精品解析：江苏省苏州市吴中区2021～2022学年下学期九年级学业质量调研试卷数学试题

2021-2022学年考试 初三数学 试卷分值：130分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡上相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．在下列扬州剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如下两图分别是用5个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 5. 下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若此扇形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的内心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度不相等．其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卡相应的横线上） 11. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000科学记数法表示为_________． 12. 分解因式：=_________________________． 13. 甲、乙两同学近期次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差分，乙同学成绩的方差分，则他们的数学测试成绩较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 14. 关于x的方程（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为_______． 15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____． 16. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是______． 17. 如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是______． 18. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______． 三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算：. 20. 解不等式组，并写出它的整数解． 21. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 22. 为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ． （3）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB． （1）求证：AE＝CD； （2）试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 24. 因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 25. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 26. 探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 . （1）如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为 ； ②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标. 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“奇点”． （1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 （填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （2）如图②是的内接三角形，D是上一点，连接，若．求证：点D是中边上的“奇点”； （3）如图③，中，，，，点D是边上的“奇点”，求线段的长． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m． ①求PE+EG的最大值； ②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年考试 初三数学 试卷分值：130分 考试用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在答题卷相应的位置上． 2．答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡上相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填在答题卡相应的位置上） 1. 的倒数是（ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的倒数是． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方及同底数幂除法法则计算即可得答案. 【详解】A.a4与a2不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B.a4与a2不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C.，计算正确，故该选项符合题意， D. a4÷a2=a2，故该选项计算错误，不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查合并同类项、幂的乘方及同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 3. 《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义，这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．在下列扬州剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】A．不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，不符合题意； B．是轴对称图形，直线两旁的部分能互相重合，符合题意； C．不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，不符合题意； D．不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 如下两图分别是用5个相同的正方体搭成的立体图形，则两个图的三视图中相同的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 左视图和俯视图 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是从左面看得到的图形，即可解答． 【详解】解：图1的主视图为底面是三个小正方形，上层的左侧是一个小正方形，图2的主视图是底层是三个小正方形，上层的右侧是一个小正方形，故主视图不同； 图1和图2的左视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形， 图1和图2的俯视图相同，均为底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5. 下列二次根式中，能与合并的二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式和化简二次根式为最简二次根式，先将每个二次根式化为最简二次根式，判断是否为的同类二次根式，即可判断各选项． 【详解】解：A. ，不能与合并，故该选项不符合题意； B. ，能与合并，故该选项符合题意； C. ，不能与合并，故该选项不符合题意； D. ，不能与合并，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知函数，则自变量的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于或等于0，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义、二次根式根式有意义的条件是解题的关键． 7. 如图所示，、、、是一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、，利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，可得中心角的度数，进而可得∠AOD的度数，再根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：连接、， ∵正多边形的每个外角相等，且其和为， ∴多边形的边数为：， ， ． ∵OA=OD ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正多边形的外角以及中心角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟记公式是解答本题的关键． 8. 如图，点C为扇形的半径上一点，将沿折叠，点O恰好落在上的点D处，且，若此扇形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接OD，易证△OAD是等边三角形，由弧长的比等于圆心角的比，可得扇形OBA的圆心角的度数，根据面积可得半径，由弧长公式可得答案． 【详解】解：连接OD，则OD=OA， 由折叠的性质可得OA=DA， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， 由， 可得 ∴∠BOD=20°， ∴∠AOB=80°， 又 ， 解得r=4， ， 故选C 【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，根据题意正确添加辅助线是解题的关键． 9. 如图，在四边形ABCD中，，，，，分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O，若点O是AC的中点，则CD的长为（ ） A. B. 5 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据基本作图，可得垂直平分，由垂直平分线的性质得出．再根据证明≌，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接， 由题可得，点和点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵点O是AC的中点， ∴OA=OC． 在与中， ， ∴≌（ASA）， ∴， ∴，． 在中， ∵， ∴， 即， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质的综合运用．由已知作图确定垂直平分是解决问题的关键． 10. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，以为斜边作等腰直角三角形．有下列四个结论：①；②；③当时，E为的内心；④若点F在上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度不相等．其中正确的结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，由此即可证明，即可判断①；根据是等腰直角三角形，可得，所以，所以，进而可以判断②；证明，进而可得，可得分别平分，得点E是角平分线的交点，进而可以判断③；根据正方形的性质可得当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合，点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段，，且点F与点E的运动时间相同，进而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故①正确； 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴分别平分， ∵， ∴平分， ∴点E是角平分线的交点， ∴E为的内心，故③正确； 如图，连接交于点O， ∵， ∴当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合， ∴点E的运动轨迹为线段，点F的运动轨迹是线段， ∵，且点F与点E的运动时间相同， ∴， ∴点F与点E的运动速度不相同，故④正确． 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把你的答案填在答题卡相应的横线上） 11. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，我国总人口大约为1412000000人，把数字1412000000科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用科学记数法表示数的方法即可求解． 【详解】解：1412000000用科学记数法表示为， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法，掌握用科学记数法表示数的方法是解题的关键． 12. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 13. 甲、乙两同学近期次数学单元测试成绩的平均分相同，甲同学成绩的方差分，乙同学成绩的方差分，则他们的数学测试成绩较稳定的是______(填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：∵甲同学成绩的方差分，乙同学成绩的方差分， ∴， ∴它们的数学测试成绩较稳定的是乙； 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 14. 关于x的方程（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据方程的解的概念，将代入原方程，然后利用等式的性质求解． 【详解】解：是该方程的根， ， 等式两边同时除以m得，， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键． 15. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出AC:AB＝AD:AC，即可得出结果． 【详解】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D， ∴CD＝BD＝3， ∴∠B＝∠DCB，AB＝AD＋BD＝5， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCB＝∠B， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10， ∴AC＝ 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键． 16. 如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得，由此可得． 【详解】解：根据题意由勾股定理得： ∴AB2=AC2+BC2， ∴AC⊥BC，∠C=90°， 结合网格可知D分别为AB的中点， ∴CD=AD=DB， ∴∠B=∠DCB， 又∵∠B+∠DCB=∠ADC， ∴, ∴ ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出． 17. 如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据，求得，然后根据阴影部分面积等于求解即可． 【详解】如图，连接， 点P是线段OB的中点，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2， PQ⊥AB， 扇形BOD的圆心角为90°， 图中阴影部分的面积是 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，求得是解题的关键． 18. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出是的中位线，所以取到最大值时，也取到最大值，就转化为研究也取到最大值时的值，根据三点共线时，取得最大值，解出的坐标代入反比例函数即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 在中， 分别是的中点， 是的中位线， ， 已知长的最大值为， 此时的， 显然当三点共线时，取到最大值：， ， ， 设，由两点间的距离公式：， ， 解得：（取舍）， ， 将代入， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究取最大值时的值． 三、解答题：（本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19. 计算：. 【答案】10 【解析】 【分析】根据零指数幂的性质，负整指数幂的性质，二次根式的性质，和特殊角的锐角三角形函数值可直接求解. 【详解】tan30° =1+9+3-9 =10+3-3. =10 20. 解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】；整数解为 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为． 21. 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式化简求值的步骤和方法进行即可 【详解】解：原式= 根据分式有意义的条件可知， ∴当x取范围内的整数时，只有x=0． ∴当x=0时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键． 22. 为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空： ， ． （2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ． （3）市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率． 【答案】（1）20，0.18； （2）4.92，4，5 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，首先计算得到被调查样本数，再根据频数和频率的性质计算，即可得到答案； （2）根据平均数、众数、中位数的性质计算，即可得到答案； （3）根据用树状图求概率的方法计算，即可得到答案． 【小问1详解】 （1）抽查的户数为：（户）， ，； 【小问2详解】 这些家庭中月平均用水量数据的平均数（吨）， 众数是4吨，中位数为（吨）； 【小问3详解】 画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种， ∴恰好选到甲、丙两户的概率为． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB． （1）求证：AE＝CD； （2）试判断AC与ED的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）AC＝ED，见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，再根据∠B＝∠AEB，可证得AE＝AB，据此即可证得结论； （2）根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC，可证得△ADC≌△DAE（SAS），即可证得AC＝ED． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵∠B＝∠AEB， ∴AE＝AB， ∴AE＝CD； 【小问2详解】 解：AC＝ED； 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵∠B＝∠AEB， ∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC， ∴AE＝CD，且∠DAE＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ADC≌△DAE（SAS）， ∴AC＝ED． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的性质是解决本题的关键． 24. 因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为10t，每辆大型冷链车的运货量为15t． 25. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． 图1 （1）求的度数； （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位） （参考数据：，，，） 【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析 【解析】 【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解； （2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断． 【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形， ∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)， 在Rt△BMK中， ， ∴∠BMK， ∴∠MBK=90-=23.6， ∴∠ABC=23.6+90=113.6， 答：∠ABC的度数为113.6； （2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90， ∴∠BMN，∠BMK， ∴∠NMH， 在Rt△NMH中， ， ∴(cm)， ∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)， ∵， ∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 26. 探究与应用：在学习几何时，我们可以通过构造基本图形，将几何“模块”化.例如在相似三角形中，“K”字形是非常重要的基本图形 . （1）如图①，已知：∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，求证：△ABC∽△DCE； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： ①如图②，已知点A（－2，1），点B在直线y＝－2x＋3上运动，若∠AOB＝90°，则此时点B的坐标为 ； ②如图③，过点A（－2，1）作x轴与y轴的平行线，交直线y＝－2x＋3于点C，D，求点A关于直线CD的对称点E的坐标. 【答案】（1）见详解 （2）①；②E（，） 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质就可以求出∠B=∠DCE，再由∠A=∠D=90，就可以得出结论； （2）①作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，可以得出，可以得出，设点B的坐标为（x，-2x+3），建立方程求出其解就可以得出结论； ②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M，设E（x，y），先可以求出C、D的坐标，进而可以求出DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1，DE=AD=6，CE=AC=3．再由条件可以求出，利用相似三角形的性质建立方程组求出其解就可以得出结论． 【小问1详解】 证明：∵∠BCE=90， ∴∠ACB+∠DCE=90． ∵∠A=90， ∴∠ACB+∠B=90， ∴∠DCE=∠B． ∵∠A=∠D， ∴； 【小问2详解】 解：①作轴于点G，轴于点H ∵，，， ∴， ∴△AGO∽△OHB， ∴． ∵A（-2，1）， ∴AG=1，GO=2． ∵点B在直线y=-2x+3上， ∴设点B的坐标为（x，-2x+3）， ∴OH=x，BH=-2x+3， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点E作EN⊥AC的延长线于点N，过点D作DM⊥NE的延长线于点M， ∵A（-2，1）， ∴C点的纵坐标为1，D点的横坐标为-2， ∴C（x，1），D（-2，y）， ∴1=-2x+3，y=-2×（-2）+3， ∴x=1，y=7， ∴C（1，1），D（-2，7）． 设E（x，y）， ∴DM=x+2，ME=7-y，CN=x-1，EN=y-1， 由对称可知：DE=AD=6，CE=AC=3 ∵∠M=∠N=∠DEC=90°， ∴， ∴， ∴， ∴解得： ∴E（，）． 【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了相似三角形的判定及性质的运用，轴对称的性质的运用，方程组的运用，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点与该边所对顶点连线长度的平方，则称这个点为三角形该边的“奇点”．如图①，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“奇点”． （1）关于直角三角形斜边上的“奇点”个数有 （填写正确的序号）． ①1个；②2个；③1个或2个；④1个或2个或3个． （2）如图②是的内接三角形，D是上一点，连接，若．求证：点D是中边上的“奇点”； （3）如图③，中，，，，点D是边上的“奇点”，求线段的长． 【答案】（1）③ （2）见解析 （3）的长为2或 【解析】 【分析】（1）分类讨论Ⅰ、当为非等腰直角三角形时，作边BC上的高AD和中线AE，根据题意易证，即可得出．再由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，也可得到．即证明此时有2个奇点；Ⅱ、当为等腰直角三角形时，由于此时高和中线重合，故此时有1个奇点．由此即可选择； （2）延长交于点E，连结，由垂径定理可得，再由圆周角定理可得，即可证明，得出结论，即，即证明点D是中边上的“奇点”； （3）作于点H，根据题意可设，则，则，即可求出，由此可得到，的长．再设，分类讨论①、当点D在点H左侧时，由“奇点”定义可知，，再结合勾股定理即可得出，即，求出a即可求出的长；②、当点D在点H右侧时，同理可得，求出a即可求出的长． 【小问1详解】 解：Ⅰ、当为非等腰直角三角形时，如图，分别作边上的高和中线， 由图可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 即点D是中BC边上的“奇点”， ∵为中线， ∴， ∴， 即E点也是中BC边上的“奇点”． 故此时有2个“奇点”； Ⅱ、当为等腰直角三角形时， ∵高和中线重合， ∴此时有1个“奇点”； 综上，选③； 【小问2详解】 如图，延长交于点E，连接 ， ， ，， ， ， 即， ， ∴点D是中边上的“奇点”， 【小问3详解】 作于H， 由，，可设，则，， ， ， ，，， 设， ①当点D在点H左侧时， ∵点D是边上的“奇点”， ， ， 解得：或（舍去）， ， ②当点D在点H右侧时， ， ， 解得：或（舍去）， ， 综上所述：的长为2或． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m． ①求PE+EG的最大值； ②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3； （2）①；②-1或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可； （2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可； ②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3； 【小问2详解】 ①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A（﹣3，0）， 设直线AC的解析式为y＝kx+n， 把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得：，解得：， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3， ∵OA＝OC＝3， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°， 过点E作EK⊥y轴于点K， ∵EG⊥AC， ∴∠KEG＝∠KGE＝45°， ∴EG＝＝EK＝OD， 设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3）， ∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+， 由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0， 当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为； ②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N， ∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°， ∴∠DEG＝∠DNE＝45°， ∴DE＝DN． ∵∠KGE＝∠ONG＝45°， ∴OG＝ON， ∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1， ∴MF＝1， ∵∠KGF＝45°， ∴GF＝＝MF＝， ∵∠FDG＝45°， ∴∠FDN＝∠DEG． 又∵∠DGF＝∠EGD， ∴△DGF∽△EGD， ∴＝， ∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m， 在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|， OD＝﹣m， 在Rt△ODG中， ∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9， ∴5m2+12m+9＝﹣2m， 解得m1＝﹣1，m2＝． 【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $