期中复习讲义04：正比例与反比例（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

期中复习讲义04：正比例与反比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、正比例的意义及辨识 1.正比例的核心定义 两种相关联的量（一种量变化，另一种量会随之发生变化），如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 2.正比例的字母关系式 (1)用字母 、 表示两种相关联的量，用 表示它们的固定比值（一定且不为0），正比例关系可表示为： (2)本质： 随 的变化而同步变化（同扩同缩），且比值始终恒定。 3.正比例的辨识方法（判断三步骤） (1)判断关联性：两种量必须是相关联的变量，一种量变化能引起另一种量变化，无关联则一定不成比例。 (2)判断变化方向：两种量的变化方向相同（一种量扩大/缩小，另一种量也随之扩大/缩小）。 (3)判断比值定值：计算两种量对应数值的比值，若比值始终固定不变，则成正比例；若比值不固定，则不成正比例。 4.正比例的关键特征 (1)变量关系：相关联、同变化。 (2)定量关系：比值（商）一定。 (3)非正比例情形：两种量相关联但比值不定；两种量不相关联；其中一种量为固定常量（非变量）。 考点二、正比例图象的认识 1.正比例图象的基本特征 正比例关系的图象是一条 经过平面直角坐标系原点（0,0）的直线。 2.正比例图象的绘制方法 (1)整理数据：列出两种相关联的成正比例量的多组对应数值。 (2)描点：以一种量为横轴（ 轴）、另一种量为纵轴（ 轴），在方格纸（坐标系）中根据每组数据描出对应坐标点。 (3)连线：将所有描出的点用直线依次连接，并向两端适当延伸，形成完整直线。 3.正比例图象的性质与解读 (1)直线过原点：当 时，，符合“0对应0”的正比例初始状态。 (2)变化趋势直观：直线从左下向右上延伸，直观体现两种量同步扩大、同步缩小的同向变化趋势。 (3)取值对应性：图象上任意一点的横、纵坐标，都对应两种量的一组实际数值；可根据一个量的数值，在图象上直接找到另一个量的对应数值。 考点三、正比例的应用 1.正比例应用的核心思路 依据正比例关系中比值恒定的特性，建立比例式，通过解比例求解未知量；核心是“定量不变，变量成比例”。 2.正比例应用的解题步骤 (1)判断比例关系：分析问题中的两种量，确认其成正比例（相关联、同变化、比值一定）。 (2)设未知量：设题目中要求的未知量为 。 (3)列比例式：根据“两组对应数值的比值相等”，列出正比例比例方程（）。 (4)解比例：利用比例的基本性质（内项积=外项积）求解未知量 。 (5)检验作答：验证结果是否符合实际意义与比例关系，再规范作答。 3.正比例的常见应用场景 (1)行程问题：速度一定时，路程与时间成正比例。 (2)工程问题：工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例。 (3)购物问题：单价一定时，总价与数量成正比例。 (4)几何问题：正方形周长与边长、圆的周长与直径成正比例。 (5)生产问题：单位产量一定时，总产量与生产数量成正比例。 考点四、反比例的意义及辨识 1.反比例的核心定义 两种相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化），如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 2.反比例的字母关系式 (1)用字母 、 表示两种相关联的量，用 表示它们的固定乘积（一定且不为0），反比例关系可表示为： (2)本质： 随 的变化而反向变化（一扩一缩），且乘积始终恒定。 3.反比例的辨识方法（判断三步骤） (1)判断关联性：两种量必须是相关联的变量，一种量变化能引起另一种量变化。 (2)判断变化方向：两种量的变化方向相反（一种量扩大/缩小，另一种量反而缩小/扩大）。 (3)判断乘积定值：计算两种量对应数值的乘积，若乘积始终固定不变，则成反比例；若乘积不固定，则不成反比例。 4.反比例的关键特征 (1)变量关系：相关联、反变化。 (2)定量关系：乘积一定。 (3)非反比例情形：两种量相关联但乘积不定；两种量不相关联；其中一种量为固定常量（非变量）。 考点五、反比例的应用 1.反比例应用的核心思路 依据反比例关系中乘积恒定的特性，建立等式，通过解方程求解未知量；核心是“定量不变，变量成反比”。 2.反比例应用的解题步骤 (1)判断比例关系：分析问题中的两种量，确认其成反比例（相关联、反变化、乘积一定）。 (2)设未知量：设题目中要求的未知量为 。 (3)列等式：根据“两组对应数值的乘积相等”，列出反比例方程（）。 (4)解方程：通过四则运算求解未知量 。 (5)检验作答：验证结果是否符合实际意义与比例关系，再规范作答。 3.反比例的常见应用场景 (1)行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。 (3)面积问题：长方形面积一定时，长与宽成反比例；平行四边形面积一定时，底与高成反比例。 (4)购物问题：总价一定时，单价与数量成反比例。 (5)分配问题：总数量一定时，每份数与份数成反比例。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【例题1】下列数量关系式中，不成正比例关系的是（    ）。 A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积 C．一件物品的单价一定，购买这件物品的数量和总价 D．甲数是乙数的，甲和乙 【答案】A 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。 【详解】A．出勤人数＋缺勤人数＝全班人数（一定），出勤人数与缺勤人数的和一定，所以全班人数一定，出勤人数和缺勤人数不成比例关系。 B．因为圆柱的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积÷底面积＝高（一定），即圆柱的体积与底面积的比值一定。所以圆柱的体积与底面积成正比例关系。 C．总价÷数量＝单价（一定），即购买这件物品的数量和总价的比值一定，所以购买的数量和总价成正比例关系。 D．因为甲数是乙数的，即甲＝乙×，由此可得：甲∶乙＝，甲和乙的比值一定，所以甲数是乙数的，甲和乙成正比例关系。 故答案为：A 【变式训练1】成语“立竿见影”中“竿”和“影”的关系体现了比例知识中的正比例关系。( ) 【答案】√ 【分析】正比例关系的定义是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且它们的比值一定。在太阳光下，同一时间、同一地点，竿高和影长的比值固定，因此符合正比例关系。 【详解】在同一时间、同一地点，太阳光线与地面的夹角固定，此时竿高与影长的比值（即竿高÷影长）为定值。例如，若竿高为2米时影长为1米，竿高为4米时影长为2米，则竿高与影长的比值始终为2。因此，“立竿见影”中“竿”和“影”的关系体现了正比例关系，原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】中国之美，美在文化渊博，“水滴石穿”出自东汉《汉书·枚乘传》比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就难能的功劳。笑笑下雨时统计了一下雨滴的滴数与时间的关系，如下表： 滴数/滴 15 30 45 60 … 时间/秒 10 20 30 40 … (1)从表中你可以发现，时间越长，滴数越( )。 (2)表中( )和( )是两种相关联的量，这两种量的( )一定，所以它们成( )比例。 【答案】(1)多 (2) 滴数 时间 比值 正 【分析】（1）根据表格可发现，时间越长，滴数越多； （2）用滴数除以时间，比值一定，据此可确定两种相关联的量。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。 【详解】（1）从表中可以发现，时间越长，滴数越多。 （2）因为，所以滴数和时间是两种相关联的量，这两种量的比值一定，所以它们成正比例。 题型二、正比例图象的认识 【例题2】一台织布机织布的时间和米数如下表。 时间/时 1 2 3 4 5 … 织布米数/m 16 32 48 64 80 … (1)织布时间和织布米数成正比例吗？为什么？ (2)先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ 【答案】(1)成正比例，因为织布时间和织布米数的比值一定。 (2)我发现正比例关系图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线。图像见详解。 【分析】（1）如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量成正比例关系；（2）根据表格中的数据在坐标图上描点再连线，从图中找到成正比例的图像特点。 【详解】（1）由表格数据可得：织布米数随着织布时间的变化而变化，织布时间∶织布米数＝1∶16＝2∶32＝3∶48＝4∶64＝5∶80＝，比值一定，成正比例。 （2）我发现正比例关系图像是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线。 【变式训练1】哈尔滨亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大家喜爱。已知“滨滨”和“妮妮”的冰箱贴每套售价24元，购买2套、3套、4套、5套，分别需要多少元？ （1）完成下表： 数量/套 0 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 0 24 … （2）判断应付金额与购买冰箱贴的数量是否成正比例，并说明理由。 （3）把上表中数量和应付金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 【答案】（1）48；72；96；120 （2）成正比例；理由见详解 （3）见详解 【分析】（1）已知“滨滨”和“妮妮”的冰箱贴每套售价24元，根据“总价＝单价×数量”分别求出购买2套、3套、4套、5套的总价； （2）判断两种相关联的量即应付金额与购买冰箱贴的数量是否成正比例，就看它们的比值是否一定，如果应付金额与购买冰箱贴的数量的比值是定值，则应付金额与购买冰箱贴的数量成正比例； （3）将（1）中的数量和应付金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接即可。 【详解】（1）24×2＝48（元） 24×3＝72（元） 24×4＝96（元） 24×5＝120（元） 将数据填入下表： 数量/套 0 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 0 24 48 72 96 120 … （2）应付金额与购买冰箱贴的数量成正比例。 理由：因为24÷1＝24（元） 48÷2＝24（元） 72÷3＝24（元） 96÷4＝24（元） 120÷5＝24（元） 总价÷数量＝单价（单价是一定的），所以应付金额与购买冰箱贴的数量成正比例。 （3） 【变式训练2】笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 【答案】（1）成；行驶的路程和耗油量的比值一定； （2）6； （3）需要加油；见详解 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）行驶的路程和耗油量的比值表示1升油可以行驶多少千米，汽车的耗油量＝汽车行驶的总路程÷每升油可以行驶的路程； （3）由上可知，每升汽油可以行驶10千米，求出4升汽油可以行驶的路程，再和50千米比较大小，结果大于50千米时不用加油，结果小于50千米时需要加油，据此解答。 【详解】（1）由图可知，（一定），因为行驶的路程和耗油量的比值一定，所以行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （2）60÷10＝6（升） 所以，汽车耗油6升。 （3）4×10＝40（千米） 因为40千米＜50千米，所以需要加油。 答：笑笑的爸爸需要加油。 题型三、正比例的应用 【例题3】好滋味海鲜市场生意兴隆，6天卖出海鲜270千克。照这样计算，8天能卖出海鲜多少千克？（用比例解） 【答案】360千克 【分析】由题意可知，每天卖出海鲜的质量不变，卖出海鲜的总质量÷天数＝每天卖出海鲜的质量（一定），则卖出海鲜的总质量和天数成正比例关系，所求海鲜的质量∶8天＝已知海鲜的质量∶6天，据此解答。 【详解】解：设8天能卖出海鲜x千克。 x∶8＝270∶6 6x＝270×8 6x＝2160 x＝2160÷6 x＝360 答：8天能卖出海鲜360千克。 【变式训练1】飞云楼被誉为“中华第一木楼”，高约23米，宽约12米，是全国重点文物保护单位。六（1）班学生在实践项目中，制作的“飞云楼”模型高度与实际高度的比是1∶115，那么“飞云楼”模型的高度约是多少分米？（用比例解） 【答案】2分米 【分析】根据1米＝10分米，将实际高度转换为分米，即23米＝230分米，然后根据比例关系，模型高度与实际高度的比是1∶115，列比例为x∶230＝1∶115，解比例即可解答。 【详解】解：设“飞云楼”模型的高度约是x分米。 23米＝230分米 x∶230＝1∶115 115x＝230 115x÷115＝230÷115 x＝2 答：“飞云楼”模型的高度约是2分米。 【变式训练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 【答案】42000毫升 【分析】根据题意可知，药液和水的比1∶200，它们的比值一定，成正比例关系，现有2瓶105毫升的药液，即2×105＝210毫升，假设需要加水x毫升，根据比例的意义（两个比相等的式子），可列出比例1∶200＝210∶x，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得x＝210×200，计算出210×200的结果，即可求出需要加入多少毫升水。。 【详解】药液总体积： （毫升） 解：设需要加入毫升水。 答：需要加入 42000 毫升水。 题型四、反比例的意义及辨识 【例题4】下面两个量成反比例的是（    ）。 A．一个非零数与它的倒数 B．高一定，圆柱的体积和底面积 C．正方形的边长与周长 D．小丽同学的身高和体重 【答案】A 【分析】根据反比例的意义，要判断两个量是否成反比例，核心依据是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数乘积一定，则成反比例关系。 【详解】A．设这个非零数为a，它的倒数为，可得，乘积是固定值1，符合反比例的意义，一个数与它的倒数成反比例。该选项正确。 B．圆柱体积V＝Sh，高一定时，圆柱的体积和底面积的比值一定，成正比例，不是反比例。该选项错误。 C．正方形周长C＝4，正方形的周长与边长的比值一定，成正比例，不是反比例。该选项错误。 D．身高和体重没有固定的乘积或比值关系，不成比例。该选项错误。 【变式训练1】如果（x和y都不为0），那么x和y成( )比例；如果 （x不为0）， 那么x和y成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】把外项3与y交换位置，得到x与y的比值一定，则x与y成正比例； 根据比例的基本性质得到两个内项的积等于两个外项积的形式，得到x与y的乘积一定，则x与y成反比例。 【详解】如果（x和y都不为0），则，那么x和y成正比例； 如果（x不为0），则xy＝42，那么x和y成反比例。 【变式训练2】牛奶厂要把一批牛奶进行灌装，设计了几种方案。 方案 一 二 三 … 瓶子容量/升 0.5 1.2 1.5 … 瓶数/个 480 200 160 … （1）（    ）没有变化，瓶子容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （2）如果将这批牛奶装入300个瓶子里，每瓶装多少升？ 【答案】（1）牛奶的总量；反； （2）0.8升 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例，牛奶的总量＝瓶子容量×瓶数，计算可知，牛奶的总量没有变化，说明瓶子容量和瓶数的乘积一定，那么它们成反比例； （2）由“牛奶的总量＝瓶子容量×瓶数”可知，瓶子容量＝牛奶的总量÷瓶数，把数据代入计算，即可求得。 【详解】（1）分析可知，0.5×480＝1.2×200＝1.5×160＝…＝240（一定），说明牛奶的总量没有变化，瓶子容量和灌装的瓶数成反比例。 （2）240÷300＝0.8（升） 答：每瓶装0.8升。 题型五、反比例的应用 【例题5】小明家装修新房，如果用边长是4分米的方砖铺地，需要200块。如果改用边长是8分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】50块 【分析】用边长是4分米的方砖铺地，需要200块，根据总面积＝一块砖面积×砖的块数可以计算出要铺地的面积，如果改用边长是8分米的方砖铺地，总面积没有变化，设需要的块数为未知量，根据总面积不变列比例解答。 【详解】解：设需要x块 8×8×x＝4×4×200 64x＝3200 x＝50 答：需要50块。 【变式训练1】两个齿轮咬合在一起转动，大齿轮有25个齿，每分钟转100转，小齿轮有20个齿，每分钟转多少转？ 【答案】125转 【分析】在同一时间内，两个齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转转。 20＝25×100 20＝2500 ＝2500÷20 ＝125 答：小齿轮每分钟转125转。 【变式训练2】汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 【答案】（1）3；4；5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）300÷6＝50（t） 【分析】（1）先求出货物总吨数，再根据平均每车运的吨数求出运货的车辆数即可。 （2）因为平均每车运的吨数运货的车辆数货物总吨数（300）一定，符合反比例关系，所以平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例。 （3）根据平均每车运的吨数货物总吨数运货的车辆数，代入数据即可。 【详解】（1）（吨） （辆） （辆） （辆） 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 3 4 5 （2）成反比例。因为每车运的吨数×运货的车辆数＝运货的总量（一定）。 （3）（吨） 答：平均每车运50吨。 提升练习 1．下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 【答案】A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【详解】A．订《中国少年报》时，总钱数÷份数＝每份《中国少年报》的单价（一定）。也就是订报的份数和总钱数相对应的比值一定，所以订《中国少年报》的份数和总钱数成正比例关系。 B．梯形的面积公式为S＝（a＋b）h÷2（S表示面积，a、b分别表示上底和下底，h表示高），当面积S一定时，（a＋b）h＝2S（一定），即上底、下底之和与高的乘积一定。所以梯形面积一定时，它的上底、下底之和与高成反比例关系。 C．工作总量＝工作效率×工作时间，当工作总量一定时，工作效率和工作时间的乘积一定。所以工作总量一定时，工作效率和工作时间成反比例关系。 D．小猫的体重和年龄不是相关联的量，体重不会随着年龄的变化而按照固定的比值变化（比如小猫在不同生长阶段，体重增长不是均匀的）。所以小猫的体重和年龄不成正比例关系。 所以符合正比例关系的是选项A中的说法。 故答案为：A 2．表示和成反比例的式子是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析判断即可。 【详解】A．a＋b＝4是和一定，所以a和b不成反比例； B．b＝a×，，a和b的比值一定，是正比例； C．，，a和b的乘积一定，是反比例； D．，，a和b的比值一定，是正比例； 3．下面各表中相对应的两个量不成正比例的是（    ）。 A． 时间/时 4 6 路程/km 240 360 B． 正方形边长/m 8 7 正方形面积/m2 64 49 C． 铅笔数量/支 3 4 总价/元 2.1 2.8 D． 正方形边长/m 5 70 正方形周长/m 20 280 【答案】B 【分析】判断两种量成正比例关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是否比值一定。如果比值一定，就成正比例。如果比值不是定值，就不成正比例。 【详解】A．240÷4＝60（千米/时） 360÷6＝60（千米/时） 速度（一定）＝路程÷时间，所以路程和时间成正比例关系； B．64÷8＝8（米） 49÷7＝7（米） 正方形的边长＝正方形的面积÷边长，边长不是定值，所以正方形的面积和边长不成正比例关系； C．2.1÷3＝0.7（元/支） 2.8÷4＝0.7（元/支） 单价（一定）＝总价÷数量，所以铅笔的总价和数量成正比例关系； D．20÷5＝4 280÷70＝4 正方形的周长÷边长＝4，4是一定值，所以正方形的周长和边长成正比例关系。 故答案为：B 4．某商场出售某种玩具时，在进价的基础上又加上一定的利润，其数量和售价的关系如下表： 数量/个 1 2 3 4 5 售价/元 根据以上信息，下面说法正确的是（    ）。 A．售价与数量的比值不一定 B．售价与数量成反比例关系 C． D． 【答案】C 【分析】A．两数相除又叫两个数的比，求比值直接用比的前项÷后项即可。据此根据比的意义，分别写出售价与数量的比，分别求比值即可； B．两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果y÷x＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系； C．根据选项A即可得出售价与数量的比值； D．分别计算数量×售价的结果即可。 【详解】A．（5＋2）∶1＝7÷1＝7、（10＋4）∶2＝14÷2＝7、（15＋6）∶3＝21÷3＝7 （20＋8）∶4＝28÷4＝7、（25＋10）∶5＝35÷5＝7 售价与数量的比值一定，都是7，选项说法错误； B．根据选项A可知，售价÷数量＝单价（一定），售价与数量成正比例关系，选项说法错误； C．根据选项A可知，，选项说法正确； D．1×（5＋2）＝1×7＝7、2×（10＋4）＝2×14＝28、3×（15＋6）＝3×21＝63…… xy的值不确定，选项说法错误。 说法正确的是。 故答案为：C 5．在一根粗细均匀竹竿的中点处打个孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔8厘米做一个记号，中点为刻度0。如果在左边刻度4上用塑料袋挂6个棋子，则在右边刻度3上用塑料袋挂（    ）个棋子才能保持平衡。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为竹竿粗细均匀，中点为支点，所以左边棋子数×左边刻度＝右边棋子数×右边刻度，即“棋子数”和“刻度数”成反比例关系；已知左边刻度4上有6个棋子，设右边刻度3上有x个棋子，据此列出方程3x＝6×4，先计算出6×4，然后根据等式的性质，方程两边同时除以3，求解出x，即右边刻度3上应挂棋子的数量。 【详解】解：设在右边刻度3上用塑料袋挂x个棋子才能保持平衡。 3x＝6×4 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 所以在右边刻度3上用塑料袋挂8个棋子才能保持平衡。 故答案为：B 6．当( )一定时，路程和时间成正比例；当( )一定时，单价和数量成反比例；当长方形的面积一定时，它的长和宽成( )比例。 【答案】 速度 总价 反 【分析】两个相关联的量，若这两个量的比值一定，则它们成正比例；若这两个量的乘积一定，则它们成反比例。速度＝路程时间，当速度一定时，也就是说路程与时间的比值是一定的，所以路程和时间成正比例；由总价＝单价×数量可得，当总价一定时，单价和数量成反比例；当长方形面积一定时，它的长和宽成反比例，因为长方形面积＝长 × 宽，据此解答即可。 【详解】由分析可知，因为速度＝路程时间，所以当速度一定时，路程和时间成正比例；因为总价＝单价×数量，所以当总价一定时，单价和数量成反比例；因为长方形面积＝长 × 宽，所以当长方形面积一定时，它的长和宽成反比例。 7．因为x＝5y，所以x∶y＝( )∶( )，x和y成( )比例。 【答案】 5 1 正 【分析】将x＝5y看成1x＝5y，根据比例的基本性质，x和1同时在比例的外项，y和5同时在比例的内项，即可写出比例；两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，根据等式的性质2，x＝5y两边同时÷y，转化后即可确定比例关系。 【详解】因为x＝5y，所以x∶y＝5∶1，x＝5y两边同时÷y可得x÷y＝5，x和y成正比例。 8．如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是( )，当a和b成反比例时，“？”表示的数是( )。 a 6 0.4 b ？ 2.4 【答案】 36 0.16 【分析】根据正比例的意义：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量相的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。反比例的意义：指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答即可。 【详解】当a和b成正比例时： 解：设？为x。 6∶x＝0.4∶2.4 0.4x＝2.4×6 0.4x÷0.4＝2.4×6÷0.4 x＝36 当a和b成反比例时： 解：设？为x。 6x＝0.4×2.4 6x÷6＝0.4×2.4÷6 x＝0.16 当a和b成正比例时，“？”表示的数是36，当a和b成反比例时，“？”表示的数是0.16。 9．“6G”网络是第六代移动通信技术，是5G网络的升级版，目前处于研发和调试阶段。结合6G与5G网络的相关信息（如右表），如果用5G网络下载一部电影需50秒，那么用6G网络下载需( )秒。用6G、5G网络下载电影所用的时间比与6G、5G的网速比( )（填“能”或“不能”）组成比例。 5G网速 1G/秒 6G网速 100G/秒 【答案】 0.5 不能 【分析】先用5G网速1G/秒乘下载时间50秒，求出电影大小为50G。再用电影大小除以6G网速100G/秒，求出6G下载时间为0.5秒。接着写出时间比（50∶0.5）和网速比（1∶100），分别求出比值，比较两个比值是否相等即可解答。 【详解】电影大小：1×50＝50（G） 6G下载时间：50÷100＝0.5（秒） 时间：50∶0.5＝50÷0.5＝100 网速：1∶100＝1÷100＝0.01 100≠0.01，比值不相等，所以不能组成比例。 10．下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 (1)这架直升机飞行的路程与时间成( )比例。 (2)这架直升机飞行了( )小时，行驶了( )千米。 (3)这架直升机1.5时飞行了( )千米。 【答案】(1)正 (2) 5 1500 (3)450 【分析】（1）正比例图像是一条经过原点的射线，反比例图像是一条平滑的曲线，据此解答即可； （2）点A可以用数对（5，1500）表示，即直升机飞行了5小时，行驶了1500千米； （3）根据路程÷时间＝速度，据此求出直升机的速度，再根据速度×时间＝路程，据此解答即可。 【详解】（1）这架直升机飞行的路程与时间成正比例。 （2）这架直升机飞行了5小时，行驶了1500千米。 （3）1500÷5×1.5 ＝300×1.5 ＝450（千米） 这架直升机1.5时飞行了450千米。 11．某工程队铺设输油管道，每天铺设25米，60天可以铺完，如果每天多铺20%，多少天可以铺完？（用比例知识解） 【答案】50天 【分析】分析题目，设如果每天多铺20%，x天可以铺完，根据每天铺的米数×铺的天数＝输油管道的总长度（一定），可知每天铺的米数与铺的天数成反比例。列出方程25×60＝25×（1＋20%）x，进一步解出方程即可。 【详解】解：设如果每天多铺20%，x天可以铺完。 25×60＝25×（1＋20%）x 1500＝30x x＝1500÷30 x＝50 答：如果每天多铺20%，50天可以铺完。 12．近几年电动汽车作为新型环保交通工具，受到了消费者的喜爱。天天的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行。天天记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶里程/km 100 120 130 140 150 … 耗电量/度 20 24 26 28 30 … （1）观察表格，汽车行驶里程与耗电量成______比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶220千米够吗？（用比例知识解答） 【答案】（1）正； （2）够 【分析】（1）根据比例的意义，汽车行驶里程与耗电量两个量的比值一定就成正比例，两个量的积一定就成反比例，由此判断。 （2）设汽车电池充满45度电能行驶x千米，根据行驶里程与耗电量的比例，计算出x，与220千米比大小，即可判断。 【详解】（1）100∶20＝5，120∶24＝5，130∶26＝5，140∶28＝5，150∶30＝5，汽车行驶里程与耗电量的比值一定，所以汽车行驶里程与耗电量成正比例。 （2）设汽车电池充满45度电能行驶x千米。 100∶20＝x∶45 20x＝100×45 20x÷20＝4500÷20 x＝225 225千米＞220千米 答：行驶220千米够。 13．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解 （2）12天 【分析】（1）反比例关系的定义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格中的数据计算每天装配数量和时间相对应的乘积，看是否相等。 （2）由于每天装配数量和时间成反比例关系，它们的乘积始终是这批童车的总数（3600辆）。已知每天装配300辆，根据“时间＝总数÷每天装配数量”来计算天数。 【详解】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 180×20＝3600（辆） 答：每天装配的数量与时间成反比例关系，原因是两种相关联的量乘积一定。 （2）3600÷300＝12（天） 答：如果该童车厂每天装配300辆，那么需要12天。 14．某造纸厂的生产情况如下表，根据下表回答问题。 时间/天 1 2 3 4 5 6 7 … 生产量/吨 70 140 210 280 350 420 490 … （1）在图中描出时间和相应生产量的点，并把它们按顺序连接起来。 （2）表中时间和生产量成___________比例关系。 （3）该造纸厂15天能生产多少吨纸？生产560吨纸片，需要多少天？ 【答案】（1）图见详解 （2）正 （3）1050吨；8天 【分析】（1）根据各数量的多少，在方格图的纵线或横线（或纵、横的交点）上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （3）根据每天生产的数量×需要的天数＝生产量；生产量÷每天生产的数量＝需要的天数，列式计算即可。 【详解】（1）如图： （2）70÷1＝70（吨） 140÷2＝70（吨） 210÷3＝70（吨） 280÷4＝70（吨） 350÷5＝70（吨） 420÷6＝70（吨） 490÷7＝70（吨） 70∶1＝140∶2＝210∶3＝280∶4＝350∶5＝420∶6＝490∶7＝70（一定），时间和生产量成正比例。 （3）70×15＝1050（吨） 560÷70＝8（天） 答：该造纸厂15天能生产1050吨纸片，生产560吨纸，需要8天。 15．买笔记本的数量和钱数的关系如下表： 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 … （1）将上面的表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）哪个量没变？数量和总价之间成什么比例？ 【答案】（1）4.5；6；7.5；9 （2）见详解 （3）单价；正比例 【分析】（1）由题可知，一本笔记本的价格是1.5元，根据总价＝单价×数量，分别求出买3本、4本、5本、6本笔记本的总钱数，并填入表格。 （2）由题可知，横轴表示数量，纵轴表示总钱数，数量为1本时，总钱数1.5元，就在（1，1.5）的位置描点；数量为2本时，总钱数3元，就在（2，3）的位置描点，以此类推。将这些描好的点再顺次连接即可。 （3）因为每本笔记本的价格始终是1.5元，单价＝总价÷数量，也就是总价和数量的比值（单价）不变。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，它们成正比例关系。所以数量和总价之间成正比例。 【详解】（1）3×1.5＝4.5（元） 4×1.5＝6（元） 5×1.5＝7.5（元） 6×1.5＝9（元） 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （2）如图： （3）答：单价没变，数量和总价之间成正比例。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义04：正比例与反比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、正比例的意义及辨识 1.正比例的核心定义 两种相关联的量（一种量变化，另一种量会随之发生变化），如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，那么这两种量就叫作成正比例的量，它们之间的关系叫作正比例关系。 2.正比例的字母关系式 (1)用字母 、 表示两种相关联的量，用 表示它们的固定比值（一定且不为0），正比例关系可表示为： (2)本质： 随 的变化而同步变化（同扩同缩），且比值始终恒定。 3.正比例的辨识方法（判断三步骤） (1)判断关联性：两种量必须是相关联的变量，一种量变化能引起另一种量变化，无关联则一定不成比例。 (2)判断变化方向：两种量的变化方向相同（一种量扩大/缩小，另一种量也随之扩大/缩小）。 (3)判断比值定值：计算两种量对应数值的比值，若比值始终固定不变，则成正比例；若比值不固定，则不成正比例。 4.正比例的关键特征 (1)变量关系：相关联、同变化。 (2)定量关系：比值（商）一定。 (3)非正比例情形：两种量相关联但比值不定；两种量不相关联；其中一种量为固定常量（非变量）。 考点二、正比例图象的认识 1.正比例图象的基本特征 正比例关系的图象是一条 经过平面直角坐标系原点（0,0）的直线。 2.正比例图象的绘制方法 (1)整理数据：列出两种相关联的成正比例量的多组对应数值。 (2)描点：以一种量为横轴（ 轴）、另一种量为纵轴（ 轴），在方格纸（坐标系）中根据每组数据描出对应坐标点。 (3)连线：将所有描出的点用直线依次连接，并向两端适当延伸，形成完整直线。 3.正比例图象的性质与解读 (1)直线过原点：当 时，，符合“0对应0”的正比例初始状态。 (2)变化趋势直观：直线从左下向右上延伸，直观体现两种量同步扩大、同步缩小的同向变化趋势。 (3)取值对应性：图象上任意一点的横、纵坐标，都对应两种量的一组实际数值；可根据一个量的数值，在图象上直接找到另一个量的对应数值。 考点三、正比例的应用 1.正比例应用的核心思路 依据正比例关系中比值恒定的特性，建立比例式，通过解比例求解未知量；核心是“定量不变，变量成比例”。 2.正比例应用的解题步骤 (1)判断比例关系：分析问题中的两种量，确认其成正比例（相关联、同变化、比值一定）。 (2)设未知量：设题目中要求的未知量为 。 (3)列比例式：根据“两组对应数值的比值相等”，列出正比例比例方程（）。 (4)解比例：利用比例的基本性质（内项积=外项积）求解未知量 。 (5)检验作答：验证结果是否符合实际意义与比例关系，再规范作答。 3.正比例的常见应用场景 (1)行程问题：速度一定时，路程与时间成正比例。 (2)工程问题：工作效率一定时，工作总量与工作时间成正比例。 (3)购物问题：单价一定时，总价与数量成正比例。 (4)几何问题：正方形周长与边长、圆的周长与直径成正比例。 (5)生产问题：单位产量一定时，总产量与生产数量成正比例。 考点四、反比例的意义及辨识 1.反比例的核心定义 两种相关联的量（一种量变化，另一种量随之变化），如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。 2.反比例的字母关系式 (1)用字母 、 表示两种相关联的量，用 表示它们的固定乘积（一定且不为0），反比例关系可表示为： (2)本质： 随 的变化而反向变化（一扩一缩），且乘积始终恒定。 3.反比例的辨识方法（判断三步骤） (1)判断关联性：两种量必须是相关联的变量，一种量变化能引起另一种量变化。 (2)判断变化方向：两种量的变化方向相反（一种量扩大/缩小，另一种量反而缩小/扩大）。 (3)判断乘积定值：计算两种量对应数值的乘积，若乘积始终固定不变，则成反比例；若乘积不固定，则不成反比例。 4.反比例的关键特征 (1)变量关系：相关联、反变化。 (2)定量关系：乘积一定。 (3)非反比例情形：两种量相关联但乘积不定；两种量不相关联；其中一种量为固定常量（非变量）。 考点五、反比例的应用 1.反比例应用的核心思路 依据反比例关系中乘积恒定的特性，建立等式，通过解方程求解未知量；核心是“定量不变，变量成反比”。 2.反比例应用的解题步骤 (1)判断比例关系：分析问题中的两种量，确认其成反比例（相关联、反变化、乘积一定）。 (2)设未知量：设题目中要求的未知量为 。 (3)列等式：根据“两组对应数值的乘积相等”，列出反比例方程（）。 (4)解方程：通过四则运算求解未知量 。 (5)检验作答：验证结果是否符合实际意义与比例关系，再规范作答。 3.反比例的常见应用场景 (1)行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例。 (2)工程问题：工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例。 (3)面积问题：长方形面积一定时，长与宽成反比例；平行四边形面积一定时，底与高成反比例。 (4)购物问题：总价一定时，单价与数量成反比例。 (5)分配问题：总数量一定时，每份数与份数成反比例。 例题讲解 题型一、正比例的意义及辨识 【例题1】下列数量关系式中，不成正比例关系的是（    ）。 A．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 B．圆柱的高一定，圆柱的体积和底面积 C．一件物品的单价一定，购买这件物品的数量和总价 D．甲数是乙数的，甲和乙 【变式训练1】成语“立竿见影”中“竿”和“影”的关系体现了比例知识中的正比例关系。( ) 【变式训练2】中国之美，美在文化渊博，“水滴石穿”出自东汉《汉书·枚乘传》比喻坚持不懈，集细微的力量也能成就难能的功劳。笑笑下雨时统计了一下雨滴的滴数与时间的关系，如下表： 滴数/滴 15 30 45 60 … 时间/秒 10 20 30 40 … (1)从表中你可以发现，时间越长，滴数越( )。 (2)表中( )和( )是两种相关联的量，这两种量的( )一定，所以它们成( )比例。 题型二、正比例图象的认识 【例题2】一台织布机织布的时间和米数如下表。 时间/时 1 2 3 4 5 … 织布米数/m 16 32 48 64 80 … (1)织布时间和织布米数成正比例吗？为什么？ (2)先根据上表描点，再顺次连接各点，你发现了什么？ 【变式训练1】哈尔滨亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”深受大家喜爱。已知“滨滨”和“妮妮”的冰箱贴每套售价24元，购买2套、3套、4套、5套，分别需要多少元？ （1）完成下表： 数量/套 0 1 2 3 4 5 … 应付金额/元 0 24 … （2）判断应付金额与购买冰箱贴的数量是否成正比例，并说明理由。 （3）把上表中数量和应付金额所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 【变式训练2】笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 题型三、正比例的应用 【例题3】好滋味海鲜市场生意兴隆，6天卖出海鲜270千克。照这样计算，8天能卖出海鲜多少千克？（用比例解） 【变式训练1】飞云楼被誉为“中华第一木楼”，高约23米，宽约12米，是全国重点文物保护单位。六（1）班学生在实践项目中，制作的“飞云楼”模型高度与实际高度的比是1∶115，那么“飞云楼”模型的高度约是多少分米？（用比例解） 【变式训练2】为了预防冬季感冒，校医室按1∶200的配比配制了消毒液。现在有2瓶105毫升的药液，需要加入多少毫升水？（用比例知识解答） 题型四、反比例的意义及辨识 【例题4】下面两个量成反比例的是（    ）。 A．一个非零数与它的倒数 B．高一定，圆柱的体积和底面积 C．正方形的边长与周长 D．小丽同学的身高和体重 【变式训练1】如果（x和y都不为0），那么x和y成( )比例；如果 （x不为0）， 那么x和y成( )比例。 【变式训练2】牛奶厂要把一批牛奶进行灌装，设计了几种方案。 方案 一 二 三 … 瓶子容量/升 0.5 1.2 1.5 … 瓶数/个 480 200 160 … （1）（    ）没有变化，瓶子容量和灌装的瓶数成（    ）比例。 （2）如果将这批牛奶装入300个瓶子里，每瓶装多少升？ 题型五、反比例的应用 【例题5】小明家装修新房，如果用边长是4分米的方砖铺地，需要200块。如果改用边长是8分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【变式训练1】两个齿轮咬合在一起转动，大齿轮有25个齿，每分钟转100转，小齿轮有20个齿，每分钟转多少转？ 【变式训练2】汉服，全称汉民族传统服饰，即华夏衣冠，又称汉衣冠、汉装、华服。某服装厂订了一批制作汉服的布料，平均每车运的吨数和运货的车辆数如下表。 平均每车运的吨数 300 150 100 75 60 运货的车辆数 1 2 （1）请把上面表格补充完整。 （2）平均每车运的吨数和运货的车辆数成反比例吗？为什么？ （3）若6辆车运完这批货物，则平均每车运多少吨？ 提升练习 1．下列选项中的两种量成正比例关系的是（    ）。 A．订《中国少年报》的份数和总钱数 B．梯形面积一定，它的上底、下底之和与高 C．工作总量一定，工作效率和工作时间 D．小猫的体重和年龄 2．表示和成反比例的式子是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面各表中相对应的两个量不成正比例的是（    ）。 A． 时间/时 4 6 路程/km 240 360 B． 正方形边长/m 8 7 正方形面积/m2 64 49 C． 铅笔数量/支 3 4 总价/元 2.1 2.8 D． 正方形边长/m 5 70 正方形周长/m 20 280 4．某商场出售某种玩具时，在进价的基础上又加上一定的利润，其数量和售价的关系如下表： 数量/个 1 2 3 4 5 售价/元 根据以上信息，下面说法正确的是（    ）。 A．售价与数量的比值不一定 B．售价与数量成反比例关系 C． D． 5．在一根粗细均匀竹竿的中点处打个孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔8厘米做一个记号，中点为刻度0。如果在左边刻度4上用塑料袋挂6个棋子，则在右边刻度3上用塑料袋挂（    ）个棋子才能保持平衡。 A．7 B．8 C．9 D．10 6．当( )一定时，路程和时间成正比例；当( )一定时，单价和数量成反比例；当长方形的面积一定时，它的长和宽成( )比例。 7．因为x＝5y，所以x∶y＝( )∶( )，x和y成( )比例。 8．如表，当a和b成正比例时，“？”表示的数是( )，当a和b成反比例时，“？”表示的数是( )。 a 6 0.4 b ？ 2.4 9．“6G”网络是第六代移动通信技术，是5G网络的升级版，目前处于研发和调试阶段。结合6G与5G网络的相关信息（如右表），如果用5G网络下载一部电影需50秒，那么用6G网络下载需( )秒。用6G、5G网络下载电影所用的时间比与6G、5G的网速比( )（填“能”或“不能”）组成比例。 5G网速 1G/秒 6G网速 100G/秒 10．下图中线段表示一架直升机飞行的路程与时间的关系。 (1)这架直升机飞行的路程与时间成( )比例。 (2)这架直升机飞行了( )小时，行驶了( )千米。 (3)这架直升机1.5时飞行了( )千米。 11．某工程队铺设输油管道，每天铺设25米，60天可以铺完，如果每天多铺20%，多少天可以铺完？（用比例知识解） 12．近几年电动汽车作为新型环保交通工具，受到了消费者的喜爱。天天的爸爸买了某品牌的电动汽车带全家外出旅行。天天记录了汽车仪表盘上显示的相关数据，整理结果如下表。 行驶里程/km 100 120 130 140 150 … 耗电量/度 20 24 26 28 30 … （1）观察表格，汽车行驶里程与耗电量成______比例关系。 （2）汽车电池充满后有45度电，行驶220千米够吗？（用比例知识解答） 13．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 14．某造纸厂的生产情况如下表，根据下表回答问题。 时间/天 1 2 3 4 5 6 7 … 生产量/吨 70 140 210 280 350 420 490 … （1）在图中描出时间和相应生产量的点，并把它们按顺序连接起来。 （2）表中时间和生产量成___________比例关系。 （3）该造纸厂15天能生产多少吨纸？生产560吨纸片，需要多少天？ 15．买笔记本的数量和钱数的关系如下表： 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 … （1）将上面的表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）哪个量没变？数量和总价之间成什么比例？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $