期中复习讲义01：圆柱与圆锥（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

期中复习讲义01：圆柱与圆锥 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、圆柱的认识及特征 1.定义：圆柱是由两个大小相等、互相平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。 2.各部分名称： (1)底面：圆柱上下两个圆形的面，分为上底和下底，且完全相同。 (2)侧面：连接两个底面的曲面。 (3)高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 3.特征： (1)底面是完全相同的圆； (2)侧面是一个光滑的曲面； (3)圆柱的高有无数条，且长度都相等。 考点二、圆锥的认识及特征 1.定义：圆锥是由一个圆形底面和一个曲面（侧面）围成的几何体，圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。 2.各部分名称： (1)底面：圆锥下方的圆形面。 (2)侧面：连接顶点和底面边缘的曲面。 (3)顶点：圆锥顶端的点。 (4)高：从顶点到底面圆心的垂直距离。 3.特征： (1)底面是一个圆； (2)侧面是一个曲面，展开后是一个扇形； (3)圆锥只有一条高。 考点三、圆柱的展开图 1.侧面展开图： (1)沿高展开：得到一个长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长（C = 2r 或 C = d），宽等于圆柱的高（h）；若底面周长等于高，则展开图为正方形。 (2)不沿高展开：可能得到一个平行四边形（通过斜切侧面），但平行四边形的底仍等于底面周长，高等于圆柱的高。 2.底面展开图：圆柱的两个底面展开后是两个完全相同的圆，半径等于圆柱底面半径（r）。 考点四、圆柱的侧面积 1.定义：圆柱侧面的面积，即展开后长方形（或正方形、平行四边形）的面积。 2.公式推导： 侧面展开图为长方形时，面积 = 长×宽 = 底面周长×高。 3.计算公式： （其中 (C) 是底面周长，(r) 是底面半径，(d) 是底面直径，(h) 是圆柱的高）。 考点五、圆柱的表面积 1.定义：圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面面积的总和。 2.公式推导： 表面积 = 侧面积 + 2个底面积（因为圆柱有两个底面）。 3.计算公式： （其中 = 是底面圆的面积）。 考点六、圆柱表面积的应用 1.实际场景分析： (1)无盖圆柱（如无盖水桶、鱼缸）：表面积 = 侧面积 + 1个底面积，即 。 (2)无底圆柱（如烟囱、通风管、水管）：表面积 = 侧面积，即 （无需计算底面积）。 (3)完整圆柱（如罐头盒）：表面积 = 侧面积 + 2个底面积，即 S = 2 r (h + r)。 2.注意事项：计算时需根据物体是否有盖、是否有底，确定是否需要计算底面积及计算几个底面积，单位需统一。 考点七、圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小。 2.公式推导： 将圆柱沿底面半径和高切开，拼成一个近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积（S = ），长方体的高等于圆柱的高（h）。因为长方体体积 = 底面积×高，所以圆柱体积 = 底面积×高。 3.计算公式： （其中 () 是底面积，(r) 是底面半径，(h) 是圆柱的高）。 考点八、圆柱体积的应用 1.圆柱形容器的容积：容积是容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但需从容器内部测量底面半径（或直径）和高（单位：升或毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米）。 2.不规则圆柱体积： (1)半圆柱：体积 = 完整圆柱体积÷2，即 V = 。 (2)空心圆柱（如钢管）：体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积，即 （R 是外半径，r 是内半径）。 考点九、圆柱与圆锥体积的关系 1.等底等高的圆柱和圆锥： (1)圆锥体积是圆柱体积的 ，即 ( )。 (2)圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，即 ()。 2.其他关系： (1)若圆柱和圆锥等底等体积，则圆锥的高是圆柱高的 3 倍（ ）。 (2)若圆柱和圆锥等高等体积，则圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍（）。 考点十、圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小。 2.公式推导： 通过实验（用同底等高的圆柱和圆锥容器），将圆锥容器装满水倒入圆柱容器，3次正好倒满，得出圆锥体积是同底等高圆柱体积的。 3.计算公式： （其中 (S) 是底面积，(r) 是底面半径，(h) 是圆锥的高）。 考点十一、圆锥体积的应用 1.圆锥形物体体积：如沙堆、煤堆、粮囤等，需先测量底面直径（或半径）和高（注意：圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离，非母线长），单位统一后代入公式计算。 2.圆锥形容器的容积：计算方法与体积相同，从容器内部测量底面半径（或直径）和高，结果单位通常为升或毫升。 例题讲解 题型一、圆柱的认识及特征 【例题1】以一个长方形的长所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，它的( )等于长方形的长，它的( )等于长方形的宽。 【答案】 圆柱 高 底面半径 【分析】以长方形的哪条边所在的直线为轴旋转成一个圆柱，为轴的那条边就是圆柱的高，相邻的另一条边就是圆柱的底面半径。 【详解】如图： 以一个长方形的长所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个（圆柱），它的（高）等于长方形的长，它的（底面半径）等于长方形的宽。 【变式训练1】将一张长方形纸按下边的方向卷成一个圆柱体，这张纸的长就是圆柱体的( )，宽是圆柱体的( )。 【答案】 底面周长 高 【分析】圆柱可以由长方形卷曲而得到，以长方形的长为底面周长，宽为高，或以长方形的宽为底面周长，长为高，据此解答。 【详解】根据分析可知： 将这张长方形纸按下边的方向卷成一个圆柱体，这张纸的长就是圆柱体的底面周长，宽是长方体的高。 【变式训练2】下面各图形中，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的圆柱是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱定义：圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。据此逐项分析，进行解答。 【详解】 A．，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的是圆台； B．，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的是圆锥； C．，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的是球； D．，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的是圆柱。 以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的圆柱是。 故答案为：D 题型二、圆锥的认识及特征 【例题2】旋转一周后形成( )体，其中a是这个图形的( )，b是这个图形的( )。 【答案】 圆锥 高 底面半径 【分析】以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。从顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高，底面圆心到圆周的距离是圆锥底面圆的半径，据此解答。 【详解】旋转一周后形成（圆锥）体，其中a是这个图形的（高），b是这个图形的（底面半径）。 【变式训练1】如图所示是一个圆锥，该圆锥有( )条高，高是( )cm，底面积是( )cm2。 【答案】 1 4 28.26 【分析】圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，据此确定圆锥的高；看图可知，圆锥的底面直径是6cm，根据圆锥底面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 该圆锥有1条高，高是4cm，底面积是28.26cm2。 【变式训练2】把第一行的图形沿虚线旋转一周后会得到下面的哪一个图形？连一连。 【答案】见详解 【分析】“点动成线，线动成面，面动成体”，上图由左到右，第一个图形，上面是一个小长方形，下面是一个正方形，长方形、正方形绕一边旋转得到的都是圆柱，此图旋转后得到是两个圆柱组成的立体图形；第二个图形，直角三角形绕一条直角边旋转，得到一个圆锥；第三个图形，上面是半圆，下面是直角三角形，旋转后半圆得到一个球，直角三角形得到一个圆锥，得到一个球和一个圆锥组成的立体图形；第四个图形，上面的直角三角形旋转后得到一个倒立的圆锥，下面的直角梯形旋转后得到一个圆台，得到一个圆锥和圆台组成的立体图形。 【详解】 【点睛】本题主要考查图形的旋转，需要大家了解常见平面图形旋转一周之后得到的立体图形，需要有一定的空间想象能力。 题型三、圆柱的展开图 【例题3】要做一个无盖的圆柱形容器，先用一块长12.56厘米，宽6.28厘米的长方形铁皮围成一个圆柱形，再用下面（    ）做底面。（接口处忽略不计） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用一块长12.56厘米，宽6.28厘米的长方形铁皮围成一个圆柱形，围成的圆柱的底面周长就是长方形的一条边的长，可以是长或宽，所以可根据圆的周长公式的逆运算，分别求出以长边为周长的直径和以短边为周长的直径，再逐项判断。 【详解】（厘米） （厘米） 这个无盖的圆柱形容器底面直径可能为4厘米或2厘米。 A．，，不符合题意。 B．半径是3，则直径是（厘米），，，不符合题意。 C．，符合题意。 D．，，不符合题意。 故答案为：C 【变式训练1】如图展开图中，能围成圆柱的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱侧面沿高展开是个长方形，长方形的长或宽是圆柱的底面周长，据此计算出圆的周长，等于长方形的长或宽即可。 【详解】3.14×3＝9.42（cm） 能围成圆柱的是。 故答案为：C 【变式训练2】如图，笑笑准备用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，她可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，长方形硬纸板的长和宽都可以是圆柱形或长方体笔筒的底面周长，根据圆柱底面周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，正方形的周长＝边长×4，分别计算出4个底面的底面周长，等于长方形硬纸板的长或宽即可。 【详解】①2×3.14×4＝25.12（cm） ②3.14×4＝12.56（cm） ③3.14×4＝12.56（cm） ④2×3.14×3＝18.84（cm） 她可以选用②③④作底面。 故答案为：C 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【答案】226.08 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面周长＝2r，代入数据解答即可。 【详解】2×3.14×6×6 ＝2×18.84×6 ＝37.68×6 ＝226.08（cm2） 所以这个圆柱的侧面积是226.08cm2。 【变式训练1】一个专门用来刷油漆的滚筒，它的长为4分米，半径为1分米。如果滚筒滚动100周，能刷墙面( )平方分米。 【答案】2512 【分析】圆柱的侧面积＝底面周长×高（底面周长＝2πr）。先计算出滚动一周刷墙的面积，再乘滚动周数求出刷墙的总面积。 【详解】2×3.14×1×4×100 ＝6.28×1×4×100 ＝6.28×4×100 ＝25.12×100 ＝2512（平方分米） 【变式训练2】一根圆柱形塑料水管，底面直径是24厘米，长是30厘米。做10根这样的水管，需要多少平方分米塑料？ 【答案】226.08平方分米 【分析】分析题目，做一根塑料水管需要的塑料指的是圆柱的侧面积，圆柱的侧面积＝πdh，据此列式求出做1根水管需要的塑料，再乘10即可求出做10根需要的塑料，最后根据1平方分米＝100平方厘米把面积换算成以平方分米为单位即可。 【详解】3.14×24×30×10 ＝75.36×30×10 ＝2260.8×10 ＝22608（平方厘米） 22608平方厘米＝226.08平方分米 答：需要226.08平方分米塑料。 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求圆柱的表面积。 【答案】244.92dm2 【分析】根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，据此解答。 【详解】3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×10 ＝3.14×32×2＋3.14×6×10 ＝3.14×9×2＋3.14×6×10 ＝28.26×2＋18.84×10 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（dm2） 【变式训练1】计算下面图形的表面积（单位：dm）。 【答案】244.92dm2 【分析】圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱半径＝底面周长÷圆周率÷2，底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高。 【详解】3.14×（18.84÷3.14÷2）2×2＋18.84×10 ＝3.14×32×2＋188.4 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（dm2） 【变式训练2】求下面图形的表面积。（单位：dm）     【答案】251.2dm2 【分析】观察图形可知，大圆柱和小圆柱有重合的部分，把小圆柱的上底面向下平移，补给大圆柱的上底面；这样大圆柱的表面积是完整的，小圆柱的表面积只需计算侧面积即可； 图形的表面积＝大圆柱的侧面积＋大圆柱的2个底面积＋小圆柱的侧面积 根据圆柱的侧面积S侧＝πdh，圆柱的底面积S底＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×8×5＋3.14×（8÷2）2×2＋3.14×4×2 ＝3.14×8×5＋3.14×42×2＋3.14×4×2 ＝3.14×8×5＋3.14×16×2＋3.14×4×2 ＝125.6＋100.48＋25.12 ＝251.2（dm2） 题型六、圆柱表面积的应用 【例题6】张师傅在农场的地面上挖了一个圆柱形蓄水池，底面半径是6米，深1.5米。把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【答案】 169.56平方米 【分析】已知圆柱形蓄水池的底面半径是6米，深1.5米，把底面和侧面抹上水泥，即抹水泥的面积由圆柱的底面积和侧面积组成。根据圆柱侧面积公式S＝2πrh计算出侧面积，根据圆的面积公式计算出底面积，最后将二者相加，就能得到抹水泥的总面积。 【详解】2×3.14×6×1.5＋3.14×62 ＝2×3.14×6×1.5＋3.14×36 ＝56.52＋113.04 ＝169.56（平方米） 答：抹水泥的面积是169.56平方米。 【变式训练1】我国成功研发出新型环保建筑材料——光能砖，它能将太阳能转化为电能供建筑使用。科研人员把一块光能砖样品放在一个圆柱形展示架中，展示架底面周长是18.84厘米，高是6厘米，制作这个展示架（无盖）需要多少平方厘米的材料？ 【答案】141.3平方厘米 【分析】底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，无盖展示架的表面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】18.84÷3.14÷2＝3（厘米） 3.14×32＋18.84×6 ＝3.14×9＋113.04 ＝28.26＋113.04 ＝141.3（平方厘米） 答：制作这个展示架（无盖）需要141.3平方厘米的材料。 【变式训练2】王爷爷是一个吹糖人艺术家，他使用的工具箱如图所示，如果给这个工具箱所有表面包一层牛皮，准备一张1平方米的牛皮，够吗？请写出你的思考过程。 【答案】够；见详解 【分析】要判断1平方米的牛皮是否够用，需先计算工具箱所有表面的总面积，再与1平方米比较。观察工具箱可知，它由长方体和半圆柱两部分组成。计算时，长方体部分需算前、后、左、右四个侧面及底面的面积（顶面与半圆柱衔接，无需单独计算）；半圆柱部分需算侧面面积（圆柱侧面积的一半）和一个完整的底面圆面积。将两部分面积相加，得到总面积，再与1平方米（1平方米＝100平方分米）比较。 长方形的面积公式：S＝ab 圆柱的侧面积公式：S侧＝Ch 圆的面积公式：S＝πr2＝π（d÷2）2 【详解】4×2×2＋4×2×2＋4×4 ＝16＋16＋16 ＝48（平方分米） 3.14×4×4÷2＋3.14×（4÷2）2 ＝3.14×4×4÷2＋3.14×22 ＝3.14×4×4÷2＋3.14×4 ＝25.12＋12.56 ＝37.68（平方分米） 48＋37.68＝85.68（平方分米） 1平方米＝100平方分米 100＞85.68 答：准备一张1平方米的牛皮，够。 题型七、圆柱的体积 【例题7】计算下列圆柱的表面积和体积。 【答案】表面积：635.85cm2；体积：1144.53cm3 【分析】根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积；代入数据，求出圆柱的表面积；根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积。 【详解】表面积：3.14×（9÷2）2×2＋3.14×9×18 ＝3.14×4.52×2＋28.26×18 ＝3.14×20.25×2＋508.68 ＝63.585×2＋508.68 ＝127.17＋508.68 ＝635.85（cm2） 体积：3.14×（9÷2）2×18 ＝3.14×4.52×18 ＝3.14×20.25×18 ＝63.585×18 ＝1144.53（cm3） 【变式训练1】求出下面几何体的体积。（单位：dm） 【答案】6280dm3 【分析】把两个一样的几何体合起来，就是一个底面直径是20dm，高是（15＋25）dm的圆柱的体积，根据圆柱体积＝底面积×高，代入数据，求出两个几何体合起来的体积，再除以2，即可求出一个几何体的体积，据此解答。 【详解】3.14×（20÷2）2×（15＋25）÷2 ＝3.14×102×40÷2 ＝3.14×100×40÷2 ＝314×40÷2 ＝12560÷2 ＝6280（dm3） 几何体的体积是6280dm3。 【变式训练2】计算下面立体图形的体积。（单位cm） 【答案】15.7cm3 【分析】看图可知，图中立体图形的体积＝整个大圆柱的体积－中空部分圆柱的体积，圆柱的体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3÷2＝1.5（cm）、2÷2＝1（cm） 3.14×1.52×4－3.14×12×4 ＝3.14×4×（1.52－12） ＝12.56×（2.25－1） ＝12.56×1.25 ＝15.7（cm3） 这个立体图形的体积是15.7cm3。 题型八、圆柱体积的应用 【例题8】一种圆柱形饮料罐，底面直径是6厘米，高是10厘米。 (1)这罐饮料罐侧面积有多大？ (2)这个饮料罐能装多少毫升的饮料？ 【答案】(1)188.4平方厘米 (2)282.6毫升 【分析】（1）圆柱的侧面积＝底面周长×高；据此解答。 （2）圆柱的容积＝底面积×高；据此解答，注意单位换算。 【详解】（1）3.14×6×10 ＝18.84×10 ＝188.4（平方厘米） 答：这罐饮料侧面积有188.4平方厘米。 （2）3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6立方厘米＝282.6毫升 答：这个饮料罐能装282.6毫升的饮料。 【变式训练1】下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布多少平方米？ （2）这个帐篷的空间有多大？ 【答案】（1）87.92平方米 （2）75.36立方米 【分析】（1）通过观察发现：帐篷布的面积＝圆柱侧面积的一半＋2个圆柱底面积的一半（一个底面积）。已知帐篷的长是12米，横截面半圆形的直径是4米，根据圆柱的侧面公式S＝πdh先求出圆柱的侧面积，再用侧面积除以2；用横截面直径长度除以2计算出半径长度，根据圆的面积公式求出圆柱的底面积；最后将两部分相加即可。 （2）帐篷的空间的大小等于圆柱体积的一半，根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，再用圆柱的体积除以2求出帐篷的空间的大小。 【详解】（1）3.14×4×12÷2 ＝12.56×12÷2 ＝150.72÷2 ＝75.36（平方米） 4÷2＝2（米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 75.36＋12.56＝87.92（平方米） 答：搭这样一个帐篷需要布87.92平方米。 （2）3.14×22×12÷2 ＝3.14×4×12÷2 ＝12.56×12÷2 ＝150.72÷2 ＝75.36（立方米） 答：这个帐篷的空间有75.36立方米。 【变式训练2】从化温泉是广东非常出名的温泉胜地。其某度假酒店新建一个底面半径5米，深1.2米的圆柱形温泉池。 （1）要给温泉池的内壁和底面抹一层水泥，要抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个温泉池的容积是多少立方米？（水泥厚度忽略不计） 【答案】（1）116.18平方米 （2）94.2立方米 【分析】（1）根据题意，要给圆柱形温泉池的内壁和底面抹一层水泥，那么要抹水泥的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算即可求解。 （2）根据圆柱的体积（容积）公式V＝πr2h，代入数据计算，求出这个温泉池的容积。 【详解】（1）2×3.14×5×1.2＋3.14×52 ＝2×3.14×5×1.2＋3.14×25 ＝37.68＋78.5 ＝116.18（平方米） 答：要抹水泥的面积是116.18平方米。 （2）3.14×52×1.2 ＝3.14×25×1.2 ＝94.2（立方米） 答：这个温泉池的容积是94.2立方米。 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 【例题9】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积一共是60cm3，那么圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 45 15 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（1＋3）份；用等底等高的圆柱与圆锥的体积和除以总份数，求出一份数，也就是圆锥的体积，再乘3，求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的体积： 60÷（1＋3） ＝60÷4 ＝15（cm3） 圆柱的体积： 15×3＝45（cm3） 【变式训练1】把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，如果圆柱的体积是60dm3，那么圆锥的体积是( )dm3；如果削去部分的体积是30dm3，那么削成圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 20 15 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍。 ①把圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱等底等高，圆锥体积＝圆柱体积÷3； ②削去的部分是圆锥体积的2倍，圆锥的体积＝削去的体积÷2。 【详解】60÷3＝20（dm3） 30÷2＝15（dm3） 【变式训练2】妈妈榨了一大杯橙汁（如图1），倒入如图2所示的小杯中，可以倒满（    ）（两个杯子的杯口同样大，杯壁厚度忽略不计）。 A．9杯 B．6杯 C．5杯 D．3杯 【答案】A 【分析】图1圆柱形杯子和图2圆锥形杯子的杯口同样大，所以它们的底面积相同；又因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，图1中每个7cm高度的橙汁可以倒满3杯图2的小杯，求出21cm里面有几个7cm，就可以倒满几个3杯，据此解答。 【详解】21÷7×3 ＝3×3 ＝9（杯） 所以可以倒满9杯。 故答案为：A 题型十、圆锥的体积 【例题10】看图列式计算。求圆锥的体积。 【答案】25.12dm3 【分析】圆锥体积＝底面积×高×。 【详解】3.14×（4÷2）2×6× ＝3.14×22×6× ＝3.14×4×6× ＝12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（dm3） 【变式训练1】求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】803.84cm3 【分析】由图可知，这个图形是由圆柱和圆锥构成的，且两者等底等高，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，所以先根据圆柱的体积公式：V圆柱＝πr2h（π取3.14）；再用圆柱体积÷3求出圆锥体积，最后把两部分体积相加即可解答。 【详解】半径：8÷2＝4（cm） 圆柱的体积：3.14×42×12 ＝3.14×16×12 ＝50.24×12 ＝602.88（cm3） 圆锥的体积：602.88÷3＝200.96（cm3） 总体积：602.88＋200.96＝803.84（cm3） 【变式训练2】计算下面图形的体积（单位：厘米）。 【答案】10.99立方厘米 【分析】该图形是一个圆柱内部挖去了一个同底的圆锥，因此总体积＝圆柱体积－圆锥体积。，。 【详解】底面半径：（厘米） 圆柱的体积： （立方厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 总体积： （立方厘米） 因此，该图形的体积是10.99立方厘米。 题型十一、圆锥体积的应用 【例题11】一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高是1.5米，这个沙堆的体积是多少立方米？ 【答案】25.12立方米 【分析】圆锥的体积公式：V＝πr2h，直径＝半径×2，代入数据计算即可。 【详解】×3.14×（8÷2）2×1.5 ＝×3.14×16×1.5 ＝×50.24×1.5 ＝×75.36 ＝25.12（立方米） 答：这个沙堆的体积是25.12立方米。 【变式训练1】一个圆柱形玻璃缸，底面半径为5厘米，高为20厘米，里面装了12厘米深的水，将一个底面半径2厘米、高为9厘米的圆锥形铅块没入水中，玻璃缸中的水面上升多少厘米？ 【答案】0.48厘米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥形铅块的体积，水面上升部分体积＝圆锥形铅块体积；用圆锥形铅块体积÷圆柱形玻璃缸的底面积，即可求出上升的高度。 【详解】（3.14×22×9×）÷（3.14×52） ＝（3.14×4×9×）÷（3.14×25） ＝37.68÷78.5 ＝0.48（厘米） 答：玻璃缸中的水面上升0.48厘米。 【变式训练2】李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数） 【答案】113立方厘米 【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是8厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是4厘米的圆锥的体积，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此代入数据列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×8×＋3.14×（6÷2）2×4× ＝3.14×32×8×＋3.14×32×4× ＝3.14×9×8×＋3.14×9×4× ＝226.08×＋113.04× ＝75.36＋37.68 ≈113（立方厘米） 答：这个冰激凌的体积大约是113立方厘米。 提升练习 1．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 2．把一个圆柱形铁块熔铸成圆锥，它的（    ）不变。 A．体积 B．表面积 C．底面积 D．侧面积 【答案】A 【分析】体积是物体所占空间的大小，熔铸过程中物质多少不变，所以体积是不变的；而表面积、底面积、侧面积是和物体的形状相关的量，形状改变时这些量会发生变化。 【详解】把一个圆柱形铁块熔铸成圆锥，铁块的大小不变，也就是体积不变，所以它的体积不变。 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是36立方厘米，那么它们的体积和是（    ）。 A．36立方厘米 B．42立方厘米 C．54立方厘米 D．72立方厘米 【答案】D 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍；设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米；圆柱的体积－圆锥的体积＝36立方厘米，据此列方程，解方程即可。 【详解】解：设圆锥的体积是x立方厘米，则圆柱的体积是3x立方厘米。 3x－x＝36 2x＝36 x＝36÷2 x＝18 18×3＝54（立方厘米） 54＋18＝72（立方厘米） 它们的体积和是72立方厘米。 4．根据下面的实验，可知水面下降了（    ）cm。 A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】A 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，下降部分水的体积＝圆柱形水杯的底面积×下降的高度。从题意分析可得：下降部分水的体积＝浸没在水中的圆锥形铅锤体积。根据等量关系，列方程解答。 【详解】解：设水面下降了xcm。 12x＝×9×4 12x＝12 12x÷12＝12÷12 x＝1 水面下降了1cm。 5．为推进“双减”政策的落实，学校开展了丰富多彩的社团活动，在泥塑手工制作社团活动中，笑笑制作了一个圆柱和一个圆锥，已知它们的底面半径的比是，高的比是，它们体积的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥的体积＝，圆柱的体积＝。根据底面半径的比、高的比分别假设出圆柱与圆锥的底面半径和高，分别求出体积，再根据比的意义写出体积比，不是最简整数比的根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】设圆柱的底面半径是1，圆锥的底面半径是3；圆柱的高是2，圆锥的高是3。 所以体积比是2∶9。 6．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【分析】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【详解】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 7．请你制作一个侧面积较大的无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择，你会选择材料( )和( )。（填序号）此水桶的侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 【答案】 ② ③ 50.24 62.8 50.24 【分析】根据长方形的面积＝长×宽可知，长和宽越大，面积越大。比较①和③对应的长和宽，选出较大的作为圆柱形水桶的侧面；根据长方形的长＝圆柱的底面周长＝求出底面直径，从而确定选择的水桶的底。水桶的侧面积＝长×宽，底面积＝πr2；表面积＝侧面积＋一个底面积；体积＝底面积×高（高是长方形的宽）。 【详解】由①和③可知： 因为12.56＞9.42，4＞2，要使侧面积较大，应选择③作为侧面积； 因为12.56÷3.14＝4（dm），即底面直径为4dm，所以应选择②作为底面积； 所以，选择材料②和③。 侧面积：12.56×4＝50.24（dm2） 底面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 表面积：50.24＋12.56＝62.8（dm2） 体积：12.56×4＝50.24（dm3） 8．粽子是中华民族传统节庆食物之一，是由粽叶包裹糯米蒸制而成的，如图类似圆锥的粽子，该粽子有( )条高，高是( )厘米，底面周长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 1 9 18.84 84.78 【分析】圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高。圆锥顶点只有一个，所以只有1条高；由图可直接确定圆锥的高；圆锥底面是一个圆，圆锥底面周长＝πd（d为底面直径）；圆锥的体积＝代入数据即可求解。 【详解】由图可知： 该粽子有1条高，高是9厘米； （cm） （立方厘米） 9．将四个完全相同的小圆柱拼成一个高是40cm的大圆柱，表面积减少72。原来每个小圆柱的底面积是( )，体积是( )。 【答案】 12 120 【分析】两个完全一样的立体图形在拼接时，相互接触的两个面会隐藏起来，从而使表面积减少了这两个面的面积之和；4个相同的小圆柱相拼接，会减少（4－1）×2＝6（个）面的面积。故用减少的表面积72cm2除以6，可得原来每一个小圆柱的底面积； 用大圆柱的高除以4，得到原来每个小圆柱的高，圆柱的体积＝底面积×高，据此解答。 【详解】72÷[（4－1）×2] ＝72÷[3×2] ＝72÷6 ＝12（cm2） 40÷4×12 ＝10×12 ＝120（cm3） 10．“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 6 4 【分析】以较长直角边为轴旋转，则该直角边为圆锥的高，另一条直角边为圆锥的底面半径。 【详解】已知直角三角形三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米，因为5＞4＞3，所以5为斜边，较长直角边为4厘米，另一条直角边为3厘米。 另一条直角边3厘米，就是圆锥的底面半径3厘米，直径为2×3＝6（厘米）。以较长直角边4厘米为轴旋转一周，那么圆锥的高为4厘米。 11．谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 【答案】 78.5 62.8 【分析】根据圆锥的体积＝，代入数据求出圆锥形谷堆的体积是多少立方分米，根据1立方米＝1000立方分米，把立方分米化成立方米，再乘每立方米小麦的重量即可求出谷堆的重量是多少千克。 【详解】×3.14××3 ＝×3×（3.14×） ＝×3×（3.14×25） ＝×3×78.5 ＝1×78.5 ＝78.5（立方分米） 78.5立方分米＝0.0785立方米 0.0785×800＝62.8（千克） 这个圆锥形谷堆的体积是78.5立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重62.8千克。 12．如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 【答案】 25.12 904.32 【分析】装饰带的长度就是茶杯中部圆的周长。已知茶杯中部圆的直径为8厘米，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径，π取3.14），把数据代入计算即可。 茶杯是一个圆柱，容积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。由图可知，茶杯的直径为8厘米，则半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，把数据代入公式计算即可。 【详解】3.14×8＝25.12（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×18 ＝3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（立方厘米） 904.32立方厘米＝904.32毫升 这条装饰带的长度至少是25.12厘米。这个茶杯的容积大约是904.32毫升。 13．计算圆柱的表面积和圆锥的体积。 【答案】圆柱的表面积：785cm2； 圆锥的体积：84.78cm3 【分析】由图可知，圆柱的底面直径是10cm，高是20cm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆柱的表面积公式S＝πdh＋2πr2计算出该圆柱的表面积； 由图可知，圆锥的底面半径是3cm，高是9cm，根据圆锥的体积公式计算出该圆锥的体积。 【详解】10÷2＝5（cm） 3.14×10×20＋2×3.14×52 ＝3.14×10×20＋2×3.14×25 ＝31.4×20＋6.28×25 ＝628＋157 ＝785（cm2） 所以该圆柱的表面积是785cm2。 ×3.14×32×9 ＝×3.14×9×9 ＝3.14×3×9 ＝9.42×9 ＝84.78（cm3） 所以该圆锥的体积是84.78cm3。 14．计算如图的体积。 【答案】216.52m3 【分析】该立体图形由一个长方体和一个圆锥组成，需要分别计算长方体和圆锥的体积，再将两者相加得到总体积。 长方体体积：长方体长10m，宽8m，高2m，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入公式即可得出长方体体积。 圆锥体积：已知圆锥的底面直径是6m，那么半径为6÷2＝3m，高为6m，根据圆锥体积公式：（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算即可得出圆锥的体积。 然后把计算出的长方体体积与圆锥体积相加即可得到该图形的体积。 【详解】10×8×2＝160（m3） 6÷2＝3（m） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（m3） 160＋56.52＝216.52（m3） 该图形的体积是216.52m3。 15．一个圆柱形茶叶罐的底面半径是3厘米，高是8厘米，茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，贴商标纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】178.98平方厘米 【分析】根据题意，在一个圆柱形茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，则贴商标纸的面积＝圆柱的侧面积＋圆柱的一个底面积，根据S侧＝2πrh，S底＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】2×3.14×3×8＋3.14×32 ＝18.84×8＋3.14×9 ＝150.72＋28.26 ＝178.98（平方厘米） 答：贴商标纸的面积是178.98平方厘米。 16．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 【答案】12.56吨 【分析】圆锥底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，圆锥形沙堆体积×每立方米沙子吨数＝这堆沙子吨数。 【详解】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5÷3×2 ＝3.14×22×1.5÷3×2 ＝3.14×4×1.5÷3×2 ＝6.28×2 ＝12.56（吨） 答：这堆沙子有12.56吨。 17．把一个底面周长12.56分米，高15分米的圆锥形金属零件，熔化后锻造成一个和它等底的圆柱体，这个圆柱体的表面积是多少平方分米？ 【答案】87.92平方分米 【分析】根据求出圆锥的底面半径，求出圆锥的体积。这个体积也是圆柱的体积，根据圆柱与圆锥等底，利用求出圆柱的底面积，再根据求出圆柱的高。圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积。需先根据求出圆柱的侧面积。再利用公式求圆柱的表面积。 【详解】 （分米） （立方分米） 圆柱的底面积： （平方分米） 圆柱的高： （分米） 圆柱的侧面积： （平方分米） 圆柱的表面积： （平方分米） 答：这个圆柱体的表面积是87.92平方分米。 18．从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 【答案】3分米 【分析】从题意可知：圆柱体积＝圆锥体积＝上升水的体积。上升水的体积＝长方体容器底面积×上升高度，代入数据计算，圆锥的体积（上升水的体积）。又知圆柱底面积＝圆锥底面积，即圆锥底面半径也为1分米，根据圆的面积：S＝πr2，代入数据求出圆面积，因为圆锥的体积＝底面积×高÷3，所以圆锥的高＝体积×3÷底面积，代入数据计算，即可求出这个圆锥形铁块的高。 【详解】体积：31.4×0.1＝3.14（立方分米） 底面积：12×3.14 ＝1×3.14 ＝3.14（平方分米） 高：3.14×3÷3.14＝3（分米） 答：这个圆锥形铁块的高是3分米。 19．一个圆柱形花坛，底面直径8米，高0.8米。 (1)这个花坛的占地面积是多少平方米？ (2)在花坛的外面抹上水泥（花坛厚度不计），抹水泥部分的面积是多少平方米？ (3)如果在花坛的内部填满沙土，至少需要多少立方米的沙土？ 【答案】(1)50.24平方米 (2)20.096平方米 (3)40.192立方米 【分析】（1）花坛的占地面积是一个直径为8米的圆的面积，根据圆的面积＝即可求解； （2）抹水泥部分的面积是底面直径为8米，高为0.8米的圆柱的侧面积，利用圆柱侧面积＝即可求解； （3）因为填满沙土的体积是圆柱的容积，也就是圆柱的体积，这个圆柱的底面积为花坛的占地面积，高为0.8米，根据圆柱的体积＝底面积×高即可求解。 【详解】（1）（米） （平方米） 答：这个花坛的占地面积是50.24平方米。 （2）（平方米） 答：抹水泥部分的面积是20.096平方米。 （3）（立方米） 答：至少需要40.192立方米的沙土。 20．阅读下面的材料回答问题。 子涵和妈妈周末去外婆家帮忙收麦子。到达时外婆已经把晾晒好的小麦堆成了圆锥形，我量得小麦堆的底面周长约是12.56m。经过一番忙碌，我们把小麦装进了一个底面直径是2m、高是1.6m的圆柱形带盖粮仓里，正好装满。 通过今天的劳动，我终于明白了“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的真正含义。 （1）制作一个这样的粮仓，需要多少铁皮？ （2）圆锥形小麦堆的高约是多少米？ 【答案】（1）16.328平方米 （2）1.2米 【分析】在第一问中，要求用多少铁皮，就是求圆柱的表面积，圆柱的表面积＝侧面积＋2×底面积； 在第二问中，要求小麦的高，就是求圆锥的高度，在圆锥中，高＝体积3÷底面积。 【详解】（1）3.14×（2÷2）2×2＋3.14×2×1.6 ＝3.14×1×2＋6.28×1.6 ＝6.28＋10.048 ＝16.328（m2） 答：制作一个这样的粮仓，需要16.328平方米的铁皮。 （2）3.14×（2÷2）2×1.6 ＝3.14×1.6 ＝5.024（m3） 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 5.024×3÷（3.14×22） ＝15.072÷12.56 ＝1.2（m） 答：圆锥形小麦堆的高约是1.2米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义01：圆柱与圆锥 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、圆柱的认识及特征 1.定义：圆柱是由两个大小相等、互相平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体。 2.各部分名称： (1)底面：圆柱上下两个圆形的面，分为上底和下底，且完全相同。 (2)侧面：连接两个底面的曲面。 (3)高：两个底面之间的距离，圆柱有无数条高，所有高的长度都相等。 3.特征： (1)底面是完全相同的圆； (2)侧面是一个光滑的曲面； (3)圆柱的高有无数条，且长度都相等。 考点二、圆锥的认识及特征 1.定义：圆锥是由一个圆形底面和一个曲面（侧面）围成的几何体，圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。 2.各部分名称： (1)底面：圆锥下方的圆形面。 (2)侧面：连接顶点和底面边缘的曲面。 (3)顶点：圆锥顶端的点。 (4)高：从顶点到底面圆心的垂直距离。 3.特征： (1)底面是一个圆； (2)侧面是一个曲面，展开后是一个扇形； (3)圆锥只有一条高。 考点三、圆柱的展开图 1.侧面展开图： (1)沿高展开：得到一个长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长（C = 2r 或 C = d），宽等于圆柱的高（h）；若底面周长等于高，则展开图为正方形。 (2)不沿高展开：可能得到一个平行四边形（通过斜切侧面），但平行四边形的底仍等于底面周长，高等于圆柱的高。 2.底面展开图：圆柱的两个底面展开后是两个完全相同的圆，半径等于圆柱底面半径（r）。 考点四、圆柱的侧面积 1.定义：圆柱侧面的面积，即展开后长方形（或正方形、平行四边形）的面积。 2.公式推导： 侧面展开图为长方形时，面积 = 长×宽 = 底面周长×高。 3.计算公式： （其中 (C) 是底面周长，(r) 是底面半径，(d) 是底面直径，(h) 是圆柱的高）。 考点五、圆柱的表面积 1.定义：圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面面积的总和。 2.公式推导： 表面积 = 侧面积 + 2个底面积（因为圆柱有两个底面）。 3.计算公式： （其中 = 是底面圆的面积）。 考点六、圆柱表面积的应用 1.实际场景分析： (1)无盖圆柱（如无盖水桶、鱼缸）：表面积 = 侧面积 + 1个底面积，即 。 (2)无底圆柱（如烟囱、通风管、水管）：表面积 = 侧面积，即 （无需计算底面积）。 (3)完整圆柱（如罐头盒）：表面积 = 侧面积 + 2个底面积，即 S = 2 r (h + r)。 2.注意事项：计算时需根据物体是否有盖、是否有底，确定是否需要计算底面积及计算几个底面积，单位需统一。 考点七、圆柱的体积 1.定义：圆柱所占空间的大小。 2.公式推导： 将圆柱沿底面半径和高切开，拼成一个近似的长方体。长方体的底面积等于圆柱的底面积（S = ），长方体的高等于圆柱的高（h）。因为长方体体积 = 底面积×高，所以圆柱体积 = 底面积×高。 3.计算公式： （其中 () 是底面积，(r) 是底面半径，(h) 是圆柱的高）。 考点八、圆柱体积的应用 1.圆柱形容器的容积：容积是容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但需从容器内部测量底面半径（或直径）和高（单位：升或毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米）。 2.不规则圆柱体积： (1)半圆柱：体积 = 完整圆柱体积÷2，即 V = 。 (2)空心圆柱（如钢管）：体积 = 外圆柱体积 - 内圆柱体积，即 （R 是外半径，r 是内半径）。 考点九、圆柱与圆锥体积的关系 1.等底等高的圆柱和圆锥： (1)圆锥体积是圆柱体积的 ，即 ( )。 (2)圆柱体积是圆锥体积的 3 倍，即 ()。 2.其他关系： (1)若圆柱和圆锥等底等体积，则圆锥的高是圆柱高的 3 倍（ ）。 (2)若圆柱和圆锥等高等体积，则圆锥的底面积是圆柱底面积的 3 倍（）。 考点十、圆锥的体积 1.定义：圆锥所占空间的大小。 2.公式推导： 通过实验（用同底等高的圆柱和圆锥容器），将圆锥容器装满水倒入圆柱容器，3次正好倒满，得出圆锥体积是同底等高圆柱体积的。 3.计算公式： （其中 (S) 是底面积，(r) 是底面半径，(h) 是圆锥的高）。 考点十一、圆锥体积的应用 1.圆锥形物体体积：如沙堆、煤堆、粮囤等，需先测量底面直径（或半径）和高（注意：圆锥的高是顶点到底面圆心的垂直距离，非母线长），单位统一后代入公式计算。 2.圆锥形容器的容积：计算方法与体积相同，从容器内部测量底面半径（或直径）和高，结果单位通常为升或毫升。 例题讲解 题型一、圆柱的认识及特征 【例题1】以一个长方形的长所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个( )，它的( )等于长方形的长，它的( )等于长方形的宽。 【变式训练1】将一张长方形纸按下边的方向卷成一个圆柱体，这张纸的长就是圆柱体的( )，宽是圆柱体的( )。 【变式训练2】下面各图形中，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周，可以得到的圆柱是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、圆锥的认识及特征 【例题2】旋转一周后形成( )体，其中a是这个图形的( )，b是这个图形的( )。 【变式训练1】如图所示是一个圆锥，该圆锥有( )条高，高是( )cm，底面积是( )cm2。 【变式训练2】把第一行的图形沿虚线旋转一周后会得到下面的哪一个图形？连一连。 题型三、圆柱的展开图 【例题3】要做一个无盖的圆柱形容器，先用一块长12.56厘米，宽6.28厘米的长方形铁皮围成一个圆柱形，再用下面（    ）做底面。（接口处忽略不计） A． B． C． D． 【变式训练1】如图展开图中，能围成圆柱的是（    ）（单位：cm）。 A． B． C． D． 【变式训练2】如图，笑笑准备用长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，她可以选用（    ）作底面。（单位：cm，接缝处忽略不计） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】一个圆柱的底面半径是6cm，它的高是6cm，这个圆柱的侧面积是( )cm2。 【变式训练1】一个专门用来刷油漆的滚筒，它的长为4分米，半径为1分米。如果滚筒滚动100周，能刷墙面( )平方分米。 【变式训练2】一根圆柱形塑料水管，底面直径是24厘米，长是30厘米。做10根这样的水管，需要多少平方分米塑料？ 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求圆柱的表面积。 【变式训练1】计算下面图形的表面积（单位：dm）。 【变式训练2】求下面图形的表面积。（单位：dm）     题型六、圆柱表面积的应用 【例题6】张师傅在农场的地面上挖了一个圆柱形蓄水池，底面半径是6米，深1.5米。把底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ 【变式训练1】我国成功研发出新型环保建筑材料——光能砖，它能将太阳能转化为电能供建筑使用。科研人员把一块光能砖样品放在一个圆柱形展示架中，展示架底面周长是18.84厘米，高是6厘米，制作这个展示架（无盖）需要多少平方厘米的材料？ 【变式训练2】王爷爷是一个吹糖人艺术家，他使用的工具箱如图所示，如果给这个工具箱所有表面包一层牛皮，准备一张1平方米的牛皮，够吗？请写出你的思考过程。 题型七、圆柱的体积 【例题7】计算下列圆柱的表面积和体积。 【变式训练1】求出下面几何体的体积。（单位：dm） 【变式训练2】计算下面立体图形的体积。（单位cm） 题型八、圆柱体积的应用 【例题8】一种圆柱形饮料罐，底面直径是6厘米，高是10厘米。 (1)这罐饮料罐侧面积有多大？ (2)这个饮料罐能装多少毫升的饮料？ 【变式训练1】下图是地震灾区居民用布搭的一个简易帐篷，帐篷的长是12米，横截面是一个直径为4米的半圆形。 （1）搭这样一个帐篷需要布多少平方米？ （2）这个帐篷的空间有多大？ 【变式训练2】从化温泉是广东非常出名的温泉胜地。其某度假酒店新建一个底面半径5米，深1.2米的圆柱形温泉池。 （1）要给温泉池的内壁和底面抹一层水泥，要抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个温泉池的容积是多少立方米？（水泥厚度忽略不计） 题型九、圆柱与圆锥体积的关系 【例题9】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积一共是60cm3，那么圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【变式训练1】把一块圆柱形木料削成一个最大的圆锥，如果圆柱的体积是60dm3，那么圆锥的体积是( )dm3；如果削去部分的体积是30dm3，那么削成圆锥的体积是( )dm3。 【变式训练2】妈妈榨了一大杯橙汁（如图1），倒入如图2所示的小杯中，可以倒满（    ）（两个杯子的杯口同样大，杯壁厚度忽略不计）。 A．9杯 B．6杯 C．5杯 D．3杯 题型十、圆锥的体积 【例题10】看图列式计算。求圆锥的体积。 【变式训练1】求下面图形的体积。（单位：cm） 【变式训练2】计算下面图形的体积（单位：厘米）。 题型十一、圆锥体积的应用 【例题11】一个圆锥形沙堆，底面直径是8米，高是1.5米，这个沙堆的体积是多少立方米？ 【变式训练1】一个圆柱形玻璃缸，底面半径为5厘米，高为20厘米，里面装了12厘米深的水，将一个底面半径2厘米、高为9厘米的圆锥形铅块没入水中，玻璃缸中的水面上升多少厘米？ 【变式训练2】李阿姨用调制好的冰激凌奶浆制作冰激凌，做成的冰激凌可近似看作两个圆锥，尺寸如下图。这个冰激凌的体积大约是多少？（结果保留整数） 提升练习 1．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 2．把一个圆柱形铁块熔铸成圆锥，它的（    ）不变。 A．体积 B．表面积 C．底面积 D．侧面积 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是36立方厘米，那么它们的体积和是（    ）。 A．36立方厘米 B．42立方厘米 C．54立方厘米 D．72立方厘米 4．根据下面的实验，可知水面下降了（    ）cm。 A．1 B．1.5 C．2 D．3 5．为推进“双减”政策的落实，学校开展了丰富多彩的社团活动，在泥塑手工制作社团活动中，笑笑制作了一个圆柱和一个圆锥，已知它们的底面半径的比是，高的比是，它们体积的比是（    ）。 A． B． C． D． 6．曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 7．请你制作一个侧面积较大的无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择，你会选择材料( )和( )。（填序号）此水桶的侧面积是( )，表面积是( )，体积是( )。 8．粽子是中华民族传统节庆食物之一，是由粽叶包裹糯米蒸制而成的，如图类似圆锥的粽子，该粽子有( )条高，高是( )厘米，底面周长是( )厘米，体积是( )立方厘米。 9．将四个完全相同的小圆柱拼成一个高是40cm的大圆柱，表面积减少72。原来每个小圆柱的底面积是( )，体积是( )。 10．“纸上得来终觉浅”，实践方能出真知。一个直角三角形，三条边的长分别为3厘米、4厘米、5厘米。如果以这个三角形较长的直角边为轴，旋转一周形成的圆锥的底面直径是( )厘米，高是( )厘米。 11．谷场上有一个圆锥形谷堆，谷堆的底面半径是5分米，高3分米，这个圆锥形谷堆的体积是( )立方分米，如果每立方米小麦重800千克，那么这个谷堆重( )千克。 12．如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 13．计算圆柱的表面积和圆锥的体积。 14．计算如图的体积。 15．一个圆柱形茶叶罐的底面半径是3厘米，高是8厘米，茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，贴商标纸的面积是多少平方厘米？ 16．一个圆锥形沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。如果每立方米沙子重2吨，这堆沙子有多少吨？ 17．把一个底面周长12.56分米，高15分米的圆锥形金属零件，熔化后锻造成一个和它等底的圆柱体，这个圆柱体的表面积是多少平方分米？ 18．从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为1分米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形铁块，然后完全投入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了0.1分米。这个圆锥形铁块的高是多少分米？（损耗忽略不计） 19．一个圆柱形花坛，底面直径8米，高0.8米。 (1)这个花坛的占地面积是多少平方米？ (2)在花坛的外面抹上水泥（花坛厚度不计），抹水泥部分的面积是多少平方米？ (3)如果在花坛的内部填满沙土，至少需要多少立方米的沙土？ 20．阅读下面的材料回答问题。 子涵和妈妈周末去外婆家帮忙收麦子。到达时外婆已经把晾晒好的小麦堆成了圆锥形，我量得小麦堆的底面周长约是12.56m。经过一番忙碌，我们把小麦装进了一个底面直径是2m、高是1.6m的圆柱形带盖粮仓里，正好装满。 通过今天的劳动，我终于明白了“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”的真正含义。 （1）制作一个这样的粮仓，需要多少铁皮？ （2）圆锥形小麦堆的高约是多少米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $