第三单元 长方体和正方体（期中复习讲义）基础版（导图+20个考点真题讲练+提优练 共60题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 长方体和正方体【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+20个考点讲练+真题提优练 共60题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 长方体的认识及特征 考点讲练十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 考点讲练二 长方体有关棱长的应用 考点讲练十二 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点讲练三 长方体的展开图 考点讲练十三 表面涂色的正方体 考点讲练四 正方体的特征 考点讲练十四 长方体的体积 考点讲练五 正方体有关棱长的应用 考点讲练十五 正方体的体积 考点讲练六 正方体的展开图 考点讲练十六 体积的等积变形（长方体、正方体) 考点讲练七 长方体表面积的计算 考点讲练十七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 考点讲练八 长方体表面积的应用 考点讲练十八 组合体的体积（长方体、正方体） 考点讲练九 正方体表面积的计算 考点讲练十九 长方体、正方体的容积 考点讲练十 正方体表面积的应用 考点讲练二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点讲练一 长方体的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·浙江温州·期中）手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】长方体有6个面，分为3组完全相同的对面，每组对面的长和宽分别对应长方体的长、宽、高的两两组合。先明确长方体的长、宽、高，再找出对应的三组面的尺寸，最后与木板尺寸进行匹配。 【规范解答】长方体三组对面尺寸：4dm×2dm、4dm×3dm、2dm×3dm ①4dm×2dm：与长方体第一组对面尺寸一致 ②3dm×3dm：长方体无此尺寸的面 ③2dm×3dm：与长方体第三组对面尺寸一致 ④4dm×3dm：与长方体第二组对面尺寸一致 需要选择的木板尺寸有①③④。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西玉林·期中）母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 【答案】135厘米 【思路引导】观察图形可知，彩带的长度由2条长，2条宽，4条高和打结处的长度组成，即：彩带总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋25。已知礼物的长为20厘米，宽为15厘米，高为10厘米，打结处为25厘米，把数据代入计算即可解答。 【规范解答】20×2＋15×2＋10×4＋25 ＝40＋30＋40＋25 ＝135（厘米） 答：至少需要135厘米的彩带。 考点讲练二 长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个长宽高分别是4分米、3分米、2分米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 【答案】36分米 【思路引导】分析题目，求胶带的长度就是求长方体所有棱的总长度，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据列式计算即可。 【规范解答】（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（分米） 答：至少需要36分米长的胶带。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济南·期中）学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，☆学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 【答案】（1）314米 （2）1413元 【思路引导】（1）需要装彩灯的棱是长方体的2条长、2条宽和4条高（地面的四边不装，不包含2条长和2条宽在地面的部分）。即彩灯长度＝（长＋宽）×2＋高×4，已知长120米，宽25米，高6米，把数据代入计算即可。 （2）已知彩灯线单价是4.5元/米，彩灯长度已由（1）得出，根据“总价＝单价×数量”，用4.5乘彩灯长度即可。 【规范解答】（1）（120＋25）×2＋6×4 ＝145×2＋6×4 ＝290＋24 ＝314（米） 答：学校至少要购买314米彩灯线。 （2）4.5×314＝1413（元） 答：一共需要1413元。 考点讲练三 长方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【答案】 15 6 5 【思路引导】 长方体上下面相对，左右面相对，前后面相对，相对的面完全一样，如图，上下面的长和宽是长方体的长和宽，看图可知，长×2＋高×2＝40cm，因此高＝（40－长×2）÷2，据此解答。 【规范解答】（40－15×2）÷2 ＝（40－30）÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 原来这个长方体的长是15cm，宽是6cm，高是5cm。 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·广东佛山·期中）小明从一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸的四个角分别剪去一个边长是3厘米的小正方形，用留下的部分制作出一个无盖的长方体纸盒。 （1）这个长方体纸盒的长、宽、高分别是（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米。 （2）在方格纸上画出这个长方体纸盒的五个面，并标出前、后、左、右、下面。（每个小方格的边长代表1厘米） 【答案】（1）9；6；3 （2）图见详解 【规范解答】（1）这个长方体纸盒的长是15－3－3＝9（厘米），宽是12－3－3＝6（厘米），高是3厘米。 （2）作图如下： 考点讲练四 正方体的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【答案】 5 5 【思路引导】一根铁丝焊成一个正方体框架，则铁丝的长度等于正方体棱长总和；正方体棱长总和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12，据此求出焊成正方体的棱长。 一根铁丝焊成一个长方体，则铁丝的长度等于长方体棱长总和；长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；则高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出焊成长方体的高。 【规范解答】60÷12＝5（cm） 60÷4－6－4 ＝15－6－4 ＝9－4 ＝5（cm） 一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是5cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是5cm。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·湖北孝感·期中）智力冲浪。 正方体的6个面上分别写着A、C、D、E、F、I。与A相对的面上的字母是( )，与E相对的面上的字母是( )，与I相对的面上的字母是( )。 【答案】 C F D 【思路引导】确定与A相对的面：从第二个图可知F在A的左面；从第三个图可知F在C的右面，所以A与C相对，那么A相对的面是C。 确定与E相对的面：从第一个图可知A在E的左面；第二个图中可知A在F的右面，所以E与F相对，那么E相对的面是F。 确定与I相对的面：已经知道A相对C，E相对F，那么剩下的I相对的面就是D。 【规范解答】F在A的左面；F又在C的右面，A相对的面是C。 A在E的左面；A又在F的右面，E相对的面是F。 A相对C，E相对F，I相对的面就是D。 与A相对的面上的字母是C，与E相对的面上的字母是F，与I相对的面上的字母是D。 考点讲练五 正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子的厚度忽略不计） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【思路引导】要计算在一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子中，能放下多少个棱长是2dm的正方体木块。就是用长方体盒子的长、宽、高分别除以正方体的棱长（2dm），然后把所得的结果相乘即可。 【规范解答】长方向：8÷2＝4（个） 宽方向：4÷2＝2（个） 高方向：5÷2＝2（个）……1（dm）（余数为1dm，不足2dm），即高方向能放2个正方体。 4×2×2＝16（个） 所以最多能放下16个棱长是2dm的正方体木块. 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山西晋中·期中）为筹备六一晚会，学校工作人员准备安装一批彩灯。先用一根长铁丝制作了一个棱长为6分米的正方体彩灯框架（铁丝刚好用完无剩余）。如果用同样长度的铁丝制作一个长方体彩灯框架（铁丝无剩余），长为7分米，宽为6分米，那么这个长方体彩灯框架的高是多少？ 【答案】5分米 【思路引导】根据题意，用一根铁丝正好制作了一个棱长为6分米的正方体彩灯框架，那么这根铁丝的长度就是正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出这根铁丝的长度； 如果用同样长度的铁丝制作一个长为7分米，宽为6分米的长方体彩灯框架，那么这根铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出这个长方体彩灯框架的高。 【规范解答】铁丝的长度： 6×12＝72（分米） 长方体的高： 72÷4－7－6 ＝18－7－6 ＝5（分米） 答：这个长方体彩灯框架的高是5分米。 考点讲练六 正方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济宁·期中）如图是一正方体的展开图，则该正方体展开前，与5号面相对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【规范解答】5号面与1号面是位于“Z”字两端处的两个正方形面且中间间隔1个正方形面，因此与5号面相对的面是1号面。 故答案为：A 【变式】（难度：☆☆☆）学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 【答案】 谐 社 和 【思路引导】2－2－2型正方体展开图，假如“和”在上面，则“建”在后面，“构”在左面，“谐”在右面，“社”在前面，“会”在上面，正方体上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，据此填空。 【规范解答】根据分析，“构”字对面是谐字，“建”字对面是社字，“会”字对面是和字。 【考点剖析】关键是熟悉正方体特征，具有一定的空间想象能力。 考点讲练七 长方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北唐山·期中）计算下面长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 【答案】1240平方厘米；1350平方厘米 【思路引导】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，由此代入数据即可解答。 【规范解答】（30×8＋30×10＋10×8）×2 ＝（240＋300＋80）×2 ＝620×2 ＝1240（平方厘米） 15×15×6 ＝225×6 ＝1350（平方厘米） 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】552cm2 【思路引导】 如图可知，立体图形的表面积＝长是12cm、宽是8cm、高是10cm的长方体的表面积－2个长是5cm、宽是（12－8）cm长方形的面积和，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【规范解答】（12×8＋12×10＋8×10）×2－5×（12－8）×2 ＝（96＋120＋80）×2－5×4×2 ＝（216＋80）×2－5×4×2 ＝296×2－5×4×2 ＝592－20×2 ＝592－40 ＝552（cm2） 表面积是552cm2。 考点讲练八 长方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】(1)150米 (2)1625平方米 【思路引导】（1）求沿泳池走一圈的长度，就是求泳池底面长方形的周长，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，将长50米、宽25米代入即可解答。 （2）求铺瓷砖的面积，是求长方体无盖时的表面积，根据无盖长方体表面积公式：表面积  ＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把长50米、宽25米、深2.5米代入公式，分别求出池底和四周的面积再求和。 【规范解答】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共要走150米。 （2）50×25＋（50×2.5＋25×2.5）×2 ＝1250＋（125＋62.5）×2 ＝1250＋187.5×2 ＝1250＋375 ＝1625（平方米） 答：铺瓷砖的面积是1625平方米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西九江·期中）学校要粉刷新教室。已知教室的长是8米，宽是5米，高是3米，扣除门窗和黑板的面积是12平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花多少钱？ 【答案】424元 【思路引导】粉刷教室需要计算天花板＋四壁面积，地面不刷，再扣除门窗黑板面积得到实际粉刷面积，最后乘每平方米费用。 【规范解答】计算天花板面积：8×5＝40（平方米） 计算四壁面积： （8×3＋5×3）×2 ＝（24＋15）×2 ＝78（平方米） 实际粉刷面积： 40＋78－12 ＝118－12 ＝106（平方米） 总费用：106×4＝424（元） 答：粉刷这个教室需要花424元钱。 考点讲练九 正方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）如图，两个几何体是用相同的正方体摆成的，哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．正方体 B．长方体 C．同样大 【答案】B 【思路引导】分析题目，把每个小正方体的棱长看作1，则第一个正方体的棱长是2，第二个长方体的长是4，宽是1，高是2，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别求出两个几何体的表面积，最后比较大小即可。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24 （4×1＋4×2＋1×2）×2 ＝（4＋8＋2）×2 ＝14×2 ＝28 因为24＜28，所以长方体的表面积大一些。 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 【答案】C 【思路引导】大正方体一个角挖掉一个小正方体，减少3个面，又增加了3个面，现在几何体的表面积等于原来大正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出表面积，据此解答。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 一个棱长为2cm的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为1cm的小正方体，这时它的表面积是24cm2。 故答案为：C 考点讲练十 正方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）计算下面图形的表面积。 【答案】126平方厘米 【思路引导】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 【规范解答】（5×5＋5×3＋5×3）×2＋2×2×4 ＝（25＋15＋15）×2＋2×2×4 ＝55×2＋2×2×4 ＝110＋16 ＝126（平方厘米） 图形的表面积是126平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南三门峡·期中）明明准备用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，他至少需要用( )cm的铁丝；如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是( )cm，如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要( ) cm2的商标纸。 【答案】 108 9 324 【思路引导】（1）用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度。 （2）如果将这根铁丝改围成一个正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出所围成的正方体的棱长。 （3）如果给这个正方体的四周贴上商标纸，即贴商标纸的面是正方体的4个面，根据正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，求出至少需要商标纸的面积。 【规范解答】（1）（12＋10＋5）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 他至少需要用（108）cm的铁丝； （2）108÷12＝9（cm） 如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是（9）cm； （3）9×9×4＝324（cm2） 如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要（324）cm2的商标纸。 考点讲练十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西宜春·期中）大寒节气这天吃年糕，有“年高”之意，带着吉祥如意、年年平安的好彩头。年糕师傅将两盒年糕用油纸包起来，年糕的尺寸如图。下面三种包装方式，第（    ）种包装方式最省油纸。（单位：厘米） A．① B．② C．③ D．无法确定 【答案】B 【思路引导】要想包装用的油纸最省，则两盒拼在一起后减少的面积尽可能大，已知两个长方体拼在一起后减少2个长方形面，据此分别求出每种包装方式减少的面积，再比较即可。 【规范解答】①6×4×2＝48（平方厘米） ②6×8×2＝96（平方厘米） ③8×4×2＝64（平方厘米） 96＞64＞48 第②种减少的面积最多，所以第②种包装方式最省油纸。 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东韶关·期中）如图，将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加( )平方厘米。 【答案】1200 【思路引导】根据题意，结合图示可知，一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加了长是30厘米，宽是20厘米的2个长方形的面积，根据长方形面积＝长×宽，代入数据，求出1个面的面积，再乘2，即可解答。 【规范解答】30×20×2 ＝600×2 ＝1200（平方厘米） 将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加1200平方厘米。 考点讲练十二 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50000平方厘米 【思路引导】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是（300÷3＝100）厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是（300÷3＝100）厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。 【规范解答】上面的面积： 100×50×3 ＝5000×3 ＝15000（平方厘米） 左右面的面积： 50×（30＋40）×2 ＝50×70×2 ＝3500×2 ＝7000（平方厘米） 前后面的面积： [100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2 ＝[3000＋100×70＋4000]×2 ＝[3000＋7000＋4000]×2 ＝[10000＋4000]×2 ＝14000×2 ＝28000（平方厘米） 15000＋7000＋28000 ＝22000＋28000 ＝50000（平方厘米） 答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）一些棱长是2分米的小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面的面积是( )平方分米。 【答案】 14 56 【思路引导】堆在墙角的小正方体，露在外面的面包括正面、上面、侧面。通过观察图形，分别数出三个方向露在外面的面的数量，再求和。每个面的面积是2×2＝4（平方分米），用面的数量乘单个面面积得总面积。公式：S＝a2（S是正方形面积，a是棱长）。 【规范解答】数露在外面的面：正面有5个，上面有5个，侧面有4个，总共5＋5＋4＝14（个）。 单个面面积：2×2＝4（平方分米） 总面积：14×4＝56（平方分米） 有14个面露在外面，露在外面的面的面积是56平方分米。 考点讲练十三 表面涂色的正方体 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2024·重庆渝北·小升初真题）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是( )个。 【答案】488 【思路引导】因为1000＝10×10×10，所以大正方体的每条棱上有10个小正方体，这些小正方体中至少有一面被涂过的数目等于小正方体的总个数减去没有面涂色的小正方体的个数，根据正方体的特征可知，没有面涂色的小正方体的个数是（10－1－1）×（10－1－1）×（10－1－1），据此求出没有面涂色的小正方体的个数，最后用减法求出至少有一面被涂过的数目即可。 【规范解答】1000＝10×10×10 1000－（10－1－1）×（10－1－1）×（10－1－1） ＝1000－8×8×8 ＝1000－512 ＝488（个） 1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是488个。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 【答案】 8 12 6 【思路引导】大正方体顶点处的小正方体是三面涂色，因为正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体数量固定为8块； 位于大正方体棱上（非顶点）的小正方体是两面涂色，大正方体棱长3厘米，每条棱上有3个小正方体，顶点处2个是三面涂色，所以每条棱上两面涂色的有3－2＝1个，正方体有12条棱，因此两面涂色的小正方体数量是1×12＝12块； 处于大正方体每个面中间（非棱、非顶点）的小正方体是一面涂色，每个面上一面涂色的小正方体组成的是边长为（3－2）的正方形，所以每个面上一面涂色的有（3－2）×（3－2）＝1个，正方体有6个面，因此一面涂色的小正方体数量是1×6＝6块。 【规范解答】（3－2）×12 ＝1×12 ＝12（块） （3－2）×（3－2）×6 ＝1×1×6 ＝1×6 ＝6（块） 因此，三面涂色的小正方体有8块，两面涂色小正方体有12块，一面涂色小正方体有6块。 考点讲练十四 长方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是( )。 【答案】2 【思路引导】把这个长方体木料沿横截面截成两段，需要锯1次，每锯一次就会多出2个长方体的横截面，由此可得锯成2段后表面积是增加了2个横截面的面积，由此可以求出横截面的面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，即可解答． 【规范解答】80dm2＝0.8m2 0.8÷2×5 ＝0.4×5 ＝2（m3） 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 94 平方厘米 【思路引导】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。 【规范解答】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2 ＝ （12＋15＋20）2 ＝ 472 ＝ 94（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。 【考点剖析】由题意，长增加2厘米，体积增加24立方厘米，可知宽高2＝24立方厘米，则宽高＝12平方厘米．同理可知长高＝15平方厘米，长宽＝20平方厘米，根据长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，列式解答。 考点讲练十五 正方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）求下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】184平方厘米；160立方厘米；294平方厘米；343立方厘米 【思路引导】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【规范解答】长方体表面积：（8×4＋8×5＋4×5）×2 ＝（32＋40＋20）×2 ＝92×2 ＝184（平方厘米） 长方体体积：8×4×5 ＝32×5 ＝160（立方厘米） 正方体表面积：7×7×6 ＝49×6 ＝294（平方厘米） 正方体体积：7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方厘米） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体的高截去2厘米后，它的表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是一个正方体。这个正方体的体积是( )立方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 27 78 【思路引导】减少的表面积÷截去的高＝底面周长，底面周长÷4＝正方体棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体表面积＋减少的表面积＝原来长方体的表面积。 【规范解答】24÷2÷4＝3（厘米） 正方体的体积：3×3×3＝27（立方厘米） 原来长方体的表面积：3×3×6＋24 ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 考点讲练十六 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【答案】（1）12000立方厘米 （2）20厘米 【思路引导】（1）长方体容器的长×宽×水深＝水的体积，据此列式解答； （2）根据水深＝水的体积÷容器底面积，列式解答即可。 【规范解答】（1）50×30×8＝12000（立方厘米） 答：长方体容器中水的体积是12000立方厘米。 （2）12000÷（30×20） ＝12000÷600 ＝20（厘米） 答：水深20厘米。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 【答案】8分米 【思路引导】已知长方体鱼缸长和宽均为8分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中，石块占据部分底面积，导致水的底面积变成（8×8－6×4）平方分米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时水的高度。 【规范解答】8×8×5 ＝64×5 ＝320（立方分米） 8×8－6×4 ＝64－24 ＝40（平方分米） 320÷40＝8（分米） 答：现在水的高度是8分米。 考点讲练十七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：64cm2；体积：29cm3 【思路引导】由图可知，长方体挖去了一个棱长为1cm的正方体，少了2个边长为1cm的正方形面积，但又增加了4个边长为1cm的正方形面积，所以共增加了2个正方形面积。增加的面积为1×1＋1×1＝1＋1＝2cm2。已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，根据长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式即可得到长方体表面积，再加上2即可得到整个图形的表面积。 长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），已知长方体的长为5cm，宽为2cm，高为3cm，把数据代入公式可得到长方体体积，被挖去的正方体的棱长为1cm，根据正方体体积公式V＝a3，a为棱长，把数据代入公式可得到被挖去的正方体体积。再用长方体体积减去挖去的正方体体积即可解答。 【规范解答】表面积：1×1＋1×1＝1＋1＝2（cm2） （5×2＋5×3＋2×3）×2 ＝（10＋15＋6）×2 ＝31×2 ＝62（cm2） 62＋2＝64（cm2） 体积：5×2×3＝30（cm3） 13＝1×1×1＝1（cm3） 30－1＝29（cm3） 该图形的表面积是64cm2，体积是29cm3。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）如左图，是由棱长1cm的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )。至少添上( )个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 【答案】 30平方厘米/30cm2 19 【思路引导】分别数出从正面、上面、右面看到的小正方形的个数，把它们相加的和乘2求出一共有多少个棱长为1cm的正方体的面，再乘边长是1cm的正方形的面积即可求出这个图形的表面积； 组合成一个大一些的正方体的棱长为3个小正方体的长度，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出大一些的正方体的个数，再减去原来小正方体的个数8即可解答。 【规范解答】1×1＝1（） （4＋6＋5）×2×1 ＝（10＋5）×2×1 ＝15×2×1 ＝30（） 3×3×3－8 ＝9×3－8 ＝27－8 ＝19（个） 所以这个图形的表面积是30，至少添上19个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 考点讲练十八 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【答案】205立方分米 【思路引导】组合图形的体积等于棱长为5分米的正方体的体积加上长为10分米、宽为8分米、高为1分米的长方体的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【规范解答】5×5×5＋8×10×1 ＝25×5＋80 ＝125＋80 ＝205（立方分米） 组合图形的体积是205立方分米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 【答案】112dm2；60dm3 【思路引导】将凹下去的（3×2）的面平移到上边空缺处，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算出完整的大长方体表面积，再用大长方体的表面积减去前后空缺处的2个边长2dm的正方形的面积，然后加上增加的左右2个长3dm，宽2dm的长方形的面积，即可求出这个图形的表面积； 这个图形的体积＝大长方体体积－小长方体体积，大长方体的长为6dm、宽为3dm、高为4dm，小长方体的长为3dm、宽为2dm、高为2dm，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】（6×3＋6×4＋3×4）×2－2×2×2＋3×2×2 ＝（18＋24＋12）×2－8＋12 ＝54×2－8＋12 ＝108－8＋12 ＝112（dm2） 6×3×4－2×3×2 ＝72－12 ＝60（dm3） 这个图形的表面积是112dm2，体积是60dm3。 考点讲练十九 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【答案】500平方厘米；1000立方厘米 【思路引导】无盖纸板的面积＝长方形纸板的面积－4个小正方形的面积； 纸盒的容积＝纸盒的长×纸盒的宽×纸盒的高，纸盒的长＝长方形纸板的长－5×2，纸盒的宽＝长方形纸板的宽－5×2，纸盒的高为5cm。 【规范解答】30×20－5×5×4 ＝600－25×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） （30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝（30－10）×（20－10）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 答：这个纸盒所用的纸板是500平方厘米，纸盒的容积是1000立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·湖北十堰·期中）如图是一个无盖的正方体玻璃缸，棱长是4分米，里面水深2.5分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）玻璃缸内水与玻璃接触部分的面积是多少？制作这个玻璃缸至少要用多少平方分米玻璃？ （2）如图，将一个石块完全沉入水中后（水未溢出），水面升高2厘米，请你计算出这个石块的体积。 【答案】（1）玻璃缸内水与玻璃接触部分的面积是56平方分米。制作这个玻璃缸至少要用80平方分米玻璃。（2）3.2立方分米 【思路引导】（1）水与玻璃的接触面积，即水的前、后、左、右、下这5个面的面积，根据前面的面积＝长×高，右面的面积＝宽×高，下面的面积＝长×宽，即可求解；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，玻璃缸只有5个面，代入数据即可求制作这个玻璃缸所需的玻璃。 （2）上升部分水的体积等于完全淹没在水面以下的物体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高即可求解。 【规范解答】（1）4×4＋（4×2.5＋4×2.5）×2 ＝16＋（10＋10）×2 ＝16＋20×2 ＝16＋40 ＝56（平方分米） 4×4×5 ＝16×5 ＝80（平方分米） 答：玻璃缸内水与玻璃接触部分的面积是56平方分米。制作这个玻璃缸至少要用80平方分米玻璃。 （2）2厘米＝0.2分米 4×4×0.2 ＝16×0.2 ＝3.2（立方分米） 答：这个石块的体积是3.2立方分米。 考点讲练二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。 【答案】350 【思路引导】石头的体积等于它完全浸没后排开的水的体积。水箱是长方体，底面积由长和宽相乘得到，水面上升的高度已知，因此石头的体积可以通过底面积乘上升的高度计算。 【规范解答】＝140（平方厘米） ＝350（立方厘米） 所以，这块石头的体积是350立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？ 【答案】48立方分米 【思路引导】根据题意，完全浸没在水中的石头假山的体积等于水面上升部分的水的体积，先用水面上升后的高度4.2分米减原来的水面高度3分米，计算出水面上升的高度，再根据长方体体积公式“长方体体积＝长×宽×高”，用鱼缸的长8分米乘宽5分米乘水面上升的高度，即可求出石头假山的体积，据此解答。 【规范解答】计算水面上升的高度4.2－3＝1.2（分米） 计算石头假山的体积长方体体积＝长×宽×高 8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这个石头假山的体积是48立方分米。 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高（    ）米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【思路引导】根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”代入数值即可计算长方体的高。 【规范解答】52÷4－6－4 ＝13－6－4 ＝7－4 ＝3（米） 用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高3米的长方体教具。 2．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）从一个体积是24立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】长方体挖掉一小块时，表面积的变化取决于“挖掉部分露出的面”与“原来面”的数量关系：若挖掉的小块是从长方体的顶点处挖去（如图所示），挖掉后会减少3个面，但同时会露出3个面。 【规范解答】从顶点处挖掉小块后，减少的面和新增的面数量相等、面积相同，因此长方体的表面积和原来同样大。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河南驻马店·期中）一个最多能装30L汽油的油箱，它的体积（    ）30。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】油箱的容积是指它能容纳的液体体积，而体积是油箱本身所占空间的大小。由于油箱有厚度，材料会占据一定空间，因此体积必然大于容积。 【规范解答】30＝30L，一个最多能装30L汽油的油箱，它的体积大于30。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）一个长8dm，宽4dm，高5dm的长方体木块，能切成（    ）个棱长是2dm的小正方体。 A．20 B．16 C．10 D．8 【答案】B 【思路引导】将长方体切成小正方体，可从长、宽、高分别切出小正方体，即用长、宽、高分别除以小正方体的棱长，再将得到的结果相乘，据此可得出答案。 【规范解答】长方体的长能切成小正方体个数：8÷2＝4（个）；宽能切成小正方体个数：4÷2＝2（个）； 高能切出小正方体个数：5÷2＝2⋯⋯1，实际情境中运用“去尾法”，即能切成2个。 则能切出小正方体：4×2×2＝16（个） 5．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）下面说法正确的有（    ）句。 ①3的倍数可能是偶数。    ②一个长方体中最多有4条棱长相等。 ③一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 ④1＋2＋3＋4＋5＋…＋105的结果是偶数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【规范解答】①3的倍数可能是偶数。比如：6是3的倍数，同时6是偶数，所以存在这样的数，该说法正确。 ②当长方体有两个相对的面是正方形时，会有8条棱长相等，不是最多4条，该说法错误。 ③正方形周长公式为 （a是边长），已知a是质数，那么周长除了1和它本身，还有4和a这两个因数，符合合数的定义，该说法正确。 ④从1到105一共有105个数，其中奇数有（105＋1）÷2＝53个，偶数有105－53＝52个。53个奇数相加的和是奇数，52个偶数相加的和是偶数，奇数加偶数的结果是奇数，所以该说法错误。 综上，正确的说法是①和③，一共2句。 6．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）5.06L＝( )L( )mL    ( )( ) 【答案】 5 60 3.003 3003 【思路引导】（1）将5.06L转换为L和mL，1L＝1000mL，整数部分5直接用L作单位，小数部分0.06L乘进率转换为mL。 （2）1＝1000，将3除以进率转化成，和题目中的3相加；将3乘进率转化成，再和题目中3相加。 【规范解答】（1）0.06×1000＝60（mL） 因此，5.06L＝5L60mL （2）3÷1000＝0.003（） 3＋0.003＝3.003（） 3×1000＝3000（） 3000＋3＝3003（） 因此，3.0033003。 7．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一根长100厘米的铁丝，做成一个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体后，还剩下( )厘米。 【答案】20 【思路引导】要求剩余铁丝的长度，需要先计算做长方体所需的铁丝长度，即长方体的棱长总和。长方体的棱长总和＝4×（长＋宽＋高），再用总长度减去棱长总和，即可得到剩余长度。 【规范解答】4×（10＋6＋4） ＝4×20 ＝80（厘米） 100－80＝20（厘米） 所以，还剩下20厘米。 8．（24-25五年级下·河北唐山·期中）王笑笑想要做一个小正方体框架，至少需要( )根小棒和( )颗珠子。 【答案】 12 8 【规范解答】正方体有12条棱，所以需要12根小棒；正方体有8个顶点，所以需要8颗珠子。所以，至少需要12根小棒和8颗珠子。 9．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，它的表面积是( )。焊接一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm。 【答案】 5 150 92 【思路引导】正方体有12条长度相等的棱，铁丝总长度是正方体的棱长总和，所以用总铁丝长度除以12可求出正方体的棱长。 正方体表面积公式为：，所以求出棱长后代入公式可计算其表面积。 长方体的棱长总和公式为：（长＋宽＋高）4，所以将长、宽、高的数值代入公式可求出所需铁丝长度。 【规范解答】60÷12＝5（cm） 所以这个正方体的棱长是5cm。 （cm2） 所以它的表面积是150cm2。 （10＋8＋5）4 ＝234 ＝92（cm） 所以至少需要92cm的铁丝。 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图：用棱长为1cm的小正方体叠放成几何体，其中第一个几何体的表面积为，照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积是( )平方厘米。 【答案】38 【思路引导】依题图可知，正方体个数依次增加2个，所以第五个几何体包含9个正方体。每增加1个正方体会增加6个面，但每2个正方体重叠又减少2个面，所以第五个几何体的表面积为9个正方体表面积－重合部分面积。 【规范解答】9×6－8×2 ＝54－16 ＝38（平方厘米） 11．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。 【答案】 增加 32 【思路引导】平均分成两个长方体，也就相当于切一刀，会增加两个切面的面积；切面是正方形；根据“”求出一个切面的面积，最后乘2求出一共增加的面积。 【规范解答】表面积增加了。 增加了：4×4×2 ＝16×2 ＝32（平方厘米） 12．（24-25五年级下·江西赣州·期中）棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体的表面积和体积是两个不同的概念。表面积是指正方体六个面的总面积，单位是平方分米；体积是指正方体所占空间的大小，单位是立方分米。由于单位不同，即使数值相同，也不能直接比较大小或判断相等。 【规范解答】表面积：6×6×6＝36×6＝216（平方分米） 体积：6×6×6＝36×6＝216（立方分米） 虽然计算结果数值相同，但表面积是216平方分米，体积是216立方分米，单位不同，表示的意义不同，因此不能判断它们相等。 所以，“棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积相等”说法错误。 故答案为：× 13．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个杯子的体积一定大于它的容积。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】体积是杯子占空间的大小，测量时要从杯子外部量长、宽、高； 容积是杯子能装多少东西，测量时要从杯子内部量长、宽、高。 因为杯子有厚度，外部尺寸＞内部尺寸，所以体积一定大于容积。 【规范解答】测量杯子体积需从外部测长、宽、高； 测量杯子容积需从内部测长、宽、高。 由于杯子有厚度，外部测量的尺寸大于内部测量的尺寸，因此杯子的体积＞容积。 故“一个杯子的体积一定大于它的容积”说法正确。 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·河南驻马店·期中）计算下面图形的表面积和体积。 【答案】（1）384cm2；512cm3；（2）358dm2；420dm3 【思路引导】（1）正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长； （2）长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【规范解答】（1）8×8×6＝384（cm2） 8×8×8＝512（cm3） 正方体的表面积和体积分别是384cm2、512cm3。 （2）（12×5＋12×7＋5×7）×2 ＝（60＋84＋35）×2 ＝179×2 ＝358（dm2） 12×5×7＝420（dm3） 长方体的表面积和体积分别是358dm2、420dm3。 15．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【答案】800平方厘米 【思路引导】由图形可知，这个组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体侧面积的和。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的侧面积（4个面的面积）＝棱长×棱长×4，把数据分别代入计算。 【规范解答】（15×10＋8×10＋15×8）×2＋5×5×4 ＝（150＋80＋120）×2＋25×4 ＝350×2＋25×4 ＝700＋100 ＝800（平方厘米） 这个图形的表面积是800平方厘米。 16．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）阿基米德是希腊著名的哲学家、数学家和物理学家，他在两千多年前测量皇冠就发现了用排水法可以测量不规则物体的体积。小辉尝试用排水法测量一个不规则物体的体积，他进行了如下实验。 ①他准备了一个长10厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体玻璃缸。 ②他往缸里倒入一些水，此时水面高度是8厘米。 ③他把一个苹果完全放入水中，水面上升到11厘米。 这个苹果的体积是多少立方厘米？ 【答案】240立方厘米 【思路引导】利用排水法测量不规则物体体积，苹果完全浸没在水中后，水面上升的那部分水的体积就等于苹果的体积。用放入苹果后的水面高度减去原来的水面高度，求出水面上升的高度。再根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出上升部分水的体积，也就是苹果的体积。 【规范解答】10×8×（11－8） ＝10×8×3 ＝80×3 ＝240（立方厘米） 答：这个苹果的体积是240立方厘米。 17．（24-25五年级下·河南三门峡·期中）灵宝光明果园用长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体快递盒运输苹果，如果要给快递盒包上包装纸，一个盒子至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 【答案】22平方分米 【思路引导】计算给快递盒包上包装纸需要多少的包装纸，就是计算长方体快递盒的表面积。长方体表面积公式为：表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），快递盒长30厘米、宽20厘米、高10厘米，把数据代入公式计算即可。 【规范解答】2×（30×20＋30×10＋20×10） ＝2×（600＋300＋200） ＝2×1100 ＝2200（平方厘米） 1平方分米＝100平方厘米 2200÷100＝22（平方分米） 答：一个盒子至少需要22平方分米的包装纸。 18．（24-25五年级下·河北唐山·期中）向阳小学建一个长60米、宽25米、深2米的长方体游泳池。请你算一算。 (1)在游泳池的底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)在游泳池内壁四周1.5米高处用红漆画一条水位线，水位线的全长是多少米？ 【答案】(1)1840平方米 (2)170米 【思路引导】游泳池是一个无盖的长方体，抹水泥的部分包括1个底面和4个侧面。根据长方体表面积的计算方法，求出底面积与侧面积之和即可。 水位线是沿游泳池内壁四周画的一条闭合线，其长度等于游泳池底面的周长，与水位线距离底部的高度无关。 【规范解答】（1）60×25＋（60×2＋25×2）×2 ＝1500＋（120＋50）×2 ＝1500＋170×2 ＝1500＋340 ＝1840（平方米） 答：抹水泥的面积是1840平方米。 （2）（60＋25）×2 ＝85×2 ＝170（米） 答：水位线的全长是170米。 19．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体鱼缸中盛有90升水，放入几块极具观赏性的小石头后（这几块小石头均没于水面），水面上升了3厘米。这几块小石头的体积一共是多少立方分米？ 【答案】12立方分米 【思路引导】先根据1分米＝10厘米，将长、宽、水面上升高度的单位由厘米换算成分米（除以进率），再根据长方体体积公式（V＝长×宽×高）计算水面上升部分的体积，即为小石头的总体积。 【规范解答】80÷10＝8（分米） 则80厘米＝8分米 50÷10＝5（分米） 则50厘米＝5分米 3÷10＝0.3（分米） 则3厘米＝0.3分米 8×5×0.3 ＝40×0.3 ＝12（立方分米） 答：这几块小石头的体积一共是12立方分米。 20．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）要制作一个长1米、宽3分米、高5分米的长方体无盖玻璃容器。 (1)制作这个玻璃容器，至少需要玻璃多少平方分米？ (2)如果向容器中倒入60升的水，这时容器内的水距离容器口还有多少分米？ 【答案】(1)160 平方分米 (2)3 分米 【思路引导】由题干可知，长方体容器长1米，宽3分米，高5分米。单位不统一，要先换算单位， 1 米＝10 分米。要计算需要多少平方分米的玻璃，因为容器无盖，所以只要计算底面、前面和后面、左面和右面 5 个面的面积之和即可。 将水的体积 60 升换算为 60 立方分米。先求出容器内水的高度，根据长方体体积公式“长方体的体积＝底面积×高”可得，容器内水的高度＝水的体积÷容器的底面积。再用容器的高减去水的高度，就是水距离容器口的高度。 【规范解答】（1）1米＝10分米 10×3＋（10×5＋3×5）×2 ＝30＋（50＋15）×2 ＝30＋65×2 ＝30＋130 ＝160（平方分米） 答：至少需要玻璃 160 平方分米。 （2）60L＝60 立方分米 60÷（10×3） ＝60÷30 ＝2（分米） 5－2＝3（分米） 答：这时容器内的水距离容器口还有 3 分米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 长方体和正方体【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+20个考点讲练+真题提优练 共60题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 长方体的认识及特征 考点讲练十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 考点讲练二 长方体有关棱长的应用 考点讲练十二 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点讲练三 长方体的展开图 考点讲练十三 表面涂色的正方体 考点讲练四 正方体的特征 考点讲练十四 长方体的体积 考点讲练五 正方体有关棱长的应用 考点讲练十五 正方体的体积 考点讲练六 正方体的展开图 考点讲练十六 体积的等积变形（长方体、正方体) 考点讲练七 长方体表面积的计算 考点讲练十七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 考点讲练八 长方体表面积的应用 考点讲练十八 组合体的体积（长方体、正方体） 考点讲练九 正方体表面积的计算 考点讲练十九 长方体、正方体的容积 考点讲练十 正方体表面积的应用 考点讲练二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点讲练一 长方体的认识及特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·浙江温州·期中）手工课上，聪聪要制作一个规格为4dm×2dm×3dm的长方体模型，有下面几种尺寸的长方形木板各2块，需要选择的木板尺寸有（    ）。 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西玉林·期中）母亲节那天，小小为妈妈选了一份礼物（如下图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（打结处用了25厘米） 考点讲练二 长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个长宽高分别是4分米、3分米、2分米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济南·期中）学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，☆学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 考点讲练三 长方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济宁·期中）下面是一个长方体的展开图。 原来这个长方体的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【变式】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·广东佛山·期中）小明从一张长15厘米、宽12厘米的长方形纸的四个角分别剪去一个边长是3厘米的小正方形，用留下的部分制作出一个无盖的长方体纸盒。 （1）这个长方体纸盒的长、宽、高分别是（    ）厘米、（    ）厘米、（    ）厘米。 （2）在方格纸上画出这个长方体纸盒的五个面，并标出前、后、左、右、下面。（每个小方格的边长代表1厘米） 考点讲练四 正方体的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·湖北孝感·期中）智力冲浪。 正方体的6个面上分别写着A、C、D、E、F、I。与A相对的面上的字母是( )，与E相对的面上的字母是( )，与I相对的面上的字母是( )。 考点讲练五 正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个长8dm、宽4dm、高5dm的长方体盒子，最多能放下（    ）个棱长是2dm的正方体木块。（盒子的厚度忽略不计） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山西晋中·期中）为筹备六一晚会，学校工作人员准备安装一批彩灯。先用一根长铁丝制作了一个棱长为6分米的正方体彩灯框架（铁丝刚好用完无剩余）。如果用同样长度的铁丝制作一个长方体彩灯框架（铁丝无剩余），长为7分米，宽为6分米，那么这个长方体彩灯框架的高是多少？ 考点讲练六 正方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东济宁·期中）如图是一正方体的展开图，则该正方体展开前，与5号面相对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】（难度：☆☆☆）学习了“正方体展开图”后，李浩制作了一个如图所示的正方体展开图，准备和王乐进行“猜字”游戏，聪明的你也来试试： “构”字对面是( )字，“建”字对面是( )字，“会”字对面是( )字。 考点讲练七 长方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北唐山·期中）计算下面长方体和正方体的表面积。（单位：厘米） 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·云南昭通·期中）计算下面图形的表面积。 考点讲练八 长方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西九江·期中）学校要粉刷新教室。已知教室的长是8米，宽是5米，高是3米，扣除门窗和黑板的面积是12平方米。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花多少钱？ 考点讲练九 正方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山东菏泽·期中）如图，两个几何体是用相同的正方体摆成的，哪个几何体的表面积大一些？（    ） A．正方体 B．长方体 C．同样大 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 考点讲练十 正方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）计算下面图形的表面积。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南三门峡·期中）明明准备用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，他至少需要用( )cm的铁丝；如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是( )cm，如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要( ) cm2的商标纸。 考点讲练十一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西宜春·期中）大寒节气这天吃年糕，有“年高”之意，带着吉祥如意、年年平安的好彩头。年糕师傅将两盒年糕用油纸包起来，年糕的尺寸如图。下面三种包装方式，第（    ）种包装方式最省油纸。（单位：厘米） A．① B．② C．③ D．无法确定 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东韶关·期中）如图，将一根长方体木料截成两个小长方体，表面积增加( )平方厘米。 考点讲练十二 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）一些棱长是2分米的小正方体堆放在墙角（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面的面积是( )平方分米。 考点讲练十三 表面涂色的正方体 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2024·重庆渝北·小升初真题）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是( )个。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）如图，用棱长1厘米的小正方体拼成一个棱长3厘米的大正方体，把大正方体的表面涂上颜色，三面涂色的小正方体有( )块，两面涂色小正方体有( )块，一面涂色小正方体有( )块。 考点讲练十四 长方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）一根长方体木料长5m，沿横截面截成两段，表面积增加，这根木料的体积是( )。 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 考点讲练十五 正方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）求下列图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体的高截去2厘米后，它的表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是一个正方体。这个正方体的体积是( )立方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 考点讲练十六 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南开封·期中）有一个长方体容器（如下左图所示），长50厘米、宽30厘米、高20厘米，里面的水深8厘米。 （1）长方体容器中水的体积是多少？ （2）当容器竖起来放置以后（如上右图所示），水深多少？ 【变式】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）实践课上，老师布置了一个任务：已知一个长和宽均为8分米的长方体透明鱼缸（厚度忽略不计），鱼缸内水深5分米。聪聪将一个长6分米、宽4分米的长方体石块竖直立入鱼缸中（接触面之间无缝隙），并记录水位变化。石块放入后，水面迅速上升，聪聪惊呼：“现在水的高度是多少呢？”结合以前你所学知识，帮助聪聪解决这个问题。 考点讲练十七 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）求出下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）如左图，是由棱长1cm的小正方体拼成的，这个图形的表面积是( )。至少添上( )个这样的小正方体可以组合成一个大一些的正方体。 考点讲练十八 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下面组合图形的体积。（单位：分米） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南南阳·期中）计算图形（如图）的表面积和体积。（长度单位为） 考点讲练十九 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·新疆·期中）一块长方形纸板，长为30厘米，宽为20厘米，先在纸板的四个角分别剪掉一个边长为5厘米的小正方形，再折成一个无盖纸盒。这个纸盒所用的纸板是多少平方厘米？纸盒的容积是多少？（纸板的厚度忽略不计） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·湖北十堰·期中）如图是一个无盖的正方体玻璃缸，棱长是4分米，里面水深2.5分米。（玻璃厚度忽略不计） （1）玻璃缸内水与玻璃接触部分的面积是多少？制作这个玻璃缸至少要用多少平方分米玻璃？ （2）如图，将一个石块完全沉入水中后（水未溢出），水面升高2厘米，请你计算出这个石块的体积。 考点讲练二十 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体水箱，从里面量长14厘米，宽10厘米，深16厘米。先往水箱里加水，使水面的高度到10厘米，然后将一块石头放入水中（石头完全浸没），水面比原来上升2.5厘米。这块石头的体积是( )立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一个长方体玻璃鱼缸长8分米，宽5分米，高6分米。现在这个鱼缸装有3分米高的水，放入一个石头假山，浸没在水中，水面上升到4.2分米，这个石头假山的体积是多少？ 1．（24-25五年级下·江西赣州·期中）用一根52米长的铁丝，正好可以焊成长6米，宽4米，高（    ）米的长方体教具。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25五年级下·浙江杭州·期中）从一个体积是24立方厘米的长方体木块中，挖掉一小块后（如图），它的表面积（    ）。 A．比原来小 B．和原来同样大 C．比原来大 D．无法判断 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 4．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）一个长8dm，宽4dm，高5dm的长方体木块，能切成（    ）个棱长是2dm的小正方体。 A．20 B．16 C．10 D．8 5．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）下面说法正确的有（    ）句。 ①3的倍数可能是偶数。    ②一个长方体中最多有4条棱长相等。 ③一个正方形的边长是质数，那么它的周长一定是合数。 ④1＋2＋3＋4＋5＋…＋105的结果是偶数 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25五年级下·内蒙古赤峰·期中）5.06L＝( )L( )mL    ( )( ) 7．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一根长100厘米的铁丝，做成一个长10厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体后，还剩下( )厘米。 8．（24-25五年级下·河北唐山·期中）王笑笑想要做一个小正方体框架，至少需要( )根小棒和( )颗珠子。 9．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）焊接一个正方体框架共用去铁丝60cm，这个正方体的棱长是( )cm，它的表面积是( )。焊接一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体框架，至少需要铁丝( )cm。 10．（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图：用棱长为1cm的小正方体叠放成几何体，其中第一个几何体的表面积为，照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积是( )平方厘米。 11．（24-25五年级下·河北唐山·期中）把一个棱长为4厘米的正方体平均分成两个长方体，这时的表面积( )了（选填“增加”或“减少”）( )平方厘米。 12．（24-25五年级下·江西赣州·期中）棱长是6分米的正方体，它的表面积和体积相等。( )（判断对错） 13．（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个杯子的体积一定大于它的容积。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·河南驻马店·期中）计算下面图形的表面积和体积。 15．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 16．（24-25五年级下·河北石家庄·期中）阿基米德是希腊著名的哲学家、数学家和物理学家，他在两千多年前测量皇冠就发现了用排水法可以测量不规则物体的体积。小辉尝试用排水法测量一个不规则物体的体积，他进行了如下实验。 ①他准备了一个长10厘米、宽8厘米、高15厘米的长方体玻璃缸。 ②他往缸里倒入一些水，此时水面高度是8厘米。 ③他把一个苹果完全放入水中，水面上升到11厘米。 这个苹果的体积是多少立方厘米？ 17．（24-25五年级下·河南三门峡·期中）灵宝光明果园用长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体快递盒运输苹果，如果要给快递盒包上包装纸，一个盒子至少需要多少平方分米的包装纸？（接头处忽略不计） 18．（24-25五年级下·河北唐山·期中）向阳小学建一个长60米、宽25米、深2米的长方体游泳池。请你算一算。 (1)在游泳池的底面和内壁抹一层水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)在游泳池内壁四周1.5米高处用红漆画一条水位线，水位线的全长是多少米？ 19．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体鱼缸中盛有90升水，放入几块极具观赏性的小石头后（这几块小石头均没于水面），水面上升了3厘米。这几块小石头的体积一共是多少立方分米？ 20．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）要制作一个长1米、宽3分米、高5分米的长方体无盖玻璃容器。 (1)制作这个玻璃容器，至少需要玻璃多少平方分米？ (2)如果向容器中倒入60升的水，这时容器内的水距离容器口还有多少分米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $