培优01 排列组合常见方法9种重难题型（专项训练）数学人教A版选择性必修第三册

培优01 排列组合常见方法9种重难题型 题型1 特殊元素、特殊位置法 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 1．2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 【答案】D 【详解】当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当火炬手完成第一棒时，有种不同的传递方案， 故共有种不同的传递方案. 故选：D. 2．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 【答案】B 【详解】让甲站位有种方法，再让乙丙站位有种方法，最后排余下5人，有种方法， 由分步乘法计数原理得， 所以这八位同学一共有480种站位方式. 故选：B 3．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若甲跑第1棒，剩余3棒需要从5人中选3人安排，分为三种情况： 乙，丙均不参加，此时有种安排方案； 乙，丙有且仅有一人参加，此时有种安排方案； 乙，丙均参加，此时有种安排方案； 若甲跑第4棒，第1棒只能从去除乙，丙，丁后的2人中选择，第2,3棒从剩余的4人中安排即可，此时有种安排方案； 由分类计数原理可得，共有种安排方案. 故选：B 4．甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（    ） A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 【答案】B 【详解】先安排甲，再将剩余的2人进行排列，故这三人的不同选择方法共有种. 故选：B 5．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（    ）种． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】第一步，从除组长、甲、乙外的9人中选出2人，有种； 第二步，甲、乙和选出的2人排在前排，共种； 第三步，后排7人全排列，有种， 由分步乘法计数原理可得共有种. 故选：D 6．在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，则不同的填法共有______种． 【答案】30240 【详解】先从9个格子中任选两个格子填入1，共有种填法； 再从剩下的7个格子中任选三个格子填入2，共有种填法； 最后将3，4，5，6填入剩余的四个格子中，共有种填法， 所以不同的填法共有种． 题型2 捆绑法和插空法 1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 7．某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 【答案】A 【详解】先将节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》捆绑在一起， 有种排法，再把这个整体和另外三个节目全排列，有种排法， 则共有种排法，故A正确. 故选：A 8．某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先排好3位女生，有种排法，此时产生4个空位，再将4位男生排入这4个空位，有种排法， 根据分步乘法计数原理，共有种坐法. 故选：D. 9．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 【答案】A 【详解】让两端的两盏灯亮着，再点亮中间8盏中的5盏， 5盏灯有6个空格，从6个空格中随机的选3个空格，因为灯是没有顺序的，所以共有种， 故选：A. 10．（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男、女各站在一起，共有24种排法 B．男生不能排在一起，共有54种排法 C．男生必须排在一起，共有48种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 【答案】ACD 【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ，A正确， 在B选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，B错误， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C正确， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 11．小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 【答案】432 【详解】第一步，排4道A型题．4道A型题全排列，有种安排顺序； 第二步，排2道B型题．排好后的A型题会产生5个空位（包括两端）， 将2道B型题插入空位．有种安排顺序， 由分步乘法计数原理，得B型题不相邻的安排顺序有种； 第三步，排除不符合要求的情况．前3道题都是A型题的情况， 即2道B型题在第4题和第6题的位置：4道A型题全排列，有种安排顺序， 2道B型题全排列，有种安排顺序， 所以不符合要求的安排顺序有种． 所以不同的安排顺序有种． 12．某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 【答案】(1)2880 (2)384 【详解】（1）先把4位学生看作1个元素，再与4位学生的爸爸进行排列，排法种数为， 4个学生之间再进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为． （2）先把每对父子看作1个元素进行排列，排法种数为， 再把每对父子进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为． 题型3 间接法 13．某校组织数学竞赛培训，需从5名男生和4名女生中选3人组成集训小组，要求至少有一名女生，则不同的选法共有多少种（   ） A．74 B．70 C．64 D．80 【答案】A 【详解】从人中选3人共有种选法，其中全部为男生的有种选法， 故至少有一名女生的选法有种. 故选：A 14．某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 【答案】B 【详解】由6名演员站成一排表演，共有种排法， 甲站在最左边，有种排法，乙站在最右边，有种排法， 甲站在最左端且乙站在最右端，有种排法， 所以甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有种排法. 故选：B. 15．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【详解】先考虑将六位大学生村官分派到五个贫困村的分法种数， 则五个贫困村分派的村官人数分别为、、、、， 不同的派遣方案种数为； 接下来考虑甲、乙两位大学生村官分派在同一个贫困村，则不同的派遣方案种数为种， 由间接法可知，甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有种. 故选：B. 16．已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（   ）种. A．72 B．144 C．288 D．408 【答案】D 【详解】先考虑甲不站两端的情况，甲在中间4个位置中任选一个位置，其余5人全排列，共有种； 再考虑甲不站两端且3名护士相邻的情况，将3名护士看作一个整体，则共有4个位置可供选择， 甲先在中间2个位置中任选一个位置，其余3人全排列，以及3名护士全排列，共有种， 则满足题意的排法共有种. 故选：D 17．从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种． 【答案】180 【详解】总选法：从 7 人中选出 3 人担任 3 个不同职务共种， 甲、乙两人都入选的不同选法共有种， 所以甲、乙两人不都入选的不同选法共有种. 故答案为：180. 18．已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为________. 【答案】1084 【详解】由条件可知, 因为，且集合中有3个元素，所以个， 因为满足的集合有个， 所以既满足，又满足的集合有个. 故答案为：1084 题型4 倍缩法（定序问题） 定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 19．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 【答案】A 【详解】如下图所示，对集装箱编号，则可知排列相对顺序为1,2,3（即1号箱子一定在2号箱子前被取走，2号箱子一定在3号箱子前被取走）4,5,故不同取法的种数是 ， 故选：A 20．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 【答案】C 【详解】站在一起有种， 将看成一个整体与进行全排列，共有种， 同时要求在的左边，共有种． 故选：. 21．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 【答案】C 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，且顺序一定，茄子净肉和鸡胸肉顺序一定， 所以不同的排序方法有种方法. 故选：C 22．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】60 【详解】依题意，6串香蕉任意收取共有种方法， 考虑在收取最右边一列时有种取法，收取中间一列时有种取法， 而从下往上收取只是其中的一种，故按照从下往上的收取方法，不同取法数是种. 故答案为：60. 23．有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有_______________种不同的站法．（用数字作答） 【答案】56 【详解】因为共8位同学站成一排，原来6位同学的相对顺序保持不变， 所以共有种不同站法， 故答案为：56． 题型5 排数问题 常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 24．将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将四个数组成没有重复数字的四位数， 从小到大排列：， 所以第个四位数是. 25．从、、、、、中任选个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若个位上的数字为，则这样的四位偶数的个数为； 若个位数字不是，则个位数字为或，首位有中选择，这样的四位偶数的个数为. 所以，四位偶数的个数为个； 下面考虑这个四位数既是偶数，又满足个位、十位和百位上的数字之和为偶数的情况： 若个位、十位和百位上的数字都是偶数，则首位从、、中选择一个数，有种选择， 再将、、排在个位、十位和百位上，这样的四位偶数个数为个； 若个位、十位和百位上的数字中有个奇数、个偶数，则十位、百位上的数字为奇数， 若首位为奇数，则三个奇数分别排首位、百位、十位，则个位排偶数，这样的四位偶数的个数为个； 若首位为偶数，则首位从、中选择一个，个位从以及剩余的一个偶数中选择， 十位、百位从个奇数中选择个排列即可，这样的四位偶数的个数为个. 综上所述，个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位偶数的个数为个. 故所求概率为. 故选：A. 26．“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 【答案】B 【详解】若千位数字是5，则百位数字只能是7或8，故共有（个）； 若千位数字是7，则共有（个）； 若千位数字是8，则共有（个）． 故符合条件的四位数共有（个）． 故选：B. 27．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】(1)156 (2)216 (3)270 【分析】 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个; （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个； 个位数上的数字是5的五位数有个, 故满足条件的五位数的个数共有个； （3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 28．（多选）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 【答案】BCD 【详解】对于A选项，5，4，3，2，1，0，最高位不能是零，其余数字全排列,则A选项错误. 对于B选项，B选项正确. 对于C选项，C选项正确. 对于D选项，分四种情况，若不选2，则有个； 若选1个2，则有个； 若选2个2，则有个； 若选3个2，则有个， 一共有个，D选项正确. 故选：BCD 29．互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 【答案】 【详解】根据题意，的全排列有种， 因为随机变量满足：， 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 因为满足或， 即满足的排列有：，共种， 所以的概率． 30．将1，2，3，4这四个数字填入下表，要求表中每行每列的数字全不相同，则不同的排列方法有______种． 【答案】576 【详解】对于第一行，不同的排法有种． 不妨设第一行依次排1，2，3，4．当第二行第一位排数字2时， 若第二行数字排列为：2，1，4，3，则第三行有4种排列方法， 分别为3，4，1，2；3，4，2，1；4，3，1，2；4，3，2，1； 若第二行数字排列为：2，3，4，1，则第三行有2种排列方法， 分别为3，4，1，2和4，1，2，3； 若第二行数字排列为：2，4，1，3，则第三行有2种排列方法， 分别为3，1，4，2和4，3，2，1； 在前三行固定后，第四行唯一确定， 故此种情况有8种排列方法. 同理，当第二行第一位排数字3或4时，各有8种排列方法. 由乘法原理得，故不同的排列方法有576种. 故答案为：576 题型6 分组分配问题 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 31．2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【详解】根据题意可知第一类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，丙、丁、戊有一人体验漆扇绘梦， 剩下两人分别体验另外两个项目，则有种方案， 第二类是漆扇绘梦有甲、乙两人体验，糖画塑形、剪纸生花任选一个有两人体验， 则有种方案，综上总共有种方案. 故选： 32．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案， 故选：D 33．从5名医生中选择4人参加为期三天的社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有（   ）种安排方法 A．180 B．90 C．36 D．30 【答案】A 【详解】第一步，从5人中选4人，共有种取法， 第二步，将4人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计数原理知，共有种安排方法. 故选：A. 34．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答） 【答案】30 【详解】分两种情况讨论： ①按分组：根据题意，甲乙必在人组，再从{丙，丁，戊}中选人加入该组，有种选法， 此时形成的三个小组（一个人组，两个人组）安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； ②按分组：根据题意，甲乙自成一个人组。因丙丁不安排在同一教室，故另一个人组只能是{丙，戊}或{丁，戊}，有种选法， 此时形成的三个小组(两个2人组，一个1人组)安排到三个不同教室，有种方法， 故共有种方法； 综上可得：不同的安排方法数共有种. 35．某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______. 【答案】 【详解】人数安排可以是，， 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择2人坐该车，然后再从剩余的人中选取4人坐其中一辆，共有种； 若为，则先从车辆中选1辆，再从来宾中选择4人坐该车，然后再从剩余的人中选取3人坐其中一辆，共有种； 则共有种安排方式. 故答案为：. 36．甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， (1)若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； (2)若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意可得从5名学生中选3名学生，再将这3名学生分配给3名老师， 所以一共有种分配方案. （2）第一步，从5名学生中任选一名分给老师甲，有种分配方案； 第二步将剩下的4名学生分成两组(每组至少1个)，再分配给乙、丙两位教师； 这两组人数为1和3时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 这两组人数为2和2时，有种， 再分配给乙、丙两位教师，有种， 此时共有种分配方案； 所以第二步一共有种分配方案， 所以一共有种分配方案. 题型7 多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 37．有11名学生是数学物理竞赛队员，有5人只擅长数学，4人只擅长物理，还有2人数学和物理都精通，现在要从11人中选4人参加数学竞赛，选4人参加物理竞赛，且数学物理竞赛时间相同，则组队方案有（    ） A．120种 B．185种 C．245种 D．285种 【答案】B 【详解】①若选的学生中数学和物理都精通的人数是0，则组队方案有种； ②若选的学生中数学和物理都精通的人数是1， 当该学生参加数学竞赛时，组队方案有种， 当该学生参加物理竞赛时，组队方案有种， 此时组队方案有60种； ③若选的学生中数学和物理都精通的人数是2， 当这两名学生都参加数学竞赛时，组队方案有种， 当这两名学生都参加物理竞赛时，组队方案有种， 当这两名学生一人参加数学竞赛，一人参加物理竞赛时，组队方案有种. 此时组队方案有种. 综上，组队方案有种. 故选：B. 【点睛】本题考查“多面手”问题，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 38．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 【答案】C 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：C 39．某班有名运动员，其中人会打篮球，人会踢足球，现从中选出人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 ________ ． 【答案】 【详解】依题意，名运动员，其中人会打篮球，人会踢足球， 所以个人中，只会打篮球的有人，只会踢足球的有人，两项运动都会的有人. 从中选出人分别参加篮球赛和足球赛， ①，从两项运动都会的人中选人： 方法数有：. ②，从两项运动都会的人中选人： 方法数有：. ③，从两项运动都会的人中选人： 方法数有：. 所以不同的选派方案有种. 故答案为： 40．现有10名运动员，其中有8名擅长铁饼运动，5名擅长跳高运动，3名既擅长铁饼又擅长跳高运动.现要从中选4人参加一个2人铁饼，2人跳高的混合田径比赛，则有______种不同的参赛方法（用数字作答）. 【答案】199 【分析】 【详解】根据题意，作以下设定，设集合， ，. 当集合中有2人参加比赛时，此时共有种； 当集合中有1人参加比赛时，则必须在集合中选1人参加比赛，此时共有种； 当集合中没有人参加比赛时，则必须在集合中选2人参加比赛，此时共有种.故共有199种不同的参赛方法. 【点睛】本题考查分类条件下的排列组合，属于基础题 题型8 染色问题 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 41．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】C 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 42．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 43．（多选）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 44．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂色种数为__________． 【答案】108 【详解】因为要求相邻的词语涂色不同， 所以首先给“爱国”涂色，有4种选择；则给“敬业”涂色，有3种选择；给“诚信”涂色，有3种选择；给“友善”涂色，有3种选择； 根据分步乘法计数原理，共有(种). 45．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 【答案】 1024； 48 【详解】空一：每块区域任意涂上一种颜色，即每块区域都有4种选择， 则有种不同涂法； 空二：若同色：先涂有4种，然后涂有种， 此时共有种； 若不同色：先涂有种，然后涂有种，最后涂有1种， 此时共有种. 综上，共有种. 46．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有______种． 【答案】264 【详解】根据题意可得，用3种颜色涂色有（种），用4种颜色涂色有（种）， 共有（种）． 故答案为：. 题型9 隔板法 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 47．现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（    ） A．84种 B．129种 C．156种 D．165种 【答案】D 【详解】3本都给1个人：共种； 3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种； 3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种； 总结果数：种. 48．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 【答案】B 【详解】法一：由题意，问题相当于用2个隔板把6个排成一排的球从左到右分成三份， 其中最左侧的一份至少有1个球，靠右侧的两份可以是0个球， 首先第1个隔板从左到右依次插入这一排球所形成的7个空的后6个空中的一个， 再把第2个隔板插入第1个隔板所在空及其右侧的任意一个空， 共有个吉祥数. 法二：等价于从左到右三份分别对应且，， 若，则，即求出方程非负整数解的个数， 由隔板法有个吉祥数. 49．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 【答案】C 【详解】根据插板法公式，方法数为. 故选：C. 50．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组， 采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置， 所以不同的分配方法种数为种. 故选：A 51．方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 【答案】 455 969 【详解】可将16理解为16个1相加．而x，y，z，w相当于四个盒子，每个盒子里装入若干个1．则每个盒子里若干个1的和构成其中一组正整数解． 对于第一空，用隔板法，将16个1排成一排，形成15个空隙， 在空隙中插入3个隔板，将16个1截为4部分， 每一部分的和对应原四元方程的正整数解，则有组正整数解． 对于第二空，正整数解与非负整数解的区别在于非负整数解可以是0， 相当于允许盒子为空，而隔板法适用于盒子非空的情况，所以考虑进行化归． 由， 得， 则这四个盒子非空即可， 此时使用隔板法，可得原方程共有组非负整数解． 故答案为：455，969 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 排列组合常见方法9种重难题型 题型1 特殊元素、特殊位置法 处理特殊元素或特殊位置的问题，通常采用优先法，即优先安排有限制条件的元素或位置，再处理其他元素。对于复杂情况，可结合排除法，先计算总情况数再减去不符合条件的情况。这类问题的核心是分步分类处理约束条件，确保特殊元素或位置优先满足限制。 1．2025年11月9日至21日，第十五届全运会在广东、香港、澳门三地举办.在全运会的火炬传递中，某路段的传递活动由，，，，，共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从，中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且，两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为（   ） A．54 B．60 C．102 D．114 2．如图所示，某学校进行“大脚板”趣味运动，需要八名同学一起团结协作，统一步调才能前进．甲同学作为队长需要喊口令，故只能站在最中间的两个位置之一，方便前后的同学都清晰地听到口令．乙、丙两位同学经验较为丰富所以站在最前或最后面，则这八位同学一共有多少种站位方式（   ） A．240 B．480 C．720 D．960 3．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2，3棒，丁不能跑第1棒.那么合适的选择方法种数为（    ） A． B． C． D． 4．甲､乙､丙三人各自计划暑假去重庆旅游，他们都从武隆天生三桥､长江索道､洪崖洞民俗风貌区､重庆动物园､仙女山､白帝城这六个景区中任选一个，若甲不去重庆动物园，且甲､乙､丙三人去的景区互不相同，则这三人的不同选择方法共有（    ） A．96种 B．100种 C．108种 D．120种 5．有12位同学在毕业前夕要留影，每位同学的身高均不同，要求排成前5位、后7位的两排，且组长站在前排正中间，两位女生甲、乙站前排，则所有的排法有（    ）种． A． B． C． D． 6．在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，则不同的填法共有______种． 题型2 捆绑法和插空法 1.相邻问题捆绑法：某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看做一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部顺序． 2.不相邻问题插空法：某些元素要求不相邻时，可以先安排其他的元素，再将这些不相邻的元素插入由其他元素形成的空当． 7．某中学《十年弦歌育桃李•党恩师泽启新程》文艺演出于2025年12月31日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，要求：节目《新年!你好》､《觉醒年代》､《精武门》必须相邻，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（    ） A．144种 B．156种 C．188种 D．240种 8．某教室有一排个座位，4位男同学和3位女同学要坐下，但为了减少聊天，规定同性别的同学不能相邻而坐（即任意两位男生不相邻，任意两位女生不相邻）的坐法总数为（   ） A． B． C． D． 9．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，而且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有（   ） A．20种 B．120种 C．56种 D．60种 10．（多选）2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（    ） A．男、女各站在一起，共有24种排法 B．男生不能排在一起，共有54种排法 C．男生必须排在一起，共有48种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 11．小李从网上选了4道不同的A型题和2道不同的B型题，现将这6道题组成一份练习题．要求B型题不相邻且前3道题中至少有1道B型题，则6道题不同的安排顺序有________种． 12．某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 题型3 间接法 13．某校组织数学竞赛培训，需从5名男生和4名女生中选3人组成集训小组，要求至少有一名女生，则不同的选法共有多少种（   ） A．74 B．70 C．64 D．80 14．某文艺汇演有6名演员（含甲、乙）站成一排表演，若甲不站最左边，乙不站最右边，则不同的排法有（    ） A．480种 B．504种 C．360种 D．288种 15．县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 16．已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（   ）种. A．72 B．144 C．288 D．408 17．从包含甲、乙两人的7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法共有__________种． 18．已知集合A和集合B各含有12个元素，含有4个元素，集合C满足：①；②；③C中含有3个元素，则同时满足上面条件的集合C的个数为________. 题型4 倍缩法（定序问题） 定序问题使用倍缩法，即某些特殊元素要求排列后的先后顺序不变，排列时可以把它们与其余的元素一起排列，然后除以它们数量的阶乘． 19．如图所示，某码头有两堆集装箱，一堆2个，另一堆是3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运过程中不同取法的种数是（ ） A．10 B．20 C．60 D．120 20．从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求相邻，在的左边，则不同的站法共有（    ） A．480种 B．240种 C．120种 D．60种 21．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 22．如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数为__________.（结果用数字表示） 23．有6位同学排成一排准备拍照，拍照前加入了2位同学，如果要求他们仍站成一排，同时原来6位同学的相对顺序保持不变，则有_______________种不同的站法．（用数字作答） 题型5 排数问题 常见的排数问题：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． 24．将四个数组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，那么第个四位数是（   ） A． B． C． D． 25．从、、、、、中任选个不同的数字组成一个四位数，若这个四位数是偶数，则个位、十位和百位上的数字之和为偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 26．“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当 142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这 6 个数字组成. 若从 1，4，2，8，5，7这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700 的偶数个数是（   ） A．66 B．75 C．78 D．90 27．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 28．（多选）现有8个小朋友玩游戏，其中5个小朋友手中拿的数字分别是5，4，3，1，0，另外三个小朋友都拿的是数字2，小朋友们要用手中的数字来组数，每个小朋友的数字最多用一次，则下列说法正确的是（   ） A．可以组成720个没有重复数字的六位数 B．若不选0，则可以组成240个相邻数字不相同的七位数 C．可以组成2160个相邻两个数字不相同的八位数 D．若0必选，则可以组成832个五位数 29．互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 30．将1，2，3，4这四个数字填入下表，要求表中每行每列的数字全不相同，则不同的排列方法有______种． 题型6 分组分配问题 个不同元素按照某些条件分配给个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将个不同元素按照某些条件分成组，称为分组向题。分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。 31．2025年东南现代农博会·花博会在漳州东南花都隆重举行，活动现场的非遗区有三个项目：漆扇绘梦、糖画塑形、剪纸生花，主理人现场演示，游客可亲手体验.现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学在非遗区体验，三个非遗项目都有同学去体验，且每名同学只能体验一个项目，其中甲和乙选择体验漆扇绘梦，不同的体验方案共有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 32．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（    ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 33．从5名医生中选择4人参加为期三天的社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有（   ）种安排方法 A．180 B．90 C．36 D．30 34．某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答） 35．某单位有10位来宾抵达当地机场，该单位要派3辆车去接来宾，已知每辆车最多可接4位来宾，则这10位来宾坐车的不同安排（不考虑同一辆车内来宾座位的安排）的种数为______. 36．甲、乙、丙三位教师指导五名学生，，，，参加全国高中数学联赛， (1)若每位教师至多指导一名学生，每名学生至多接受一位教师指导，求共有多少种分配方案； (2)若每位教师至少指导一名学生，教师甲只指导一名学生，每名学生有且只有一位指导教师，求共有多少种分配方案. 题型7 多面手问题 一般要通过分类讨论，根据多面手参与的角色类型拆分计算。通常将多面手视为“动态元素”，分析其被分配到不同任务的情况（例如不参与、参与A任务、参与B任务或同时参与两种任务等），再结合剩余单一能力者进行组合计算。该方法通过穷举多面手的所有合理分配路径，结合加法原理完成整体计数。 37．有11名学生是数学物理竞赛队员，有5人只擅长数学，4人只擅长物理，还有2人数学和物理都精通，现在要从11人中选4人参加数学竞赛，选4人参加物理竞赛，且数学物理竞赛时间相同，则组队方案有（    ） A．120种 B．185种 C．245种 D．285种 38．“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手，其中有2名只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛，其中2名划左桨，2名划右桨，则不同的选派方法共有（    ） A．15种 B．18种 C．19种 D．36种 39．某班有名运动员，其中人会打篮球，人会踢足球，现从中选出人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有 ________ ． 40．现有10名运动员，其中有8名擅长铁饼运动，5名擅长跳高运动，3名既擅长铁饼又擅长跳高运动.现要从中选4人参加一个2人铁饼，2人跳高的混合田径比赛，则有______种不同的参赛方法（用数字作答）. 题型8 染色问题 （1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法；（2）根据使用颜色总数分类讨论；（3）根据某2个不相邻区域是否同色分类讨论；（4）根据相间区域使用颜色的种类分类讨论；（5）遇到点或线或面的涂色问题，可将空间问题平面化转化成区域涂色问题。 41．如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 42．如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 43．（多选）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 44．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂色种数为__________． 45．将图中A，B，C，D，E五块区域涂上颜色，现有4种不同的颜色可供选择．若每块区域任意涂上一种颜色，则共有________种不同涂法；若相邻区域不同色且4种颜色全部使用，则共有________种不同涂法． 46．如图所示，用4种不同的颜色涂三棱台的顶点，同一线段的端点不同色，且颜色可以不用完，则不同的涂法有______种． 题型9 隔板法 将个相同的元素分给个不同的对象（），有种方法，可描述为个空中插入块板 47．现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（    ） A．84种 B．129种 C．156种 D．165种 48．我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（   ） A．22个 B．21个 C．20个 D．19个 49．把6张相同的卡片全部分给4个人，每人至少分1张，则不同的分法共有（   ） A．4 B．6 C．10 D．24 50．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 51．方程共有______组正整数解，共有_____组非负整数解． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $