第八章 向量的数量积与三角恒等变换单元复习（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

第八章 向量的数量积与三角恒等变换 教学目标 1．理解向量夹角、数量积及投影向量的概念，掌握定义与坐标两种计算数量积的方法。 2．熟练运用数量积运算律，能准确判定向量垂直、锐角、钝角并进行相关计算。 3．牢记和差、二倍角、辅助角公式，能进行化简、求值及公式逆用与变形。 4．掌握升降幂、半角公式，能合理选择公式完成三角恒等变换问题。 教学重难点 重点： 1．数量积定义、坐标运算、垂直判定、夹角公式及模长计算。 2．两角和差、二倍角、辅助角公式的运用与三角化简求值。 难点： 1．数量积中锐角钝角需排除共线，投影与运算律易混点辨析。 2．三角公式灵活选用、角范围判断、符号确定与综合变形。 知识点1：数量积基础概念 1.向量的夹角 （1）定义：取平面内任意点，作，，则（）为与的夹角 （2）特殊情况：当时，与________；当时，与________；时（向量________） 2.向量的数量积（内积） （1）定义：非零向量、夹角为，则为数量积，结果为________ （2）特殊规定：零向量与任一向量的数量积为________（3）物理背景：力使物体产生位移，力做的功________（为与的夹角） 3.投影向量 （1）定义：将非零向量向投影，得到的与________的向量为在上的投影向量 （2）关联：数量积等于与在方向上投影向量的模的________，也等于与在方向上投影向量的模的________ 【即学即练】 1．已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 2．已知在边长为2的菱形中，．向量与的夹角为_____________． 知识点2：性质与运算律 1.性质（、为非零向量，为单位向量，为与夹角） （1）； （2）________； （3）当与同向时，________；当与反向时，________； 特别地，________或； （4）夹角公式：________； （5）模长不等关系： 2.基本运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：(λ为实数)； （3）分配律：________； 3.夹角特殊判定 （1）夹角为________且、不共线（2）夹角为________且、不共线 【即学即练】 3．平面向量与的夹角为，，，则__________. 4．已知向量满足，则＝______，＝______． 知识点3：数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: 二、模与夹角的坐标表示 （1）向量的模:设,则 （2）两点间的距离公式:若,则 （3）向量的夹角公式:设两非零向量,与的夹角为θ,则 【即学即练】 5．已知向量，，，若，则________． 6．已知正方形 的边长为 2，且 为 边中点，则 ________. 知识点4：两角和差公式 一、两角和与差的余弦公式 1．两角和的余弦公式：:________ 2．两角差的余弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）需掌握公式的逆用，如________ 二、两角和与差的正弦公式 1．两角和的正弦公式：:________ 2．两角差的正弦公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）注意公式的逆向运用：如________ 三、两角和与差的正切公式 1．两角和的正切公式：:________ 2．两角差的正切公式：:________ 3．使用注意事项： （1）公式的适用前提是均有意义； （2）公式的变形：； 【即学即练】 7．已知，，且，． (1)求、的值； (2)求的值； 8．已知，求的值． 知识点5：二倍角公式及其应用 1．二倍角的正弦（）：________；变形 2．二倍角的余弦（）：________=________ 3．二倍角的正切（）：________ 4．升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：________， ________ 降幂公式：________， ________ 【即学即练】 9．（   ） A． B． C． D． 10．____________． 知识点6：辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下： = 由于上式中和的平方和为________，故令， 则== 其中角所在象限由的符号确定，角的值由________确定， 或由和共同确定． 【即学即练】 11．将代数式化为形式___________． 12．若，化简得（    ） A． B． C． D． 知识点7：三角恒等变换 一、半角公式 ＝________，＝________， 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的． ； 以上两个公式称作半角正切的有理式表示． 二、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 ________； ；________ 2、和差化积公式 ________； ；________ 3、万能公式 ； ________； 【即学即练】 13．等于（    ） A． B． C． D． 14．已知为第一象限角，，则______． 题型01数量积基础概念 例1．已知，在上的投影向量为，则的值为_____________. 变式1-1．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影数量是______． 变式1-3．已知正三角形的边长为1，求： (1)； (2)； (3)． 题型02性质与运算律 例2．已知，，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)求的值； 变式2-1．已知向量与的夹角为，且满足，，若，则实数k的值为______. 变式2-2．已知平面内两个不共线的向量和，，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-3．如图，在中，是的中点，．设． (1)用表示； (2)若，，求． 题型03数量积的坐标运算 例3．（多选）在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（   ） A． B． C． D．存在实数，使得与共线 变式3-1．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点A，B，C，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 变式3-2．已知向量，，向量在上的投影向量的坐标为，在上的投影向量的坐标为，则（   ） A．20 B． C．10 D． 变式3-3．已知向量， (1)若，求的值； (2)当时，求； (3)若向量，夹角为锐角，求的取值范围 题型04两角和差公式 例4．已知，则（    ） A． B． C． D．或 变式4-1．__________. 变式4-2．已知，，则________． 变式4-3．设，则有（    ） A． B． C． D． 题型05二倍角公式及其应用 例5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知． (1)求的值； (2)求的值． 变式5-2．已知，，，，求： (1)的值； (2)的值． 变式5-3．函数的最小值是__________. 题型06辅助角公式 例6．已知函数，当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知，，则的值为（   ） A． B．3 C．2 D． 变式6-2．（多选）已知，则（    ） A．的最大值为 B．曲线关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上有4个零点 变式6-3．___________ 题型07三角恒等变换 例7．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 变式7-2．已知，则__________. 变式7-3．在中，已知． (1)若，求； (2)求的最小值． 题型08和差化积与积化和差 例8．函数在的零点个数为______． 变式8-1．函数满足，则的取值集合为___________． 变式8-2．已知，， (1)求的值； (2)求的值； 变式8-3．已知，则_____________________． 题型09三角恒等变换给角求值问题 例9．（    ） A． B． C． D． 变式9-1．（多选）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．计算的值为__________. 变式9-3．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数， ； ； . (1)求出这个常数； (2)结合（1）的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 题型10三角恒等变换给值求值问题 例10．已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 变式10-1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式10-3．已知，则__________. 题型11三角恒等变换给值求角问题 例11．在平面直角坐标系中，以为角的顶点、轴非负半轴为始边的锐角与锐角的终边与单位圆分别交于、两点，已知点的横坐标是，且. (1)求的值； (2)求的值. 变式11-1．已知且，，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．已知都是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 变式11-3．已知. (1)求的值； (2)若，求的值. 题型12三角恒等变换化简证明 例12．在中，求证：． 变式12-1．求证：对任意，. 变式12-2．求证：. 变式12-3．求证：． 题型13三角恒等变换的实际应用 例13．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 变式13-1．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 变式13-2．如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，设矩形的面积为，，求出关于的函数关系式，并求出的最大值. 变式13-3．某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD，如图所示，AB=50米，BC=米.为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE，EF和OF，考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=. (1)设∠BOE=，试将△OEF的周长表示为的函数，并求出此函数的定义域； (2)在（1）的条件下，为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和OF上安装智能照明装置，经核算，在两条加温带增加智能照明装置的费用均为每米400元，问：如何设计才能使安装智能照明装置的费用最低？说明理由，并求出最低费用. 题型14向量与三角函数的综合 例14．已知向量、不共线，，，则（   ） A． B． C． D． 变式14-1．如图所示，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则________. 变式14-2．设向量，，且． (1)求向量与的夹角； (2)求的值； (3)若，且，求的值． 变式14-3．已知向量，函数． (1)求的单调递减区间； (2)若，且，求的值． 一、单选题 1．在四边形中，，，则四边形为（   ） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 2．已知向量，，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，若内角A,B为锐角，满足,则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知等边三角形的边长为2，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 7．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为，且图象关于直线对称 B．的图象关于点中心对称，且在区间上单调递增 C．将的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象关于直线对称 D．函数在区间上有且仅有个零点，且这两个零点之和为 二、多选题 8．如图，在平行四边形中，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知，满足，则的最大值为__________. 11．已知，，则______，若，，则______． 四、解答题 12．已知向量满足. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求与夹角的余弦值. 13．（1）求值：. （2）在中，已知，且，求角. 14．在中，已知，点是上一点，满足，点是边上一点，满足. (1)当时， ①求； ②求； (2)是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第八章向量的数量积与三角恒等变换 内容概览 教学目标、教学重难点 数量积基础概念 性质与运算律 数量积的坐标运算 知识清单 两角和差公式 倍角公式及其应用 辅助角公式 角恒等变换 数量积基础概念 性质与运算律 数量积的坐标运算 向量的数量积与 三角恒等变换 两角和差公式 二倍角公式及其应用 辅助角公式 三角恒等变换 题型精讲 和差化积与积化和差 角恒等变换给角求值问题 三角恒等变换给值求值问题 三角恒等变换给值求角问题 角恒等变换化简证明 三角恒等变换的实际应用 向量与三角函数的综合 强化训练 1150 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 教学目标、教学重难点 1.理解向量夹角、数量积及投影向量的概念，掌握定义与坐标两种计算数量积的方法。 2.熟练运用数量积运算律，能准确判定向量垂直、锐角、钝角并进行相关计算。 教学目标 3.牢记和差、二倍角、辅助角公式，能进行化简、求值及公式逆用与变形。 4.掌握升降幂、半角公式，能合理选择公式完成三角恒等变换问题。 重点： 1.数量积定义、坐标运算、垂直判定、夹角公式及模长计算。 2.两角和差、二倍角、辅助角公式的运用与三角化简求值。 教学重难点 难点： 1.数量积中锐角钝角需排除共线，投影与运算律易混点辨析。 2.三角公式灵活选用、角范围判断、符号确定与综合变形。 知识清单 知识点1：数量积基础概念 1.向量的夹角 (1)定义：取平面内任意点0，作0A=a,0B=b,则∠A0B=0(0≤0≤π)为a与的夹角 (2)特殊情况：当0=0时，a与洞胞：当日=元时，泸返包，日=？时a1万（向量垂直） 2 B 8 A 2.向量的数量积（内积） (1)定义：非零向量云、五硖角为6，则a-6=cose0为数量积， 结果为实数 (2)特殊规定：零向量与任一向量的数量积为0 (3)物理背最：力F使物体产生位移5，力做的功W=F.5=F5c0s0(日为F与s的夹角) 3投影向量 (1)定义：将非零向量向投影，得到的与洪线的向量为云在五上的投影向量 (2)关联： 数量积ā.6等于园b在ā方向上投影向量的模的乘积，也等于与在访向上投影向量的 模的乘积 2/50 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B a M a CA B,D O b M N () (2) 【即学即练】 1.已知向量a,6,其中5=2，a在石方向上的投影向量是五，则a:6= 【答案】3 【详解】根据投影向量的定义：向量a在石方向上的投影向量为同闪： abb 则由题意可得： a.66_36 4 因为6=2，所以-66-36→a6=3 224 2.己知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°.向量AB与BD的夹角为 【答案】150°/ 6 【详解】因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD,又由∠ABC=60°得LABD=30°， 所以向量AB与BD的夹角为150°， 答案：150° 知识点2：性质与运算律 1.性质（云、五为非零向量，e为单位向量，日为a与五夹角） (1)ae-ea=@cos0; (2)a1b台a-b=0; (3)当a与万同向时，a:万=：当a与6反向时，a-6=-a: 特别地，aa=或凤=V后a=V后， 3/50 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ab (4)夹角公式：c0s0= (5)模长不等关系： asa 2.基本运算律 (1)交换律：ab=b.a (2)数乘结合律：（2ab=元(a.b)=a(b)a为实数)： (3)分配律：(a+c=a:c+bc: 3.夹角特殊判定 (1)夹角为锐角且云、b不共线(2)夹角为钝角且云、b不共线 【即学即练】 3.平面向量a与的夹角为牙，=1，=1，则3a-2 【答案】√万 【详解】：平面向量石与的夹角为子，=1，-1， a6=回，5cow骨-1xix3=1,-1. 3a-26=3a-2=V5a2-12a-6+46-9x1-2×+4x1=7 4.已知向量a,万满足=6，a+6=9,(ā+46)1a,则a.6=,6= 【答案】 -93√7 【详解】因为a+451a可得a+4bā=2+4a.b=0, 又d=6,得a6-4-9. 因为a+=9,所以a+=81,即a+2a.6+6=81, 解得5=3V7. 知识点3：数量积的坐标运算 一、数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x,y),b=(x2,y2) (1)数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即ā·b=xx2+y2 4/50 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)向量垂直：a⊥万台a~b=xx2+yy2=0 二、模与夹角的坐标表示 (1)向量的模：设a=(x,y),则1a上Va-a=V2+y (2)两点间的距离公式若Ax,),B(2,2),则1AB=Vx-x2)2+(片-⅓2)2 3》向量的夹角公式设两非零向量0-（化，6=（化，）.a与6的夹角8则c0s9=何月 a.b x x2+y y2 Vx+Vx+明 【即学即练】 5.已知向量a=(3,2),b=(2,-2),c=(m,-1),若c12a+b),则m= 【答案】1025 4 【详解】已知a=(3,2),b=(2,-2),所以2a+b=（6,4+(2,-2)=(8,2) 因为c1(2a+),所以8m-2=0,解得m=4 6.已知正方形ABCD的边长为2，且F为AD边中点，则AC.BF= 【答案】-2 【详解】 y外 B 如图，建立平面直角坐标系，则B(2,0),C2,2),F(0,1,AC=(2,2),BF=(-2,1) 所以AC·BF=2×(-2+2=-2 知识点4：两角和差公式 一、两角和与差的余弦公式 1.两角和的余弦公式：Ca+B:cos(a+B)=cosa cos B-sin a sin B 2.两角差的余弦公式：Ca-B:cos(a-B)=cosa cos B+sin a sin B 3,使用注意事项： 5/50 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)公式中，B都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； (2)需掌握公式的逆用，如cos(a+B)cosB+sin(a+β)sinB=cos[(a+B)-B=cosa 二、两角和与差的正弦公式 1.两角和的正弦公式：Sa+B:sin(a+B)=sina cosB+cosa sinB 2.两角差的正弦公式：Sa-B):sin(a-B)=sina cosB-cos a sin B 3.使用注意事项： (1)公式中的，B都是任意角： (2)注意公式的逆向运用：如sin(a+β)cosB-cos(a+β)sinB=sin[(a+β)-B]=sina 三、两角和与差的正切公式 1.两角和的正刃公式：了mama+)=品 2.两角差的正切公式：Ta-B:tan(a-B)=+tanc tan tana-tan B 3.使用注意事项： (1)T.±B公式的适用前提是tan(a±B)、tana、tanB均有意义； (2)Ta±p公式的变形：tana+tanB=tan(a+B)l-tan a tan B),tana-tanB=tan(a-B)l+tan o tan B); 【即学即练】 7.已知a∈ π -2W39 7 (I)求cosa、sinB的值； (2)求cosa-B)的值； 【答案】(1)cosa= 3 13 sinB=7 2-2v39 91 【分析】 13 7 所以cosa=-V1-sin2a=-1 2391 V13 13 13 6/50 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)由1)可得cos(a-B)=+s5 is=-×4W5+239x1-259 -X 13×7137 91 8.已知a,Be(0,x,tana=2,tanB=-3,求B-o的值. 【答案】牙 【详解】因为a,Be(0,π)，tana=2>0,tanB=-3<0, 所以e个引昏8-aea.a-a品t 所以B-a=买 4 知识点5：二倍角公式及其应用 1.二倍角的正弦(S2a):sim2a=2 sin a cos a；变形sina cosa=sin2a 2.二倍角的余弦(C2a）:cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 3.二倍角的正切(Ta):tan2a=1-tan产au 2tan a 4.升（降）幂缩（扩）角公式 利用余弦的二倍角公式变形可得： 升幂公式：1+c0s2a=2cos2a,1-c0s2a=2sin2a 降幂公式：cos2o= 1+cos2a 1-cos2a 2 sin2a= 2 【即学即练】 π) π 9. cos-sin cos+sin =() 6 6八 6 6 A,-3 B.2 C.7 D.3 2 2 【答案】C 【详解】 6 6 cos+sin= 6 6 6 6 32 故选：C 2tan150° 10. 1-tan2150° 【答案】-√5 【详解】原式=tan2×150)=tan300°=tan360°-60) =-tan60°=-V5. 故答案为：-√ 7150 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识点6：辅助角公式 辅助角公式推导：对于形如asinx+bcosx的式子，可变形如下： asinx+bcosx=va2+b2 a sinx.- b +cSx· a+b2 a2+b2) a a+的平方和为1，放令cos0= b atsing= a b 由于上式中+方和 a2+62' asinx+bcosx=a2+b2(sinxcoso+cosxsin)=a2+b2 sin(x+) b 其中p角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由tanp=二确定， b a 或由sinp= Va2+b2和c0sp Va2+6共同确定. 【即学即练】 1l.将代数式V3sina-cosa化为Asin(a+p)(A>0,p<π形式 【答案】2sin(a- 6 【详解】V5sina-cosa=2(5 1 -sin a- Icosa)=2(sina cos-cosa sin")=2sin(a 6 6 6 故答案为： 12.若-2π<a<-π，化简、 1-cosa 1+cosa得(） 2 B.5sm+到 C.sin4) a_π D.m经到 【答案】C 【详解】：-2π<a<-π，“-π< 2-2,∴sin<0,cos<0, < 2 1-cosa 1+cosa 2 --sin 2+cos ism+》 8/50 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -+ 故选：C 知识点7：三角恒等变换 一、半角公式 sing=± 1-cosa 三十 1+cosa 2 1-cosa sina 1-cosa tan 2 1+cosa sina 以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的 sin- 1-cosa 2sin2a tan-= 二 tan-=- 2= 2 1-cosa 21+c0S0 sina 2 2sincos- sina 2 2 以上两个公式称作半角正切的有理式表示. 二、积化和差公式与和差化积公式 1、积化和差公式 sincoi)in(i(sin( 1 cosa cosB=os(B)+cos):sinc sin Bcos(B)-cos() 2、和差化积公式 sina+sin B=2sinBcos:sina-sin B=2cos sin -cos- 2 2 2 2 cosa cos B =2coscos s2cosa-co5 B--2sinsin 2 2 3、万能公式 2tan& 2tan sin a = 2 1-tan2 cosa=- 2 2 tana = 1+tan2 2 1+tan2 1-tan2 2 【即学即练】 1B.s加语co号等于<） 5π 9/50 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.15 B. 1,3 c.15 D. 13 24 24 42 42 【答案】B 【详解】原式=习 故选：B 14.己知a为第一象限角，sina= 则n 【答案】0.5 【详解】a为第一象限角，：是第一象限角或第三象限角，tang>0,cosa>0, 4 .sina = 5 cosa=v1-sin'a= 163 255 :根据半角公式可得tan 1-cosa 2 V1+cosa 1 故答案为：2 题型精讲 题型01数量积基础概念 例1.已知=2，a在万让的投影向量为五，则石五的值为 【答案】2 【详解】由投影向量公式，a在万让的投影向量为a-5万， 由题意得6、1 a 5=2,代入指5-号5-2 故答案为：2 变式1-1.已知向量a,乃满足=5，a(36)=-30,则a在石上的投影向量为(） A.-26 C.-2 5 B.96 3 D.3 5 【答案】A 10/50