第26期 5.3 导数在研究函数中的应用-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

17.(15分)某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发 18.(17分)已知函数f(x)=1n(x+a)-x2+x,且f(x)在 19.(17分)若定义域为D的函数y=f(x)使得y=f'(x)是 放冰淇淋，现欲从源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订 x=1处取得极值 定义域为D的严格增函数，则称f(x)是一个“T函数”。 单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1 (1)求实数a的值； (1)分别判断f(x)=3,6(x)=x3是否为T函数，并说明理由： 万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额∫(x)满 (2)若关于x的方程∫(x)=- 见关系式)=-号+学02+（单位：万元，共中0是常.若 +6在区间[1,3]上有解，求 (2)已知常数a>0,若定义在(0，+∞)上的函数y=g(x)是 T函数，证明：g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2): b的取值范围： (3)已知T函数y=F(x)的定义域为R,不等式F(x)<0的 该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元 解集为(-，0).证明：F(x)在R上严格增. (1)设卖出x万个冰淇淋的利润为g(x)(单位：万元)，求g(x)的解 析式： (2)这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出 利润的最大值 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步棱心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：蒋丕清 报纸编辑质量反馈电话： 数评橘 2026年1月12日·星期 高中数学 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 第 26期总第1170期 人教A 0351-5271248 选择性必修第二册 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-289 钱学森： 国之脊梁，航天之父 方法指津 一、根据(x)的图象确定∫'(x)的图象 可能是 钱学森，中国航 利用导 例1如果函数y=f(x)的图象如图1所示 那么导函数y=∫'(x)的图象可能是 天事业的奠基人，被 誉为“中国航天之 判断阁象问题 A (B) (C) (D) 图2 父”“中国导弹之 ⊙山东王嵩 分析：先观察所给出的导函数y=f'(x)的 父” 如果原函数在定义域内可导，则原函数的图 图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区 他早年留学美 象f(x)与其导函数∫'(x)的图象有密切的关系 分析：根据原函数y=f(x)的图象可知， 间，二者结合起来即可做出正确的选择.本题还 国，在学术上取得了 1.导函数f'(x)在x轴上、下方的图象与原 f(x)有两个上升区间，有两个下降区间，且从左 卓越成就.新中国成 函数图象上升、下降的对应关系： 可以通过确定导函数y=∫'(x)的图象零点对 到右，第一部分为上升区间，然后相间出现，反应原函数的极大值或极小值点来判断图象 立后，钱学森毅然决 (1)若导函数∫'(x)在区间D上恒有∫'(x) 映在导函数图象上就是有两部分图象在x轴的 解法1：由y=f'(x)的图象可以清晰地看 定回国，为祖国的建 >0,则f(x)在区间D上为增函数，由此进一步 上方，有两部分图象在x轴的下方，且第一部分 出，当x∈(0,2)时，∫'(x)<0,则f(x)为减函 设贡献自己的力量 得到导函数∫'(x)在x轴上方的图象所对应的 区间D为原函数图象中的上升区间D; 在x轴上方，然后相间出现 数，只有(C)项符合，故选(C) 然而，他的回国之路 (2)若导函数f'(x)在区间D上恒有∫'(x) 解：由原函数的单调性可以得到导函数的 解法2：在导函数f'(x)的图象中，零点0的 充满了艰难险阻.美 <0,则f(x)在区间D上为减函数，由此进一步 正负情况依次是正负→正→负，只有选项左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数 国政府百般阻挠，甚 得到导函数∫'(x)在x轴下方的图象所对应的 (A)满足 (x)在x=0时取得极大值.又零点2的左侧为 至将他囚禁起来.但 区间D为原函数图象中的下降区间D. 点评：本题观察图象时主要从两个方面下负，右侧为正，由此可知原函数(x)在x=2时 钱学森始终没有放 2.导函数∫'(x)图象的零点与原函数图象手：(1)观察原函数f(x)图象的上升区间及下 取得极小值，只有选项(C)符合，故选(C). 弃回国的信念，经过 的极值，点的对应关系： 降区间；(2)观察导函数∫'(x)的图象在哪些区 点评：(1)导函数值的符号决定原函数的单 多方努力，终于回到 如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函间大于零，在哪些区间小于零。 调性，导函数的零点确定原函数的极值点；(2) 了祖国的怀抱. 数的零点为原函数的极大值，点；如果在零，点的 二、根据函数∫'(x)的图象确定八x)的图象 导函数的增减性与函数增减性之间没有关系， 回国后，钱学森 左侧为负，右侧为正，则导函数的零，点为原函数 例2设f'(x)是函数f(x)的导函数，y= 但它刻画了函数图象上的点的切线斜率的变化 立即投身于国防科 的极小值点 ∫'(x)的图象如图2所示，则y=f(x)的图象最有 趋势 技事业他带领着科 研团队，克服了重重 疑唯解柷2 f(x)在区间[1,2]上的最小值即为极小值 (号)=引x=2为八的极小值点，极小值为 59 困难，从无到有，逐 利用导数 所以)=日）=1--na9 a 步建立起中国的航 f(2)=1. 2 天工业.在艰苦的条 求解两类最值问题 6,当1 >2,即0<a<2时，如图3， (2)a当4+2<子，即<-手时，函数 件下，他废寝忘食地 ⊙湖南彭超 f(x)在区间[1,2]上是减函数， f(x)在区间[t,t+2]上递增，如图5， 工作，凭借着卓越的 一、“极值点动，区间定”下的最值问题 所以x)m=2)=n2-2a 智慧和顽强的毅力， 例1已知函数(x)=lnx+I二，其中a为 成功研制出了中国 ax 第一枚导弹、第一颗 大于零的常数.求函数f(x)在区间[1,2]上的 最小值 图5 人造地球卫星， 解析：令∫'(x)=匹二=0，解得x= 所以f(x)mx=f(t+2) +29 钱学森不仅是 ax 2 一位杰出的科学家， 当0<x<时f'(x)<0,故函数x)在 c.当 <1,即a>1时，如图4， 6.当≤≤i+2, 4 更是一位具有高尚 f(x)在区间[1,2]上是增函数， 即-手≤1≤号时，函数 爱国情怀的人.他把 (0,)上是羊调递减函数： 所以f(x)mn=f1)=0. 自己的一生都奉献 综上， )在区间[，)上递 当x> 时f'(x)>0,故函数x)在 给了祖国，为了国家 a In 2- 0<a< 1 2 增，在区间号+2上递减，如图6，所以 ,+∞)上是单调递增函数： 1 的富强和民族的振 f(x)min 1 1 -lna,2≤a≤1， 59 兴，不惜牺牲个人利 所以函数f(x)在x= 1处取得极小值 0. a>1. 益他的精神激励着 二、“极值点定，区间动”下的最值问题 c.当t> 号时)=a)+ 无数后人，为实现中 1- 例2已知函数f(x)=x(x-2)2+1,x∈R 1 2)},如图7， 华民族伟大复兴的 1 =1- n (1)求函数f(x)的极值； a× 令f()≥f(t+2),则(t-2)2≥(t+2)2, 中国梦而努力奋斗. (2)讨论函数f(x)在区间[t,t+2]上的最 画出函数的草图如图1. 大值 解得0≤t≤ 3 钱学森，国之脊 3 解析：(1)因为f'(x)=3x2-8x+4=(3x 梁，他的功绩将永载 2)(x-2), 所以当t> 史册，他的精神将永 所以函数f(x)的单调递增区间为 时，)<f1+2), 3 远熠熠生辉 -,号)和(2，+))的单调递减区间 即f(x)m=f(t+2)=t+2r+1, 综上， 为（子2： 4 [e+22+1,t<- 、2 3,或t> f(x)max 所以x=子为)的极大值点，极大值为 4 a.当1≤ ≤2，即 2 ≤a≤1时，如图2 2 271 31 2 素养专练 专项小练一、函数的单调性 专项小练二、函数的极值与最大（小）值 1.函数f(x)=2x3-ax2+7的单调递减区间 1.已知函数∫(x)=x3+ax2+bx-a2在x= 是(0,2)，则a= ( )1处取得极值-8，则a= ( ) (A)6 (B)3 (C)2 (D)0 (A)-3 (B)2 2.(多选)函数y=f(x) (C)-2 (D)-3或2 的部分图象如图所示，则 2.函数f(x)=cosx+sinx在[0，π]上的最 大值为 ( ( (A)f'(2)>0 (A)0 (B)平(C)罗 (D)T (B)f'(6)>0 (C)f'(3)>0 B(多选)已知函数f()=ar+a∈R (D)f'(3)<0 且满足∫'(-1)=0，则 及已知a=b=号3c=则a6,e的大 (A)函数∫(x)在x=1处有极大值 e (B)函数∫(x)在区间(-1,1)上是增函数 小关系为 (C)函数f(x)在x=-1处有极大值 (A)a<b<c (B)c<a<b (D)函数f(x)在区间(-∞，-1)和(1， (C)c<b<a (D)b<a<c +∞)上是增函数 4.若函数了()=-子+ax有三个单调区 4函数了()=h-子的零点个数为 间，则实数a的取值范围是 5.当x∈[0,2]时，不等式x3-x2-x>m恒 5.若函数g()=1nx+-(-1)x存在成立，则实数m的取值范围是 单调递减区间，则实数b的取值范围是 理报社试题研究中心 参考答案见下期 第25期2版参考答案 当=0时，切线方程为y=0; 当x=1时，切线方程为y-e=3e(x-1),即y=3ex 1.B;2.A;3.CD.4.-1;5.√e -2e: 6.解：(1)y=60cos(3-受) 当6号时，切线方程为5子-受( 所以y(于）=60eos年=30(umvs) +)即y=x+ (2)令31-号=2km,解得1=君+2,6eZ。 19.(1)解：由题得1=1，y2=cosx, 因为1≥cosx,所以函数y1=x是函数y2=sinx的“导 所以最少经过石该小、球的解时速度达到最大 控函数”. (2)解：由题得y5=2x2+8,y4=x2+2bx+c,y5=8x, 第25期3,4版参考答案 由题意可得8x≤x2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 令8x=2x2+8,解得x=2, 一、单项选择题1~4DDAC5~8ADBA 故16≤4+46+c≤16，从而有4+4b+c=16, 二、多项选择题9.ACD;10.ABC:11.BCD. 所以c=12-4b, 三、填空题 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立，即x2-2bx+8-c= 12.113.4:14.2204(sin2x+c0s2x) x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 四、解答题 所以△=462-4(46-4)=4(b-2)2≤0，所以b=2, 15.(1)y=1-xln4x 故b=2,c=4且“导控点”为2； (3)证明：充分性：若存在常数c使得p(x)-q(x)=c (2)y'=1+2)个+ 恒成立，且函数y=q(x)为偶函数， 1+x2 则p(x)=g(x）+c为偶函数，q(x)=g(-x), (3)y=-了n4-2os4 p(-x)=g(-x)+c=q(x)+c=p(x), 即e*+ket=e+ke 16.(1)f'(1)=-1,f(x)=-x2-x+2nx 所以(k-1)(e*-e)=0恒成立，所以k=1; (2)a=2+1n3 必要性：若k=I,则p(x)=e+e=p(-x), 17.(1)f1)+f'(1)=3a+1.(2)(-0,0) 所以函数p(x)为偶函数， 18.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e, 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”， 由f'(x)<4e,得x2+2x-4<0, 因此p'(x)≥g(x), 解得x∈(-1-5，-1+√5)， q(-x)=q(x),p(-x)=p(x), 则所求不等式的解集为(-1-√5，-1+5) 因此函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“导控函数”， (2)因为f'(x)=(x2+2x)e, 所以-p'(-x)≥-g'(-x), 所以曲线y=f(x)在点(xf(xo)处的切线方程为 即p'(-x)≤g'(-x)恒成立， y-x6e0=(哈+2xo)e0·(x-x). 用-x代换x有p'(x)≤q(x), 综上可知p'(x)=q(x),记h(x) 将点（号，0）的坐标代人， =p(x)-q(x), 则h'(x)=p'(x)-g'(x)=0, 并整理得%e·(云+宁。-号） 因此存在常数c使得p(x)-q(x) =c恒成立， =号(。-1)(3+4)e0=0, 综上，“k=1”的充要条件是“存 解得，=0或。=1或=-号 在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成 立” a e(-,2In 2-2]. (-9.202-2。 放（瓶）俱2n2-2.88(8--ct268值 可：5欢n2团·图然()--942c有 ()--+20。国（）： 心8（为想货：5R(52.十8）行 xn(-8n2)g+)-9+2V 诊(L--+2-0.操查8n2.: 今图(R)-et2h:m18(8)1-42! 查(0。+8际国强、以好()话(0。+8)所 服米0(0+8)出·6YQns(8 m(米)三（米：-1-米4） 此以来：0九/(%)8个容店 ER()--1S0.:F(2)-6-V270. 证之速为就0。t%.出(00-0。 (D)f 为极小值 5 四、解答题：本题共5小题，共77分 6 为极大值 导数在研究函数中的应用 15.(13分)已知函数f(x)= 2 2 -alnx(a∈R) 0 同步核心素养测评 8.已知函数(x) 若f(x)在(0 +0)上单 求∫(x)的单调区间. ,x≥ a, ◎数理报社试题研究中心 调递减，则实数a的取值范围是 第I卷选择题（共58分） (A)[1,e2] (B)[e,2e] (C)[e,e2] (D)[e,+o) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 1.函数了()=-子+2+3x的单调递增区间为 ( 9.已知函数∫(x)的定义域是R且导函 (A)(-3,1) (B)(-1,3) 数为f'(x),如图是函数y=f'(x)的图象 (C)(-∞，-1)和(3，+∞) (D)(-∞，-3)和(1，+0)》 则下列说法正确的是 高中数学 2.若函数∫(x)=x3 ax +6x -3在R上存在极值，则正整数 (A)函数f(x)的减区间是(-2,0) a的最小值为 (2,+0) ( (A)4 (B)5 (B)函数f(x)的减区间是(-∞，-2)，(2，+∞) ·选择性必修第二册（人教 (C)6 (D)7 (C)x=-2是函数∫(x)的极小值点 3.函数f(x)= (D)x=2是函数f(x)的极小值点 [-1,3]的最小值为 10.已知函数f(x)=xlnx+x2,且x是函数f(x)的极值点.下 16.(15分)已知x>0,0<a<1,证明：x°-ax≤1-a. (A)1 (B)9e4 列说法中正确的是 (C)0 (D)4e-3 (A)0>1 (B)0<0<1 4.“a>12”是“函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调递减” A版) 的 ( (C)f (xo)+x<O (D)f(x)+x。>0 (A)充分不必要条件 (B)充要条件 山.已知医数()=怎，则下列说法正确的是 )同步核 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 (A)f'(0)=1 5.若关于x的不等式e a >0恒成立，则实数a的取值范 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 (B)f(x)的最大值是e 心素养测评 围为 ( ) (A)(e,+o) (B)(-∞，1) (C)水x)=有两个不等实根 (C)[1,+∞) (D)(-0,0] (D)3e <4e 6.设函数f(x)= 2t-9血x在区间[a-1,a+1]上单调递减。 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 则实数a的取值范围是 ( (A)(-9,2) (B)(0,3] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (C)(4,+0) (D)(1,2 7.函数f(x)=-2cosx-x,x∈(0，π)，下列关于∫(x)的说法 12.当x=0时，函数f(x)=aw+6 取得最小值1，则f(ln2) 中正确的是 (Af(） 为极小值/ ( 为极小值 13.已知实数a,b,c,d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值 点为b,极大值为c,则ad= (B(6 为极大值 为极小值 14.已知函数f(x)= 3+3 +c有3个不同的零点，则c的 (cf(石) 为极大值∫ ）为极大值 取值范围是高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期(2026年1月) 第25期2版 所以g'()=-2sin(x+石)，其中xe(0,m)。 专项小练 由题意可得f'(1)=g(o),所以-1=-2sin0+ 1.B;2.A;3.CD.4.-1;5.√e. 6.解：(1)y=60e0s(3-受） 石）且。e(0,,所以+石=石解得= 7.因为g'(x)=ge-3f'(x)=p,p9≠0， 所以y(年）=60cos平=30(cmvs). 所以qeo3=p,即eo-3=卫， 9 (2)令3-=2km,解得t=:+2如，kEZ, 6 3 又p,+1=eo3,所以p0+1=卫 所以最少经过π、该小球的瞬时速度达到最大. 6 第25期3,4版 8.画出函数f(x)=e2和y=2x的图 导数的运算同步核心素养测评 象如图所示.设直线m平行于直线l,则直 一、单项选择题 线m的斜率为2，当直线m与函数f(x)的 1~4 DDAC 5~8 ADBA 图象相切，点P为切点时，点P到直线1：y 提示： =2x的距离最小 1.由题可得f'(x)= ,所以f'(1)= 2 -=2→a=4. 设切点坐标为(x少o),因为f'(x)= 2 2e2,则f'()=2e20=2,解得x=0.又(xo,%)在函数f(x) 2.y'=(x2sinx)'=(x2)',sinx+x2.(sinx)'=2xsinx =e2的图象上，则y。=e20=1,则切点坐标为(0,1)，到直线 +xcos x. 3.由题可知p(t)=2(1+10%)=2×1.1, 1:2x-y=0的距离为d三二÷=号，则点P到直线 所以p'(t)=2×1.1'1n1.1, √2+(-1)7 所以p'(10)=2×1.101n1.1≈2×2.59×0.1 1:y=2x的距离的最小值为 5 =0.518≈0.52， 即GDP增长的速度大约是0.52亿元/年. 二、多项选择题 4.由题设，盛液体部分的底面积为S=4r, 9.ACD;10.ABC;11.BCD. 则溶液上升商度私=占=， 提示： 4 9.因为直线y= t+m的斜率k=3 3 2 所以h'=3+6,则'(2)=6(cm/s).故选(C). 4 5.f()=+2co)(1)(e+2sinx).2x 因为y=-之则)”= (1+x2)2 则f'0)=c+2os01+0)e+2xin0)x0=3. 令=子，解得x=±令故(A)正确： (1+0) 因为y=cosx,则y'=-sinx,又因为-sinx∈[-1,1]， 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-分 则方程-smx=子>1无解，放(B)错误： 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 因为y=lnx,则y=1 s=3x1x-写=6 令：子解得x号放0)正确： 6.因为f代x)=x3-4x,所以f'(x)=3x2-4,x∈R, 因为y=e,则y=e, 又g)=2s(x+8）, 令e=子，解得x=h子放(D)正确 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C)(D). =1-n4红 10.若f(x)=sinx+cosx,则f"(x)=-sinx-cosx,在 xe (0,)上恒有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函 (2)y'=(x个+x2)′=x'个+x+x(1+x)'= 数，故(A)正确； +斋型 1+x 若f()=血-2x,则f“()=-京，在(0，受）上恒有 (3)因为y=o(2x+受)im(2x+受）=· f"()<0,所以f()在(0，受)上是凸函数，故(B)正确： (-sm2x)as2x=-sm4k,所以y=(-sm4 若f(x)=-2+2x-1,则f"(x)=-6,在(0，受）上恒 -n4-oms44=-in4-2os4 有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函数，故(C)正确： 16.解：(1)由题可得f'()=2f'(1)x-1+2 若f(x)=-xe,则f"(x)=2e*-e=(2-x)e,在 所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1, (0,号)上恒有f(x)>0,所以f()在(0，受）上不是凸函 则f(x）=-x2-x+2lnx 数，故(D)错误 (2)g(a)=G()+2+)+a=ln+a, 故选(A)(B)(C). 11.已知f(x)为奇函数，可知f(-x)=-f(x),又因为 求导可得8)=子 f(2-x)+f(x)=4,则f(2-x)-f(-x)=4,所以f(x+ 由y=e+2x得y'=e+2, 2)=f(x)+4,所以f(x+4)=f(x+2)+4=f(x)+8,故 故y=e+2x在(0,1)处的切线斜率k=e°+2=3， (A)错误； 所以y=e+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x- 对f(-x)=-f(x)两边求导得-f'(-x)=-f'(x),即 0),化简可得y=3x+1, f'（-x)=f'(x),所以g(-x)=g(x),又函数g(x)的定义域 为R,所以g(x)为偶函数，故(B)正确； 令g()=士=3，解得x=分 对f(2-x)+f(x)=4两边求导得-f'(2-x)+f'(x) 将其代入切线方程y=3x+1可得y=2, =0,即f'(2-x)=f'(x),所以g(2-x)=g(x),故(C)正 确； 代入ga)得g(兮）=n写+a, 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0,又 因为f(x+4)=f(x)+8,所以f(2024)=f(2020)+8= 所以得n兮+a=2,解得a=2+h3, f(2016)+2×8=…=f(0)+506×8=4048,故(D)正确. 17.解：(1)fx)=a2+lnx的定义域为(0，+∞)， 故选(B)(C)(D). 由)=a2+h求导得f()=2ar+ 三、填空题 12.1:13.4；14.2224(sin2x+cos2x). 于是得f'(1）=2a+1,而f1)=a, 所以f1)+f'(1)=3a+1. 提示： (2)因曲线y=f代x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线 12.因为f(x)=2,所以f'(x)=2n2, 又f"'(x)=ln4,所以2oln2=ln4=2n2,解得=1 斜率为0，由导数的几何意义知，方程f'(x)=0在(0，+0)内 13.函数f(x)=xnx,求导得f'(x)=1+lnx, 有解，于是得方程2x+士=0，即a=2京在0，+0)内有 依题意得tan0=f'(e)=2, 所以in6+2cos0=tan0+2 解，则a<0,所以实数a的取值范围是(-∞，0). 0-o0-m0-4. 18.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e, 14.因为f(x)=sin2x+cos2x, 由f'(x)<4e,得x2+2x-4<0, 所以f(x)=f0(x)=2(cos2x-sin2x), 解得x∈(-1-5，-1+5)， f(x)=fi(x)=22(-sin2x-cos2x), 则所求不等式的解集为(-1-5，-1+5) f(x)=f2(x)=23(-cos2x +sin2x), (2)因为f'(x)=(x2+2x)e*, f (x)=f3(x)=2(sin2x +cos 2x), 所以曲线y=f(x)在点(xof(xo)处的切线方程为 通过以上可以看出f(x)满足以下规律： y-xe0=(x号+2xo)e0·(x-x). 对任意neN,fn4(x)=2fn(x). 故4(x)）=f64(x)）=224(sin2x+cos2x）. 将点（号，0的坐标代入，并整理得·（名+写。 四、解答题 号）=号(-)(3+4)e0=0, 15解：①)因为(n4'=五·(4y= 4 解得0=0或x0=1或0=-3 所/：eee业士h 当。=0时，切线方程为y=0; (e)2 e 当=1时，切线方程为y-e=3e(x-1), 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 即y=3ex-2e; 又a为正整数，所以a的最小值为5. 当=号时，切线方程为y-e=-e(:+ 3 3.由题得f'(x)=(2-x e之， 3,即y=-8。x+164 4 令f'(x)>0,解得0<x<2, -9e5x+27 令f'(x)<0,解得x>2或x<0, 19.(1)解：由题得y1=1,y2=cosx, 故f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 因为1≥c0sx, 在(2,3]上单调递减， 所以函数y1=x是函数y2=sinx的“导控函数” (2)解：由题得y3=2x2+8,y4=x2+2bx+c,y5=8x, 而f(0)=0<f(3)=。, 9 由题意可得8x≤2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 故f(x)在[-1,3]上的最小值是0. 令8x=2x2+8,解得x=2, 4.若函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调递减， 故16≤4+4b+c≤16，从而有4+4b+c=16, 则f'(x)=3x2-a≤0在区间(1,2)上恒成立， 所以c=12-4b, 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立， x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12. 即x2-2bx+8-c=x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 所以“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 所以△=46-4(46-4)=4(b-2)2≤0，所以b=2, 即“a>12”是“函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调 故b=2,c=4且“导控点”为2； 递减”的充分不必要条件。 (3)证明：充分性：若存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒 5.令f(x)=e-x-a,则f(x)>0恒成立， 成立，且函数y=q(x)为偶函数， 所以f(x)min>0. 则p(x)=g(x)+c为偶函数，q(x)=q(-x), 因为f'(x)=e-1,所以当xe（-o,0)时f'(x)<0; p(-x)=q(-x)+c=q(x)+c=p(x), 当xe(0,+∞)时，f'(x)>0. 即e+ker=et+ke, 所以f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 所以(k-1)(e-e*)=0恒成立，所以k=1; 增，所以f(x)=f(0)=1-a>0,解得a<1, 必要性：若k=1,则p(x)=e+e*=p(-x), 即实数a的取值范围为(-0,1). 所以函数p(x)为偶函数， 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”， 6因为f()=之-9加，该函数的定义域为0，+0)， 因此p'(x）≥g'(x), 又q(-x)=q(x),p(-x)=p(x), 所以f'()=x-9=-9 因此函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“导控函数”， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 所以-p'(-x)≥-g'(-x), 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3]， 即p'(-x)≤g(-x)恒成立， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 用-x代换x有p'(x)≤g(x), 则[a-1,a+1]≤(0,3]， 综上可知p'(x)=q'(x),记h(x)=p(x)-q(x), 则h'(x)=p'(x)-q'(x)=0, 所日≥择器1a发之放速D 因此存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立， 7.因为f(x)=-2cosx-x,x∈(0，T), 综上，“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)- 所以f'(x)=2simx-1,xe(0,π). q(x)=c恒成立”. 令f'()=0,得s血x=乃，解得x=石或x= 6 第26期2版 专项小练一 当xe(0,石)时f'()<0,函数f()单调递减： 1.A:2.BD:3.A.4.(0,+0);5.(3,+∞). 专项小练二 当xe(君）时f"()>0,函数f()单调递增： 1.B;2.C;3.CD.4.2;5.(-0,-1) 当xe(,时f”()<0,函数f()单调递减， 第26期3,4版 所以当x=吾时函数f()取得极小值f(无)， 导数在研究函数中的应用同步核心素养测评 一、单项选择题 当：=要时，函数f()取得极大值f() 6 1~4 BBCA 5~8 BDDC 提示： 8.令8()=2(x≠0,4()=(>0)， Y 1.由题得f'(x)=-x2+2x+3, 要满足条件，则g(x)在(0，a)上单调递减， 令f'(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3) h(x)在[a,+o)上单调递减，且g(a)≥h(a) 2.f'(x)=3x2+2ax+6,由函数f(x)在R上存在极值， 易知g(x)在(0，+∞)上单调递减. 则f'(x)有两个不等实数根， '()=-nx,令h'()>0,解得0<x<e, 得4=4a2-72>0,解得a>32或a<-32, 3 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 令h'(x)<0,解得x>e, 所以a=b=1,则f(x)=x+ 1 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， e 所以a≥e fn2)=n2+点=n2+ 1 由2≥2解得0<a≤2 a 13.因为实数a,b,c,d成等比数列，所以ad=bc, 所以实数a的取值范围是[e,e2] 由f(x)=3x-x3, 二、多项选择题 得f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x), 9.BC;10.BC;11.AC. 令f'(x)=0,解得x=±1， 提示： 当x<-1或x>1时f'(x)<0f(x)单调递减； 9.观察图象，由f'(x)>0,得x<-2或0<x<2,显然 当-1<x<1时f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x<-2时，f'(x)<0,当0<x<2,f'(x)>0,由f'(x)< 所以x=-1时，函数f(x)取得极小值， 0,得-2<x<0或x>2,显然当-2<x<0时，f'(x)>0, x=1时，函数f(x)取得极大值， 当x>2时f'(x)<0, 所以b=1,c=f(1)=3-1=2. 因此函数f(x)在(-0，-2)，(2，+∞)上单调递减，在 所以bc=2,所以ad=2. (-2,2)上单调递增，(A)错误，(B)正确； 14f'(x)=x2+3x,令f'(x)=0,解得x=0或x=-3, 函数f(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3, 值，(C)正确，(D)错误.故选(B)(C) 令f'(x)<0,解得-3<x<0, 10.f(x)的定义域为(0，+0)，由f(x）=xnx+x2,得 所以f(x)在(-∞，-3)和(0，+∞)上单调递增， f'(x)=lnx+2x+1,所以有f'()=n+2xo+1=0,所 在(-3,0)上单调递减. 以有2x=-(nxo+1)>0,即lnxo<-1,即lnxo<ne1, 当x→-0时，f(x)→-0， 所以有0<。<。，故(A)错误，(B)正确： 当x→+0时f(x)→+， 又f(-3)=号+cf0)=6 f(o)+o=%lno++=o(In xo+o+1)= x(-2x+)=-后<0，故(C)正确，(D)错误.。 要使f(x)有3个不同的零点， 9 故选(B)(C). 则c<0< 号+e,解得-是<e<0, 1因为f)=专.所以()=c普-。所以 (e)2= 所以实数c的取值范围是(-号，0） f'(0)=1,故(A)正确： 四、解答题 因为f”(x)=二，当x<1时'(x)>0,所以f()在 er 15.解：函数f(x)的定义域为(0，+)， (-∞，1)上单调递增，当x>1时，f'(x)<0,所以f(x)在(1， f'(x)=x-a=x-a +如)上单调递减，所以()在x=1处有最大值，f()=日 当a≤0时f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间； 故(B)错误； 当a>0时，由f'(x)>0得x>√a, 结合(B)选项可知f(x)的最大值是 由f'(x)<0得0<x<a, 且f(x)在(-∞，1)上单调递增， 所以当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（√a,+∞）， 在(1，+∞)上单调递减， 单调递减区间为(0，√a). 又易知当x→-∞时，f(x)-∞， 16.证明：设函数f(x)=x“-ax-1+a, 当x→+0时f(x)→0 则f'(x)=ax-1-a=a(x-1-1). 结合)的大致图象（因略）可如直线)=专与曲线y= 令f'(x)=0,得x=1. 所以，当x∈(0,1)时f'(x)>0, f(x)有两个交点， 函数f(x)单调递增； 所以了()=有两个不等实根，故(C)正确： 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减。 所以f(x)=x-ax-1+a在区间(0，+o)上的最大值 因为f(x)在(1，+0)上单调递减，所以f(3)>f(4),即 为f(1)=0. 是>÷，所以3>4，故(D)错误放选(A)C 3 所以f(x）=x“-ax-1+a≤0，即x“-ax≤1-a. 三、填空题 1n解：(1g()=-分+ar+分-2- 121n2+13.2:14(-号，0） xe(0,8], 提示： 即g()=-+a2-2e081. 12由国=a+总，可得/')=。- 当x=2时，g(2)=-4+9a-2=12,解得a=2, e, 由题得f(0)=b=1,f'(0)=a-b=0, 故8)=-2+号-2e(08 4 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 （2)=-+9张=-(x-6. 则当x<t时，F(x)<F'(t)=0, 这与H右eR,F'(）≥0矛盾， 当x∈(0,6)时，g'(x)>0, 故不存在x使F'(x)=0,故F'()>0恒成立， 当xe(6,8]时，g'(x)<0, 故F(x)在R上严格增。 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增， 在(6,8]上单调递减， 第27期3,4版 所以x=6时，利润最大为g(6)=52(万元) 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评 18.解：(1)因为f(x)=ln(x+a)-x2+x,x>-a, 一、单项选择题 所以f”(x)=1-2x+1. 1~4 BACA 5~8 CDAA Γx+a 提示： 因为函数f(x)=ln(x+a)-x2+x在x=1处取得极值， 1.f'(x)=(2x-x2)e-+a, 所以f'(1)=0, 由题可得f'(1)=1+a=2,解得a=1. 所以十。-1=0，解得a=0,经检验，符合题意 2.函数f(x)=cosx-ax定义域为R, 5 且f'(x)=-sinx-a, (2)证明：因为f(x)=-2x+, 依题意f'(x)≤0恒成立，即-sinx-a≤0恒成立， 所以h-+=-子+b, 即a≥-sinx恒成立， 又-1≤-sinx≤1，所以a≥1， 7 所以nx-+2t=b. 即实数a的取值范围是[1，+o). 3.由题意得对任意xeR,e2-x>log2a恒成立， 7 令h(x)=nx-+2(x>0), 设f(x)=e2-x,f'(x)=e2-1, 则h'(x)=文-2x+子 令f'(x)=e2-1>0,解得x>-2, =-(4x+1)x-2】 2x 令f'(x)=e2-1<0,解得x<-2, 所以当x∈[1,3]时，h'(x),h(x)随x的变化情况如表： 则f(x)在(-∞，-2)上单调递减， [1,2) (2,3] 在(-2，+0)上单调递增， 故f(x)≥f(-2)=3,所以lo%a<3,解得0<a<8. h'(x) + 0 - 4.当x=0时，f(0)=-f'(0)-f(0), h(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以f(0)=-f(0. h(1)= ,h(3)=lm3+ 5 3 > 2 2,h(2)=ln2+3, 5 又f'()=3-25'(0)x+2'0)e-1, 所以he[,h2+3 期'(0)=之(0)-1，解得/(0)=-2， 所以b的取值范围为[子，血2+3] 19.(1)解：f(x)=3,定义域为R,则f1(x)=3·ln3是在 由定义可知，四2-10】：-2y0):4 R上的严格单调递增函数，则f(x)=3是“T函数”； 5.f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).当-3≤x<-2 5(x)=x3,定义域为R,则f5(x)=3x2不是在R上的严 或2<x≤3时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当-2<x<2时， 格单调递增函数，则(x)=x不是“T函数” f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最值分别是f(-3), (2)证明：由题可得g'(x)在(0，+0)上严格单调递增， f-2)f(2)f(3)中的最小者和最大者，所以M=24,m= -8,M-m=32. 设G(x)=g(x+1)-g(x), 则G'(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 6.由题图f'(x)为奇函数，可知f(x)为偶函数，故可排除 (B),(C); 故G(x)在(0，+o)上单调递增，故G(a)<G(a+2), 对于(A),当x→0时，f'(x)=(e-e*)x2+2(e+e)x 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). (3)证明：由题可得F'(x)在R上严格单调递增， >0,与f(x)的图象不符，排除(A)； xo E R,G(x)=F(x)-F(xo)x, 对于(D,由f()=子2+2a0sx,有f'()=分- 则G'(x)=F'(x)-F'(x), 2sin,令f”(x)=0,得7=sinx,作出函数y=之，7=sinx 1 当x∈(-∞，xo)时，G(x）<0,函数单调递减； 当x∈(x,+0)时，G(x)>0,函数单调递增， 故G(x)≥G(), 的图象（因略）可知，。e(受，），使得7。=sino,当x 即F(x)≥F'(xo)x+F(xo)-F'(xo)xo, e(0,xo)时，f'(xo)<0,当xe(,+o)时，f'(x)>0,与 当x<0时，F(x)<0恒成立， f'(x)的图象相符，(D)正确.故选(D). 则F'(xo)x+F(x)-F'(x)<0恒成立， 故F'(x)≥0， 7.因为fe)=lns+3-京(a≠0. 若存在teR,使F'(t)=0, 所以函数f(x)定义域为(0，+∞)， 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 冬是+心山， 故选(A)(C 1.f'()=--x-2=-(x+1)x-22 由题意得方程f'(x)=0,即ax2-3x+1=0有两个不相 e 等的正根，设为x1,x2, 当x<-1或x>2时，f'(x)<0, 4=9-4a>0. 当-1<x<2时f'(x)>0, 则+3 >0,解得0<a<是 即函数f(x)在(-0，-1)，(2，+∞)上单调递减，在 (-1,2)上单调递增， ->0 因此函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-e,在 即a的取值范围为(0，号） x=2处取得极大值f(2)=三，故(A)正确： 由(A)作出曲线y=f(x)及直线y=k,如图1， 8.原不等式等价于ef(x)-e>5=ef(0)-e°， y=∫(x)y 可构造函数g(x)=ef(x)-e,其导数 g'(x)e'f'(x)+e'f(x)-e =e*[f'(x)+f(x)-1], 因为f'(x)>1-f(x),即f'(x)+f(x)-1>0, 所以g'(x)=e*[f'(x)+f(x)-1]>0, 即g(x)=ef(x)-e在R上是增函数， 图1 所以ef(x)-e>5=ef(0)-e°=g(x)>g(0), 要使方程f(x)=k有且只有两个实根， 可得x>0,即原不等式的解集为(0，+∞). 观察图象得当-e<k≤0时， 二、多项选择题 直线y=k与曲线y=f(x)有2个交点， 9.ACD;10.AC;11.ACD. 所以方程f(x)=k有且只有两个实根， 提示： 则k的取值范围为(-e,0],故(B)错误； 9.f(1)=g(1)=0,故(A)正确； f'(1)=2,g'(1)=1,故(B)错误； 由f()=0得x2+x-1=0,解得x=-1±5 2 f(到=2a∈Rg()=÷e0,+).作") 令f(x)=t,则f(t)=-1, 结合图象方程f(t)=-1有两解， g(分)，放曲线f()=2-1与曲线g()=血x存在五相 -1-5<,<-1,4=0, 2 平行的切线，故(C)正确： 所以f(x)=t1或f(x)=, 令F()=f(x)-g(),则F'(x)=2x-,故F()在 因为1+5<2，所以215，-e 2 (0,号)上单调递减，在（停，+x）上单润递增，而F(停） 所以方程f(x)=有两解； 又因为=0，结合图象可知f(x)=也有两解， =-+2n2<0.F(）>0.,F(e)=e-2>0,故F( 综上，方程f(f(x))=-1共有4个根，故(C)正确； 有两个零点，即曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)=nx有两个 因为2)=三，面函数)在2.+)上单调谴减 交点，故(D)正确 结合图象知t≤2， 故选(A)(C)(D) 所以t的最大值为2，故(D)正确。 10.f(x)=xln(1+x),定义域为(-1，+∞)， 故选(A)(C)(D) 则f'(=h(e+)+本 三、填空题 由=lax+D=本=1+都在(-1，+) 12.(0,3)； 13[号受)：4[30)月 上单调递增，故y=f'(x)也在(-1，+∞)上单调递增，又 提示： f'(0)=0,故当x∈(-1,0)时f'(x)<0f(x)单调递减； 12.函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 当xe(0,+o)时f'(x)>0, f'(m)=x-2-3=-2x-3=x-3)x+1) f(x)单调递增，故(A)正确； 由f'(x)=0得x=3,由f'(x)<0得0<x<3, 由(A)知f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单 所以f(x)在区间(0,3)上单调递减. 调递增，又f(0)=0,故f(x)只有一个零点，故(B)错误； 13.因为y'=x2-2x+1+√5=(x-1)2+5≥5， (）=n3-1=-1-h2. 所以曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为[3， 根据导数几何意义可知(C)正确； +o),即tana≥5， f(x)的定义域为(-1，+∞)，不关于原点对称，故f(x) 是非奇非偶函数，故(D)错误 又ae[0,m),所以a的取值范由是[号，号)】 6 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 14由题得a(x)=-方-m+方+2x在[0,3]上有 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 当x+0时，g(x)+0, 两个不同的零点， 令F()=-号+7+2， 6e 则直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有 =g(x 两个交点， F'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令F'(x)=0,可得x=2∈[0,3]，列表如下： y=-2e3.-- (2,3] 图3 [0,2) 2 结合图象，g(x)与y=a有三个交点， F'(x) × 0 F(x)》 极大值0 即0<a<6e,放实数a的取值范田是(0，） 17.解：由题可得f'(x)=6x2-2ax, F(0)=0,F(3)= ,作出F(x)的图象（图2）， 3 令f"()=0,解得x=0或x=号， 0↑y 3 当x<号或x>0时f'()>0: y=m =F(x) 当号<<0时"()<0， 所以当x=号时(x)取得极大值， 2 图2 (台） 由图可知，当 ≤m<9时， 3 又f(x)=2x3-a2=- 27 直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有两 个交点， 即(x-号)广(2+号)=0， 因此实数m的取值范围是 310 2,3 解得x=号或x=-合 四、解答题 因为)在（受”专） 上有最大值， 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 由题可得(1)=3+2a+6=8, 所以号<告≤-名， lf(1)=a+b+3=8-2, 解得a=2,b=1. 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-0，-4]. (2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, 18.解：(1)当“如意金箍棒”变化到x秒时， f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 其底面半径为(10-x)cm,长度为(l+40x)cm, 则f(x)=π(10-x)2(l+40x),且4≤10-x≤10， 令f'(到=0得x=-分或x=-1, 即0≤x≤6， 所以在(-0，-1)上f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f'(x)=π[-2(10-x)(1+40x)+40(10-x)2] 在(-1，兮)上fx)<0()单调递减。 =2π(x-10)(60x+1-200), 当10-x=8,即x=2(秒)时，f(x)取得极大值， 在(-分，+）上f()>0f()单调递指， 所以f'(2)=0,即2π(2-10)(60×2+1-200)=0， 解得l=80(cm), 所以f(x)极大值=f(-1)=2, 所以f(x)=40π(x-10)2(x+2),且其定义域为[0,6]. f准=（宁）-罗 (2)由(1)得f'(x)=120π(x-10)(x-2),0≤x≤6， 所以当0≤x<2时，f'(x)>0: 16.解：令g(x)=(x2-4x+1)e, 当2<x≤6时，f'(x)<0, f(x)有三个零点即g(x)与y=a的图象有三个交点， 所以f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,6)上为减函数， g'(x)=e(x2-2x-3)=e(x-3)(x+1), 则f(x)的最小值为f(0)或f(6), 当x>3,或x<-1时，g'(x)>0, 又f(0)=8000π(cm3),f(6)=5120m(cm3), 当-1<x<3时，g'(x)<0, 所以当x=6(秒)时，“如意金箍棒”体积最小， 所以g(x)在(-0，-1)和(3，+∞)上单调递增， 此时“如意金箍棒”的底面半径为10-6=4(cm) 在(-1,3)上单调递减， 19.解：(1)函数f(x)=lnx在(0,1)上是增函数. g(x)的极大值为g(-1)=6e1, 极小值为g(3)=-2e3, 因为F(x)==血，所以F'(x)=L-血 x2 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0, 5.将等差数列记为an}, 所以F(x)在(0,1)上为增函数， 其中第n节的容积为an(1≤n≤9，n∈N,), 所以函数f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”. 因为8=4， 。。所以4a+6d=4, 2)因为g()=2x+2+al La as ag =6, la1+7d=2, 所以g(x)=2x+ax-2 x 所以 2 因为函数g(x)是[1，+∞)上的“单反减函数”， d=T' 所以g(x)在[1，+∞)上是增函数， 所以g'(x)≥0在[1，+o)上恒成立， 所以，=4+4d=普所以第5节的容积为普升 11 令h(x)=2x2+ax-2, 6.由f(x)=(x-1)(x-2)2得f'(x)=(x-2)2+2(x 则h(x)≥0在[1，+o)上恒成立， -1)(x-2)=(x-2)(3x-4) rh(1)≥0， 令f'()>0得x>2或x<青令f()<0得号< 所以 ≤1， 解得a≥0. 一4 <2.所以f()在[0，号）和(2,3]上单词递增，在（号，2 令G(x)=(x2 上单调递减。 2 又f(0)=-4f(2)=0,所以fx)=(x-1)(x-2)2在 则G(x)=2+ +n在[1，+~)上是减函数 [0,3]上的最小值为-4. 又6w-是+21， x2 7令8)=2，则g)=0fa, 所以G'(x)≤0在[1，+∞)上恒成立， 因为f'(x)-f(x)<0, 即-号+1≤0在1，+)上相成立， 所以g'(x)<0,g(x)在R上递减， 因为f1)=e,所以g(1)=D=1, 即ax-axln x-4≤0在[1，+o)上恒成立. 令P(x)=ax-axin x-4,则P'(x)=-alnx, 因为不等式f(lnx)>x,x>0, 防B以有气心 ,解得0≤a≤4， 所以gnx)）=fn=-fhD>1=g(1), 综上，实数a的取值范围为[0,4]. 所以lnx<1,解得0<x<e, 故不等式f(lnx)>x的解集是(0，e). 第28期 8.设该数列为an},则由a2-a1=2-1=1,a3-a2= 核心素养阶段测评（五） 5-2=3,a4-a3=10-5=5,a5-a4=17-10=7,… 一、单项选择题 可知该数列逐项之差构成的数列{b.}成等差数列，首项 1~4 BABD 5 ~8 CBBC 为1，公差为2，故b.=1+2(n-1)=2n-1,故a+1-am= 提示： bn=2n-1,则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,am- 1.f'(x）=3x2+2mx,由f'(-1)=f(1)得3-2m=1 a-1=2n-3,上述n-1个式子相加，得am-a1=1+3+5+ +m+5,即m=-1,f'(1)=3+2m=3-2=1. …+(2n-3)=m-),+2n-3》=(n-1)2(n≥2)，即 2 2.因为a,+a=g(a+),所以g=2 a.=(n-1)2+a1=(n-1)2+1(n≥2)， 由a4g+a1g=号得a=32. 故a20=192+1=362. 2 二、多项选择题 由an=a1g-1=1得n=6. 9.ABC;10.ABD;11.ABD. 3.由等比数列{a.}的前n项和的性质可得 提示： S10,S0-S1o,S0-Sn也成等比数列， 9.根据等差数列的性质，若S1-S=4(a,+ag)=0,则 所以(S0-S0)2=S1o×(S0-S0), a,+ag=0,S4= -14(a+a=7(a,+as)=0,故(A)正确： 2 得(10-20)2=20×(S0-10),解得S0=15. 4.f'(x)=x2+4x+3,令x2+4x+3=0,可得x=-3或 由(A)及结合首项a1>0,可得a,>0,ag<0,d<0,所以S, 1 是最大值，故(B)正确；若S7>S,则ag<0,那么d<0,所以 x=-1.经分析可知，它们是函数f(x)的极值点 ag<0,所以S8>Sg,S,-S6=a,+ag+ag=3as<0,即S。 由直线y=a与函数f(x)=了+2x+3x+1的图象 >S,故(C)正确，(D)错误。 相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切.由x=-3或 故选(A)(B)(C). 10.令g(x)=f(x),则g'(x)=f(x)+f'(x)>0, x=-1可得函数的极值为1或-子 即函数g(x)在定义域内是单调递增函数， 故实数a的值为1或-分 称函数y=f(x)为“F函数” f(x)=e",g(x)=xf (x)=xe"(x E R), 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 g'(x)=e+xe"=(x+1)e, 则当n≥2时，上-1=n-1,则1 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， an an-1 a. 当x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数， a 则函数f(x)=e不是“F函数”，故(A)正确： =(n-1)+(n-2)+…+1+1 f(x)Inx,g(x)=xf (x)=xn x(x >0), =n(n-+1=心-n+2(n≥2)， 2 2 g'(x)Inx +1, 2 当0<x<时，g()<0,g)单涧递减， 即a.=-n+2 (n≥2)， 当x>时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当n=1时，a1=1适合此式， e 2 不符合在定义域内是单调递增函数， 所以a.=-n+2 则函数f(x)=nx不是“F函数”，故(B)正确； 4令1=/m）=8(a,则e=1分+h子= f(x)=x,g(x)=xf(x)=x(x E R), 2 g'(x)=3x2≥0， 所以m=3+lnt,n=2e宁， 所以g(x)单调递增， 即n-m=2e宁-3-lnt, 则函数f(x)=x2是“F函数”，故(C)错误； f(x)sinx,g(x)=xf(x)xsinx(xE R), 设0)=2寺-3-n则0）=2+-u>0, g'(x)=sin x xcosx, 当m<x<受时，g()<0g(x)单调递减， 令h'(0=0,得t=2: 1 不符合在定义域内是单调递增函数， 当0<<时，h()<0,A()单调递减： 则函数f(x)=sinx不是“F函数”，故(D)正确， 故选(A)(B)(D). 当1>分时，k()>0,h()单调递增： 1山.若a=受，则a,a1=(im受）广=1，所以工m 所以h()=h(分）=h2-1, (aa)·(a3a4)…(aga1m）=10=1,故(A)正确； 即n-m的最小值为ln2-1. 若a=吾则a,a1=(m若)广=（分）”，所以 四、解答题 15.解：因为anl=(入-3)an+2"(neN,)及a1=2,a2 =(分)，两式相除得=分所以4=4× n+ =-1, a 所以a:=a-3)a+2,解得A=子 (合)°-6故(B)正确： 所以a=- 因为aa1=(sina)”,所以an1a2=(sina)+l,所以 +2= 2 2=sin&≤1，又因为数列a,}各项均为正数，所以a2≤ (2)不存在.因为a1=2,a+1=(入-3)a.+2“,所以a2= an (入-3)a1+2=2入-4，a3=(入-3)a2+4=2入2-10入+16. a,即a2+l≤a2-1,故不存在a及正整数k,使得a1>a2k-1, 若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2,即2+22-10入+ 故(C)错误； 16=2(2入-4)，所以X2-7入+13=0.因为4=49-4×13 若{an}为等比数列，设其公比为g(g>0), <0,所以方程无实数解，所以入不存在.即不存在入，使数列 a.dm =avg,an =()"=(sina)" an}为等差数列. 16.解：(1)设需要新建n个桥墩， =1,则a=ma,故(D)正确 所以g (n+1)x=m,即n=m-1, g2 sin a, 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x 故选(A)(B)(D). 三填空题 =256(受-1）+(2+， 12.n=5;13.2-n+2 2 14.ln2-1. 即y=256m+mE+2m-256. 提示： (2)由(1)知， 12由题得%(2-1)=9g 整理得0，=3， la1·2-1=48, l2"=32, f经+t是-2 解得n=5. 令f'(x)=0,得x2=512,所以x=64, 13.由题意得1-=n, 当0<x<64时f'(x)<0f(x)在(0,64)内为减函数； an+l an 当64<x<640时，f'(x)>0,f(x)在(64,640)内为增函数， -9 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以f(x)在x=64处取得最小值， 1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点. 此时，a=是-1=架-1=9 综上的取值范围是（宁+一） 故需新建9个桥墩才能使y最小. 19.解：f'(x)=3x2+2bx-9,f"(x)=6x+2b. 17.解：(1)当n=k,k∈N时， 由题意得f"(-1)=0,即-6+2b=0,解得b=3. S=+m取最大值， 且f(-1)=10,即(-1)3+3×(-1)2+9+a=10, 解得a=-1, 即8==+2=， 故f(x)=x3+3x2-9x-1, 所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3), 故2=16，因此k=4, 令f'(x)>0得x>1或x<-3, 从雨=及。-及=号-a(a≥2). 令f'(x)<0得-3<x<1, 7 9 故f(x)在(-∞，-3)，(1，+∞)上单调递增， 又4=S,=2,适合a=之-n, 在(-3,1)上单调递减， 9 所以a=立-n 故f(x)在x=-3处取得极大值， 在x=1处取得极小值， a设4”2六 n 故极大值为f(-3)=-27+27+27-1=26, 极小值为f(1)=1+3-9-1=-6. Tn=b1+b2+…+bn 1+2+3 之+2京+…+ 2n+2品， ag0=2m2+a(m）-1512+g-是 因为m>0,mx>0,故x>0, 2=2+2+++2 +2+2 即g(x)的定义域为(0，+∞)， 所以T.=2T.-T。 g'(x)=6m2+6x+2[6ln(mx)-15]x+18 m =2+1+2+…+22 g"(x)=12mx+6+12+2[6ln(mx)-15] =12mx+12ln(mx）-12, 4六-4是 2-1 令g"(x)=0得mx-1+n(mx)=0, 令h(x)=x+lnx-1,x>0, 18.解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e*, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax2-(4a+1)x+ 则h'(x)=1+↓>0在(0，+0)上恒成立， 4a+3]e=[a2-(2a+1)x+2]e, 故h(x)=x+lnx-1在(0，+o)上单调递增， f'(1)=(1-a)e. 又h(1)=0,由零点存在性定理知 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1, h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1, 此时f(1)=3e≠0，所以a=1. (2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e* 故mr=1,即x=元时，满足m-1+nm）=0, =(ax-1)(x-2)e 若a>分则当xe(合，2)<0： 当=时白)后++1= 当x∈(2，+o)时f'(x)>0. 故)的拐点为（六1） 所以f(x)在x=2处取得极小值。 若a≤弓则当xe(0,2)时，x-2<0,ar-1≤2- 一10