第28期 核心素养阶段测评五（第四、五章）-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

核心素养阶段测评（五） 测试范围：第四、五章 ◆数理报社试题研究中心 第I卷 选择题（共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 郑 1.已知函数f(x)=x3+mx2+5,且f'(-1)=f(1),则f'(1)= (A)0 (B)1 (C)2 (D)-1 2.在等比数列{an}中，a3+a7= 2a4+ag=4,a=1,则n= 1 17 (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 68-T:号实1 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1。=20,S20=10,则S30= (A)5 (B)15 (C)25 (D)35 4.已知直线y=a与函数f(x)= 3t3 +2x2+3x+1的图象相切，则实数a的值为 扬 ( (1):佳B标：(A (A01号 B)-8或 (C)1或-8 (D1或-号 5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是 ( )异升 (B) ⑧升 (c) 16 升 (D) 18 升 6.函数f(x)=(x-1)(x-2)2在[0,3]上的最小值为 ( ) (A)-8 (B)-4 (C)0 (D)27 解 7.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)-f(x)<0,f(1)=e,则不等 式f(lnx)>x的解集为 (A)(0,e) (B)(0,e) (C)(e,+∞) (D)(e,+o) 8.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论 的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中后一项与前一项之差并不相等，但是逐 项之差成等差数列.现有二阶等差数列，其前7项依次为1,2,5,10,17,26,37，则该数列的第20 项为 (A)324 (B)325 (C)362 (D)399 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.在等差数列{an}中，首项a1>0,公差d≠0，前n项和为Sn,则下列说法正确的是 ( (A)若S3=S1,则必有S14=0 (B)若S3=Su,则S,是{Sn}中最大的项 (C)若S,>Sg,则必有Sg>Sg (D)若S,>Sg,则必有S6<Sg 10.如果函数∫(x)对定义域内的任意实数，都有f(x)+f'(x)>0,则称函数y=∫(x)为 “F函数”.下列函数不是“F函数”的是 () (A)f (x)e (B)f (x)=Inx (C)f(x)=x2 (D)f (x)sinx 1.已知各项购为正数的数列a,满足a,a1=(sina)(0<a≤牙)，且数列|a,}的前n 项积为T,则下列结论正确的是 () (A)若a=,则Im=1 （B)若a-石则a,6 (C)存在a及正整数k,使得a2k+1>a2k- (D)若{an{为等比数列，则a1=sina 第Ⅱ卷非选择题 （共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，Sn=93,am=48,公比g=2,则项数n= 13.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=na,An+i(n∈N,）,则a= 14已知函数f()=。,g()=分+n子，若∫(m)=g()成立，则n-m的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（13分)数列{an满足a1=2,an+1=(入-3)an+2"(n∈N,). (1)当a2=-1时，求入及a3的值； (2)是否存在入，使数列{α}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由. 16.(15分)两地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩 之间的桥面和中间的桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2+√x)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为质点，且不考虑其他 因素，并且需要新建(：-1)个桥墩，记余下工程的费用为y万元。 (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？ 7.(I5分)已知数列a,的前n项和S.=-7+a(其中&∈N),且S,的最大值为8 (1)确定常数k,求an; 2)求效列”，2} 的前n项和Tn 18.(17分)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e. (1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a; (2)若∫(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围. 19.(17分)拐点，又称反曲点，指改变曲线向上或向下的点（即曲线的凹凸分界点）.设 ∫'(x)是函数y=∫(x)的导函数，f"(x)是函数∫'(x)的导函数（称∫"(x))为∫(x)的二阶导 数)，若方程∫"(x)=0有实数解x=xo,并且在点(xf(x)左右两侧二阶导数符号相反，则称 (xo∫(xo))为函数y=∫(x)的“拐点”. (1)经研究发现所有的三次函数(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)都有“拐点”，且该“拐 点”也是函数y=∫(x)的图象的对称中心.已知函数f(x)=x3+bx2-9x+a的图象的对称中 心为(-1,10)，讨论函数∫(x)的单调性并求极值 (2)已知函数g(x)=2mr3+[6n(mx)-15]x+18x-5+1,其中m>0.求g(x)的 m m 拐点 些 参考答案见下期高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期(2026年1月) 第25期2版 所以g'()=-2sin(x+石)，其中xe(0,m)。 专项小练 由题意可得f'(1)=g(o),所以-1=-2sin0+ 1.B;2.A;3.CD.4.-1;5.√e. 6.解：(1)y=60e0s(3-受） 石）且。e(0,,所以+石=石解得= 7.因为g'(x)=ge-3f'(x)=p,p9≠0， 所以y(年）=60cos平=30(cmvs). 所以qeo3=p,即eo-3=卫， 9 (2)令3-=2km,解得t=:+2如，kEZ, 6 3 又p,+1=eo3,所以p0+1=卫 所以最少经过π、该小球的瞬时速度达到最大. 6 第25期3,4版 8.画出函数f(x)=e2和y=2x的图 导数的运算同步核心素养测评 象如图所示.设直线m平行于直线l,则直 一、单项选择题 线m的斜率为2，当直线m与函数f(x)的 1~4 DDAC 5~8 ADBA 图象相切，点P为切点时，点P到直线1：y 提示： =2x的距离最小 1.由题可得f'(x)= ,所以f'(1)= 2 -=2→a=4. 设切点坐标为(x少o),因为f'(x)= 2 2e2,则f'()=2e20=2,解得x=0.又(xo,%)在函数f(x) 2.y'=(x2sinx)'=(x2)',sinx+x2.(sinx)'=2xsinx =e2的图象上，则y。=e20=1,则切点坐标为(0,1)，到直线 +xcos x. 3.由题可知p(t)=2(1+10%)=2×1.1, 1:2x-y=0的距离为d三二÷=号，则点P到直线 所以p'(t)=2×1.1'1n1.1, √2+(-1)7 所以p'(10)=2×1.101n1.1≈2×2.59×0.1 1:y=2x的距离的最小值为 5 =0.518≈0.52， 即GDP增长的速度大约是0.52亿元/年. 二、多项选择题 4.由题设，盛液体部分的底面积为S=4r, 9.ACD;10.ABC;11.BCD. 则溶液上升商度私=占=， 提示： 4 9.因为直线y= t+m的斜率k=3 3 2 所以h'=3+6,则'(2)=6(cm/s).故选(C). 4 5.f()=+2co)(1)(e+2sinx).2x 因为y=-之则)”= (1+x2)2 则f'0)=c+2os01+0)e+2xin0)x0=3. 令=子，解得x=±令故(A)正确： (1+0) 因为y=cosx,则y'=-sinx,又因为-sinx∈[-1,1]， 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-分 则方程-smx=子>1无解，放(B)错误： 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 因为y=lnx,则y=1 s=3x1x-写=6 令：子解得x号放0)正确： 6.因为f代x)=x3-4x,所以f'(x)=3x2-4,x∈R, 因为y=e,则y=e, 又g)=2s(x+8）, 令e=子，解得x=h子放(D)正确 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C)(D). =1-n4红 10.若f(x)=sinx+cosx,则f"(x)=-sinx-cosx,在 xe (0,)上恒有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函 (2)y'=(x个+x2)′=x'个+x+x(1+x)'= 数，故(A)正确； +斋型 1+x 若f()=血-2x,则f“()=-京，在(0，受）上恒有 (3)因为y=o(2x+受)im(2x+受）=· f"()<0,所以f()在(0，受)上是凸函数，故(B)正确： (-sm2x)as2x=-sm4k,所以y=(-sm4 若f(x)=-2+2x-1,则f"(x)=-6,在(0，受）上恒 -n4-oms44=-in4-2os4 有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函数，故(C)正确： 16.解：(1)由题可得f'()=2f'(1)x-1+2 若f(x)=-xe,则f"(x)=2e*-e=(2-x)e,在 所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1, (0,号)上恒有f(x)>0,所以f()在(0，受）上不是凸函 则f(x）=-x2-x+2lnx 数，故(D)错误 (2)g(a)=G()+2+)+a=ln+a, 故选(A)(B)(C). 11.已知f(x)为奇函数，可知f(-x)=-f(x),又因为 求导可得8)=子 f(2-x)+f(x)=4,则f(2-x)-f(-x)=4,所以f(x+ 由y=e+2x得y'=e+2, 2)=f(x)+4,所以f(x+4)=f(x+2)+4=f(x)+8,故 故y=e+2x在(0,1)处的切线斜率k=e°+2=3， (A)错误； 所以y=e+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x- 对f(-x)=-f(x)两边求导得-f'(-x)=-f'(x),即 0),化简可得y=3x+1, f'（-x)=f'(x),所以g(-x)=g(x),又函数g(x)的定义域 为R,所以g(x)为偶函数，故(B)正确； 令g()=士=3，解得x=分 对f(2-x)+f(x)=4两边求导得-f'(2-x)+f'(x) 将其代入切线方程y=3x+1可得y=2, =0,即f'(2-x)=f'(x),所以g(2-x)=g(x),故(C)正 确； 代入ga)得g(兮）=n写+a, 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0,又 因为f(x+4)=f(x)+8,所以f(2024)=f(2020)+8= 所以得n兮+a=2,解得a=2+h3, f(2016)+2×8=…=f(0)+506×8=4048,故(D)正确. 17.解：(1)fx)=a2+lnx的定义域为(0，+∞)， 故选(B)(C)(D). 由)=a2+h求导得f()=2ar+ 三、填空题 12.1:13.4；14.2224(sin2x+cos2x). 于是得f'(1）=2a+1,而f1)=a, 所以f1)+f'(1)=3a+1. 提示： (2)因曲线y=f代x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线 12.因为f(x)=2,所以f'(x)=2n2, 又f"'(x)=ln4,所以2oln2=ln4=2n2,解得=1 斜率为0，由导数的几何意义知，方程f'(x)=0在(0，+0)内 13.函数f(x)=xnx,求导得f'(x)=1+lnx, 有解，于是得方程2x+士=0，即a=2京在0，+0)内有 依题意得tan0=f'(e)=2, 所以in6+2cos0=tan0+2 解，则a<0,所以实数a的取值范围是(-∞，0). 0-o0-m0-4. 18.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e, 14.因为f(x)=sin2x+cos2x, 由f'(x)<4e,得x2+2x-4<0, 所以f(x)=f0(x)=2(cos2x-sin2x), 解得x∈(-1-5，-1+5)， f(x)=fi(x)=22(-sin2x-cos2x), 则所求不等式的解集为(-1-5，-1+5) f(x)=f2(x)=23(-cos2x +sin2x), (2)因为f'(x)=(x2+2x)e*, f (x)=f3(x)=2(sin2x +cos 2x), 所以曲线y=f(x)在点(xof(xo)处的切线方程为 通过以上可以看出f(x)满足以下规律： y-xe0=(x号+2xo)e0·(x-x). 对任意neN,fn4(x)=2fn(x). 故4(x)）=f64(x)）=224(sin2x+cos2x）. 将点（号，0的坐标代入，并整理得·（名+写。 四、解答题 号）=号(-)(3+4)e0=0, 15解：①)因为(n4'=五·(4y= 4 解得0=0或x0=1或0=-3 所/：eee业士h 当。=0时，切线方程为y=0; (e)2 e 当=1时，切线方程为y-e=3e(x-1), 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 即y=3ex-2e; 又a为正整数，所以a的最小值为5. 当=号时，切线方程为y-e=-e(:+ 3 3.由题得f'(x)=(2-x e之， 3,即y=-8。x+164 4 令f'(x)>0,解得0<x<2, -9e5x+27 令f'(x)<0,解得x>2或x<0, 19.(1)解：由题得y1=1,y2=cosx, 故f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 因为1≥c0sx, 在(2,3]上单调递减， 所以函数y1=x是函数y2=sinx的“导控函数” (2)解：由题得y3=2x2+8,y4=x2+2bx+c,y5=8x, 而f(0)=0<f(3)=。, 9 由题意可得8x≤2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 故f(x)在[-1,3]上的最小值是0. 令8x=2x2+8,解得x=2, 4.若函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调递减， 故16≤4+4b+c≤16，从而有4+4b+c=16, 则f'(x)=3x2-a≤0在区间(1,2)上恒成立， 所以c=12-4b, 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立， x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12. 即x2-2bx+8-c=x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 所以“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 所以△=46-4(46-4)=4(b-2)2≤0，所以b=2, 即“a>12”是“函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调 故b=2,c=4且“导控点”为2； 递减”的充分不必要条件。 (3)证明：充分性：若存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒 5.令f(x)=e-x-a,则f(x)>0恒成立， 成立，且函数y=q(x)为偶函数， 所以f(x)min>0. 则p(x)=g(x)+c为偶函数，q(x)=q(-x), 因为f'(x)=e-1,所以当xe（-o,0)时f'(x)<0; p(-x)=q(-x)+c=q(x)+c=p(x), 当xe(0,+∞)时，f'(x)>0. 即e+ker=et+ke, 所以f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 所以(k-1)(e-e*)=0恒成立，所以k=1; 增，所以f(x)=f(0)=1-a>0,解得a<1, 必要性：若k=1,则p(x)=e+e*=p(-x), 即实数a的取值范围为(-0,1). 所以函数p(x)为偶函数， 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”， 6因为f()=之-9加，该函数的定义域为0，+0)， 因此p'(x）≥g'(x), 又q(-x)=q(x),p(-x)=p(x), 所以f'()=x-9=-9 因此函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“导控函数”， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 所以-p'(-x)≥-g'(-x), 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3]， 即p'(-x)≤g(-x)恒成立， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 用-x代换x有p'(x)≤g(x), 则[a-1,a+1]≤(0,3]， 综上可知p'(x)=q'(x),记h(x)=p(x)-q(x), 则h'(x)=p'(x)-q'(x)=0, 所日≥择器1a发之放速D 因此存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立， 7.因为f(x)=-2cosx-x,x∈(0，T), 综上，“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)- 所以f'(x)=2simx-1,xe(0,π). q(x)=c恒成立”. 令f'()=0,得s血x=乃，解得x=石或x= 6 第26期2版 专项小练一 当xe(0,石)时f'()<0,函数f()单调递减： 1.A:2.BD:3.A.4.(0,+0);5.(3,+∞). 专项小练二 当xe(君）时f"()>0,函数f()单调递增： 1.B;2.C;3.CD.4.2;5.(-0,-1) 当xe(,时f”()<0,函数f()单调递减， 第26期3,4版 所以当x=吾时函数f()取得极小值f(无)， 导数在研究函数中的应用同步核心素养测评 一、单项选择题 当：=要时，函数f()取得极大值f() 6 1~4 BBCA 5~8 BDDC 提示： 8.令8()=2(x≠0,4()=(>0)， Y 1.由题得f'(x)=-x2+2x+3, 要满足条件，则g(x)在(0，a)上单调递减， 令f'(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3) h(x)在[a,+o)上单调递减，且g(a)≥h(a) 2.f'(x)=3x2+2ax+6,由函数f(x)在R上存在极值， 易知g(x)在(0，+∞)上单调递减. 则f'(x)有两个不等实数根， '()=-nx,令h'()>0,解得0<x<e, 得4=4a2-72>0,解得a>32或a<-32, 3 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 令h'(x)<0,解得x>e, 所以a=b=1,则f(x)=x+ 1 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， e 所以a≥e fn2)=n2+点=n2+ 1 由2≥2解得0<a≤2 a 13.因为实数a,b,c,d成等比数列，所以ad=bc, 所以实数a的取值范围是[e,e2] 由f(x)=3x-x3, 二、多项选择题 得f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x), 9.BC;10.BC;11.AC. 令f'(x)=0,解得x=±1， 提示： 当x<-1或x>1时f'(x)<0f(x)单调递减； 9.观察图象，由f'(x)>0,得x<-2或0<x<2,显然 当-1<x<1时f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x<-2时，f'(x)<0,当0<x<2,f'(x)>0,由f'(x)< 所以x=-1时，函数f(x)取得极小值， 0,得-2<x<0或x>2,显然当-2<x<0时，f'(x)>0, x=1时，函数f(x)取得极大值， 当x>2时f'(x)<0, 所以b=1,c=f(1)=3-1=2. 因此函数f(x)在(-0，-2)，(2，+∞)上单调递减，在 所以bc=2,所以ad=2. (-2,2)上单调递增，(A)错误，(B)正确； 14f'(x)=x2+3x,令f'(x)=0,解得x=0或x=-3, 函数f(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3, 值，(C)正确，(D)错误.故选(B)(C) 令f'(x)<0,解得-3<x<0, 10.f(x)的定义域为(0，+0)，由f(x）=xnx+x2,得 所以f(x)在(-∞，-3)和(0，+∞)上单调递增， f'(x)=lnx+2x+1,所以有f'()=n+2xo+1=0,所 在(-3,0)上单调递减. 以有2x=-(nxo+1)>0,即lnxo<-1,即lnxo<ne1, 当x→-0时，f(x)→-0， 所以有0<。<。，故(A)错误，(B)正确： 当x→+0时f(x)→+， 又f(-3)=号+cf0)=6 f(o)+o=%lno++=o(In xo+o+1)= x(-2x+)=-后<0，故(C)正确，(D)错误.。 要使f(x)有3个不同的零点， 9 故选(B)(C). 则c<0< 号+e,解得-是<e<0, 1因为f)=专.所以()=c普-。所以 (e)2= 所以实数c的取值范围是(-号，0） f'(0)=1,故(A)正确： 四、解答题 因为f”(x)=二，当x<1时'(x)>0,所以f()在 er 15.解：函数f(x)的定义域为(0，+)， (-∞，1)上单调递增，当x>1时，f'(x)<0,所以f(x)在(1， f'(x)=x-a=x-a +如)上单调递减，所以()在x=1处有最大值，f()=日 当a≤0时f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间； 故(B)错误； 当a>0时，由f'(x)>0得x>√a, 结合(B)选项可知f(x)的最大值是 由f'(x)<0得0<x<a, 且f(x)在(-∞，1)上单调递增， 所以当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（√a,+∞）， 在(1，+∞)上单调递减， 单调递减区间为(0，√a). 又易知当x→-∞时，f(x)-∞， 16.证明：设函数f(x)=x“-ax-1+a, 当x→+0时f(x)→0 则f'(x)=ax-1-a=a(x-1-1). 结合)的大致图象（因略）可如直线)=专与曲线y= 令f'(x)=0,得x=1. 所以，当x∈(0,1)时f'(x)>0, f(x)有两个交点， 函数f(x)单调递增； 所以了()=有两个不等实根，故(C)正确： 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减。 所以f(x)=x-ax-1+a在区间(0，+o)上的最大值 因为f(x)在(1，+0)上单调递减，所以f(3)>f(4),即 为f(1)=0. 是>÷，所以3>4，故(D)错误放选(A)C 3 所以f(x）=x“-ax-1+a≤0，即x“-ax≤1-a. 三、填空题 1n解：(1g()=-分+ar+分-2- 121n2+13.2:14(-号，0） xe(0,8], 提示： 即g()=-+a2-2e081. 12由国=a+总，可得/')=。- 当x=2时，g(2)=-4+9a-2=12,解得a=2, e, 由题得f(0)=b=1,f'(0)=a-b=0, 故8)=-2+号-2e(08 4 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 （2)=-+9张=-(x-6. 则当x<t时，F(x)<F'(t)=0, 这与H右eR,F'(）≥0矛盾， 当x∈(0,6)时，g'(x)>0, 故不存在x使F'(x)=0,故F'()>0恒成立， 当xe(6,8]时，g'(x)<0, 故F(x)在R上严格增。 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增， 在(6,8]上单调递减， 第27期3,4版 所以x=6时，利润最大为g(6)=52(万元) 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评 18.解：(1)因为f(x)=ln(x+a)-x2+x,x>-a, 一、单项选择题 所以f”(x)=1-2x+1. 1~4 BACA 5~8 CDAA Γx+a 提示： 因为函数f(x)=ln(x+a)-x2+x在x=1处取得极值， 1.f'(x)=(2x-x2)e-+a, 所以f'(1)=0, 由题可得f'(1)=1+a=2,解得a=1. 所以十。-1=0，解得a=0,经检验，符合题意 2.函数f(x)=cosx-ax定义域为R, 5 且f'(x)=-sinx-a, (2)证明：因为f(x)=-2x+, 依题意f'(x)≤0恒成立，即-sinx-a≤0恒成立， 所以h-+=-子+b, 即a≥-sinx恒成立， 又-1≤-sinx≤1，所以a≥1， 7 所以nx-+2t=b. 即实数a的取值范围是[1，+o). 3.由题意得对任意xeR,e2-x>log2a恒成立， 7 令h(x)=nx-+2(x>0), 设f(x)=e2-x,f'(x)=e2-1, 则h'(x)=文-2x+子 令f'(x)=e2-1>0,解得x>-2, =-(4x+1)x-2】 2x 令f'(x)=e2-1<0,解得x<-2, 所以当x∈[1,3]时，h'(x),h(x)随x的变化情况如表： 则f(x)在(-∞，-2)上单调递减， [1,2) (2,3] 在(-2，+0)上单调递增， 故f(x)≥f(-2)=3,所以lo%a<3,解得0<a<8. h'(x) + 0 - 4.当x=0时，f(0)=-f'(0)-f(0), h(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以f(0)=-f(0. h(1)= ,h(3)=lm3+ 5 3 > 2 2,h(2)=ln2+3, 5 又f'()=3-25'(0)x+2'0)e-1, 所以he[,h2+3 期'(0)=之(0)-1，解得/(0)=-2， 所以b的取值范围为[子，血2+3] 19.(1)解：f(x)=3,定义域为R,则f1(x)=3·ln3是在 由定义可知，四2-10】：-2y0):4 R上的严格单调递增函数，则f(x)=3是“T函数”； 5.f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).当-3≤x<-2 5(x)=x3,定义域为R,则f5(x)=3x2不是在R上的严 或2<x≤3时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当-2<x<2时， 格单调递增函数，则(x)=x不是“T函数” f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最值分别是f(-3), (2)证明：由题可得g'(x)在(0，+0)上严格单调递增， f-2)f(2)f(3)中的最小者和最大者，所以M=24,m= -8,M-m=32. 设G(x)=g(x+1)-g(x), 则G'(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 6.由题图f'(x)为奇函数，可知f(x)为偶函数，故可排除 (B),(C); 故G(x)在(0，+o)上单调递增，故G(a)<G(a+2), 对于(A),当x→0时，f'(x)=(e-e*)x2+2(e+e)x 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). (3)证明：由题可得F'(x)在R上严格单调递增， >0,与f(x)的图象不符，排除(A)； xo E R,G(x)=F(x)-F(xo)x, 对于(D,由f()=子2+2a0sx,有f'()=分- 则G'(x)=F'(x)-F'(x), 2sin,令f”(x)=0,得7=sinx,作出函数y=之，7=sinx 1 当x∈(-∞，xo)时，G(x）<0,函数单调递减； 当x∈(x,+0)时，G(x)>0,函数单调递增， 故G(x)≥G(), 的图象（因略）可知，。e(受，），使得7。=sino,当x 即F(x)≥F'(xo)x+F(xo)-F'(xo)xo, e(0,xo)时，f'(xo)<0,当xe(,+o)时，f'(x)>0,与 当x<0时，F(x)<0恒成立， f'(x)的图象相符，(D)正确.故选(D). 则F'(xo)x+F(x)-F'(x)<0恒成立， 故F'(x)≥0， 7.因为fe)=lns+3-京(a≠0. 若存在teR,使F'(t)=0, 所以函数f(x)定义域为(0，+∞)， 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 冬是+心山， 故选(A)(C 1.f'()=--x-2=-(x+1)x-22 由题意得方程f'(x)=0,即ax2-3x+1=0有两个不相 e 等的正根，设为x1,x2, 当x<-1或x>2时，f'(x)<0, 4=9-4a>0. 当-1<x<2时f'(x)>0, 则+3 >0,解得0<a<是 即函数f(x)在(-0，-1)，(2，+∞)上单调递减，在 (-1,2)上单调递增， ->0 因此函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-e,在 即a的取值范围为(0，号） x=2处取得极大值f(2)=三，故(A)正确： 由(A)作出曲线y=f(x)及直线y=k,如图1， 8.原不等式等价于ef(x)-e>5=ef(0)-e°， y=∫(x)y 可构造函数g(x)=ef(x)-e,其导数 g'(x)e'f'(x)+e'f(x)-e =e*[f'(x)+f(x)-1], 因为f'(x)>1-f(x),即f'(x)+f(x)-1>0, 所以g'(x)=e*[f'(x)+f(x)-1]>0, 即g(x)=ef(x)-e在R上是增函数， 图1 所以ef(x)-e>5=ef(0)-e°=g(x)>g(0), 要使方程f(x)=k有且只有两个实根， 可得x>0,即原不等式的解集为(0，+∞). 观察图象得当-e<k≤0时， 二、多项选择题 直线y=k与曲线y=f(x)有2个交点， 9.ACD;10.AC;11.ACD. 所以方程f(x)=k有且只有两个实根， 提示： 则k的取值范围为(-e,0],故(B)错误； 9.f(1)=g(1)=0,故(A)正确； f'(1)=2,g'(1)=1,故(B)错误； 由f()=0得x2+x-1=0,解得x=-1±5 2 f(到=2a∈Rg()=÷e0,+).作") 令f(x)=t,则f(t)=-1, 结合图象方程f(t)=-1有两解， g(分)，放曲线f()=2-1与曲线g()=血x存在五相 -1-5<,<-1,4=0, 2 平行的切线，故(C)正确： 所以f(x)=t1或f(x)=, 令F()=f(x)-g(),则F'(x)=2x-,故F()在 因为1+5<2，所以215，-e 2 (0,号)上单调递减，在（停，+x）上单润递增，而F(停） 所以方程f(x)=有两解； 又因为=0，结合图象可知f(x)=也有两解， =-+2n2<0.F(）>0.,F(e)=e-2>0,故F( 综上，方程f(f(x))=-1共有4个根，故(C)正确； 有两个零点，即曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)=nx有两个 因为2)=三，面函数)在2.+)上单调谴减 交点，故(D)正确 结合图象知t≤2， 故选(A)(C)(D) 所以t的最大值为2，故(D)正确。 10.f(x)=xln(1+x),定义域为(-1，+∞)， 故选(A)(C)(D) 则f'(=h(e+)+本 三、填空题 由=lax+D=本=1+都在(-1，+) 12.(0,3)； 13[号受)：4[30)月 上单调递增，故y=f'(x)也在(-1，+∞)上单调递增，又 提示： f'(0)=0,故当x∈(-1,0)时f'(x)<0f(x)单调递减； 12.函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 当xe(0,+o)时f'(x)>0, f'(m)=x-2-3=-2x-3=x-3)x+1) f(x)单调递增，故(A)正确； 由f'(x)=0得x=3,由f'(x)<0得0<x<3, 由(A)知f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单 所以f(x)在区间(0,3)上单调递减. 调递增，又f(0)=0,故f(x)只有一个零点，故(B)错误； 13.因为y'=x2-2x+1+√5=(x-1)2+5≥5， (）=n3-1=-1-h2. 所以曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为[3， 根据导数几何意义可知(C)正确； +o),即tana≥5， f(x)的定义域为(-1，+∞)，不关于原点对称，故f(x) 是非奇非偶函数，故(D)错误 又ae[0,m),所以a的取值范由是[号，号)】 6 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 14由题得a(x)=-方-m+方+2x在[0,3]上有 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 当x+0时，g(x)+0, 两个不同的零点， 令F()=-号+7+2， 6e 则直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有 =g(x 两个交点， F'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令F'(x)=0,可得x=2∈[0,3]，列表如下： y=-2e3.-- (2,3] 图3 [0,2) 2 结合图象，g(x)与y=a有三个交点， F'(x) × 0 F(x)》 极大值0 即0<a<6e,放实数a的取值范田是(0，） 17.解：由题可得f'(x)=6x2-2ax, F(0)=0,F(3)= ,作出F(x)的图象（图2）， 3 令f"()=0,解得x=0或x=号， 0↑y 3 当x<号或x>0时f'()>0: y=m =F(x) 当号<<0时"()<0， 所以当x=号时(x)取得极大值， 2 图2 (台） 由图可知，当 ≤m<9时， 3 又f(x)=2x3-a2=- 27 直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有两 个交点， 即(x-号)广(2+号)=0， 因此实数m的取值范围是 310 2,3 解得x=号或x=-合 四、解答题 因为)在（受”专） 上有最大值， 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 由题可得(1)=3+2a+6=8, 所以号<告≤-名， lf(1)=a+b+3=8-2, 解得a=2,b=1. 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-0，-4]. (2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, 18.解：(1)当“如意金箍棒”变化到x秒时， f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 其底面半径为(10-x)cm,长度为(l+40x)cm, 则f(x)=π(10-x)2(l+40x),且4≤10-x≤10， 令f'(到=0得x=-分或x=-1, 即0≤x≤6， 所以在(-0，-1)上f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f'(x)=π[-2(10-x)(1+40x)+40(10-x)2] 在(-1，兮)上fx)<0()单调递减。 =2π(x-10)(60x+1-200), 当10-x=8,即x=2(秒)时，f(x)取得极大值， 在(-分，+）上f()>0f()单调递指， 所以f'(2)=0,即2π(2-10)(60×2+1-200)=0， 解得l=80(cm), 所以f(x)极大值=f(-1)=2, 所以f(x)=40π(x-10)2(x+2),且其定义域为[0,6]. f准=（宁）-罗 (2)由(1)得f'(x)=120π(x-10)(x-2),0≤x≤6， 所以当0≤x<2时，f'(x)>0: 16.解：令g(x)=(x2-4x+1)e, 当2<x≤6时，f'(x)<0, f(x)有三个零点即g(x)与y=a的图象有三个交点， 所以f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,6)上为减函数， g'(x)=e(x2-2x-3)=e(x-3)(x+1), 则f(x)的最小值为f(0)或f(6), 当x>3,或x<-1时，g'(x)>0, 又f(0)=8000π(cm3),f(6)=5120m(cm3), 当-1<x<3时，g'(x)<0, 所以当x=6(秒)时，“如意金箍棒”体积最小， 所以g(x)在(-0，-1)和(3，+∞)上单调递增， 此时“如意金箍棒”的底面半径为10-6=4(cm) 在(-1,3)上单调递减， 19.解：(1)函数f(x)=lnx在(0,1)上是增函数. g(x)的极大值为g(-1)=6e1, 极小值为g(3)=-2e3, 因为F(x)==血，所以F'(x)=L-血 x2 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0, 5.将等差数列记为an}, 所以F(x)在(0,1)上为增函数， 其中第n节的容积为an(1≤n≤9，n∈N,), 所以函数f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”. 因为8=4， 。。所以4a+6d=4, 2)因为g()=2x+2+al La as ag =6, la1+7d=2, 所以g(x)=2x+ax-2 x 所以 2 因为函数g(x)是[1，+∞)上的“单反减函数”， d=T' 所以g(x)在[1，+∞)上是增函数， 所以g'(x)≥0在[1，+o)上恒成立， 所以，=4+4d=普所以第5节的容积为普升 11 令h(x)=2x2+ax-2, 6.由f(x)=(x-1)(x-2)2得f'(x)=(x-2)2+2(x 则h(x)≥0在[1，+o)上恒成立， -1)(x-2)=(x-2)(3x-4) rh(1)≥0， 令f'()>0得x>2或x<青令f()<0得号< 所以 ≤1， 解得a≥0. 一4 <2.所以f()在[0，号）和(2,3]上单词递增，在（号，2 令G(x)=(x2 上单调递减。 2 又f(0)=-4f(2)=0,所以fx)=(x-1)(x-2)2在 则G(x)=2+ +n在[1，+~)上是减函数 [0,3]上的最小值为-4. 又6w-是+21， x2 7令8)=2，则g)=0fa, 所以G'(x)≤0在[1，+∞)上恒成立， 因为f'(x)-f(x)<0, 即-号+1≤0在1，+)上相成立， 所以g'(x)<0,g(x)在R上递减， 因为f1)=e,所以g(1)=D=1, 即ax-axln x-4≤0在[1，+o)上恒成立. 令P(x)=ax-axin x-4,则P'(x)=-alnx, 因为不等式f(lnx)>x,x>0, 防B以有气心 ,解得0≤a≤4， 所以gnx)）=fn=-fhD>1=g(1), 综上，实数a的取值范围为[0,4]. 所以lnx<1,解得0<x<e, 故不等式f(lnx)>x的解集是(0，e). 第28期 8.设该数列为an},则由a2-a1=2-1=1,a3-a2= 核心素养阶段测评（五） 5-2=3,a4-a3=10-5=5,a5-a4=17-10=7,… 一、单项选择题 可知该数列逐项之差构成的数列{b.}成等差数列，首项 1~4 BABD 5 ~8 CBBC 为1，公差为2，故b.=1+2(n-1)=2n-1,故a+1-am= 提示： bn=2n-1,则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,am- 1.f'(x）=3x2+2mx,由f'(-1)=f(1)得3-2m=1 a-1=2n-3,上述n-1个式子相加，得am-a1=1+3+5+ +m+5,即m=-1,f'(1)=3+2m=3-2=1. …+(2n-3)=m-),+2n-3》=(n-1)2(n≥2)，即 2 2.因为a,+a=g(a+),所以g=2 a.=(n-1)2+a1=(n-1)2+1(n≥2)， 由a4g+a1g=号得a=32. 故a20=192+1=362. 2 二、多项选择题 由an=a1g-1=1得n=6. 9.ABC;10.ABD;11.ABD. 3.由等比数列{a.}的前n项和的性质可得 提示： S10,S0-S1o,S0-Sn也成等比数列， 9.根据等差数列的性质，若S1-S=4(a,+ag)=0,则 所以(S0-S0)2=S1o×(S0-S0), a,+ag=0,S4= -14(a+a=7(a,+as)=0,故(A)正确： 2 得(10-20)2=20×(S0-10),解得S0=15. 4.f'(x)=x2+4x+3,令x2+4x+3=0,可得x=-3或 由(A)及结合首项a1>0,可得a,>0,ag<0,d<0,所以S, 1 是最大值，故(B)正确；若S7>S,则ag<0,那么d<0,所以 x=-1.经分析可知，它们是函数f(x)的极值点 ag<0,所以S8>Sg,S,-S6=a,+ag+ag=3as<0,即S。 由直线y=a与函数f(x)=了+2x+3x+1的图象 >S,故(C)正确，(D)错误。 相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切.由x=-3或 故选(A)(B)(C). 10.令g(x)=f(x),则g'(x)=f(x)+f'(x)>0, x=-1可得函数的极值为1或-子 即函数g(x)在定义域内是单调递增函数， 故实数a的值为1或-分 称函数y=f(x)为“F函数” f(x)=e",g(x)=xf (x)=xe"(x E R), 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 g'(x)=e+xe"=(x+1)e, 则当n≥2时，上-1=n-1,则1 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， an an-1 a. 当x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数， a 则函数f(x)=e不是“F函数”，故(A)正确： =(n-1)+(n-2)+…+1+1 f(x)Inx,g(x)=xf (x)=xn x(x >0), =n(n-+1=心-n+2(n≥2)， 2 2 g'(x)Inx +1, 2 当0<x<时，g()<0,g)单涧递减， 即a.=-n+2 (n≥2)， 当x>时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当n=1时，a1=1适合此式， e 2 不符合在定义域内是单调递增函数， 所以a.=-n+2 则函数f(x)=nx不是“F函数”，故(B)正确； 4令1=/m）=8(a,则e=1分+h子= f(x)=x,g(x)=xf(x)=x(x E R), 2 g'(x)=3x2≥0， 所以m=3+lnt,n=2e宁， 所以g(x)单调递增， 即n-m=2e宁-3-lnt, 则函数f(x)=x2是“F函数”，故(C)错误； f(x)sinx,g(x)=xf(x)xsinx(xE R), 设0)=2寺-3-n则0）=2+-u>0, g'(x)=sin x xcosx, 当m<x<受时，g()<0g(x)单调递减， 令h'(0=0,得t=2: 1 不符合在定义域内是单调递增函数， 当0<<时，h()<0,A()单调递减： 则函数f(x)=sinx不是“F函数”，故(D)正确， 故选(A)(B)(D). 当1>分时，k()>0,h()单调递增： 1山.若a=受，则a,a1=(im受）广=1，所以工m 所以h()=h(分）=h2-1, (aa)·(a3a4)…(aga1m）=10=1,故(A)正确； 即n-m的最小值为ln2-1. 若a=吾则a,a1=(m若)广=（分）”，所以 四、解答题 15.解：因为anl=(入-3)an+2"(neN,)及a1=2,a2 =(分)，两式相除得=分所以4=4× n+ =-1, a 所以a:=a-3)a+2,解得A=子 (合)°-6故(B)正确： 所以a=- 因为aa1=(sina)”,所以an1a2=(sina)+l,所以 +2= 2 2=sin&≤1，又因为数列a,}各项均为正数，所以a2≤ (2)不存在.因为a1=2,a+1=(入-3)a.+2“,所以a2= an (入-3)a1+2=2入-4，a3=(入-3)a2+4=2入2-10入+16. a,即a2+l≤a2-1,故不存在a及正整数k,使得a1>a2k-1, 若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2,即2+22-10入+ 故(C)错误； 16=2(2入-4)，所以X2-7入+13=0.因为4=49-4×13 若{an}为等比数列，设其公比为g(g>0), <0,所以方程无实数解，所以入不存在.即不存在入，使数列 a.dm =avg,an =()"=(sina)" an}为等差数列. 16.解：(1)设需要新建n个桥墩， =1,则a=ma,故(D)正确 所以g (n+1)x=m,即n=m-1, g2 sin a, 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x 故选(A)(B)(D). 三填空题 =256(受-1）+(2+， 12.n=5;13.2-n+2 2 14.ln2-1. 即y=256m+mE+2m-256. 提示： (2)由(1)知， 12由题得%(2-1)=9g 整理得0，=3， la1·2-1=48, l2"=32, f经+t是-2 解得n=5. 令f'(x)=0,得x2=512,所以x=64, 13.由题意得1-=n, 当0<x<64时f'(x)<0f(x)在(0,64)内为减函数； an+l an 当64<x<640时，f'(x)>0,f(x)在(64,640)内为增函数， -9 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以f(x)在x=64处取得最小值， 1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点. 此时，a=是-1=架-1=9 综上的取值范围是（宁+一） 故需新建9个桥墩才能使y最小. 19.解：f'(x)=3x2+2bx-9,f"(x)=6x+2b. 17.解：(1)当n=k,k∈N时， 由题意得f"(-1)=0,即-6+2b=0,解得b=3. S=+m取最大值， 且f(-1)=10,即(-1)3+3×(-1)2+9+a=10, 解得a=-1, 即8==+2=， 故f(x)=x3+3x2-9x-1, 所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3), 故2=16，因此k=4, 令f'(x)>0得x>1或x<-3, 从雨=及。-及=号-a(a≥2). 令f'(x)<0得-3<x<1, 7 9 故f(x)在(-∞，-3)，(1，+∞)上单调递增， 又4=S,=2,适合a=之-n, 在(-3,1)上单调递减， 9 所以a=立-n 故f(x)在x=-3处取得极大值， 在x=1处取得极小值， a设4”2六 n 故极大值为f(-3)=-27+27+27-1=26, 极小值为f(1)=1+3-9-1=-6. Tn=b1+b2+…+bn 1+2+3 之+2京+…+ 2n+2品， ag0=2m2+a(m）-1512+g-是 因为m>0,mx>0,故x>0, 2=2+2+++2 +2+2 即g(x)的定义域为(0，+∞)， 所以T.=2T.-T。 g'(x)=6m2+6x+2[6ln(mx)-15]x+18 m =2+1+2+…+22 g"(x)=12mx+6+12+2[6ln(mx)-15] =12mx+12ln(mx）-12, 4六-4是 2-1 令g"(x)=0得mx-1+n(mx)=0, 令h(x)=x+lnx-1,x>0, 18.解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e*, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax2-(4a+1)x+ 则h'(x)=1+↓>0在(0，+0)上恒成立， 4a+3]e=[a2-(2a+1)x+2]e, 故h(x)=x+lnx-1在(0，+o)上单调递增， f'(1)=(1-a)e. 又h(1)=0,由零点存在性定理知 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1, h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1, 此时f(1)=3e≠0，所以a=1. (2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e* 故mr=1,即x=元时，满足m-1+nm）=0, =(ax-1)(x-2)e 若a>分则当xe(合，2)<0： 当=时白)后++1= 当x∈(2，+o)时f'(x)>0. 故)的拐点为（六1） 所以f(x)在x=2处取得极小值。 若a≤弓则当xe(0,2)时，x-2<0,ar-1≤2- 一10