2026年中考数学第二轮专题复习之选择题复习——17：《相似三角形及黄金分割》

2026 年中考第二轮复习 选择题专题 17.相似三角形及黄金分割   本课时是中考数学二轮复习几何模块的高频必考点与核心基础板块，在全国中考数学选择题中固定考查 1-2 题，分值 3-6 分，是几何得分的基础盘，更是破解四边形、圆、锐角三角函数、二次函数几何综合压轴题的核心工具。二轮复习中，本课时以 “黄金分割的定义与应用”“相似三角形的判定、性质与模型应用” 为两大核心主线，核心目标是实现基础题零失误、中档题秒破题、压轴题稳拿分，彻底解决选择题 “会做易错、思路卡顿、耗时过长” 的核心痛点，全面强化学生的模型识别、比例运算、逻辑推理与实际建模四大核心能力。 一、题型特点 考点分层清晰，适配二轮梯度复习本课时题目严格遵循中考命题逻辑，形成三级梯度：基础题（1-3 题）聚焦黄金分割的定义计算、相似三角形判定定理的直接应用，适配全员保底得分；中档题（4-10 题、20-25 题）核心考查相似三角形的性质应用、平行线分线段成比例、位似图形的计算，以及相似三角形在实际生活中的建模应用，是二轮复习的核心突破点；拔高压轴题（11-19 题、26-30 题）以动态相似、线段最值、多结论正误判断、相似与函数结合为核心，是选择题的核心拉分点，完全贴合中考 “基础保分、中档拉分、拔高区分” 的命题规律。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖超 90% 的题目围绕中考相似三角形四大核心模型命题，且均以选择题的形式做轻量化考查：平行线背景下的 “A 型”“X 型” 相似（4 题、5 题、20-25 题实际应用题）、直角三角形背景下的 “母子型” 相似（14 题、16 题）、一线三垂直（K 型）相似（15 题、18 题）、手拉手旋转相似（28 题、29 题），二轮复习中可通过模型识别实现 “见题识型、秒判相似”，大幅缩短解题时间。 场景化命题鲜明，贴合新课标核心素养黄金分割高频结合人体比例、自然图形、建筑设计等生活场景（1-3 题），相似三角形深度融合杠杆原理、凸透镜成像、塔高测量、路灯投影、古代测高术等实际应用场景（20-25 题），摒弃纯理论计算，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学应用核心素养” 的考查要求。 陷阱设置隐蔽，区分度极强选择题无解题步骤、无过程分，命题人高频设置隐蔽易错点：黄金分割的长短段混淆、相似比与面积比的平方关系遗漏、相似判定定理的误用、比例式对应边错配、动态问题的多解漏解，极易出现 “知识点掌握但题目做错” 的隐性失分，是二轮复习中易错点复盘的核心重点。 题型创新多元，与后续考点深度联动除传统考点外，高频出现相似与二次函数结合的关系式推导题（12 题）、折叠背景下的动态相似最值题（14 题、16 题）、正方形背景下的多结论判断题（18 题、26-30 题），题目本身既考查相似核心知识，又为后续的几何综合压轴题做铺垫，是二轮复习中打通几何模块的关键衔接点。 二、答题要点 黄金分割类：先定边界，再套公式，杜绝漏解第一步先锁定题干核心限定：明确 “长段 / 短段” 的大小关系（如AP>BP），再套用核心公式：长段长度=全段长度×≈0.618×全段，短段长度=全段长度×；无图题需注意黄金分割的双解情况，线段上存在两个黄金分割点，避免漏解。 相似判定类：先找定角，再配条件，快速锁定优先挖掘题干中的隐含等角：公共角、对顶角、平行线的内错角 / 同位角、同角的余角 / 补角相等，优先用AA（两角对应相等）判定相似，这是中考选择题中最高频的判定方法；有边的比例关系时，验证夹角相等，用 SAS 判定；三组边对应成比例用 SSS 判定；直角三角形可优先用 HL、AA 判定。 模型速解：先识模型，再用结论，提速破题见平行线，直接锁定 “A 型”“X 型” 相似，直接套用 “平行线分线段成比例” 定理，无需重复证明相似；见双垂直直角三角形，直接用 “母子型相似” 结论，直角边的平方等于其在斜边上的射影与斜边的乘积；见共线直角顶点，直接构造 “一线三垂直” 相似，快速列比例式。 性质应用：先定相似比，再分维度用，避免混用先通过对应边确定相似比k，再严格遵循性质：对应边、对应高 / 中线 / 角平分线、周长的比=相似比k；面积比=相似比的平方k2，选择题中可直接套用结论，避免复杂运算，同时注意相似比的前后项与三角形的对应关系，不可颠倒。 多结论判断题：先易后难，排除法提速遵循 “先证基础相似、再递推线段 / 角度 / 面积结论” 的顺序，先判断无需复杂计算的基础结论，再验证复杂的最值、比例结论；用排除法快速排除错误选项，动态题可通过特殊位置法（如动点到端点、中点）验证结论正误，大幅缩短解题时间。 实际应用题：先建模，再转化，精准计算先将实际场景转化为几何图形，通过平行线、垂直关系找到相似三角形，再将题干中的实际长度对应到几何图形的边长中，列比例式求解；注意单位统一，避免因单位不统一导致计算错误。 三、避坑指南 黄金分割核心概念坑：定义混淆、公式错用最高频易错点：颠倒黄金分割的比例关系，误将 “短段：长段 = 长段：全段” 记为 “长段：短段 = 长段：全段”；忽略题干中长短段的限定，用短段公式计算长段长度；记错黄金比核心数值，将​误写为，导致全盘计算错误。 相似判定定理坑：误用条件、逻辑不成立严禁使用 “SSA（两边对应成比例 + 非夹角相等）” 判定一般三角形相似，这是本课时最高频的易错点；HL 定理仅限直角三角形使用，不可用于一般三角形；SAS 判定中，未验证角是两组对应边的夹角，直接判定相似，导致逻辑错误；对应顶点顺序混乱，导致相似三角形的对应边、对应角匹配错误，比例式列写完全颠倒。 性质应用坑：比例混用、计算失误核心易错点：误将相似三角形的面积比等同于相似比，忘记平方运算；混淆周长比与面积比的对应关系，用面积比直接求对应边的长度；相似比的前后项与三角形对应关系颠倒，导致计算结果完全相反；忽略 “对应线段” 的限定，用非对应高、中线的长度列比例式。 审题类坑：遗漏限定、漏解失分无图几何题中，忽略点在线段上 / 线段延长线上的两种情况，导致双解问题漏解；忽略题干中 “动点不与端点重合”“在射线 / 直线上” 等位置限定，求解出不符合题意的无效解；实际应用题中，忽略单位不统一的问题，直接列比例式计算，导致结果错误；看错题干中的 “最大值 / 最小值”“增大 / 减小” 等关键表述，答非所问。 多结论判断坑：结论误用、逻辑断层前一问的结论仅在特定条件下成立，却直接套用到其他结论的推导中，导致逻辑断层；忽略图形中的隐含条件（如正方形的对角线平分内角、等腰三角形三线合一），无法锁定相似关系；将全等三角形的性质与相似三角形的性质混用，导致结论判断错误。 本课题二轮复习的核心逻辑是 “抓定义、建模型、练技巧、破易错”，核心是让学生不仅掌握相似三角形与黄金分割的基础知识点，更能形成 “模型识别→快速破题→精准避坑” 的标准化解题思维，让相似三角形成为学生破解几何题的 “万能工具”，而非单纯的得分点。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、错题复盘、应试提速” 四大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦黄金分割的核心定义、相似三角形五大判定定理的规范应用，重点纠正学生的概念混淆、公式记错等基础错误，通过基础题限时训练，确保所有学生能快速、准确完成基础题，实现基础题 100% 得分，杜绝概念性、计算性的低级失分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心相似模型为抓手，通过 “一题多解、多题归一” 的专项训练，让学生形成 “见图形→识模型→用结论” 的条件反射，能快速识别平行线、直角三角形、折叠、旋转等背景下的相似模型，熟练运用相似性质解决比例计算、周长面积求解、实际建模问题，实现中档题稳拿分、快解题。 拔高层：综合突破，拆解压轴针对尖子生，聚焦中考高频的动态相似最值题、正方形背景多结论判断题、相似与函数结合题，强化学生的动态几何分析能力、多结论逻辑推导能力，让学生能通过相似三角形搭建边角等量关系，破解动态几何中的最值问题，同时掌握多结论判断题的排除法、特殊值法等应试技巧，突破选择题的压轴拉分题。 同时，必须针对本课时的高频易错点，开展专项错题复盘：重点纠正 “黄金分割公式错用、SSA 判定误用、面积比忘记平方、比例式对应边颠倒” 四大核心失分点，通过错题重做、易错点专项训练，让学生形成严谨的审题习惯与计算规范。 最终，通过本课时的二轮复习，不仅要让学生拿下中考选择题中本课时的固定分值，更要让学生熟练掌握相似三角形的核心模型与思维方法，为后续的四边形、圆、几何综合压轴题复习打下坚实的基础，实现初中几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·四川模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（       ） A. B. C. D. 2.（24-25·山东模拟）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 3.（23-24·山西模拟）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（       ） A. B. C. D. 4.（23-24·贵州中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（       ） A. B. C. D. 5.（23-24·广东模拟）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （       ）    A. B. C. D. 6.（23-24·安徽模拟）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（       ） A. B. C. D. 8.（24-25·贵州模拟）如图， 和是位似图形，，，交于点， ，若的周长为，则的周长为（        ） A. B. C. D. 9.（24-25·四川模拟）如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（       ） A. B. C. D. 10.（23-24·广东模拟）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 11.（23-24·上海模拟）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(       ) A.个 B.个 C.个 D.个   12.（23-24·辽宁模中考）如图，在中，，，为边上的点且，点在边上且满足，设，，则与的函数关系式为（       ） A. B. C. D. 13.（23-24·广东中考）如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（       ） A.或 B. C. D.或 14.（22-23·山东中考）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（       ） A. B. C. D.以上都不对 15.（24-25·云南模拟）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（       ） A. B. C. D. 16.（25-26·浙江模拟）如图，在中，，，，过点作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（       ） A. B. C. D. 17.（25-26·湖南模拟）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若关于的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（       ） A. B. C. D. 18.（25-26·陕西模拟）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（       ） A. B. C.的面积的面积 D.四边形的面积的面积 19.（23-24·安徽中考）如图，正方形边长为，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（       ） A. B. C. D. 20.（25-26四川模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（       ） A. B. C. D. 21.（25-26·广东模拟）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“”刻度线重合，点落在“”刻度线上，与“”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A. B. C. D. 22.（25-26·四川模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（       ） A. B. C. D. 23.（23-24·北京模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图平放在地面上，人眼从矩的一端望点，使视线刚好通过点，量出长，即可算得之间的距离．若则（       ） A. B. C. D. 24.（23-24·广东中考）如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为．（参考数据：，） A. B. C. D. 25.（23-24·安徽中考）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是（       ） A. B. C. D. 26.（22-23·四川中考）如图，正方形边长为，、分别是正方形的两个外角的平分线，点，分别是平分线、上的点，且满足，连接、、．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 27.（23-24·江苏中考）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有个等腰三角形．其中正确的结论是（       ） A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 28.（22-23·江苏中考）如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点不一定是的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为（       ） A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 29.（23-24·浙江模拟）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上．是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（       ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 30.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 选择题专题 17.相似三角形及黄金分割   本课时是中考数学二轮复习几何模块的高频必考点与核心基础板块，在全国中考数学选择题中固定考查 1-2 题，分值 3-6 分，是几何得分的基础盘，更是破解四边形、圆、锐角三角函数、二次函数几何综合压轴题的核心工具。二轮复习中，本课时以 “黄金分割的定义与应用”“相似三角形的判定、性质与模型应用” 为两大核心主线，核心目标是实现基础题零失误、中档题秒破题、压轴题稳拿分，彻底解决选择题 “会做易错、思路卡顿、耗时过长” 的核心痛点，全面强化学生的模型识别、比例运算、逻辑推理与实际建模四大核心能力。 一、题型特点 考点分层清晰，适配二轮梯度复习本课时题目严格遵循中考命题逻辑，形成三级梯度：基础题（1-3 题）聚焦黄金分割的定义计算、相似三角形判定定理的直接应用，适配全员保底得分；中档题（4-10 题、20-25 题）核心考查相似三角形的性质应用、平行线分线段成比例、位似图形的计算，以及相似三角形在实际生活中的建模应用，是二轮复习的核心突破点；拔高压轴题（11-19 题、26-30 题）以动态相似、线段最值、多结论正误判断、相似与函数结合为核心，是选择题的核心拉分点，完全贴合中考 “基础保分、中档拉分、拔高区分” 的命题规律。 模型化特征突出，四大核心模型全覆盖超 90% 的题目围绕中考相似三角形四大核心模型命题，且均以选择题的形式做轻量化考查：平行线背景下的 “A 型”“X 型” 相似（4 题、5 题、20-25 题实际应用题）、直角三角形背景下的 “母子型” 相似（14 题、16 题）、一线三垂直（K 型）相似（15 题、18 题）、手拉手旋转相似（28 题、29 题），二轮复习中可通过模型识别实现 “见题识型、秒判相似”，大幅缩短解题时间。 场景化命题鲜明，贴合新课标核心素养黄金分割高频结合人体比例、自然图形、建筑设计等生活场景（1-3 题），相似三角形深度融合杠杆原理、凸透镜成像、塔高测量、路灯投影、古代测高术等实际应用场景（20-25 题），摒弃纯理论计算，重点考查学生的数学建模能力，完全贴合新课标对 “数学应用核心素养” 的考查要求。 陷阱设置隐蔽，区分度极强选择题无解题步骤、无过程分，命题人高频设置隐蔽易错点：黄金分割的长短段混淆、相似比与面积比的平方关系遗漏、相似判定定理的误用、比例式对应边错配、动态问题的多解漏解，极易出现 “知识点掌握但题目做错” 的隐性失分，是二轮复习中易错点复盘的核心重点。 题型创新多元，与后续考点深度联动除传统考点外，高频出现相似与二次函数结合的关系式推导题（12 题）、折叠背景下的动态相似最值题（14 题、16 题）、正方形背景下的多结论判断题（18 题、26-30 题），题目本身既考查相似核心知识，又为后续的几何综合压轴题做铺垫，是二轮复习中打通几何模块的关键衔接点。 二、答题要点 黄金分割类：先定边界，再套公式，杜绝漏解第一步先锁定题干核心限定：明确 “长段 / 短段” 的大小关系（如AP>BP），再套用核心公式：长段长度=全段长度×≈0.618×全段，短段长度=全段长度×；无图题需注意黄金分割的双解情况，线段上存在两个黄金分割点，避免漏解。 相似判定类：先找定角，再配条件，快速锁定优先挖掘题干中的隐含等角：公共角、对顶角、平行线的内错角 / 同位角、同角的余角 / 补角相等，优先用AA（两角对应相等）判定相似，这是中考选择题中最高频的判定方法；有边的比例关系时，验证夹角相等，用 SAS 判定；三组边对应成比例用 SSS 判定；直角三角形可优先用 HL、AA 判定。 模型速解：先识模型，再用结论，提速破题见平行线，直接锁定 “A 型”“X 型” 相似，直接套用 “平行线分线段成比例” 定理，无需重复证明相似；见双垂直直角三角形，直接用 “母子型相似” 结论，直角边的平方等于其在斜边上的射影与斜边的乘积；见共线直角顶点，直接构造 “一线三垂直” 相似，快速列比例式。 性质应用：先定相似比，再分维度用，避免混用先通过对应边确定相似比k，再严格遵循性质：对应边、对应高 / 中线 / 角平分线、周长的比=相似比k；面积比=相似比的平方k2，选择题中可直接套用结论，避免复杂运算，同时注意相似比的前后项与三角形的对应关系，不可颠倒。 多结论判断题：先易后难，排除法提速遵循 “先证基础相似、再递推线段 / 角度 / 面积结论” 的顺序，先判断无需复杂计算的基础结论，再验证复杂的最值、比例结论；用排除法快速排除错误选项，动态题可通过特殊位置法（如动点到端点、中点）验证结论正误，大幅缩短解题时间。 实际应用题：先建模，再转化，精准计算先将实际场景转化为几何图形，通过平行线、垂直关系找到相似三角形，再将题干中的实际长度对应到几何图形的边长中，列比例式求解；注意单位统一，避免因单位不统一导致计算错误。 三、避坑指南 黄金分割核心概念坑：定义混淆、公式错用最高频易错点：颠倒黄金分割的比例关系，误将 “短段：长段 = 长段：全段” 记为 “长段：短段 = 长段：全段”；忽略题干中长短段的限定，用短段公式计算长段长度；记错黄金比核心数值，将​误写为，导致全盘计算错误。 相似判定定理坑：误用条件、逻辑不成立严禁使用 “SSA（两边对应成比例 + 非夹角相等）” 判定一般三角形相似，这是本课时最高频的易错点；HL 定理仅限直角三角形使用，不可用于一般三角形；SAS 判定中，未验证角是两组对应边的夹角，直接判定相似，导致逻辑错误；对应顶点顺序混乱，导致相似三角形的对应边、对应角匹配错误，比例式列写完全颠倒。 性质应用坑：比例混用、计算失误核心易错点：误将相似三角形的面积比等同于相似比，忘记平方运算；混淆周长比与面积比的对应关系，用面积比直接求对应边的长度；相似比的前后项与三角形对应关系颠倒，导致计算结果完全相反；忽略 “对应线段” 的限定，用非对应高、中线的长度列比例式。 审题类坑：遗漏限定、漏解失分无图几何题中，忽略点在线段上 / 线段延长线上的两种情况，导致双解问题漏解；忽略题干中 “动点不与端点重合”“在射线 / 直线上” 等位置限定，求解出不符合题意的无效解；实际应用题中，忽略单位不统一的问题，直接列比例式计算，导致结果错误；看错题干中的 “最大值 / 最小值”“增大 / 减小” 等关键表述，答非所问。 多结论判断坑：结论误用、逻辑断层前一问的结论仅在特定条件下成立，却直接套用到其他结论的推导中，导致逻辑断层；忽略图形中的隐含条件（如正方形的对角线平分内角、等腰三角形三线合一），无法锁定相似关系；将全等三角形的性质与相似三角形的性质混用，导致结论判断错误。 本课题二轮复习的核心逻辑是 “抓定义、建模型、练技巧、破易错”，核心是让学生不仅掌握相似三角形与黄金分割的基础知识点，更能形成 “模型识别→快速破题→精准避坑” 的标准化解题思维，让相似三角形成为学生破解几何题的 “万能工具”，而非单纯的得分点。 二轮复习中，本课时需围绕 “分层突破、模型贯通、错题复盘、应试提速” 四大核心展开： 基础层：保底得分，零失误突破针对全员学生，聚焦黄金分割的核心定义、相似三角形五大判定定理的规范应用，重点纠正学生的概念混淆、公式记错等基础错误，通过基础题限时训练，确保所有学生能快速、准确完成基础题，实现基础题 100% 得分，杜绝概念性、计算性的低级失分。 进阶层：模型贯通，方法迁移针对中等以上学生，以四大核心相似模型为抓手，通过 “一题多解、多题归一” 的专项训练，让学生形成 “见图形→识模型→用结论” 的条件反射，能快速识别平行线、直角三角形、折叠、旋转等背景下的相似模型，熟练运用相似性质解决比例计算、周长面积求解、实际建模问题，实现中档题稳拿分、快解题。 拔高层：综合突破，拆解压轴针对尖子生，聚焦中考高频的动态相似最值题、正方形背景多结论判断题、相似与函数结合题，强化学生的动态几何分析能力、多结论逻辑推导能力，让学生能通过相似三角形搭建边角等量关系，破解动态几何中的最值问题，同时掌握多结论判断题的排除法、特殊值法等应试技巧，突破选择题的压轴拉分题。 同时，必须针对本课时的高频易错点，开展专项错题复盘：重点纠正 “黄金分割公式错用、SSA 判定误用、面积比忘记平方、比例式对应边颠倒” 四大核心失分点，通过错题重做、易错点专项训练，让学生形成严谨的审题习惯与计算规范。 最终，通过本课时的二轮复习，不仅要让学生拿下中考选择题中本课时的固定分值，更要让学生熟练掌握相似三角形的核心模型与思维方法，为后续的四边形、圆、几何综合压轴题复习打下坚实的基础，实现初中几何模块的整体提分。 四、真题练习 1.（24-25·四川模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小明的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为，则小明的身高约为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握线段上一点将线段分为一长一短两条线段，当短∶长长∶全，据此可得小明肚脐至足底的长度于身高比为，列出方程求解即可． 【解答】 解：设小明身高为， ， 解得：， 小明的身高约为， 故选：． 2.（24-25·山东模拟）大自然是美的设计师，如图是一片银杏叶，点是线段的黄金分割点，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查了黄金分割．把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长． 【解答】 解：为的黄金分割点， 故选：． 3.（23-24·山西模拟）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【解答】 解：是的黄金分割点，， ； 故选：． 4.（23-24·贵州中考）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断、；由平行线的性质可得，则，同理可判断；中条件结合已给条件不能证明． 【解答】 解：、， ， ， ， ， ，故不符合题意； 、， ， ， ， ，故不符合题意； 、， ， ， ， ， ， ， ， ，故不符合题意； 、根据结合已知条件不能证明，故符合题意； 故选：． 5.（23-24·广东模拟）如图，添加以下哪个条件，仍不能直接证明与相似 （       ）    A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断是解决问题的关键． 【解答】 解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 6.（23-24·安徽模拟）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【解答】 由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 7.（23-24·重庆中考）若两个相似三角形的相似比为则这两个三角形面积的比是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【解答】 解：两个相似三角形的相似比为这两个三角形面积的比是 故此题答案为． 8.（24-25·贵州模拟）如图， 和是位似图形，，，交于点， ，若的周长为，则的周长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 此题暂无解析 【解答】 A 9.（24-25·四川模拟）如图，与位似，点为位似中心．已知，则与的面积比为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】 解：∵ 与是位似图形，， ∴ 与的位似比是． ∴ 与的相似比为， ∴ 与的面积比为. 故选. 10.（23-24·广东模拟）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则线段的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 直接利用，点坐标得出的长，再利用位似图形的性质得出的长． 【解答】 解：，， ， 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， 线段的长为：． 故选：． 11.（23-24·上海模拟）如图在的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形，就是一个格点三角形，现从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有(       ) A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，根据三边对应成比例的三角形相似进行求解即可． 【解答】 解：如图所示，由网格的特点可知， ， ， ， 同理可证明， 从的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点联结成格点三角形，其中与相似的有个， 故选．   12.（23-24·辽宁模中考）如图，在中，，，为边上的点且，点在边上且满足，设，，则与的函数关系式为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 过点作的高，过点作垂直于，垂足为 中根据勾股定理可用来表示，由已知可知，即可得到的面积 ，通过变形即可得到答案. 【解答】 解：过点作的高，过点作垂直于，垂足为 ， , 又 ， ，， ，，， 在中，, 设，则， ， 的面积， 即：， 故选   13.（23-24·广东中考）如图，在钝角三角形中，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（       ） A.或 B. C. D.或 【答案】 D 【解析】 如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【解答】 解：两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似， 则 ①当与对应时，有， ， ， ； ②当与对应时，有， ， ， ， 当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒或秒， 故选：． 14.（22-23·山东中考）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是（       ） A. B. C. D.以上都不对 【答案】 B 【解析】 此题暂无解析 【解答】 思路引领：先依据勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点在以为圆心，以为半径的圆上，依据垂线段最短可知当时，点到的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可． 答案详解：如图所示：当． 在中，，，， ， 由翻折的性质可知：，． ， ． 由垂线段最短可知此时有最小值． 又为定值， 有最小值． 又，， ． ，即，解得：． ． 故选：． 15.（24-25·云南模拟）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【解答】 解：矩形，，是边上的三等分点，，， ，，，，， ， ， ， 过点作，则， ， ， ，， ， ； 故选：． 16.（25-26·浙江模拟）如图，在中，，，，过点作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 在点的右侧取一点，使得，连结，，过点作于点，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案． 【解答】 解：如图，在点的右侧取一点，使得，连结，，过点作于点， 直线，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， 和都是定值， 点在射线上运动， 当时，最短（如图所示）， 延长，相交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 解得， ，，，， ，， ， ， ， 解得， 当最短时，则的长度为． 故选：．   17.（25-26·湖南模拟）如图，在中，，，是角平分线．点从点出发，沿方向向点运动，连接，点在上，且．设，，若关于的函数图象过点，则该图象上最低点的坐标为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 证明，设，可得，如图，在上取点，使，求解：，证明，可得，，结合关于的函数图象过点，求解：，再进一步利用二次函数的性质解题即可. 【解答】 解：，，是角平分线． ，，设， ， 如图，在上取点，使， ， ， ， ， 解得：， ，， ， ， ， ， ， ， 关于的函数图象过点， ， 解得：， ， 当时，， 该图象上最低点的坐标为； 故选：   18.（25-26·陕西模拟）如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（       ） A. B. C.的面积的面积 D.四边形的面积的面积 【答案】 D 【解析】 本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【解答】 解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， 为边的中点， ， ， ， 是的外角， ， ， ，故选项正确，不符合题意； 正方形， ，， 设， 为边的中点， ， 由折叠的性质得，，， ， 四边形和为矩形， ，， 设，则，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ，，， ，， ，故选项正确，不符合题意； 的面积，的面积， 的面积的面积，故选项正确，不符合题意； 四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， 四边形的面积的面积，故选项不正确，符合题意； 故选：．   19.（23-24·安徽中考）如图，正方形边长为，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 建立平面直角坐标系，以点为原点，所以直线为轴，所在直线为轴，设的中点为，过点在上方作，使过点作于点，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点、、、在上，得，得，根据，得，得，得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【解答】 解：以点为原点，所以直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为，过点作，使，过点作于点，连接，则， 正方形边长为， ， ， ， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， ，， ， ， ， ， 当点在上时， 取得最小值， 为． 故选：．   20.（25-26四川模拟）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【解答】 解：，， ， ， ， 动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：． 21.（25-26·广东模拟）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“”刻度线重合，点落在“”刻度线上，与“”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【解答】 解：根据题意得，， ， ， ， 故此题答案为． 22.（25-26·四川模拟）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【解答】 解：由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 23.（23-24·北京模拟）古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图平放在地面上，人眼从矩的一端望点，使视线刚好通过点，量出长，即可算得之间的距离．若则（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据题意和图形，可以得到然后根据相似三角形的性质，可以得到． 【解答】 解：由图可得 即 解得． 故此题答案为． 24.（23-24·广东中考）如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为．（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可． 【解答】 解：由题意可建立如图所示平面图： ，， ， 设，则， ，即， 解得：， ， ，即塔高为， 故此题答案为． 25.（23-24·安徽中考）如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【解答】 解：由题可知，， ∴ , ∴ ， ∴ ， 故选A．   26.（22-23·四川中考）如图，正方形边长为，、分别是正方形的两个外角的平分线，点，分别是平分线、上的点，且满足，连接、、．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 C 【解析】 运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断． 【解答】 四边形是正方形，，， ， ， 是正方形的外角的平分线， ， ， ②正确； 、分别是正方形的两个外角的平分线， ， ， ， ①错误； ， 四边形是正方形， ， ， 、分别是正方形的两个外角的平分线， ， ， ③正确； 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．则． ，，，． ． ． 又， ．． ． 在中，， ． ④正确； 故选． 27.（23-24·江苏中考）如图，在正方形中，点在边上（不与点、重合），点在的延长线上，且，连接、、，过点作于点，分别交、、于点、、．则下列结论：①；②；③；④若，则；⑤图中共有个等腰三角形．其中正确的结论是（       ） A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①③④⑤ 【答案】 C 【解析】 本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似． 容易证明，从而可得，进而可得，从而可得②正确，过点作，交于点，构造，结合四边形是平行四边形可得，可得①正确，再利用角关系证明，，可得，从而得出结论③正确，过点作，设，由可得，解三角形求出，，从而求出，故结论④正确，再判定不一定是等腰三角形，得出等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误． 【解答】 解：如图，过点作，交于点， 在正方形中， ，，，， 、是等腰三角形， 又，， ， ，，， 是等腰三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， 设， ，， ，故结论②正确； ，即是等腰三角形， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，故结论①正确， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，故结论③正确， 过点作，如图； 设，由可得，， ， ， ， ，故结论④正确， ，， 不一定等于，， 不一定是等腰三角形， 故等腰三角形有、、、，共四个，故结论⑤错误， 综上所述：正确结论有①②③④． 故选． 28.（22-23·江苏中考）如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点不一定是的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为（       ） A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】 A 【解析】 ①有种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解； ②当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解； ③如图，若，，根据相似三角形的性质求得．，，进而求得，即可求解； ④如图，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【解答】 解：①有种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； 故①正确； ②当，如图，取得最大值，， ，，， ， ， ②错误． ③如图，若，， ，，，，，，， ，，， ，， ， ③错误． ④如图，， ， 即， 在中，， ， ， 当时，最大为， 故④正确． 故选：． 29.（23-24·浙江模拟）如图，正方形和正方形的顶点，，在同一条直线上，顶点，，在同一条直线上．是的中点，的平分线过点，交于点，连接交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（       ） A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【答案】 A 【解析】 由四边形和四边形是正方形，得出，推出，从而得；由是的平分线，得出，再由是的中点，利用中位线定理，得且；由是直角三角形，因为为的中点，所以，得出点在正方形的外接圆上，根据圆周角定理得出，，从而证得；设，则，设正方形的边长是，则，，由，得出，即可得出，得到 ，即，从而求得，设正方形的边长是，则，得到，通过证得，得到，进而得到，进一步得到 【解答】 解：如图， 四边形和四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ， ． 故①正确； 是直角三角形，为的中点， ， 点在正方形的外接圆上， ， ，， ， 故②正确； ， ， 又是的中点， ， ， 设和相交于点． 设，则，设正方形的边长是，则，， 即， 解得：，或（舍去）， 故③正确； ， ， 是的中位线， ， ， 设正方形的边长是， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选．   30.（23-24·黑龙江模拟）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论： ①， ②， ③， ④若四边形的面积为，则该正方形的面积为， ⑤． 其中正确的结论有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 ①正确:证明，再利用三角形的外角的性质即可得出答案； ②正确：利用四点共圆证明即可； ③正确：设，求出，即可解决问题； ④错误：通过计算正方形的面积为； ⑤正确：利用相似三角形的性质证明即可. 【解答】 ①正确：如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， ，故①正确； ②正确：如图，连接， ， ， ，，，四点共圆， ， ， ，故②正确； ③正确：设，则，， ，即，故③正确； ④错误：根据对称性可知，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ，故④错误； ⑤正确：，， ， ， ， ，故⑤正确； 综上所诉一共有个正确，故选：． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $