利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角的关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1．（2026·山西吕梁·一模）如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，的一边为平面镜，一束光线（与水平线平行）从点射入，经平面镜上的点后，反射光线落在上的点处，且，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，点在上，且，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例4．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，直线、被直线所截，若，，，则_____． 例5．（25-26七年级下·四川达州·月考）如图，已知，，，则等于_____． 例6．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠，若，则________度． 变式1．（25-26九年级下·江苏南通·月考）如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，，则（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）如图，点在的平分线上，且，若，则_________． 变式5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，且，则的大小为____________． 变式6．（25-26九年级下·湖南衡阳·月考）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式，如图是某个构件的截面图，其中，，则________°． 考点二 利用平行线的性质探究角的关系 例1．（25-26七年级下·陕西西安·月考）在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 例2．（25-26七年级下·山东济南·月考）按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 例3．（25-26七年级下·山东枣庄·月考）【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 例4．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【数学阅读】我们通常把图1、图2中的点E称为拐点，解决平行线中有关拐点问题的方法，一般是过拐点作平行线． (1)如图1，，点E在直线与之间，连接，，求证：．小明阅读了上面的方法后，给出证明，请你补全下面的过程； 证明：如图1，过点E作， (2)，猜想图2中，，之间的数量关系，并说明理由； 【应用】 (3)图3是一个电子屏，，点M在上，射线与交于点N，①、②分别是被射线隔开的位于直线上方的2个区域（不含边界），光线分别从点M和点N处发出，交点为P，若点P在区域①或②内，则电子屏变为红色，直接写出当电子屏变为红色时，，，之间的数量关系． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江大庆·月考）已知：，在、间取一点P（点P不在直线上），连接、． (1)请探索图1中与、之间的关系，并说明理由． (2)当点P在图2的位置时，则_________． (3)当点P在图3的位置时，若，，则_________． (4)当点P在图4的位置时，请直接写出与、之间的关系． 变式2．（25-26七年级下·湖南长沙·月考）已知，直线，点E、F分别在直线、上，点P是直线与外一点，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点E作的角平分线交的延长线于点M，的角平分线交的反向延长线交于点N，若与互补，试说明直线与直线的位置关系，并说明理由； (3)若点P在直线的上方且不在直线上，作的角平分线交的角平分线所在直线于点N，请直接写出与的数量关系． 变式3．（25-26七年级下·甘肃平凉·月考）按要求解答下列问题： (1)如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． ， ．（______） ，且， ____________．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） ______． ______． (2)如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． (3)填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：______． 变式4．（25-26七年级下·江苏泰州·月考）根据条件，解答下列各题 (1)如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； (3)如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 考点目录 利用平行线的性质求角度 利用平行线的性质探究角的关系 考点一 利用平行线的性质求角度 例1.(2026山西吕梁.一模)如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图， 已知EB∥DC,AD∥BC,BF平分∠EBC交AD于点G,若2=34°，则∠I的度数为() C 图1 图2 A.68 B.70° C.72° D.74 【答案】A 【详解】解：AD∥BC, ∠CBF=∠2=34°， BF平分∠EBC, .LCBE=2LCBF=68°， EB∥DC, ∠1=∠CBE=68°. 例2.(25-26七年级下·陕西西安·月考)如图，∠A0B的一边OB为平面镜，一束光线（与水平线A0平行）从点C 射入，经平面镜上的点D后，反射光线落在A0上的点E处，且∠I=∠2，若LAED=70°，则∠0的度数是() B A.30° B.35° C.40° D.45 【答案】B 【详解】根据题意可得CD∥AO, 1 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 ∠1=∠BOA,∠CDE+∠AED=180°， ∠AED=70°， ∴∠CDE=180°-∠AED=180°-70°=110°， ~∠1+∠2+∠CDE=180°，∠1=∠2， 21=2x×(180°-∠CDE)-2×4180-110）=35°， 即∠B0A=∠1=35°. 例3.(2026陕西西安模拟预测)如图，AB∥CD,点E在AD上，且DC=DE,∠A=30°，则∠C的大小为() D B A.75° B.65° C.60° D.30° 【答案】A 【详解】解：~AB∥CD, ∠D=∠A=30°， DC=DE, 2C=∠D8C=l80°-309)=75. 例4.(24-25七年级下.四川绵阳期末)如图，直线a、b被直线c所截，若alb,∠1=120°，∠2=56°，则∠3= h 【答案】64° 【详解】解：直线a、b被直线C所截，∠1=120°，∠2=56°， .∠1=∠2+∠4， 120°=56°+∠4， .∠4=64°， .alb, .∠3=∠4=64°. 例5.(25-26七年级下四川达州月考)如图，已知AB∥CD,FE1DB,∠1=50°，则∠2等于· 2 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 B E D 【答案】40° 【详解】解：：AB‖CD, .∠2=∠EDF, :FE⊥DB, ∠DEF=90°， ∠EDF=180°-∠DEF-∠1=180°-90°-50°=40°， ∠2=40° 例6.(25-26七年级下·河北廊坊月考)在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动.如图，把一个 长方形纸片沿EF折叠，若∠1=40°，则∠2= 度 E 【答案】100 【详解】解：长方形的对边平行， .∠3=180°-∠1=140°，∠4=∠1=40°， 折叠， ∠3=∠2+∠4， ∠2=140°-40°=100° 1 E 变式1.(25-26九年级下江苏南通月考)如图，AB∥CD,EA=EC,LBAE=66°，则∠C的度数为() B 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 A.42° B.48° C.57° D.66° 【答案】C 【详解】解：AB∥CD, ∠EAB=∠AEC=66°， EA=EC, 2C=∠CAE=180°-669)=57° 变式2.(25-26七年级下·广西南宁·月考)如图，AD∥BC,AB⊥AC,若∠1=36°，则∠B的度数是() D B C A.36° B.55° C.54° D.56° 【答案】C 【详解】解：~AB⊥AC, ∠BAC=90° .LBAD=∠BAC+∠1=126° AD∥BC ∠B=180°-∠BAD=54° 变式3.(25-26七年级下山东济南月考)如图，AB∥CD,CD∥EF,则LBCE=() A 2>B E F A.180°-∠1+∠2B.180°-∠1-∠2C.∠2-2∠1 D.∠1+∠2 【答案】A 【详解】解：~AB∥CD, ∠2=∠BCD, 又rCD∥EF, ∠DCE+∠1=180°， ∠DCE=180°-∠1， 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 ∠BCE=∠BCD+∠DCE=∠2+180°-∠1=180°-∠1+∠2. 变式4.(25-26七年级下·黑龙江大庆月考)如图，点F在∠BAC的平分线AP上，且EF∥AC,若∠BEF=40°， 则∠AFE= 2 A 【答案】20 【详解】解：”EF∥AC,∠BEF=40°， :∠EAC=LBEF=40°，∠AFE=LCAF, :点F在∠BAC的平分线AP上， ·∠C1F=2∠EAC=20°， :∠AFE=∠CAF=20°. 变式5.(2526七年级下·陕西西安·月考)如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB,CD 若CF∥HB,且∠1=30°，则∠2的大小为 E D B 【答案】60° 【详解】解：如图所示，由折叠的性质可得∠3=∠1=30°，∠ADC=∠4， 由题意得，AGI BH,DEI‖CF, CF BH, AG∥DE, ∠1+∠3+∠ADC+∠4=180°，∠4=∠2， ∠ADC=∠4=60°， .∠4=∠2=60°. E D 4 B J 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 变式6.(25-26九年级下·湖南衡阳·月考)榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式，如图是某个构件的截面 图，其中AD∥BC,∠ABC=70°，则∠BAD= D B 【答案】110 【详解】解：AD∥BC,∠ABC=70°， ∠BAD+∠ABC=180°， .∠BAD=180°-∠ABC=110°， 6 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 考点二 利用平行线的性质探究角的关系 例1.(2526七年级下·陕西西安·月考)在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB、CD和一块含30°角 的直角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60°，∠GEF=30°)的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动. A B 图1 图2 图3 (1)【操作发现】如图1，三角尺的60°角的顶点G在CD上，∠1=50°，则∠2度数为； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E,G分别放在AB和CD上，∠EFG=90°，试说明： ∠AEF+∠FGC=90°； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E在AB上.若LCFG=a, ∠BEG=B,请直接写出∠CFG与LBEG的数量关系： (用含a,B的式子表示). 【答案】(1)70 (2)见解析 (3)B-a=120° 【详解】(I)解：AB∥CD, ∠EGD=∠1=50°， ∠FGE=60°， ∠2=180°-∠FGE-∠EGD=180°-50°-60°=70°. (2)解：如图，过点F作FP∥AB, E A -B --P .·CD∥AB, G .FP∥AB∥CD, .∠AEF=∠EFP,LFGC=LGFP, :∠AEF+∠FGC=LEFP+LGFP=LEFG=90°. (3)解：∠BEG=B,∠FEG=30°， > 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 ∴∠BEF=∠BEG-∠FEG=B-30°， :AB∥CD, ∴.∠EFD=180°-∠BEF=180°-(B-30°)=210°-p, ~LCFG=a,∠EFG=90°，∠CFG+LEFG+∠EFD=180°， a+90°+210°-B=180°， β-=120°. 例2.(25-26七年级下山东济南月考)按要求完成问题 工作篮 D 工 3 A-- -2 支撑平台 E 图1 图2 (I)问题情景：如图1，已知∠CDF+∠DFE=180°，∠C=∠DAE. ①问题初探：求证：AD∥BC; ②拓展探究：试问LADF,LAEB与∠DFE之间满足怎祥的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=31°，则∠2+∠3的度数 为 (直接写出答案). 【答案】(I)①见解析；②∠DFE=∠ADF+∠AEB,理由见解析 (2)211 【详解】(1)解：(1)①：∠CDF+∠DFE=180°， AE∥DC, LAEB=∠C, :∠C=∠DAE, .∠AEB=∠DAE, AD∥BC; ②∠DFE=∠ADF+∠AEB,理由如下： 如图所示，过点F作FG∥AD, 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 A D F --.G ∠DFG=LADF B E AD BC, ∴.FG‖BC, ∠GFE=∠AEB, :∠DFE=∠DFG+LEFG=∠ADF+∠AEB; (2)解：如图所示，∠1，∠2，∠3的顶点分别为C,B,F, 工作篮 工 E F3 A---- 支撑平台C 依题意，EFCD,作AB∥CD, .EF∥AB ∠ABC=∠1=31°，∠3+∠FBA=180° ∴.∠FBC+∠3=∠3+∠FBA+∠ABC=180°+31°=211°， 即∠2+∠3=211°. 例3.(25-26七年级下山东枣庄月考)【问题情境】如图①，AB∥CD,∠BAP=130°，∠DCP=120°，求∠APC的 度数， 小明的解题思路：过P作PE∥AB,通过平行线的性质来求∠APC的度数. M B D --E D B 0 ① ② (1)按小明的思路，求∠APC的度数. (2)【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在直线OM上运动，记∠PAB=Q,LPCD=B,当点P在线段BD上（不 9 利用平行线的性质求角度、利用平行线的性质探究角的关系专项训练 与B、D重合)时，∠APC与a,B之间有何数量关系？请说明理由. (3)【问题应用】在(2)的条件下，如果点P不在线段BD上，请直接写出∠APC与，阝之间的数量关系. 【答案】(1)110 (②)∠APC=a+B,理由见解析 (3)∠APC=a-B或∠APC=B-a 【详解】1)解：PE∥AB ：∠APE=180°-∠A=50° :AB‖CD, PF∥CD, ∴∠CPE=180°-∠C=60°， ∠APC=∠APE+∠CPE=110°； (2)解：如图②，当P在线段BD上时，∠APC=o+B,理由如下： 过点P作PF‖AB, M D F.---- D B ② ∠FPA=∠PAB=a, AB CD PF∥CD, :LCPF=ZPCD=B, ∠APC=LCPF+LFPA=a+B; (3)解：当P在射线DM上时，PA交CD于G,如图③∠APC=a-B,理由如下： 过点P作PI∥AB, 10