专题06 向量数量积的坐标运算七大题型（高效培优专项训练）数学人教B版高一必修第三册

专题06 向量数量积的坐标运算七大题型 题型一：平面向量数量积的坐标运算 题型二：利用坐标研究向量垂直问题 题型三：利用坐标研究平面向量的模 题型四：利用坐标研究平面向量的夹角 题型五：利用坐标研究平面向量的投影向量 题型六：利用坐标研究平面几何 题型七：利用坐标研究平面几何的最值范围 题型一：平面向量数量积的坐标运算 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 3．已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 4．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 5．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 6．已知平面向量与是共线向量且，则__. 题型二：利用坐标研究向量垂直问题 7．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 9．已知向量，，，若，则_______． 10．已知向量，，若，则实数，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 11．已知，点，若直线上存在点使得，则的取值范围是_____． 12．已知向量，，若且，则的最小值为____________. 题型三：利用坐标研究平面向量的模 13．已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 14．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．或1 D．或 15．已知向量，，且满足，则（   ） A．1 B． C． D． 16．在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．已知向量、满足，，则______． 18．已知是坐标原点，点在第一象限，，，则向量的坐标为________． 题型四：利用坐标研究平面向量的夹角 19．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 20．（多选）若角顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 21．已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 22．若向量，，则__________. 23．设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 题型五：利用坐标研究平面向量的投影向量 24．已知向量，则下列结论错误的是（） A． B．向量在上的投影向量是 C． D．向量与的夹角为 25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 26．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 28．已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 29．若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型六：利用坐标研究平面几何 30．在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 31．已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 32．如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 33．在平面直角坐标系中，已知点． (1)①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 34．在边长为的等边三角形中． (1)当点是边上距离较近的三等分点时，请用和表示； (2)当点是边上的动点，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由． 35．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 题型七：利用坐标研究平面几何的最值范围 36．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 38．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 39．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 40．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 41．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 42．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 向量数量积的坐标运算七大题型 题型一：平面向量数量积的坐标运算 题型二：利用坐标研究向量垂直问题 题型三：利用坐标研究平面向量的模 题型四：利用坐标研究平面向量的夹角 题型五：利用坐标研究平面向量的投影向量 题型六：利用坐标研究平面几何 题型七：利用坐标研究平面几何的最值范围 题型一：平面向量数量积的坐标运算 1．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，化简得， 即，解得． 故选：C 2．已知向量，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由，，两式联立可得，， . 故选：B. 3．已知向量，若，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量， 若，可得，即， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B 4．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为2，则（　　） A．0 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【详解】以两向量公共点为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 则，，， 则， ， ， 所以. 故选：D 5．已知，，若与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是________. 【答案】 【详解】因为向量，， 若与的夹角是锐角，等价于且不共线， 则，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 6．已知平面向量与是共线向量且，则__. 【答案】 【详解】因为向量与是共线向量且， 所以，且， 解得，所以， 故， 故答案为：. 题型二：利用坐标研究向量垂直问题 7．若向量，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 因为，所以， 则，解得. 8．已知向量，，若，则实数（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】B 【详解】由已知得， 因为 ， 所以，解得， 故选：B． 9．已知向量，，，若，则_______． 【答案】 【详解】根据题意，， 又因为，则， 解得. 故答案为： 10．已知向量，，若，则实数，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以； 已知，；所以，； 所以； 即； 故选：D. 11．已知，点，若直线上存在点使得，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】设点坐标为， 因为，所以， 又，所以， 即存在点使得，等价于方程有解， 即有解，又， 所以，解得或， 即的取值范围是. 12．已知向量，，若且，则的最小值为____________. 【答案】 【详解】由题意得，，， 因，则 ，则， 因，则，等号成立时， 故的最小值为. 故答案为： 题型三：利用坐标研究平面向量的模 13．已知，且，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 因为，所以 即， 即， 即， 得到. 故选：B. 14．已知向量，若，则实数（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】D 【详解】由得，因为， 所以，化简得，解得或． 故选：D． 15．已知向量，，且满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，在， 由，则，即， 所以. 故选：D. 16．在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 17．已知向量、满足，，则______． 【答案】 【详解】因为，故． 故答案为：． 18．已知是坐标原点，点在第一象限，，，则向量的坐标为________． 【答案】 【详解】设点，因为，， 则，， 即，所以． 故答案为：. 题型四：利用坐标研究平面向量的夹角 19．已知向量，，若与的夹角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以，， 又因为与的夹角的余弦值为， 所以，解得或（因，舍）. 20．（多选）若角顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在的终边上，点，且，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】点P在的终边上，且，可设，， 又，可得，则， 则， 当时，；当时，. 综上，与夹角的余弦值为或. 故选：AC. 21．已知向量，，则向量与的夹角正切值为_________． 【答案】 【详解】， 所以，设向量与的夹角为， 则， 由于，所以，所以. 22．若向量，，则__________. 【答案】 【详解】由，， 得， 则，，， 所以， 又， 所以， 故答案为： 23．设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 【答案】． 【详解】，， ， ， ， 又，， ， 化简得，解得或． 又，即， 所以． 题型五：利用坐标研究平面向量的投影向量 24．已知向量，则下列结论错误的是（） A． B．向量在上的投影向量是 C． D．向量与的夹角为 【答案】C 【详解】由，知， 对于A，，故，正确； 对于B，向量在上的投影向量，故正确 对于C，，显然不成立，故错误； 对于D，，故向量与的夹角为，正确. 故选：C 25．已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 由题意知，所以，所以，即=2， 解得. 故选：C. 26．已知向量，，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据坐标运算先求，再求，根据投影向量的定义即可求解. 【分析】 【详解】因为，所以， 所以向量在上的投影向量为， 又向量在上的投影向量的坐标为， 所以，解得. 故选：A. 28．已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】向量，，所以， 在上的投影向量的模为：，解得. 故选：B. 29．若向量，，，，，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，则， 又，可得，解得，则， 于是，， 则， 则向量在方向上的投影向量为. 故选：A． 题型六：利用坐标研究平面几何 30．在四边形中，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，则且， 又，，所以，则， 所以四边形为直角梯形，如图，以点为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 则，，，所以，， 所以. 故选：B. 31．已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 【答案】/ 【详解】 如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以， 故答案为：. 32．如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【详解】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 33．在平面直角坐标系中，已知点． (1)①证明：． ②证明存在点，使得，并求出的坐标． (2)若点在四边形的四条边上运动，且将四边形分成周长相等的两部分，求点的坐标． 【答案】(1)①证明见解析，②证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）①因为， 所以，，，， 得， ， 所以． ②由知，点为四边形外接圆的圆心． 因为，， 所以， 所以，，四边形外接圆的圆心为的中点， 所以点的坐标为，得证． （2）易得，，． 因为将四边形分成周长相等的两部分，则点在上，且． 设点的坐标为，则， 所以，则 故点的坐标为． 34．在边长为的等边三角形中． (1)当点是边上距离较近的三等分点时，请用和表示； (2)当点是边上的动点，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由． 【答案】(1) (2)是，且定值为 【分析】 【详解】（1）如下图所示： 当点是边上距离较近的三等分点时，，即， 解得. （2）取线段的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，，， 所以，故. 35．如图，在直角中，点为斜边的靠近点的三等分点，点为的中点，，． (1)用，表示和； (2)求向量与夹角的正弦值． 【答案】(1)， (2)． 【分析】 【详解】（1）以A为原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，． ，，，， 设，则，解得，，， 设，则，解得，，． （2）由（1）知，，． ，． 故，． 故向量与夹角的正弦值为． 题型七：利用坐标研究平面几何的最值范围 36．已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 37．已知下图是一个边长为3的九宫格（由9个边长为1的小正方形构成），九宫格中有16个节点（如图加黑的16个点），从这16个点中任选互不相同的三个点，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 16个点的坐标为 若点在原点，任取两点作为向量坐标，发现或取得最大值，故的最大值为. 经检验可知，当，取其他坐标时，的值均不会超过. 38．如图，在中，为线段的中点，，为线段的中点，为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系： 因为在中，为线段的中点，所以， 则，所以， 设，，则， 所以，故， 又因为，所以， 所以，故，， ，因为，所以 即的最大值与最小值的差为. 故选：D. 39．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， 则，，所以， 因为，所以，则， 故，即的取值范围是. 40．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】如图： 设（）， 则， 又， 所以. 所以 ，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. 41．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________． 【答案】 【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 设点，则，，， 所以， 则， 当且仅当，时，取最小值． 42．在梯形中，，，，，，点在线段上，且.若，其中、为实数，则_________；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 / 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，则、、， 由题意得，所以，则， 故， 因为、不共线，且，则，，故， 因为，故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $