物体的影子 【答案】C 【解析】 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 6. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵，，，即， ∴． 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．列出方程即可． 【详解】解：设车道的宽为米，则停车位总占地长为米，宽为米， 根据停车位总占地面积为平方米，列出关于的一元二次方程， 根据题意得：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是　　 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围，即可求得答案． 详解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，即且， 且， 的值可以是0， 故选D． 点睛：本题主要考查根的判别式，由根的判别式求得m的取值范围是解题的关键． 9. 如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形的性质将转化为，结合题目给出的比例关系建立方程求解．首先设的长为，由正方形性质得，代入得到关于的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可得到的长度． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， 根据题意，， 整理得：， ∴， 此时都是原分式方程的解． ∵，而，不符合题意，舍去， ∴，即． 10. 蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 蓄电池的电压是 B. 当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C. 如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D. 如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧姆定律可推出，利用待定系数法可得，据此结合反比例函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由欧姆定律可知，， ∴， 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，即蓄电池的电压是，故A说法正确，不符合题意； ∴， ∴当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小，故B说法正确，不符合题意； 当时，，解得， ∴如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不低于，故C说法错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小，故D说法正确，不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随的值的增大而增大，那么的值可以是________（任意写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据增减性可知，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数在所在象限内，的值随的值的增大而增大， ∴， ∴满足题意的k的值可以是． 12. 已知方程的一个根是，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴， 即：， ∴． 13. 为了估计池塘中的鱼数，养鱼者先从池塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归池塘，再从池塘中捕捞鱼．通过多次试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则池塘中鱼的条数大约为________． 【答案】2000 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，将沿方向平移得到．已知平移的距离是的长是与重叠部分（图中阴影部分）的面积是8，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过平移得到的平行线判定两个三角形相似，再利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”这一性质求解原三角形面积．先根据平移距离和的长度求出重叠部分三角形与的相似比，再结合阴影部分的面积，通过面积比的关系计算的面积． 【详解】解：∵将沿方向平移得到，平移距离为1， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 已知， ∴． 15. 如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况讨论：①当点恰好落在上时，由翻折以及矩形的性质利用可证明，然后根据等腰三角形的性质求出的长，再依据勾股定理求解即可；②当点恰好落在上时，同理利用可证明，根据全等三角形的性质可得出的长，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵沿对角线翻折得到， ∴，， ∵以为折痕，将进行翻折，得到， ∴，， ①当点恰好落在上时，如图， 在和中， ∴ ∴，即为等腰三角形， ∵ ∴点为中点， ∴， 在中，有， 即，解得 ②当点恰好落在上时，如图， ∵ ∴四边形为矩形， ∴， ∵沿进行翻折，得到， ∴ 在中， ， 在和中， ∴ ∴ ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与翻折，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握翻折的性质，运用全等三角形的判定与性质、勾股定理是解答此题的关键．注意分类讨论． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解． （1）通过移项、因式分解的方法将方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，进而求解； （2）先将方程化为一般形式，再利用求根公式来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得，． 17. 学校为进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目．现有4种体育项目供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．足球，D．跳绳，每名学生只能选择其中一项体育项目． （1）若小明在这4种体育项目中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮随机选到同一种体育项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．足球，D．跳绳， ∴选中“乒乓球”的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图为： ， 由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中小明和小亮随机选择选到同一种体育活动的结果数有4种， ∴小明和小亮随机选到同一种体育活动的概率是． 18. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】（1）；图见解析 （2）位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是平面直角坐标系中图形的位似变换(包括坐标变换、位似中心与位似比的确定)． （）先根据“横坐标、纵坐标都乘”的规则，分别计算出点的坐标，再在坐标系中描出这三个点并依次连线，即可得到； （）根据位似的定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行(或在同一直线上)，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比；判断与是相似，再观察对应顶点连线的交点确定位似中心，最后通过坐标的比例关系求出位似比，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到 如图，即为所求． 【小问2详解】 解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 20. 近年来，河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创商品的销售．某商店销售一批文创商品，售价为每件元，每月可售出件；经调查发现，每件的售价每降低1元，每月可多售出件，已知该文创商品的进价是元． （1）若每件文创商品降价元，则每月可售出 件，每月的销售利润为 元； （2）商店为了减少库存，决定降价销售这批文创商品，同时确保每月的销售利润为元，求每件文创商品应降价多少元？ 【答案】（1），； （2）元 【解析】 【分析】（1）根据“每件售价每降低1元，每月可多售件”计算降价元后的销售量，再结合“单件利润=售价-进价”计算总利润； （2）通过设未知数表示出单件利润和销售量，根据总利润为元列一元二次方程求解，最后结合“减少库存”的实际需求选择最优解． 【小问1详解】 解：∵每件降价元，每月可多售出的数量为件， ∴每月可售出件； 每件的利润为元， ∴每月的销售利润为元． 【小问2详解】 解：设每件文创商品应降价元，则每件的销售利润为元，每月的销售量为件． 根据题意，得， 展开并整理得：， 解得，． ∵商店要减少库存，降价越多，销售量越大，库存越少， ∴． 答：每件文创商品应降价元． 21. 综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； （2）根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 【答案】（1）作图见解析，旗杆的高度为 （2）旗杆的高度为 【解析】 【分析】（1）根据平行投影的性质，过点C作的平行线，交的延长线于点D，即可得到所求小明的影长．证明，根据相似三角形的对应边成比例求解即可； （2）过点作于点，交于点．得到四边形，四边形，四边形均为矩形．求出，，的长，证明，得到，代入数值求出，根据即可求解． 【小问1详解】 解：小明的影长如图所示， 太阳光线是平行线， ， ． ∵， ， ， ，， ∴ ． 所以，旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过点作于点，交于点． 四边形，四边形，四边形均为矩形． ， ∴，，， ，， ， ， ， ， ． ． 所以，旗杆的高度为． 22. 学完《反比例函数》这一章，奋进小组对反比例函数和一次函数进行对比探究，过程如下：如图（1），在中，，点是斜边上的点(不与点重合)，连接．用表示线段的长度，点与点的距离为．可以写出关于的一次函数表达式是①；若的面积记为，则有(其中是斜边上的高)，易求出②；将的面积记为． 阅读以上信息，解决下列问题： （1）上述材料中的序号①应填 ，序号②应填 ； （2）求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在给定的平面直角坐标系图（2）中，分别画出的图象； （4）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 【答案】（1）；； （2），； （3）图象见详解； （4） 【解析】 【分析】（1）先通过勾股定理计算斜边的长度，再根据线段和差关系得到一次函数表达式；利用三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高； （2）先计算的面积，再根据推导反比例函数表达式，根据点的位置确定自变量范围； （3）根据一次函数和反比例函数的性质，确定端点和关键点，绘制对应的函数图象(注意端点为空心)； （4）联立两个函数解析式求交点，结合函数图象的上下位置关系，确定时的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得． ， ； 的面积， 又，即， 解得． 【小问2详解】 解：中，边上的高为， ． ，且， ． 点不与点、重合， ，即自变量的取值范围是． 【小问3详解】 解：对于()：当时，；当时，，在平面直角坐标系中标记点(空心)和(空心)，连接两点得到线段(端点为空心，代表不包含该点)； 对于()：取关键点时，；时，，标记点、(空心)，根据反比例函数的图象特征，绘制在范围内的曲线(端点为空心)． 如图所示： 【小问4详解】 解：联立与，得方程， 整理为， 解得， ，， 结合函数图象可知，当时，的取值范围是． 23. 综合与实践 活动目的：对四边形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是 ； ②如图（2），在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则 ． （2）迁移探究 如图（3），在矩形中，，点分别在边上，且，若，求的长． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用正方形的边角特征，结合得到角的互余关系，推导出，再通过证明，由全等三角形的对应边相等得到与的数量关系； ②过作构造矩形，结合推导角相等，通过证明，得到，再根据垂直平分确定为中点，利用直角三角形斜边中线定理求出的长； （2）过作、过作构造直角三角形和矩形，结合得到，利用推导角相等证明，根据相似三角形的对应边成比例，结合的长度计算出的长； （3）先利用矩形的性质和角平分线的性质推出为等腰直角三角形，得到，再根据点是的三等分点分两种情况讨论，每种情况先通过角的互余关系证明相关三角形相似，求出关键线段的长度，再作辅助线构造等腰直角三角形，设未知数后利用相似三角形的性质列方程求解未知数，最后结合勾股定理计算出的长度． 【小问1详解】 ①解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②解：过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴为的中点， ∵为直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：过点作于点，过点作于点，则， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴同上证得四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，设与交于点， ∴°． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为线段的三等分点， ∴分两种情况讨论： 情况1：点为线段上靠近点的三等分点，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 过点作于点，于点， ∵， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得； 情况2：点为线段上靠近点的三等分点，， 同理，，求出， 过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级知识掌握评估 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是从正面看（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个四边形是（ ） A. 梯形 B. 正方形 C. 菱形 D. 矩形 5. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的影子 C. 阳光下窗框的影子 D. 路灯下物体的影子 6. 如图，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为．设车道的宽为．可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是　　 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 9. 如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 蓄电池的电压为定值．研究发现，使用某款蓄电池时，用电器的电流随电阻的变化而变化．它们之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 蓄电池的电压是 B. 当时，这款蓄电池的电流随电阻的增大而减小 C. 如果用电器的限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻不超过 D. 如果电阻由增大到，则这款蓄电池的电流减小 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随的值的增大而增大，那么的值可以是________（任意写出一个即可）． 12. 已知方程的一个根是，则的值是________． 13. 为了估计池塘中的鱼数，养鱼者先从池塘中捕获80条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归池塘，再从池塘中捕捞鱼．通过多次试验后发现捕捞的鱼中有做记号的频率稳定在左右，则池塘中鱼的条数大约为________． 14. 如图，将沿方向平移得到．已知平移的距离是的长是与重叠部分（图中阴影部分）的面积是8，则的面积是________． 15. 如图，矩形的边长为2，将沿对角线翻折得到，与交于点E，再将沿进行翻折，得到．若两次折叠后，点恰好落在的边上，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 学校为进一步落实“德智体美劳五育并举”，决定结合学生需求增设体育项目．现有4种体育项目供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．足球，D．跳绳，每名学生只能选择其中一项体育项目． （1）若小明在这4种体育项目中随机选择，则选中“乒乓球”的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮随机选到同一种体育项目的概率． 18. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． （1）请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； （2）与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 20. 近年来，河南省旅游产业蓬勃发展，促进了文创商品的销售．某商店销售一批文创商品，售价为每件元，每月可售出件；经调查发现，每件的售价每降低1元，每月可多售出件，已知该文创商品的进价是元． （1）若每件文创商品降价元，则每月可售出 件，每月的销售利润为 元； （2）商店为了减少库存，决定降价销售这批文创商品，同时确保每月的销售利润为元，求每件文创商品应降价多少元？ 21. 综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题： （1）请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； （2）根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 22. 学完《反比例函数》这一章，奋进小组对反比例函数和一次函数进行对比探究，过程如下：如图（1），在中，，点是斜边上的点(不与点重合)，连接．用表示线段的长度，点与点的距离为．可以写出关于的一次函数表达式是①；若的面积记为，则有(其中是斜边上的高)，易求出②；将的面积记为． 阅读以上信息，解决下列问题： （1）上述材料中的序号①应填 ，序号②应填 ； （2）求出关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； （3）在给定的平面直角坐标系图（2）中，分别画出的图象； （4）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围(近似值保留小数点后一位，误差不超过)． 23. 综合与实践 活动目的：对四边形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点，分别是，上的点，且，则与的数量关系是 ； ②如图（2），在正方形中，若垂直平分，垂足为点，且，连接，则 ． （2）迁移探究 如图（3），在矩形中，，点分别在边上，且，若，求的长． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，，平分交于点，点为上一点，交于点，交矩形的边于点．当点为线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $