第三单元 因数与倍数（期中复习讲义）基础版（导图+17个考点真题讲练+提优练 共54题）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 因数与倍数【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+17个考点讲练+真题提优练 共54题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练十 质数与合数的认识 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练十二 质因数的含义 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 考点讲练十三 分解质因数 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 考点讲练十四 公因数与最大公因数 考点讲练六 2、5的倍数特征 考点讲练十五 用最大公因数解决实际问题 考点讲练七 奇数与偶数的认识 考点讲练十六 公倍数与最小公倍数 考点讲练八 3的倍数特征 考点讲练十七 用最小公倍数解决实际问题 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）下面的数中，既是30的因数，又是6的倍数的是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．12 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）把36块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东深圳·期中）中秋节前夕，大个糕点铺制作了192块月饼，选用下面哪种礼盒能正好装完？为什么？ 第一种：9块装 第二种：6块装 第三种：4块装 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）大课间，同学们玩“抱团游戏”。同学们的人数是25~35，细心的丽丽发现：当裁判的口令是2，3或5时，总是只有1个人落单，玩游戏的同学人数可能是（    ）。 抱团游戏规则裁判任意说出一个数作为口令，同学们必须在3秒内迅速结成小组，组内人数为这个数。 A．11 B．30 C．31 D．61 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）在中，□里填( )，就能使这个数是9的倍数。 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东深圳·期中）园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·甘肃张掖·期中）星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【变式】（难度：☆☆）（24-25五年级上·广东深圳·期中）在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）认真阅读下面材料，然后填空。 截至2025年6月2日，太原市已建成各类公园绿地701个。已建成的公园绿地有市级公园99个，生态公园27个，街头公园342个，集中绿地122个，县域公园绿地111个。形成了“三山环抱，一水中分，九河环绕，一湖点睛，水韵龙城，诗意汾河”的格局。 (1)文中的自然数中是奇数的有( )，是偶数的有( )，是3的倍数的有( )，是5的倍数的有( )。 (2)文中的自然数中既是2的倍数又是3的倍数的有( )。 (3)文中100以内的自然数中是质数的有( )，是合数的有( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东深圳·期中）李叔叔今天收到一条信息“【菜鸟驿站】凭取件码XXXX到梦轩花园一期102号店取件”。李叔叔发现取件码由四个数字组成的，从左往右数第一个数字是最小的合数，第二个数字比最小的质数大1，第三个数字同时是2和3的倍数，第四个数字是最大的一位数。根据上面的描述，李叔叔的取件码是( )，这是一个( )（填“奇数”或“偶数”）。 考点讲练七 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·安徽亳州·期中）著名的哥德巴赫猜想中说：“任意一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数的和。”例如：，请你再写出一个符合这个猜想的算式：( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）已知四位数4□5□既是一个偶数，又同时是3和5的倍数，则这个四位数最大是( )，最小是( )。 考点讲练八 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·河南商丘·期中）在15，18，25，30，19这五个数中，2的倍数有( )，5的倍数有( )3的倍数有( )，同时是2，3，5的倍数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）从1、0、3、9中任选两个数字组成的两位数（两个数字不重复）中，同时是2、3的倍数的是( )；同时是2、5的倍数的是( )；同时是2、3、5的倍数的是( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·安徽宿州·期中）3的倍数中最大的两位数是( )；同时是2和3的倍数的最大的两位数是( )。 考点讲练十 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）孙师傅为自己的门锁设置了一个四位数的密码，第一位数既是偶数又是质数，第二位数是最小的合数，第三位数同时是2和3的倍数，第四位数既是奇数又是合数。孙师傅设置的密码是( )。 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，画整体是长方形，长和宽都是整分米数且都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最小是（    ）平方分米。 A．77 B．65 C．45 D．32 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·辽宁锦州·期中）一个数的万位是最小的合数，千位是最小的奇数，十位是最小的质数，其他数位上是0，这个数写作( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 考点讲练十二 质因数的含义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·河北保定·期中）在1～20的数字卡片中，任意摸取一张，摸到质数的可能性( )，摸到合数的可能性( )。（填“大”或“小”） 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西钦州·期中）因为30＝5×6，所以5和6都是30的质因数。( )（判断对错） 考点讲练十三 分解质因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）把54分解质因数正确的是（    ）。 A．54＝1×2×3×3×3 B．54＝6×3×3 C．54＝2×3×3×3 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 考点讲练十四 公因数与最大公因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 【变式】（难度：☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．甲数；甲、乙两数的和 B．乙数；甲数 C．甲、乙两数的和；乙数 D．以上答案都不对 考点讲练十五 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·安徽蚌埠·期中）如果，，那么和的最大公因数是( )，和的最小公倍数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 考点讲练十六 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·海南三亚·期中）高新二小利用假期修缮校舍。给一间长80分米，宽55分米的教室内铺同样大小的正方形地砖，铺的时候地砖要完整而没有剩余，地砖边长最大是几分米？ 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）3和9的最小公倍数是( )；8和12的最大公因数是( )。 考点讲练十七 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·安徽亳州·期中）吃枇杷的季节到了，下图是妈妈购买一斤小果枇杷的订单。到货后丽丽数了数，6个6个地数或8个8个地数都恰好数完。这斤枇杷共有（    ）个。 A．30 B．26 C．24 D．18 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）食品店运来一些面包，无论分给7个小朋友，还是分给13个小朋友，都正好分完。这些面包最少有多少个？ 1．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）下列三组数中，都是质数的一组是（    ）。 A．25和11 B．19和18 C．2和3 2．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）明明说：“我今年12岁了。12的全部因数有1，2，4，6，12。”乐乐听他说完之后发现明明漏说了一个。明明漏说的是（    ）。 A．3 B．5 C．8 3．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）下面选项正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数 B．一个数除以一个小数，商一定比被除数大 C．任何自然数不是质数就是合数 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变 4．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（    ）。 A．14和56 B．4和17 C．1.8和0.6 D．4和0.8 5．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）在1～10这些自然数中，有( )个合数。 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以6人一排，也可以8人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40~50之间，五（1）班有( )人。 7．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）辉辉一家准备坐火车去上海旅行。购票时辉辉发现从徐州开往上海的车次用奇数表示，从上海开往徐州的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G——高速动车；D——动车；Z——直达特快；T——特快列车；K——快速列车。下面的车次有( )个是从徐州出发的。 ①D181    ②G104    ③G376    ④K737    ⑤G222 8．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）手机上常见的屏幕解锁方式有密码解锁、图案解锁、指纹解锁等。周阿姨为自己的手机设置了一个四位数的屏幕解锁密码。从左往右数，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数是最小的合数；第三位既不是质数，也不是合数，但也不是0；第四位数既是奇数，又是合数。周阿姨设置的屏幕解锁密码是( )。 10．（25-26五年级上·陕西西安·期中）a÷b＝9（a、b都是非零自然数），a就是倍数，b就是因数。( )（判断对错） 11．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）将18块饼干和24个苹果平均分给若干个小朋友，如果饼干和苹果都没有剩余，且保证分到饼干和苹果的小朋友人数相同，最多能分给8个小朋友。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 13．（25-26五年级上·山西晋城·期中）阅读材料，回答问题。 “孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，是数学家阿尔方•德•波利尼亚克提出的。“孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，且，所以3和5就是一对孪生质数。 通过阅读以上信息，想一想：20以内还有几对孪生质数，请写出来。（3和5除外） 14．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）小明的爷爷喜欢养花。爷爷说：“兰花要4天浇一次水，君子兰要6天浇一次水。”如果3月2日爷爷同时给这两种花浇了水。那么至少3月几日爷爷应同时再给这两种花浇水？ 15．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）冰糖葫芦又叫糖葫芦，是中国传统小吃，起源于南宋。刘爷爷准备了90颗山楂制作糖葫芦，如果每8颗穿成一串，能正好穿完吗？如果每6颗穿成一串，能正好穿完吗？为什么？ 16．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 17．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽的厘米数一个是合数、一个是质数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 18．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）算一算，拼一拼。用24个边长1厘米的小正方形能拼成多少种不同的长方形？写出你的思考过程。 19．（25-26五年级上·陕西西安·期中）张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 20．（25-26五年级上·四川成都·期中）把36块月饼分装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？（盒子数大于1） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 因数与倍数【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+17个考点讲练+真题提优练 共54题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练十 质数与合数的认识 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练十二 质因数的含义 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 考点讲练十三 分解质因数 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 考点讲练十四 公因数与最大公因数 考点讲练六 2、5的倍数特征 考点讲练十五 用最大公因数解决实际问题 考点讲练七 奇数与偶数的认识 考点讲练十六 公倍数与最小公倍数 考点讲练八 3的倍数特征 考点讲练十七 用最小公倍数解决实际问题 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义:在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征:一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征:一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系。 知识点三：奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法 (1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法 奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法。 (1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的质数是2，没有最大的质数。 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意。 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五：分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 知识点六：最大公因数 1. 最大公因数的定义：两个或多个整数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 2. 求最大公因数的方法 （1）列举法（枚举法）：列出所有的因数，找出共有因数中的最大值。 （2）短除法：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最少个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最大公因数是1。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最大公因数用小括号表示，例如：12和18的最大公因数是6，写作 (12, 18) = 6。 知识点七：最小公倍数 1. 最小公倍数的定义：两个或多个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。 2. 求最小公倍数的方法 （1）列举法：分别列出两数的倍数，找到最小的公共倍数 （2）短除法：用两数的公约数连续除，直到商互质，所有除数与商的乘积即为最小公倍数。 （短除法的口诀：求最大公因乘一边，求最小公倍乘一圈。） （3）分解质因数法：将数分解为质因数乘积形式，取共有质因数的最多个数的乘积。 （4）互质关系：若两个数是互质数，即只有公因数1，则它们的最小公倍数是两数的乘积。 （5）倍数关系：当两个整数呈现出倍数关系时，其中较小的数即为最大公因数。 3. 注意：求两个数的最小公倍数用中括号表示，例如：12和18的最小公倍数是36，写作 [12, 18] = 36。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）下面的数中，既是30的因数，又是6的倍数的是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C 【思路引导】找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数，据此求出30的因数； 求6的倍数，用6分别乘自然数1、2、3、4……，所得的积就是6的倍数，求出30以内6的倍数，进而解答。 【规范解答】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30； 30以内6的倍数有：6，12，18，24，30。 既是30的因数又是6的倍数是6，30。 故答案为：C 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·广东湛江·期中）把36块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？ 【答案】9种；见详解 【思路引导】把36块月饼装在盒子里，每个盒子装同样多，那么每盒月饼的个数是36的因数。先列举出36的所有因数，再由这些因数确定每盒装几个，需要装几盒。据此解答。 【规范解答】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36，共有9个因数。 答：有9种装法，分别是： ①每盒装1块，需要36个盒子； ②每盒装2块，需要18个盒子； ③每盒装3块，需要12个盒子； ④每盒装4块，需要9个盒子； ⑤每盒装6块，需要6个盒子； ⑥每盒装9块，需要4个盒子； ⑦每盒装12块，需要3个盒子； ⑧每盒装18块，需要2个盒子； ⑨每盒装36块，需要1个盒子。 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东深圳·期中）中秋节前夕，大个糕点铺制作了192块月饼，选用下面哪种礼盒能正好装完？为什么？ 第一种：9块装 第二种：6块装 第三种：4块装 【答案】 第二种或第三种礼盒；理由见详解 【思路引导】根据题意得：192块月饼用礼盒刚好装完，则每个礼盒装的月饼个数能整除192；可运用整数除法分别除以三种礼盒所装的月饼数量，能整除则表示能正好装完。据此可得出答案。 【规范解答】第一种礼盒：192÷9＝21（盒）⋯⋯3（个），192不能被9整除，则这种礼盒不能正好装完月饼； 第二种礼盒：192÷6＝32（盒），192能被6整除，则这种礼盒能正好装完月饼； 第三种礼盒：192÷4＝48（盒），192能被4整除，则这种礼盒能正好装完月饼。 故能正好装完月饼的礼盒是第二种或第三种。 答：选用第二种或第三种礼盒能正好装完月饼。因为第二种6块装、第三种4块装都能整除月饼总数192块。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东茂名·期中）小可爱精品店运来36个玩具小熊，如果每2个装一个盒子，能正好装完吗？如果每5个装一个盒子，能正好装完吗？至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完？为什么？ 【答案】能；不能；4个；原因见详解 【思路引导】能不能正好装完，就是看2和5是不是36的因数，是36的因数就可以正好装完，不是36的因数就不能正好装完。至少再运来多少个，能使上述两种装法都能正好装完，也就是玩具小熊的数量同时是2和5的公倍数，先利用求一个数的倍数的方法，求出2和5的倍数，再找出两个数的公倍数，在这些公倍数中，找出刚好比36大的数，再与36作差即可解答。 【规范解答】36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36 2是36的因数，所以每2个装一个盒子，能正好装完。 5不是36的因数，所以每5个装一个盒子，不能正好装完。 2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50… 5的倍数有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50… 2和5的公倍数有10、20、30、40、50… 40比36大； 所以至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 答：每2个装一个盒子，能正好装完；每5装一个盒子，不能正好装完；至少再运来4个，能使上述两种装法都能正好装完。 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）大课间，同学们玩“抱团游戏”。同学们的人数是25~35，细心的丽丽发现：当裁判的口令是2，3或5时，总是只有1个人落单，玩游戏的同学人数可能是（    ）。 抱团游戏规则裁判任意说出一个数作为口令，同学们必须在3秒内迅速结成小组，组内人数为这个数。 A．11 B．30 C．31 D．61 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，总人数在25~35之间，且总人数除以2、3、5时，余数均为1。需先找出同时是2、3、5的倍数（末尾是0，且各个数位数字之和是3的倍数），且在25~35之间的数，最后给这个数再加1即可。 【规范解答】2的倍数在25~35的有：26、28、30、32、34； 3的倍数在25~35的有：27、30、33； 5的倍数在25~35的有：25、30、35。 由此可以看出，在25~35之间且同时是2、3、5的倍数的数是30。 30＋1＝31 因此，玩游戏的同学人数可能是31。 故答案为：C 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）在中，□里填( )，就能使这个数是9的倍数。 【答案】2 【思路引导】9的倍数的特征：各个数位上数字的和是9的倍数。先求出这个数前面2024个2的和，即2024×2＝4048，设□里的数是x（x为0到9的数），则数字之和为4048＋x，需要使4048＋x是9的倍数，先计算4048除以9的余数，再用9减去余数得到x的值。 【规范解答】2024×2＝4048 4048÷9＝4497 9－7＝2 即：在□里填2，就能使这个数是9的倍数。 【考点剖析】明确9的倍数的特征是解题的关键。 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东深圳·期中）园林工人在某保护地种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，这些梭梭树最少有多少棵？最多有多少棵？ 【答案】最少103棵；最多198棵 【思路引导】种了一百多但不到两百棵梭梭树，种成5列，每列梭梭树棵数相同但有一列少2棵，由此可知，种树的棵数大于100小于200，根据5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，据此找出大于100而小于等于200的5的最小倍数和最大倍数，再减去2即可解答。 【规范解答】100到200之间大于100的5的最小倍数是105，最大倍数是200； 105－2＝103（棵） 200－2＝198（棵） 答：这些梭梭树最少有103棵，最多有198棵。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）刘老师带领五年级一班的同学去植树，一共植树148棵，已知刘老师和每个同学植的树都一样多，五年级一班的同学正好能站成三路纵队。你知道每人植了几棵树吗？五年级一班有多少个同学？ 【答案】4棵树；36个同学 【思路引导】刘老师和每个同学植的树都一样多，总植树148棵，是“总人数×每人植树棵数”的结果，先找148的因数：1、2、4、37、74、148。总人数是老师1人＋同学人数，同学能站三路纵队，即同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 如果总人数148：同学有148－1＝147人（不是3的倍数）；总人数74：同学有74－1＝73人（不是3的倍数）；总人数37：同学是37－1＝36人（36是3的倍数，符合班级人数）；总人数4：同学4－3＝3人（太少，不合理）。所以总人数应是37人，每人植树148÷37＝4棵。 【规范解答】148的因数：1、2、4、37、74、148。 同学人数是3的倍数，所以总人数是3的倍数＋1。 总人数37：同学是37－1＝36（人）（36是3的倍数） 148÷37＝4（棵） 答：每人植了4棵树，五年级一班有36个同学。 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·甘肃张掖·期中）星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】45名同学；小贝说得对；理由见详解 【思路引导】由题中所说每一个参赛方队站2~4列，总人数＝列数×每列人数，所以总人数一定为合数。由41和43均为质数，45是合数，可知一共多少名同学，谁说的是对的。 【规范解答】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 【变式】（难度：☆☆）（24-25五年级上·广东深圳·期中）在学校运动会开幕式上，48人组成了一支体操队，表演时需要变换队形。 （1）如果站成长方形队列，根据给出的行数填写下表。 行数 2 3 4 6 每行人数 （2）如果站成正方形队列，至少要去掉多少人？ 或者至少增加多少人？ 【答案】 （1）24，16，12，8 （2）至少要去掉12人或者至少增加1人 【思路引导】（1）据题意得：每行人数×行数＝总人数，已知总人数是48人，行数分别为2、3、4、6，运用除法计算得出答案； （2）站成正方形队列，则需要行数＝每行人数，即总人数＝行数×行数。据此可得到比48小的最大人数，比48大的最小人数。据此可得出答案。 【规范解答】（1）每行人数计算如下： 行数2时：48 ÷ 2 ＝ 24（人） 行数3时：48 ÷ 3 ＝ 16（人） 行数4时：48 ÷ 4 ＝ 12（人） 行数6时：48 ÷ 6 ＝ 8（人） 填表结果依次为24、16、12、8。 （2）比48小的最大人数是6×6＝36，需去掉48−36＝12人； 比48大的最小人数是7×7＝49，需增加49−48＝1人。 答：至少去掉12人或增加1人。 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）认真阅读下面材料，然后填空。 截至2025年6月2日，太原市已建成各类公园绿地701个。已建成的公园绿地有市级公园99个，生态公园27个，街头公园342个，集中绿地122个，县域公园绿地111个。形成了“三山环抱，一水中分，九河环绕，一湖点睛，水韵龙城，诗意汾河”的格局。 (1)文中的自然数中是奇数的有( )，是偶数的有( )，是3的倍数的有( )，是5的倍数的有( )。 (2)文中的自然数中既是2的倍数又是3的倍数的有( )。 (3)文中100以内的自然数中是质数的有( )，是合数的有( )。 【答案】(1) 2025、701、99、27、111 6、2、342、122 2025、6、99、27、342、111 2025 (2)6、342 (3) 2 6、99、27 【思路引导】（1）奇数是指不能被2整除的数，偶数是指能被2整除的数；3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5； （2）根据2的倍数、3的倍数特征可得出答案； （3）质数是指只能被1和它本身整除的数，合数是指不仅能被1和它本身整除，也能被其它数整除的数。据此可得出答案。 【规范解答】（1）文中的自然数中是奇数的有2025、701、99、27、111，是偶数的有6、2、342、122，是3的倍数的有2025、6、99、27、342、111，是5的倍数的有2025。 （2）文中的自然数中既是2的倍数又是3的倍数的有6、342。 （3）文中100以内的自然数中是质数的有2，是合数的有6、99、27。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·广东深圳·期中）李叔叔今天收到一条信息“【菜鸟驿站】凭取件码XXXX到梦轩花园一期102号店取件”。李叔叔发现取件码由四个数字组成的，从左往右数第一个数字是最小的合数，第二个数字比最小的质数大1，第三个数字同时是2和3的倍数，第四个数字是最大的一位数。根据上面的描述，李叔叔的取件码是( )，这是一个( )（填“奇数”或“偶数”）。 【答案】 4369 奇数 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【规范解答】最小的合数是4；最小的质数是2，比最小的质数大1的数是3；一位数中同时是2和3的倍数的是6；最大的一位数是9。李叔叔的取件码是4369，这是一个奇数。 考点讲练七 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·安徽亳州·期中）著名的哥德巴赫猜想中说：“任意一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数的和。”例如：，请你再写出一个符合这个猜想的算式：( )。 【答案】58＝11＋47 【思路引导】根据质数的意义，一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。能被2整除的数是偶数。最小的质数是2，任意举一个大于2的偶数，写成两个质数相加的形式即可。 【规范解答】例如58＝11＋47（答案不唯一） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山西吕梁·期中）已知四位数4□5□既是一个偶数，又同时是3和5的倍数，则这个四位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 4950 4050 【思路引导】能被2整除的数叫做偶数； 5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。个位是偶数，则个位是0，据此找出最大的四位数和最小的四位数。 【规范解答】4□5□；个位只能是0；最大： 4950；是5的倍数；4＋9＋5＋0＝18，18能被3整除，是3的倍数，最大是4950。 最小：4050；是5的倍数；4＋0＋5＋0＝9，9能被3整除，是3的倍数，最小是4050。 已知四位数4□5□既是一个偶数，又同时是3和5的倍数，则这个四位数最大是4950，最小是4050。 考点讲练八 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·河南商丘·期中）在15，18，25，30，19这五个数中，2的倍数有( )，5的倍数有( )3的倍数有( )，同时是2，3，5的倍数是( )。 【答案】 18；30 15；25；30 15；18；30 30 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；个位上是0或5的数是5的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数；同时是2、3、5的倍数的数：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】15，18，25，30，19这五个数中，18的个位是8、30的个位是0，所以2的倍数有18，30； 15的个位是5，25的个位是5，30的个位是0，所以5的倍数有15，25，30； 1＋5＝6，6是3的倍数，所以15是3的倍数，1＋8＝9，9是3的倍数，所以18是3的倍数，2＋5＝7，7不是3的倍数，所以25不是3的倍数，3＋0＝3，3是3的倍数，所以30是3的倍数，1＋9＝10，10不是3的倍数，所以19不是3的倍数，所以在15，18，25，30，19这五个数中，3的倍数有15，18，30； 个位是0的数有30，且30是3的倍数，所以同时是2，3，5的倍数是30。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，分别满足以下的条件。 (1)是2的倍数的最小三位数( )。 (2)是3的倍数的最小三位数( )。 (3)同时是2，3和5的倍数的最大三位数( )。 【答案】(1)304 (2)345 (3)540 【思路引导】（1）2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8的数。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是2的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，十位上的数是0，5，4中最小的数即0，个位上的数是5，4当中的偶数4，所以是2的倍数的最小三位数是304； （2）3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数是3的倍数且最小，那么百位上的数是0除外的最小的数即3，3能被3整除，所以确保十位和个位上的数字之和能被3整除且取和最小的两个数字，按十位上的数字小于个位上的数字排列。十位和个位上的数字之和可能是0＋5＝5、0＋4＝4、4＋5＝9，在5、4、9中，只有9能被3整除，因为4＜5，所以十位上的数字是4，个位上的数字是5，所以是3的倍数的最小三位数是345； （3）同时是2，3和5的倍数特征：个位上的数是0，且各个数位上的数字之和能被3整除。在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，要使这个三位数同时是2，3和5的倍数且最大，那么个位上的数是0，所以确保十位和百位上的数字之和能被3整除且取和最大的两个数字，按百位上的数字大于十位上的数字排列。十位和百位上的数字之和可能是3＋5＝8、3＋4＝7、4＋5＝9，在8、7、9中，只有9能被3整除，因为5＞4，所以百位上的数字是5，十位上的数字是4，所以同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 【规范解答】（1）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是2的倍数的最小三位数304。 （2）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，是3的倍数的最小三位数345。 （3）根据分析： 在3，0，5，4中选出3个数字组成三位数，同时是2，3和5的倍数的最大三位数540。 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西西安·期中）从1、0、3、9中任选两个数字组成的两位数（两个数字不重复）中，同时是2、3的倍数的是( )；同时是2、5的倍数的是( )；同时是2、3、5的倍数的是( )。 【答案】 30、90 10、30、90 30、90 【思路引导】从1、0、3、9中选两个不重复数字组成两位数时，注意0不能在十位，因此能组成的数有：10、13、19、30、31、39、90、91、93。2的倍数：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数：各位数字之和是3的倍数；5的倍数：个位数字是0或5。同时是2、3的倍数：先找出2的倍数（10、30、90），再从中筛选出3的倍数（30、90）；同时是2、5的倍数：需同时满足2和5的倍数特征，即个位必须是0，因此是10、30、90；同时是2、3、5的倍数：需同时满足三个数的倍数特征（个位为0且各位和是3的倍数），因此是30、90。 【规范解答】从1、0、3、9中任选两个数字组成的两位数（两个数字不重复）中，同时是2、3的倍数的是30、90；同时是2、5的倍数的是10、30、90；同时是2、3、5的倍数的是30、90。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·安徽宿州·期中）3的倍数中最大的两位数是( )；同时是2和3的倍数的最大的两位数是( )。 【答案】 99 96 【思路引导】指各个数位上的数字之和能被3整除的数是3的倍数。两位数中最大的数是99，99÷3＝33，能整除，因此99是3的倍数中最大的两位数； 个位是0、2、4、6的数是2的倍数。结合3的倍数的特征，从最大的两位数99开始倒着数，找到题意的两位数。 【规范解答】最大的两位数是99，9＋9＝18，18是3的倍数，3的倍数中最大的两位数是99。 99是3的倍数，不是2的倍数； 9＋8＝17，17不能被3整除，98不是3的倍数，是2的倍数； 9＋7＝16，16不能被3整除，97不是3的倍数，也不是2的倍数； 9＋6＝15，15能被3整除，96是3的倍数，也是2的倍数； 所以96是同时是2和3的倍数的最大的两位数。 所以3的倍数中最大的两位数是99；同时是2和3的倍数的最大的两位数是96。 考点讲练十 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）孙师傅为自己的门锁设置了一个四位数的密码，第一位数既是偶数又是质数，第二位数是最小的合数，第三位数同时是2和3的倍数，第四位数既是奇数又是合数。孙师傅设置的密码是( )。 【答案】2469 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；第一位数既是偶数又是质数，一位数中只有2满足；第二位数是最小合数，即4；第三位数是2和3的倍数，一位数中只有6满足；第四位数即是奇数又是合数，一位数中只有9满足。 【规范解答】根据分析： 孙师傅为自己的门锁设置了一个四位数的密码，第一位数既是偶数又是质数，第二位数是最小的合数，第三位数同时是2和3的倍数，第四位数既是奇数又是合数。孙师傅设置的密码是2469。 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）齐白石是近代中国绘画大师，世界文化名人，他画的虾栩栩如生。兵兵是个国画爱好者，他临摹了一幅画，画整体是长方形，长和宽都是整分米数且都是质数，并且周长是36分米，这幅画的面积最小是（    ）平方分米。 A．77 B．65 C．45 D．32 【答案】B 【思路引导】质数：只有1和它本身2个因数的数；长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此先用长方形的周长除以2求出这幅画的长、宽之和，再根据质数的概念及长、宽之和推导出长方形的长和宽，再根据长方形的面积＝长×宽求出长方形的面积，最后把得出的面积进行比较并且确定出最小的面积即可。 【规范解答】36÷2＝18（分米） 18＝5＋13＝7＋11 13×5＝65（平方分米） 11×7＝77（平方分米） 65＜77 这幅画的面积最小是65平方分米。 故答案为：B 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·辽宁锦州·期中）一个数的万位是最小的合数，千位是最小的奇数，十位是最小的质数，其他数位上是0，这个数写作( )。 【答案】41020 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），偶数的个位数字为0、2、4、6、8，不是2的倍数的数叫做奇数，奇数的个位数字为1、3、5、7、9，最小的奇数是1； 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，最小的质数是2；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，最小的合数是4，1既不是质数也不是合数，据此解答。 【规范解答】分析可知，这个数的万位是4，千位是1，十位是2，百位和个位是0，这个数写作41020。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·四川成都·期中）学校的花圃种了若干行（不止一行）向日葵，每行的棵数都相等。三位同学数向日葵的棵数，小悦说有53棵，小亮说有57棵，小明说有59棵。他们之中只有一人数对了，（    ）数对了。 A．小悦 B．小亮 C．小明 D．不确定 【答案】B 【思路引导】由于种向日葵是若干行（不止一行）且每行的棵数都相等，因此总棵数应为：行数×每行棵数，即总棵数需要时合数（能分解两个大于1的整数的乘积）；据此判断判断53、57、59是否为合数；53和59是质数，无法分解为两个大于1的整数相乘；57是合数，符合条件。因此小亮数对了。 【规范解答】53只有1和53两个因数，59只有1和59两个因数，53和59都是质数，无法能分解两个大于1的整数的乘积，所以小悦和小明都数错了。    57有1、3、19、57四个因数，所以57是合数，能分解两个大于1的整数的乘积，所以小亮数对了。 故正确答案为：B 考点讲练十二 质因数的含义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·河北保定·期中）在1～20的数字卡片中，任意摸取一张，摸到质数的可能性( )，摸到合数的可能性( )。（填“大”或“小”） 【答案】 小 大 【思路引导】先根据合数与质数的意义，找出1～20中有几个质数、几个合数； 再根据可能性大小的判断方法，哪种数的个数多，摸到的可能性就大；反之，哪种数的个数少，摸到的可能性就小。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数； 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【规范解答】1～20中质数有：2、3、5、7、11、13、17、19；共有8个； 1～20中合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；共有11个； 8＜11 在1～20的数字卡片中，质数的个数少，合数的个数多； 所以，任意摸取一张，摸到质数的可能性小，摸到合数的可能性大。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西钦州·期中）因为30＝5×6，所以5和6都是30的质因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】质因数需满足两个条件：是原数的因数且本身是质数。5是质数且是30的因数，但6是合数，不符合质因数的定义。 【规范解答】根据质因数的定义，质因数必须是质数且是原数的因数。30＝5×6中，5是质数且能整除30，因此5是30的质因数；但6＝2×3，是合数，不符合质数的条件，因此6不是30的质因数。所以原题说法错误。 故答案为：× 考点讲练十三 分解质因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）把54分解质因数正确的是（    ）。 A．54＝1×2×3×3×3 B．54＝6×3×3 C．54＝2×3×3×3 【答案】C 【思路引导】把合数写成几个质数相乘的形式就是分解质因数，据此判断即可。 【规范解答】A．54＝1×2×3×3×3，1既不是质数也不是合数，不符合题意； B．54＝6×3×3，6不是质数，不符合题意； C．54＝2×3×3×3，符合分解质因数的定义。 故答案为：C 【考点剖析】本题主要考查分解质因数的知识，解题关键是弄清楚分解质因数的意义。 【变式】（难度：☆☆）（25-26五年级上·广东佛山·期中）中医药是中华民族几千年智慧的结晶，为弘扬民族文化，学校决定在校园劳动基地种植中草药，其中“枸杞”的种植面积正好是65平方米。 （1）笑笑测量“枸杞”园，发现它是一个长方形，长与宽正好是两个不同的质数，“枸杞”园的长是（    ）米，宽是（    ）米。 （2）已知每平方米枸杞树可产枸杞0.36千克，这块“枸杞”园所收获的枸杞卖给药材店收入936元，平均每千克枸杞可卖多少元？ 【答案】（1）13；5； （2）40元 【思路引导】（1）长方形的面积＝长×宽，而长方形的面积是65平方米，65是合数，每个合数都可以由几个质数相乘得到，其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫作分解质因数，把65分解质因数即可求得“枸杞”园的长和宽； （2）先求出“枸杞”的种植面积一共可以产多少千克枸杞，即65×0.36，再根据“单价＝总价÷数量”求出平均每千克枸杞可卖的钱数，即936÷（65×0.36），据此解答。 【规范解答】 （1） 65＝5×13 所以，“枸杞”园的长是13米，宽是5米。 （2）936÷（65×0.36） ＝936÷23.4 ＝40（元） 答：平均每千克枸杞可卖40元。 考点讲练十四 公因数与最大公因数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）靖边羊肉，乃陕西省榆林市靖边县之瑰宝，其美味与独特之处，早已名扬四海。小明家养了一群羊，小明发现，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完。小明家至少养了多少只羊？ 【答案】24只 【思路引导】根据题意，这群羊不管是6只6只地数还是8只8只地数，都正好数完，说明这群羊的总只数是6和8的公倍数；求至少养了多少只羊，就是求6和8的最小公倍数。 把6和8分解质因数，它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数。 【规范解答】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即至少养了24只羊。 答：小明家至少养了24只羊。 【变式】（难度：☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（    ），最小公倍数是（    ）。 A．甲数；甲、乙两数的和 B．乙数；甲数 C．甲、乙两数的和；乙数 D．以上答案都不对 【答案】B 【思路引导】根据“两个数成倍数关系时，较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数”的规律，已知甲数是乙数的倍数，即乙数为较小数、甲数为较大数，因此甲、乙两数的最大公因数是乙数，最小公倍数是甲数。 【规范解答】根据两数成倍数关系时“小数为最大公因数、大数为最小公倍数”的规律，甲数是乙数的倍数，故最大公因数是乙数、最小公倍数是甲数， 故答案为：B 考点讲练十五 用最大公因数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·安徽蚌埠·期中）如果，，那么和的最大公因数是( )，和的最小公倍数是( )。 【答案】 14 210 【思路引导】最大公因数是指两个或多个整数共有质因数的乘积。已知A＝2×3×7，B＝2×5×7，A和B公有的质因数是2和7。所以A和B的最大公因数为2×7＝14。 最小公倍数是指两个或多个整数的共有质因数与各自独有质因数的乘积。A和B公有的质因数是2和7，A独有的质因数是3，B独有的质因数是5。那么A和B的最小公倍数为2×7×3×5＝210。 【规范解答】A＝2×3×7 B＝2×5×7 最大公因数：2×7＝14 最小公倍数：2×7×3×5＝210 和的最大公因数是14，和的最小公倍数是210。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）有两根长28厘米和35厘米的铁丝，现在要把它们截成长度相同的小段，并且两根都不能有剩余，问每小段最长是几厘米？两根铁丝一共可以截几段？ 【答案】7厘米；9段 【思路引导】因每小段最长长度是28和35的最大公因数，先分解质因数得28＝2×2×7、35＝5×7，二者共同质因数为7，故每小段最长7厘米；再分别计算28÷7＝4段、35÷7＝5段，总段数为4＋5＝9段，因此每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 【规范解答】28＝2×2×7，35＝5×7，最大公因数是7。 28厘米铁丝：28÷7＝4（段） 35厘米铁丝：35÷7＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 答：每小段最长是7厘米，两根铁丝一共可以截9段。 考点讲练十六 公倍数与最小公倍数 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·海南三亚·期中）高新二小利用假期修缮校舍。给一间长80分米，宽55分米的教室内铺同样大小的正方形地砖，铺的时候地砖要完整而没有剩余，地砖边长最大是几分米？ 【答案】5分米 【思路引导】根据题意，给长80分米，宽55分米的教室地面铺正方形地砖，地砖要完整而没有剩余，则地砖的边长是80和55的公因数；求地砖的最大边长，就是求80和55的最大公因数；先把80和55分解质因数，然后把它们的公有质因数的连乘，积就是这两个数的最大公因数，据此解答。 【规范解答】80＝2×2×2×2×5 55＝5×11 80和55的最大公因数是5； 即地砖边长最大是5分米。 答：地砖边长最大是5分米。 【变式】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·陕西榆林·期中）3和9的最小公倍数是( )；8和12的最大公因数是( )。 【答案】 9 4 【思路引导】两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公因数的，最大公因数是两个数公有质因数的乘积。据此解答。 【规范解答】3和9存在倍数关系，且9＞3，所以3和9的最小公倍数是9。 8＝2×2×2 12＝2×2×3 所以8和12的最大公因数是2×2＝4。 综上，3和9的最小公倍数是9；8和12的最大公因数是4。 考点讲练十七 用最小公倍数解决实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·安徽亳州·期中）吃枇杷的季节到了，下图是妈妈购买一斤小果枇杷的订单。到货后丽丽数了数，6个6个地数或8个8个地数都恰好数完。这斤枇杷共有（    ）个。 A．30 B．26 C．24 D．18 【答案】C 【思路引导】已知6个6个地数或8个8个地数都能恰好数完，说明枇杷个数是6和8的公倍数。6和8的公倍数有24，48，72…又因为一斤小果数量在20~30个之间，只有24符合要求。 【规范解答】6和8的公倍数有24，48，72…， 因为一斤小果数量在20~30个之间， 所以这斤枇杷共有24个。 故答案为：C 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·广东揭阳·期中）食品店运来一些面包，无论分给7个小朋友，还是分给13个小朋友，都正好分完。这些面包最少有多少个？ 【答案】91个 【思路引导】面包分给7个小朋友或者分给13个小朋友，都正好分完，所以面包的个数既是7的倍数，又是13的倍数，要求这些面包最少有多少个，就是求同时是7和13的倍数的数中的最小的数。 【规范解答】7的倍数：7、14、21、28、35、42、49、56、63、70、77、84、91、98； 13的倍数：13、26、39、52、65、78、91。 同时是7和13的最小倍数是91。 答：这些面包最少有91个。 1．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）下列三组数中，都是质数的一组是（    ）。 A．25和11 B．19和18 C．2和3 【答案】C 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其它因数，这样的数叫质数。一个大于1的自然数，除了1和它本身以外还有其它因数，这样的数叫合数。质数合数的区别在于因数的个数，质数只有2个因数，合数至少有3个因数。据此逐项判断解答。 【规范解答】A．25的因数有1、5、25，所以25是合数，11的因数只有1和11，所以11是质数，两个数一个数是合数，一个数是质数，不符合题意； B．19的因数只有1和19，所以19是质数，18的因数有1、2、3、6、9、18，所以18是合数，两个数一个数是合数，一个数是质数，不符合题意； C．2的因数只有1和2，所以2是质数，3的因数只有1和3，所以3是质数，两个数都是质数，所以2和3都是质数，符合题意。 故选：C。 2．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）明明说：“我今年12岁了。12的全部因数有1，2，4，6，12。”乐乐听他说完之后发现明明漏说了一个。明明漏说的是（    ）。 A．3 B．5 C．8 【答案】A 【思路引导】因数是指能整除一个数的整数。需要找出12的所有因数，并与明明给出的进行对比，确定漏说的因数。 【规范解答】12÷1＝12（整除） 12÷2＝6（整除） 12÷3＝4（整除） 12÷4＝3（整除） 12÷6＝2（整除） 12÷12＝1（整除） 因此，12的全部因数为1、2、3、4、6、12。明明给出的因数是1、2、4、6、12，漏说了3。 故答案为：A 3．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）下面选项正确的是（    ）。 A．2的倍数都是偶数，3的倍数都是奇数 B．一个数除以一个小数，商一定比被除数大 C．任何自然数不是质数就是合数 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变 【答案】D 【思路引导】A．不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数；2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此举例解答。 B．一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以小于1的数，商大于被除数，据此举例解答。 C．在数物体的个数时，用来表示物体个数的1、2、3、4、5、…叫做自然数，一个物体也没有，用“0”表示；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有其他因数，这样的数叫做合数；据此举例解答。 D．根据平移特征：平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变，据此解答。 【规范解答】A．6是偶数，6是3的倍数，所以2的倍数都是偶数，3的倍数，不一定是奇数，原说法错误。 B．3÷1.5＝2，因为3＞2，所以一个数除以一个小数，商不一定比被除数大，原说法错误。 C．1是自然数，1既不是质数，也不是合数，原说法错误。 D．平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变，原说法正确。 正确的是平移前后，图形的大小、形状不变，位置改变。 故答案为：D 4．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（    ）。 A．14和56 B．4和17 C．1.8和0.6 D．4和0.8 【答案】A 【思路引导】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。 【规范解答】A.  56÷14＝4，商是整数，所以56是14的倍数，14是56的因数，二者有因数和倍数的关系，符合； B.  17不能被4整除，所以17不是4的倍数，4不是17的因数，不符合； C.  因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，1.8和0.6是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合； D.  因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，0.8是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合。 因此，两个数是因数和倍数关系的是14和56。 5．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）在1～10这些自然数中，有( )个合数。 【答案】5 【思路引导】一个自然数如果除了1和它本身还有其它的因数，那么这个自然数叫做合数，据此解答。 【规范解答】在1～10这些自然数中，合数有：4、6、8、9、10共5个。 6．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以6人一排，也可以8人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40~50之间，五（1）班有( )人。 【答案】48 【思路引导】根据题意，这个班的人数可以整除6，也可以整除8，在40~50之间找出既是6的倍数也是8 的倍数的数。 【规范解答】6×8＝48（人） 40＜48＜50 五（1）班有48人。 7．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）辉辉一家准备坐火车去上海旅行。购票时辉辉发现从徐州开往上海的车次用奇数表示，从上海开往徐州的车次用偶数表示。他还发现，不同字母开头的火车表示行驶速度不同：G——高速动车；D——动车；Z——直达特快；T——特快列车；K——快速列车。下面的车次有( )个是从徐州出发的。 ①D181    ②G104    ③G376    ④K737    ⑤G222 【答案】2 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，据此解答。 【规范解答】由分析可得：D181、G104、G376、K737、G222中，奇数有181，737，所以下面的车次有2个是从徐州出发的。 8．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 26＝( )×( )        66＝( )×( )×( ) 【答案】 2 13 2 3 11 【思路引导】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，即可把合数分解为质因数的乘积；100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。据此选择合适的质数，即可解决问题。 【规范解答】26＝2×13 66＝2×3×11 9．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）手机上常见的屏幕解锁方式有密码解锁、图案解锁、指纹解锁等。周阿姨为自己的手机设置了一个四位数的屏幕解锁密码。从左往右数，第一位数既是偶数，又是质数；第二位数是最小的合数；第三位既不是质数，也不是合数，但也不是0；第四位数既是奇数，又是合数。周阿姨设置的屏幕解锁密码是( )。 【答案】2419 【思路引导】解答这道题的关键在于，要根据每个数位给出的条件，从1~9的数字中筛选出唯一符合条件的数，从而组成四位数密码。在所有自然数中，既是偶数又是质数的数只有 2。除了1和它本身还有别的因数的数叫合数，最小的合数是 4。1既不是质数也不是合数，且题目说明不是0，所以这个数是 1。在一位数中，既是奇数又是合数的数只有 9。 【规范解答】根据分析： 第一位：2 第二位：4 第三位：1 第四位：9 将四个数字组合，得到密码：2419 所以，周阿姨设置的屏幕解锁密码是2419。 10．（25-26五年级上·陕西西安·期中）a÷b＝9（a、b都是非零自然数），a就是倍数，b就是因数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据倍数和因数的定义，如果整数a能被整数b整除（b≠0），则a是b的倍数，b是a的因数，来判断。 【规范解答】因为倍数和因数是相互依存的，不能单独说“a就是倍数，b就是因数”，正确的说法应该是“a是b的倍数，b是a的因数”，题干中缺少了相互依存的限定，因此说法错误。 故答案为：× 11．（25-26五年级上·陕西榆林·期中）将18块饼干和24个苹果平均分给若干个小朋友，如果饼干和苹果都没有剩余，且保证分到饼干和苹果的小朋友人数相同，最多能分给8个小朋友。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】平均分给若干个小朋友，饼干和苹果都没有剩余，表示小朋友的人数必须是饼干总数（18块）和苹果总数（24个）的公因数。要求最多的人数，即求18和24的最大公因数。如哪两个数的积是18，那么这两个数都是18的因数。用这样的方法分别找到这两个数所有的因数，再找出公因数即可。 【规范解答】18的因数有：1、2、3、6、9、18； 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24； 18和24的公因数有：1、2、3、6；最大公因数是6。 将18块饼干和24个苹果平均分给若干个小朋友，如果饼干和苹果都没有剩余，且保证分到饼干和苹果的小朋友人数相同，最多能分给6个小朋友。原题干说法错误。 故答案为：× 12．（24-25五年级下·山东枣庄·期中）求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 36和60        54和72          27和72           44和77 【答案】36和60：最大公因数12，最小公倍数180；54和72：最大公因数18，最小公倍数216；27和72：最大公因数9，最小公倍数216；44和77：最大公因数11，最小公倍数308 【思路引导】求两个数的最大公因数和最小公倍数，可使用分解质因数法。先把每个数分解成若干个质数相乘的形式，最大公因数是两个数公有的质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。 36和60，分解质因数：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5。公有的质因数为2、2、3，36独有的质因数是3，60独有的质因数是5。 54和72，分解质因数：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为2、3、3，54独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2。 27和72，分解质因数：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3。公有的质因数为3、3，27独有的质因数是3，72独有的质因数是2、2、2。 44和77，分解质因数：44＝2×2×11，77＝7×11。公有的质因数为11，44独有的质因数是2、2，77独有的质因数是7。 【规范解答】36和60：36＝2×2×3×3，60＝2×2×3×5 最大公因数：2×2×3＝12 最小公倍数：2×2×3×3×5＝180 54和72：54＝2×3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：2×3×3＝18 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 27和72：27＝3×3×3，72＝2×2×2×3×3 最大公因数：3×3＝9 最小公倍数：2×2×2×3×3×3＝216 44和77：44＝2×2×11，77＝7×11 最大公因数：11 最小公倍数：2×2×7×11＝308 36和60最大公因数12，最小公倍数180。 54和72最大公因数18，最小公倍数216。 27和72最大公因数9，最小公倍数216。 44和77最大公因数11，最小公倍数308。 13．（25-26五年级上·山西晋城·期中）阅读材料，回答问题。 “孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，是数学家阿尔方•德•波利尼亚克提出的。“孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，且，所以3和5就是一对孪生质数。 通过阅读以上信息，想一想：20以内还有几对孪生质数，请写出来。（3和5除外） 【答案】三对；分别是5和7；11和13；17和19 【思路引导】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 先根据质数的定义列举出20以内所有的质数，再根据“孪生质数”的定义，找出相差为2的两个质数即可。 【规范解答】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19； 其中相差为2的两个质数有：5－3＝2，7－5＝2，13－11＝2，19－17＝2； 所以，20以内的3和5、5和7、11和13、17和19都是一对孪生质数。 答：3和5除外，20以内还有三对孪生质数，分别是5和7，11和13，17和19。 14．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）小明的爷爷喜欢养花。爷爷说：“兰花要4天浇一次水，君子兰要6天浇一次水。”如果3月2日爷爷同时给这两种花浇了水。那么至少3月几日爷爷应同时再给这两种花浇水？ 【答案】14日 【思路引导】求出兰花和君子兰浇水间隔时间的最小公倍数是同时浇水的间隔时间，起点时间＋经过时间＝终点时间。公有质因数和各自独有的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。 【规范解答】4＝2×2 6＝2×3 2×2×3＝12（天） 3月2日＋12天＝3月14日 答：至少3月14日爷爷应同时再给这两种花浇水。 15．（25-26五年级上·安徽亳州·期中）冰糖葫芦又叫糖葫芦，是中国传统小吃，起源于南宋。刘爷爷准备了90颗山楂制作糖葫芦，如果每8颗穿成一串，能正好穿完吗？如果每6颗穿成一串，能正好穿完吗？为什么？ 【答案】每8颗穿成一串：不能正好穿完。 每6颗穿成一串：能正好穿完。 原因见详解 【思路引导】判断每8颗穿一串或每6颗穿一串是否能正好穿完，即判断90是否能被8整除和是否能被6整除。计算90÷8和90÷6，观察余数是否为0，即可得出结论。如果除法运算的余数为0，则山楂数量能被每串颗数整除，能正好穿完；否则，不能正好穿完。 【规范解答】90÷8＝11（串）……2（颗） 90÷6＝15（串） 答：如果每8颗穿成一串，不能正好穿完，如果每6颗穿成一串，能正好穿完。 原因：如果除法运算的余数为0，则山楂数量能被每串颗数整除，能正好穿完；否则，不能正好穿完。 16．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）航天任务的人员队列安排：航天任务表彰大会上，有48名航天工作者进行队列展示，要排成长方形队列，可以怎样排？（要求：每行或每列不得少于2人） 【答案】可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 【思路引导】要将48人分成每行或每列不少于2人的长方形队列，也就是将48分解成两个不小于2的整数的乘积，48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2，每个乘积对应一种行或列的组合方式。 【规范解答】48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8＝8×6＝12×4＝16×3＝24×2 答：可以排成2行24列、3行16列、4行12列、6行8列、8行6列、12行4列、16行3列、24行2列。 17．（24-25五年级下·江苏徐州·期中）一个长方形的周长是24厘米，它的长和宽的厘米数一个是合数、一个是质数，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】27平方厘米 【思路引导】长方形周长÷2＝长＋宽。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。长方形面积＝长×宽。 【规范解答】长与宽的和：24÷2＝12（厘米） 12＝11＋1＝10＋2＝9＋3＝8＋4＝7＋5＝6＋6 1和11：1既不是质数也不是合数，不符合题意； 2和10：2是质数，10是合数，符合题意； 3和9：3是质数，9是合数，符合题意； 4和8：4和8都是合数，不符合题意； 5和7：5和7都是质数，不符合题意； 6和6：6是合数，不符合题意。 计算符合题意的面积： 2×10＝20（平方厘米） 3×9＝27（平方厘米） 27＞20 答：这个长方形的面积最大是 27 平方厘米。 18．（25-26五年级上·山西吕梁·期中）算一算，拼一拼。用24个边长1厘米的小正方形能拼成多少种不同的长方形？写出你的思考过程。 【答案】4种；思考过程见详解 【思路引导】因数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么a、b是c的因数，如：4×9＝36，4和9是36的因数，据此先找出24的所有因数，即24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，这些因数组合分别对应长方形的长和宽，据此确定能拼成的长方形的个数。 【规范解答】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 长方形的长可能是24厘米，宽是1厘米；长可能是12厘米，宽是2厘米；长可能是8厘米，宽是3厘米，长可能是6厘米，宽是4厘米；所以可以拼成4种不同的长方形。 答：用24个边长1厘米的小正方形能拼成4种不同的长方形。 19．（25-26五年级上·陕西西安·期中）张大叔要把120个石榴装盒，他现有的包装盒有四种规格；A种包装每盒装4个，B种包装每盒装6个，C种包装每盒装8个，D种包装每盒装9个。选用哪种包装恰好能把120个石榴装完？符合要求的包装有几种？ 【答案】A、B、C；3种 【思路引导】要判断选用哪种包装恰好能把120个石榴装完，就是看120能否被每种包装每盒所装的个数整除，若能整除则该种包装符合要求。 【规范解答】A种：120÷4＝30（盒），没有余数，说明120能被4整除，所以A种包装符合要求。 B种：120÷6＝20（盒），没有余数，说明120能被6整除，所以B种包装符合要求。 C种：120÷8＝15（盒），没有余数，说明120能被8整除，所以C种包装符合要求。 D种：120÷9＝13（盒）……3（个），有余数，说明120不能被9整除，所以D种包装不符合要求。 答：选用A、B、C包装恰好能把120个石榴装完，符合要求的包装有3种。 20．（25-26五年级上·四川成都·期中）把36块月饼分装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？（盒子数大于1） 【答案】见解析 【思路引导】①找出36的所有因数（大于1）： 36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 根据“盒子数大于1”，筛选出符合条件的因数：2、3、4、6、9、12、18、36。 ②对应每种盒子数的装法： 装法规则：，需保证每个盒子装的数量是整数。 盒子数＝2：每个盒子装36÷2＝18块； 盒子数＝3：每个盒子装36÷3＝12块； 盒子数＝4：每个盒子装36÷4＝9块； 盒子数＝6：每个盒子装36÷6＝6块； 盒子数＝9：每个盒子装36÷9＝4块； 盒子数＝12：每个盒子装36÷12＝3块； 盒子数＝18：每个盒子装36÷18＝2块； 盒子数＝36：每个盒子装36÷36＝1块。 【规范解答】36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，盒子数大于1，装法如下： 每盒1块，需36个盒子； 每盒2块，需18个盒子； 每盒3块，需12个盒子； 每盒4块，需9个盒子； 每盒6块，需6个盒子； 每盒9块，需4个盒子； 每盒12块，需3个盒子； 每盒18块，需2个盒子；共8种装法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $