第三单元 因数与倍数（期中复习讲义）培优版（导图+18个考点真题讲练+提优练 共56题）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 因数与倍数【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练十 奇数与偶数的认识 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 考点讲练十一 运算性质（奇数和偶数） 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练十二 质数与合数的认识 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 奥数拓展一 质数与合数的综合应用 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 奥数拓展二 分解质因数 考点讲练六 2、5的倍数特征 奥数拓展三 公因数与最大公因数 考点讲练七 3的倍数特征 奥数拓展四 用最大公因数解决实际问题 考点讲练八 2、3、5的倍数特征综合 奥数拓展五 倍数与最小公倍数 考点讲练九 9的倍数特征 奥数拓展六 用最小公倍数解决实际问题 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）李老师家有两个孩子，这两个孩子的年龄是两个质数，它们的和是18，积是65，这两个孩子分别是( )岁和( )岁。 【答案】 5 13 【思路引导】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，由于积是65，说明这两个质数是65的因数，找出65的因数，并且和是18的即可。 【规范解答】65＝1×65＝5×13 5＋13＝18 这两个孩子分别是5岁和13岁。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·陕西西安·期中）把一个数的所有因数从小到大排列，得到1，2，□，5，6，10，15，□，那么两个方框里的数依次是( )和( )。 【答案】 3 30 【思路引导】依据因数“成对出现、最小为1、最大为自身”的性质，由已知因数1、2、5、6、10、15推导，成对因数相乘（1×30、2×15、5×6等）均得30，故原数为30。 【规范解答】1×30＝30，2×15＝30，5×6＝30，10×3＝30，可确定这个数是30。30 的完整因数序列为 1、2、3、5、6、10、15、30，因此两个方框依次填3和30。 【考点剖析】抓住 “因数成对性” 和 “最大因数＝原数”，先通过已知因数反向推导原数，再完整罗列因数即可补全空缺。 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 【答案】A、B、C；3种 【思路引导】要判断选用哪种包装恰好能把120个石榴装完，就是看120能否被每种包装每盒所装的个数整除，若能整除则该种包装符合要求。 【规范解答】A种：120÷4＝30（盒），没有余数，说明120能被4整除，所以A种包装符合要求。 B种：120÷6＝20（盒），没有余数，说明120能被6整除，所以B种包装符合要求。 C种：120÷8＝15（盒），没有余数，说明120能被8整除，所以C种包装符合要求。 D种：120÷9＝13（盒）……3（个），有余数，说明120不能被9整除，所以D种包装不符合要求。 答：选用A、B、C包装恰好能把120个石榴装完，符合要求的包装有3种。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）用一定数量的小正方形去拼长方形，正好摆出三种不同的长方形（含正方形），并且每次都用上了所有的小正方形，则小正方形的个数一定是（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【思路引导】小正方形的个数等于长方形长与宽的乘积，先找出选项中各数的全部因数，再分析组合情况，从而得到正确结果。 【规范解答】A．14的因数有1，2，7，14，所以能拼成1和14，2和7的两种长方形，与题目不相符； B．15的因数有1，3，5，15，所以能拼成1和15，3和5的两种长方形，与题目不相符； C．16的因数有1，2，4，8，16，所以能拼成1和16，2和8，4和4的三种长方形（含正方形），与题目相符； D．17的因数有1，17，只能拼成1和17的一种长方形，与题目不相符。 故答案为：C 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 【答案】C 【思路引导】列举出36的因数和6的倍数，找出满足题目条件的最大数。 【规范解答】因为6的倍数有6、12、18、24、30、36，…； 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数可能是：6，12，18，36，最大为36。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 【答案】D 【思路引导】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【规范解答】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【考点剖析】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 【答案】能；不能；4个；原因见详解 【思路引导】能不能正好装完，就是看2和5是不是36的因数，是36的因数就可以正好装完，不是36的因数就不能正好装完。至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完，也就是玩具小熊的数量同时是2和5的公倍数，先利用求一个数的倍数的方法，求出2和5的倍数，再找出两个数的公倍数，在这些公倍数中，找出刚好比36大的数，再与36作差即可解答。 【规范解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 2是36的因数，所以每2个装一个盒子，能正好装完。 5不是36的因数，所以每5个装一个盒子，不能正好装完。 2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50… 5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50… 2和5的公倍数有10、20、30、40、50… 40比36大； 所以至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 答：每2个装一个盒子，能正好装完；每5装一个盒子，不能正好装完；至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）大课间，同学们玩“抱团游戏”。同学们的人数是25~35，细心的丽丽发现：当裁判的口令是2，3或5时，总是只有1个人落单，玩游戏的同学人数可能是（    ）。 抱团游戏规则裁判任意说出一个数作为口令，同学们必须在3秒内迅速结成小组，组内人数为这个数。 A．11 B．30 C．31 D．61 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，总人数在25~35之间，且总人数除以2、3、5时，余数均为1。需先找出同时是2、3、5的倍数（末尾是0，且各个数位数字之和是3的倍数），且在25~35之间的数，最后给这个数再加1即可。 【规范解答】2的倍数在25~35的有：26、28、30、32、34； 3的倍数在25~35的有：27、30、33； 5的倍数在25~35的有：25、30、35。 由此可以看出，在25~35之间且同时是2、3、5的倍数的数是30。 30＋1＝31 因此，玩游戏的同学人数可能是31。 故答案为：C 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏苏州·期中）迷你马拉松正在海城举行，如图是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据比赛要求需要在路的一边排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排志愿者。那么这段赛道至少要安排多少名志愿者？ 【答案】8名 【思路引导】由题意可知，找出80和60的最大公因数即最大的间距，再用80与60的和去除以最大的间距，起点A处还需1人，所以再加1，即可得至少要安排的志愿者人数。 【规范解答】80＝2×2×2×2×5 60＝2×2×3×5 最大公约数是2×2×5＝20 （80＋60）÷20 ＝140÷20 ＝7（名） 7＋1＝8（名） 答：这段赛道至少安排8名志愿者。 【变式】（难度：☆☆☆☆）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 【答案】2136 【思路引导】整数a除以整数b（b不为0）除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a，a称为b的倍数，b称为a的因数。 【规范解答】6的因数有1、2、3、6，所以a、b、c、d代表1、2、3、6中的数字； a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数，那么组成的数是21，说明a是2，b是1； 4和9都是c，d组成的数cd的因数，说明c是3，d是6。 所以门牌号是2136。 【考点剖析】本题考查因数与倍数，解答本题的关键是掌握因数与倍数的概念。 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 (1)组成两位数的质数________。 (2)组成3的倍数且是最小的三位数________。 (3)组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数________。 【答案】(1)23、31、13 (2)102 (3)3210 【思路引导】（1）一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；在四张数字卡所能组成的两位数中找出是质数的。 （2）3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为，，6和3都是3的倍数，因为要找最小的，所以由0、2、1组成的三位数较小且都是3的倍数，都找出来再比较大小。 （3）根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。因为要找最大的数，所组成的四位数最大，且，6是3的倍数，一个数同时是2和5的倍数，则这个数的末尾应是0，要找最大的，就把大的数依次从高位排向低位。 【规范解答】（1）四张数字卡所能组成的两位数有：20、23、21、30、32、31、10、12、13 其中是质数的是：23、31、13 （2）由0、2、1组成的三位数有：201、210、102、120 （3）据分析可知，组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数3210。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 【答案】C 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点； 除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。 除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。 除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。 除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。 分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。 【规范解答】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1； B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误； C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1； D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。 比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。 故答案为：C 【考点剖析】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。 还可以这样理解：这100个数的除以2、3、4、6的余数都为1，可写作12k＋1的形式（k＝1-100），求和为12×（1＋2＋3＋…100）＋1×100＝60700，再取1为第101个数，60701为这101个数最小和，60701÷101＝601，故选C。 考点讲练七 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）从7，5，2，0这四张数字卡片中任选三张，按要求摆成三位数（每题写三个即可）。 (1)既是偶数又是3的倍数的有( )。 (2)既是3的倍数又是5的倍数的有( )。 【答案】(1)720、702、270 (2)750、570、705 【思路引导】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数；能被2整除的数是偶数，据此解答即可。 【规范解答】（1）7＋5＋0＝12（是3的倍数） 7＋2＋0＝9（是3的倍数） 5＋2＋0＝7（不是3的倍数） 7＋5＋2＝14（不是3的倍数） 既是偶数又是3的倍数的有720、702、270（答案不唯一）。 （2）既是3的倍数又是5的倍数的有750、570、705（答案不唯一）。 【变式】（难度：☆☆☆☆）请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ）   693（    ）   239（  ）   990（   ） （      ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 【答案】见详解 【思路引导】按照阅读材料（1）的方法以及运用乘法分配律，推出9的倍数特征：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。 【规范解答】（2）903（    ）   693（ √  ）   239（    ）   990（ √  ） 各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 （3）例如：693是6个百、9个十、3个一组成的，它可以表示成：693＝6×100＋9×10＋3。100不是9的倍数，但是99是9的倍数，9也是9的倍数。根据乘法分配律： 693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是“各个数位上的数字和”是否为9的倍数便可以进行判断了。 6＋9＋3 ＝15＋3 ＝18 18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 【考点剖析】根据3的倍数特征的推导过程，推出9的倍数特征，学会判断一个数是不是9的倍数的方法。 考点讲练八 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【答案】3件装 【思路引导】2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、或8。 3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数。 5的倍数特征：个位数字是0或5。 【规范解答】根据题意分析：153不是2和5的倍数。 1＋5＋3＝9，9是3的倍数，153是3的倍数。 答：用3件装的纸箱正好装完。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 【答案】(1)304 (2)345 (3)540 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是2的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，十位上的数是0，5，4中最小的数即0，个位上的数是5，4当中的偶数4，所以是2的倍数的最小三位数是304； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是3的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，3能被3整除，所以确保十位和个位上的数字之和能被3整除且取和最小的两个数字，按十位上的数字小于个位上的数字排列。十位和个位上的数字之和可能是0＋5＝5、0＋4＝4、4＋5＝9，在5、4、9中，只有9能被3整除，因为4＜5，所以十位上的数字是4，个位上的数字是5，所以是3的倍数的最小三位数是345； （3）同时是2，3和5的倍数特征：个位上的数是0，且各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数同时是2，3和5的倍数且最大，那么个位上的数是0，所以确保十位和百位上的数字之和能被3整除且取和最大的两个数字，按百位上的数字大于十位上的数字排列。十位和百位上的数字之和可能是3＋5＝8、3＋4＝7、4＋5＝9，在8、7、9中，只有9能被3整除，因为5＞4，所以百位上的数字是5，十位上的数字是4，所以同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 【规范解答】（1）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是2的倍数的最小三位数304。 （2）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是3的倍数的最小三位数345。 （3）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 考点讲练九 9的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·福建莆田·期中）探索9的倍数特征。 72、81、88、99、198、297、300、333。. (1)上面各数中，9的倍数有：( )。 (2)提出猜想：( )。 (3)举例验证：( )。 (4)你的发现：( )。 【答案】(1)72，81，99，198，297，333 (2)如果一个数各位数字之和是9的倍数，那么这个数是9的倍数 (3)见详解 (4)一个数如果是9的倍数，它的各位数字之和一定也是9的倍数 【思路引导】（1）找9的倍数，那么可以用上面的数除以9，如果能整除，则是9的倍数，反之则不是。 （2）根据3的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。9是3的倍数，由此猜想9的倍数特征，提出猜想。 （3）举例证明猜想。 （4）根据以上信息，说出发现。可以根据上面的规律去找。 【规范解答】（1）72、81、88、99、198、297、300、333。 72÷9＝8 81÷9＝9 88÷9＝9……7 99÷9＝11 198÷9＝22 297÷9＝33 300÷9＝33……3 333÷9＝37 9的倍数有72，81，99，198，297，333。 （2）如果一个数各位数字之和是9的倍数，那么这个数是9的倍数。 （3）例如：18；1＋8＝9；9能被9整除，18是9的倍数； 27；2＋7＝9；9能被9整除；27÷9＝3，所以27是9的倍数； 198；1＋9＋8＝18；18÷9＝2，，198÷9＝22，18能被9整除，198是9的倍数； 19；1＋9＝10，10÷9＝1……1，10不能被9整除，19不是9的倍数； 335；3＋3＋5＝11；11÷9＝1……2，，11不能被9整除，335不是9的倍数。 所以如果一个数各位数字之和是9的倍数，那么这个数是9的倍数。 （4）一个数如果是9的倍数，它的各位数字之和一定也是9的倍数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 【答案】（1）（2）见详解 （3）各个数位上的数字之和是9的倍数 （4）1062，6021 【思路引导】（1）能够被9整除的数就是9的倍数；据此即可圈出9的倍数； （2）将（1）中9的倍数的数填入表中，再将各个数位上的数相加即可； （3）根据各个数位上的数字之和的特征解答即可； （4）列举出符合要求的四位数即可，答案不唯一。 【规范解答】（1）48÷9＝5……3 36÷9＝4 69÷9＝7……6 72÷9＝8 108÷9＝12 99÷9＝11 296÷9＝32……8 369÷9＝41 1026÷9＝114 如下： （2）列表如下： 9的倍数 36 72 108 99 369 1026 各个数位上的数之和 9 9 9 18 18 9 （3）我发现是9的倍数的数的特征是：各个数位上的数字之和是9的倍数。 （4）是9的倍数的四位数有：1062，6021。（答案不唯一） 考点讲练十 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）在1、11、19、27、53、87、97这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是奇数又是合数，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 11、19、53、97 27、87 27、87 1 【思路引导】质数：大于1，只有1和自身两个因数的数。 合数：大于1，除了1和自身还有其他因数的数。 奇数：不能被2整除的数。 逐个分析数字： 1不满足质数与合数的定义，所以1既不是质数也不是合数。 11因数只有1和11，所以11是质数；不能被2整除，所以11同时是奇数。 19因数只有1和19，所以19是质数；不能被2整除，所以19同时是奇数。 27因数有1、3、9、27，所以27是合数；不能被2整除，所以27同时是奇数。 53因数只有1和53，所以53是质数；不能被2整除，所以53同时是奇数。 87因数有1、3、29、87，所以87是合数；不能被2整除，所以87同时是奇数。 97因数只有1和97，所以97是质数；不能被2整除，所以97同时是奇数。 【规范解答】质数：11、19、53、97 合数：27、87 既是奇数又是合数：27、87 既不是质数也不是合数：1 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东惠州·期中）我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是28。这个两位数是( )。 【答案】74 【思路引导】已知这个数是两位数且为偶数（依据偶数定义，个位数字需是0、2、4、6、8），同时十位与个位数字的积是28，先找出乘积为28的一位数组合，只有4×7和7×4（其他组合如2×14、28×1因包含两位数或更大数，不符合个位、十位是个位数的要求），再结合偶数条件筛选，个位数字需是偶数，所以排除个位为7的47，选择个位为4的74，因此这个两位数是74。 【规范解答】找出乘积为28的一位数组合：4×7＝28、7×4＝28，结合偶数条件（个位为偶数），筛选出个位是4的组合：十位为7、个位为4，故这个两位数是74。 【考点剖析】先通过“数字积”锁定可能的数位组合，再用“数的特征（偶数）”精准筛选——核心是“先找组合，再卡特征”，既不遗漏可能，也能快速排除不符合的选项。 考点讲练十一 运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）a、b都是自然数，若a＋b＝c，下列说法正确的是（    ）。 A．如果a和b都是奇数，那么c也是奇数 B．如果a和b都是偶数，那么c也是偶数 C．如果a和b都是质数，那么c也是质数 D．如果a和b都是合数，那么c一定是偶数 【答案】B 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 偶数±偶数＝偶数；奇数±奇数＝偶数；偶数±奇数＝奇数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。据此解答。 【规范解答】A．因为奇数＋奇数＝偶数，则c是偶数，不符合题意。 B．因为偶数＋偶数＝偶数，则c是偶数，符合题意。 C．例如：2和7均为质数，则2与7的和9不是质数；2和3均为质数，则2与3的和是质数，即c不一定是质数，不符合题意。 D．例如：6与9均为合数，则6与9的和15不是偶数；6与8均为合数，则6与8的和14是偶数，即c不一定是偶数，不符合题意。 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 【答案】 不可能 【思路引导】每次操作改变两盏灯的状态，总操作次数为偶数次，导致三个灯被拉的总次数之和为偶数，而三个灯全亮需每个灯被拉奇数次，三个奇数之和为奇数，矛盾。 【规范解答】初始状态：3盏灯均为关闭状态。 每次操作：拉两盏灯的开关，改变这两盏灯的状态（关→开或开→关）。 总操作次数分析： 设操作次数为，每次操作涉及2盏灯，总拉灯次数为（偶数）。 每个灯被拉的总次数之和为，必为偶数。 全亮条件： 每盏灯需被拉奇数次（初始为关，奇数次操作后变为开）。 三个奇数之和为奇数，但总次数为偶数，矛盾。 答：无法通过若干次操作使3盏灯全部亮着。 【考点剖析】关键在于分析操作次数的奇偶性：每次拉两盏灯（偶数次操作），总操作次数始终为偶数；但3盏灯全亮需每盏被拉奇数次，3个奇数之和为奇数，偶数与奇数矛盾，故不可能实现。 考点讲练十二 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）世界上最大的洲是亚洲，最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的，这里的是把( )看作单位“1”，的分数单位是( )，再添( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【答案】 亚洲面积 79 【思路引导】（1）描述“一个量是另一个量的几分之几”时，“是”字后的量就是单位“1”。 （2）根据分数单位的定义：把单位“1”平均分成若干份，表示其中1份的数就是分数单位。 （3）根据质数的知识，最小的质数是2。先把2转化为分母是44的分数，再计算分子差值。 【规范解答】（1）“大洋洲的面积大约是亚洲面积的”，因此这里把亚洲面积看作单位“1”。 （2）的分母是44，因此它的分数单位是。 （3）2＝＝ 88－9＝79 世界上最大的洲是亚洲，最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的，这里的是把亚洲面积看作单位“1”，的分数单位是，再添79个这样的分数单位就是最小的质数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是56厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】 187平方厘米 【思路引导】根据长方形的周长公式，周长＝（长＋宽）×2，已知周长为56厘米，可求出长与宽的和为28厘米；长和宽均为质数，需找出所有和为28的质数对，计算对应的面积，并比较得出最大值；质数定义为大于1且只能被1和自身整除的自然数，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 长方形的周长公式为：周长＝（长＋宽）×2 已知周长为56厘米，则： （长＋宽）×2＝56 长＋宽＝56÷2＝28（厘米） 长和宽均为质数，且和为28厘米 可能的质数对有： 长为23厘米，宽为5厘米（23和5均为质数） 长为17厘米，宽为11厘米（17和11均为质数） 计算面积： 长为23厘米，宽为5厘米：面积＝23×5＝115（平方厘米） 长为17厘米，宽为11厘米：面积＝17×11＝187（平方厘米） 比较面积：187＞115 因此，最大面积为187平方厘米。 答：这个长方形的面积最大是187平方厘米。 【考点剖析】本题考查的质数的综合应用，熟练掌握什么是质数，哪些数是质数是解题的关键。 奥数拓展一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【答案】3班、4班可以；1班、2班不可以；因为39和40是合数，37和41是质数。 【思路引导】如果人数是合数就能平均分成人数相等的小组，如果是质数就不能平均分成人数相等的小组。据此解答。 【规范解答】37＝1×37 41＝1×41 39＝1×39＝3×13 40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 答：3班、4班可以分成人数相等的小组，1班、2班不可以，因为39和40是合数，37和41是质数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【考点剖析】关键是掌握质数、合数的分类标准。 奥数拓展二 分解质因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 【答案】（1）13；5； （2）40元 【思路引导】（1）长方形的面积＝长×宽，而长方形的面积是65平方米，65是合数，每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，把65分解质因数即可求得“枸杞”园的长和宽； （2）先求出“枸杞”的种植面积一共可以产多少千克枸杞，即65×0.36，再根据“单价＝总价÷数量”求出平均每千克枸杞可卖的钱数，即936÷（65×0.36），据此解答。 【规范解答】 （1） 65＝5×13 所以，“枸杞”园的长是13米，宽是5米。 （2）936÷（65×0.36） ＝936÷23.4 ＝40（元） 答：平均每千克枸杞可卖40元。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·山西太原·期中）有三个自然数、、，已知，，，那么的积是( )。 【答案】224 【思路引导】由题意可知，，等式左边可以转化为，用短除法把28、56、32分解质因数，再把它们的质因数相乘并转化为一个数的平方的形式，那么这个数就是的积，据此解答。 【规范解答】 28＝2×2×7 56＝2×2×2×7 32＝2×2×2×2×2 因为，，，所以。 ＝28×56×32 ＝2×2×7×2×2×2×7×2×2×2×2×2 ＝（2×2×2×2×2）×（2×2×2×2×2）×7×7 ＝32×32×7×7 ＝（32×7）2 ＝2242 综上所述，的积是224。 【考点剖析】掌握分解质因数的方法并理解平方的意义是解答题目的关键。 奥数拓展三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏淮安·期中）如果a÷5＝b，（且a和b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【思路引导】根据a÷5＝b可知：a是b的5倍，存在倍数关系的两个数，它们的最大公因数是两个数中的较小数，最小公倍数是两个数中的较大数，据此解答。 【规范解答】如果a÷5＝b，（且a和b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）星星新家的客厅是一个长40dm，宽32dm的长方形，如果用正方形地砖铺满（边长为整分米数，不切割），至少需要买这样的地砖多少块？ 分析与解答： （1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的（    ）。 （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的（    ）。 （3）我是这样解决的：________________    回顾与反思：我用画图来验证： 【答案】（1）公因数 （2）最大公因数 （3）见详解 【思路引导】要使正方形的地砖正好铺满且没有剩余，那么地砖的边长必须是40和32的公因数；要使买的地砖最少，则地砖的边长要最大，那么地砖的边长必须是40和32的最大公因数；先分别把40、32分解质因数，求出它们的最大公因数，再看长方形的长、宽里各有几个这样的最大公因数，最后相乘，就是至少需要买地砖的块数。 【规范解答】（1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的公因数； （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的最大公因数； （3）我是这样解决的： 40＝2×2×2×5 32＝2×2×2×2×2 40和32的最大公因数是：2×2×2＝8 即地砖边长最大是8dm。 （40÷8）×（32÷8） ＝5×4 ＝20（块） 答：至少需要买这样的地砖20块。 我用画图来验证： 【考点剖析】本题考查求两个数的最大公因数的方法解决实际问题的能力。可以用分解质因数或短除法求两个数的最大公因数。 奥数拓展四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东聊城·期中）2025年母亲节是在5月11日，星期日。母亲节是敬重母亲，弘扬母爱的节日。 这个节日最早出现于古希腊；而现代的母亲节起源于美国，是每年5月的第二个星期日。母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视为献给母亲的花，而中国的母亲花是萱草花，又叫忘忧草。某鲜花店为迎接母亲节，打算用下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成多少束？ 【答案】12束 【思路引导】要将两种花扎成同样的花束且正好用完无剩余，需要找到能同时整除72和60的最大数，即求72和60的最大公因数，可以使用分解质因数的方法来计算。 【规范解答】72＝2×2×2×3×3 60＝2×2×3×5 所以72和60的最大公因数是2×2×3＝12 答：最多能扎成12束。 【变式】（难度：☆☆☆☆）用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 【答案】24个 【解析】同样大小的两个等腰直角三角形可以拼成一个正方形，所以求出这个长方形能够至少能剪出多少个大小相同的正方形，乘2即可求出对应的等腰直角三角形的个数。 【规范解答】将长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形，那么正方形的边长是长和宽的公因数； 60和45的最大公因数是15； （个） （个） （个） （个） 答：至少能剪出24个这样的等腰直角三角形。 【考点剖析】本题考查的是最大公因数的问题，解题的关键在于转化。 奥数拓展五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东聊城·期中）中国高铁已成为中国发展、中国成就、中国价值的一张响亮的名片，它不仅为人们的出行带来了便利，还在不同方面让人们获得幸福的体验。以莘县为例，莘县到甲地方向的列车大概平均每12分钟发一趟车，莘县到乙地方向的列车大概平均每9分钟发一趟车。如果8：40有同时发往甲地和乙地的列车，那么下一次同时发车是在什么时间？ 【答案】9：16 【思路引导】求下一次同时发车时间需要先求出12和9的最小公倍数（用短除法求最小公倍数），再用同时发车的时间加上12和9的最小公倍数。 【规范解答】求12和9的最小公倍数： （分钟） 8时40分＋36分＝9时16分，即9：16 答：下一次同时发车是在9：16。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳”的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了( )次荷叶。 【答案】5 【思路引导】由题意可知，相同距离点的位置同时是10和15的公倍数，先用短除法求出这两个数的最小公倍数，再找出90以内这两个数的公倍数，每只青蛙跳到相同距离点时，都会出现一片荷叶，分别求出甲青蛙和乙青蛙各出现了几次荷叶，最后数出出现荷叶的总次数，据此解答。 【规范解答】 10和15的最小公倍数：5×2×3＝30 30×1＝30（厘米） 30×2＝60（厘米） 30×3＝90（厘米） 乙青蛙：30÷15＝2（秒） 60÷15＝4（秒） 90÷15＝6（秒） 即乙青蛙跳到90厘米这个点位时，共用6秒。乙青蛙第2秒、第4秒、第6秒各出现一次荷叶，共3次； 6秒（含）之内，甲青蛙：30÷10＝3（秒） 60÷10＝6（秒） 所以，甲青蛙第3秒、第6秒各出现一次荷叶，有2次； 一共出现3＋2＝5次荷叶。 【考点剖析】本题主要考查公倍数的应用，根据符合条件的公倍数分别求出两只青蛙出现荷叶的次数是解答题目的关键。 奥数拓展六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·福建泉州·期中）地铁2号线每5分钟一班，地铁5号线每6分钟一班。两列地铁上午9：15同时从起点站发车，至少再过( )分钟又同时发车。 【答案】30 【思路引导】地铁2号线每5分钟一班，那么地铁2号线发车间隔时间就是5的倍数；地铁5号线每6分钟一班，那么地铁5号线的发车间隔时间就是6的倍数；两列地铁同时发车的间隔是5和6的公倍数，最少的间隔时间就是5和6的最小公倍数。 求两个数的最小公倍数，如果这两个数是倍数关系，则这两个数的最小公倍数是其中较大的数；如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；如果这两个数既不是倍数关系，也不互质，则先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此求出最小公倍数。 【规范解答】5和6两个数互质， 5×6＝30（分钟） 至少再过30分钟又同时发车。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 【答案】21.6 【思路引导】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。 【规范解答】54＝2×3×3×3 72＝2×2×2×3×3 2×2×2×3×3×3 ＝4×2×3×3×3 ＝8×3×3×3 ＝24×3×3 ＝72×3 ＝216 72与54的最小公倍数是216。 每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1 ＝3＋4－1 ＝7－1 ＝6（个） 花圃的周长是：216×（60÷6） ＝216×10 ＝2160（厘米） 2160厘米＝21.6米 这个花圃的周长是21.6米。 【考点剖析】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。 1．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）下面说法正确的有（    ）句。 ①3的倍数可能是偶数。    ②一个长方体中最多有4条棱长相等。 ③一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 ④1＋2＋3＋4＋5＋…＋105的结果是偶数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【规范解答】①3的倍数可能是偶数。比如：6是3的倍数，同时6是偶数，所以存在这样的数，该说法正确。 ②当长方体有两个相对的面是正方形时，会有8条棱长相等，不是最多4条，该说法错误。 ③正方形周长公式为 （a是边长），已知a是质数，那么周长除了1和它本身，还有4和a这两个因数，符合合数的定义，该说法正确。 ④从1到105一共有105个数，其中奇数有（105＋1）÷2＝53个，偶数有105－53＝52个。53个奇数相加的和是奇数，52个偶数相加的和是偶数，奇数加偶数的结果是奇数，所以该说法错误。 综上，正确的说法是①和③，一共2句。 2．（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一个正方形的边长是质数，它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数和合数都有可能 D．既不是质数也不是合数 【答案】B 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。 【规范解答】设正方形的边长为质数（＞1）。 正方形的面积为 ，＞1且是质数； 所以有1、、至少3个因数； 根据合数的定义，一个正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）清代《蚕》一诗提到“八茧称佳种，三眠贵早成。”关于横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它有4个因数 C．它的因数都是偶数 D．它可以写成两个质数相加 【答案】C 【思路引导】A．合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的数； B．因数是指能够整除给定数的整数； C．偶数是能够被2所整除的整数； D．质数是指只有1和它本身两个因数的数。 【规范解答】A．8的因数有1、2、4、8，共4个因数，除了1和8本身，还有2和4两个因数，所以8是合数，选项A正确； B．8的因数有1、2、4、8，共4个，所以选项B正确； C．8的因数有1、2、4、8，其中1不能被2整除，不是偶数，所以选项C错误； D．3和5都是质数，且3＋5＝8，所以8可以写成两个质数相加，选项D正确。 故答案为：C 【考点剖析】本题的核心考查点是合数、因数、质数、偶数的概念辨析与实际应用，解题的关键在于精准掌握各类数的定义，并通过列举、计算、推理逐一验证选项的正误。 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】只有两个因数的数是质数，找出十位数字比个位数字少1的两位数，从里面筛选出其中的质数即可。 【规范解答】一个两位数只有两个因数，说明这个数是质数。十位数字比个位数字少1，这样的两位数只有12、23、34、45、56、67、78、89，而这些数中只有23、67和89是质数。这样的两位数有3个。 【考点剖析】先按条件列出所有符合“十位数字比个位数字少1”的两位数，再从中筛选出质数。 5．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）小亮用同一根绳子首尾相接，分别围成了两个面积是42和36的长方形（两个长方形的长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )厘米。 【答案】26 【思路引导】两个长方形周长相同，因此它们的“长＋宽”的和相等。我们可以通过分解面积的因数对，找到共同的“长加宽的和”。 【规范解答】分解面积42的因数对： 42＝1×42，则“长＋宽”＝43 42＝2×21，则“长＋宽”＝23 42＝3×14，则“长＋宽”＝17 42＝6×7，则“长＋宽”＝13 分解面积36的因数对： 36＝1×36，则“长＋宽”＝37 36＝2×18，则“长＋宽”＝20 36＝3×12，则“长＋宽”＝15 36＝4×9，则“长＋宽”＝13 36＝6×6，则“长＋宽”＝12 两组和中只有13相同，因此周长为：13×2＝26（厘米） 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 2 3 11 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把合数分解为质因数的乘积；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 【规范解答】26＝2×13 66＝2×3×11 7．（24-25五年级下·河北唐山·期中）有一座钟，每走8分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。下午1时整，既响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是下午( )时。 【答案】3 【思路引导】根据题意可知，从下午1时整钟既响铃又亮灯开始后，每8分钟亮一次灯，每60分钟响一次铃，所以下一次既响铃又亮灯的时刻是经过8和60的最小公倍数的分钟后。 【规范解答】 8和60的最小公倍数是120，即在120分钟后会既响铃又亮灯。 120分钟＝2小时 1时＋2小时＝3时 则下一次既响铃又亮灯是下午3时。 8．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知，（为非零自然数），则是的( )数；如果的最小倍数是110，那么的最大因数是( )。 【答案】 因 10 【思路引导】已知C＝2×5×n，D＝2×5×11×n（n为非零自然数），可变形为D＝11×C。因数的定义是若整数a能被整数b（b≠0）整除，那么b是a的因数。因为D÷C＝11，商是整数且无余数，所以C是D的因数。 “最小倍数”的性质：一个数的最小倍数是它本身，已知D的最小倍数是110，因此D＝110。将D＝110代入D＝2×5×11×n，计算得110n＝110，解得n＝1。把n＝1代入C＝2×5×n，得C＝10；又因为一个数的最大因数是它本身，所以C的最大因数是10。 【规范解答】因为D＝2×5×11×n，C＝2×5×n 所以D÷C＝（2×5×11×n）÷（2×5×n）＝11 11是整数，所以C是D的因数。 因为D的最小倍数是110，所以D＝110。 2×5×11×n＝110 10×11×n＝110 110n＝110 110n÷110＝110÷110 n＝1 C＝2×5×1 ＝10×1 ＝10 所以如果D的最小倍数是110，那么C的最大因数是10。 【考点剖析】本题的关键在于紧扣因数和倍数的定义，以及“一个数的最小倍数和最大因数都是它本身”的核心性质，先通过C和D的表达式推导得出C是D的因数，再利用D的最小倍数求出n的值，进而得到C的最大因数。 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）一个奇数与一个偶数的积也是奇数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】奇数：不能被2整除的数；偶数：能被2整除的数；据此举例判断。 【规范解答】1是奇数，2是偶数，1×2＝2，2是偶数； 7是奇数，10是偶数，7×10＝70，70是偶数； 所以一个奇数与一个偶数的积是偶数，原说法错误。 故答案为：× 10．（25-26五年级上·河北邢台·期中）用2、3、5组成不同的三位数。如果组成的是偶数，乐乐赢；如果组成的是奇数，天天赢。乐乐赢的可能性大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】列举用2、3、5组成不同的三位数的所有可能。判断奇偶性由个位数字决定：若个位是2，则为偶数；若个位是3或5，则为奇数。数量多的，则可能性就大，数量小的，可能性就小，据此分析判断。 【规范解答】用2、3、5组成三位数，每个数字不重复，有以下几种可能： 当百位是2时：235（个位5，奇数）；253（个位3，奇数）； 当百位是3时：325（个位5，奇数）；352（个位2，偶数）； 当百位是5时：523（个位3，奇数）；532（个位2，偶数） 共有6种情况，其中偶数有2个，奇数有4个。 因为规则是：如果组成的是偶数，乐乐赢；如果组成的是奇数，天天赢。所以天天赢的可能性大。 所以用2、3、5组成不同的三位数。如果组成的是偶数，乐乐赢；如果组成的是奇数，天天赢。乐乐赢的可能性大，说法错误。 故答案为：× 11．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）求下面各组数的最大公因数。 18和24    16和36    30、45和60 【答案】（18，24）＝6；（16，36）＝4；（30，45，60）＝15 【思路引导】先分别将每个数分解质因数，然后根据两个（三个）数所有公有质因数的积，就是这两个（三个）数的最大公因数，据此方法解答。 【规范解答】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数： 2×3＝6 可记作：（18，24）＝6； 16＝2×2×2×2 36＝2×2×3×3 16和36的最大公因数： 2×2＝4 可记作：（16，36）＝4； 30＝2×3×5 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 30和45和60的最大公因数： 3×5＝15 可记作：（30，45，60）＝15 12．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）盘花扣是古老中国结的一种，花式种类丰富。下面是师傅教学时分发盘花扣的情况，他最多有几个徒弟？每个徒弟分到多少个盘花扣？ ①原有45个菊花扣和34个金鱼扣。 ②将菊花扣和金鱼扣分别平均分发给他的徒弟 ③菊花扣还剩3个，金鱼扣缺2个。 【答案】 6个；12个 【思路引导】先计算实际需要的菊花扣和金鱼扣；再用短除法求出实际需要的菊花扣和金鱼扣的最大公因数，即为最多的徒弟数量；求出每人分别可分得的菊花扣数量和金鱼扣数量（有余数时，取商的部分就是可分得的数量），再将分得的菊花扣数量和金鱼扣数量求和即可求每个徒弟分到的盘花扣的数量。 【规范解答】45－3＝42（个） 34＋2＝36（个） 最多有徒弟：2×3＝6（个） 45÷6＝7（个）……3（个） 34÷6＝5（个）……4（个） 7＋5＝12（个） 答：他最多有6个徒弟；每个徒弟分到12个盘花扣。 13．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）一个长方形的周长是60厘米，它的长与宽是两个质数，它的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】221 平方厘米 【思路引导】长方形周长÷2＝长＋宽，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。长方形面积＝长×宽。 【规范解答】60÷2＝30（厘米） 30＝29＋1＝28＋2＝27＋3＝26＋4＝25＋5＝24＋6＝23＋7＝22＋8＝21＋9＝20＋10＝19＋11＝18＋12＝17＋13＝16＋14＝15＋15 其中长和宽都是质数的是长23厘米、宽7厘米；长19厘米、宽11厘米；长17厘米、宽13厘米。 23×7＝161（平方厘米） 19×11＝209（平方厘米） 17×13＝221（平方厘米） 161＜209＜221 答：它的面积最大是221平方厘米。 14．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）为了丰富同学们的“大课间”活动，学校将举行花样跳绳展示汇演，五年级有49个男生和42个女生表演花样跳绳。男生、女生分别排队，且每排的人数相等，每排最多有多少人？这时一共可以排成多少排？ 【答案】7人；13排 【思路引导】要让每排人数相等且最多，需找49和42的最大公因数。然后用男生人数和女生人数分别除以它们的最大公因数即可得到男女生的排数。最后再将其相加即可。 【规范解答】49的因数有1，7，49； 42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42。 49和42的最大公因数是7，所以每排最多7人。 男生排数：49÷7＝7（排） 女生排数：42÷7＝6（排） 总排数：7＋6＝13（排） 答：每排最多有7人，这时一共可以排13排。 15．（25-26五年级上·四川成都·期中）有三个非0的自然数，，，已知，，，求三个数的积是多少？ 【答案】 168 【思路引导】根据题意，先分别将28、42、24的因数用乘法算式写出： 乘积是28的算式：1×28＝28，2×14＝28，4×7＝28； 乘积是42的算式：1×42＝42，2×21＝42，3×14＝42，6×7＝42； 乘积是24的算式：1×24＝24，2×12＝24，3×8＝24，4×6＝24； 当x×y＝1×28时，x×z＝24对应x×z＝1×24＝24，此时x＝1，y＝28，z＝24，而24不是42的因数，所以不符合题意； 当x×y＝2×14时，x×z＝24对应x×z＝2×12＝24，此时x＝2，y＝14，z＝12，而12不是42的因数，所以不符合题意； 当x×y＝4×7时，x×z＝24对应x×z＝4×6＝24，此时x＝4，y＝7，z＝6，7是42的因数，且符合y×z＝7×6＝42，所以符合题意； 所以x×y×z＝4×7×6＝168。 【规范解答】因为4×7＝28，7×6＝42，4×6＝24 所以x＝4，y＝7，z＝6； x×y×z ＝4×7×6 ＝28×6 ＝168 答：三个数的积是168。 【考点剖析】本题关键是写出28、42、24的因数，再根据三个已知算式确定x、y、z的值。 16．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；见详解 【思路引导】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【规范解答】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【考点剖析】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 17．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 18．（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，且长和宽不相等。它的周长是60米，这个长方形的面积可能是多少平方米？ 【答案】161平方米、209平方米或221平方米 【思路引导】已知长方形周长为60米，根据周长公式可算出长与宽的和是30米；又因为长和宽是不相等的质数，所以要找出和为30的质数对，符合条件的有“7和23”“11和19”“13和17”这三组；最后用长乘宽算出面积，对应的结果分别是7×23＝161平方米、11×19＝209平方米、13×17＝221平方米。因此这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【规范解答】求长＋宽： 60÷2＝30（米） 当长＝23米、宽＝7米时： 23×7＝161（平方米） 当长＝19米、宽＝11米时： 19×11＝209（平方米） 当长＝17米、宽＝13米时： 17×13＝221（平方米） 答： 这个长方形的面积可能是161平方米、209平方米或221平方米。 【考点剖析】根据长方形周长公式，用60除以2算出长与宽的和是30米；再依据质数的定义，找出和为30且不相等的质数对，即7和23、11和19、13和17；最后用长乘宽的面积公式，分别算出三组组合对应的面积为161平方米、209平方米、221平方米，因此这个长方形的面积可能是这三个数值中的任意一个。 19．（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 【答案】6种 【思路引导】每行的人数是36的因数，且这些因数最小是2，最大不超过15。 【规范解答】36的因数有1，2，3，4，6，9，12，18，36。 每行人数 2 3 4 6 9 12 行数 18 12 9 6 4 3 答：有6种排队方法。 【考点剖析】本题考查了找一个数的因数。 20．（24-25五年级上·陕西西安·期中）已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 【答案】105 【思路引导】n是一个大于零的自然数，它的因数最小是1，最大是它本身，最小的两个因数的和是4，即第二小的因数为4－1＝3，最大的两个因数的和是140，即它本身除以3即为第二大的因数，第二大的因数加上它本身后的和为140。 【规范解答】4－1＝3 n÷3＋n＝140 解： 答：n是105。 【考点剖析】n的因数最小是1，最大是它本身，第二小的因数为4－1＝3，它本身除以3即为第二大的因数，根据第二大的因数加上它本身后的和为140列方程解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 因数与倍数【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练十 奇数与偶数的认识 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 考点讲练十一 运算性质（奇数和偶数） 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练十二 质数与合数的认识 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 奥数拓展一 质数与合数的综合应用 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 奥数拓展二 分解质因数 考点讲练六 2、5的倍数特征 奥数拓展三 公因数与最大公因数 考点讲练七 3的倍数特征 奥数拓展四 用最大公因数解决实际问题 考点讲练八 2、3、5的倍数特征综合 奥数拓展五 倍数与最小公倍数 考点讲练九 9的倍数特征 奥数拓展六 用最小公倍数解决实际问题 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）李老师家有两个孩子，这两个孩子的年龄是两个质数，它们的和是18，积是65，这两个孩子分别是( )岁和( )岁。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·陕西西安·期中）把一个数的所有因数从小到大排列，得到1，2，□，5，6，10，15，□，那么两个方框里的数依次是( )和( )。 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·辽宁沈阳·期中）用一定数量的小正方形去拼长方形，正好摆出三种不同的长方形（含正方形），并且每次都用上了所有的小正方形，则小正方形的个数一定是（    ）。 A．14 B．15 C．16 D．17 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个数既是36的因数，又是6的倍数，这个数最大是（    ）。 A．6 B．12 C．36 D．72 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·全国·课后作业）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）大课间，同学们玩“抱团游戏”。同学们的人数是25~35，细心的丽丽发现：当裁判的口令是2，3或5时，总是只有1个人落单，玩游戏的同学人数可能是（    ）。 抱团游戏规则裁判任意说出一个数作为口令，同学们必须在3秒内迅速结成小组，组内人数为这个数。 A．11 B．30 C．31 D．61 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏苏州·期中）迷你马拉松正在海城举行，如图是赛道的一部分，赛道在B点拐弯，根据比赛要求需要在路的一边排志愿者，志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排志愿者。那么这段赛道至少要安排多少名志愿者？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）请你按下面的要求为明明家设计一个四位数的门牌号。 （1）a，b，c，d代表的数字各不相同，并且分别代表6的一个因数。 （2）a，b组成的数ab既是3的倍数，又是7的倍数。 （3）4和9都是c，d组成的数cd的因数。 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）从下面四张数字卡中取出合适的卡片，按要求组数。 (1)组成两位数的质数________。 (2)组成3的倍数且是最小的三位数________。 (3)组成同时是2、3、5的倍数且是最大的数________。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24六年级下·湖北武汉·开学考试）有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 考点讲练七 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）从7，5，2，0这四张数字卡片中任选三张，按要求摆成三位数（每题写三个即可）。 (1)既是偶数又是3的倍数的有( )。 (2)既是3的倍数又是5的倍数的有( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ）   693（    ）   239（  ）   990（   ） （      ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 考点讲练八 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）重阳节这天，五年级的学生制作创意手工作品153件送给社区的老人，把这些作品分装在纸箱里，每箱装的作品同样多。用哪种纸箱正好装完？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 考点讲练九 9的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·福建莆田·期中）探索9的倍数特征。 72、81、88、99、198、297、300、333。. (1)上面各数中，9的倍数有：( )。 (2)提出猜想：( )。 (3)举例验证：( )。 (4)你的发现：( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级上·安徽阜阳·期中）（1）下面各数中，哪些数是9的倍数？请用“○”圈出来。 48    36    69    72    108    99    296    369    1026 （2）针对第1题数据列表探究。 9的倍数 各个数位上的数之和 （3）由第2题我发现是9的倍数的数的特征是______________。 （4）根据你的发现写出两个是9的倍数的四位数：（        ）、（        ）。 考点讲练十 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）在1、11、19、27、53、87、97这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是奇数又是合数，( )既不是质数也不是合数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东惠州·期中）我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是28。这个两位数是( )。 考点讲练十一 运算性质（奇数和偶数） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）a、b都是自然数，若a＋b＝c，下列说法正确的是（    ）。 A．如果a和b都是奇数，那么c也是奇数 B．如果a和b都是偶数，那么c也是偶数 C．如果a和b都是质数，那么c也是质数 D．如果a和b都是合数，那么c一定是偶数 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）房间里的3盏灯全部关着，现在每次拉两盏灯的开关。这样若干次后，有没有可能使3盏电灯全部亮着？为什么？ 考点讲练十二 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）世界上最大的洲是亚洲，最小的洲是大洋洲，大洋洲的面积大约是亚洲面积的，这里的是把( )看作单位“1”，的分数单位是( )，再添( )个这样的分数单位就是最小的质数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）一个长方形的长和宽都是质数，它的周长是56厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 奥数拓展一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）广东的龙舟竞渡是极具特色的传统民俗活动，实验小学五年级的同学们要以班级为单位排练龙舟操，需要将各班学生平均分成人数相等的小组（每个小组人数大于1），便于队列整齐。哪几个班可以？哪几个班不可以？为什么？ 班级 1班 2班 3班 4班 人数 37 41 39 40 【变式】（难度：☆☆☆☆）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 奥数拓展二 分解质因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·山西太原·期中）有三个自然数、、，已知，，，那么的积是( )。 奥数拓展三 公因数与最大公因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏淮安·期中）如果a÷5＝b，（且a和b是不为0的自然数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）星星新家的客厅是一个长40dm，宽32dm的长方形，如果用正方形地砖铺满（边长为整分米数，不切割），至少需要买这样的地砖多少块？ 分析与解答： （1）要使地砖正好铺满，地砖的边长必须是40和32的（    ）。 （2）要求边长最大，那么地砖边长必须是40和32的（    ）。 （3）我是这样解决的：________________    回顾与反思：我用画图来验证： 奥数拓展四 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东聊城·期中）2025年母亲节是在5月11日，星期日。母亲节是敬重母亲，弘扬母爱的节日。 这个节日最早出现于古希腊；而现代的母亲节起源于美国，是每年5月的第二个星期日。母亲们在这一天通常会收到礼物，康乃馨被视为献给母亲的花，而中国的母亲花是萱草花，又叫忘忧草。某鲜花店为迎接母亲节，打算用下面两种鲜花来扎成同样的花束（正好用完，没有剩余），最多能扎成多少束？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）用一张长60厘米，宽45厘米的长方形纸剪成同样大小的等腰直角三角形，如果希望纸正好用完，那么至少能剪出多少个这样的等腰直角三角形？ 奥数拓展五 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东聊城·期中）中国高铁已成为中国发展、中国成就、中国价值的一张响亮的名片，它不仅为人们的出行带来了便利，还在不同方面让人们获得幸福的体验。以莘县为例，莘县到甲地方向的列车大概平均每12分钟发一趟车，莘县到乙地方向的列车大概平均每9分钟发一趟车。如果8：40有同时发往甲地和乙地的列车，那么下一次同时发车是在什么时间？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳”的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了( )次荷叶。 奥数拓展六 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·福建泉州·期中）地铁2号线每5分钟一班，地铁5号线每6分钟一班。两列地铁上午9：15同时从起点站发车，至少再过( )分钟又同时发车。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。 1．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）下面说法正确的有（    ）句。 ①3的倍数可能是偶数。    ②一个长方体中最多有4条棱长相等。 ③一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 ④1＋2＋3＋4＋5＋…＋105的结果是偶数 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一个正方形的边长是质数，它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数和合数都有可能 D．既不是质数也不是合数 3．（25-26五年级上·四川成都·期中）清代《蚕》一诗提到“八茧称佳种，三眠贵早成。”关于横线上的数，说法错误的是（    ）。 A．它是合数 B．它有4个因数 C．它的因数都是偶数 D．它可以写成两个质数相加 4．（24-25五年级下·重庆江北·期中）一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）小亮用同一根绳子首尾相接，分别围成了两个面积是42和36的长方形（两个长方形的长和宽都是整厘米数），这根绳子长( )厘米。 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 7．（24-25五年级下·河北唐山·期中）有一座钟，每走8分钟亮一次灯，每到整时响一次铃。下午1时整，既响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是下午( )时。 8．（25-26五年级上·四川成都·期中）已知，（为非零自然数），则是的( )数；如果的最小倍数是110，那么的最大因数是( )。 9．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）一个奇数与一个偶数的积也是奇数。( )（判断对错） 10．（25-26五年级上·河北邢台·期中）用2、3、5组成不同的三位数。如果组成的是偶数，乐乐赢；如果组成的是奇数，天天赢。乐乐赢的可能性大。( )（判断对错） 11．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）求下面各组数的最大公因数。 18和24    16和36    30、45和60 12．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）盘花扣是古老中国结的一种，花式种类丰富。下面是师傅教学时分发盘花扣的情况，他最多有几个徒弟？每个徒弟分到多少个盘花扣？ ①原有45个菊花扣和34个金鱼扣。 ②将菊花扣和金鱼扣分别平均分发给他的徒弟 ③菊花扣还剩3个，金鱼扣缺2个。 13．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）一个长方形的周长是60厘米，它的长与宽是两个质数，它的面积最大是多少平方厘米？ 14．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）为了丰富同学们的“大课间”活动，学校将举行花样跳绳展示汇演，五年级有49个男生和42个女生表演花样跳绳。男生、女生分别排队，且每排的人数相等，每排最多有多少人？这时一共可以排成多少排？ 15．（25-26五年级上·四川成都·期中）有三个非0的自然数，，，已知，，，求三个数的积是多少？ 16．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 17．（25-26五年级上·广东韶关·期中）（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 18．（25-26五年级上·河南鹤壁·期中）一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数，且长和宽不相等。它的周长是60米，这个长方形的面积可能是多少平方米？ 19．（25-26五年级上·广东湛江·期中）为庆祝妇女节，五（1）班准备表演一个献给妈妈的舞蹈节目，共选出参演学生36名。现在要给舞蹈排队列（每行最少不低于2人，最多不超过15人），你认为有多少种排队方法？ 20．（24-25五年级上·陕西西安·期中）已知n是一个大于零的自然数，把它所有的因数从小到大排列，最小的两个因数的和是4，最大的两个因数的和是140，那么n是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $