2026年中考第二次模拟考试数学检测卷（江苏南通专用）

2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 ▣ 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂☐ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分）》 1[AJ[BJ[CI[D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6A][B]IC]ID] 3[AJ[B][CI[D] 4[AJ[B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分） 8 9. 10. 11 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.(10分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) A A D 0 B B∠ E F E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E F Q. B D D N 图(1) 图(2) 22.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) F D C 0 E 0 A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) A C 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1[W1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题2分，共16分） 1.A][B][CI[D] 5.A][B][CJ[D1 2[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 3.A1[B1[CI[D] 4.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题2分，共20分) 9 10. 11 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.(10分) 18.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(10分) 20.(10分) A D D B C B∠ C B E 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) E E M 0° Q. B D D N 图(1) 图(2) 22.(10分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D A E B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(13分) 0 F C N E M A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(13分) VA C E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 2．2025年以来我国民生保障更加有力，居民收入增长和经济增长同步，脱贫攻坚成果巩固拓展，实施学前一年免费教育政策、惠及1400万儿童，全面实施育儿补贴制度、惠及3000多万婴幼儿．其中1400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 5．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 7．在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，E为边上一动点，于点F，连接并延长，交的延长线于点M，若则的长为（    ） A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11．因式分解：___________． 12．如图，点在上，交于点．若，则的度数为______． 13．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 14．对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是________． 15．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 16．如图1，生活中常见的手推车由车轮、车身、车柄三部分组成，其示意图如图2，已知车身为矩形，，车柄长为，车身下边缘经过车轮的圆心O，，上边缘与相切，是车柄与所成的固定角， ，当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为______．如图3，车夫卸货时，手推车底部着地，此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了______． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17．（本题10分）计算和化简 (1)计算： (2)化简： 18．（本题10分）学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________；___________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 19．（本题10分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20．（本题10分）已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 21．（本题10分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 22．（本题10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题12分）折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定．图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图．已知，，，为凳面，处连接凳子靠背，凳脚为点和点，且．请求出靠背连接处点距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 24．（本题13分）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且． (1)求证：，； (2)求证：平分； (3)求证：． 25．（本题13分）已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 2．2025年以来我国民生保障更加有力，居民收入增长和经济增长同步，脱贫攻坚成果巩固拓展，实施学前一年免费教育政策、惠及1400万儿童，全面实施育儿补贴制度、惠及3000多万婴幼儿．其中1400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 5．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 7．在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，E为边上一动点，于点F，连接并延长，交的延长线于点M，若则的长为（    ） A． B． C．2 D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11．因式分解：___________． 12．如图，点在上，交于点．若，则的度数为______． 13．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 14．对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是________． 15．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 16．如图1，生活中常见的手推车由车轮、车身、车柄三部分组成，其示意图如图2，已知车身为矩形，，车柄长为，车身下边缘经过车轮的圆心O，，上边缘与相切，是车柄与所成的固定角， ，当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为______．如图3，车夫卸货时，手推车底部着地，此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了______． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17．（本题10分）计算和化简 (1)计算： (2)化简： 18．（本题10分）学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________；___________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 19．（本题10分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20．（本题10分）已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 21．（本题10分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 22．（本题10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 23．（本题12分）折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定．图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图．已知，，，为凳面，处连接凳子靠背，凳脚为点和点，且．请求出靠背连接处点距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 24．（本题13分）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且． (1)求证：，； (2)求证：平分； (3)求证：． 25．（本题13分）已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）。 1．计算的结果等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则计算，即可作答． 【规范解答】解：， 故选：B． 2．2025年以来我国民生保障更加有力，居民收入增长和经济增长同步，脱贫攻坚成果巩固拓展，实施学前一年免费教育政策、惠及1400万儿童，全面实施育儿补贴制度、惠及3000多万婴幼儿．其中1400万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查科学记数法的表示方法，先将1400万转换为普通整数，再根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数 【规范解答】解：∵万=， 将表示为科学记数法，取，满足，原数小数点向左共移动位，可得， ∴ 3．如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据平行线的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，从而推出，即可求解． 【规范解答】解：， ，， ， ， ， ． 4．如图1，小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向，她看到家里的钟表如图2，想到如果把家的位置看成钟表表盘的中心，则她可以说学校在家的（    ） A．1点钟方向 B．2点钟方向 C．7点钟方向 D．8点钟方向 【答案】B 【思路引导】此题考查了方位角，钟面角， 首先求出相邻两个数之间的夹角为，进而根据方位角求解即可． 【规范解答】∵钟表一圈，共有12个数字， ∴平均分成12份 ∴相邻两个数之间的夹角为 ∵小萍从地图上测得学校在她家的北偏东方向， ∴她可以说学校在家的2点钟方向． 故选：B． 5．点在一次函数的图象上，其中为实数，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】先根据一次函数的系数判断函数增减性，再作差比较两个点的横坐标大小，结合增减性即可得到与的大小关系． 【规范解答】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， 对两个点的横坐标作差得，； ∵， ∴，即， ∵点都在该一次函数图象上，且，随增大而减小， ∴． 6．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题主要考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案． 【规范解答】解：由题意可得此几何体是圆锥， 底面圆的半径为：1，母线长为：3， 故这个几何体的侧面积为：． 故选：A． 7．在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据阴影部分的面积进行计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 8．如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先利用圆内接四边形对角互补求出，连接并延长交于点，连接，构造直径所对的圆周角为直角，再利用同弧所对圆周角相等求出，最后在Rt中求解． 【规范解答】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长交于点，连接，如图， ∴为的直径， ∴， ∵的半径为， ∴， 又∵， ∴在中，． 9．阿基米德折弦定理：如图1，与是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，于点N，则点N是折弦的中点，即．如图2，半径为5的圆中有一个内接矩形，，点M是的中点，于点N，若矩形的面积为30，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，进一步分析即可得到答案． 【规范解答】解：如图，连接，，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为5， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴． 10．如图，在正方形中，E为边上一动点，于点F，连接并延长，交的延长线于点M，若则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】先由正方形的性质得线段长度相等，角相等，由勾股定理的长；以正方形的顶点B为原点、所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过F点作于点G，过M点作交的延长线于点N；然后确定各点坐标，用待定系数法求直线和直线的解析式；联立两个解析式求出交点M，最后在中用勾股定理求出长，即可得出的长，得出结论． 【规范解答】解：在正方形中，， ，， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，， 以正方形的顶点B为原点、所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，过F点作于点G，过M点作交的延长线于点N，如图： 则，，， 在中， ， ， ， 点坐标为， 设直线的解析式为，把E点代入，得： ，解得：， 设直线的解析式为， 设直线的解析式为，把F点代入，得： ，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ， 在中，由勾股定理得：， ． 故答案为： A． 【考点剖析】本题主要考查的是正方形性质、坐标系的应用、待定系数法求直线解析式，直线方程的求解及两点间距离公式的运用．建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11．因式分解：___________． 【答案】 【思路引导】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得答案． 【规范解答】解： ． 12．如图，点在上，交于点．若，则的度数为______． 【答案】/50度 【思路引导】根据两直线平行，同旁内角互补，得到，由垂直可得，再结合三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， ， ． 13．甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【答案】 【思路引导】设步行速度为，则骑自行车的速度为，然后根据时间相同建立分式方程． 【规范解答】解：设步行速度为，则由题意得，． 14．对于正整数x，规定函数，在平面直角坐标系中，将点中的m，n分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中m，n均为正整数），例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，经过第3次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈．按上述规定，将点经过第2026次运算后得到点是________． 【答案】 【思路引导】先计算点每次运算后的结果，找出循环周期，再根据总次数确定最终结果 【规范解答】解：初始点为， 第1次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为偶数，，得到点； 第2次运算：横坐标为偶数，，纵坐标为奇数，，得到点； 第3次运算：横坐标为奇数，，纵坐标为偶数，，得到点； 可得规律：从第1次运算开始，每次运算为一个循环，运算次数为奇数时结果为，运算次数为偶数时结果为， 是偶数， 经过第次运算后得到的点是 15．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且，连接OA、OB，则的面积是__________． 【答案】 【思路引导】作轴于点，轴于点，则，可得，设，则，根据计算即可． 【规范解答】解：作轴于点，轴于点，则， ∵， ∴， 设，则， 根据题意可得，， ∴ ． 16．如图1，生活中常见的手推车由车轮、车身、车柄三部分组成，其示意图如图2，已知车身为矩形，，车柄长为，车身下边缘经过车轮的圆心O，，上边缘与相切，是车柄与所成的固定角， ，当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为______．如图3，车夫卸货时，手推车底部着地，此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了______． 【答案】 80 【思路引导】过点作交于点，交地面于点，过点作垂直于地面于点，延长交于点，由题意得，，，，则，再解即可求解，再由求解第一问；过点，，作，，垂直于地面，垂足为，延长交于点，过点作于点，过点作于点，则，求出，继而可得，则，设，则，则，然后证明，解直角三角形可得，由面积法得到，再对运用勾股定理建立方程，即可进行后续求解． 【规范解答】解：过点作交于点，交地面于点，过点作垂直于地面于点，延长交于点， 由题意得，，，， ∴， ∴ ∴， ∴当手推车车身与地面保持水平时，车柄顶端E离地高度为； 过点，，作，，垂直于地面，垂足为，延长交于点 ，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ， ∴ ∴此时车柄顶端E比车身与地面保持水平时升高了． 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17．（本题10分）计算和化简 (1)计算： (2)化简： 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】（1）先计算零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；     （2）先计算括号里的减法，再计算乘法即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（本题10分）学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88． 八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 83 八年级 85 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________；___________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生人，八年级有学生人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，，． (2)我认为八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由见解析 (3)估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 【思路引导】（1）先求出七年级20名学生竞答在C、D组中的数据的人数，再利用中位数定义求出的值，利用众数定义求出的值，再求出七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据的人数，即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【规范解答】（1）解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组中的数据有（人）， ∵七年级竞答成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，85， ∴， ∵八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是84，共计5次， ∴， 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据有8人， ∴七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据有（人）， ∴， ∴； （2）解：该校八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级竞答成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数， 所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好； （3）解：（人）， 答：估计该估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于分的学生人数共人． 19．（本题10分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 20．（本题10分）已知的两边与的两边分别平行，即，试探究：      (1)如图1，与的关系是 ___________ ； (2)如图2，写出与的关系，并说明理由； (3)根据上述探究，请归纳概括出一个真命题． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 【思路引导】（1）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （2）根据平行线的性质得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）可推出，如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如下图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如下图，      ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 21．（本题10分）教材改编题改编自人教版九上P100 已知过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等． 【课本再现】 （1）如图（1），的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．求，，的长．请你完成解题过程． 【深入探究】 （2）如图（2），在（1）的条件下，点P为上的一动点，过点P的切线分别交，于点M，N． ①判断的周长是否为一个定值，若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． ②当时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①是，18；② 【思路引导】本题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质和判定，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． （1）设，则，，，列方程即可求解，进而可求相关线段的长； （2）①根据切线长定理即可证明结论；②由证明，即可求解． 【规范解答】(1)设，则，，． 由， 可得． 解得． ，，．     (2)①是．     与相切于点 P， ，． 的周长为 ．                  ②， ． 即 ， 解得 22．（本题10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数与坐标轴分别交于点，．若点的纵坐标为，点的横坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，或． 【思路引导】（1）利用点的坐标求出一次函数的表达式，进而求出点的坐标，再利用点的坐标求出反比例函数的表达式； （2）先求出点和点，设点，则，利用割补法表示出的面积，解方程求出的值． 【规范解答】（1）解：由题意可得，点的坐标为， 将代入，得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：假设存在，如图，设点的坐标为， 联立一次函数与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 化简，得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点的坐标为或． 23．（本题12分）折叠凳是一种常见的便携式坐具，其支撑结构利用几何原理保持稳定．图1展示了一种折叠凳的实物图，图2是其结构示意图．已知，，，为凳面，处连接凳子靠背，凳脚为点和点，且．请求出靠背连接处点距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【思路引导】如图，过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形三线合一性质得，继而得到，，进一步得，代入数据计算即可． 【规范解答】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴靠背连接处点距地面的高度为． 24．（本题13分）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，、分别交于点M、N，连接、，且． (1)求证：，； (2)求证：平分； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）利用正方形对称性，由、、，证，得；结合得，再由四边形内角和得，故； （2）由，得、、、四点共圆，故；结合得，进而即可得到，则可证明； （3）由、，证；结合、得，故，进而即可得证． 【规范解答】（1）证明：四边形是正方形， ，，，， 又∵， ． ，． 又， ，， ∵， ∴， ． ． ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴， 、N、E、C四点共圆， ， 四边形是正方形， ∴， ， ，即平分； （3）证明：∵，且， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ． 由（2）得，． ， ． ，即． 【考点剖析】本题以正方形为载体，综合全等三角形、四点共圆、相似三角形等核心知识，通过角度转化与相似比例证明线段与角的关系，体现了转化化归与几何建模的数学思想． 25．（本题13分）已知，抛物线交正半轴于点（A左B右），交轴正半轴于点，连接； (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，点为第一象限点右侧抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为，的面积为，求与间的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点为延长线上一点，连接交轴于点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）把代入解析式可得，再由，可求出点C的坐标，即可求解； （2）作轴于K，连接，根据，即可求解； （3）先证明轴，可得，设，证明，可得，作于，可得，且，，从而得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：当时，且， ， ， ， ， ， ∴， 把代入得：， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图：作轴于K，连接， 根据题意得：，则，， ． （3）解：，， ， ∵， ， ， 轴， ， ， ， 设， ∵ ， ， ， ， ， 如图：作于， ， ， ∵， ∴， ∴，， ， ，即 ， ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试检测卷 数学·参考答案 (考试时间：120分钟，分值：150分) 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑)。 1 2 3 4 6 8 B B B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，第11-12每小题3分，第13-16每小题4分，共22分）。 11.2(x+1)(x-1) 12.50°/50度 13.450s= 14.（1,2) 15.号 16.80 15+9V2 三、解答题（本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17.(本题10分)(1)解：原式=1+4+2×号-(V反-1)=1+4+反-V2+1=6: 2)解：原式=器号=希-a-1 1 18.(本题10分)(1)解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组中的数据有20×(20%+10%)=6（人）， ,七年级竞答成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和 11个数据是83,85， a=83485=84, 2 ,八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是84，共计5次， ∴.b=84, 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据有8人， ∴.七年级20名学生竞答成绩在A组中的数据有20-8-6=6（人）， 1/8 ∴m%=号×100%=30%， ∴.m=30; (2)解：该校八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级 竞答成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数， 所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好； (3)解：720×30%+800×哥=416（人）， 答：估计该估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共416人. 19.(本题10分)(1)解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； (2)解：画树状图如下： 开始 A B C D BCDACDABDABC 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， :“小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为=是=吉 20.(本题10分)(1)解：∠B=∠E,理由如下： 如下图， D B E 图1 ,AB‖DE ∠B=∠1， 又，BCEF, ∠1=∠E, ∴∠B=∠E 故答案为：∠B=∠E: 2/8 (2)解：∠B+∠E=180°，理由如下： 如下图， A 0 B C E 图2 AB‖DE, ∠B+∠1=180°， 又，BC‖EF, ·∠1=∠E, .∠B+∠E=180°， 故答案为：∠B+∠E=180°； (3)解：由题意得：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补. 21.(本题10分)(1)设AF=x,则AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-X· 由BD十CD=BC, 可得9-x+13-x=14. 解得x=4, AF=4,BD=5,CE=9. (2)①是， :MN与⊙O相切于点P, MP=ME,NP=ND. ·△CMN的周长为 CM+CN+MN =CM+CN+MP+NP=CM+CN+ME+ND=CE+CD=9+9=18. ②：MN‖AB, ·△CMN△CAB. 3/8 会=器即开品=些， 18 △CAB的周长 9, 解得MN=号 22.(本题10分)(1)解：由题意可得，点D的坐标为(0,2)， 将D(0,2)代入y=x+b,得b=2, .一次函数的表达式为y=x+2, 将x=-3代入y=x+2,得y=-1, ∴.点A的坐标为(-3，-1)， 将A(-3-1)代入y=尝，得， -1=奇， 解得k=3, ∴反比例函数的表达式为y=景； (2)解：假设存在，如图，设点E的坐标为(t0), B 联立一次函数与反比例函数，得， (y=x+2 (y= （x=-3(x=1 解得y=-1或y=3, ∴点B的坐标为(1,3)， 将y=0代入y=x+2,得x=-2, .点C的坐标为(-2,0)， ∴.CE=|t-(-2)|=|t+2， :S△ABE=S△AcE+S△BcE=CE·|yAl+CE·|ygl, 4/8 ∴号×|t+2×1+专×|t+2×3=3, 化简，得t+2=昌， t+2=±， 解得t=一或-， ∴假设成立，点E的坐标为(-寺，0)或(-3,0)： 23.(本题12分)解：如图，过点A作AG⊥BC于点G,过点D作DH⊥BC于点H, B .AB=AC,∠ABC=65°，BC=43, BG=BC, AB-- BC BC 055= 20865, 'AD=号AB, ∴BD=AB+4AD=AB+AB=号AB=号×=器， 11BC ÷DH=BD·sin∠ABC=6×sin65°=贵×BC×tan65, 11BC ∴DH≈0×43×2.14=101.222≈101(cm), ∴，靠背连接处点D距地面BC的高度为101cm。 24.(本题13分)(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·AB=BC,∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=∠BCD=90°，ABIICD, 又：BN=BN, :△NBA≌△NBC(SAS). ·AN=CN,∠BAN=∠BCN 又：EN=CN, ·AN=EN,∠NEC=∠NCE=∠BAN, ,∠NEC+∠BEN=180°， 5/8 ∴.∠BAN+∠BEN=180°， ·∠ABC+∠ANE=180°. ∠ANE=90°. AN⊥NE (2)证明：由(1)得，∠ANE=90°， .∠FNE=∠FCE=90°， ·F、N、E、C四点共圆， ∠NFE=∠NCE=∠NAB, :四边形ABCD是正方形， .ABICD, ·∠DFN=∠NAB, :∠DFN=∠NFE,即AF平分∠DFE; (3)证明：AN=EN,且∠ANE=90°， .△ANE为等腰直角三角形， ∠PDN=∠NAE=450,是=号 又，∠DNF=∠ANM, ·∠AMN=∠AFD. 由(2)得，∠AFD=∠AFE=∠AMN. :∠MAN=∠FAE, ·△AMN∽△AFE. 鉴=整=号，即ER=V反MN: 25.(本题13分)(1)解：当y=0时，ax2-7ax+10a=0且a≠0， .x2-7x+10=0, ·81=2,82=5, A(2,0),B(5,0), ·0A=2, :tan∠AC0=号=-器， .0C=5, 6/8 .C(0,5), 把C(0,5)代入y=ax2-7ax+10a得：10a=5, 4a=, ∴抛物线的解析式为y=x2-x+5, (2)解：如图：作PK⊥x轴于K,连接OP, 根据题意得：P(tt2-号t+5),则PK=t2-t+5,0K=t, :S△PBc=S△OPC+S△OPB-S△BoC =0C·OK+0B·PK-0C0B =号×5t+吉×5(3t2-号t+5)-吉×5×5 =t2-空t S=t2t. (3)解：：0B=OC,∠B0C=90°， ∠0BC=∠BC0=45°， '2∠BC0-∠BPE=∠PBE, 90°-∠BPE=∠PBE, ·∠PBE+∠BPE=90o ∠PEB=90o, ·PE⊥x轴， "∠DBE=∠0BC=45o, ·∠BDE=45°=∠DBE, ·DE=BE=t-5, 设∠ADB=C, I∠PDA=∠PBC .∠PDA=45°+=∠PBC, 7/8 ∠PB0=90°+， ·∠PBE=90o-x, ·∠BPE=X=∠ADB, tan∠BPE=tan∠ADB, 如图：作AM⊥BC于M, M 入B A ·∠AMB=90°， ·∠BAM=∠ABM=45°=∠BDE=∠DBE, .A(20),B(5,0), ∴AB=5-2=3, :AM=BM=AB×sin∠ABC=婴，BD=VE8B=E(t-5), DM=BD+8M=反t-9, 9 小微=器.即后平 4t=8, ÷P(8,9). 8/8