期中复习讲义03：长方体和正方体（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

期中复习讲义03：长方体和正方体 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2.正方体的定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有面完全相同，所有棱长度相等，也叫立方体。 3.长方体的特征： (1)顶点：8个（交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高）； (2)棱：12条，按长度可分为3组（4条长、4条宽、4条高），相对的棱长度相等； (3)面：6个，一般为长方形（可能有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等。 4.正方体的特征： (1)顶点：8个； (2)棱：12条，所有棱长度都相等； (3)面：6个，都是完全相同的正方形，所有面面积相等。 5.正方体与长方体的关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，就变成了正方体。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.长方体棱长总和公式：棱长总和 = 4×（长 + 宽 + 高），用字母表示为 ( C = 4(a + b + h) )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 2.正方体棱长总和公式：棱长总和 = 12×棱长，用字母表示为 ( C = 12a )（其中 ( a ) 为棱长）。 3.应用场景： (1)已知长、宽、高（或棱长），求棱长总和； (2)已知棱长总和及其中两个量（如长和宽），求第三个量（如高）； (3)计算框架结构（如铁丝围成的长方体/正方体框架）所需材料长度。 4.关键步骤：明确公式中各量的含义，代入已知数据计算，注意单位统一。 考点三、长方体和正方体的展开图 1.长方体展开图的特点：由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻（中间至少隔一个面），且展开后无重叠。 2.正方体展开图的类型（共11种）： (1)1-4-1型：1行1个正方形，中间1行4个正方形，最后1行1个正方形（6种）； (2)2-3-1型：1行2个正方形，中间1行3个正方形，最后1行1个正方形（3种）； (3)2-2-2型：每行2个正方形，共3行（1种）； (4)3-3型：每行3个正方形，共2行（1种）。 3.判断展开图能否折成正方体的方法： (1)相对的面在展开图中不相邻（如“Z”字形两端、“一”字形隔一个面的两个面是相对面）； (2)展开图中若出现“田”字形或“凹”字形，则不能折成正方体。 4.展开图与立体图的对应：展开图中的每个面对应立体图的一个面，通过标记“上、下、前、后、左、右”可确定对应关系。 考点四、计算长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2.长方体表面积公式：表面积 = 2×（长×宽 + 长×高 + 宽×高），用字母表示为 ( S = 2(ab + ah + bh) )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 3.正方体表面积公式：表面积 = 6×棱长×棱长，用字母表示为 ( S = 6a2 )（其中 ( a ) 为棱长）。 4.计算步骤： (1)确定长方体的长、宽、高或正方体的棱长； (2)分别计算每个面的面积（长方体相对面面积相等，可先算3个不同面的面积再乘2；正方体6个面面积相等，算一个面面积再乘6）； (3)求和得到表面积。 5.注意事项：计算时需区分表面积与侧面积（侧面积为前、后、左、右4个面的面积之和），单位需统一（如平方厘米、平方分米等）。 考点五、长方体和正方体表面积的应用 1.适用场景： (1)计算无盖长方体（如鱼缸、水池）或无底正方体（如烟囱）的表面积（需减去一个面的面积）； (2)计算不规则立体图形的表面积（如由多个小正方体组成的图形，需注意重叠面不重复计算）； (3)解决实际问题（如包装礼盒所需彩纸面积、粉刷房间墙壁面积、制作长方体/正方体容器所需材料面积等）。 2.关键步骤： (1)分析实际问题中需要计算哪些面的面积（如无盖长方体需计算5个面：1个底面+4个侧面）； (2)确定公式中的参数（长、宽、高或棱长）； (3)代入公式计算，结果需带单位。 3.注意事项：若题目中涉及“厚度忽略不计”，则直接按表面积公式计算；若有重叠部分（如拼接两个正方体），需减去重叠面的面积。 考点六、体积和体积单位的认识 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位： (1)立方米（ m3 ）：棱长为1米的正方体，体积是1立方米； (2)立方分米（ dm3 ）：棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米； (3)立方厘米（ cm3 ）：棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 3.体积单位的实际大小： (1)1 cm3 约为一个手指尖的大小； (2)1 dm3 约为一个粉笔盒的大小； (3)1 m3 约为一个洗衣机的大小。 4.体积单位的表示：用字母表示为 ( m3 )、( dm3 )、( cm3 )，计量较大物体的体积用 ( m3)，较小物体用 ( cm3)。 考点七、计算长方体和正方体的体积 1.长方体体积公式：体积 = 长×宽×高，用字母表示为 ( V = abh )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 2.正方体体积公式：体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为 ( V = a3)（其中 ( a ) 为棱长，( a3 ) 读作“( a )的立方”）。 3.统一体积公式：长方体和正方体的体积都可以表示为“底面积×高”，即 ( V = Sh )（其中 ( S ) 为底面积，( h ) 为高；长方体底面积 ( S = ab )，正方体底面积 ( S = a2 )）。 4.计算步骤： (1)确定长方体的长、宽、高或正方体的棱长（或底面积和高）； (2)代入对应公式计算； (3)结果带体积单位（如 ( cm3 )、( dm3 )、( m3 )）。 5.注意事项：单位需统一，底面积与高的单位要对应（如底面积单位为 ( dm2 )，高单位为 ( dm )，体积单位为 ( dm3 )）。 考点八、容积和容积单位的认识 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。 2.常用容积单位： (1)升（L）：棱长为1分米的正方体容器（厚度忽略不计），容积是1升； (2)毫升（mL）：棱长为1厘米的正方体容器（厚度忽略不计），容积是1毫升。 3.容积与体积的区别： (1)测量对象：体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部容纳物体的体积； (2)测量方法：体积从物体外部测量长、宽、高，容积从容器内部测量长、宽、高（若容器厚度忽略不计，体积=容积）； (3)单位：体积单位用 ( m3 )、( dm3 )、( cm3 )，容积单位用L、mL（较大容积也可用 ( m3 )）。 4.容积单位与体积单位的关系：1L = 1 dm3 ，1mL = 1 cm3 。 考点九、体积与容积单位间的进率及换算 1.相邻体积单位间的进率： (1)1立方米 = 1000立方分米（ 1m3 = 1000dm3）； (2)1立方分米 = 1000立方厘米（ 1dm3 = 1000cm3 ）。 2.相邻容积单位间的进率：1升 = 1000毫升（ 1L = 1000mL ）。 3.单位换算方法： (1)高级单位化低级单位：乘进率（如 0.5m3 = 0.5×1000 = 500dm3 ）； (2)低级单位化高级单位：除以进率（如 3000cm3 = 3000÷1000 = 3dm3）。 4.常见单位换算： (1) 2.4m3 = 2400dm3， 500dm3 = 0.5m3 ； (2) 3.6dm3= 3600cm3 ， 7000cm3 = 7dm3 ； (3)4.5L = 4500mL ， 6000mL = 6L 。 考点十、长方体和正方体体积（容积）的应用 1.适用场景： (1)计算规则物体的体积（如长方体石块、正方体木块）； (2)计算容器的容积（如长方体水箱的盛水量、正方体盒子的容纳量）； (3)解决实际问题（如求不规则物体的体积——排水法：物体体积=上升部分水的体积；计算挖土方、填沙等体积）。 2.关键步骤： (1)判断是求体积还是容积（容器内部测量为容积，外部测量为体积，忽略厚度时两者相等）； (2)确定长、宽、高（或底面积和高），若为不规则物体，用排水法测量（需记录水面上升前后的刻度）； (3)代入体积公式计算，结果带单位（体积单位或容积单位）。 3.注意事项：单位统一，排水法中容器需足够大，确保物体完全浸没且水不溢出；计算容积时若容器有厚度，需从内部测量长、宽、高。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体有( )个顶点，( )个面，( )条棱；相对的面( )，相对的棱( )相等且互相平行。 【答案】 8 6 12 相等 长度 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同；长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长，宽，高；长方体相邻的两条棱互相垂直。 【详解】长方体有8个顶点，6个面，12条棱；相对的面相等，相对的棱长度相等且互相平行。 【变式训练1】魔方是常见的( )体，它有( )个面，( )条棱，8个( )。 【答案】 正方 6 12 顶点 【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。根据正方体的特征：有6个面，这6个面都是正方形，且面积相等；有12条棱，这些棱的长度都相等；有8个顶点，据此解答。 【详解】魔方是常见的（正方）体，它有（6）个面，（12）条棱，8个（顶点）。 【变式训练2】手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】长方体有6个面，分为3组完全相同的对面，每组对面的长和宽分别对应长方体的长、宽、高的两两组合。先明确长方体的长、宽、高，再找出对应的三组面的尺寸，最后与木板尺寸进行匹配。 【详解】长方体三组对面尺寸：4dm×2dm、4dm×3dm、2dm×3dm ①4dm×2dm：与长方体第一组对面尺寸一致 ②3dm×3dm：长方体无此尺寸的面 ③2dm×3dm：与长方体第三组对面尺寸一致 ④4dm×3dm：与长方体第二组对面尺寸一致 需要选择的木板尺寸有①③④。 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】潮汕茶文化全国闻名，现在网购发达，商家会把茶叶打包邮寄给全国各地的顾客朋友。如图，一个装茶叶的长方体纸箱，长5分米，宽4分米，高2分米。为确保邮寄时不受损坏，每个面都用胶带粘成“十”字形。至少需要多长的胶带？（接口处忽略不计） 【答案】44分米 【分析】求胶带长度相当于求长方体棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4。 【详解】（5＋4＋2）×4 ＝11×4 ＝44（分米） 答：至少需要44分米长的胶带。 【变式训练1】一个长方体的棱长之和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是( )厘米。 【答案】30 【分析】根据长方体的特征可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可得出：长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算即可求解。 【详解】120÷4＝30（厘米） 相交于一个顶点的三条棱的长度之和是（30）厘米。 【变式训练2】一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。其中长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm，长方体的棱长之和是( )cm，正方体的棱长是( )cm。 【答案】 60 5 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此列式计算。 【详解】（6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 60÷12＝5（cm） 长方体的棱长之和是60cm，正方体的棱长是5cm。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】将下图的展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？请你先想一想，再填一填。 1和( )，2和( )，3和( )。 【答案】 6 4 5 【分析】此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，正方体展开图找相对面的规律：“同层隔一面”、“异层隔两面”、“相邻不相对”，对于不在同一行的，“Z”字端处的小正方形是正方体的对面。据此解答即可。 【详解】由分析可知：1号面与6号面相对，2号面与4号面相对，3号面与5号面相对。 【变式训练1】下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。据此解答。 【详解】 A．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； B．属于“1－4－1”结构，可以折成正方体； C．不能折成正方体，不属于正方体展开图的类型； D．属于“1－3－2”结构，可以折成正方体。 故答案为：C 【变式训练2】如图所示，是一个长方体纸盒展开图的一部分，请完成下面三个问题。 问题1：在图中把长方体纸盒展开图剩余的面补画完整。 问题2：在长方体纸盒中，面A和面（    ）是相对的面。 问题3：将长方体纸盒沿棱剪开得到完整的展开图，一共要剪开（    ）条棱。 【答案】画图见详解；C；7 【分析】（1）长方体展开图有6个面，已知A、B、C、D四个面，需要补充两个面：一个与B相对的面（放在D的左侧，和B形状大小一致），一个与D相对的面（放在C的下面，和D形状大小一致），即可补全完整的展开图。 （2）在长方体展开图中，相对的面不相邻，面A和面C在展开图中上下分布且不相邻，所以面A和面C是相对的面。 （3）长方体共有12条棱，展开图需要保留5条棱作为连接，所以剪开的棱数＝总棱数－保留的棱数，即12－5＝7条。 【详解】（1）如图： （2）在长方体纸盒中，面A和面C是相对的面。 （3）12－5＝7（条） 将长方体纸盒沿棱剪开得到完整的展开图，一共要剪开7条棱。 题型四、计算长方体和正方体的表面积 【例题4】计算下面长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 【答案】1240平方厘米；1350平方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，由此代入数据即可解答。 【详解】（30×8＋30×10＋10×8）×2 ＝（240＋300＋80）×2 ＝620×2 ＝1240（平方厘米） 15×15×6 ＝225×6 ＝1350（平方厘米） 【变式训练1】如图所示，是一个长方体的展开图，这个长方体有两个相对的面是正方形。这个长方体的表面积是( )。 【答案】432 【分析】先根据展开图中24cm是4条相等的边长，用24除以4求出正方形的边长是6cm，也就是长方体的宽和高都是6cm，长方体的长是15cm，再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数值，求出长方体的表面积。 【详解】24÷4＝6（cm） （15×6＋15×6＋6×6）×2 ＝（90＋90＋36）×2 ＝216×2 ＝432（cm2） 【变式训练2】计算下面图形的表面积。 【答案】216平方分米 【分析】根据图中可得：在一个棱长为6分米的正方体的右上角挖去一个长2分米、宽2分米、高3分米的长方体，此时增加的三个面积即为原来的面积，则图形的表面积＝正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此计算得出答案。 【详解】（平方分米） 所以该图形的表面积是216平方分米。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】教室长10米，宽8米，高3.5米，要粉刷教室的四周墙壁和天花板，除去门窗22平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果粉刷1平方米需要38元，粉刷教室需要多少元？ 【答案】184平方米；6992元 【分析】根据“天花板＋四周墙壁－门窗面积”算出粉刷的总面积，再根据“粉刷面积×38”计算出总费用。 【详解】10×8＋10×3.5×2＋8×3.5×2 ＝80＋35×2＋28×2 ＝80＋70＋56 ＝150＋56 ＝206（平方米） 206－22＝184（平方米） 184×38＝6992（元） 答：要粉刷的面积是184平方米，粉刷教室需要6992元。 【变式训练1】学校食堂准备做两个无底无盖的长方体铁皮烟囱，长是3分米，宽是2分米，高是1.5米，需要铁皮多少平方分米？ 【答案】300平方分米 【分析】无底无盖的长方体铁皮烟囱，需要铁皮的面积为长方体的侧面积。根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入计算出一个铁皮烟囱需要的铁皮面积，再乘2，求出两个铁皮烟囱共需的铁皮面积。注意单位的统一，1米＝10分米。 【详解】1.5米＝15分米 （15×3＋15×2）×2 ＝（45＋30）×2 ＝75×2 ＝150（平方分米） 150×2＝300（平方分米） 答：需要铁皮300平方分米。 【变式训练2】秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位。秦始皇兵马俑博物馆计划打造正方体展示柜来陈列珍贵兵马俑文物复制品，每个展示柜的金属框架棱长总和是36米。给展示柜安装钢化玻璃，每平方米玻璃成本是150元，制作一个展示柜的玻璃需要花费多少元？ 【答案】8100元 【分析】根据题意可知正方体的棱长和为米。正方体的棱长总和＝棱长，因此可以求出正方体的棱长是多少。因为玻璃的价格按每平方米算，所以要先求出正方体的表面积，根据表面积＝棱长×棱长计算。然后用表面积×每平方米玻璃的成本，可以知道要花费多少元。 【详解】（米） （元） 答：制作一个展示柜的玻璃需要花费元。 题型六、体积和体积单位的认识 【例题6】下面物品中，体积最接近1dm3的是（    ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 【答案】B 【分析】要判断哪个物品体积最接近1dm3，需先对各选项物品的体积大小有基本认知，结合体积单位1dm3（可想象为棱长1dm的正方体体积）的实际大小，对比各物品体积。 【详解】A．校徽很薄，体积远小于1dm3，一般用平方厘米衡量面积，排除。 B．一本《辞海》字典，长、宽、厚大概在几分米的尺度，其体积接近1dm3。 C．橡皮擦体积较小，通常以立方厘米为单位，远小于1dm3，排除。 D．洗衣机体积很大，远大于1dm3，一般用立方米或立方分米衡量，但数值远大于1，排除。 所以体积最接近1dm3的是一本辞海字典。 故答案为：B 【变式训练1】生活中处处有数学，下面物品中，体积最接近1立方厘米的是（    ）。 A．西瓜 B．洗衣机 C．粉笔盒 D．骰子 【答案】D 【分析】棱长为1厘米的正方体的体积是1立方厘米。手指尖的体积大约是1立方厘米，据此再结合生活实际，解题即可。 【详解】A．西瓜体积较大，远大于1立方厘米，一般用立方分米衡量，但数值远大于1，不符合题意； B．洗衣机体积很大，远大于1立方厘米，一般用立方米或立方分米衡量，但数值远大于1，不符合题意； C．粉笔盒的体积大约是1立方分米，不符合题意； D．骰子的体积大约是1立方厘米，符合题意； 所以体积最接近1立方厘米的是骰子。 故答案为：D 【变式训练2】在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，( )占的空间最大，( )占的空间最小。 【答案】 洗衣机 牙膏盒 【分析】物体所占空间的大小叫做体积。根据生活常识可知，洗衣机是大型家电，微波炉的体积比洗衣机小一些，牙膏盒是小物品，体积最小，据此解答。 【详解】在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，（洗衣机）占的空间最大，（牙膏盒）占的空间最小。 题型七、计算长方体和正方体的体积 【例题7】计算下面图形的体积。（单位：dm） 【答案】108dm3 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】6×3×6 ＝18×6 ＝108（dm3） 【变式训练1】计算下面各图形的表面积和体积。 【答案】长方体表面积358dm2，体积420dm3；正方体表面积384dm2，体积512dm3 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高； 正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】长方体表面积：（12×5＋12×7＋5×7）×2 ＝（60＋84＋35）×2 ＝179×2 ＝358（dm2） 长方体体积：12×5×7 ＝60×7 ＝420（dm3） 正方体表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（dm2） 正方体体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 【变式训练2】求下列图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】 220平方厘米；187立方厘米 【分析】这个组合图形由下方的长方体和上方的正方体叠放而成，计算时需要注意： 表面积：不能直接用两个立体的表面积相加，因为正方体的底面和长方体的顶面重合，会被遮挡，需要减去2个重合的正方形面积（或者：长方体表面积＋正方体4个侧面的面积）。 体积：直接用长方体体积＋正方体体积即可，叠放不影响总体积。 正方体的表面积：（为棱长） 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 题型八、容积和容积单位的认识 【例题8】在下面括号里填上合适的单位名称。 (1)一个西瓜的体积大约是4( )。 (2)一台冰箱的容积大约是210( )。 (3)一瓶矿泉水的容积大约是500( )。 【答案】(1)立方分米/dm3 (2)升/L (3)毫升/mL 【分析】一个粉笔盒的体积约为1立方分米，所以计量一个西瓜的体积用“立方分米”作单位比较合适； 容器所能容纳物体的体积叫做它们的容积，1升是1立方分米，两瓶矿泉水的容积是1升，所以计量一台冰箱的容积用“升”作单位比较合适； 20滴水大约是1毫升，所以计量一瓶矿泉水的容积用“毫升”作单位比较合适。 【详解】（1）一个西瓜的体积大约是4立方分米。 （2）一台冰箱的容积大约是210升。 （3）一瓶矿泉水的容积大约是500毫升。 【变式训练1】在括号里填上合适的单位。 小芳家厨房地面的面积约是12( )，橱柜上的烤箱长约4( )，容量大约是30( )，柜子里的保鲜盒体积大约是2( )。 【答案】 平方米/m2 分米/dm 升/L 立方分米/dm3 【分析】1平方米的地面上大约能站12名同学，厨房地面的面积用平方米作单位合适； 张开的大拇指和食指之间的距离大约是1分米，烤箱的长度用分米作单位合适； 1升液体的体积是1立方分米，烤箱的容量用升作单位合适； 1个粉笔盒的体积接近1立方分米，保鲜盒的体积用立方分米作单位合适。 【详解】小芳家厨房地面的面积约是12平方米，橱柜上的烤箱长约4分米，容量大约是30升，柜子里的保鲜盒体积大约是2立方分米。 【变式训练2】在括号里填上适当的体积单位或容积单位。 VCD机的体积约是4( )。        小矿泉水的容积约是500( )。 矿泉水的容积约是18( )。        车厢的体积约是15( )。 【答案】 立方分米/dm3 毫升/mL 升/L 立方米/m3 【分析】1立方分米大概是一个粉笔盒的大小，1毫升大概是1滴水的容量，1升大概是两瓶500毫升矿泉水的容量，1立方米大概是一个洗衣机的大小，据此解答。 【详解】VCD机的体积约是4立方分米； 小矿泉水的容积约是500毫升； 矿泉水的容积约是18升； 车厢的体积约是15立方米。 题型九、体积与容积单位间的进率及换算 【例题9】320mL＝( )L＝( )      2.05 ＝( )( ) 【答案】 0.32 320 2 50 【分析】（1）低级单位换算成高级单位，要除以进率，mL和L之间的进率是1000。320÷1000＝0.32L。1mL＝1，所以320mL＝320。 （2）高级单位换算成低级单位，要乘进率，和之间的进率是1000。先把2.05拆分成整数部分和小数部分，2.05＝2＋0.05，0.05×1000＝50。 【详解】320÷1000＝0.32（L），320mL＝320，所以320mL＝320÷1000＝0.32L＝320。 2.05＝2＋0.05，0.05×1000＝50（），所以2.05＝250。 【变式训练1】280mL＝( )     72＝( )     0.02＝( ) 960mL＝( )L     5.4＝( )L＝( )mL 【答案】 280 0.072/ 20000 0.96/ 5.4// 5400 【分析】单位换算时，高级单位换算成低级单位要乘进率，低级单位换算成高级单位要除以进率。 1dm3＝1000cm3，1m3＝1000000cm3，1cm3＝1mL，1dm3＝1L，1L＝1000mL。 【详解】①1cm3＝1mL，所以280mL＝（280）cm3； ②1dm3＝1000cm3，72÷1000＝0.072，所以72cm3＝（0.072）dm3； ③1m3＝1000000cm3，0.02×1000000＝20000，所以0.02m3＝（20000）cm3； ④1L＝1000mL，960÷1000＝0.96，所以960mL＝（0.96）L； ⑤1dm3＝1L，1L＝1000mL，所以5.4dm3＝（5.4）L＝（5400）mL。 【变式训练2】( )＝0.28      ＝( )＝( ) 5升－300毫升＝( )毫升  5升40毫升＝( )毫升 【答案】 280 4600 4600 4700 5040 【分析】高级单位换算成低级单位要乘进率，低级单位换算成高级单位要除以进率。 【详解】因为，所以280＝0.28。 因为，所以＝4600，又因为1＝1，所以4600＝4600，即＝4600＝4600。 因为5升毫升，5000－300＝4700，所以5升－300毫升＝4700毫升。 因为5升毫升，5000＋40＝5040，所以5升40毫升＝5040毫升。 题型十、长方体和正方体体积（容积）的应用 【例题10】一个游泳池长40米，宽15米，深2米，这个游泳池的占地面积是多少平方米？如果要向这个游泳池注入1.8米高的水，需要多少升水？ 【答案】600平方米；1080000升 【分析】求这个游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“”求出游泳池的底面积；把注入的水看作一个长方体，根据“”求出注入水的体积，最后根据“1立方米＝1000立方分米＝1000升”把体积单位转化为容积单位。 【详解】40×15＝600（平方米） 600×1.8＝1080（立方米） 1080立方米＝1080000立方分米＝1080000升 答：这个游泳池的占地面积是600平方米，需要1080000升水。 【变式训练1】如图，左边为长方体玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，里面水深4.8分米，将右边棱长是5分米的正方体铁块缓慢投入水中，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】57.8升 【分析】首先求出正方体铁块的体积；然后用长方体玻璃缸的体积减去其中水的体积，求出长方体玻璃缸的剩余空间体积；最后用铁块的体积减去玻璃缸的剩余空间体积，即可求出溢出的水的体积。 【详解】（立方分米） （立方分米） （立方分米）（升） 答：缸里的水会溢出57.8升。 【变式训练2】科学课上，同学们要研究船的载重量和容积的关系。在准备实验器材时，要在边长为12厘米的正方形铝箔纸的四个角处剪去4个相同的小正方形，制作出形如图1所示的3种铝箔船。一位同学画出了其中一种设计方案的草图（如图2），按此设计方案制作出的铝箔船用了多少平方厘米铝箔纸？容积是多少？（不考虑缝隙和损耗） 【答案】表面积：108平方厘米；容积：108立方厘米 【分析】观察题意可知，制作铝箔船所用铝箔纸的面积等于原正方形铝箔纸的面积减去4个剪去的小正方形的面积，根据正方形面积公式：正方形面积＝边长×边长，据此求出实际使用的铝箔纸面积；铝箔船的长和宽为（12－3×2）厘米，高为3厘米，根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】12－3×2 ＝12－6 ＝6（厘米） 表面积：12×12－3×3×4 ＝144－36 ＝108（平方厘米） 体积：6×6×3 ＝36×3 ＝108（立方厘米） 答：按此设计方案制作出的铝箔船用了108平方厘米铝箔纸，容积是108立方厘米。 提升练习 1．牛奶外包装上标注“净含量250mL”，这里的250mL指的是（    ）。 A．牛奶盒的质量 B．牛奶盒的表面积 C．牛奶盒的容积 D．牛奶的体积 【答案】D 【分析】根据题意，液体的体积一般用容积单位。“净含量250mL”指的是牛奶的体积。 【详解】A．质量的单位是克、千克等质量单位，mL是体积或容积单位。该选项描述错误。 B．表面积的单位应为平方厘米这类面积单位，单位和描述都不对。该选项描述错误。 C．容积是容器所能容纳物体的体积，牛奶盒的容积大于净含量，净含量描述的不是盒子本身的容积。该选项描述错误。 D．净含量指包装内所含商品的体积，这里250 mL就是指盒内牛奶的体积，该选项描述正确。 2．如图是一个正方体的展开图，这个正方体的2号面的对面是（    ）号面。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题目中给出的正方体展开图，观察到2号面与3号面、4号面和1号面相连，折叠后与5号面也相连，但并没有与6号面直接相连。根据正方体的结构特点，与一个面互为对面的面是与它没有直接相连的面。因此可以得出结论，2号面的对面是6号面。 【详解】解：首先排除与2号面相连的1、3、4号面，而5号面在折叠后也与2号面相连，故2号面的对面是6号面。 故答案为：D 3．一个长方体的长、宽都扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，体积（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的2倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】根据积的变化规律，由“长方体体积＝长×宽×高”可知，一个长方体的高不变，它的长和宽都扩大到原来的2倍，它的体积扩大到原来的4倍，此时，如果再把高缩小到原来的，它的体积扩大到原来的2倍。 【详解】根据分析可知，一个长方体的长、宽都扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，体积扩大到原来的2倍。 4．在括号里填上适当的数或单位。 4700cm3＝( )dm3    5890mL＝( )L＝( )dm3 一块橡皮的体积约是6( )   一个矿泉水瓶的容积约是550( ) 【答案】 4.7 5.89 5.89 立方厘米/ cm3 毫升/mL 【分析】低级单位换算成高级单位要除以进率。1个骰子的体积大约是1立方厘米，橡皮是较小的物体，体积通常用立方厘米作单位。矿泉水瓶是常见的容器，容积通常用毫升作单位。 【详解】因为，所以4700cm3＝4.7dm3。 因为，所以5890mL＝5.89L，又因1L＝1 dm3，所以5.89L＝5.89dm3， 即，5890mL＝5.89L＝5.89dm3。 一块橡皮的体积约是6立方厘米。 一个矿泉水瓶的容积约是550毫升。 5．要做一个底面周长为18厘米、高为3厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米；用这根铁丝做成一个正方体框架，这时正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 48 64 【分析】（1）需要的铁丝的长度就是长方体框架的棱长总和。长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长＋宽＝底面周长÷2。 （2）根据题意，铁丝长度不变，即正方体的棱长总和等于长方体的棱长总和。正方体的棱长＝棱长总和÷12，再根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”计算。 【详解】（1）18÷2＝9（厘米） （9＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） （2）48÷12＝4（厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 6．把一个正方体木料锯成两个相等的长方体，表面积增加了32平方分米，这个正方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】64 【分析】根据题意，把一个正方体木料锯成两个相等的长方体，那么表面积会增加2个截面的面积，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，也就是正方体一个面的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，推导出正方体的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出这个正方体木料的体积。 【详解】正方体一个面的面积：32÷2＝16（平方分米） 因为16＝4×4，所以正方体的棱长是4分米； 正方体木料的体积：4×4×4＝64（立方分米） 7．一个长方体的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 148 120 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出它的表面积和体积。 【详解】长方体的表面积： （6×5＋6×4＋5×4）×2 ＝（30＋24＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方分米） 长方体的体积： 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） 8．从一个长9厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】64 【分析】在长方体中切下一个最大的正方体，那么当正方体的棱长等于长方体的长、宽、高中最短的一条边，即正方体的棱长是4厘米，根据正方体的体积公式＝棱长×棱长×棱长，把数代入公式即可求解。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 9．一个长方体的底面是边长为2分米的正方形，把它的侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 72 32 【分析】因为侧面展开后是一个正方形，所以长方体的高等于底面周长。先根据“正方形的周长＝边长×4”用2×4计算出底面周长；然后根据“正方形的面积＝边长×边长”分别计算出底面正方形的面积和侧面展开的正方形面积；再用底面正方形的面积乘2计算出长方体上下两个面的面积；最后将上下两个面的面积和侧面展开的正方形面积求和即可计算长方体的表面积。 根据“长方体的体积＝底面积×高”用底面正方形的面积乘长方体的高即可计算长方体的体积。 【详解】2×4＝8（分米） 2×2＝4（平方分米） 4×2＋8×8 ＝8＋64 ＝72（平方分米） 4×8＝32（立方分米） 一个长方体的底面是边长为2分米的正方形，把它的侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是72平方分米，体积是32立方分米。 10．一个长方体的装水容器，长8分米，宽5分米，把一石块完全放入水中后水面从原来的6分米上升为10.5分米，石块的体积是( )立方分米。 【答案】180 【分析】石块完全放入水中，上升的水的体积就是石块的体积。上升的水形成长方体，长方体体积＝长×宽×高（这里“高”是水面上升的高度）。水面从6分米上升到10.5分米，上升高度为10.5－6分米；容器长8分米、宽5分米，所以石块体积＝长×宽×上升高度。 【详解】8×5×（10.5－6） ＝8×5×4.5 ＝40×4.5 ＝180（立方分米） 11．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】正方体的表面积：37.5cm2；体积：15.625cm3 表面积：85cm2；体积：50cm3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高；代入数据计算即可。 【详解】正方体的表面积： 2.5×2.5×6 ＝6.25×6 ＝37.5（cm2） 正方体的体积： 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（cm3） 长方体的表面积： （5×4＋5×2.5＋4×2.5）×2 ＝（20＋12.5＋10）×2 ＝42.5×2 ＝85（cm2） 长方体的体积： 5×4×2.5 ＝20×2.5 ＝50（cm3） 12．计算下列物体的体积和表面积。（单位：分米） 【答案】体积560立方分米；表面积460平方分米 【分析】观察图形，把图形右上角的缺口补齐，变成一个大长方体，那么组合体的体积＝大长方体的体积－右上角缺口处的小长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解； 把缺口处露出的两个面分别向外平移，那么组合体的表面积＝大长方体的表面积－两个6×5的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【详解】体积： 10×8×10－5×8×6 ＝800－240 ＝560（立方分米） 表面积： （10×8＋10×10＋8×10）×2－6×5×2 ＝（80＋100＋80）×2－5×6×2 ＝260×2－5×6×2 ＝520－60 ＝460（平方分米） 13．一根绳子长10米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果接头处要用掉绳子22厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米） 【答案】9个 【分析】先根据“1米＝100厘米”把10米转化为1000厘米，由图可知，每个礼盒需要绳子的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋接头处绳子的长度，这根绳子可以捆扎礼盒的数量＝绳子的总长度÷每个礼盒需要绳子的长度，余下的绳子不够捆扎一个礼盒时直接舍去，结果用“去尾法”取整数。 【详解】10米＝1000厘米 14×2＋12×2＋7×4＋22 ＝28＋24＋28＋22 ＝52＋28＋22 ＝80＋22 ＝102（厘米） 1000÷102≈9（个） 答：这根绳子最多可以捆扎9个这样的礼盒。 14．秋季开学之际，学校要粉刷其中一间教室的四壁和屋顶，教室的长、宽、高分别是14米、10米、3米，门窗和黑板的面积有40平方米，需要粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】244平方米 【分析】根据题意，粉刷教室的四壁和屋顶，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗和黑板的面积，就是需粉刷的面积。 【详解】14×10＋14×3×2＋10×3×2 ＝140＋84＋60 ＝284（平方米） 284－40＝244（平方米） 答：需要粉刷的面积有244平方米。 15．一间教室长12米，宽8米，高3米，在四面墙的下部贴上了1.2米高的瓷砖（门的位置有1.2平方米没贴），贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ 【答案】46.8平方米 【分析】要求的是贴瓷砖部分的面积，根据题中要求，是在四面墙的下部贴上了1.2米高的瓷砖，所以应求出4个侧面（高1.2米）的面积和，再减去门位置的1.2平方米。 【详解】（12＋8）×2×1.2－1.2 ＝20×2×1.2－1.2 ＝40×1.2－1.2 ＝48－1.2 ＝46.8（平方米） 答：贴瓷砖部分的面积是46.8平方米。 16．苗绣是中国苗族民间传承的刺绣技艺，主要流传于贵州省雷山县、贵阳市、剑河县等地。其被称为穿在身上的“无字史书”。张阿姨买了4幅苗绣，每幅都装在盒子里打算寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是18厘米、15厘米、4厘米，请你算一算至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】1596平方厘米 【分析】要使包装纸最少，需将4个盒子最大的面（18×15）尽可能重合，拼成一个大长方体，拼成一个新的长方体后，再观察长、宽、高的尺寸，再通过长方体表面积公式进行计算即可。 【详解】 新长方体尺寸：长18厘米；宽15厘米；高4×4＝16（厘米） 表面积： （18×15＋18×16＋15×16）×2 ＝（270＋288＋240）×2 ＝798×2 ＝1596 （平方厘米）​ 答：至少需要1596平方厘米的包装纸。 17．丽丽在超市买了一箱牛奶，里面有12盒，每盒是250毫升，丽丽为了检测牛奶的容积是否符合标准，拿出一盒牛奶把它倒进了从里面量长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体玻璃容器中，倒入牛奶的液面高度是多少才符合标准？ 【答案】5厘米 【分析】根据1毫升＝1立方厘米将单位换算成立方厘米。 长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入计算。 【详解】250毫升＝250立方厘米 250÷（10×5） ＝250÷50 ＝5（厘米） 答：倒入牛奶的液面高度是5厘米才符合标准。 18．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】(1)32.4分米 (2)0.812平方米 (3)水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米 【分析】（1）这个无盖长方体鱼缸缺少由长和宽组成的顶面，涂玻璃胶的棱是底面的两条长、两条宽和四条高，长度和＝长×2＋宽×2＋高×4。 （2）做这个无盖鱼缸需要的玻璃面积，等于底面的面积加上四个侧面的面积，所以玻璃的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再将单位从平方分米换算为平方米； （3）先根据长方体体积＝长×宽×高，分别求出鱼缸内现有水的体积和铁块的体积，再将两者相加得到总体积；再用长×宽×鱼缸高度求出鱼缸的总容积；最后比较水和铁块的总体积与鱼缸容积的大小，若总体积大于容积则水会溢出，溢出体积等于总体积减去鱼缸容积，若总体积小于或等于容积则水不会溢出，剩余体积等于鱼缸容积减去总体积。 【详解】（1）5.2×2＋3×2＋4×4 ＝10.4＋6＋16 ＝32.4（分米） 答：涂玻璃胶的长度是32.4分米。 （2）5.2×3＋（5.2×4＋3×4）×2 ＝15.6＋（20.8＋12）×2 ＝15.6＋32.8×2 ＝15.6＋65.6 ＝81.2（平方分米） 81.2平方分米＝0.812平方米 答：做这个鱼缸要用0.812平方米的玻璃。 （3）水的体积：5.2×3×3.5＝54.6（立方分米） 铁块体积：3.4×2×1.5＝10.2（立方分米） 水和铁块总体积：54.6＋10.2＝64.8（立方分米） 鱼缸总容积：5.2×3×4＝62.4（立方分米） 64.8＞62.4，所以水会溢出。 溢出体积：64.8－62.4＝2.4（立方分米） 答：水会溢出，溢出部分水的体积是2.4立方分米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义03：长方体和正方体 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2.正方体的定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有面完全相同，所有棱长度相等，也叫立方体。 3.长方体的特征： (1)顶点：8个（交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高）； (2)棱：12条，按长度可分为3组（4条长、4条宽、4条高），相对的棱长度相等； (3)面：6个，一般为长方形（可能有2个相对的面是正方形），相对的面面积相等。 4.正方体的特征： (1)顶点：8个； (2)棱：12条，所有棱长度都相等； (3)面：6个，都是完全相同的正方形，所有面面积相等。 5.正方体与长方体的关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高都相等时，就变成了正方体。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.长方体棱长总和公式：棱长总和 = 4×（长 + 宽 + 高），用字母表示为 ( C = 4(a + b + h) )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 2.正方体棱长总和公式：棱长总和 = 12×棱长，用字母表示为 ( C = 12a )（其中 ( a ) 为棱长）。 3.应用场景： (1)已知长、宽、高（或棱长），求棱长总和； (2)已知棱长总和及其中两个量（如长和宽），求第三个量（如高）； (3)计算框架结构（如铁丝围成的长方体/正方体框架）所需材料长度。 4.关键步骤：明确公式中各量的含义，代入已知数据计算，注意单位统一。 考点三、长方体和正方体的展开图 1.长方体展开图的特点：由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻（中间至少隔一个面），且展开后无重叠。 2.正方体展开图的类型（共11种）： (1)1-4-1型：1行1个正方形，中间1行4个正方形，最后1行1个正方形（6种）； (2)2-3-1型：1行2个正方形，中间1行3个正方形，最后1行1个正方形（3种）； (3)2-2-2型：每行2个正方形，共3行（1种）； (4)3-3型：每行3个正方形，共2行（1种）。 3.判断展开图能否折成正方体的方法： (1)相对的面在展开图中不相邻（如“Z”字形两端、“一”字形隔一个面的两个面是相对面）； (2)展开图中若出现“田”字形或“凹”字形，则不能折成正方体。 4.展开图与立体图的对应：展开图中的每个面对应立体图的一个面，通过标记“上、下、前、后、左、右”可确定对应关系。 考点四、计算长方体和正方体的表面积 1.表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积叫做它的表面积。 2.长方体表面积公式：表面积 = 2×（长×宽 + 长×高 + 宽×高），用字母表示为 ( S = 2(ab + ah + bh) )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 3.正方体表面积公式：表面积 = 6×棱长×棱长，用字母表示为 ( S = 6a2 )（其中 ( a ) 为棱长）。 4.计算步骤： (1)确定长方体的长、宽、高或正方体的棱长； (2)分别计算每个面的面积（长方体相对面面积相等，可先算3个不同面的面积再乘2；正方体6个面面积相等，算一个面面积再乘6）； (3)求和得到表面积。 5.注意事项：计算时需区分表面积与侧面积（侧面积为前、后、左、右4个面的面积之和），单位需统一（如平方厘米、平方分米等）。 考点五、长方体和正方体表面积的应用 1.适用场景： (1)计算无盖长方体（如鱼缸、水池）或无底正方体（如烟囱）的表面积（需减去一个面的面积）； (2)计算不规则立体图形的表面积（如由多个小正方体组成的图形，需注意重叠面不重复计算）； (3)解决实际问题（如包装礼盒所需彩纸面积、粉刷房间墙壁面积、制作长方体/正方体容器所需材料面积等）。 2.关键步骤： (1)分析实际问题中需要计算哪些面的面积（如无盖长方体需计算5个面：1个底面+4个侧面）； (2)确定公式中的参数（长、宽、高或棱长）； (3)代入公式计算，结果需带单位。 3.注意事项：若题目中涉及“厚度忽略不计”，则直接按表面积公式计算；若有重叠部分（如拼接两个正方体），需减去重叠面的面积。 考点六、体积和体积单位的认识 1.体积的定义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 2.常用体积单位： (1)立方米（ m3 ）：棱长为1米的正方体，体积是1立方米； (2)立方分米（ dm3 ）：棱长为1分米的正方体，体积是1立方分米； (3)立方厘米（ cm3 ）：棱长为1厘米的正方体，体积是1立方厘米。 3.体积单位的实际大小： (1)1 cm3 约为一个手指尖的大小； (2)1 dm3 约为一个粉笔盒的大小； (3)1 m3 约为一个洗衣机的大小。 4.体积单位的表示：用字母表示为 ( m3 )、( dm3 )、( cm3 )，计量较大物体的体积用 ( m3)，较小物体用 ( cm3)。 考点七、计算长方体和正方体的体积 1.长方体体积公式：体积 = 长×宽×高，用字母表示为 ( V = abh )（其中 ( a ) 为长，( b ) 为宽，( h ) 为高）。 2.正方体体积公式：体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为 ( V = a3)（其中 ( a ) 为棱长，( a3 ) 读作“( a )的立方”）。 3.统一体积公式：长方体和正方体的体积都可以表示为“底面积×高”，即 ( V = Sh )（其中 ( S ) 为底面积，( h ) 为高；长方体底面积 ( S = ab )，正方体底面积 ( S = a2 )）。 4.计算步骤： (1)确定长方体的长、宽、高或正方体的棱长（或底面积和高）； (2)代入对应公式计算； (3)结果带体积单位（如 ( cm3 )、( dm3 )、( m3 )）。 5.注意事项：单位需统一，底面积与高的单位要对应（如底面积单位为 ( dm2 )，高单位为 ( dm )，体积单位为 ( dm3 )）。 考点八、容积和容积单位的认识 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。 2.常用容积单位： (1)升（L）：棱长为1分米的正方体容器（厚度忽略不计），容积是1升； (2)毫升（mL）：棱长为1厘米的正方体容器（厚度忽略不计），容积是1毫升。 3.容积与体积的区别： (1)测量对象：体积是物体所占空间的大小，容积是容器内部容纳物体的体积； (2)测量方法：体积从物体外部测量长、宽、高，容积从容器内部测量长、宽、高（若容器厚度忽略不计，体积=容积）； (3)单位：体积单位用 ( m3 )、( dm3 )、( cm3 )，容积单位用L、mL（较大容积也可用 ( m3 )）。 4.容积单位与体积单位的关系：1L = 1 dm3 ，1mL = 1 cm3 。 考点九、体积与容积单位间的进率及换算 1.相邻体积单位间的进率： (1)1立方米 = 1000立方分米（ 1m3 = 1000dm3）； (2)1立方分米 = 1000立方厘米（ 1dm3 = 1000cm3 ）。 2.相邻容积单位间的进率：1升 = 1000毫升（ 1L = 1000mL ）。 3.单位换算方法： (1)高级单位化低级单位：乘进率（如 0.5m3 = 0.5×1000 = 500dm3 ）； (2)低级单位化高级单位：除以进率（如 3000cm3 = 3000÷1000 = 3dm3）。 4.常见单位换算： (1) 2.4m3 = 2400dm3， 500dm3 = 0.5m3 ； (2) 3.6dm3= 3600cm3 ， 7000cm3 = 7dm3 ； (3)4.5L = 4500mL ， 6000mL = 6L 。 考点十、长方体和正方体体积（容积）的应用 1.适用场景： (1)计算规则物体的体积（如长方体石块、正方体木块）； (2)计算容器的容积（如长方体水箱的盛水量、正方体盒子的容纳量）； (3)解决实际问题（如求不规则物体的体积——排水法：物体体积=上升部分水的体积；计算挖土方、填沙等体积）。 2.关键步骤： (1)判断是求体积还是容积（容器内部测量为容积，外部测量为体积，忽略厚度时两者相等）； (2)确定长、宽、高（或底面积和高），若为不规则物体，用排水法测量（需记录水面上升前后的刻度）； (3)代入体积公式计算，结果带单位（体积单位或容积单位）。 3.注意事项：单位统一，排水法中容器需足够大，确保物体完全浸没且水不溢出；计算容积时若容器有厚度，需从内部测量长、宽、高。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体有( )个顶点，( )个面，( )条棱；相对的面( )，相对的棱( )相等且互相平行。 【变式训练1】魔方是常见的( )体，它有( )个面，( )条棱，8个( )。 【变式训练2】手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】潮汕茶文化全国闻名，现在网购发达，商家会把茶叶打包邮寄给全国各地的顾客朋友。如图，一个装茶叶的长方体纸箱，长5分米，宽4分米，高2分米。为确保邮寄时不受损坏，每个面都用胶带粘成“十”字形。至少需要多长的胶带？（接口处忽略不计） 【变式训练1】一个长方体的棱长之和是120厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度之和是( )厘米。 【变式训练2】一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。其中长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm、4cm，长方体的棱长之和是( )cm，正方体的棱长是( )cm。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】将下图的展开图围成正方体后，哪两个面分别相对？请你先想一想，再填一填。 1和( )，2和( )，3和( )。 【变式训练1】下面图形不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】如图所示，是一个长方体纸盒展开图的一部分，请完成下面三个问题。 问题1：在图中把长方体纸盒展开图剩余的面补画完整。 问题2：在长方体纸盒中，面A和面（    ）是相对的面。 问题3：将长方体纸盒沿棱剪开得到完整的展开图，一共要剪开（    ）条棱。 题型四、计算长方体和正方体的表面积 【例题4】计算下面长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 【变式训练1】如图所示，是一个长方体的展开图，这个长方体有两个相对的面是正方形。这个长方体的表面积是( )。 【变式训练2】计算下面图形的表面积。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】教室长10米，宽8米，高3.5米，要粉刷教室的四周墙壁和天花板，除去门窗22平方米，要粉刷的面积是多少平方米？如果粉刷1平方米需要38元，粉刷教室需要多少元？ 【变式训练1】学校食堂准备做两个无底无盖的长方体铁皮烟囱，长是3分米，宽是2分米，高是1.5米，需要铁皮多少平方分米？ 【变式训练2】秦始皇兵马俑是第一批全国重点文物保护单位。秦始皇兵马俑博物馆计划打造正方体展示柜来陈列珍贵兵马俑文物复制品，每个展示柜的金属框架棱长总和是36米。给展示柜安装钢化玻璃，每平方米玻璃成本是150元，制作一个展示柜的玻璃需要花费多少元？ 题型六、体积和体积单位的认识 【例题6】下面物品中，体积最接近1dm3的是（    ）。 A．一个校徽 B．一本辞海字典 C．一个橡皮擦 D．一台洗衣机 【变式训练1】生活中处处有数学，下面物品中，体积最接近1立方厘米的是（    ）。 A．西瓜 B．洗衣机 C．粉笔盒 D．骰子 【变式训练2】在洗衣机、微波炉和牙膏盒三种物体中，( )占的空间最大，( )占的空间最小。 题型七、计算长方体和正方体的体积 【例题7】计算下面图形的体积。（单位：dm） 【变式训练1】计算下面各图形的表面积和体积。 【变式训练2】求下列图形的表面积和体积。（单位：厘米） 题型八、容积和容积单位的认识 【例题8】在下面括号里填上合适的单位名称。 (1)一个西瓜的体积大约是4( )。 (2)一台冰箱的容积大约是210( )。 (3)一瓶矿泉水的容积大约是500( )。 【变式训练1】在括号里填上合适的单位。 小芳家厨房地面的面积约是12( )，橱柜上的烤箱长约4( )，容量大约是30( )，柜子里的保鲜盒体积大约是2( )。 【变式训练2】在括号里填上适当的体积单位或容积单位。 VCD机的体积约是4( )。        小矿泉水的容积约是500( )。 矿泉水的容积约是18( )。        车厢的体积约是15( )。 题型九、体积与容积单位间的进率及换算 【例题9】320mL＝( )L＝( )      2.05 ＝( )( ) 【变式训练1】280mL＝( )     72＝( )     0.02＝( ) 960mL＝( )L     5.4＝( )L＝( )mL 【变式训练2】( )＝0.28      ＝( )＝( ) 5升－300毫升＝( )毫升  5升40毫升＝( )毫升 题型十、长方体和正方体体积（容积）的应用 【例题10】一个游泳池长40米，宽15米，深2米，这个游泳池的占地面积是多少平方米？如果要向这个游泳池注入1.8米高的水，需要多少升水？ 【变式训练1】如图，左边为长方体玻璃缸，长8分米，宽7分米，高6分米，里面水深4.8分米，将右边棱长是5分米的正方体铁块缓慢投入水中，缸里的水会溢出多少升？ 【变式训练2】科学课上，同学们要研究船的载重量和容积的关系。在准备实验器材时，要在边长为12厘米的正方形铝箔纸的四个角处剪去4个相同的小正方形，制作出形如图1所示的3种铝箔船。一位同学画出了其中一种设计方案的草图（如图2），按此设计方案制作出的铝箔船用了多少平方厘米铝箔纸？容积是多少？（不考虑缝隙和损耗） 提升练习 1．牛奶外包装上标注“净含量250mL”，这里的250mL指的是（    ）。 A．牛奶盒的质量 B．牛奶盒的表面积 C．牛奶盒的容积 D．牛奶的体积 2．如图是一个正方体的展开图，这个正方体的2号面的对面是（    ）号面。 A．3 B．4 C．5 D．6 3．一个长方体的长、宽都扩大到原来的2倍，高缩小到原来的，体积（    ）。 A．不变 B．扩大到原来的4倍 C．扩大到原来的2倍 D．缩小到原来的 4．在括号里填上适当的数或单位。 4700cm3＝( )dm3    5890mL＝( )L＝( )dm3 一块橡皮的体积约是6( )   一个矿泉水瓶的容积约是550( ) 5．要做一个底面周长为18厘米、高为3厘米的长方体框架，至少需要铁丝( )厘米；用这根铁丝做成一个正方体框架，这时正方体的体积是( )立方厘米。 6．把一个正方体木料锯成两个相等的长方体，表面积增加了32平方分米，这个正方体木料的体积是( )立方分米。 7．一个长方体的长是6分米，宽是5分米，高是4分米，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 8．从一个长9厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体上切下一个最大的正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 9．一个长方体的底面是边长为2分米的正方形，把它的侧面展开后也是一个正方形，这个长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 10．一个长方体的装水容器，长8分米，宽5分米，把一石块完全放入水中后水面从原来的6分米上升为10.5分米，石块的体积是( )立方分米。 11．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 12．计算下列物体的体积和表面积。（单位：分米） 13．一根绳子长10米，现要捆扎一种礼盒（如图）。如果接头处要用掉绳子22厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米） 14．秋季开学之际，学校要粉刷其中一间教室的四壁和屋顶，教室的长、宽、高分别是14米、10米、3米，门窗和黑板的面积有40平方米，需要粉刷的面积有多少平方米？ 15．一间教室长12米，宽8米，高3米，在四面墙的下部贴上了1.2米高的瓷砖（门的位置有1.2平方米没贴），贴瓷砖部分的面积是多少平方米？ 16．苗绣是中国苗族民间传承的刺绣技艺，主要流传于贵州省雷山县、贵阳市、剑河县等地。其被称为穿在身上的“无字史书”。张阿姨买了4幅苗绣，每幅都装在盒子里打算寄给朋友，每个盒子的长、宽、高分别是18厘米、15厘米、4厘米，请你算一算至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 17．丽丽在超市买了一箱牛奶，里面有12盒，每盒是250毫升，丽丽为了检测牛奶的容积是否符合标准，拿出一盒牛奶把它倒进了从里面量长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体玻璃容器中，倒入牛奶的液面高度是多少才符合标准？ 18．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长5.2分米、宽3分米、高4分米。 (1)为了加固鱼缸，在它的面与面之间的棱上涂玻璃胶，涂玻璃胶的长度是多少分米？ (2)做这个鱼缸要用多少平方米的玻璃？ (3)鱼缸里有高度为3.5分米的水，此时放入一块长3.4分米、宽2分米、高是1.5分米的铁块，水会不会溢出来？如果没有溢出，鱼缸空的部分的体积是多少立方分米？如果溢出，溢出部分水的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $