第四单元 正比例和反比例（期中复习讲义）培优版（导图+7个考点真题讲练+提优练 共41题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 正比例和反比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+7个考点讲练+真题提优练 共41题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 正比例的意义及辨识 考点讲练二 正比例图象的认识 考点讲练三 正比例的应用 考点讲练四 反比例的意义及辨识 考点讲练五 反比例的应用 奥数拓展一 正比例的应用 奥数拓展二 反比例的应用 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 考点讲练一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）下表是鸵鸟奔跑的距离与所用时间的关系表，看表回答问题。 距离/千米 70 140 210 280 350 420 时间/时 1 2 3 4 5 6 （1）把下图补充完整。 （2）鸵鸟奔跑的距离与所用时间成（    ）比例。 （3）4.5时鸵鸟能奔跑（    ）千米，跑525千米要用（    ）时。 （4）点（3，210）表示的意义是（    ）。 （5）点（12，840）（    ）（填“在”或“不在”）这条直线上。 【变式1】（难度：☆☆☆）一列动车匀速行驶时，经过时间与所行路程的情况如下表： 时间/分钟 2 4 6 8 10 … 路程/千米 10 20 30 40 50 … （1）这列车匀速行驶时，速度为每分 千米，行驶的路程和时间成 比例。 （2）把表中路程和时间所对应的点描在如图方格纸上，再顺次连接起来。 （3）观察图像，列车行驶到14分时可以行驶 千米。 （4）某两站相距约60千米，根据图像估计这列车需要行驶 分钟。 【变式2】（难度：☆☆☆）一个水龙头不断地流水，右图表示的是流出水的体积和时间的关系。 （1）从图中可知，流出水的体积和时间成( )关系。 （2）照这样计算，50分流水( )L，要流出180L水，需要( )分。 考点讲练二 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁沈阳·期中）买笔记本的数量和钱数的关系如下表： 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 … （1）将上面的表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）哪个量没变？数量和总价之间成什么比例？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽亳州·期中）下图中，线段OA表示司机张师傅开车到外地送货时行驶的路程与时间的关系。 （1）张师傅开车行驶了___________小时，行驶的路程是___________千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为___________千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为___________小时。 （3）张师傅开车的速度是多少？ 考点讲练三 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面图象分别表示了香蕉、苹果的总价与购买的数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例。 （2）理由：_____________________。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是（    ）。（填“香蕉”或“苹果”） （4）买6.5千克香蕉需要多少元？（用比例解答） 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）《小布头奇遇记》是我国获国际安徒生奖提名的第一部作品。某书店购进《小布头奇遇记》的数量与总价如下表。 数量／本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价／元 0 6 12 18 24 30 36 … （1）该书店购进《小布头奇遇记》的总价与数量成正比例关系吗？为什么？ （2）把购进《小布头奇遇记》的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）购进7本《小布头奇遇记》的总价是（    ）元；120元最多可以购进（    ）本《小布头奇遇记》。 考点讲练四 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）若ab＋2＝7，则a和b成( )比例；比的后项一定，比的前项和比值成( )比例。 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 考点讲练五 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（22-23六年级下·陕西咸阳·期中）装修工人给某公司会议室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下表所示。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 150 100 75 … （1）判断每块地砖的面积和所需地砖数量是否成反比例？并说明理由。 （2）若每块地砖的面积是0.5平方米，一共需要多少块地砖？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个房间用面积为9dm2的正方形方砖铺地，需要用552块。如果用边长为6dm的正方形方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 奥数拓展一 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·广东湛江·小升初真题）客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，已知在客车走全程的时，货车走全程的，当客车到达中点时，货车离中点还有25千米。求全程和客车的速度。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 奥数拓展二 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？ 1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．圆的面积和半径 B．一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数 C．一个长方体的体积一定，底面积和高 D．种子的发芽率一定，发芽种子的数量和种子总数量 2．（24-25六年级下·陕西西安·期中）已知与是两种相关联的量（x、y均不为0），下列选项中，与成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·山西吕梁·期中）下面各题中的两个量成反比例的是（    ）。 A．圆的周长一定，圆周率和直径。 B．用正方形瓷砖给一间教室铺地，瓷砖的边长和所用的块数。 C．一袋大米，吃了的质量和剩下的质量。 D．用100元人民币换同一面值的零钱，零钱面值和张数。 4．（23-24六年级下·陕西西安·期中）下列选项中的两个量成反比例关系的是（    ）。 A．人的体重和身高 B．梯形面积一定，它的上底和下底 C．路程一定，行驶速度和时间 D．订《意林（少年版）》的份数和总钱数 5．下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 6．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 7．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）若＝1.5（a、b均不为0）那么b∶a＝( )∶( )，b和a成( )比例。 8．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在同一时间和地点测得不同树的高度与其影长的数据如下图。 (1)图中的树高与影长成( )比例关系。 (2)在同一时间和地点测得一棵树的影长是4.8米，这棵树高( )米。 9．（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 10．（2024·山西吕梁·小升初真题），x和y成( )比例，，x和y成( )比例。 11．甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 12．如果一个量变大，另一个量也变大，这两个量成正比例。( )（判断对错） 13．给病人打点滴（250毫升），每分的滴数和滴的时间成正比例。( )（判断对错） 14．圆的周长和直径成正比例，圆的面积与半径也成正比例。( )（判断对错） 15．解比例。 15∶x＝7∶28　　　∶x＝0.25∶8 ＝         ∶＝x∶ 16．（24-25六年级下·广东深圳·期中）淘气、笑笑、奇思和妙想四人实践小组利用一个漏水的水龙头做“漏水”实验。他们用一个圆柱形玻璃容器来盛漏出的水，从玻璃容器的内部测量，底面周长是62.8厘米，高是30厘米。下表是他们统计的数据。 漏水时间/分 1 2 3 10 20 … 漏水体积/毫升 40 80 120 400 800 … （1）漏水体积与漏水时间成什么关系？为什么？ （2）这个玻璃容器最多能装多少毫升水？ （3）笑笑把这个空的玻璃容器放在漏水水龙头的下面接水，需要接水多长时间，容器的水位达到20厘米？ （4）这时，往玻璃容器中放入5个底面半径是4厘米的相同圆锥形铁块（完全浸没），玻璃容器内的水位高度从20厘米上升到22厘米。一个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 17．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）乐乐拼出的图形面积和所需拼板的数量如下表。 图形面积/平方米 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 … 拼板数量/块 0 4 8 12 16 20 24 28 … （1）判断乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）乐乐拼出一个形状似“蛇”的图形的面积是45平方米，乐乐用了多少块拼板？（用比例解答） 18．（24-25六年级下·陕西西安·期中）乐乐拼出的图形面积和所需拼板的数量如下表。 图形面积 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 … 拼板数量/块 0 4 8 12 16 20 24 28 .… （1）乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例吗？为什么？ （2）把上表中乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）乐乐用105块拼板拼出一个形状似“蛇”的图形，这个形状似“蛇”的图形的面积是多少平方米？（用比例解答） 19．（24-25六年级下·山西吕梁·期中）同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 20．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）陕西各地不断提高经济绿色化程度，加快形成绿色发展，一个环保节能型造纸厂生产情况如下表： 时间/天 0 1 2 5 8 10 生产总量/吨 0 80 160 400 640 800 （1）生产总量和时间成什么比例关系？为什么？ （2）在如图中用点表示出相对应的生产总量和时间，再把它们按顺序连起来。 （3）生产720吨纸需要（    ）天；15天可以生产（    ）吨纸。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 正比例和反比例【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+7个考点讲练+真题提优练 共41题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 正比例的意义及辨识 考点讲练二 正比例图象的认识 考点讲练三 正比例的应用 考点讲练四 反比例的意义及辨识 考点讲练五 反比例的应用 奥数拓展一 正比例的应用 奥数拓展二 反比例的应用 知识点一 正比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以用式子=k（一定）表示。 3. 正比例关系图象是一条经过(0，0)的直线。从图象中，可以直观地看到两种量的变化情况，不用计算，由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。 知识点二 反比例 1. 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积（一定），反比例关系可以表示为xy=h（一定）。 2. 判断两种量是否成反比例关系，先看这两种量是不是相关联的量，如果是，再看它们的乘积是否一定，若乘积一定，则两种量成反比例关系；若乘积不一定，则两种量不成反比例关系。 知识点三 判断比例关系 1. 是否为相关联的量； 2. 是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方向相同，反比例关系两种量的变化方向相反； 3. 比值或乘积是否一定（“商正积反”）： ①若两个变量的比值一定，则成正比例； ②若两个变量的乘积一定，则成反比例。 补充： 正比例关系和反比例关系的异同点： 正比例关系 反比例关系 相同点 1.都是两种相关联的量。 2.一种量随着另一种量的变化而变化。 不同点 1.变化方向相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小。 2.相对应的两个数的比值一定。 3.关系式：(一定）。 1.变化方向相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大。 2.相对应的两个数的乘积一定。 3.关系式：xy=k(一定)。 知识点四 用比例解决问题 1.正（反）比例知识解决问题的步骤。 ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正（反）比例关系。 ②若成正（反）比例关系，根据正（反）比例的意义列出比例。 ③解比例并写出答语。 2.若两个量的乘积一定，则可以用反比例关系解决问题。 考点讲练一 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西宝鸡·期中）下表是鸵鸟奔跑的距离与所用时间的关系表，看表回答问题。 距离/千米 70 140 210 280 350 420 时间/时 1 2 3 4 5 6 （1）把下图补充完整。 （2）鸵鸟奔跑的距离与所用时间成（    ）比例。 （3）4.5时鸵鸟能奔跑（    ）千米，跑525千米要用（    ）时。 （4）点（3，210）表示的意义是（    ）。 （5）点（12，840）（    ）（填“在”或“不在”）这条直线上。 【答案】（1）见详解 （2）正 （3）315；7.5 （4）鸵鸟3时奔跑210千米 （5）在 【思路引导】（1）根据各数量的多少，在方格图的纵、横的交点上描出表示数量多少的点；把各点用线段顺次连接起来，标记数据即可。 （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析。 （3）根据速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，列式计算即可。 （4）横轴表示鸵鸟用的时间，竖轴表示鸵鸟奔跑的距离，直线上每个点的意义即用了多长时间跑了多远的距离。 （5）根据前边求出的速度，如果根据点（12，840）求出的速度与前边求出的速度相同，则该点在这条直线上，求出的速度不同，则该点不在这条直线上，据此分析。 【规范解答】 （1） （2）70÷1＝70（千米/时）、140÷2＝70（千米/时）、210÷3＝70（千米/时）… 即路程÷时间＝速度（一定），因此鸵鸟奔跑的距离与所用时间成正比例。 （3）70×4.5＝315（千米） 525÷70＝7.5（时） 4.5时鸵鸟能奔跑315千米，跑525千米要用7.5时。 （4）点（3，210）表示的意义是鸵鸟3时奔跑210千米。 （5）840÷12＝70（千米/时） 点（12，840）在这条直线上。 【变式1】（难度：☆☆☆）一列动车匀速行驶时，经过时间与所行路程的情况如下表： 时间/分钟 2 4 6 8 10 … 路程/千米 10 20 30 40 50 … （1）这列车匀速行驶时，速度为每分 千米，行驶的路程和时间成 比例。 （2）把表中路程和时间所对应的点描在如图方格纸上，再顺次连接起来。 （3）观察图像，列车行驶到14分时可以行驶 千米。 （4）某两站相距约60千米，根据图像估计这列车需要行驶 分钟。 【答案】（1）5；正 （2）见解析 （3）70 （4）12 【思路引导】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出速度，10÷2＝5（千米/分）、20÷4＝5（千米/分）、30÷6＝5（千米/分），即速度一定，根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，而且这两种量中相对应的两个数的比值一定，那么这两个量成正比例，由此即可判定路程和时间成正比例； （2）根据统计表所提供的数据，在图中描出表示时间及所对应的路程的点，依次连接即可； （3）过横轴上表示14分钟的点，作横轴的垂线，垂线与表示距离的横线的交点即表示路程或可根据“路程＝速度×时间”计算出路程； （4）根据列车行驶的速度，即可估计列车行驶需要几分钟。 【规范解答】（1）10÷2＝5（千米/分）、20÷4＝5（千米/分）、30÷6＝5（千米/分），即速度为每分5千米，速度一定，这两种量中相对应的两个数的比值一定，所以路程和时间成正比例； （2）在图中画出各点并连接，如图： （3）从图中可得出，列车行驶到14分时可以行驶70千米； （4）根据图像估计这列车行驶60千米需要行驶12分钟。 【考点剖析】此题考查的知点有：根据统计表示所提供的数据完善统计表；根据统计表示所提供的数据绘制折线统计图；正、反比例的判定；根据统计表（图）提供的数据解决实际问题。 【变式2】（难度：☆☆☆）一个水龙头不断地流水，右图表示的是流出水的体积和时间的关系。 （1）从图中可知，流出水的体积和时间成( )关系。 （2）照这样计算，50分流水( )L，要流出180L水，需要( )分。 【答案】 正比例 100 90 【思路引导】此题根据正比例关系的意义或正比例图像特点来解答。我们可以借助图中数据求出流出水的体积与所对应时间的比值，如果两个相关联的量的比值（商）一定，那么这两个量就成正比例关系，（也可以根据图像成一条直线知道成正比例关系）。此时，继而根据求出的比值，即可解答后两个填空。 【规范解答】（1）观察图形可知：流水5分，水的体积为10升；流水10分，水的体积为20升……10∶5＝20∶10＝2（一定），因此流出水的体积和时间成正比例关系。 （2）50×2＝100（L）     180÷2＝90（分） 【考点剖析】此题考查对正比例意义本质内涵的理解和运用。 考点讲练二 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·福建泉州·期中）下图表示一辆汽车行驶的路程和耗油量之间的关系。 (1)点A表示的意思是：______________________________ (2)从图中可以看出，汽车行驶的路程和耗油量成( )比例关系。 (3)如果汽车行驶120km，需要耗油( )L。 【答案】(1)汽车行驶30km时，耗油量是3L（答案不唯一） (2)正 (3)12 【思路引导】（1）观察图象，横轴代表路程，纵轴代表耗油量，点A对应的横轴数量是30km，纵轴数量是3L，所以点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。从图中选取几组数据，如行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；再看行驶80km时，耗油量是8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）因为路程和耗油量成正比例，比值为10，即每耗油1L可行驶10km，如果汽车行驶120km，用路程除以每升油行驶的路程即可计算出耗油量。 【规范解答】（1）点A表示的意思是：汽车行驶30km时，耗油量是3L。（答案不唯一） （2）行驶30km耗油3L，比值为30÷3＝10；行驶80km耗油8L，比值为80÷8＝10；可见汽车行驶路程与耗油量的比值一定（始终为10），所以汽车行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （3）120÷10＝12（L） 如果汽车行驶120km，需要耗油12L。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·辽宁沈阳·期中）买笔记本的数量和钱数的关系如下表： 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 … （1）将上面的表格补充完整。 （2）根据表中的数据，在图中描点再顺次连接。 （3）哪个量没变？数量和总价之间成什么比例？ 【答案】（1）4.5；6；7.5；9 （2）见详解 （3）单价；正比例 【思路引导】（1）由题可知，一本笔记本的价格是1.5元，根据总价＝单价×数量，分别求出买3本、4本、5本、6本笔记本的总钱数，并填入表格。 （2）由题可知，横轴表示数量，纵轴表示总钱数，数量为1本时，总钱数1.5元，就在（1，1.5）的位置描点；数量为2本时，总钱数3元，就在（2，3）的位置描点，以此类推。将这些描好的点再顺次连接即可。 （3）因为每本笔记本的价格始终是1.5元，单价＝总价÷数量，也就是总价和数量的比值（单价）不变。根据正比例关系的定义，当两个相关联的量比值一定时，它们成正比例关系。所以数量和总价之间成正比例。 【规范解答】（1）3×1.5＝4.5（元） 4×1.5＝6（元） 5×1.5＝7.5（元） 6×1.5＝9（元） 数量/本 1 2 3 4 5 6 … 总钱数/元 1.5 3 4.5 6 7.5 9 … （2）如图： （3）答：单价没变，数量和总价之间成正比例。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·安徽亳州·期中）下图中，线段OA表示司机张师傅开车到外地送货时行驶的路程与时间的关系。 （1）张师傅开车行驶了___________小时，行驶的路程是___________千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为___________千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为___________小时。 （3）张师傅开车的速度是多少？ 【答案】（1）6；360； （2）120；5； （3）60千米/时 【思路引导】（1）根据图像中的信息可知：张师傅行驶的时间从0开始到6时结束，行驶的路程从0开始到360千米停止，据此解答； （2）根据图像的信息，找出2小时对应的路程及路程是300千米时对应的时间即可； （3）根据图像中的信息可知：张师傅6小时行驶了360千米，据此用路程除以时间求出速度即可。 【规范解答】（1）张师傅开车行驶了6小时，行驶的路程是360千米。 （2）行驶2小时，所走的路程为120千米，当行驶的路程为300千米时，行驶的时间为5小时。 （3）360÷6＝60（千米/时） 答：张师傅开车的速度是60千米/时。 考点讲练三 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·广东深圳·期中）某品牌小汽车行驶时的油耗与产生的二氧化碳排放量情况如下表： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 …… （1）请将表格填写完整。 （2）把油耗与二氧化碳排放量的点在图上描出来，并连线。 （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成（    ）比例。根据以上信息，如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升？ 【答案】（1）13.5 （2）见详解 （3）正；7升 【思路引导】（1）观察表格中已有的数据，2.7÷1＝5.4÷2＝8.1÷3＝10.8÷4＝2.7，发现二氧化碳排放量与油耗的比值始终为2.7，用5乘2.7，即可求出当油耗为5升时，二氧化碳排放量是多少，再将表格补充完整。 （2）根据表格中的数据，在给定的图中，分别找到油耗对应的横坐标和二氧化碳排放量对应的纵坐标的交点，依次描出这些点，然后用直线将这些点连接起来，形成一条反映两者关系的直线。 （3）二氧化碳排放量和油耗数是两种相关联的量，二氧化碳排放量÷耗油量＝2.7（一定），所以小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。其比值为2.7，即每消耗1升油产生2.7千克二氧化碳，现在已知产生二氧化碳的量为18.9千克，要求耗油量，根据正比例关系，耗油量＝二氧化碳排放量÷每升油对应的二氧化碳排放量，即18.9÷2.7，即可求出汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油多少升。 【规范解答】（1）5×2.7＝13.5（千克） 将表格补充完整，如下： 油耗数/升 1 2 3 4 5 …… 二氧化碳排放量/千克 2.7 5.4 8.1 10.8 13.5 …… （2）如图： （3）小汽车的油耗和产生的二氧化碳排放量成正比例。 18.9÷2.7＝7（升） 答：如果汽车产生18.9千克的二氧化碳，大约耗油7升。 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西吕梁·期末）下面图象分别表示了香蕉、苹果的总价与购买的数量之间的关系，看图回答问题。 （1）香蕉的总价和购买的数量成（    ）比例。 （2）理由：_____________________。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是（    ）。（填“香蕉”或“苹果”） （4）买6.5千克香蕉需要多少元？（用比例解答） 【答案】（1）正； （2）总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例； （3）香蕉； （4）52元 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。正比例的图像是一条递增的直线，反比例的图像是一条曲线，且一个量扩大，另一个量缩小。通过观察可知，两条折线都是递增的直线，所以总价和数量成正比例。 （2）总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例。 （3）观察这个折线统计图，1千克时，香蕉的价钱高于苹果的价钱，所以单价更贵一些的水果是香蕉。 （4）根据总价÷数量＝单价，设买6.5千克香蕉需要x元，列比例为x∶6.5＝24∶3，然后解出方程即可。 【规范解答】（1）通过观察可知，两条折线都是递增的直线，所以香蕉的总价和购买的数量成正比例。 （2）24÷3＝8（元） 16÷2＝8（元） …… 理由：总价÷数量＝单价，单价固定不变，所以总价和数量成正比例。 （3）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉。 （4）解：设买6.5千克香蕉需要x元。 x∶6.5＝24∶3 3x＝24×6.5 3x＝156 x＝156÷3 x＝52 答：买6.5千克香蕉需要52元。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·陕西西安·期中）《小布头奇遇记》是我国获国际安徒生奖提名的第一部作品。某书店购进《小布头奇遇记》的数量与总价如下表。 数量／本 0 1 2 3 4 5 6 … 总价／元 0 6 12 18 24 30 36 … （1）该书店购进《小布头奇遇记》的总价与数量成正比例关系吗？为什么？ （2）把购进《小布头奇遇记》的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线。 （3）购进7本《小布头奇遇记》的总价是（    ）元；120元最多可以购进（    ）本《小布头奇遇记》。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）42；20 【思路引导】（1）正比例关系是两种相关联的量，比值（商）一定。这里总价随数量变化而变化，计算总价与数量的比值，看是否为定值。 （2）在图中依次找到数量为1总价6、数量2总价12等对应的点，准确描出后，将这些点用直线连接起来。 （2）由表格可知购买1本《小布头奇遇记》需要6元，即单价为6元，求购进7本《小布头奇遇记》的总价，根据“总价＝单价×数量”，用6乘7即可。求120元最多可以购进多少本《小布头奇遇记》，根据“数量＝总价÷单价”，用120除以6即可。 【规范解答】（1）6÷1＝6 12÷2＝6 18÷3＝6 比值始终为6（即单价一定）。 答：总价与数量成正比例关系，因为它们的比值一定。 （2） 如图： （3）6÷1＝6（元） 6×7＝42（元） 120÷6＝20（本） 购进7本《小布头奇遇记》的总价是42元；120元最多可以购进20本《小布头奇遇记》。 考点讲练四 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）若ab＋2＝7，则a和b成( )比例；比的后项一定，比的前项和比值成( )比例。 【答案】 反 正 【思路引导】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 【规范解答】由ab＋2＝7可得：ab＝7－2＝5（一定），乘积一定，则a和b成反比例； 由比的前项∶比的后项＝比值，可得比的前项÷比值＝比的后项（一定），商一定，则比的前项和比值成正比例。 填空如下： 若ab＋2＝7，则a和b成（反）比例；比的后项一定，比的前项和比值成（正）比例。 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·山西晋城·期末）一辆汽车行驶路程和耗油量如下表： 行驶路程/千米 16 24 32 48 80 耗油量/L 2 3 4 6 10 （1）表中的耗油量与行驶路程成（    ）比例关系。 （2）在下图中描出表示行驶路程与对应耗油量的点，然后把它们连起来。 （3）李叔叔开这辆车从A城出发时，看到汽车里程表显示为370千米，到达B城时里程表显示为530千米。算一算这辆汽车从A城到B城耗油多少升？ 【答案】（1）正 （2）见详解 （3）20升 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例关系，如果是乘积一定，就成反比例关系； （2）根据统计表，在统计图中找到对应点，然后按顺序连起来即可； （3）可先用到达B城时的里程数减去出发时的里程数求出汽车行驶的路程，再根据比例关系求解即可。 【规范解答】（1）16∶2＝8 24∶3＝8 32∶4＝8 48∶6＝8 80∶10＝8 行驶的路程∶耗油量＝8（一定），所以表中的耗油量与行驶的路程成正比例关系。 （2）作图如下： （3）530－370＝160（千米） 解：设这辆汽车从A城到B城耗油x升。 16x＝320 x＝320÷16 x＝20 答：这辆汽车从A城到B城耗油20升。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分钟转60圈时，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】85圈 【思路引导】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【规范解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 答：小齿轮每分钟转85圈。 考点讲练五 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（22-23六年级下·陕西咸阳·期中）装修工人给某公司会议室铺地砖，每块地砖的面积和所需地砖的数量如下表所示。 每块地砖的面积/平方米 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 … 所需地砖数量/块 300 200 150 100 75 … （1）判断每块地砖的面积和所需地砖数量是否成反比例？并说明理由。 （2）若每块地砖的面积是0.5平方米，一共需要多少块地砖？ 【答案】（1）成反比例关系；每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定），所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系；（2）120块 【思路引导】（1）根据表格可知，每块地砖的面积×所需地砖数量＝总面积，总面积一定，所以每块地砖的面积和所需地砖数量成反比例； （2）根据总面积÷每块地砖的面积＝所需地砖数量，用60÷0.5即可求出地砖的块数。 【规范解答】（1）0.2×300＝60 0.3×200＝60 150×0.4＝60 每块地砖的面积×需要的块数＝铺地面积（一定） 所以每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 答：每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例关系。 （2）60÷0.5＝120（块） 答：需要120块地砖。 【考点剖析】本题考查了反比例的认识和应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）某工厂生产一批零件，每天生产的零件个数与需要的天数如表： 每天生产的零件个数/个 200 300 400 600 需要的天数 36 24 18 12 （1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该工厂需要9天生产完这批零件，每天要生产多少个零件？ 【答案】（1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系，理由如下： 因为200×36＝300×24＝400×18＝600×12＝7200，即每天生产的零件个数×需要的天数＝零件总个数（一定），所以每天生产的辆数和所需的天数成反比例关系。 （2）800个 【思路引导】（1）根据表中数据求出每天生产的零件个数和所需的天数的乘积，再进一步判断即可。 （2）求平均每天要生产多少个零件，用总零件个数（200×36）除以时间9天即可。 【规范解答】（1）该工厂每天生产的零件个数与需要的天数成反比例关系，理由如下： 因为200×36＝300×24＝400×18＝600×12＝7200，即每天生产的零件个数×需要的天数＝零件总个数（一定），所以每天生产的辆数和所需的天数成反比例关系。 （2）200×36÷9 ＝7200÷9 ＝800（个） 答：平均每天要生产800个零件。 【考点剖析】此题属于辨识成正、反比例的量以及利用反比例的意义解决实际问题。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）一个房间用面积为9dm2的正方形方砖铺地，需要用552块。如果用边长为6dm的正方形方砖铺地，需要多少块？（用比例解） 【答案】138块 【思路引导】铺地的总面积是一定的，每一块方砖的面积和所需的块数成反比例，由此设出未知数，列式解答即可。 【规范解答】解：设需要x块，根据题意得： 6×6x＝9×552 36x＝4968 x＝138 答：需要138块。 【考点剖析】此题首先判定两种量成反比例，再设出未知数，列出比例式进行解答即可；解答时关键不要把边长当作面积进行计算。 奥数拓展一 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级上·广东江门·期中）在一个简单的电路实验中，小明用电池、导线和灯泡组成了串联电路。已知电池的电量可以让灯泡亮的时间和电池的毫安数成正比。一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时。如果小明用了一个1500毫安的电池，并且电路中串联了两个相同的灯泡，那么每个灯泡可以亮多长时间？ 【答案】小时 【思路引导】由题意可知，一个1000毫安的电池可以让灯泡亮5小时，根据灯泡亮的时间与电池毫安数成正比，可用1000÷5求出比值200，再用电池毫安数除以比值可求出灯泡亮的时间；题目中小明用了一个1500毫安的电池的时候，是在电路中串联了两个相同的灯泡，即1500毫安的电量要平均分给两个灯泡使用，可用1500除以2，得到供每个灯泡使用的电池毫安数，再除以比值200，即可得解。 【规范解答】 （小时） 答：每个灯泡可以亮小时。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（2025·广东湛江·小升初真题）客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，已知在客车走全程的时，货车走全程的，当客车到达中点时，货车离中点还有25千米。求全程和客车的速度。 【答案】全程200千米，客车速度无法确定 【思路引导】行程问题中：时间＝路程÷速度，则时间一定时，速度和路程成正比例关系。 由题意知：客车和货车同时出发，当客车走全程的时，货车走全程的，则客车行驶的路程∶货车行驶的路程＝∶＝（×10）∶（×10）＝4∶3，所以客车的速度∶货车的速度＝4∶3，即货车的速度是客车的，也可以说相同时间内，货车行驶的路程是客车行驶路程的。客车从全程的，到达全程的中点即处时，行驶了全程的，此时货车向前又行驶了全程的，此时货车距离中点的距离是全程的，又知：货车离中点还有25千米，则全程的长度＝货车离中点的距离÷货车距离中点的距离对应的分率，据此代入数据计算即可。 根据题中的数据无法求出客车的速度，即客车的速度无法确定。 【规范解答】 ＝200（千米） 客车的速度无法确定。 答：全程的路程是200千米，客车的速度无法确定。 【考点剖析】行程问题中：时间＝路程÷速度，所以时间一定时，速度和路程成正比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·浙江杭州·期中）李伟、杨洋、张雯三人一起参加100米赛跑，李伟到达终点时领先杨洋10米，领先张雯15米，如果杨洋、张雯按他们原来的速度继续跑向终点，那么当杨洋跑到终点时会领先张雯( )米。 【答案】/ 【思路引导】已知参加比赛的三个人的速度是一定的，所以在相同的时间内，三个人所跑的路程比也是一定的。设当杨洋跑到终点时，张雯还差x米到达终点，根据题意可知，当李伟到达终点时，杨洋和张雯所跑的路程比是（100－10）∶（100－15）；当杨洋到达终点时，杨洋跑的路程是100米，张雯跑的路程是（100－x）米，此时杨洋和张雯所跑的路程比是100∶（100－x）。根据路程比相等列出方程解方程即可。 【规范解答】解∶设当杨洋跑到终点时会领先张雯x米。 100∶（100－x）＝（100－10）∶（100－15） 100∶（100－x）＝90∶85 90×（100－x）＝100×85 90×（100－x）＝8500 90×（100－x）÷90＝8500÷90 100－x＝ x＝100－ x＝ 当杨洋跑到终点时会领先张雯米。 【考点剖析】本题考查应用正比例解决实际问题，明确时间一定，路程和速度成正比例是解题的关键。 奥数拓展二 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（25-26六年级·全国·假期作业）如图，甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为( )齿。 【答案】14、10、35 【思路引导】由题意可知，使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，也就是三个齿轮转过的总齿数是相等的，即甲轮齿数×5＝乙轮齿数×7＝丙轮齿数×2，所以转过的总齿数是5、7、2的公倍数，要求齿数最少，就是转过的总齿数是5、7、2的最小公倍数，5、7、2的最小公倍数是70；再用70分别除以5、7、2即可求出甲、乙、丙的最少齿数。 【规范解答】根据分析： 5×7×2 ＝35×2 ＝70 甲轮齿数最少为：70÷5＝14（齿）； 乙轮齿数最少为：70÷7＝10（齿）； 丙轮齿数最少为：70÷2＝35（齿）； 甲，乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别为14、10、35齿。 【考点剖析】本题关键是根据“甲轮齿数×甲轮转数＝乙轮齿数×乙轮转数＝丙轮齿数×丙轮转数”进行分析解答。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24六年级下·广东佛山·期中）如图，自行车上的两个齿轮通过链条转动，在同一时间内，大、小齿轮转过的齿数是相同的。 （1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成什么比例，为什么？ （2）大齿轮有50个齿，小齿轮有20个齿，如果大齿轮每分转12圈，那么小齿轮每分转多少圈呢？ （3）骑自行车时，自行车后轮随大齿轮的转动而转动，已知后轮与大齿轮圈数之比为2∶3，如果后轮直径为80厘米，请问骑行该自行车走1256米时，小齿轮转了几圈？ 【答案】（1）反比例；每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定） （2）30圈 （3）1875圈 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析； （2）设小齿轮每分转x圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式解答即可； （3）圆的周长＝圆周率×直径，据此求出后轮周长，自行车行驶距离÷后轮周长＝后轮转的圈数，先设大齿轮转了x圈，根据后轮转的圈数∶大齿轮转的圈数＝2∶3，列出比例求出x的值是大齿轮转的圈数；再设小齿轮转了y圈，根据每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），列出反比例算式，即可求出小齿轮转的圈数。 【规范解答】（1）当转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例，因为每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定）。 （2）解：设小齿轮每分转x圈。 20x＝50×12 20x＝600 20x÷20＝600÷20 x＝30 答：小齿轮每分转30圈。 （3）80厘米＝0.8米 3.14×0.8＝2.512（米） 1256÷2.512＝500（圈） 解：设大齿轮转了x圈。 500∶x＝2∶3 2x＝500×3 2x÷2＝1500÷2 x＝750 解：小齿轮转了y圈。 20y＝50×750 20y＝37500 20y÷20＝37500÷20 y＝1875 答：小齿轮转了1875圈。 【考点剖析】关键是确定比例关系，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系，用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）某工程量由若干台机器在规定的时间内完成。如果增加两台机器，则只需要用规定时间的就可以完成；如果减少2台机器，就要推迟小时完成。由2台机器完成这项工程，需要多少小时？ 【答案】28小时 【解析】增加两台机器，则只需要用规定时间的， 把规定时间分为8份，即原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成了，由反比关系可知原来有14台机器；减少2台机器剩余的12台机器要多工作小时，则原来计划的工作时间为4小时，因此14台机器要用4个小时完成，所以2台机器要28个小时完成。 【规范解答】原来所有机器工作1份时间的工作量由2台机器用7份时间完成； （台） （小时） （小时） 答：由2台机器完成这项工程，需要28小时。 【考点剖析】本题考查的是工程问题中的比例问题，当工作总量是不变时，工作时间与工作效率成反比例关系。 1．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）下列各选项中的两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．圆的面积和半径 B．一本书的总页数一定，已看的页数和剩下的页数 C．一个长方体的体积一定，底面积和高 D．种子的发芽率一定，发芽种子的数量和种子总数量 【答案】C 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此逐项分析，进行解答。 【规范解答】A．圆的面积＝π×半径2，圆的面积∶半径2＝π（一定），圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积和半径不成比例。 B．已看的页数＋剩下的页数＝这本书的总页数（一定），已看的页数和剩下的页数不成比例。 C．底面积×高＝长方体体积（一定），底面积和高成反比例。 D．发芽种子的数量÷种子总数量×100%＝种子的发芽率（一定），发芽种子的数量和种子总数量成正比例。 两个量，成反比例关系的是一个长方体的体积一定，底面积和高。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·陕西西安·期中）已知与是两种相关联的量（x、y均不为0），下列选项中，与成反比例关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此逐项分析判断。 【规范解答】A．根据比例的基本性质变形得 ，又可变形得，比值一定，与成正例关系。 B．，差一定，则与不成比例。 C．先变形成除法形式，根据商×除数=被除数，变形得，乘积一定，与成反比例关系。 D．可变形得，化简得，，可知与不成比例。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·山西吕梁·期中）下面各题中的两个量成反比例的是（    ）。 A．圆的周长一定，圆周率和直径。 B．用正方形瓷砖给一间教室铺地，瓷砖的边长和所用的块数。 C．一袋大米，吃了的质量和剩下的质量。 D．用100元人民币换同一面值的零钱，零钱面值和张数。 【答案】D 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此分析。 【规范解答】A．圆周率×直径＝圆的周长，圆周率是个定量，所以圆的周长一定，圆周率和直径不成比例关系。 B．根据瓷砖的边长×边长×所用块数＝教室面积，可得瓷砖的边长×所用块数＝教室面积÷瓷砖的边长（不定），瓷砖的边长和所用的块数不成比例关系。 C．吃了的质量＋剩下的质量＝一袋大米的质量，一袋大米，吃了的质量和剩下的质量不成比例关系。 D．零钱面值×张数＝100元（一定），用100元人民币换同一面值的零钱，零钱面值和张数成反比例。 两个量成反比例的是用100元人民币换同一面值的零钱，零钱面值和张数。 故答案为：D 4．（23-24六年级下·陕西西安·期中）下列选项中的两个量成反比例关系的是（    ）。 A．人的体重和身高 B．梯形面积一定，它的上底和下底 C．路程一定，行驶速度和时间 D．订《意林（少年版）》的份数和总钱数 【答案】C 【思路引导】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。 如果既不是比值一定，也不是乘积一定，则这两种相关联的量不成比例。 【规范解答】A．人的体重和身高的比值或乘积都不一定，所以人的体重和身高不成比例关系； B．（上底＋下底）×高÷2＝梯形面积（一定），它的上底与下底之和与高成反比例，但它的上底和下底不成比例； C．行驶速度×时间＝路程（一定），乘积一定，所以行驶速度和时间成反比例关系； D．订《意林（少年版）》的总钱数÷份数＝《意林（少年版）》的单价（一定），商一定，所以订《意林（少年版）》的份数和总钱数成正比例关系。 故答案为：C 5．下列说法中正确的是（    ）。 A．差一定时，被减数和减数成正比例 B．总价一定时，单价和数量成正比例 C．圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例 D．房间面积一定时，方砖的边长和所需的方砖数量成反比例 【答案】C 【思路引导】根据正、反比例的概念进行逐题判断，符合正、反比例概念的即成正比例或反比例。据此解答。 【规范解答】A.当两个数的商一定时，那么这两个数就成正比例。差一定时，被减数和减数是减法关系。不符合正比例的概念。故说法不正确。 B．因为总价＝单价×数量，当总价一定时，单位和数量成反比例，故说法不正确。 C．因为圆柱体积＝底面积×高，当圆柱体积一定时，它的底面积和高成反比例。故本题说法正确。 D． 因为铺地面积＝边长×边长×需要的块数，所以每块方砖的面积与需要的块数成反比例，而不是边长与所需的方块数量成反比例。 本题的说法是错误的。 故答案为：C 【考点剖析】掌握正、反比例的概念是解答本题的关键。 6．（22-23六年级下·陕西商洛·期末）柞水核桃，是柞水县特产，为中国农产品地理标志产品。柞水核桃坚果方椭圆形，外壳自然黄白色，缝合线紧密，种仁饱满，取仁容易，种皮色浅，仁味油香，涩味淡。某农户要将一批核桃装箱，下表是每箱核桃的质量和装的箱数之间的关系。 每箱核桃的质量/千克 4 5 6 10 装的箱数/箱 75 60 50 30 (1)每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：( )。与成( )比例关系。 (2)如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装( )箱。 【答案】(1) ＝300 反 (2)20 【思路引导】（1）结合表格中的数据发现：每箱核桃的质量×装的箱数＝核桃的总质量（一定），乘积一定，则每箱核桃的质量与装的箱数成反比例关系，用含字母的式子表示数量关系。 （2）已知每箱核桃的质量是15千克，用核桃的总质量除以每箱核桃的质量，即是这批核桃的箱数。 【规范解答】（1）4×75＝300（千克） 5×60＝300（千克） 6×50＝300（千克） 10×30＝300（千克） ＝300（一定），乘积一定，则与成反比例关系。 填空如下： 每箱核桃的质量用表示，装的箱数用表示。用式子表示出、与核桃总质量之间的关系：（＝300）。与成（反）比例关系。 （2）300÷15＝20（箱） 如果每箱核桃的质量是15千克，这批核桃要装（20）箱。 7．（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）若＝1.5（a、b均不为0）那么b∶a＝( )∶( )，b和a成( )比例。 【答案】 3 2 正 【思路引导】1.5＝，根据分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，可解第一问；再根据判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。b和a的比值一定，因此它们成正比例。 【规范解答】＝1.5＝，所以b∶a＝3∶2 若＝1.5（a、b均不为0）那么b∶a＝3∶2，b和a成正比例。 8．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）在同一时间和地点测得不同树的高度与其影长的数据如下图。 (1)图中的树高与影长成( )比例关系。 (2)在同一时间和地点测得一棵树的影长是4.8米，这棵树高( )米。 【答案】(1)正 (2)12 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （2）由上一题可知，树高与影长成正比例关系，即树高与影长的比值一定，据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】（1）＝＝＝…＝0.4（一定） 比值一定，则图中的树高与影长成正比例关系。 （2）解：设这棵树高米。 ＝ 0.4＝4.8×1 ＝4.8÷0.4 ＝12 这棵树高12米。 9．（23-24六年级下·广东深圳·期中）一个房间的铺地面积和用砖数量如下表，根据表格填空。 铺地面积/m2 1 2 3 4 用砖数量/块 15 30 45 60 (1)表中( )和( )是相关联的量，( )随着( )的变化而变化。 (2)第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是( )，比值是( )。 (3)上面所求比值所表示的意义是每平方米的( )，( )是一定的，所以用砖数量和铺地面积成( )比例。 【答案】(1) 铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 (2) 15∶1 15 (3) 用砖数量 用砖数量和铺地面积的比值 正 【思路引导】（1）根据表格中的数量关系直接填空即可； （2）找出第四组中用砖数量与铺地面积的值，写出比化简并求比值即可； （3）比值是用砖数量与铺地面积的比值，表示用砖数量÷铺地面积，表示1平方米需要多少多少块砖；根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系；据此解答。 【规范解答】（1）表中铺地面积和用砖数量是相关联的量，用砖数量随着铺地面积的变化而变化。 （2）第四组中用砖数量∶铺地面积＝60∶4＝15∶1 60∶4＝60÷4＝15 第四组中用砖数量与铺地面积这两种量相对应的两个数的比是15∶1，比值是15。 （3）所求比值＝用砖数量÷铺地面积即所求比值所表示的意义是每平方米的用砖数量；用砖数量和铺地面积的比值是一定的，所以用砖数量和铺地面积成正比例。 10．（2024·山西吕梁·小升初真题），x和y成( )比例，，x和y成( )比例。 【答案】 反 正 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【规范解答】，即5÷x＝y xy＝5（一定），x和y成反比例。 ，即y÷7＝x （一定），x和y成正比例。 11．甲、乙两人骑自行车行驶的路程与时间的关系如图所示。 （1）甲骑自行车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 （2）如果甲、乙两人骑自行车从A、B两地同时出发，相向而行，那么经过5小时，甲骑自行车行了( )km，乙骑自行车行了( )km。 （3）从图上看，( )骑自行车行驶得快。 【答案】 正 120 80 甲 【思路引导】（1）两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；由图上可以看出，甲骑行的路程÷时间＝速度（一定），因此，甲骑自行车行驶的路程和时间正比例。 （2）由图上可以看出，乙骑自行车的速度＝路程÷时间，通过第（1）求得甲的骑行速度，甲乙骑自行车的路程＝速速×时间 （3）从图上看，甲和乙谁行驶得快，只要比较谁的图象斜率（倾斜程度）大，谁就行驶的快。 【规范解答】（1）甲骑自行车的速度： 72÷3＝24（千米）（一定），所以甲骑自行车行驶的路程和时间正比例； （2）乙骑自行车的速度： 48÷3＝16（千米） 经过5小时，甲骑自行车行了：24×5＝120（千米）；甲骑自行车行了：16×5＝80（千米） （3）从图上可以看出：甲的斜率（倾斜程度）大，所以甲骑自行车行驶得快。 【考点剖析】此题主要考查正比例的意义，以及路程、速度、和时间的关系。 12．如果一个量变大，另一个量也变大，这两个量成正比例。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，如果一个量变大，另一个量也变大，这两个量成正比例说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查正比例的意义，根据正比例的意义进行解答。 13．给病人打点滴（250毫升），每分的滴数和滴的时间成正比例。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果比值一定，则成正比例；如果乘积一定，则成反比例。根据给病人打点滴的量（250毫升）＝每分钟的滴数×时间，即可判断。 【规范解答】根据分析可知，给病人打点滴的量（250毫升）＝每分钟的滴数×时间，给病人打点滴的量一定，每分钟的滴数与时间乘积一定，成反比例关系。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查正比例、反比例的意义，根据正比例、反比例的意义进行解答。 14．圆的周长和直径成正比例，圆的面积与半径也成正比例。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】两个相关联的量，如果它们的比值一定则成正比例关系，据此判断。 【规范解答】C÷d＝π（一定），圆的周长和直径成正比例。 S÷r2＝π（一定），圆的面积与半径的平方成正比例，与半径不成比例。 故答案为：× 【考点剖析】此题考查了正比例的辨别，掌握圆的周长和面积计算公式是解题关键。 15．解比例。 15∶x＝7∶28　　　∶x＝0.25∶8 ＝         ∶＝x∶ 【答案】x＝60；x＝24；x＝25；x＝ 16．（24-25六年级下·广东深圳·期中）淘气、笑笑、奇思和妙想四人实践小组利用一个漏水的水龙头做“漏水”实验。他们用一个圆柱形玻璃容器来盛漏出的水，从玻璃容器的内部测量，底面周长是62.8厘米，高是30厘米。下表是他们统计的数据。 漏水时间/分 1 2 3 10 20 … 漏水体积/毫升 40 80 120 400 800 … （1）漏水体积与漏水时间成什么关系？为什么？ （2）这个玻璃容器最多能装多少毫升水？ （3）笑笑把这个空的玻璃容器放在漏水水龙头的下面接水，需要接水多长时间，容器的水位达到20厘米？ （4）这时，往玻璃容器中放入5个底面半径是4厘米的相同圆锥形铁块（完全浸没），玻璃容器内的水位高度从20厘米上升到22厘米。一个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）正比例；漏水体积÷漏水时间＝每分钟漏水体积（一定） （2）9420毫升 （3）157分 （4）7.5厘米 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系，据此分析； （2）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆柱容积＝底面积×高，据此计算出玻璃容器的容积即可； （3）玻璃容器的底面积×水位高度＝接水量，接水量÷每分钟漏水体积＝需要的时间； （4）水面上升的体积就是5个圆锥形铁块的体积，玻璃容器底面积×水面上升的高度÷5＝一个铁块的体积，根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，即可求出铁块的高。 【规范解答】（1）40÷1＝40（毫升），80÷2＝40（毫升），120÷3＝40（毫升）… 答：漏水体积与漏水时间成正比例关系，因为漏水体积÷漏水时间＝每分钟漏水体积（一定）。 （2）62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 3.14×102×30 ＝3.14×100×30 ＝9420（立方厘米） 9420立方厘米＝9420毫升 答：这个玻璃容器最多能装9420毫升水。 （3）3.14×102×20 ＝3.14×100×20 ＝6280（立方厘米） 6280立方厘米＝6280毫升 6280÷40＝157（分） 答：需要接水157分。 （4）3.14×102×（22－20）÷5 ＝3.14×100×2÷5 ＝628÷5 ＝125.6（立方厘米） 125.6×3÷（3.14×42） ＝376.8÷（3.14×16） ＝376.8÷50.24 ＝7.5（厘米） 答：一个圆锥形铁块的高是7.5厘米。 17．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）乐乐拼出的图形面积和所需拼板的数量如下表。 图形面积/平方米 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 … 拼板数量/块 0 4 8 12 16 20 24 28 … （1）判断乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）乐乐拼出一个形状似“蛇”的图形的面积是45平方米，乐乐用了多少块拼板？（用比例解答） 【答案】（1）成正比例；理由见详解 （2）图见详解 （3）75块 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据表格提供的数据，描出各点，然后按顺序连接即可。 （3）可知，拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例，则拼出的图形面积÷拼板的数量＝每块拼板的面积（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【规范解答】（一定） 每块拼板的面积是定值，所以乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例。 （2）作图如下： （3）解：设乐乐用了块拼板。 ＝ 2.4＝45×4 2.4＝180 2.4＝180÷2.4 ＝75 答：乐乐用了75块拼板。 18．（24-25六年级下·陕西西安·期中）乐乐拼出的图形面积和所需拼板的数量如下表。 图形面积 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 … 拼板数量/块 0 4 8 12 16 20 24 28 .… （1）乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例吗？为什么？ （2）把上表中乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）乐乐用105块拼板拼出一个形状似“蛇”的图形，这个形状似“蛇”的图形的面积是多少平方米？（用比例解答） 【答案】（1）成正比例。原因见详解。 （2）作图见详解 （3）63平方米 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间是否成正比例，就看这两个量对应的比值是否一定，对应的比值一定就成正比例。据此计算统计表中相应数据的比值，再判断。 （2）观察可知，统计图的横轴表示拼板数量，纵轴表示图形面积，据统计表中数据描出相应各点，再顺次连接。 （3）已知乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例，设这个形状似“蛇”的图形的面积是平方米，则形状似“蛇”的图形的面积∶形状似“蛇”的拼板数量＝2.4∶4，据此列比例并解比例。 【规范解答】（1） 答：乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例。因为拼出图形的面积随所需拼板的数量增加而增加，拼出图形的面积与所需拼板数量的比值是一定的，所以拼出图形的面积与所需拼板的数量成正比例关系。 （2）据分析作图如下： （3）解：设这个形状似“蛇”的图形的面积是平方米。 答：这个形状似“蛇”的图形的面积是63平方米。 19．（24-25六年级下·山西吕梁·期中）同学们探究“杠杆原理”背后隐藏的数学原理时，做了如下实验，现在杠杆左边刻度4处挂3个砝码。再分别在杠杆右边不同刻度处挂不同的砝码，使杠杆保持平衡。（如图1、图2） （1）右边分别在其他刻度上挂几个砝码才能保持平衡呢？把下面表格补充完整。 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 6 3 乘积 （2）观察上图刻度数和所挂砝码数成什么比例，为什么？ 【答案】（1）12；4   12；12；12；12 （2）反比例；右边刻度×所挂砝码数＝12（一定） 【思路引导】（1）看图可知，图1，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度2处挂6个砝码，4×3＝2×6；图2，左边刻度4处挂3个砝码，右边刻度4处挂3个砝码，4×3＝4×3，由此可知，右边刻度×所挂砝码数＝12，12÷右边刻度＝所挂砝码数，据此计算后填表。 （2）两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【规范解答】（1）12÷1＝12、12÷3＝4 1×12＝12、2×6＝12、3×4＝12、4×3＝12 右边刻度 1 2 3 4 所挂砝码数 12 6 4 3 乘积 12 12 12 12 （2）刻度数和所挂砝码数成反比例，因为右边刻度×所挂砝码数＝12（一定）。 20．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）陕西各地不断提高经济绿色化程度，加快形成绿色发展，一个环保节能型造纸厂生产情况如下表： 时间/天 0 1 2 5 8 10 生产总量/吨 0 80 160 400 640 800 （1）生产总量和时间成什么比例关系？为什么？ （2）在如图中用点表示出相对应的生产总量和时间，再把它们按顺序连起来。 （3）生产720吨纸需要（    ）天；15天可以生产（    ）吨纸。 【答案】（1）成正比例关系，因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值是一定的； （2）见详解 （3）9；1200 【思路引导】（1），两个变化的量，一个量随着另一个量的变化而变化，并且它们的比值一定，那么这两个量成正比例关系；因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值为80，是一定的，所以生产总量和时间成正比例关系；据此解答。 （2）横坐标表示时间，纵坐标表示生产总量，先描出各点，再依次连接即可； （3）由（1）可知生产总量与时间的比值是80，根据比与除法的关系，即生产总量÷时间＝80，根据除数＝被除数÷商，所以时间＝生产总量÷80，所以720÷80＝9（天）；根据被除数＝商×除数，即80×时间＝生产总量，所以80×15＝1200（吨），据此解答。 【规范解答】（1） 答：生产总量和时间成正比例关系，因为生产总量随着时间的增加的增加而增加，并且它们的比值是一定的； （2） （3）720÷80＝9（天） 80×15＝1200（吨） 所以生产720吨纸需要9天；15天可以生产1200吨纸。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $