期中复习讲义03：因数与倍数（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

期中复习讲义03：因数与倍数 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1.定义：在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 2.相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数（如“12是3的倍数”“3是12的因数”，不可说“12是倍数”“3是因数”）。 3.研究范围：仅在非0自然数范围内讨论因数和倍数（0不能做除数，故0不在研究范围内）。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1.找因数的方法： (1)乘法算式法：将这个数写成两个整数相乘的形式，所有乘数和积都是该数的因数（如找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，因数为1,2,3,6,9,18）。 (2)除法算式法：用该数依次除以1,2,3,…，若商是整数且没有余数，除数和商都是因数。 2.因数的特征： (1)个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2)因数具有对称性（如12的因数1和12、2和6、3和4成对出现）。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1.找倍数的方法：用这个数依次乘1,2,3,…，所得的积都是该数的倍数（如3的倍数：3×1=3，3×2=6，3×3=9，…）。 2.倍数的特征： (1)个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (2)一个数的倍数一定大于或等于它本身。 考点四、倍数和因数的综合应用 1.判断因数倍数关系：根据定义判断两个数是否存在因数或倍数关系（如24÷4=6，则24是4和6的倍数，4和6是24的因数）。 2.解决基础问题：结合因数和倍数的概念，分析简单数量关系（如“一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少”）。 考点五、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数（如12,34,50等）。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数（如20,35,50等）。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数（如123：1+2+3=6，6是3的倍数，故123是3的倍数）。 4.同时是2和5的倍数特征：个位上是0的数（如10,20,30等）。 考点六、奇数与偶数的认识 1.定义：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.特征：偶数个位为0,2,4,6,8；奇数个位为1,3,5,7,9。 3.运算性质： (1) 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数； (2) 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数。 考点七、质数与合数的认识 1.定义： (1)质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数（如2,3,5,7等）。 (2)合数：除了1和它本身还有别的因数的数（如4,6,8,9等）。 (3)1：既不是质数也不是合数。 2.100以内常见质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97（共25个）。 考点八、质因数与分解质因数 1.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数（如12=2×2×3，2和3是12的质因数）。 2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如将30分解质因数：30=2×3×5）。 3.分解方法：短除法——用质数作除数，除到商是质数为止，把除数和商写成连乘形式（如分解48：先用2除，得24；再用2除，得12；再用2除，得6；再用2除，得3（质数），故48=2×2×2×2×3）。 考点九、最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数（GCD）： (1)定义：几个数公有的因数叫做公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。 (2)求法：列举法（列出各数因数，找最大公有因数）、短除法（用公有的质因数去除，除数相乘的积即为最大公因数）。 2.最小公倍数（LCM）： (1)定义：几个数公有的倍数叫做公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 (2)求法：列举法（列出各数倍数，找最小公有倍数）、短除法（用公有的质因数和各自独有的质因数去除，除数和商相乘的积即为最小公倍数）。 3.特殊情况： (1)互质数（公因数只有1的两个数）：最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积（如3和5，最大公因数1，最小公倍数15）。 (2)成倍数关系的两个数：较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数（如6和12，最大公因数6，最小公倍数12）。 考点十、用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 1.适用场景： (1)最大公因数：解决“最多能分成多少组”“最大正方形边长”等问题（如将长24cm、宽18cm的长方形纸裁成同样大的正方形，边长最大是6cm，即求24和18的最大公因数）。 (2)最小公倍数：解决“至少经过多少时间再次同时发生”“至少需要多少物品”等问题（如甲每4天、乙每6天去一次图书馆，两人下次同时去是12天后，即求4和6的最小公倍数）。 2.解题步骤：分析题意确定需求（最大公因数或最小公倍数）→ 用相应方法计算 → 检验结果是否符合实际。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（    ）。 A．14和56 B．4和17 C．1.8和0.6 D．4和0.8 【变式训练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【变式训练2】在3，0.3，5，0.5，15，0.15中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 【变式训练1】6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。下面的数也有这样的特点的完美数是（    ）。 A．8 B．12 C．20 D．28 【变式训练2】五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题3】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【变式训练1】100以内8的倍数有( )个。 【变式训练2】《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 题型四、倍数和因数的综合应用 【例题4】一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 【变式训练1】既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是( )或( )。 【变式训练2】一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 题型五、2、3、5的倍数特征 【例题5】一个四位数是462□，要使它是5的倍数，□里可以填( )；要使它是3的倍数，□里可以填( )。 【变式训练1】用1～5这五个自然数连续不断地排成一个二十位数1234512345…，这个二十位数一定是（    ）。 A．2、3的倍数 B．2、5的倍数 C．3、5的倍数 D．2、3、5的倍数 【变式训练2】从0、1、3、8中选出三个数字，组成一个既是2的倍数，又有因数3的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 题型六、奇数与偶数的认识 【例题6】1＋3＋5＋…＋27＋29的和是（    ）。 A．偶数 B．倍数 C．奇数 D．质数 【变式训练1】5个连续的偶数的和是100，其中最小的是( )，最大的是( )。 【变式训练2】从三个数字3，5，6中选出两个，按要求组成两位数。 最大的奇数：( )            最小的偶数：( ) 最大的3的倍数：( )        最小的5的倍数：( ) 既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 题型七、质数与合数的认识 【例题7】一个两位数，十位是最小的合数，个位是最小的质数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【变式训练1】如果△表示一个质数，○表示一个合数，那么下面的（    ）的结果一定是合数。 A．△＋○ B．○－△ C．△×○ D．○÷△ 【变式训练2】在括号里填合适的质数。 46＝( )×( )             30＝( )×( )×( ) 14＝( )×( )              25＝( )＋( ) 题型八、质因数与分解质因数 【例题8】18的因数有( )，质因数有( )，把18分解质因数是( )。 【变式训练1】一个数的最小倍数是18，把它分解质因数是( )。 【变式训练2】48的因数有( )，其中( )是质数，( )是合数。48分解质因数是( )。 题型九、最大公因数与最小公倍数 【例题9】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （10，35）＝              （13，91）＝         （11，12）＝ [10，35]＝                 [13，91]＝           [11，12]＝ 【变式训练1】两个自然数的积是432，它们的最大公因数是12，则它们的最小公倍数是（    ）。 A．12 B．420 C．36 D．无法确定 【变式训练2】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和30      10和9       26和39 题型十、用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 【例题10】有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 【变式训练1】某农场对一片长24米、宽18米的长方形土地进行规划，要把它分成完全相同的正方形土地（边长是整米数），且划分后没有剩余，正方形土地边长最大是( )米。 【变式训练2】小明的爷爷喜欢养花。爷爷说：“兰花要4天浇一次水，君子兰要6天浇一次水。”如果3月2日爷爷同时给这两种花浇了水。那么至少3月几日爷爷应同时再给这两种花浇水？ 提升练习 1．被誉为“世界第八大奇迹”的秦始皇陵兵马俑是世界考古史上最伟大的发现之一。二号坑第三单元有264个步兵俑，小明用下面的方法数这些步兵俑，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．5个5个地数 D．6个6个地数 2．暑假里，小林和小亮去参加游泳训练，小林每6天游一次，小亮每4天游一次。7月30日他们同时参加训练后，8月（    ）日他们又再次相遇。 A．11日 B．12日 C．13日 D．14日 3．下面的条件中，非0自然数M、N的最大公因数是1的有（    ）个。 ①M＋1＝N ②M、N是两个质数 ③M－N＝2 ④M是质数，N是合数 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如，22＝3×5＋7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，下面的式子中，符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．32＝3×7＋11 D．18＝2×7＋4 6．在1、2、9、51、18、97中，奇数有( )，质数有( )，既是奇数又是合数的有( )，既是偶数又是质数的有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 7．有一个三位数45，要使它是3的倍数，里可以填( )；要使它既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填( )。 8．30的全部因数中是偶数的有( )个，是质数的有( )个，是合数的有( )个。 9．下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 10．72和36的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 11．有两根长分别是8分米和12分米的木条，要把它们都锯成同样长的小段（每段长都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长可以是( )分米。 12．张明电脑的登录密码是由六个数字组成的（如图所示），“*”表示的数字既是质数又是偶数，张明设置的六位登录密码是( )。 13．分解质因数A＝2×3×5，B＝3×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )，99分解质因数是( )。 14．写出下面每组数的最大公因数或最小公倍数。 （24，36）＝    （9，10）＝   [9，18]＝    [15，9]＝ 15．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32                143和13                8和11 16．亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月3日他们两人都去了图书馆借书，下一次两人都去借书是几月几日？ 17．用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 18．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽的厘米数一个是合数、一个是质数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 19．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 20．小明家卫生间的地面是一个长300厘米，宽240厘米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖。 （1）选择下面哪种规格的地砖，不要切割，正好铺满？请简要说明理由。 （2）按照你所选规格的地砖，算一算铺满需要多少块？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义03：因数与倍数 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1.定义：在整数除法中（除数不为0），如果商是整数且没有余数，被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 2.相互依存关系：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数（如“12是3的倍数”“3是12的因数”，不可说“12是倍数”“3是因数”）。 3.研究范围：仅在非0自然数范围内讨论因数和倍数（0不能做除数，故0不在研究范围内）。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1.找因数的方法： (1)乘法算式法：将这个数写成两个整数相乘的形式，所有乘数和积都是该数的因数（如找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，因数为1,2,3,6,9,18）。 (2)除法算式法：用该数依次除以1,2,3,…，若商是整数且没有余数，除数和商都是因数。 2.因数的特征： (1)个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2)因数具有对称性（如12的因数1和12、2和6、3和4成对出现）。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1.找倍数的方法：用这个数依次乘1,2,3,…，所得的积都是该数的倍数（如3的倍数：3×1=3，3×2=6，3×3=9，…）。 2.倍数的特征： (1)个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 (2)一个数的倍数一定大于或等于它本身。 考点四、倍数和因数的综合应用 1.判断因数倍数关系：根据定义判断两个数是否存在因数或倍数关系（如24÷4=6，则24是4和6的倍数，4和6是24的因数）。 2.解决基础问题：结合因数和倍数的概念，分析简单数量关系（如“一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可能是多少”）。 考点五、2、3、5的倍数特征 1.2的倍数特征：个位上是0,2,4,6,8的数（如12,34,50等）。 2.5的倍数特征：个位上是0或5的数（如20,35,50等）。 3.3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数（如123：1+2+3=6，6是3的倍数，故123是3的倍数）。 4.同时是2和5的倍数特征：个位上是0的数（如10,20,30等）。 考点六、奇数与偶数的认识 1.定义：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）；不是2的倍数的数叫做奇数。 2.特征：偶数个位为0,2,4,6,8；奇数个位为1,3,5,7,9。 3.运算性质： (1) 奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，奇数+偶数=奇数； (2) 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数。 考点七、质数与合数的认识 1.定义： (1)质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数（如2,3,5,7等）。 (2)合数：除了1和它本身还有别的因数的数（如4,6,8,9等）。 (3)1：既不是质数也不是合数。 2.100以内常见质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97（共25个）。 考点八、质因数与分解质因数 1.质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的质因数（如12=2×2×3，2和3是12的质因数）。 2.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如将30分解质因数：30=2×3×5）。 3.分解方法：短除法——用质数作除数，除到商是质数为止，把除数和商写成连乘形式（如分解48：先用2除，得24；再用2除，得12；再用2除，得6；再用2除，得3（质数），故48=2×2×2×2×3）。 考点九、最大公因数与最小公倍数 1.最大公因数（GCD）： (1)定义：几个数公有的因数叫做公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。 (2)求法：列举法（列出各数因数，找最大公有因数）、短除法（用公有的质因数去除，除数相乘的积即为最大公因数）。 2.最小公倍数（LCM）： (1)定义：几个数公有的倍数叫做公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 (2)求法：列举法（列出各数倍数，找最小公有倍数）、短除法（用公有的质因数和各自独有的质因数去除，除数和商相乘的积即为最小公倍数）。 3.特殊情况： (1)互质数（公因数只有1的两个数）：最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积（如3和5，最大公因数1，最小公倍数15）。 (2)成倍数关系的两个数：较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数（如6和12，最大公因数6，最小公倍数12）。 考点十、用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 1.适用场景： (1)最大公因数：解决“最多能分成多少组”“最大正方形边长”等问题（如将长24cm、宽18cm的长方形纸裁成同样大的正方形，边长最大是6cm，即求24和18的最大公因数）。 (2)最小公倍数：解决“至少经过多少时间再次同时发生”“至少需要多少物品”等问题（如甲每4天、乙每6天去一次图书馆，两人下次同时去是12天后，即求4和6的最小公倍数）。 2.解题步骤：分析题意确定需求（最大公因数或最小公倍数）→ 用相应方法计算 → 检验结果是否符合实际。 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（    ）。 A．14和56 B．4和17 C．1.8和0.6 D．4和0.8 【答案】A 【分析】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。 【详解】A.  56÷14＝4，商是整数，所以56是14的倍数，14是56的因数，二者有因数和倍数的关系，符合； B.  17不能被4整除，所以17不是4的倍数，4不是17的因数，不符合； C.  因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，1.8和0.6是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合； D.  因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，0.8是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。 因此，两个数是因数和倍数关系的是14和56。 【变式训练1】a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【详解】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 【变式训练2】在3，0.3，5，0.5，15，0.15中，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 15 3 5 3 5 15 【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。 【详解】3×5＝15 即15是3和5的倍数，3和5是15的因数。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】下面的数中，因数个数最多的是（    ）。 A．36 B．40 C．48 D．50 【答案】C 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数；一一列举出各数的因数，比较各自因数的个数即可。 【详解】A．36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共9个； B．40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40，共8个； C．48的因数有：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，共10个； D．50的因数有：1，2，5，10，25，50，共6个 48的因数个数最多。 故答案为：C 【变式训练1】6的因数有1、2、3、6，这几个因数之间的关系是：1＋2＋3＝6，像6这样的数叫做完全数（也叫完美数）。下面的数也有这样的特点的完美数是（    ）。 A．8 B．12 C．20 D．28 【答案】D 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此求出各选项数的因数，将除它本身外的所有因数相加，等于这个数就是完美数。 【详解】A．8＝1×8＝2×4 8的因数有1、2、4、8，1＋2＋4＝7，8不是完美数； B．12＝1×12＝2×6＝3×4 12的因数有1、2、3、4、6、12，1＋2＋3＋4＋6＝16，12不是完美数； C．20＝1×20＝2×10＝4×5 20的因数有1、2、4、5、10、20，1＋2＋4＋5＋10＝22，20不是完美数； D．28＝1×28＝2×14＝4×7 28的因数有1、2、4、7、14、28，1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完美数。 有这样的特点的完美数是28。 【变式训练2】五年级（1）班有40人，如果所有同学站成方队表演体操，每行人数同样多，至少4人，最多12人。利用“因数和倍数”知识，你可以列举出几种站队的方法？请整理出来。 【答案】 4种；具体见详解 【分析】40人站成方队，即每行人数是40的因数，且每行人数需满足“至少4人，最多12人”。因此需要先找出40的所有因数，再筛选出符合人数范围的因数，每个符合条件的因数对应一种站队方法。 【详解】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 因此40的因数有：1、2、4、5、8、10、20、40。 因为要求至少4人，最多12人，因此从因数中筛选出：4、5、8、10。 方法1：每行4人，站10行（4×10＝40） 方法2：每行5人，站8行（5×8＝40） 方法3：每行8人，站5行（8×5＝40） 方法4：每行10人，站4行（10×4＝40） 综上，共有4种站队方法。 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题3】7的倍数有( )个，其中最小的是( )。 【答案】 无数 7 【分析】一个数的倍数是指这个数分别乘1、2、3、4…，所得的数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身，所以7的最小倍数是7。 【详解】因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数的个数也是无限的。一个数的最小倍数是它本身。 7的倍数有无数个，其中最小的是7。 【变式训练1】100以内8的倍数有( )个。 【答案】 12 【分析】要求100以内8的倍数的个数，即找出所有不超过100的正整数中，能被8整除的数。可以用8乘倍数来得出100以内的8倍数。据此可计算得出答案。 【详解】100以内的8的倍数有：8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，8×5＝40，8×6＝48，8×7＝56，8×8＝64，8×9＝72，8×10＝80，8×11＝88，8×12＝96。 即100以内8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56、64、72、80、88、96。共12个。 【变式训练2】《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是( )，最小倍数是( )。 【答案】 1 72 【分析】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。进而求出72的最小因数；一个数的最小倍数是它本身，据此求出72的最小倍数，据此解答。 【详解】72＝1×72＝2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝8×9 72的因数有：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72；最小因数是1。 72的最小倍数是72。 《西游记》是中国古典四大名著之一。小说中的孙悟空有七十二般变化，72的最小因数是1，最小倍数是72。 题型四、倍数和因数的综合应用 【例题4】一个数既是36的因数，又是9的倍数，这个数可能是( )。 【答案】9、18、36 【分析】首先找出36的所有因数，然后从这些因数中筛选出是9的倍数的数即可。 【详解】36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；其中9、18、36是9的倍数。 则这个数可能是9、18、36。 【变式训练1】既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是( )或( )。 【答案】 15 75 【分析】通过乘法算式法找出75的所有因数，75的最小的因数是1，最大的因数是其本身75。通过乘法算式法找出小于等于75的所有15的倍数，找出相同的数既是75的因数，又是15的倍数的数，据此解答。 【详解】75＝1×75，75＝3×25，75＝5×15，75的因数有1、3、5、15、25、75。 15×1＝15，15×2＝30，15×3＝45，15×4＝60，15×5＝75，小于等于75且是15倍数的数有15、30、45、60、75。 故既是75的因数，又是15的倍数，这个数可能是15或75。 【变式训练2】一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是( )，它的因数有( )。 【答案】 32 1、2、4、8、16、32 【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，一个数的因数是指能整除这个数的几个数，由此即可计算。 【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8； 即一个数的最大因数是32，这个数的最小倍数是32，它的因数有1、2、4、8、16、32。 题型五、2、3、5的倍数特征 【例题5】一个四位数是462□，要使它是5的倍数，□里可以填( )；要使它是3的倍数，□里可以填( )。 【答案】 0，5 0，3，6，9 【分析】①5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 ②3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】①要使它是5的倍数，□里可以填0，5。 ②4＋6＋2＝12 12＋0＝12；12＋3＝15；12＋6＝18；12＋9＝21 即要使它是3的倍数，□里可以填0，3，6，9。 【变式训练1】用1～5这五个自然数连续不断地排成一个二十位数1234512345…，这个二十位数一定是（    ）。 A．2、3的倍数 B．2、5的倍数 C．3、5的倍数 D．2、3、5的倍数 【答案】C 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位是0或5的数是5的倍数；一个数各个数位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【详解】20÷5＝4（组） 所以这个数最后一位数字是5，是5的倍数。 1＋2＋3＋4＋5＝15，15是3的倍数，所以这个二十位数也是3的倍数。 这个二十位数一定是3、5的倍数。 【变式训练2】从0、1、3、8中选出三个数字，组成一个既是2的倍数，又有因数3的最小三位数是( )，最大三位数是( )。 【答案】 108 810 【分析】根据已知这个数既是2的倍数，又有因数3，需同时满足两个条件：个位是偶数（2的倍数特征），三个数位的数字和是3的倍数（3的倍数特征）。 最小三位数：百位最小，十位尽量小。 最大三位数：百位尽量大，十位尽量大。 【详解】从0、1、3、8中选三个数字，只有两组的和是3的倍数：0、1、8（和为9），1、3、8（和为12）。 百位最小选1（百位不能为0），十位尽量小，个位要为偶数（2的倍数特征），得到108，符合所有要求，是最小的。 百位尽量大选8，十位尽量大，个位要为偶数（2的倍数特征），得到810，符合所有要求，是最大的。 【点睛】突破口既是2的倍数，又有因数3； 百位最小，十位尽量小，得最小三位数； 百位尽量大，十位尽量大，得最大三位数。 题型六、奇数与偶数的认识 【例题6】1＋3＋5＋…＋27＋29的和是（    ）。 A．偶数 B．倍数 C．奇数 D．质数 【答案】C 【分析】根据首尾相加的方法，求出结果。在自然数中，不是2的倍数的数叫奇数，是2的倍数的数叫偶数。如果a÷b＝c（a、b、c都是非0自然数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。注意不能单独说某个数是因数或倍数。一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这样的数叫合数。据此判断即可。 【详解】（1＋29）×15÷2 ＝30×15÷2 ＝225 225不是2的倍数，所以225是奇数，而且是合数。 所以，1＋3＋5＋…＋27＋29的和是奇数。 【变式训练1】5个连续的偶数的和是100，其中最小的是( )，最大的是( )。 【答案】 16 24 【分析】相邻的两个偶数之间相差2，5个连续的偶数的和÷5＝中间偶数，中间偶数－2－2＝最小偶数，中间偶数＋2＋2＝最大偶数。 【详解】100÷5＝20 最小的：20－2－2＝16 最大的：20＋2＋2＝24 【变式训练2】从三个数字3，5，6中选出两个，按要求组成两位数。 最大的奇数：( )            最小的偶数：( ) 最大的3的倍数：( )        最小的5的倍数：( ) 既是2的倍数，又是3的倍数：( )。 【答案】 65 36 63 35 36 【分析】不是2的倍数的数是奇数，个位数字是1、3、5、7、9，所以用3、5、6组成的奇数的个位为3或5，组成的两位数有35、53、63、65，其中最大的是65。 是2的倍数的数是偶数，个位数字是0、2、4、6、8，所以用3、5、6组成的偶数的个位为6，组成的两位数有36、56，其中最小的是36。 3的倍数需各位数字之和是3的倍数，符合条件的两位数有36、63，其中最大的是63。 个位数字是0或5的数是5的倍数，所以用3、5、6组成的5的倍数个位为5，组成的两位数有35、65，其中最小的是35。 既是2的倍数，又是3的倍数需同时满足“个位为 6”和“数字之和是3的倍数”，符合条件的数是36。 【详解】最大的奇数：65　　　　　　                     最小的偶数：36　　　　　　   最大的3的倍数：63　　　　　　              最小的5的倍数：35　　　　　　 既是2的倍数，又是3的倍数：36 题型七、质数与合数的认识 【例题7】一个两位数，十位是最小的合数，个位是最小的质数，这个数是( )，这个数的因数有( )个。 【答案】 42 8 【分析】最小的合数是4，最小的质数是2，所以十位上是4，个位上是2。写出这个数后，用配对法，将这个数从1乘本身开始写成两个数的乘积，以此找出这个数所有的因数，并统计个数。 【详解】十位上是4，个位上是2，所以这个数是42。 所以，42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，共8个。 【变式训练1】如果△表示一个质数，○表示一个合数，那么下面的（    ）的结果一定是合数。 A．△＋○ B．○－△ C．△×○ D．○÷△ 【答案】C 【分析】质数：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。合数：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。据此逐项分析即可。 【详解】A．假设△＝2，○＝4，△＋○＝2＋4＝6，6是合数；假设△＝3，○＝4，△＋○＝3＋4＝7，7是质数。所以，△＋○不一定是合数。 B．假设△＝2，○＝6，○－△＝6－2＝4，4是合数；假设△＝3，○＝4，○－△＝4－3＝1，1既不是质数也不是合数。所以，○－△不一定是合数。 C．假设△＝2，○＝4，△×○＝2×4＝8，8是合数。假设△＝3，○＝4，△×○＝3×4＝12，12是合数。所以，△×○一定是合数。 D．假设△＝2，○＝4，○÷△＝4÷2＝2，2是质数；假设△＝5，○＝4，○÷△＝4÷5＝0.8，0.8不是自然数；所以，○÷△不一定是合数。 【变式训练2】在括号里填合适的质数。 46＝( )×( )             30＝( )×( )×( ) 14＝( )×( )              25＝( )＋( ) 【答案】 2 23 2 3 5 2 7 2 23 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。据此将给定的数分解为质数的乘积或质数的和。 【详解】（1）46÷2＝23 2是质数，23是质数，所以46＝2×23； （2）30÷2＝ 15 15÷3＝5 2、3、5都是质数，所以30＝2×3×5； （3）14÷2＝7 2是质数，7是质数，所以14＝2×7； （4）25是奇数，根据奇数＝偶数＋奇数，而既是偶数又是质数的数只有2 25－2＝23 2是质数，23是质数，所以25＝2＋23。 题型八、质因数与分解质因数 【例题8】18的因数有( )，质因数有( )，把18分解质因数是( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 2、3 18＝2×3×3 【分析】找18的因数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。所以从1开始，依次用整数去整除18，能整除18的数就是18的因数。 找18的质因数：质因数是一个数的因数，并且是质数。先找出18的因数，再从这些因数中找出质数，就是18的质因数。 分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一般先从简单的质数试着分解。 【详解】18的因数：18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，因此18的因数有（1、2、3、6、9、18）。质因数：从因数中找出质数，2和3是质数，因此质因数有（2、3）。分解质因数：18＝2×9＝2×3×3，因此（18＝2×3×3）。 【变式训练1】一个数的最小倍数是18，把它分解质因数是( )。 【答案】18＝2×3×3 【分析】一个数的最小倍数是它本身。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。 【详解】一个数的最小倍数是18，这个数是18，把它分解质因数是18＝2×3×3。 【变式训练2】48的因数有( )，其中( )是质数，( )是合数。48分解质因数是( )。 【答案】 1，2，3，4，6，8，12，16，24，48 2，3 4，6，8，12，16，24，48 48＝2×2×2×2×3 【分析】利用乘法算式找出48的因数，质数：一个数除了1和它本身，没有其他因数的数是质数；合数：一个数除了1和它本身，还有其它因数的数是合数，1既不是质数，也不是合数，据此找出其中的质数和合数；最后用短除法把48持续分解，直到所有因数都是质数，将其写成质数相乘的形式完成质因数分解。 【详解】48＝1×48 48＝2×24 48＝3×16 48＝4×12 48＝6×8 48的因数有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48，其中2，3是质数，4，6，8，12，16，24，48是合数。48分解质因数是48＝2×2×2×2×3。 题型九、最大公因数与最小公倍数 【例题9】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 （10，35）＝              （13，91）＝         （11，12）＝ [10，35]＝                 [13，91]＝           [11，12]＝ 【答案】5；13；1； 70；91；132 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数；如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，据此解答。 【详解】（1）10＝2×5 35＝5×7 10和35的最大公因数：5 10和35的最小公倍数：2×5×7＝70 （2）91÷13＝7 13和91是倍数关系 13和91的最大公因数：13 13和91的最小公倍数：91 （3）11和12互质 11和12的最大公因数：1 11和12的最小公倍数：11×12＝132 【变式训练1】两个自然数的积是432，它们的最大公因数是12，则它们的最小公倍数是（    ）。 A．12 B．420 C．36 D．无法确定 【答案】C 【分析】两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积，两个自然数的积÷最大公因数＝最小公倍数。 【详解】432÷12＝36 它们的最小公倍数是36。 【变式训练2】求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 5和30      10和9       26和39 【答案】5，30；1，90；13，78 【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；两个互质数的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，它们公有的质因数和各自独有的质因数连乘起来就是它们的最小公倍数。 【详解】30是5的倍数，所以5和30的最大公因数是5，最小公倍数是30； 10和9互质，所以10和9的最大公因数是1，最小公倍数是10×9＝90； 26＝2×13 39＝3×13 所以26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78。 题型十、用最大公因数或最小公倍数解决实际问题 【例题10】有一块长方形木板，长80厘米，宽60厘米。把它锯成最大的面积相等的小正方形木板，不许有剩余，可以锯成多少个小正方形？ 【答案】12个 【分析】根据题意，要锯成最大的面积相等的小正方形木板且没有剩余，小正方形的边长必须是长方形的长和宽的最大公因数。因此，需要求出长80厘米和宽60厘米的最大公因数，作为小正方形的边长。然后，计算长边和宽边分别能锯成的段数，相乘即得总个数。据此解答。 【详解】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 所以80和60的最大公因数是： 2×2×5 ＝4×5 ＝20 （80÷20）×（60÷20） ＝4×3 ＝12（个） 答：可以锯成12个小正方形。 【变式训练1】某农场对一片长24米、宽18米的长方形土地进行规划，要把它分成完全相同的正方形土地（边长是整米数），且划分后没有剩余，正方形土地边长最大是( )米。 【答案】6 【分析】要解决这个问题，我们需要找到长方形长和宽的最大公因数，因为正方形的边长必须同时整除长方形的长和宽，才能保证划分后没有剩余，而最大的正方形边长就是长和宽的最大公因数。 【详解】 24和18的最大公因数是 所以正方形土地边长最大是米。 【变式训练2】小明的爷爷喜欢养花。爷爷说：“兰花要4天浇一次水，君子兰要6天浇一次水。”如果3月2日爷爷同时给这两种花浇了水。那么至少3月几日爷爷应同时再给这两种花浇水？ 【答案】14日 【分析】求出兰花和君子兰浇水间隔时间的最小公倍数是同时浇水的间隔时间，起点时间＋经过时间＝终点时间。公有质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（天） 3月2日＋12天＝3月14日 答：至少3月14日爷爷应同时再给这两种花浇水。 提升练习 1．被誉为“世界第八大奇迹”的秦始皇陵兵马俑是世界考古史上最伟大的发现之一。二号坑第三单元有264个步兵俑，小明用下面的方法数这些步兵俑，不能正好数完的是（    ）。 A．2个2个地数 B．3个3个地数 C．5个5个地数 D．6个6个地数 【答案】C 【分析】步兵俑总个数÷每次数的个数＝数的次数，如果整除能正好数完，如果不能整除则不能正好数完。2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数；3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．264个位数字是4，是2的倍数，2个2个地数能正好数完； B．2＋6＋4＝12，12是3的倍数，所以264是3的倍数，3个3个地数能正好数完； C．264个位数字是4，不是5的倍数，5个5个地数不能正好数完； D．264÷6＝44，是6的倍数，6个6个地数能正好数完。 不能正好数完的是5个5个地数。 2．暑假里，小林和小亮去参加游泳训练，小林每6天游一次，小亮每4天游一次。7月30日他们同时参加训练后，8月（    ）日他们又再次相遇。 A．11日 B．12日 C．13日 D．14日 【答案】A 【分析】求出两人间隔天数的最小公倍数是两人同时参加游泳训练的间隔时间，再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出再次相遇的日期。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【详解】6＝2×3、4＝2×2 2×2×3＝12（天） 7月30日＋12天＝8月11日 8月11日他们又再次相遇。 3．下面的条件中，非0自然数M、N的最大公因数是1的有（    ）个。 ①M＋1＝N ②M、N是两个质数 ③M－N＝2 ④M是质数，N是合数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】非0自然数M、N的最大公因数是1，也就是M和N这两个数互质，由此结合选项进行分析，进而得出结论。 【详解】①M＋1＝N，M和N是相邻的两个数，是互质数； ②M、N是两个质数，说明M、N则互质，所以最大公因数为1； ③M－N＝2，M和N的最大公因数不确定； ④M是质数，N是合数，M和N的最大公因数不确定。 非0自然数M、N的最大公因数是1的有2个。 4．下列说法正确的有（    ）个。 ①个位上是3、6、9的数都是3的倍数； ②430既是2的倍数又是5的倍数； ③两个奇数的和一定是奇数； ④是6的倍数的数，一定是偶数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①3的倍数特征：各个位上数字相加的和是3的倍数； ②同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； ③由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与奇数的和一定是偶数，举例说明即可； ④整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，6是2的倍数，所以6的倍数也一定是2的倍数，据此逐项分析。 【详解】①由3的倍数特征可知，个位上是3、6、9的数不一定是3的倍数，如：13、16、19，它们都不是3的倍数，所以这种说法错误； ②430符合同时是2和5倍数的倍数特征，则430既是2的倍数又是5的倍数，所以这种说法正确； ③分析可知，奇数＋奇数＝偶数，如：13（奇数）＋11（奇数）＝24（偶数），则两个奇数的和一定是偶数，所以这种说法错误； ④6÷2＝3，则6是2的倍数，6的倍数也一定是2的倍数，那么是6的倍数的数，一定是偶数，如：12、24、48等，所以这种说法正确。 综上所述，说法正确的有②④，一共2个。 故答案为：B 5．我国著名数学家陈景润证明“任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和”，例如，22＝3×5＋7。国际上将这个结论称为“陈氏定理”，下面的式子中，符合这个定理的是（    ）。 A．5＝2×1＋3 B．8＝2×2＋4 C．32＝3×7＋11 D．18＝2×7＋4 【答案】C 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】A．5＝2×1＋3，5是奇数，1既不是质数也不是合数，不符合“陈氏定理”； B．8＝2×2＋4，4是合数，不符合“陈氏定理”； C．32＝3×7＋11，32是偶数，3、7、11都是质数，符合“陈氏定理”； D．18＝2×7＋4，4是合数，不符合“陈氏定理”。 符合这个定理的是32＝3×7＋11。 6．在1、2、9、51、18、97中，奇数有( )，质数有( )，既是奇数又是合数的有( )，既是偶数又是质数的有( )，既不是质数也不是合数的有( )。 【答案】 1、9、51、97 2、97 9、51 2 1 【分析】个位是 1、3、5、7、9 的数是奇数，个位是 0、2、4、6、8 的数是偶数；只有 1 和它本身两个因数的数是质数；除了 1 和它本身还有别的因数的数是合数。1 既不是质数也不是合数；2 是唯一的偶质数。据此解答。 【详解】1：个位是1，是奇数；不是质数，也不是合数； 2：个位是2，是偶数；也是质数（最小的质数，唯一的偶质数）； 9：个位是9，是奇数；3×3＝9，是合数； 51：个位是1，是奇数；3×17＝51，是合数； 18：个位是8，是偶数；2×9＝18，是合数； 97：个位是7，是奇数；无法被2、3、5、7等质数整除，是质数。 因此，在1、2、9、51、18、97中，奇数有：1、9、51、97，质数有2、97，既是奇数又是合数的有9、51，既是偶数又是质数的有2，既不是质数也不是合数的有1。 7．有一个三位数45，要使它是3的倍数，里可以填( )；要使它既是2的倍数，又是3的倍数，里可以填( )。 【答案】 0、3、6、9 0、6 【分析】一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 有一个三位数45，要使它是3的倍数，4＋5＝9，里可以填0、3、6、9；要使它既是2的倍数，又是3的倍数， 里可以填0、6。 8．30的全部因数中是偶数的有( )个，是质数的有( )个，是合数的有( )个。 【答案】 4 3 4 【分析】解答这道题需明确：个位上是0、2、4、6、8的数叫偶数；一个数只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数；一个数除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫合数。这道题的关键是写出30的所有因数，再在这些因数中找出偶数、质数和合数。据此解答。 【详解】根据分析： 30＝1×30，30＝2×15，30＝3×10，30＝5×6。 则：30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30。 所以，30的全部因数中， 是偶数的有2、6、10、30，共4个； 是质数的有2、3、5，共3个； 是合数的有6、10、15、30，共4个。 综上，30的全部因数中是偶数的有4个，是质数的有3个，是合数的有4个。 9．下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 2 3 11 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把合数分解为质因数的乘积；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 【详解】26＝2×13 66＝2×3×11 10．72和36的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 72 36 【分析】当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数，较大的那个数就是它们的最小公倍数，据此解答。 【详解】72÷36＝2 所以72和36的最小公倍数是72，最大公因数是36。 11．有两根长分别是8分米和12分米的木条，要把它们都锯成同样长的小段（每段长都是整分米数），而且不能有剩余，每小段最长可以是( )分米。 【答案】 4 【分析】要将两根木条锯成同样长的小段且没有剩余，小段的长度必须是8和12的公因数，要求每小段最长，就是求8和12的最大公因数。据此解答。 【详解】8的因数有1、2、4、8； 12的因数有1、2、3、4、6、12； 8和12的公因数有1、2、4，其中最大公因数是4。 因此，每小段最长可以是4分米。 12．张明电脑的登录密码是由六个数字组成的（如图所示），“*”表示的数字既是质数又是偶数，张明设置的六位登录密码是( )。 【答案】751482 【分析】一个大于1的自然数，只有1和它本身两个因数的数叫做质数，能被2整除的数叫偶数，质数有2、3、5、7…，偶数有2、4、6、8…，所以既是质数又是偶数的自然数只有2。 【详解】密码的个位数字是2，张明设置的六位登录密码是751482。 13．分解质因数A＝2×3×5，B＝3×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )，99分解质因数是( )。 【答案】 3 210 【分析】质因数中相同的质因数乘积就是两个数的最大公因数，相同的质因数和所有不同的质因数的乘积就是两个数的最小公倍数。将一个合数分解质因数，就是将这个合数写成几个质数相乘的形式。 【详解】A＝2×3×5，B＝3×7。 相同的质因数只有3，所以A和B的最大公因数是3。 所以，A和B的最小公倍数是210。 14．写出下面每组数的最大公因数或最小公倍数。 （24，36）＝    （9，10）＝   [9，18]＝    [15，9]＝ 【答案】12；1；18；45 【分析】通过短除法求出各组的最大公因数和最小公倍数即可，所有公有质因数之积是最大公因数，所有公有质因数和单个质因数之积是最小公倍数。 两个数互质，最大公因数就是1。 【详解】                                                             15．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32                143和13                8和11 【答案】8，96；13，143；1，88 【分析】把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数连续去除这两个数，直到得出的商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数；最后把所有除数和商连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数；互为质数的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。据此计算。 【详解】 24和32的最大公因数是： 24和32的最小公倍数是： 143和13的最大公因数是：13 143和13的最小公倍数是： 8和11互为质数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是 16．亮亮和丽丽去图书馆借书，亮亮每4天去一次，丽丽每7天去一次，7月3日他们两人都去了图书馆借书，下一次两人都去借书是几月几日？ 【答案】7月31日 【分析】先求出4和7的最小公倍数：因为4和7互质，最小公倍数就是两数相乘得到28，再用7月3日加上这个间隔天数，即可求出两人下次同时去图书馆的日期。 【详解】最小公倍数：4×7＝28 3＋28＝31（日） 答：下一次两人都去借书是7月31日。 17．用48朵玫瑰和36朵铃兰扎成花束，要求每束花里玫瑰的朵数相同，铃兰的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中玫瑰和铃兰各有多少朵？ 【答案】12束；玫瑰4朵；铃兰3朵 【分析】有48朵玫瑰和36朵铃兰，要扎成花束，每束花中玫瑰和铃兰的朵数分别相同，且花无剩余。“最多可以扎多少束花”实际是求48和36的最大公因数（因为每束花中两种花的朵数固定，束数越多，每束的朵数越少，最大束数即两数的最大公因数）。先利用分解质因数法求出48和36的最大公因数，即最多可扎的花束数；再用玫瑰和铃兰的总朵数分别除以花束数，得到每束中两种花的朵数。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 2×2×3＝12（束） 每束玫瑰的朵数：48÷12＝4（朵） 每束铃兰的朵数：36÷12＝3（朵） 答：最多可以扎12束花，每束花中玫瑰有4朵，铃兰有3朵。 18．一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽的厘米数一个是合数、一个是质数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】27平方厘米 【分析】长方形周长÷2＝长＋宽。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。长方形面积＝长×宽。 【详解】长与宽的和：24÷2＝12（厘米） 12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6 1和11：1既不是质数也不是合数，不符合题意； 2和10：2是质数，10是合数，符合题意； 3和9：3是质数，9是合数，符合题意； 4和8：4和8都是合数，不符合题意； 5和7：5和7都是质数，不符合题意； 6和6：6是合数，不符合题意。 计算符合题意的面积： 2×10＝20（平方厘米） 3×9＝27（平方厘米） 27＞20 答：这个长方形的面积最大是 27 平方厘米。 19．青青鲜花店鲜花销售价格如下，小华的妈妈在该鲜花店购买了一些康乃馨和郁金香，付给售货员50元，找回了13元。请你运用因数和倍数的有关知识，帮小华的妈妈判断找回的钱对不对，请说明理由。 鲜花销售价格 玫瑰3元/枝 康乃馨10元/枝 郁金香5元/枝 【答案】 不对，过程见详解 【分析】已知康乃馨10元/枝，郁金香5元/枝。10是5的倍数，5本身是5的倍数，所以不管购买几枝康乃馨和郁金香，花费的总金额一定是5的倍数。小华妈妈付给售货员50元，找回13元，则花费的金额为50−13＝37元。37不是5的倍数，这与前面分析的 “花费总金额一定是5的倍数” 相矛盾。 【详解】50－13＝37（元） 设购买康乃馨a枝，郁金香b枝， 则总共花费：10a＋5b＝5×（2a＋b） 5×（2a＋b）有因数5，所以妈妈买花的钱必是5的倍数。 37÷5＝7……2，因此37不是5的倍数。 答：实际花费37元不符合总花费的倍数性质，因此找回的13元不正确。 20．小明家卫生间的地面是一个长300厘米，宽240厘米的长方形，如果给卫生间的地面铺上地砖。 （1）选择下面哪种规格的地砖，不要切割，正好铺满？请简要说明理由。 （2）按照你所选规格的地砖，算一算铺满需要多少块？ 【答案】（1）选择边长60厘米的地砖。理由：60厘米是地面长度300厘米和宽度240厘米的公因数。 （2）20块 【分析】（1）不要切割，正好铺满，说明地砖的边长是300厘米和240厘米的公因数，据此推断地砖的两个边长50厘米和60厘米，哪个长度符合要求； （2）用地面的长度和宽度分别除以所选地砖的边长，得到地面长度和宽度两个方向各需要铺几块，再把长度和宽度两个方向铺砖的块数相乘即可解答。 【详解】（1）300＝5×60，240＝4×60，所以60是300和240的公因数。 300＝6×50，240＝4.8×50，所以50不是300和240的公因数。 答：选择边长60厘米规格的地砖，不要切割，正好铺满。理由：60厘米是地面长度300厘米和宽度240厘米的公因数。 （2）（300÷60）×（240÷60） ＝5×4 ＝20（块） 答：铺满需要20块。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $