专题4：非线性关系问题

62 【小结】本题的近似值的误差来源于遮光板 开始遮住第一个光电门、第二个光电门的瞬时速 度物理模型的构建.只有当时间无限趋近于零 时，平均速度等于瞬时速度.实际上，以这样物理 模型求得的瞬时速度总是与真实值存在差异，也 导致了加速度的值与真实值产生误差.通过计 算，加速度的相对误差为2.5%，近似值与真实 值非常接近， 这道题是《速度变化的快慢的描述一加 速度》的问题与练习的第4题（人教版必修一）， 教师参考用书给出一个近似解法，这是由于编题 者为了巩固瞬时速度概念而用的近似求解方法， 因此，瞬时速度的模型存在一点缺陷，在要求不太 精密的情况下，可以近似计算。 二、数学方法近似导致的近似值 近似值与真实值误差的另一个来源是应用 了数学近似方法，数学近似方法包括应用数学近 似公式，或应用图像法通过读图求解等.近似公 式包括如下一些公式：当x趋近于零，sinx=x, cosx=1,tanx=x;图像法是应用各种图像的 物理意义，通过读图估算求解.能否作出如此的 近以处理，要看具体的解题要求，如果是学生的 数学知识局限，也只能应用近似的处理方法了. 例3.一质量为m=2000kg的汽车以某一 速度在平直公路上匀速行驶.行驶过程中，司机 忽然发现前方100m处有一警示牌.立即刹车. 刹车过程中，汽车所受阻力大小随时间变化可简 化为图1(a)中的图线.图(a)中，0~t1时间段 为从司机发现警示牌到采取措施的反应时间 (这段时间内汽车所受阻力已忽略，汽车仍保持 匀速行驶)，1=0.8s;t1~t2时间段为刹车系统 的启动时间，2=1.3s;从2时刻开始汽车的刹 车系统稳定工作，直至汽车停止，已知从2时刻 开始，汽车第1s内的位移为24m,第4s内的位 移为1m. (1)在图(b)中定性画出从司机发现警示 牌到刹车系统稳定工作后汽车运动的v-图线； (2)求2时刻汽车的速度大小及此后的加 速度大小； (3)求刹车前汽车匀速行驶时的速度大小 及1~2时间内汽车克服阻力做的功；司机发现 警示牌到汽车停止，汽车行驶的距离约为多少 (以1~2时间段始末速度的算术平均值替代这 段时间内汽车的平均速度)？ 2.0的0 41.0a 2.0s (a) (b) 图1 【解析】(1)v-t图像如图2所示. 411.02 2.0/s 图2 •方法专项 (2)设刹车前汽车匀速行驶时的速度大小 为v1,则1时刻的速度也为u1,2时刻的速度也 为2，在2时刻后汽车做匀减速运动，设其加速 度大小为a,取△t=1s,设汽车在t2+(n-1)△t 内的位移为sn,n=1,2,3,…. 若汽车在t2+3△t~t2+4△t时间内未停止， 设它在2+3△时刻的速度为3，在t2+4△t时刻 的速度为4，由运动学公式有 s1-s4=3a(△t)2 ① S1= 41-2a(4)2 4=2-4a△t 3 联立①②③式，代入已知数据解得4= m/s 这说明在2+4△时刻前，汽车已经停止.因 此，①式不成立 由于在t2+3△t~t2+4△t内汽车停止，由运 动学公式3=2-3a△ 2as4=喝 ⑥ 联立②⑤⑥，代入已知数据解得 a=8m/s2,2=28m/s ⑦ 或者a= 288 25 m/s2,2=29.76/s 8 第二种情形下3小于零，不符合条件，故舍 去 (3)设汽车的刹车系统稳定工作时，汽车所 受阻力的大小为f,由牛顿定律有：f=ma 在，~2时间内，阻力对汽车冲量大小为： 1=242-4)》 0 由动量定理有：I'=m,-mv2 ① 由动能定理，在1~2时间内，汽车克服阻 力做的功为：W=之m听-2m 联立⑦⑨0①②式，代入已知数据解得 v1=30m/s W=1.16×105J 从司机发现警示牌到汽车停止，汽车行驶的 距离s约为 4++36-)+爱 5 联立⑦3⑤，代入已知数据解得 s=87.5m 【小结】在t1~2时间内汽车的加速度变化 非常小，把汽车减速运动看作匀减速直线运动， 对其运动模型进行近似处理。 其位移0=)(，-)=14.5m 2 如果考虑到加速度变化，也可以精确求出这 段时间的位移。 数理招 专题4口 非线性关系问题 两个物理量之间的关系是一次函数关系，其 图像是一条直线.比如加速度与合外力关系，电 压与电流的关系.如果两个物理量不是一次函数 关系，其图像是各种各样的曲线，它们是非线性 关系.非线性关系问题是中学物理教学中的难 点，也是每年全国各地高考物理试题中的热点 按解题方法把这些问题进行梳理分类，大致 可分为数形结合法、数学解析法等几种类型.通 过解析，以期对高三物理复习有所启迪， 一、数形结合法 数形结合法是定性分析非线性关系问题的 最基本方法.这是因为在高中物理中，非线性关 系问题的研究重点是定性分析.解决这类问题首 先要定性地画出所要求的物理量与相关量的函 数图像，按曲线所体现的物理意义来解释具体的 物理问题，曲线的物理意义主要包括：曲线纵坐 标随横坐标变化的物理意义，坐标值正负的物理 意义，曲线与横轴、纵轴交点的物理意义，曲线上 任意一点切线斜率的物理意义，曲线与横轴所围 面积的物理意义等方面. 例1.如图1所示的 电路中，电源的电动势为 E,内阻为r,电感L的电 阻不计，电阻R的阻值大 图1 于灯泡D的阻值，在=0时刻闭合开关S,经过 一段时间后，在t=t1时刻断开S,下列表示A、B 两点间电压Us随时间t变化的图像中，正确的 是 A B 【答案】B 【解析】当开关闭合时，电感线圈的感抗非 常大，当电流稳定后，感抗为零，因此，从开关闭 合到电流稳定，干路电流逐渐增大，路端电压逐 渐减小，电流由A→B.断开开关后线圈自感放 电，电流逐渐减小，电流由B→A,BA间电压也逐 渐减小.所以选择B. 【小结】要弄清楚干路电流稳定前的变化以 及内外电路电压的变化，同时要明确流过灯泡电 流方向相反在图像中的意义， 例2.如图2所示，竖直放 置的冂形光滑导轨宽为L,矩 B 形匀强磁场I、Ⅱ的高和间 距均为d,磁感应强度为B.质 B×Ⅱ 量为m的水平金属杆由静止 图2 释放，进入磁场I和Ⅱ时的速度相等.金属杆在 导轨间的电阻为R,与导轨接触良好，其余电阻 数理极 不计，重力加速度为g.金属杆 A.刚进入磁场I时加速度方向竖直向下 B.穿过磁场I的时间大于在两磁场之间的 运动时间 C.穿过两磁场产生的总热量为4mgd D.释放时距磁场I上边界的高度h可能小N 于mgR 2B4L4 【答案】BC 【解析】设进入磁场时速度为“1，出磁场时 速度为2，因为进入磁场I和Ⅱ时的速度相等. 而在磁场之间时，2=g,是匀加速运动，所以在 磁场中，做减速运动，是非匀减速运动，所以刚进 入磁场I时加速度方向竖直向上，A错误； 因为在磁场中，加速 度大小为a1= B2Lv R g,随着速度的减小，加速 图3 度减小，所以是加速度逐渐减小的减速运动，可 以画出v-t图像草图如右图： 因为位移相等都为d,所以1>t2,即B正 确； 在穿过两个磁场和一个间距的过程中，根据 动能定理mg·3d-Q=分m(G-),在间距中 -=2gd,解得Q=4mgd,C正确； 在磁场中，加速度41= B'Lv mR -g>0(设向 上为正)，所以v>号 器，在选人磁场前，心 2gh,所以h> mgR2 2B元，D错误 【小结】金属棒进入第一磁场区域到刚进入 第二磁场的运动过程，要定性地画出速度时间图 像，通过对图像的面积与斜率的理解，解决相关 问题.金属棒通过第一磁场区域与通过第二磁场 的运动过程完全一样，因此在两个磁场区域中安 培力做功相等，焦耳热相等」 例3.如图4所示，平 直木板AB倾斜放置，板 上的P点距A端较近，小 物块与木板间的动摩擦 因数由A到B逐渐减小， 图4 先让物块从A由静止开始滑到B.然后，将A着 地，抬高B,使木板的倾角与前一过程相同，再让 物块从B由静止开始滑到A.上述两过程相比 较，下列说法中一定正确的有 A.物块经过P点的动能，前一过程较小 B.物块从J顶端滑到P点的过程中因摩擦产 生的热量，前一过程较少 C.物块滑到底端的速度，前一过程较大 D.物块从顶端滑到底端的时间，前一过程 较长 【答案】AD 【解析】从整个过程来看，两种情况的摩擦 …方法专项 力做功相等，所以滑到底端的速度大小相等.两 个过程相比较，小物块滑到P点可以先总体比较 出前一过程的摩擦力大，前一过程的合力小，再 比较合力做功是前一过程小，因此动能也小 至于两个过程中小 物块滑到底端的时间，由 前. 于速度与时间是非线性 关系，定量计算无法展 开，可以比较两个过程 图5 -图像得出结论.我们很容易分析出前一过程 的加速度是逐渐增大，而后一过程的加速度是逐 渐减小的，根据两个过程的加速度的变化特征以 及小物块滑到底端的位移与速度的大小相等作 出如图5图像就可以比较出前一过程时间较长， 所以本题选择AD. 【小结】在研究动力学中的非线性关系问题 时，要培养利用速度时间图像法解决问题的意 识，洞察两个物理量的变化关系，建立合适的坐 标系画出图像，以便解决相关的物理问题.利用 图像除了比较出滑到底端的时间大小，也可比较 出滑到P点动能的大小.本题是建立)-t图像， 有时须建立s-t图像、F-x图像等. 例4.电容器作为储能器件，在生产生活中 有广泛的应用.对给定电容值为C的电容器充 电，无论采用何种充电方式，其两极间的电势差 u随电荷量g的变化图像都相同. (1)请在图6中画 出上述u-g图像.类比 直线运动中由v-t图像 求位移的方法，求两极间 图6 电压为U时电容器所储存的电能E。 (2)在如图7所示的充电电路中，R表示电 阻，E表示电源（忽略内阻）.通过改变电路中元 件的参数对同一电容器进行两次充电，对应的9 -t曲线如图中①②所示 图7 a.①②两条曲线不同是 (选填“E” 或“R”)的改变造成的； b.电容器有时需要快速充电，有时需要均匀 充电.依据a中的结论，说明实现这两种充电方 式的途径 (3)设想使用理想的“恒流源”替换(2)中 电源对电容器充电，可实现电容器电荷量随时间 均匀增加.请思考使用“恒流源”和(2)中电源 对电容器的充电过程，填写下表（选填“增 大”“减小”或“不变”) “恒流源” (2)中电源 电源两端电压 通过电源的电流 63 【答案】(1)图像如图8. CU (2)R 要快速充 2 电时，只要减小图7中的电阻 R;要均匀充电时，只要适当 图8 增大图7中的电阻R即可(3)增大 不变 不变 减小 【解析】由电容器电容定义式C=4得到u -g图像，类比v-t图像求位移求解电量，由图7 斜率解决两种充电方式不同的原因和方法；根据 电容器充电过程中电容器两极板相当于电源来 解答(3) (1)由电容器电容定义式可得：C=9,整 理得：“=。9，所以“-q图像应为过原点的倾斜 直线，如图8. 由题可知，两极间电压为U时电容器所储存 的电能即为图线与横轴所围面积，即E。=9 2 当两极间电压为U时，电荷量为Q=CU,所以E。 CU 2 (2)a.由于电源内阻不计，当电容器充满电 后电容器两端电压即电源的电动势，电容器最终 的电量为：9=CE,由图可知，两种充电方式最终 的电量相同，只是时间不同，所以①②曲线不同 是R造成的； b.由图7可知，R越小，充电时间越短.要快 速度充电时，只要减小图中的电阻R;要均匀充 电时，只要适当增大图中的电阻R即可； (3)在电容器充电过程中，电容器的左极板 带正电，右极板带负电，相当于另一电源，且充电 过程中电量越来越大，回路中的总电动势减小， 当电容器两端电压与电源电动势相等时，充电结 束，所以换成“恒流源”时，保证电流不变，所以 “恒流源”两端电压要增大，通过电源的电流不 变，用(2)电源时电压不变，通过电源的电流减小、 【小结】对于图像面积的物理意义在不同的 非线性关系问题中有不同的体现，对于U-9图 像，我们可以假设在电压不变的情况下W=9U, 由此可知这个图线与横轴所围的面积为电功，即 电容器储存的电能. 二、数学解析法 待求的物理量与其他的相关物理量是非线 性关系，这类问题相对复杂，要找对相关的自变 量，根据相对应的物理规律，构建自变量与待求 物理量的函数关系，依据函数关系进一步求解。 极值问题、临界问题都可以归为这一类。 例5.如图9，篮球架下的运 动员原地垂直起跳扣篮，离地后 重心上升的最大高度为H.上升 第一个1所用的时间为41，第四 77777777777 所用的时间为2·不计空气 图9 64 阻力，则 满足 ( A.1< 2 <2 B.2 <3 t C.3< t3 <4 D.4 t <5 【答案】C 【解析】运动员起跳到达最高点的瞬间速度 为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落 体运动.则根据初速度为零的匀加速直线运动， 相等相邻位移时间关系1：(2-1)：(5-√2)： 2-:(5-2可听25=2+ 万，即3<三<4，故本题选C. t 【小结】运动员上升的位移与时间的关系是 非线性关系，要根据初速度为零匀加速运动的推 论得出各个相等位移所用时间的比例关系.也就 是说，把竖直上抛运动等效处理为自由落体 运动 例6.(1)雨滴落到地面 的速度通常仅为几米每秒，这 与雨滴下落过程中受到空气 阻力有关.雨滴间无相互作用 且雨滴质量不变，重力加速度 图10 为g (1)质量为m的雨滴由静止开始，下落高度 h时速度为u,求这一过程中克服空气阻力所做 的功W. (2)将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直 落向地面的过程中所受空气阻力f=k22,其中 v是雨滴的速度，k是比例系数， a.设雨滴的密度为p,推导雨滴下落趋近的 最大速度m与半径r的关系式； b.示意图10中画出了半径为r1、2(r1>r2) 的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线，其中 对应半径为r,的雨滴（选填“①”或 “②”)；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无 初速下落的v-t图线. (3)由于大量气体分子在各方向运动的几 率相等，其对静止雨滴的作用力为零.将雨滴简 化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆 盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝（提示： 设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为 mo). 【解析】(1)根据动能定理有 mgh-W=子 2 可得W=mgh-m (2)a.根据牛顿第 二定律mg-∫=ma 得a=g- kr'v m 当加速度为零时，雨 图11 方法专项 滴趋近于最大速度vm 雨滴质量m= 由a=0,可得，雨滴最大速度vn= 4下Pgr 3k b.①，如图11中③. (3)根据题设条件：大量气体分子在各方向 运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零 以下只考虑雨滴下落的定向运动 简化的圆盘模型如图 12.设空气分子与圆盘碰撞前 A3E1381111311111111118811/7817761// 3A803103811111118E10847768777 后相对速度大小不变.在△ NAMEIIRE1F AAVASB11113111133111311118B1E/28//18// MEELVREARBEEIIR811 IEF8EH IELIJBBFAFFEE8EE// Nii日1ii4 时间内，与圆盘碰撞的空气分 图12 子质量为△m=Sv△tnmo 以F表示圆盘对气体分 子的作用力，根据动量定理，有F△tc△m×v得 F o nmoSu? 由牛顿第三定律，可知圆盘所受空气阻力「 oc v2 采用不同的碰撞模型，也可得到相同结论 【小结】本题中第二小题的加速度与速度的 关系是二次函数关系，当加速度减小为零时，速 度达到最大值.与此相类似，第三小题中圆盘所 受的空气阻力与圆盘的速度也是二次函数关系 针对训练.2018年， 人类历史上第一架由气体主 离子引擎推动的飞机 电离室 诞生，这种引擎不需要 图13 燃料，也无污染物排放.引擎获得推力的原理如 图13所示，进入电离室的气体被电离成正离子， 而后飘入电极A、B之间的匀强电场（初速度忽 略不计)，A、B间电压为U,使正离子加速形成离 子束，在加速过程中引擎获得恒定的推力.单位 时间内飘入的正离子数目为定值，离子质量为 m,电荷量为Ze,其中Z是正整数，e是元电荷. (1)若引擎获得的推力为F,求单位时间内 飘入A、B间的正离子数目N为多少； (2)加速正离子束所消耗的功率P不同时， 引擎获得的推力F也不同，试推导的表达式： (3)为提高能量的转换效率，要使尽量 大，请提出增大的三条建议。 【解析】(1)设正离子经过电极B时的速度 为v,根据动能定理，有 ① 设正离子束所受的电场力为F,,根据牛顿 第三定律，有 F=F 设引擎在△时间内飘入电极间的正离子个 数为△N,由牛顿第二定律，有 F1=△Nm v-0 △t 数理招 联立①②③式，且N= △ 得 F N= ④ 2ZemU (2)设正离子束所受的电场力为F”,由正离 子束在电场中做匀加速直线运动，有 P= 2 ⑤ 考虑到牛顿第三定律得到F'=F,联立 ①⑤式得 ⑥ (3)为使号尽量大，分析0式得到 三条建议：用质量大的离子；用带电量少的 离子；减小加速电压 【小结】以△t时间内飘入A、B间的正离子整 体为研究对象，根据反冲原理、动能定理以及动 量定理进行推导，求得的物理量与相关量是非线 性关系 专题5 模拟图示法 物理现象或物理过程如果用图示的方法直 观形象地描述，便于调动学生的学习兴趣，也便 于物理问题的理解与解决.有的物理现象看不见 摸不着，可以用模拟图示法把客观的物理现象进 行模拟还原作图，形象直观的反映物理规律；有 的物理过程比较复杂，用图示法可以客观、形象 地简洁描述其物理过程.模拟图示法可以分为无 中生有法、场景还原法。 1.无中生有法 电场与磁场是客观存在的，但电场线与磁感 线是假想虚拟的，可以根据它们的科学表达式或 借助于实验结果直观形象描述出电场、磁场的力 的性质与能的性质. 例1.如图1所示，a、b两 点位于以负点电荷-Q(Q> 0)为球心的球面上，c点在球 面外，则 A.a点场强的大小比b 图1 点大 B.b点场强的大小比c点小 C.a点电势比b点高 D.b点电势比c点低 【答案】D 【解析】负的点电荷的电 场线分布如图2（过点电荷的 截面图)，由图可知同一球面 的电势相等，电场强度大小相 等.顺着电场方向，电势逐渐 图2 降低，靠近点电荷的点电场强