第三单元 长方体和正方体（期中复习讲义）培优版（导图+18个考点真题讲练+提优练 共56题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 长方体和正方体【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 长方体有关棱长的应用 考点讲练十 长方体的体积 考点讲练二 长方体的展开图 考点讲练十一 正方体的体积 考点讲练三 正方体有关棱长的应用 考点讲练十二 长方体、正方体的容积 考点讲练四 正方体的展开图 奥数拓展一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 考点讲练五 长方体表面积的计算 奥数拓展二 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点讲练六 长方体表面积的应用 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体) 考点讲练七 正方体表面积的计算 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 考点讲练八 正方体表面积的应用 奥数拓展五 组合体的体积（长方体、正方体） 考点讲练九 表面涂色的正方体 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点讲练一 长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是( )m，放在地面上最小的占地面积是( )。 【答案】 60 20 【思路引导】第①空：棱长之和利用长方体12条棱分成“4条长、4条宽、4条高”，用（长＋宽＋高）×4计算出12条棱的总长度； 第②空：占地面积是底面面积（长×宽），需算出长×宽、长×高、宽×高三个面的面积，找最小值。 【规范解答】第①空： （6＋5＋4）×4 ＝15×4 ＝60（m） 第②空： 6×5＝30（） 6×4＝24（） 5×4＝20（）。 30＞24＞20 比较后最小面积是20。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东济南·期中）学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 【答案】（1）314米 （2）1413元 【思路引导】（1）需要装彩灯的棱是长方体的2条长、2条宽和4条高（地面的四边不装，不包含2条长和2条宽在地面的部分）。即彩灯长度＝（长＋宽）×2＋高×4，已知长120米，宽25米，高6米，把数据代入计算即可。 （2）已知彩灯线单价是4.5元/米，彩灯长度已由（1）得出，根据“总价＝单价×数量”，用4.5乘彩灯长度即可。 【规范解答】（1）（120＋25）×2＋6×4 ＝145×2＋6×4 ＝290＋24 ＝314（米） 答：学校至少要购买314米彩灯线。 （2）4.5×314＝1413（元） 答：一共需要1413元。 考点讲练二 长方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【答案】见详解 【思路引导】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，观察长方体可知，前后面最大，左右面其次，上下面最小，据此标出长方体的各面。 【规范解答】 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·全国·课后作业）文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 【答案】 3 2 【思路引导】根据题意得：一组相对面是长和宽组成的面，另一组相对面是长和高组成的面，则要求的另一组像对面是宽和高组成的面，长为30cm，宽为3cm，高为2cm。据此可得出答案。 【规范解答】根据题意可得：这个长方体长为30cm，宽为3cm，高为2cm。另一组相对面是长3cm，宽2cm的长方形。 考点讲练三 正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【答案】 5 5 【思路引导】一根铁丝焊成一个正方体框架，则铁丝的长度等于正方体棱长总和；正方体棱长总和＝棱长×12，则棱长＝棱长总和÷12，据此求出焊成正方体的棱长。 一根铁丝焊成一个长方体，则铁丝的长度等于长方体棱长总和；长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；则高＝棱长总和÷4－长－宽，据此求出焊成长方体的高。 【规范解答】60÷12＝5（cm） 60÷4－6－4 ＝15－6－4 ＝9－4 ＝5（cm） 一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是5cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是5cm。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东云浮·期中）一个正方体的棱长是6厘米，如果用8个这样的正方体拼成一个大正方体，这个大正方体的棱长总和是( )厘米。 【答案】 144 【思路引导】用8个小正方体拼成大正方体时，大正方体的每条棱由2个小正方体的棱长组成，因此大正方体的棱长为6×2＝12厘米。正方体有12条棱，根据“正方体的棱长总和＝棱长×12”计算出大正方体的棱长总和。 【规范解答】6×2＝12（厘米） 12×12＝144（厘米） 所以这个大正方体的棱长总和是144厘米。 考点讲练四 正方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·浙江温州·期中）正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【思路引导】正方体展开图共有11种，分为4类：“一四一”型：有6种；“二三一”型：有3种；“二二二”型：有1种。“三三”型：有1种。 【规范解答】 根据正方体的展开图这个面是D面。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）列图案中，（    ）不是正方体的展开图。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】正方体共有11种展开图，又分为4种类型，“1-4-1”型，“2-3-1”型，“2-2-2”型，“3-3”型，据此逐项分析进行解答。 【规范解答】 A．属于正方体展开图“1-4-1”型，所以是正方体的展开图； B．不属于正方体展开图的11种结构，所以不是正方体的展开图； C．属于正方体展开图“3-3”型，所以是正方体的展开图； 故答案为：B 考点讲练五 长方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）用一根48cm铁丝，焊接成长7cm，宽3cm的长方体框架，则框架高为( )cm，若用纸包装起来，至少用( )cm2包装纸（接头处不计），如果高增加2cm，长和宽不变，表面积比原来增加( )cm2。 【答案】 2 82 40 【思路引导】知道长方体的棱长总和，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽。求包装纸的面积就是求长方体的表面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。长和宽不变，高增加2厘米，上下底面积不变，则增加两个长高面的面积和两个宽高面的面积（这里的高是2厘米）。 【规范解答】48÷4－7－3 ＝12－7－3 ＝2（cm） （7×3＋7×2＋3×2）×2 ＝（21＋14＋6）×2 ＝41×2 ＝82（cm2） 7×2×2＋3×2×2 ＝28＋12 ＝40（cm2） 框架高为2cm，若用纸包装起来，至少用82cm2包装纸（接头处不计），如果高增加2cm，长和宽不变，表面积比原来增加40cm2。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 【答案】800平方厘米 【思路引导】由图形可知，这个组合图形的表面积等于长方体的表面积加上正方体侧面积的和。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的侧面积（4个面的面积）＝棱长×棱长×4，把数据分别代入计算。 【规范解答】（15×10＋8×10＋15×8）×2＋5×5×4 ＝（150＋80＋120）×2＋25×4 ＝350×2＋25×4 ＝700＋100 ＝800（平方厘米） 这个图形的表面积是800平方厘米。 考点讲练六 长方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】(1)150米 (2)1625平方米 【思路引导】（1）求沿泳池走一圈的长度，就是求泳池底面长方形的周长，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，将长50米、宽25米代入即可解答。 （2）求铺瓷砖的面积，是求长方体无盖时的表面积，根据无盖长方体表面积公式：表面积  ＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把长50米、宽25米、深2.5米代入公式，分别求出池底和四周的面积再求和。 【规范解答】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共要走150米。 （2）50×25＋（50×2.5＋25×2.5）×2 ＝1250＋（125＋62.5）×2 ＝1250＋187.5×2 ＝1250＋375 ＝1625（平方米） 答：铺瓷砖的面积是1625平方米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 【答案】C 【思路引导】通过观察图形可知，这个鱼缸的长是6cm，宽是5cm，高是3cm，根据无盖长方体的表面积＝长×宽＋2×长×高＋2×宽×高，把数据代入公式解答即可。 【规范解答】6×5＋6×3×2＋5×3×2 ＝30＋36＋30 ＝66＋30 ＝96（） 制作这个玻璃鱼缸至少需要96的玻璃。 考点讲练七 正方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 【答案】C 【思路引导】大正方体一个角挖掉一个小正方体，减少3个面，又增加了3个面，现在几何体的表面积等于原来大正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出表面积，据此解答。 【规范解答】2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 一个棱长为2cm的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为1cm的小正方体，这时它的表面积是24cm2。 故答案为：C 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北张家口·期中）一个棱长为2cm的正方体的展开图如图所示。 （1）在展开图中对应的位置标上“前”“右”和“上”。 （2）原来正方体的棱长总和是（    ）cm，表面积是（    ）。 【答案】（1）见详解 （2）24；24 【思路引导】（1）根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“Z”字两端处的小正方形是正方体的对面。已知正方体中有“后”、“左”、“下”，那么与“后”相对的面是“前”，与“左”相对的面是“右”，与“下”相对的面是“上”，据此在展开图中对应位置标注即可。 （2）已知正方体的棱长为2cm，根据“正方体棱长总和＝棱长×12”计算出该正方体的棱长总和；根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出该正方体的表面积。 【规范解答】（1）如图： （2）2×12＝24（cm） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 所以，原来正方体的棱长总和是24cm，表面积是24cm2。 考点讲练八 正方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南三门峡·期中）明明准备用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，他至少需要用( )cm的铁丝；如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是( )cm，如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要( ) cm2的商标纸。 【答案】 108 9 324 【思路引导】（1）用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度。 （2）如果将这根铁丝改围成一个正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出所围成的正方体的棱长。 （3）如果给这个正方体的四周贴上商标纸，即贴商标纸的面是正方体的4个面，根据正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，求出至少需要商标纸的面积。 【规范解答】（1）（12＋10＋5）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 他至少需要用（108）cm的铁丝； （2）108÷12＝9（cm） 如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是（9）cm； （3）9×9×4＝324（cm2） 如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要（324）cm2的商标纸。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个正方体复古礼盒的棱长是15厘米，小文请店员用彩纸把礼盒包装起来，如果用来包装这个礼盒的彩纸是礼盒表面积的1.4倍，那么要用多少平方厘米的彩纸？ 【答案】1890平方厘米 【思路引导】根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出这个礼盒的表面积； 已知用来包装这个礼盒的彩纸是礼盒表面积的1.4倍，用礼盒的表面积×1.4，即可求出要用彩纸的面积。 【规范解答】15×15×6×1.4 ＝225×6×1.4 ＝1350×1.4 ＝1890（平方厘米） 答：要用1890平方厘米的彩纸。 考点讲练九 表面涂色的正方体 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）2024·重庆渝北·小升初真题）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是( )个。 【答案】488 【思路引导】因为1000＝10×10×10，所以大正方体的每条棱上有10个小正方体，这些小正方体中至少有一面被涂过的数目等于小正方体的总个数减去没有面涂色的小正方体的个数，根据正方体的特征可知，没有面涂色的小正方体的个数是（10－1－1）×（10－1－1）×（10－1－1），据此求出没有面涂色的小正方体的个数，最后用减法求出至少有一面被涂过的数目即可。 【规范解答】1000＝10×10×10 1000－（10－1－1）×（10－1－1）×（10－1－1） ＝1000－8×8×8 ＝1000－512 ＝488（个） 1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是488个。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·江西上饶·期中）下图几何体是由27个小正方体组成的，拿掉（    ）块小正方体后，剩下的图形表面积最大。 A．① B．② C．③ D．不确定 【答案】C 【思路引导】立体图形的表面积是各个面积的总和。从正方体的顶点拿走一个小正方体，剩下的图形的表面积不变；从正方体的棱和面分别拿走一个小正方体，剩下的图形表面积会增加。据此分类解答。 【规范解答】（1）若拿走①小正方体： 观察图中可知，拿走①小正方体，减少了3个小正方体的面，但空出来的面也恰好还是3个小正方体的面，表面积不变。 （2）若拿走②小正方体： 观察图中可知，拿走②小正方体，减少了2个小正方体的面，但空出来的面是4个小正方体的面，表面积增加了2个小正方体的面。 （3）若拿走③小正方体： 观察图中可知，拿走③小正方体，减少了1个小正方体的面，但空出来的面是5个小正方体的面，表面积增加了4个小正方体的面。 所以拿掉③块小正方体后，剩下的图形表面积最大。 故答案为：C 【考点剖析】理解表面积的意义，明确在顶点，棱、面不同部分拿走小正方体后，引起表面积的不同的变化。 考点讲练十 长方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】 94 平方厘米 【思路引导】根据长方体的体积公式，体积的增加量等于对应面的面积乘增加的长度。因此，用体积增加量除以对应的棱长增加量，即可求出长方体三个不同面的面积（即长宽、长高、宽高）。长方体的表面积等于这三个面的面积之和乘 2。 【规范解答】（24÷2＋45÷3＋80÷4）2 ＝ （12＋15＋20）2 ＝ 472 ＝ 94（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是 94 平方厘米。 【考点剖析】由题意，长增加2厘米，体积增加24立方厘米，可知宽高2＝24立方厘米，则宽高＝12平方厘米．同理可知长高＝15平方厘米，长宽＝20平方厘米，根据长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，列式解答。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 【答案】（1）8704立方厘米；1088平方厘米 （2）见详解；长24厘米；宽18厘米；高6厘米 【思路引导】（1）已知长方体礼盒的长、宽、高，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求出这个礼盒的体积。 要在礼盒的四周贴一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），求这圈商标纸的面积，就是求长方体的侧面积，长方体的侧面是4个长36厘米、宽8.5厘米的长方形，根据长方形的面积公式S＝ab，求出一个面的面积，再乘4即可。 （2）已知连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，那么长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数。在长方形纸板的四个角上分别剪去边长是6厘米、12厘米、18厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体礼盒，此时长方体的长＝长方形的长－2条边长，长方体的宽＝长方形的宽－2条边长，长方体的高＝正方形的边长；据此分情况讨论，求出哪种礼盒正好能装下12小盒连翘红茶，即可确定无盖长方体的长、宽、高，并画出裁剪示意图。 【规范解答】（1）32×32×8.5 ＝1024×8.5 ＝8704（立方厘米） 32×8.5×4 ＝272×4 ＝1088（平方厘米） 答：这样一个礼盒的体积是8704立方厘米，这圈商标纸至少是1088平方厘米。 （2）长方体礼盒的长、宽、高是6的倍数； ①假设高是6厘米，那么： 长：36－6－6＝24（厘米） 宽：30－6－6＝18（厘米） 长可以装：24÷6＝4（盒） 宽可以装：18÷6＝3（盒） 高可以装：6÷6＝1（盒） 一共可以装：4×3×1＝12（盒） 刚好装下这12小盒连翘红茶，符合题意。 ②假设高是12厘米，那么： 长：36－12－12＝12（厘米） 宽：30－12－12＝6（厘米） 长可以装：12÷6＝2（盒） 宽可以装：6÷6＝1（盒） 高可以装：12÷6＝2（盒） 一共可以装：2×1×2＝4（盒） 4＜12 不能装下这12小盒连翘红茶，不符合题意。 ③假设高是18厘米，那么： 长：36－18－18＝0（厘米） 不符合题意。 裁剪示意图如下：        答：制作成的礼盒长是24厘米，宽是18厘米，高是6厘米。 【考点剖析】（1）掌握长方体的体积、表面积公式的运用，关键是分析出商标纸的面积是长方体哪些面的面积之和。 （2）掌握用长方形硬纸板做无盖长方体的方法，找出长方体的长、宽、高是解题的关键。 考点讲练十一 正方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体的高截去2厘米后，它的表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是一个正方体。这个正方体的体积是( )立方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 27 78 【思路引导】减少的表面积÷截去的高＝底面周长，底面周长÷4＝正方体棱长，正方体体积＝棱长×棱长×棱长；正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体表面积＋减少的表面积＝原来长方体的表面积。 【规范解答】24÷2÷4＝3（厘米） 正方体的体积：3×3×3＝27（立方厘米） 原来长方体的表面积：3×3×6＋24 ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 【答案】（1）见详解 （2）长2cm，宽6cm，高6cm （3）216cm3 【思路引导】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【考点剖析】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 考点讲练十二 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南许昌·期中）下图的长方体盒子中每个小正方体的棱长是2cm，这个长方体盒子的容积是( )cm3。 【答案】288 【思路引导】观察图可知，长方体的长＝正方体棱长×4，宽＝正方体棱长×3，高＝正方体棱长×3；再根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【规范解答】长：2×4＝8（cm） 宽：2×3＝6（cm） 高：2×3＝6（cm） 8×6×6 ＝48×6 ＝288（cm3） 这个长方体盒子的容积是288cm3。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北保定·期中）学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 【答案】小明 【思路引导】已知长方体玻璃缸的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出玻璃缸的总容积； 往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，用玻璃缸的总容积减去玻璃缸中水的体积，即是玻璃缸还剩余的空间； 已知小明、小刚往玻璃缸中放玻璃球，水面会上升，水上升部分的体积等于放入的玻璃球的体积；把两人各放一个玻璃球看作一轮，此时水上升的体积是120＋110＝230立方厘米； 用玻璃缸剩余的容积除以230，商表示可以放几轮，余数表示还剩下的空间； 用放了几轮后还剩下的空间与小明放的玻璃球体积进行比较，如果小明放的玻璃球体积大于剩下的空间，则水会溢出； 如果小刚放的玻璃球体积小于剩下的空间，则轮到小刚放时，水才会溢出。 【规范解答】18×6×15 ＝108×15 ＝1620（立方厘米） 1080毫升＝1080立方厘米 1620－1080＝540（立方厘米） 120＋110＝230（立方厘米） 540÷230＝2（轮）……80（立方厘米） 80＜120 答：轮到小明的时候水会溢出。 【考点剖析】除了熟悉不规则物体的容积的计算方法，还需要明确，每放完一轮玻璃球，余下的空间与玻璃球体积的大小关系能决定结论。 奥数拓展一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图：用棱长为1cm的小正方体叠放成几何体，其中第一个几何体的表面积为，照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积是( )平方厘米。 【答案】38 【思路引导】依题图可知，正方体个数依次增加2个，所以第五个几何体包含9个正方体。每增加1个正方体会增加6个面，但每2个正方体重叠又减少2个面，所以第五个几何体的表面积为9个正方体表面积－重合部分面积。 【规范解答】9×6－8×2 ＝54－16 ＝38（平方厘米） 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 【答案】D 【思路引导】表面积是物体所露出面的面积；分析取走小正方体后，增加的面和减少的面的关系判断。 【规范解答】假设取走A，增加3个面，减少3个面。表面积不变。 假设取走B，增加4个面，减少2个面，表面积增加。 假设取走C，增加5个面，减少1个面，表面积增加。 综上，取走C后，表面积变大正确。 奥数拓展二 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【答案】50000平方厘米 【思路引导】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是（300÷3＝100）厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是（300÷3＝100）厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。 【规范解答】上面的面积： 100×50×3 ＝5000×3 ＝15000（平方厘米） 左右面的面积： 50×（30＋40）×2 ＝50×70×2 ＝3500×2 ＝7000（平方厘米） 前后面的面积： [100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2 ＝[3000＋100×70＋4000]×2 ＝[3000＋7000＋4000]×2 ＝[10000＋4000]×2 ＝14000×2 ＝28000（平方厘米） 15000＋7000＋28000 ＝22000＋28000 ＝50000（平方厘米） 答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）计算组合图形的表面积。 【答案】428cm2 【思路引导】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积； 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 【规范解答】长方体的表面积： （10×8＋10×7＋8×7）×2 ＝（80＋70＋56）×2 ＝206×2 ＝412（cm2） 正方体4个面的面积： 2×2×4 ＝4×4 ＝16（cm2） 一共：412＋16＝428（cm2） 组合图形的表面积是428cm2。 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·广东佛山·期中）有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【答案】厘米 【思路引导】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此先算出铁块的体积，把它熔铸成一个长方体，铁块的体积不变，根据长方体的体积公式可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），据此解答。 【规范解答】（立方厘米） （厘米） 答：这个长方体的高是厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。下面关于长方体和正方体说法正确的是（    ）。 A．长方体体积大 B．体积相等，表面积也相等 C．体积相等，表面积不一定相等 【答案】C 【思路引导】把一块长方体橡皮泥捏成一个正方体后，它的形状变了，但它所占空间的大小不变，所以体积不变；正方体的表面积会变小，因为正方体属于长方体的一种，而同体积时正方体是长方体中表面积最小的一种，据此解答。 【规范解答】由分析可得：淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。关于长方体和正方体说法正确的是体积相等，表面积不一定相等。 故答案为：C 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【答案】64 【思路引导】将一个长方体截成最大的正方体时，正方体的棱长等于长方体长、宽、高中的最小值。题目中长方体的长、宽、高分别为6分米、4分米、5分米，因此正方体的棱长为4分米。根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算即可。 【规范解答】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方分米） 所以截成的正方体的体积是64立方分米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】62 【思路引导】由题意，长增加2厘米，体积增加12立方厘米，可知宽×高＝12÷2＝6平方厘米；同理可知长×高＝30÷3＝10平方厘米，长×宽＝60÷4＝15平方厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据分别代入公式解答。 【规范解答】（6＋10＋15）×2 ＝（16＋15）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） 那么这个长方体的表面积是62平方厘米。 【考点剖析】此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变．根据长方体的表面积公式解答即可。 奥数拓展五 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·安徽宿州·期中）用体积是1cm3的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，（    ）；①和②的表面积比较，（    ）。 A．①＞②；①＝② B．①＝②；①＜② C．①＜②；①＞② 【答案】A 【思路引导】比较两个立体图形可知：②比①少1个小正方体，两个图形的体积分别是组成的小正方体的体积和；②中缺少1个小正方体，表面积比①少3个小正方形的面，又增加3个小正方形的面。据此解答。 【规范解答】由分析可得：②比①少1个小正方体，所以①的体积大于②的体积，所以①＞②；②的表面积比①少3个小正方形的面，又增加3个小正方形的面，所以①和②的表面积比较，①＝②。 故答案为：A 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南信阳·期中）计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积：160dm2；体积：120dm3 （2）表面积：148m2；体积：88m3 【思路引导】（1）观察可知，用一个棱长是2dm的小正方体补成长方体，此时表面积增加3个小正方形的面积与立体图形凹下去的3个小正方形的面积相等，所以立体图形表面积与大长方体的表面积相等；立体图形的体积＝长方体体积－小正方体体积。 （2）观察可知，把正方体的上底补在下底所在位置，则立体图形表面积＝长方体表面积＋正方体的侧面积；立体图形的体积＝长方体体积＋正方体体积。 根据，正方体的侧面积公式，，，代入数值计算即可。 【规范解答】（1）表面积： （dm2） 体积： （dm3） （2）表面积： （m2） 体积： （m3） 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南许昌·期中）在仓库里有7块旧玻璃（大小如图所示），张叔叔从中挑选5块玻璃做成一个无盖的长方体鱼缸。（单位：厘米） （1）张叔叔应该选________________这5块玻璃做鱼缸。（填序号） （2）做这个鱼缸一共用了多少平方米的玻璃？ （3）往这个鱼缸里注入30升水，又放入一些鹅卵石和鱼后，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石和鱼的体积共多少立方厘米？ 【答案】（1）①④⑤⑥⑦ （2）1.29平方米 （3）7500立方厘米 【思路引导】（1）根据长方体特征：长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等，由于鱼缸无盖，所以只有一块是底面；由此可知，这个鱼缸的长是60厘米，宽是50厘米，高是45厘米，张叔叔应该选用①④⑤⑥⑦这5块玻璃做鱼缸。 （2）根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出需要玻璃的面积，注意单位名数的换算。 （3）水面上升部分的体积就是鹅卵石和鱼的体积，据此代入长方体体积公式，即可解答。 【规范解答】（1）根据分析可知，这个鱼缸的长是60厘米，宽是50厘米，高是45厘米，张叔叔应该选用①④⑤⑥⑦这5块玻璃做鱼缸。 （2）60×50＋（60×45＋50×45）×2 ＝3000＋（2700＋2250）×2 ＝3000＋4950×2 ＝3000＋9900 ＝12900（平方厘米） 12900平方厘米＝1.29平方米 答：做这个鱼缸一共用了1.29平方米的玻璃。 （3）60×50×2.5 ＝3000×2.5 ＝7500（立方厘米） 这些鹅卵石和鱼的体积共7500立方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）24-25五年级下·山西忻州·期中）一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 【答案】160立方厘米 【思路引导】水面上升的体积就是石块的体积。当第一次出现两个面是正方形时，此时水的高度是8厘米，当第二次出现两个面是正方形时，此时水的高度是10厘米，即放入石块，水面上升了（10－8）厘米，长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝石块的体积，据此列式解答。 【规范解答】10×8×（10－8） ＝80×2 ＝160（立方厘米） 答：石块的体积是160立方厘米。 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）用3个棱长为2cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少（    ）。 A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【思路引导】3个正方体拼成长方体，所以要先确定拼接时面的重合数量：每两个正方体拼接会重合2个面，3个正方体拼接有2处重合，总共重合4个正方形面。这四个面的面积就是减少的面积。如图： 【规范解答】 （cm2） 表面积减少16cm2。 2．（24-25五年级下·河南南阳·期中）下面问题中，可以用算式“8×8×4”解决的问题是（    ）。 A．一个正方体的棱长是8厘米，它的表面积是多少？ B．一个正方体的棱长是8厘米，它的体积是多少？ C．一个正方体的棱长是8厘米，把它切成三个相同的小长方体后，表面积增加了多少？ D．一个长方体的高是8厘米，底面是边长为4厘米的正方形，这个长方体的体积是多少？ 【答案】C 【思路引导】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把题目中的数据代入公式计算，即可求得这个正方体的表面积； （2）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题目中的数据代入公式计算，即可求得这个正方体的体积； （3）把一个大正方体切成三个相同的小长方体后，表面积增加了4个切面的面积，并且每个切面都是正方形； （4）长方体的体积＝长×宽×高，把题目中的数据代入公式计算，即可求得这个长方体的体积，据此解答。 【规范解答】A．8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 所以，它的表面积是384平方厘米。 B．8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 所以，它的体积是512立方厘米。 C．增加切面的数量：2×（3－1） ＝2×2 ＝4（个） 增加的面积：8×8×4 ＝64×4 ＝256（平方厘米） 所以，表面积增加了256平方厘米。 D．4×4×8 ＝16×8 ＝128（立方厘米） 所以，这个长方体的体积是128立方厘米。 故答案为：C 3．（24-25五年级下·河北保定·期中）把一块长是5cm、宽是4cm、高是5cm的长方体橡皮泥放在桌面上，切一刀分成两个大小一样的小长方体，表面积最多增加（    ）cm2。 A．50 B．40 C．25 D．20 【答案】A 【思路引导】切一刀增加2个面，平行于最大的面切一刀增加的表面积最多，5×5＞5×4＞4×5，平行于前后面切增加的表面积最多；最多增加的表面积＝长×高×2，据此列式计算。 【规范解答】5×5＞5×4＞4×5 5×5×2＝50（cm2） 表面积最多增加50cm2。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个长方体的长是，宽是，高是，它的棱长之和是( )，它的表面积是( )，它的体积是( )。 【答案】 60 142 105 【思路引导】长方体的棱长是由长、宽、高各4条边组成，棱长总和就是把长、宽、高数值相加，然后乘以4；长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高。 【规范解答】长方体的棱长之和： （7＋5＋3）×4 ＝15×4 ＝60（分米） 长方体的表面积： （7×5＋5×3＋7×3）×2 ＝（35＋15＋21）×2 ＝71×2 ＝142（平方分米） 长方体的体积： 7×5×3 ＝35×3 ＝105（立方分米） 一个长方体的长是7分米，宽是5分米，高是3分米，它的棱长之和是60分米，它的表面积是142平方分米，它的体积是105立方分米。 5．（24-25五年级下·河南南阳·期中）观察图中容器（图中每个小正方体的棱长为）。 这个容器的长是_____________；宽是______________；高是_______________。计算出这个容器的容积是__________。 【答案】 12 10 6 720 【思路引导】看图可知，容器的长＝小正方体的棱长×6，容器的宽＝小正方体的棱长×5，容器的高＝小正方体的棱长×3，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出这个容器的容积。 【规范解答】2×6＝12（cm）、2×5＝10（cm）、2×3＝6（cm） 12×10×6＝720（cm3）、720cm3＝720mL 这个容器的长是12；宽是10；高是6。计算出这个容器的容积是720。 6．（24-25五年级下·重庆江北·期中）李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要( )平方厘米的牛皮纸。 【答案】1440 【思路引导】 要求最省纸，则应把字典最大面拼在一起。先把2本字典的最大面拼在一起，则长是15厘米，宽是10厘米，高是6×2＝12厘米的长方体；这时，再增加同样的两本字典拼成长方体，要让长15厘米，高是12厘米的面拼在一起，变成一个长是15厘米，宽是10×2＝20厘米，高是12厘米的大长方体，如图：；再根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】先把2本字典最大的面拼；再把拼成后的两个长方体的最大面拼在一起。 如图： 拼在一起后的长方体的长是15厘米，宽是10×2＝20（厘米），高是6×2＝12（厘米）。 （15×20＋15×12＋20×12）×2 ＝（300＋180＋240）×2 ＝（480＋240）×2 ＝720×2 ＝1440（平方厘米） 7．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。 【答案】 40 32 【思路引导】首先，我们需要理解长方体的特性，即它有12条棱，分为3组，每组4条，相互平行的棱的长度相等。然后，我们需要选择合适的小棒来搭建长方体，可选4根长2厘米，8根长4厘米的小棒，据此计算出长方体的棱长总和和体积。 【规范解答】 =104 =40（厘米） 【考点剖析】长方体棱长总和,长方体体积公式。 8．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 【答案】26 【思路引导】这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架，则原来的长方体是一个上下两个面是正方形的特殊长方体，则增加的表面积就是侧面四个宽是4cm的长方形面积和，则用增加的面积除以4得出每个长方形的面积，再除以4就是长方形的长和宽，也是这个长方体增加4cm后的高，减去4就是原来长方体的高。 【规范解答】480÷4＝120（cm2） 120÷4＝30（cm） 30－4＝26（cm） 则原来长方体框架的高是26cm。 9．（23-24五年级下·河北邢台·期中）如图的图形可以折成一个正方体。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】正方体展开图分四种类型，11种情况，如图所示： “1－4－1”型； “2－2－2”型                “2－3－1”型 “3－3”型 【规范解答】 由分析可知：图形属于正方体展开图的“1－4－1”型，可以折成一个正方体，原题说法正确。 故答案为：√ 10．（23-24五年级下·广东江门·期中）表面积相等的两个长方体。体积一定相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据长方体的体积公式：V＝abh以及长方体的表面积公式：S＝a×b×2＋a×h×2＋b×h×2，可举例说明，当两个长方体的体积相等，它们的长、宽、高不一定相等，那么它们的表面积也不一定相等。据此解答。 【规范解答】举例说明：长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体； 体积：3×2×1＝6（立方厘米） 表面积：3×2×2＋3×1×2＋2×1×2 ＝12＋6＋4 ＝22（平方厘米） 长、宽、高是1厘米、1厘米、6厘米的长方体； 体积：1×1×6＝6（立方厘米） 表面积：1×1×2＋1×6×2＋1×6×2 ＝2＋12＋12 ＝26（平方厘米） 可见，体积相等的两个长方体，表面积不一定相等。 故答案为：× 11．拼成一个稍大的正方体至少需要4个完全相同的小正方体。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】假设一个小正方体的棱长为1厘米，其体积为立方厘米；拼成的大正方体的棱长最少由2个同样的小正方体组成，即稍大的正方体的棱长为2厘米，这个稍大的正方体的体积为立方厘米，所以这个稍大的正方体由个小正方体组成。 【规范解答】由分析可知，拼成一个稍大的正方体至少需要8个完全相同的小正方体，原题说法错误； 故答案为：× 12．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据长方体的特征和长方体体积的计算方法，由题意知：把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 【规范解答】把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。 故答案是：× 【考点剖析】能理解把不规则物体捏成长方体（均为实心），形状改变了，体积没有改变，是解决此题的关键。 13．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】220cm2；体积187cm3 【思路引导】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算求解。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【规范解答】表面积： （8×4＋8×5＋4×5）×2＋3×3×4 ＝（32＋40＋20）×2＋9×4 ＝92×2＋36 ＝184＋36 ＝220（cm2） 体积： 8×4×5＋3×3×3 ＝160＋27 ＝187（cm3） 图形的表面积是220cm2，体积是187cm3。 14．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 【答案】292立方厘米 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；分别计算出长方体和正方体的体积；再用长方体的体积减去正方体的体积。 【规范解答】10×5×6－2×2×2 ＝50×6－4×2 ＝300－8 ＝292（立方厘米） 15．（24-25五年级下·广西玉林·期中）（如图）把一个长为36厘米，宽为20厘米的长方形铁皮的4个角上各剪掉一个边长为5厘米的小正方形后，焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】620平方厘米 【思路引导】无盖的长方体铁盒，其表面积的计算需要注意与完整长方体表面积的区别。我们可以通过分析原来长方形铁皮的面积以及剪掉的小正方形的面积关系来求解，也可以分别计算无盖铁盒各个面的面积再相加。 方法一：利用原长方形面积减去剪掉的小正方形面积之和计算原长方形铁皮的面积： 根据，原长方形长36厘米，宽20厘米，所以原面积为36×20＝720（平方厘米）。计算剪掉的4个小正方形的面积：每个小正方形边长为5cm，根据正方形面积＝边长×边长，一个小正方形面积是5×5＝25（平方厘米），那么4个小正方形面积就是4×25＝100（平方厘米）。计算无盖铁盒的表面积：因为焊接成无盖铁盒后，表面积等于原长方形铁皮面积减去剪掉的4个小正方形的面积，所以铁盒表面积为720－100＝620（平方厘米）。可列综合算式计算。 方法二：分别计算无盖铁盒各个面的面积再相加。 确定无盖铁盒的长、宽、高：原来长方形长36厘米，剪掉两个5厘米的小正方形边长后，即减掉5×2＝10（厘米）后，铁盒的长为36－10＝26（厘米）。原来长方形宽20厘米，剪掉两个5厘米的小正方形边长后，即减掉5×2＝10（厘米）后，铁盒的宽为20－10＝10（厘米）。铁盒的高就是剪掉的小正方形的边长，即5厘米。计算各个面的面积：底面（长×宽）：26×10＝260（平方厘米）。两个侧面（长×高）：26×5×2＝260（平方厘米）。另外两个侧面（宽×高）：10×5×2＝100（平方厘米）。计算表面积总和：将各个面的面积相加，260＋260＋100＝620（平方厘米）。得出无盖长方体的长和宽之后，可根据乘法分配律列综合算式计算。 【规范解答】 （平方厘米） 或者： （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个铁盒的表面积是620平方厘米。 【考点剖析】理解无盖长方体表面积的构成，以及准确计算长、宽、高的变化是解题关键。 16．（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个底面长和宽都是3分米的长方体玻璃容器中装有5升水，将一块石头完全浸没在水中，这时水深1.5分米。这块石头的体积是多少？ 【答案】8.5立方分米 【思路引导】长方体体积公式为：。石头的体积等于它浸没在水中后水上升的体积，先用长方体的体积公式算出放入石头后水和石头的总体积，再减去原来水的体积，就可以得到石头的体积。注意先统一单位再计算。 【规范解答】5升＝5立方分米 （立方分米） 答：这块石头的体积是8.5立方分米。 17．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个长方体木箱，长12分米，宽8分米，高6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不涂），如果每平方分米用油漆0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 【答案】89千克 【思路引导】底面不涂，需要计算五个面的面积之和，用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出需要涂油漆的面积，再将这个面积乘0.25，求出涂这个木箱要用油漆多少千克。 【规范解答】12×8＋12×6.5×2＋8×6.5×2 ＝96＋156＋104 ＝356（平方分米） 356×0.25＝89（千克） 答：涂这个木箱要用油漆89千克。 18．（24-25五年级下·河北邢台·期中）掷实心球可以考查学生的力量、柔韧、协调等身体素质。实心球球体为生胶铸造，球体内不得有滚动物。小文准备测量一个重2千克的实心球的体积，他先找来一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，往里面倒入6升水，再把一个实心球放入，完全沉没，这时水未溢出，且水面高19厘米，这个实心球的体积是多少立方分米？ 【答案】1.6立方分米 【思路引导】由题意可知，倒入水的高度＝倒入水的体积÷容器的底面积，上升部分水的高度＝放入实心球后的水面高度－倒入水的高度，实心球的体积等于放入实心球后上升部分水的体积，则这个实心球的体积＝容器的底面积×上升部分水的高度，据此解答。 【规范解答】6升＝6立方分米，19厘米＝1.9分米。 倒入水的高度： 6÷（2×2） ＝6÷4 ＝1.5（分米） 实心球的体积： 2×2×（1.9－1.5） ＝2×2×0.4 ＝1.6（立方分米） 答：这个实心球的体积是1.6立方分米。 19．（24-25五年级下·重庆江北·期中）如图，两个长方体容器用一根极细的管道相连接。管道关闭时，两个容器中水的深度分别是8分米和6分米。打开管道让水自由流动，等水静止后，两个容器中水的深度是相同的，这时水深是多少？（容器壁厚度不计，不考虑管道内的空间） 【答案】6.8分米 【思路引导】根据长方体的体积＝长×宽×高，算出两个容器里水的体积之和，再把两个容器的底面积看作一个大底面积，用总体积除以大底面积即可。 【规范解答】2×5×8＋3×5×6 ＝80＋90 ＝170（立方分米） 170÷（2×5＋3×5） ＝170÷（10＋15） ＝170÷25 ＝6.8（分米） 答：这时水深6.8分米。 20．（23-24五年级下·山西晋中·期中）介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 【答案】能装得进去 【思路引导】由题意可知，要知道这个工艺品是否能装进长方体内，就要去对比这个工艺品和长方体的长、宽、高，已知长方体的容积是2.43立方分米，根据长方体的体积＝长×宽×高可变形为高＝长方体体积÷长÷宽，求出这个长方体的高，最后再比较长宽高：最长的棱长和最长的棱长相比，中等长度的棱长和中等长度的棱长相比，最短的棱长和最短的棱长相比，据此解答即可。 【规范解答】能装得进去； 理由如下： 2.43立方分米＝2430立方厘米 2430÷18÷15 ＝135÷15 ＝9（厘米） 18＞15，9＞8，15＞12 答：能装得进去。 【考点剖析】能不能装的下，我们不能简单的比较体积大小，要根据实际情况来分析。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第三单元 长方体和正方体【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 长方体有关棱长的应用 考点讲练十 长方体的体积 考点讲练二 长方体的展开图 考点讲练十一 正方体的体积 考点讲练三 正方体有关棱长的应用 考点讲练十二 长方体、正方体的容积 考点讲练四 正方体的展开图 奥数拓展一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 考点讲练五 长方体表面积的计算 奥数拓展二 组合体的表面积（长方体、正方体） 考点讲练六 长方体表面积的应用 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体) 考点讲练七 正方体表面积的计算 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 考点讲练八 正方体表面积的应用 奥数拓展五 组合体的体积（长方体、正方体） 考点讲练九 表面涂色的正方体 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 知识点一 长方体的认识及特征 1. 长方体的定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。 2. 长方体的组成 （1）面：长方体有6个面，相对的面形状、大小完全相同； （2）棱：长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等； （3）顶点：长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，分别对应长、宽、高。 3. 长方体的特征 4. 长方体的长、宽、高 相交于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 注意：长方体的形状和大小由长、宽、高决定，放置方式不同时名称可能变化。 知识点二 正方体的认识及特征 1. 正方体的认识：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫做立方体，是特殊的长方体。 2. 正方体的组成 （1）面：正方体有6个面，均为正方形且大小、形状完全相同； （2）棱：正方体有12条棱，所有棱长度相等； （3）顶点：正方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱。 3. 正方体的特征 （1）正方体的6个面都是正方形，且大小完全相同。 （2）正方体有12条棱，且正方体的12条棱长度都相等，正方体的长、宽、高相等，统称为棱。 注意：正方体的棱是立体图形的线段，而正方形的边是平面图形的线段，棱长和边长注意区别。 4. 正方体和长方体的关系 （1）转化关系：正方体是特殊的长方体，当长方体的长、宽、高完全相等时，就转化为正方体。 （2）相同点：都是立体图形，都有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱相等且平行，相对的面相等且平行。 （3）区别 知识点三 长方体的表面展开图 1. 长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图共有54种，可分为四个类型 （1）一四一式，即中间一行4个面，上下各1个面，共有27种； （2）二三一式，即中间一行3个面，上一行2个面，下一行1个面，共有18种； （3）二二二式，即三行各有2个面，呈阶梯状排列，共有6种； （4）三三式，即两行各3个面，上下错位连接，共3种，以上共计54种。 2. 口诀 中间四个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便，两两相连各错一，三个两排一对齐，要找两个相对面，切记相隔一个面。 知识点四 正方体的表面展开图 1. 正方体的展开图共有11种，也可分为四个类型。 （1）一四一型，即中间四个正方形相连，两侧各一个。 （2）二三一型，即中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个。 （3）二二二型，即中间两个正方形相连，两侧各两个。 （4）三三型，两侧各三个。 2. 口诀 正方体展有规律，十一种类看仔细；中间四个成一行，两边各一无规矩；二三紧连错一个，三一相连一随意；两两相连各错一，三个两排一对齐。 一条线上不过四，田七和凹要放弃；相间之端是对面，间二拐角面相邻。 知识点五 长方体的棱长及棱长总和 1. 棱长总和定义：长方体的棱长总和一般是是指12条棱的长度之和。 2. 棱长总和公式：长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4，用字母表示为L=（a+b+h）×4。 3. 根据棱长总和公式反求长、宽、高 长=棱长和÷4－宽－高； 宽=棱长和÷4－长－高； 高=棱长和÷4－长－宽。 注意：若长方体有两个面是正方形，则对应的两组棱长度相等，公式仍适用，此时注意简化计算步骤。 知识点六 正方体的棱长及棱长总和 1. 正方体的棱长总和=12×棱长，用字母表示为L=12a。 2. 反求棱长，棱长=棱长总和÷12。 知识点七 长方体的表面积 1. 长方体的表面积：长方体表面积是指长方体6个面的总面积，包括上下、前后、左右6个长方形（或特殊情况下含正方形面）的面积之和。 2. 长方体的表面积计算公式：长方体的表面积=2×（长×宽+长×高+宽×高），用字母表示为S=2ab＋2ah+2bh=2（ab+ah+bh）。 3. 已知表面积，反求长、宽、高，可列方程解决问题 4. 表面积在我们生活中 在生产生活中，并不是所有的长方体都有6个面，因此，在计算长方体表面积的过程中，要注意结合生活实际，分析需要计算多少个面的面积。 例如：无盖礼品盒、鱼缸、游泳池、抽屉以及开口箱等物品一般没有上面；通风管道、烟囱、方形水管等物品一般没有上下面；粉刷房间墙壁，油漆柱子有时候也可能省去上下面等。 知识点八 正方体的表面积 1. 正方体的表面积：正方体的表面积是指 6个完全相同的正方形面的总面积。 2. 正方体的表面积计算公式：正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。 3. 表面积在我们生活中：与长方体表面积类似，在生产生活中同样会遇到不计算正方体6个面面积的情况，例如：无盖正方体容器、通风管、鱼缸、抽屉等等。 知识点九 长方体和正方体的切拼问题 长方体和正方体切拼引起的表面积增减变化主要有三种，一是切割问题，表面积会相应增加，二是拼接问题，表面积会相应减少，三是特殊的切拼问题。 1. 切割引起的表面积增加 （1）正方体的单次切割 将正方体沿某一方向切割成两个长方体（例如沿棱长中点切开），此时表面积会增加 2个正方形的面（切口处的两个新面），用公式表示为增加面积=2a2。 （2）长方体的单次切割 长方体沿不同切割方向进行切割，表面积的变化情况是不同的： ①沿长切割：增加 2个长×宽的面； ②沿宽切割：增加 2个宽×高的面； ③沿高切割：增加 2个长×高的面 高的变化引起的表面积变化，在正方体中，即棱长的增减变化，引起正方体侧面积的增减变化，在长方体中，引起长方体侧面积的增减变化 （3）多次切割。 不论是长方体还是正方体，切割时都有如下规则： 切一刀增加两个切面，切两刀增加四个切面……将长方体或正方体切割成 n段，需切（ n－1 ）刀，每刀增加2个面，总增加面积为 2(n－1)×截面面积。 段数－1=刀数；刀数×2=切面个数。 2. 拼接引起的表面积减少 （1）正方体的拼接：两个正方体拼接时有两个重合面，会减少两个正方形的面积，同理，三个正方体的拼接会减少四个正方形的面积，我们可以先判断刀数，再根据刀数去推减少的正方形的个数。 （2）长方体的拼接：长方体的拼接要根据不同的拼接面来判断具体减少的面积。 3. 特殊的切拼问题 （1）将长方体切割成若干个正方体：将长方体切割成若干个正方体，切割次数与棱长匹配，需要计算切口增加的截面面积 （2）将多个小正方体拼成一个不规则组合体：将多个小正方体拼成一个不规则组合体，计算所有暴露在外面的总面积，注意排除被遮挡的面。 知识点十 立方体表面染色问题 1. 立方体表面染色问题：立方体表面染色问题，即将一个立方体分割成若干小立方体，在表面染色后统计不同颜色面的数量。 2. 染色规律 三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里面。 （1）三面染色的正方形在顶点位置，由于正方体有8个顶点，因此，染三个面的小正方体数量：8个。 （2）染两个面的小正方体数量：12×（a－2）。 （3）染一个面的小正方体数量：6×（a－2）×（a－2）。 （4）没有染色的面的小正方体数量：（a－2）×（a－2）×（a－2）。 注意：字母a表示棱上小正方体的数量。 知识点十一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点十二 体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3） 立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3） 立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3） 立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L） 升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL） 毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率 1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率 1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算 1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算 高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点十三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点十四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式。 正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点十五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系 如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点十六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点十七 等积变形问题 1. 等积变形问题 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点十八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点十八 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 考点讲练一 长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）一个长方体，长6m，宽5m，高4m，它的棱长之和是( )m，放在地面上最小的占地面积是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山东济南·期中）学校礼堂的形状是一个长方体（如图）。为迎接“十一”国庆节，学校要在礼堂的四周装上彩灯（地面的四边不装）。已知礼堂长120米，宽25米，高6米。 （1）学校至少要购买多少米彩灯线？ （2）如果彩灯线需要4.5元/米，一共需要多少钱？ 考点讲练二 长方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·河北承德·期末）在下面展开图上用“上、下、左、右、前、后”标出长方体的各面。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·全国·课后作业）文房四宝，是指中国独有的书法绘画工具（书画用具），即笔、墨、纸、砚。除此之外，用来压纸的镇尺被称为“文房第五宝”。小明酷爱书法，他买了一把长方体的木制镇尺。这把镇尺的两组相对面如下图所示，那么，这把镇尺的另一组相对面是长( )cm，宽( )cm的长方形。 考点讲练三 正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北石家庄·期中）一根铁丝长60cm，如果焊成一个正方体框架，棱长是( )cm。如果焊成一个长6cm，宽4cm的长方体框架，高是( )cm。（接头处不计） 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·广东云浮·期中）一个正方体的棱长是6厘米，如果用8个这样的正方体拼成一个大正方体，这个大正方体的棱长总和是( )厘米。 考点讲练四 正方体的展开图 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·浙江温州·期中）正方体的展开图有6个面，下面左图给出了其中的5个面。从右图A、B、C、D中选择一个面，使这个展开图成为完整的正方体展开图，这个面是（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）列图案中，（    ）不是正方体的展开图。 A． B． C． 考点讲练五 长方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）用一根48cm铁丝，焊接成长7cm，宽3cm的长方体框架，则框架高为( )cm，若用纸包装起来，至少用( )cm2包装纸（接头处不计），如果高增加2cm，长和宽不变，表面积比原来增加( )cm2。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 已知一个长方体上有一个正方体，求这个图形的表面积。 考点讲练六 长方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江西赣州·期中）“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）在一个无盖的长方体玻璃鱼缸里摆了若干个棱长1cm的小正方体（如图），制作这个玻璃鱼缸至少需要（    ）cm2的玻璃。 A．126 B．111 C．96 D．84 考点讲练七 正方体表面积的计算 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北邯郸·期中）一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北张家口·期中）一个棱长为2cm的正方体的展开图如图所示。 （1）在展开图中对应的位置标上“前”“右”和“上”。 （2）原来正方体的棱长总和是（    ）cm，表面积是（    ）。 考点讲练八 正方体表面积的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南三门峡·期中）明明准备用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，他至少需要用( )cm的铁丝；如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是( )cm，如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要( ) cm2的商标纸。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南焦作·期中）一个正方体复古礼盒的棱长是15厘米，小文请店员用彩纸把礼盒包装起来，如果用来包装这个礼盒的彩纸是礼盒表面积的1.4倍，那么要用多少平方厘米的彩纸？ 考点讲练九 表面涂色的正方体 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）2024·重庆渝北·小升初真题）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个棱长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是( )个。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·江西上饶·期中）下图几何体是由27个小正方体组成的，拿掉（    ）块小正方体后，剩下的图形表面积最大。 A．① B．② C．③ D．不确定 考点讲练十 长方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·浙江湖州·期中）有一个长方体，如果长增加2厘米，体积就增加24立方厘米；宽增加3厘米，体积就增加45立方厘米；如果高增加4厘米，体积就增加80立方厘米。这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·河南三门峡·期中）连翘，又名空壳，俗称黄花条，具有药用价值。卢氏连翘久负盛名，近年来卢氏县将连翘作为重点产业发展，开发了连翘绿茶和红茶。 （1）连翘绿茶礼盒是长32厘米、宽32厘米、高8.5厘米的长方体，这样一个礼盒的体积是多少？这种礼盒的四周还贴了一圈与它等高的商标纸（上、下面不贴），这圈商标纸至少是多少平方厘米？ （2）连翘红茶是包装在一个棱长6厘米的小正方体铁盒中，张叔叔购买了12小盒。售货员拿出一张长36厘米，宽30厘米的长方形硬纸板，制作成了一个无盖的礼盒，刚好装下这12小盒连翘红茶。 你知道她是怎样设计制作的吗？先思考怎样才能装下，然后把下面长方形分成5份。画出裁剪示意图，注意保留作图痕迹（铁盒壁和粘贴处忽略不计，且不浪费材料）。 通过计算说明制作成的礼盒长、宽、高分别是多少？ 考点讲练十一 正方体的体积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·四川遂宁·期中）一个长方体的高截去2厘米后，它的表面积减少了24平方厘米，剩下的部分正好是一个正方体。这个正方体的体积是( )立方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 考点讲练十二 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南许昌·期中）下图的长方体盒子中每个小正方体的棱长是2cm，这个长方体盒子的容积是( )cm3。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北保定·期中）学习了用“排水法”求不规则物体的体积以后，活动课上，同学们设计了一个数学小游戏：一个长方体玻璃缸，长18厘米，宽6厘米，高15厘米，往这个玻璃缸中倒入1080毫升的水，小明手里有若干个体积是120立方厘米的玻璃球，小刚手里有若干个体积是110立方厘米的玻璃球，两个人从小明开始依次将手中的玻璃球放入水中，每人每次只能放一颗，轮到谁的时候水会溢出？ 奥数拓展一 立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河北唐山·期中）如图：用棱长为1cm的小正方体叠放成几何体，其中第一个几何体的表面积为，照图中的叠放规律，第五个几何体的表面积是( )平方厘米。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·重庆江北·期中）下面的几何体是用27块棱长为1cm的小正方体拼成的，从中取走1个小正方体，取走以后剩下部分几何体的表面积与原来比较，说法正确的是（    ）。 A．取走A后，表面积变小 B．取走B后，表面积变小 C．取走A后，表面积变大 D．取走C后，表面积变大 奥数拓展二 组合体的表面积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南商丘·期中）运动会领奖台是由底面长和宽分别相同的三个长方体拼接而成的（如图单位：厘米），拼接后除了底面不涂漆外，其余面都涂油漆，需要涂油漆的面积是多少平方厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）计算组合图形的表面积。 奥数拓展三 体积的等积变形（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（23-24五年级下·广东佛山·期中）有一块棱长是80厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个长15厘米，宽20厘米的长方体，这个长方体的高是多少厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·甘肃平凉·期中）淘气用一块橡皮泥捏了一个长方体，又用其捏了一个正方体。下面关于长方体和正方体说法正确的是（    ）。 A．长方体体积大 B．体积相等，表面积也相等 C．体积相等，表面积不一定相等 奥数拓展四 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南郑州·期中）把一个长是6分米，宽是4分米，高是5分米的长方体截成一个最大的正方体，截成的正方体的体积是( )立方分米。 【变式】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·北京密云·期末）一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加12立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加30立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加60立方厘米。那么这个长方体的表面积是( )平方厘米。 奥数拓展五 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·安徽宿州·期中）用体积是1cm3的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，（    ）；①和②的表面积比较，（    ）。 A．①＞②；①＝② B．①＝②；①＜② C．①＜②；①＞② 【变式】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南信阳·期中）计算下面立体图形的表面积和体积。 奥数拓展六 不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南许昌·期中）在仓库里有7块旧玻璃（大小如图所示），张叔叔从中挑选5块玻璃做成一个无盖的长方体鱼缸。（单位：厘米） （1）张叔叔应该选________________这5块玻璃做鱼缸。（填序号） （2）做这个鱼缸一共用了多少平方米的玻璃？ （3）往这个鱼缸里注入30升水，又放入一些鹅卵石和鱼后，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石和鱼的体积共多少立方厘米？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）24-25五年级下·山西忻州·期中）一个长方体容器，从里面量长10厘米，宽8厘米、高15厘米，小明向这个容器里倒了一些水，正好出现两个面是正方形，这时放入石块，恰好又出现了两个面是正方形（如下图），石块的体积是多少立方厘米？ 1．（24-25五年级下·河北邯郸·期中）用3个棱长为2cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少（    ）。 A．16 B．8 C．12 D．4 2．（24-25五年级下·河南南阳·期中）下面问题中，可以用算式“8×8×4”解决的问题是（    ）。 A．一个正方体的棱长是8厘米，它的表面积是多少？ B．一个正方体的棱长是8厘米，它的体积是多少？ C．一个正方体的棱长是8厘米，把它切成三个相同的小长方体后，表面积增加了多少？ D．一个长方体的高是8厘米，底面是边长为4厘米的正方形，这个长方体的体积是多少？ 3．（24-25五年级下·河北保定·期中）把一块长是5cm、宽是4cm、高是5cm的长方体橡皮泥放在桌面上，切一刀分成两个大小一样的小长方体，表面积最多增加（    ）cm2。 A．50 B．40 C．25 D．20 4．（24-25五年级下·河南南阳·期中）一个长方体的长是，宽是，高是，它的棱长之和是( )，它的表面积是( )，它的体积是( )。 5．（24-25五年级下·河南南阳·期中）观察图中容器（图中每个小正方体的棱长为）。 这个容器的长是_____________；宽是______________；高是_______________。计算出这个容器的容积是__________。 6．（24-25五年级下·重庆江北·期中）李阿姨给希望小学寄4本字典，每本字典长15厘米，宽10厘米，厚6厘米，现要用牛皮纸把这4本字典包成一个大长方体包裹，至少需要( )平方厘米的牛皮纸。 7．（24-25五年级下·浙江湖州·期中）明明有4根长2厘米，3根3厘米，9根4厘米的小棒，选取12根搭成一个长方体，这个长方体的棱长总和是( )厘米；体积是( )立方厘米。 8．（24-25五年级下·河南安阳·期中）灯笼又统称为“灯彩”，是一种古老的传统工艺品。王叔叔用木条钉了一个长方体灯笼框架，后因调整，又将这个长方体框架的高增加4cm，变成一个正方体框架（如图），制作灯笼所需纱布比原来增加了480cm2，原来长方体框架的高是( )cm。 9．（23-24五年级下·河北邢台·期中）如图的图形可以折成一个正方体。( )（判断对错） 10．（23-24五年级下·广东江门·期中）表面积相等的两个长方体。体积一定相等。( )（判断对错） 11．拼成一个稍大的正方体至少需要4个完全相同的小正方体。( )（判断对错） 12．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( )（判断对错） 13．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 14．（24-25五年级下·河南焦作·期中）看图计算（单位：厘米）。 从一个长方体的一个角挖去一个小正方体，求挖去后图形的体积。 15．（24-25五年级下·广西玉林·期中）（如图）把一个长为36厘米，宽为20厘米的长方形铁皮的4个角上各剪掉一个边长为5厘米的小正方形后，焊接成一个无盖的长方体铁盒。这个铁盒的表面积是多少平方厘米？ 16．（24-25五年级下·广西玉林·期中）一个底面长和宽都是3分米的长方体玻璃容器中装有5升水，将一块石头完全浸没在水中，这时水深1.5分米。这块石头的体积是多少？ 17．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）一个长方体木箱，长12分米，宽8分米，高6.5分米。如果把它的外表涂上油漆（底面不涂），如果每平方分米用油漆0.25千克，涂这个木箱要用油漆多少千克？ 18．（24-25五年级下·河北邢台·期中）掷实心球可以考查学生的力量、柔韧、协调等身体素质。实心球球体为生胶铸造，球体内不得有滚动物。小文准备测量一个重2千克的实心球的体积，他先找来一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，往里面倒入6升水，再把一个实心球放入，完全沉没，这时水未溢出，且水面高19厘米，这个实心球的体积是多少立方分米？ 19．（24-25五年级下·重庆江北·期中）如图，两个长方体容器用一根极细的管道相连接。管道关闭时，两个容器中水的深度分别是8分米和6分米。打开管道让水自由流动，等水静止后，两个容器中水的深度是相同的，这时水深是多少？（容器壁厚度不计，不考虑管道内的空间） 20．（23-24五年级下·山西晋中·期中）介休有“琉璃之乡”的美誉。在众多的琉璃建筑中，艺术成就最高、保存最完好的则首推介休后土庙，它被建筑界公认为“琉璃建筑艺术的宝库”，堪称是“中国琉璃艺术的博物馆”。目前介休部分学校开设琉璃社团。聪聪也制作了一个琉璃工艺品准备送给舅舅。这个工艺品的长15厘米，宽8厘米，高12厘米，把它装在一个从里面量长18厘米，宽15厘米，容积为2.43立方分米长方体内，是否装得进去？说说你的理由。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $