第25期 5.2 导数的运算-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版）

高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期(2026年1月) 第25期2版 所以g'()=-2sin(x+石)，其中xe(0,m)。 专项小练 由题意可得f'(1)=g(o),所以-1=-2sin0+ 1.B;2.A;3.CD.4.-1;5.√e. 6.解：(1)y=60e0s(3-受） 石）且。e(0,,所以+石=石解得= 7.因为g'(x)=ge-3f'(x)=p,p9≠0， 所以y(年）=60cos平=30(cmvs). 所以qeo3=p,即eo-3=卫， 9 (2)令3-=2km,解得t=:+2如，kEZ, 6 3 又p,+1=eo3,所以p0+1=卫 所以最少经过π、该小球的瞬时速度达到最大. 6 第25期3,4版 8.画出函数f(x)=e2和y=2x的图 导数的运算同步核心素养测评 象如图所示.设直线m平行于直线l,则直 一、单项选择题 线m的斜率为2，当直线m与函数f(x)的 1~4 DDAC 5~8 ADBA 图象相切，点P为切点时，点P到直线1：y 提示： =2x的距离最小 1.由题可得f'(x)= ,所以f'(1)= 2 -=2→a=4. 设切点坐标为(x少o),因为f'(x)= 2 2e2,则f'()=2e20=2,解得x=0.又(xo,%)在函数f(x) 2.y'=(x2sinx)'=(x2)',sinx+x2.(sinx)'=2xsinx =e2的图象上，则y。=e20=1,则切点坐标为(0,1)，到直线 +xcos x. 3.由题可知p(t)=2(1+10%)=2×1.1, 1:2x-y=0的距离为d三二÷=号，则点P到直线 所以p'(t)=2×1.1'1n1.1, √2+(-1)7 所以p'(10)=2×1.101n1.1≈2×2.59×0.1 1:y=2x的距离的最小值为 5 =0.518≈0.52， 即GDP增长的速度大约是0.52亿元/年. 二、多项选择题 4.由题设，盛液体部分的底面积为S=4r, 9.ACD;10.ABC;11.BCD. 则溶液上升商度私=占=， 提示： 4 9.因为直线y= t+m的斜率k=3 3 2 所以h'=3+6,则'(2)=6(cm/s).故选(C). 4 5.f()=+2co)(1)(e+2sinx).2x 因为y=-之则)”= (1+x2)2 则f'0)=c+2os01+0)e+2xin0)x0=3. 令=子，解得x=±令故(A)正确： (1+0) 因为y=cosx,则y'=-sinx,又因为-sinx∈[-1,1]， 即该切线方程为y-1=3x,即y=3x+1, 令x=0,则y=1,令y=0,则x=-分 则方程-smx=子>1无解，放(B)错误： 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积为 因为y=lnx,则y=1 s=3x1x-写=6 令：子解得x号放0)正确： 6.因为f代x)=x3-4x,所以f'(x)=3x2-4,x∈R, 因为y=e,则y=e, 又g)=2s(x+8）, 令e=子，解得x=h子放(D)正确 高中数学人教A版选择性必修第二册 第25~28期 故选(A)(C)(D). =1-n4红 10.若f(x)=sinx+cosx,则f"(x)=-sinx-cosx,在 xe (0,)上恒有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函 (2)y'=(x个+x2)′=x'个+x+x(1+x)'= 数，故(A)正确； +斋型 1+x 若f()=血-2x,则f“()=-京，在(0，受）上恒有 (3)因为y=o(2x+受)im(2x+受）=· f"()<0,所以f()在(0，受)上是凸函数，故(B)正确： (-sm2x)as2x=-sm4k,所以y=(-sm4 若f(x)=-2+2x-1,则f"(x)=-6,在(0，受）上恒 -n4-oms44=-in4-2os4 有f”(x)<0,所以f(x)在(0，受)上是凸函数，故(C)正确： 16.解：(1)由题可得f'()=2f'(1)x-1+2 若f(x)=-xe,则f"(x)=2e*-e=(2-x)e,在 所以f'(1)=2f'(1)-1+2,解得f'(1)=-1, (0,号)上恒有f(x)>0,所以f()在(0，受）上不是凸函 则f(x）=-x2-x+2lnx 数，故(D)错误 (2)g(a)=G()+2+)+a=ln+a, 故选(A)(B)(C). 11.已知f(x)为奇函数，可知f(-x)=-f(x),又因为 求导可得8)=子 f(2-x)+f(x)=4,则f(2-x)-f(-x)=4,所以f(x+ 由y=e+2x得y'=e+2, 2)=f(x)+4,所以f(x+4)=f(x+2)+4=f(x)+8,故 故y=e+2x在(0,1)处的切线斜率k=e°+2=3， (A)错误； 所以y=e+2x在(0,1)处的切线方程为y-1=3(x- 对f(-x)=-f(x)两边求导得-f'(-x)=-f'(x),即 0),化简可得y=3x+1, f'（-x)=f'(x),所以g(-x)=g(x),又函数g(x)的定义域 为R,所以g(x)为偶函数，故(B)正确； 令g()=士=3，解得x=分 对f(2-x)+f(x)=4两边求导得-f'(2-x)+f'(x) 将其代入切线方程y=3x+1可得y=2, =0,即f'(2-x)=f'(x),所以g(2-x)=g(x),故(C)正 确； 代入ga)得g(兮）=n写+a, 因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0,又 因为f(x+4)=f(x)+8,所以f(2024)=f(2020)+8= 所以得n兮+a=2,解得a=2+h3, f(2016)+2×8=…=f(0)+506×8=4048,故(D)正确. 17.解：(1)fx)=a2+lnx的定义域为(0，+∞)， 故选(B)(C)(D). 由)=a2+h求导得f()=2ar+ 三、填空题 12.1:13.4；14.2224(sin2x+cos2x). 于是得f'(1）=2a+1,而f1)=a, 所以f1)+f'(1)=3a+1. 提示： (2)因曲线y=f代x)存在垂直于y轴的切线，则此时切线 12.因为f(x)=2,所以f'(x)=2n2, 又f"'(x)=ln4,所以2oln2=ln4=2n2,解得=1 斜率为0，由导数的几何意义知，方程f'(x)=0在(0，+0)内 13.函数f(x)=xnx,求导得f'(x)=1+lnx, 有解，于是得方程2x+士=0，即a=2京在0，+0)内有 依题意得tan0=f'(e)=2, 所以in6+2cos0=tan0+2 解，则a<0,所以实数a的取值范围是(-∞，0). 0-o0-m0-4. 18.解：(1)f'(x)=(x2+2x)e, 14.因为f(x)=sin2x+cos2x, 由f'(x)<4e,得x2+2x-4<0, 所以f(x)=f0(x)=2(cos2x-sin2x), 解得x∈(-1-5，-1+5)， f(x)=fi(x)=22(-sin2x-cos2x), 则所求不等式的解集为(-1-5，-1+5) f(x)=f2(x)=23(-cos2x +sin2x), (2)因为f'(x)=(x2+2x)e*, f (x)=f3(x)=2(sin2x +cos 2x), 所以曲线y=f(x)在点(xof(xo)处的切线方程为 通过以上可以看出f(x)满足以下规律： y-xe0=(x号+2xo)e0·(x-x). 对任意neN,fn4(x)=2fn(x). 故4(x)）=f64(x)）=224(sin2x+cos2x）. 将点（号，0的坐标代入，并整理得·（名+写。 四、解答题 号）=号(-)(3+4)e0=0, 15解：①)因为(n4'=五·(4y= 4 解得0=0或x0=1或0=-3 所/：eee业士h 当。=0时，切线方程为y=0; (e)2 e 当=1时，切线方程为y-e=3e(x-1), 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 即y=3ex-2e; 又a为正整数，所以a的最小值为5. 当=号时，切线方程为y-e=-e(:+ 3 3.由题得f'(x)=(2-x e之， 3,即y=-8。x+164 4 令f'(x)>0,解得0<x<2, -9e5x+27 令f'(x)<0,解得x>2或x<0, 19.(1)解：由题得y1=1,y2=cosx, 故f(x)在[-1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 因为1≥c0sx, 在(2,3]上单调递减， 所以函数y1=x是函数y2=sinx的“导控函数” (2)解：由题得y3=2x2+8,y4=x2+2bx+c,y5=8x, 而f(0)=0<f(3)=。, 9 由题意可得8x≤2+2bx+c≤2x2+8恒成立， 故f(x)在[-1,3]上的最小值是0. 令8x=2x2+8,解得x=2, 4.若函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调递减， 故16≤4+4b+c≤16，从而有4+4b+c=16, 则f'(x)=3x2-a≤0在区间(1,2)上恒成立， 所以c=12-4b, 即a≥3x2在区间(1,2)上恒成立. 又2x2+8≥x2+2bx+c恒成立， x∈(1,2)时，3x2∈(3,12)，所以a≥12. 即x2-2bx+8-c=x2-2bx+4b-4≥0恒成立， 所以“a>12”是“a≥12”的充分不必要条件， 所以△=46-4(46-4)=4(b-2)2≤0，所以b=2, 即“a>12”是“函数f(x)=x3-ax在区间(1,2)上单调 故b=2,c=4且“导控点”为2； 递减”的充分不必要条件。 (3)证明：充分性：若存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒 5.令f(x)=e-x-a,则f(x)>0恒成立， 成立，且函数y=q(x)为偶函数， 所以f(x)min>0. 则p(x)=g(x)+c为偶函数，q(x)=q(-x), 因为f'(x)=e-1,所以当xe（-o,0)时f'(x)<0; p(-x)=q(-x)+c=q(x)+c=p(x), 当xe(0,+∞)时，f'(x)>0. 即e+ker=et+ke, 所以f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递 所以(k-1)(e-e*)=0恒成立，所以k=1; 增，所以f(x)=f(0)=1-a>0,解得a<1, 必要性：若k=1,则p(x)=e+e*=p(-x), 即实数a的取值范围为(-0,1). 所以函数p(x)为偶函数， 函数y=p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”， 6因为f()=之-9加，该函数的定义域为0，+0)， 因此p'(x）≥g'(x), 又q(-x)=q(x),p(-x)=p(x), 所以f'()=x-9=-9 因此函数y=p(-x)是函数y=q(-x)的“导控函数”， 因为x>0,由f'(x)≤0可得0<x≤3， 所以-p'(-x)≥-g'(-x), 所以函数f(x)的单调递减区间为(0,3]， 即p'(-x)≤g(-x)恒成立， 因为函数f(x)在区间[a-1,a+1]上单调递减， 用-x代换x有p'(x)≤g(x), 则[a-1,a+1]≤(0,3]， 综上可知p'(x)=q'(x),记h(x)=p(x)-q(x), 则h'(x)=p'(x)-q'(x)=0, 所日≥择器1a发之放速D 因此存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立， 7.因为f(x)=-2cosx-x,x∈(0，T), 综上，“k=1”的充要条件是“存在常数c使得p(x)- 所以f'(x)=2simx-1,xe(0,π). q(x)=c恒成立”. 令f'()=0,得s血x=乃，解得x=石或x= 6 第26期2版 专项小练一 当xe(0,石)时f'()<0,函数f()单调递减： 1.A:2.BD:3.A.4.(0,+0);5.(3,+∞). 专项小练二 当xe(君）时f"()>0,函数f()单调递增： 1.B;2.C;3.CD.4.2;5.(-0,-1) 当xe(,时f”()<0,函数f()单调递减， 第26期3,4版 所以当x=吾时函数f()取得极小值f(无)， 导数在研究函数中的应用同步核心素养测评 一、单项选择题 当：=要时，函数f()取得极大值f() 6 1~4 BBCA 5~8 BDDC 提示： 8.令8()=2(x≠0,4()=(>0)， Y 1.由题得f'(x)=-x2+2x+3, 要满足条件，则g(x)在(0，a)上单调递减， 令f'(x)>0,得-1<x<3,所以增区间为(-1,3) h(x)在[a,+o)上单调递减，且g(a)≥h(a) 2.f'(x)=3x2+2ax+6,由函数f(x)在R上存在极值， 易知g(x)在(0，+∞)上单调递减. 则f'(x)有两个不等实数根， '()=-nx,令h'()>0,解得0<x<e, 得4=4a2-72>0,解得a>32或a<-32, 3 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 令h'(x)<0,解得x>e, 所以a=b=1,则f(x)=x+ 1 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减， e 所以a≥e fn2)=n2+点=n2+ 1 由2≥2解得0<a≤2 a 13.因为实数a,b,c,d成等比数列，所以ad=bc, 所以实数a的取值范围是[e,e2] 由f(x)=3x-x3, 二、多项选择题 得f'(x)=3-3x2=3(1-x)(1+x), 9.BC;10.BC;11.AC. 令f'(x)=0,解得x=±1， 提示： 当x<-1或x>1时f'(x)<0f(x)单调递减； 9.观察图象，由f'(x)>0,得x<-2或0<x<2,显然 当-1<x<1时f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x<-2时，f'(x)<0,当0<x<2,f'(x)>0,由f'(x)< 所以x=-1时，函数f(x)取得极小值， 0,得-2<x<0或x>2,显然当-2<x<0时，f'(x)>0, x=1时，函数f(x)取得极大值， 当x>2时f'(x)<0, 所以b=1,c=f(1)=3-1=2. 因此函数f(x)在(-0，-2)，(2，+∞)上单调递减，在 所以bc=2,所以ad=2. (-2,2)上单调递增，(A)错误，(B)正确； 14f'(x)=x2+3x,令f'(x)=0,解得x=0或x=-3, 函数f(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大 令f'(x)>0,解得x>0或x<-3, 值，(C)正确，(D)错误.故选(B)(C) 令f'(x)<0,解得-3<x<0, 10.f(x)的定义域为(0，+0)，由f(x）=xnx+x2,得 所以f(x)在(-∞，-3)和(0，+∞)上单调递增， f'(x)=lnx+2x+1,所以有f'()=n+2xo+1=0,所 在(-3,0)上单调递减. 以有2x=-(nxo+1)>0,即lnxo<-1,即lnxo<ne1, 当x→-0时，f(x)→-0， 所以有0<。<。，故(A)错误，(B)正确： 当x→+0时f(x)→+， 又f(-3)=号+cf0)=6 f(o)+o=%lno++=o(In xo+o+1)= x(-2x+)=-后<0，故(C)正确，(D)错误.。 要使f(x)有3个不同的零点， 9 故选(B)(C). 则c<0< 号+e,解得-是<e<0, 1因为f)=专.所以()=c普-。所以 (e)2= 所以实数c的取值范围是(-号，0） f'(0)=1,故(A)正确： 四、解答题 因为f”(x)=二，当x<1时'(x)>0,所以f()在 er 15.解：函数f(x)的定义域为(0，+)， (-∞，1)上单调递增，当x>1时，f'(x)<0,所以f(x)在(1， f'(x)=x-a=x-a +如)上单调递减，所以()在x=1处有最大值，f()=日 当a≤0时f'(x)>0, 则f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间； 故(B)错误； 当a>0时，由f'(x)>0得x>√a, 结合(B)选项可知f(x)的最大值是 由f'(x)<0得0<x<a, 且f(x)在(-∞，1)上单调递增， 所以当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为（√a,+∞）， 在(1，+∞)上单调递减， 单调递减区间为(0，√a). 又易知当x→-∞时，f(x)-∞， 16.证明：设函数f(x)=x“-ax-1+a, 当x→+0时f(x)→0 则f'(x)=ax-1-a=a(x-1-1). 结合)的大致图象（因略）可如直线)=专与曲线y= 令f'(x)=0,得x=1. 所以，当x∈(0,1)时f'(x)>0, f(x)有两个交点， 函数f(x)单调递增； 所以了()=有两个不等实根，故(C)正确： 当x∈(1，+o)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减。 所以f(x)=x-ax-1+a在区间(0，+o)上的最大值 因为f(x)在(1，+0)上单调递减，所以f(3)>f(4),即 为f(1)=0. 是>÷，所以3>4，故(D)错误放选(A)C 3 所以f(x）=x“-ax-1+a≤0，即x“-ax≤1-a. 三、填空题 1n解：(1g()=-分+ar+分-2- 121n2+13.2:14(-号，0） xe(0,8], 提示： 即g()=-+a2-2e081. 12由国=a+总，可得/')=。- 当x=2时，g(2)=-4+9a-2=12,解得a=2, e, 由题得f(0)=b=1,f'(0)=a-b=0, 故8)=-2+号-2e(08 4 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 （2)=-+9张=-(x-6. 则当x<t时，F(x)<F'(t)=0, 这与H右eR,F'(）≥0矛盾， 当x∈(0,6)时，g'(x)>0, 故不存在x使F'(x)=0,故F'()>0恒成立， 当xe(6,8]时，g'(x)<0, 故F(x)在R上严格增。 所以函数g(x)在(0,6)上单调递增， 在(6,8]上单调递减， 第27期3,4版 所以x=6时，利润最大为g(6)=52(万元) 一元函数的导数及其应用核心素养综合测评 18.解：(1)因为f(x)=ln(x+a)-x2+x,x>-a, 一、单项选择题 所以f”(x)=1-2x+1. 1~4 BACA 5~8 CDAA Γx+a 提示： 因为函数f(x)=ln(x+a)-x2+x在x=1处取得极值， 1.f'(x)=(2x-x2)e-+a, 所以f'(1)=0, 由题可得f'(1)=1+a=2,解得a=1. 所以十。-1=0，解得a=0,经检验，符合题意 2.函数f(x)=cosx-ax定义域为R, 5 且f'(x)=-sinx-a, (2)证明：因为f(x)=-2x+, 依题意f'(x)≤0恒成立，即-sinx-a≤0恒成立， 所以h-+=-子+b, 即a≥-sinx恒成立， 又-1≤-sinx≤1，所以a≥1， 7 所以nx-+2t=b. 即实数a的取值范围是[1，+o). 3.由题意得对任意xeR,e2-x>log2a恒成立， 7 令h(x)=nx-+2(x>0), 设f(x)=e2-x,f'(x)=e2-1, 则h'(x)=文-2x+子 令f'(x)=e2-1>0,解得x>-2, =-(4x+1)x-2】 2x 令f'(x)=e2-1<0,解得x<-2, 所以当x∈[1,3]时，h'(x),h(x)随x的变化情况如表： 则f(x)在(-∞，-2)上单调递减， [1,2) (2,3] 在(-2，+0)上单调递增， 故f(x)≥f(-2)=3,所以lo%a<3,解得0<a<8. h'(x) + 0 - 4.当x=0时，f(0)=-f'(0)-f(0), h(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以f(0)=-f(0. h(1)= ,h(3)=lm3+ 5 3 > 2 2,h(2)=ln2+3, 5 又f'()=3-25'(0)x+2'0)e-1, 所以he[,h2+3 期'(0)=之(0)-1，解得/(0)=-2， 所以b的取值范围为[子，血2+3] 19.(1)解：f(x)=3,定义域为R,则f1(x)=3·ln3是在 由定义可知，四2-10】：-2y0):4 R上的严格单调递增函数，则f(x)=3是“T函数”； 5.f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2).当-3≤x<-2 5(x)=x3,定义域为R,则f5(x)=3x2不是在R上的严 或2<x≤3时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当-2<x<2时， 格单调递增函数，则(x)=x不是“T函数” f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最值分别是f(-3), (2)证明：由题可得g'(x)在(0，+0)上严格单调递增， f-2)f(2)f(3)中的最小者和最大者，所以M=24,m= -8,M-m=32. 设G(x)=g(x+1)-g(x), 则G'(x)=g'(x+1)-g'(x)>0, 6.由题图f'(x)为奇函数，可知f(x)为偶函数，故可排除 (B),(C); 故G(x)在(0，+o)上单调递增，故G(a)<G(a+2), 对于(A),当x→0时，f'(x)=(e-e*)x2+2(e+e)x 即g(a+1)-g(a)<g(a+3)-g(a+2). (3)证明：由题可得F'(x)在R上严格单调递增， >0,与f(x)的图象不符，排除(A)； xo E R,G(x)=F(x)-F(xo)x, 对于(D,由f()=子2+2a0sx,有f'()=分- 则G'(x)=F'(x)-F'(x), 2sin,令f”(x)=0,得7=sinx,作出函数y=之，7=sinx 1 当x∈(-∞，xo)时，G(x）<0,函数单调递减； 当x∈(x,+0)时，G(x)>0,函数单调递增， 故G(x)≥G(), 的图象（因略）可知，。e(受，），使得7。=sino,当x 即F(x)≥F'(xo)x+F(xo)-F'(xo)xo, e(0,xo)时，f'(xo)<0,当xe(,+o)时，f'(x)>0,与 当x<0时，F(x)<0恒成立， f'(x)的图象相符，(D)正确.故选(D). 则F'(xo)x+F(x)-F'(x)<0恒成立， 故F'(x)≥0， 7.因为fe)=lns+3-京(a≠0. 若存在teR,使F'(t)=0, 所以函数f(x)定义域为(0，+∞)， 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 冬是+心山， 故选(A)(C 1.f'()=--x-2=-(x+1)x-22 由题意得方程f'(x)=0,即ax2-3x+1=0有两个不相 e 等的正根，设为x1,x2, 当x<-1或x>2时，f'(x)<0, 4=9-4a>0. 当-1<x<2时f'(x)>0, 则+3 >0,解得0<a<是 即函数f(x)在(-0，-1)，(2，+∞)上单调递减，在 (-1,2)上单调递增， ->0 因此函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-e,在 即a的取值范围为(0，号） x=2处取得极大值f(2)=三，故(A)正确： 由(A)作出曲线y=f(x)及直线y=k,如图1， 8.原不等式等价于ef(x)-e>5=ef(0)-e°， y=∫(x)y 可构造函数g(x)=ef(x)-e,其导数 g'(x)e'f'(x)+e'f(x)-e =e*[f'(x)+f(x)-1], 因为f'(x)>1-f(x),即f'(x)+f(x)-1>0, 所以g'(x)=e*[f'(x)+f(x)-1]>0, 即g(x)=ef(x)-e在R上是增函数， 图1 所以ef(x)-e>5=ef(0)-e°=g(x)>g(0), 要使方程f(x)=k有且只有两个实根， 可得x>0,即原不等式的解集为(0，+∞). 观察图象得当-e<k≤0时， 二、多项选择题 直线y=k与曲线y=f(x)有2个交点， 9.ACD;10.AC;11.ACD. 所以方程f(x)=k有且只有两个实根， 提示： 则k的取值范围为(-e,0],故(B)错误； 9.f(1)=g(1)=0,故(A)正确； f'(1)=2,g'(1)=1,故(B)错误； 由f()=0得x2+x-1=0,解得x=-1±5 2 f(到=2a∈Rg()=÷e0,+).作") 令f(x)=t,则f(t)=-1, 结合图象方程f(t)=-1有两解， g(分)，放曲线f()=2-1与曲线g()=血x存在五相 -1-5<,<-1,4=0, 2 平行的切线，故(C)正确： 所以f(x)=t1或f(x)=, 令F()=f(x)-g(),则F'(x)=2x-,故F()在 因为1+5<2，所以215，-e 2 (0,号)上单调递减，在（停，+x）上单润递增，而F(停） 所以方程f(x)=有两解； 又因为=0，结合图象可知f(x)=也有两解， =-+2n2<0.F(）>0.,F(e)=e-2>0,故F( 综上，方程f(f(x))=-1共有4个根，故(C)正确； 有两个零点，即曲线f(x)=x2-1与曲线g(x)=nx有两个 因为2)=三，面函数)在2.+)上单调谴减 交点，故(D)正确 结合图象知t≤2， 故选(A)(C)(D) 所以t的最大值为2，故(D)正确。 10.f(x)=xln(1+x),定义域为(-1，+∞)， 故选(A)(C)(D) 则f'(=h(e+)+本 三、填空题 由=lax+D=本=1+都在(-1，+) 12.(0,3)； 13[号受)：4[30)月 上单调递增，故y=f'(x)也在(-1，+∞)上单调递增，又 提示： f'(0)=0,故当x∈(-1,0)时f'(x)<0f(x)单调递减； 12.函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 当xe(0,+o)时f'(x)>0, f'(m)=x-2-3=-2x-3=x-3)x+1) f(x)单调递增，故(A)正确； 由f'(x)=0得x=3,由f'(x)<0得0<x<3, 由(A)知f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+∞)上单 所以f(x)在区间(0,3)上单调递减. 调递增，又f(0)=0,故f(x)只有一个零点，故(B)错误； 13.因为y'=x2-2x+1+√5=(x-1)2+5≥5， (）=n3-1=-1-h2. 所以曲线上点P处的切线的斜率的取值范围为[3， 根据导数几何意义可知(C)正确； +o),即tana≥5， f(x)的定义域为(-1，+∞)，不关于原点对称，故f(x) 是非奇非偶函数，故(D)错误 又ae[0,m),所以a的取值范由是[号，号)】 6 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 14由题得a(x)=-方-m+方+2x在[0,3]上有 当x<-1时，g(x)=(x2-4x+1)e>0, 当x+0时，g(x)+0, 两个不同的零点， 令F()=-号+7+2， 6e 则直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有 =g(x 两个交点， F'(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1), 令F'(x)=0,可得x=2∈[0,3]，列表如下： y=-2e3.-- (2,3] 图3 [0,2) 2 结合图象，g(x)与y=a有三个交点， F'(x) × 0 F(x)》 极大值0 即0<a<6e,放实数a的取值范田是(0，） 17.解：由题可得f'(x)=6x2-2ax, F(0)=0,F(3)= ,作出F(x)的图象（图2）， 3 令f"()=0,解得x=0或x=号， 0↑y 3 当x<号或x>0时f'()>0: y=m =F(x) 当号<<0时"()<0， 所以当x=号时(x)取得极大值， 2 图2 (台） 由图可知，当 ≤m<9时， 3 又f(x)=2x3-a2=- 27 直线y=m与函数y=F(x)在区间[0,3]上的图象有两 个交点， 即(x-号)广(2+号)=0， 因此实数m的取值范围是 310 2,3 解得x=号或x=-合 四、解答题 因为)在（受”专） 上有最大值， 15.解：(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 由题可得(1)=3+2a+6=8, 所以号<告≤-名， lf(1)=a+b+3=8-2, 解得a=2,b=1. 解得a≤-4，所以a的取值范围是(-0，-4]. (2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, 18.解：(1)当“如意金箍棒”变化到x秒时， f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1), 其底面半径为(10-x)cm,长度为(l+40x)cm, 则f(x)=π(10-x)2(l+40x),且4≤10-x≤10， 令f'(到=0得x=-分或x=-1, 即0≤x≤6， 所以在(-0，-1)上f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以f'(x)=π[-2(10-x)(1+40x)+40(10-x)2] 在(-1，兮)上fx)<0()单调递减。 =2π(x-10)(60x+1-200), 当10-x=8,即x=2(秒)时，f(x)取得极大值， 在(-分，+）上f()>0f()单调递指， 所以f'(2)=0,即2π(2-10)(60×2+1-200)=0， 解得l=80(cm), 所以f(x)极大值=f(-1)=2, 所以f(x)=40π(x-10)2(x+2),且其定义域为[0,6]. f准=（宁）-罗 (2)由(1)得f'(x)=120π(x-10)(x-2),0≤x≤6， 所以当0≤x<2时，f'(x)>0: 16.解：令g(x)=(x2-4x+1)e, 当2<x≤6时，f'(x)<0, f(x)有三个零点即g(x)与y=a的图象有三个交点， 所以f(x)在(0,2)上为增函数，在(2,6)上为减函数， g'(x)=e(x2-2x-3)=e(x-3)(x+1), 则f(x)的最小值为f(0)或f(6), 当x>3,或x<-1时，g'(x)>0, 又f(0)=8000π(cm3),f(6)=5120m(cm3), 当-1<x<3时，g'(x)<0, 所以当x=6(秒)时，“如意金箍棒”体积最小， 所以g(x)在(-0，-1)和(3，+∞)上单调递增， 此时“如意金箍棒”的底面半径为10-6=4(cm) 在(-1,3)上单调递减， 19.解：(1)函数f(x)=lnx在(0,1)上是增函数. g(x)的极大值为g(-1)=6e1, 极小值为g(3)=-2e3, 因为F(x)==血，所以F'(x)=L-血 x2 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以当x∈(0,1)时，F'(x)>0, 5.将等差数列记为an}, 所以F(x)在(0,1)上为增函数， 其中第n节的容积为an(1≤n≤9，n∈N,), 所以函数f(x)在(0,1)上不是“单反减函数”. 因为8=4， 。。所以4a+6d=4, 2)因为g()=2x+2+al La as ag =6, la1+7d=2, 所以g(x)=2x+ax-2 x 所以 2 因为函数g(x)是[1，+∞)上的“单反减函数”， d=T' 所以g(x)在[1，+∞)上是增函数， 所以g'(x)≥0在[1，+o)上恒成立， 所以，=4+4d=普所以第5节的容积为普升 11 令h(x)=2x2+ax-2, 6.由f(x)=(x-1)(x-2)2得f'(x)=(x-2)2+2(x 则h(x)≥0在[1，+o)上恒成立， -1)(x-2)=(x-2)(3x-4) rh(1)≥0， 令f'()>0得x>2或x<青令f()<0得号< 所以 ≤1， 解得a≥0. 一4 <2.所以f()在[0，号）和(2,3]上单词递增，在（号，2 令G(x)=(x2 上单调递减。 2 又f(0)=-4f(2)=0,所以fx)=(x-1)(x-2)2在 则G(x)=2+ +n在[1，+~)上是减函数 [0,3]上的最小值为-4. 又6w-是+21， x2 7令8)=2，则g)=0fa, 所以G'(x)≤0在[1，+∞)上恒成立， 因为f'(x)-f(x)<0, 即-号+1≤0在1，+)上相成立， 所以g'(x)<0,g(x)在R上递减， 因为f1)=e,所以g(1)=D=1, 即ax-axln x-4≤0在[1，+o)上恒成立. 令P(x)=ax-axin x-4,则P'(x)=-alnx, 因为不等式f(lnx)>x,x>0, 防B以有气心 ,解得0≤a≤4， 所以gnx)）=fn=-fhD>1=g(1), 综上，实数a的取值范围为[0,4]. 所以lnx<1,解得0<x<e, 故不等式f(lnx)>x的解集是(0，e). 第28期 8.设该数列为an},则由a2-a1=2-1=1,a3-a2= 核心素养阶段测评（五） 5-2=3,a4-a3=10-5=5,a5-a4=17-10=7,… 一、单项选择题 可知该数列逐项之差构成的数列{b.}成等差数列，首项 1~4 BABD 5 ~8 CBBC 为1，公差为2，故b.=1+2(n-1)=2n-1,故a+1-am= 提示： bn=2n-1,则a2-a1=1,a3-a2=3,a4-a3=5,…,am- 1.f'(x）=3x2+2mx,由f'(-1)=f(1)得3-2m=1 a-1=2n-3,上述n-1个式子相加，得am-a1=1+3+5+ +m+5,即m=-1,f'(1)=3+2m=3-2=1. …+(2n-3)=m-),+2n-3》=(n-1)2(n≥2)，即 2 2.因为a,+a=g(a+),所以g=2 a.=(n-1)2+a1=(n-1)2+1(n≥2)， 由a4g+a1g=号得a=32. 故a20=192+1=362. 2 二、多项选择题 由an=a1g-1=1得n=6. 9.ABC;10.ABD;11.ABD. 3.由等比数列{a.}的前n项和的性质可得 提示： S10,S0-S1o,S0-Sn也成等比数列， 9.根据等差数列的性质，若S1-S=4(a,+ag)=0,则 所以(S0-S0)2=S1o×(S0-S0), a,+ag=0,S4= -14(a+a=7(a,+as)=0,故(A)正确： 2 得(10-20)2=20×(S0-10),解得S0=15. 4.f'(x)=x2+4x+3,令x2+4x+3=0,可得x=-3或 由(A)及结合首项a1>0,可得a,>0,ag<0,d<0,所以S, 1 是最大值，故(B)正确；若S7>S,则ag<0,那么d<0,所以 x=-1.经分析可知，它们是函数f(x)的极值点 ag<0,所以S8>Sg,S,-S6=a,+ag+ag=3as<0,即S。 由直线y=a与函数f(x)=了+2x+3x+1的图象 >S,故(C)正确，(D)错误。 相切，可知它们只有在极值点所对应的点处相切.由x=-3或 故选(A)(B)(C). 10.令g(x)=f(x),则g'(x)=f(x)+f'(x)>0, x=-1可得函数的极值为1或-子 即函数g(x)在定义域内是单调递增函数， 故实数a的值为1或-分 称函数y=f(x)为“F函数” f(x)=e",g(x)=xf (x)=xe"(x E R), 8 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 g'(x)=e+xe"=(x+1)e, 则当n≥2时，上-1=n-1,则1 当x>-1时，g'(x)>0,g(x)单调递增， an an-1 a. 当x<-1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 不符合在定义域内是单调递增函数， a 则函数f(x)=e不是“F函数”，故(A)正确： =(n-1)+(n-2)+…+1+1 f(x)Inx,g(x)=xf (x)=xn x(x >0), =n(n-+1=心-n+2(n≥2)， 2 2 g'(x)Inx +1, 2 当0<x<时，g()<0,g)单涧递减， 即a.=-n+2 (n≥2)， 当x>时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当n=1时，a1=1适合此式， e 2 不符合在定义域内是单调递增函数， 所以a.=-n+2 则函数f(x)=nx不是“F函数”，故(B)正确； 4令1=/m）=8(a,则e=1分+h子= f(x)=x,g(x)=xf(x)=x(x E R), 2 g'(x)=3x2≥0， 所以m=3+lnt,n=2e宁， 所以g(x)单调递增， 即n-m=2e宁-3-lnt, 则函数f(x)=x2是“F函数”，故(C)错误； f(x)sinx,g(x)=xf(x)xsinx(xE R), 设0)=2寺-3-n则0）=2+-u>0, g'(x)=sin x xcosx, 当m<x<受时，g()<0g(x)单调递减， 令h'(0=0,得t=2: 1 不符合在定义域内是单调递增函数， 当0<<时，h()<0,A()单调递减： 则函数f(x)=sinx不是“F函数”，故(D)正确， 故选(A)(B)(D). 当1>分时，k()>0,h()单调递增： 1山.若a=受，则a,a1=(im受）广=1，所以工m 所以h()=h(分）=h2-1, (aa)·(a3a4)…(aga1m）=10=1,故(A)正确； 即n-m的最小值为ln2-1. 若a=吾则a,a1=(m若)广=（分）”，所以 四、解答题 15.解：因为anl=(入-3)an+2"(neN,)及a1=2,a2 =(分)，两式相除得=分所以4=4× n+ =-1, a 所以a:=a-3)a+2,解得A=子 (合)°-6故(B)正确： 所以a=- 因为aa1=(sina)”,所以an1a2=(sina)+l,所以 +2= 2 2=sin&≤1，又因为数列a,}各项均为正数，所以a2≤ (2)不存在.因为a1=2,a+1=(入-3)a.+2“,所以a2= an (入-3)a1+2=2入-4，a3=(入-3)a2+4=2入2-10入+16. a,即a2+l≤a2-1,故不存在a及正整数k,使得a1>a2k-1, 若数列{an}为等差数列，则a1+a3=2a2,即2+22-10入+ 故(C)错误； 16=2(2入-4)，所以X2-7入+13=0.因为4=49-4×13 若{an}为等比数列，设其公比为g(g>0), <0,所以方程无实数解，所以入不存在.即不存在入，使数列 a.dm =avg,an =()"=(sina)" an}为等差数列. 16.解：(1)设需要新建n个桥墩， =1,则a=ma,故(D)正确 所以g (n+1)x=m,即n=m-1, g2 sin a, 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x 故选(A)(B)(D). 三填空题 =256(受-1）+(2+， 12.n=5;13.2-n+2 2 14.ln2-1. 即y=256m+mE+2m-256. 提示： (2)由(1)知， 12由题得%(2-1)=9g 整理得0，=3， la1·2-1=48, l2"=32, f经+t是-2 解得n=5. 令f'(x)=0,得x2=512,所以x=64, 13.由题意得1-=n, 当0<x<64时f'(x)<0f(x)在(0,64)内为减函数； an+l an 当64<x<640时，f'(x)>0,f(x)在(64,640)内为增函数， -9 高中数学人教A版选择性必修第二册第25~28期 所以f(x)在x=64处取得最小值， 1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点. 此时，a=是-1=架-1=9 综上的取值范围是（宁+一） 故需新建9个桥墩才能使y最小. 19.解：f'(x)=3x2+2bx-9,f"(x)=6x+2b. 17.解：(1)当n=k,k∈N时， 由题意得f"(-1)=0,即-6+2b=0,解得b=3. S=+m取最大值， 且f(-1)=10,即(-1)3+3×(-1)2+9+a=10, 解得a=-1, 即8==+2=， 故f(x)=x3+3x2-9x-1, 所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x-1)(x+3), 故2=16，因此k=4, 令f'(x)>0得x>1或x<-3, 从雨=及。-及=号-a(a≥2). 令f'(x)<0得-3<x<1, 7 9 故f(x)在(-∞，-3)，(1，+∞)上单调递增， 又4=S,=2,适合a=之-n, 在(-3,1)上单调递减， 9 所以a=立-n 故f(x)在x=-3处取得极大值， 在x=1处取得极小值， a设4”2六 n 故极大值为f(-3)=-27+27+27-1=26, 极小值为f(1)=1+3-9-1=-6. Tn=b1+b2+…+bn 1+2+3 之+2京+…+ 2n+2品， ag0=2m2+a(m）-1512+g-是 因为m>0,mx>0,故x>0, 2=2+2+++2 +2+2 即g(x)的定义域为(0，+∞)， 所以T.=2T.-T。 g'(x)=6m2+6x+2[6ln(mx)-15]x+18 m =2+1+2+…+22 g"(x)=12mx+6+12+2[6ln(mx)-15] =12mx+12ln(mx）-12, 4六-4是 2-1 令g"(x)=0得mx-1+n(mx)=0, 令h(x)=x+lnx-1,x>0, 18.解：(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e*, 所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]e+[ax2-(4a+1)x+ 则h'(x)=1+↓>0在(0，+0)上恒成立， 4a+3]e=[a2-(2a+1)x+2]e, 故h(x)=x+lnx-1在(0，+o)上单调递增， f'(1)=(1-a)e. 又h(1)=0,由零点存在性定理知 由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1, h(x)=x+lnx-1有唯一的零点x=1, 此时f(1)=3e≠0，所以a=1. (2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e* 故mr=1,即x=元时，满足m-1+nm）=0, =(ax-1)(x-2)e 若a>分则当xe(合，2)<0： 当=时白)后++1= 当x∈(2，+o)时f'(x)>0. 故)的拐点为（六1） 所以f(x)在x=2处取得极小值。 若a≤弓则当xe(0,2)时，x-2<0,ar-1≤2- 一1017.(15分)已知函数f(x)=ax2+lnx的导数为f'(x), 18.(17分)已知函数f(x)=x2e 19.(17分)若定义在R上的函数y=f(x)和y=g(x)分别存 (1)求f(1)+f'(1); (1)求不等式f'(x)<4e的解集： 在导函数∫'(x)和g(x),且对任意x均有f'(x)≥g'(x),则称函数 (2)若曲线y=f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围. (2)求过点（号0）且与曲线y=f()相切的切线方程 y=∫(x)是函数y=g(x)的“导控函数”.我们将满足方程∫'(x)= g'(x)的称为“导控点” (1)试问函数y1=x是否为函数y2=sinx的“导控函数”； (2)若函数=号+8x+1是函数.=了子+b:2+:的 2 “导控函数”，且函数，=了+6：+x是函数=4忙的“导控函 数”，求出所有的“导控点”； (3)若p(x)=e+kex,函数y=g(x)为偶函数，函数y= p(x)是函数y=q(x)的“导控函数”，证明：“k=1”的充要条件是 “存在常数c使得p(x)-q(x)=c恒成立” 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·选择性必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：蒋丕清 报纸编辑质量反馈电话： 高中数学 0351-5271268 数理摑 2026年1月5日·星期 报纸发行质量反馈电话： 第 25期总第1169 期 人教A 0351-5271248 选择性必修第二册 袁隆平： 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-289 稻田里的守望者 名师解惑 三、斜率牵手导数与倾斜角 求倾斜角 原函数和导函数的 袁隆平，一位伟 斜率的三个好朋友 范围 大的科学家，被誉为 号数、倾斜角和切点 例3已知函数f(x)= -x+1n无求函 对称性关系 “杂交水稻之父”」 数(x)图象上所有点处的切线的倾斜角范围. ◎湖南文怀 他的一生都致 ⊙山西 胡婧波 分析：要求(x)图象上所有点处的切线的 设f(x)存在导函数∫'(x),则二者的对称 力于解决粮食问题 生有下述结论： 在那个饥荒的年代， xo+△)-fo的几 倾斜角范围，必须先求斜率的范围，而斜率即为 1.若f(x)有对称轴x=a,则∫'(x)有对 导数f'(xo)=lim 目睹百姓忍饥挨饿， △x 导数 称中心(a,0) 特殊情况：偶函数的导函数为奇函数 袁隆平心中立下了 何意义是曲线y=f(x)上过点(xof(x)的切 解：函数的定义域是(0，+∞)， 证明：f(x)有对称轴x=af(a+x)= 一个坚定的信念：要 线的斜率，即k=∫'(x),所以切线的斜率即为 函数f(x)图象上所有点处的切线的斜率 (a-x),两端求导可得 让所有人远离饥饿 导函数在切点的横坐标处的函数值；同时切线 k=f'(x)=x-1+L f'(a+x)=-f'(a-x), 的斜率还可以用切线的倾斜角表示，即k= X 人此，他踏上了漫长 所以f'(a+x)+f'(a-x)=0, =（x+)-1≥2-1=1， 故∫'(x)关于点(a,0)对称 而艰辛的杂交水稻 ana.仔细琢磨，就会发现导数、切点、倾斜角以 2.若∫(x)有对称中心(a,b),则f'(x)有 研究之路 及斜率之间密切相关.下面通过典例进行解析， 对称轴x=a. 试验田成了他 请同学们用心体会 即tama≥l,所以ae[牙）， 特殊情况：奇函数的导函数为偶函数。 的第二个家.无论烈 证明：f(x)有对称中心(a,b)三f(a+x) 一、斜率牵手导数与切点一求切点坐标 即函数f(x)图象上所有点处的切线的倾斜 +f(a-x)=2b,两端求导得 日炎炎还是狂风暴 例1曲线f(x)=x3+x-2上点P。处的切 角的范围是牙引 f'(a+x)-f'(a-x)=0 雨，总能看到他忙碌 线斜率为4，则点P。的一个坐标是 所以f'(a+x）=f'(a-x), 的身影.一次次的失 (A)(0,-2) (B)(1,1) 点评：解本题的关键是先由导数的几何意 故f'(x)关于直线x=a对称 败没有让他气馁，反 (C)(-1,-4) (D)(1,4) 义求切线的斜率=∫'(x),结合均值不等式求 3.若f'(x)有对称轴x=a,则f(x)有对 称中心(a,b) 而更加激发了他的 得斜率的范围；同时斜率又与切线的倾斜角密 分析：要求切，点坐标，必须利用斜率这个条 证明：f'(x)有对称轴x=a→f'(a+x) 斗志.经过无数次的 件，所以利用导数和切点横坐标表示出斜率即 试验和探索，他终于 切相关：k=ama个a≠牙 ,二者联手易求 ∫'(“-x)=0,我们把此式看成由某式求导得 出，则该式为f(a+x)+f(a-x)=C, 成功培育出高产的 可求解 四、斜率牵手导数与切线上两点 求切 令C=2b得f(a+x)+∫(a-x)=2b 杂交水稻，极大地提 解：设Po(o,x+0-2), 线方程 →f(x)关于(a,b)对称 则除斜率k=f'(xo)=3x品+1=4 4.当f'(x)的对称中心为(a,b)时， 高了粮食产量，为解 决全球粮食问题做 解得0=±1， 例4已知曲线y=+ 若b≠0，则f(x)不一定有对称轴， 若b=0,则f(x)有对称轴x=a. 出了巨大贡献 故切点是(1,0)或(-1，-4).故选(C) (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； 证明：f'(x)有对称中心(a,b) 袁隆平不仅有 点评：解本题的关键是先设切点坐标，然后 (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程 f'(a+x)+f'(a-x)-2b=0 着卓越的科学成就 由导数的几何意义用切点的横坐标表示切线的 分析：“曲线过点P(2,4)的切线方程”与“曲 我们把上式看成由某式求导得出，则该式为 f(a+x)-f(a-x)-2bx=C,C为常数， 更有着令人敬仰的 斜率k=∫'(x)求得切，点的横坐标，然后代入 线在点P(2,4)处的切线方程”是有区别的：过点 在上式中令x=0可得C=0, 品德.他淡泊名利， 曲线方程可以求得纵坐标 P(2,4)的切线中，点P(2,4)不一定是切点；在点 代入上式整理得f(a+x)=∫(a-x)+ 生活简朴，把全部的 P(2,4)处的切线中，点P(2,4)是切点 2bx, 二、斜率牵手导数与切点一求参数 当b=0时，上式即为f(a+x)=f(a 精力都投入到杂交 例2函数f(x)=1nx(x>0)的图象与直线 解：(1)y=x2, x)→f(x)有对称轴x=a, 水稻事业中他心怀 所以y'(2)=22=4, 而当b≠0时，无法得出∫(x)具有对称 天下，无私奉献，即 y= 2x+a相切，则a= ( 故所求曲线的切线方程为y-4=4(x-2) 轴 使在功成名就之后， (A)n2-1 (B)ln2+1 例1已知对任意实数x,有∫(-x)= 即4x-y-4=0 依然奔波在田间地 f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时f'(x) (C)In 2 (D)2In 2 >0,g'(x)>0,则当x<0时 头，为了实现更高的 + (2)设曲线y=3 4与过点P(2,4)的 分析：要求参数a的值，必须利用斜率是 (A)f'(x)>0,g'(x)>0 产量目标而努力 切线相切于点A,了+号) (B)f'(x)>0,g'(x)<0 他是稻田里的 这个条件，利用导数由切点的横坐标表示出来 (C)f'(x)<0,g'(x)>0 守望者，用自己的智 求解 则切线的斜率为k=y'(xo)=x品 (D)f'(x)<0,g'(x)<0 解析：由题得∫(x)为奇函数， 慧和汗水，书写了 解：设切点为(x,lnxo), 切线方程为y 段传奇.袁隆平的精 (+)=(x 1 所以f'(x)为偶函数. 因为当x>0时，f'(x)>0 神激励着我们，要有 则切线的斜率k=∫'(x)=。 =21 又点P(2,4)在切线上， 所以当x<0时，f∫'(x)=∫'(-x)>0. 坚定的信念，勇于追 解得x。=2,故切点为(2，ln2), 由题得g(x)为偶函数，所以g'(x)为奇 函数.因为当x>0时，g'(x)>0,所以当x< 求梦想，为了国家和 所以4-（兮+）=62- 人民的利益，无私奉 代人直线方程得n2=?×2+a, 0时，g'(x)=-g'(-x)<0.故选(B). 解得x0=2或x,=-1. 例2已知函数∫(x)=ax4+bx2+c,若 献，努力拼搏」 所以a=n2-1.故选(A) 故所求的切线的方程为 f'(1)=2,则f'(-1)= ( 点评：解本题的关键是先设切点，再由导数 4x-y-4=0或x-y+2=0. (A)-1(B)-2(C)2 (D)0 解析：易知f(x)是偶函数，则∫'(x)是奇 的几何意义用切点的横坐标表示出切线的斜率 点评：解本题的关键是首先搞清已知点是 函数，所以∫'(-1)=-∫'(1)=-2. 求解 否是曲线上的点、是否是切点，再分情况求解 故选(B) 2 素养专练 专项小练 导数的运算 6.一小球做简谐振动，其运动方程为y= 1已知f()=-,则/() ( ）20sim(3t-受)，其中（单位：cm)是小球相对于 (A-A(B)2(c) ,(D)平衡点的距高4（单位）为运动时间 2.设a∈R,函数f(x)=e+ae"的导函数 (1)求小球在：=牙。时刻的速度； 是∫'(x),且∫'(x)是奇函数，则a的值为() (2)从t=0s开始，最少经过多长时间该小球 (B)-3(C)2 的瞬时速度达到最大？ (A)1 (D)-1 3.(多选)下列求导运算正确的是() (A)(e3x)'=3e (B)(2x）=x (C)(2sinx-3)'=2cosx (D(2}=x22 x(2-x) 4.若曲线y=axcosx在点(0,0)处的切线斜 率为-1，则a= 5.若曲线y=logx(a>0,a≠1)在点(1,0) 数理报社试题研究中心 处的切线与直线x+2y-3=0垂直，则a= 参考答案见下期 第24期2版参考答案 影长度，为ym 专项小练一 由于0服呢器即，总 1.A;2.D;3.ABC. 所以y=0.25x. 9.s (2)设人离开C点的时间为ts, 3 而84m/min=1.4m/s,而x=1.4t,所以y=0.35t. 6.解：(1)△3=s(20+△t)-s(20)》 在[0,10]内自变量的增量为2-t=10-0=10, =10×(20+△t)+5(20+△t)2-10×20-5×20 函数值的增量为 =10△t+200△t+5A2=1+20+0.05=21.05, f(t2)-f(t1)=0.35×10-0.35×0=3.5 所以)型-3语=035， t2-t (2)由1)知=10+2X0+54=210+54. 即人离开C点10s内身影长度的平均变化率为 △t 0.35m/s. 当4趋于0时，是趋于210， 18.解：(1)由题意得，割线AB的斜率 k=-(2+Ax)+(2+Ax)-(-4+2) 所以赛车在t=20时的瞬时速度为210m/s. △x 专项小练二 -二4+A-(A2=-3-Ax 1.A;2.D;3.BC. Ax 4.3;5.y=(2+22)x-(2+22)或y=(2 由-3-△x≤-1，得△x≥-2，又△x≠0， 所以△x的取值范围是[-2,0)U(0,+∞). 22)x-(2-22). 6.解：点P(1,1)处的切线的斜率 (2)由(1)知函数f(x)=-x2+x在x=2时的导数 0号w 为f'(2)=-3, 又f(2)=-22+2=-2, h h 所以函数f(x)在点A处的切线斜率为-3， =+h=-1, 所以函数f(x)在点A处的切线的方程为y-(-2) 故切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0, =-3(x-2),即3x+y-4=0. 令x=0,y=2,则B(0,2), 19.解：设切点坐标为(xo,yo),则%=x。-3x后+xo, 因为△y=f(x。+△x)-f(o) 令y=0x=2.则42.0).则sas=分×2×2=2 =(x0+△x)3-3(6+△x)2+(x0+△x)-(x后-3x 第24期3,4版参考答案 xo) =3x△x+3x(△x)2+(△x)3-6xAx-3(△x)2+△x 一、单项选择题1~4CBBA5~8ABBA 二、多项选择题9.AC;10.ABD;11.ABC. 所以=3+3x4+(4)2-6,-3Ar+1, 三、填空题 1215票4〔-2,2 所以f"(）=8=3号-6，+1， 所以切线方程为y-(x-3x后+x)=（3x后-6x+ 四、解答题 1)(x-x0) 15.a)4y=04812010 =48.1201. 因为切线过原点，所以x。-3x+ (2)函数y=f(t)在t1=4处的导数是48. x0=3x-6x6+0, 16.()号(m/s)； 即2x号-3x好=0，解得x0=0或x (2)物体在第1s末的舜时速度为6m/s. (3)经过2s该物体的运动速度达到14m/s. 所以切线方程为x-y=0或5x+ 17.解：(1)设人从C点运动到B点位移为xm,AB为身4y=0. 配2以想(c) 就以想细粉(0)熟(-2.3)。 (-00在 C)-+ (A)y=x-1 (-。00。 三，来功装粮石型 (L)l y'=2x+1,y )2x0 +1, "一 国明功装保熟 =-3x (D)-38-3 (8)113+2 =2axo- (B24 9 (A)0 (B) 四、解答题：本题共5小题，共77分 6 导数的运算同步核心素养测评 15.(13分)求下列函数的导数 (c)罗 (D) (1)y=n4x ;(2)y=x√T+x; ©数理报社试题研究中心 7.若pg≠0，直线∫(x)=px +1与曲线g(x) )=e-3相切于点 (xy0),则x0= ( (3)y=xcos(2x+）sin(2x+) 第I卷选择题（共58分) (A)1-3 (B)L-1 一、 、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知曲线f(x)=a√x在点(1，f(1))处的切线为y=2x+a (C)1-3 (D)1-1 q p P q -2,则实数a= ( 8.已知点P为函数f(x)=e2“的图象上一点，则点P到直线l: (A)1 (B)2 y=2x的距离的最小值为 (C)3 (D)4 2.函数y=x2sinx的导数为 (B)5 高中数学 (A)y'=2x+cosx (B)y'=x2cosx 1 (C)y'=2xcosx (D)y'=2xsinx +xcosx (C) 2 D)立 3.假设某地在20年间经济高质量增长，GDP的值p(单位：亿 高中数学· 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 选择性必修第二册 元)与时间（单位：年）之间的关系为p()=Po(1+10%)',其中P ( ) 为t=0时的p值.假定P。=2,那么在第I0个年头，GDP增长的速 9.可能把直线y=2x+m作为切线的曲线是 度大约为（精确到0.01亿元/年） (A)y-1 (B)y =cosx x 附：1.10≈2.59，当x取很小的正数时，ln(1+x)≈x (C)y Inx (D)y e (A)0.52亿元/年 (B)0.07亿元/年 16.(15分)已知f(x)=f'(1)x2-x+2lnx (人教 10.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即∫'(x)存在，且导函 选择性必修第二册（人教 (C)1.62亿元/年 (D)1.55亿元/年 (1)求∫'(1)并写出∫(x)的表达式； 数∫'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记∫”(x) A 4.现有一个圆柱形空杯子，盛液体部分的底面半径 版 =(f'(x))',若f"(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函 (2)记g(x)=2f(x)++x)+a,若曲线y=e+2x在 为2cm,高为8cm,用一个注液器向杯中注人溶液，已 同步 知注液器向杯中注入的溶液的容积V(单位：ml)关于 数.以下四个函数在(0,7) 上是凸函数的是 点(0,1)处的切线也是曲线g(x)的切线，求a的值 核 时间（单位：s)的函数解析式为V=π3+3π2(t≥ (A)f(x)=sinx+cosx (B)f (x)=Inx-2x 心素养测评 0),不考虑注液过程中溶液的流失，则当t=2时，杯中 (C)f(x)=-x3+2x-1 (D)f(x)=-xe* 溶液上升高度的瞬时变化率为 ( A版)同步核心素养测评 11.已知奇函数f(x)和它的导函数g(x)的定义域均为R,且 (A)4 cm/s (B)5 cm/s f(2-x)+∫(x)=4,则下列结论正确的有 (C)6 cm/s (D)7 cm/s (A)f(x+4)=f(x) (B)g(x)为偶函数 5.设函数f(x)=e+2sinx ,则曲线y=∫(x)在点(0,1)处的 (C)g(x)=g(2-x） (D)f(2024)=4048 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 第Ⅱ卷非选择题（共92分）》 ()古 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (c分 (D)号 12.已知函数f(x)=2,若f'(xo)=ln4,则x= 13.已知函数f(x)=xnx,角0为函数f(x)在点(e,f(e))处 6.已知函数f(x)=x3-4x,f(x)定义域为R,g(x)=2cosx 的切线的倾斜角，则sin6+2cos9 sin 0-cos 0 +石)，g(x,)定义域为(0，)，g(x)在(0，g()处的切线斜率与 14.(x)=sin 2x +cos2x,f(x)=fo(x),f(x)=f(x), (x)在(1，f(1))处的切线斜率相等，则xo= …,fn(x)=f(x),n∈N,则f34(x)=