期中复习讲义04：比例（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

期中复习讲义04：比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、图形的放大与缩小 1.定义：指在保持图形形状不变的前提下，改变图形的大小，使图形按一定比例变大（放大）或变小（缩小）的过程。 2.特点： (1)对应边的长度成比例（放大或缩小的倍数相同）； (2)对应角的大小不变（图形形状不变）； (3)图形的周长、面积等按比例变化（面积比是对应边比例的平方）。 3.关键要素：放大或缩小的“比例”，通常表示为“原图边长:新图边长”（如1:2表示缩小到原来的1/2，2:1表示放大到原来的2倍）。 4.操作步骤： (1)确定原图的关键点（如顶点、端点等）； (2)根据放大或缩小的比例，计算各关键点的新坐标（或距离）； (3)按新坐标连接关键点，得到放大或缩小后的图形。 考点二、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，若a:b和c:d的比值相等（即a/b = c/d），则a:b = c:d是比例。 2.组成部分：比例由四个项组成，两端的两项叫做比例的“外项”，中间的两项叫做比例的“内项”。例如在比例a:b = c:d中，a和d是外项，b和c是内项。 3.判断方法：判断两个比能否组成比例，需计算两个比的比值，若比值相等则能组成比例，反之不能。 4.与“比”的区别：“比”表示两个数相除的关系（如a:b），只有两项；“比例”表示两个比相等的等式（如a:b = c:d），有四项。 考点三、比例的基本性质 1.定义：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 2.表达式：若比例为a:b = c:d（或a/b = c/d），则有a×d = b×c（外项积=内项积）。 3.作用： (1)判断两个比能否组成比例（若外项积等于内项积，则能组成比例）； (2)解比例的核心依据； (3)简化比例计算（可通过交叉相乘转化为方程）。 4.拓展：当比例的内项或外项相同时（如a:b = b:c），则b² = a×c（此时b是a和c的比例中项）。 考点四、解比例 1.定义：求比例中未知项的过程叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质（外项积=内项积）。 3.关键步骤： (1)明确比例中的未知项（通常用x表示）； (2)根据比例基本性质，将比例转化为方程（外项积=内项积）； (3)解方程求出未知项x的值； (4)检验：将x的值代入原比例，验证两个比的比值是否相等（或外项积是否等于内项积）。 4.注意事项：解比例时需确保比例书写规范（如“:”或分数线的正确使用），计算过程中注意单位统一（若涉及实际量）。 考点五、比例的应用 1.应用核心：利用比例的意义和基本性质，解决生活与数学中成比例关系的实际问题，核心是建立比例模型求解未知量。 2.解题步骤 (1)分析题意，判断问题中两种相关联的量是否成比例关系，确定比例式的结构。 (2)设未知量为 ，依据比例关系列出正确的比例式。 (3)运用比例的基本性质解比例，求出未知量的值。 (4)检验结果是否符合实际意义，作答。 考点六、比例尺的意义 1.定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺 = 图上距离:实际距离。 2.表示形式： (1)数值比例尺：用数字形式表示（如1:1000，表示图上1厘米代表实际1000厘米）； (2)线段比例尺：在图上用一条线段表示实际距离（如 ，表示图上1厘米代表实际50千米）。 3.特点： (1)比例尺是一个比，不带单位； (2)为便于计算，通常把比例尺写成前项或后项是1的形式（如1:500000或500000:1）； (3)缩小比例尺的前项为1（如1:1000），放大比例尺的后项为1（如5:1，表示图上5厘米代表实际1厘米）。 考点七、比例尺应用 1.已知图上距离和比例尺，求实际距离： (1)公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。 (2)注意：计算时需先统一图上距离和比例尺的单位（如将图上距离的厘米转化为米或千米）。 2.已知实际距离和比例尺，求图上距离： (1)公式：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 (2)注意：实际距离的单位需与比例尺中实际距离的单位一致（如实际距离为5千米，需先转化为500000厘米，再乘以比例尺）。 3.单位换算：常见单位换算关系为1千米=1000米=100000厘米，计算时需根据比例尺灵活转换。 考点八、应用比例尺画图 1.步骤： (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸，选择合适的比例尺（如绘制校园平面图可选用1:1000）； (2)测量实际距离：用工具（如卷尺）测量实际物体各部分的长度（如教室长、宽）； (3)计算图上距离：根据比例尺和实际距离，计算各部分的图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）； (4)画图并标注：根据计算的图上距离画出图形，标注各部分名称、比例尺及单位（如“比例尺1:1000”）。 2.注意事项： (1)测量实际距离时需准确，减少误差； (2)计算图上距离时注意单位统一； (3)图形绘制需规范，比例协调，标注清晰。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【例题1】画一画。（注：每小方格的边长表示1cm） 按的比画出平行四边形缩小后的图形，再按的比画出三角形放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】先数出原平行四边形的底和高各占几格，按1∶2缩小后，底和高的格数都变为原来的一半，再画出缩小后的平行四边形；接着数出原三角形的底和高各占几格，按2∶1放大后，底和高的格数都变为原来的2倍，最后画出放大后的三角形。 【详解】6÷2＝3（cm） 4÷2＝2（cm） 3×2＝6（cm） 2×2＝4（cm） 画图如下： 【变式训练1】把正方形按1∶4缩小后，正方形的边长是原来的。面积是原来的。 【答案】； 【分析】假设正方形的边长是4，按1∶4缩小后的边长是（4÷4），正方形的面积＝边长×边长，据此求出原来和缩小后的正方形的面积；再根据求一个数是另一个数的几分之几就是用一个数除以另一个数列式计算。 【详解】假设正方形的边长是4。 4÷4＝1 1÷4＝ （1×1）÷（4×4） ＝1÷16 ＝ 正方形的边长是原来的。面积是原来的。 【变式训练2】按要求画一画。 (1)按2∶1的比画出梯形放大后的图形，放大后的面积是原来的（    ）倍。 (2)按1∶2的比画出圆缩小后的图形，并和原来的圆组成一个圆环。 【答案】(1)见详解；4 (2)见详解 【分析】（1）图形按2∶1放大，就是把梯形的各边长度放大到原来的2倍，先数出原梯形的上底、下底和高的格数，分别乘2得到放大后的长度，再画出放大后的梯形；梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，分别算出原梯形和放大后梯形的面积，用放大后的面积除以原面积，得到面积是原来的几倍。 （2）图形按1∶2缩小，就是把圆的半径缩小到原来的，先确定原圆的圆心和半径，算出缩小后的半径，以同一个圆心画出缩小后的圆，两个圆就组成了圆环。 【详解】（1）按2∶1的比画出梯形放大后的图形，如下图所示： 原梯形面积： （1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4 放大后梯形的面积：（1×2＋3×2）×（2×2）÷2 ＝（2＋6）×4÷2 ＝8×4÷2 ＝32÷2 ＝16 16÷4＝4，即放大后的面积是原来的4倍。 （2） 题型二、比例的意义 【例题2】下面各比中，能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出原式和各选项中比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【详解】∶＝÷＝×5＝ A．5∶4＝5÷4＝ ＝，比值相等，所以5∶4能与∶组成比例； B．4∶5＝4÷5＝ ≠，比值不相等，所以4∶5不能与∶组成比例； C．∶5＝÷5＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶5不能与∶组成比例； D．∶4＝÷4＝×＝ ≠，比值不相等，所以∶4不能与∶组成比例。 故答案为：A 【变式训练1】12的因数有( )个，从中选出4个数写成比例式是( )。 【答案】 6 【分析】因数是能整除12的整数，可以用把12写成两个数乘积的方法找因数，找因数时要做到不重复、不遗漏。表示两个比相等的式子叫做比例，从因数中选出4个数，使其中两个数的比值等于另外两个数的比值即可。 【详解】 所以12的因数有：1、2、3、4、6、12，共6个。 因为，。 所以。（答案不唯一） 【变式训练2】在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是( )。 【答案】16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2 【分析】在比例中，两个比的比值是最小的质数即2。已知一个比例的两个内项分别是8.4和6，要考虑两种排列方式（8.4在前或6在前）；根据比值和已知的内项，求出外项，据此组成比例。 【详解】情况一：当8.4为前一个比的后项，6为后一个比的前项时： 2×8.4＝16.8 6÷2＝3 组成比例为16.8∶8.4＝6∶3 情况二：当6为前一个比的后项，8.4为后一个比的前项时： 2×6＝12 8.4÷2＝4.2 组成比例为12∶6＝8.4∶4.2 所以，这个比例可能是16.8∶8.4＝6∶3或12∶6＝8.4∶4.2。 题型三、比例的基本性质 【例题3】在一个比例中，两个外项的积是，一个内项是3，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。 【详解】内项：÷3 ＝ ＝ 【变式训练1】已知（x、y均不为0），则x∶y＝( )∶( )。 【答案】 3 5 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，先把改写成比例式，一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数就作为比例的另一个外项，和y相乘的数就作为比例的另一个内项，据此写出比例，再化简即可。 【详解】因为（x、y均不为0） 所以x∶y＝∶ ＝（×15）∶（×15） ＝3∶5 【变式训练2】一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 【答案】11 【分析】最小的质数是2；根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积；已知两个内项之积是2，两个外项之积也是2，一个外项是，用2除以即可求出另一个外项，据此解答。 【详解】由分析可知： 所以，一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是11。 题型四、解比例 【例题4】解比例。                         【答案】x＝7.2；；x＝45 【分析】解比例：先根据比例的性质：内项积＝外项积，写成一般形式，再根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立，即可解方程。 【详解】 解：x＝0.4×6 x＝2.4 x＝2.4÷ x＝2.4×3 x＝7.2 解： 解： 【变式训练1】已知，12，4和x能组成比例，则x的值最大是( )，最小是( )。 【答案】 192 【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。 要找到x的最大值，需让x与三个数中最小的数同为内项或外项，利用比例性质列等式求解。 要找到x的最小值，需让x与三个数中最大的数同为内项或外项，利用比例性质列等式求解。 【详解】12×4÷ ＝48÷ ＝192 4×÷12 ＝1÷12 ＝ 故x的值最大的是192，最小的是。 【变式训练2】解比例。 24∶x＝12∶14        x∶15＝13∶26                【答案】x＝28；；；x＝1.5 【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，据此解方程即可。 【详解】        解：                             解：                    解：                               解：                 题型五、比例的应用 【例题5】贝贝在购买奶茶时，她发现营业员把40克奶茶粉和300克热水放到杯子里搅拌均匀，这时杯中未满，营业员又往杯中加入了90克热水。要想保持口感不变，还需要加上多少克奶茶粉？（用比例解） 【答案】12克 【分析】要保持口感不变，即奶茶粉和热水的比例不变。即要使加上的奶茶粉的克数和90克热水的比与40克奶茶粉和300克热水的比相同，我们可以根据这个比例关系来列方程求解需要添加的奶茶粉质量。 【详解】解：设还需要加上克奶茶粉。   40∶300＝∶90   300＝40×90 300＝3600 300÷300＝3600÷300 ＝12 答：还需要加上12克奶茶粉。 【变式训练1】某日下午四时一根10米高的电线杆经太阳照射投出25米长的影子，同一时间里，该电线杆旁边的一棵树投出的影子比树长9米。这棵树高多少米？ 【答案】6米 【分析】同一时间，同一地点，太阳的高度是一样的，就是物体和它的影子的比值是一定的，据此列方程解比例即可。 【详解】解：设这棵树的高度是x米。 10∶25＝x∶（x＋9） 10（x＋9）＝25x 10x＋90＝25x 25x－10x＝90 15x＝90 x＝90÷15 x＝6 答：这棵树高6米。 【变式训练2】客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3∶2，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】375千米 【分析】因为客车和货车同时出发到相遇，所用时间相同。根据“路程＝速度×时间”，当时间一定时，路程比等于速度比。设客车每小时行x千米根据速度比等于3∶2列出比例式；根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）求出客车的速度；最后根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用客车的速度除以客车每小时行驶的路程占全长的分率，求出全长的距离。 【详解】解：设客车每小时行x千米。 因为相遇时，时间相同，路程比等于速度比，所以 x∶50＝3∶2 2x＝50×3 2x＝150 x＝150÷2 x＝75 75÷ ＝75×5 ＝375（千米） 答：甲、乙两地相距375千米。 题型六、比例尺的意义 【例题6】一个零件6厘米，设计图上是3分米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．1∶5 C．5∶1 D．20∶1 【答案】C 【分析】先根据1分米＝10厘米，统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，作比、化简即可。 【详解】3分米∶6厘米 ＝30厘米∶6厘米 ＝30∶6 ＝（30÷6）∶（6÷6） ＝5∶1 这幅图的比例尺是5∶1。 【变式训练1】某幅地图的比例尺是，若比例尺缩小到原比例尺的一半，缩小后的地图比例尺是（    ）。 A． B．图上1厘米代表实地距离20千米 C． D． 【答案】C 【分析】先将比例尺化为分数形式，比例尺缩小到原比例尺的一半，即用乘即可求解。 【详解】×＝ ＝ 则缩小后的地图比例尺是。 故答案为：C 【变式训练2】明明量得相距120千米的甲、乙两地在图上的距离是4厘米，那么这幅地图的数值比例尺是( )，转化成线段比例尺是( )。 【答案】 1∶3000000/ 【分析】计算数值比例尺，先统一图上距离和实际距离的单位，再根据比例尺的定义“比例尺＝图上距离∶实际距离”来计算。 转化线段比例尺，根据数值比例尺，确定图上1厘米代表的实际距离，再据此画出线段比例尺。 【详解】4厘米∶120千米 ＝4厘米∶12000000厘米 ＝4∶12000000 ＝1∶3000000 3000000厘米＝30千米 这幅地图的数值比例尺是1∶3000000，转化成线段比例尺是。 题型七、比例尺应用 【例题7】南湖风景名胜区，位于浙江省嘉兴市区，是AAAAA级旅游区。嘉兴南湖与南京玄武湖和杭州西湖并称江南三大名湖，素来以“微风拂岸，风光旖旎”的迷人景色著称于世。在一幅比例尺是1∶50000的地图上，量得南湖风景名胜区距离张强家5厘米，那么在比例尺是1∶20000的地图上，应该画多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【分析】先根据“实际距离＝图上距离÷原比例尺”算出实际距离；再根据“新图上距离＝实际距离× 新比例尺”算出对应图上距离。 【详解】5÷＝250000（厘米） 250000×＝12.5（厘米） 答：在比例尺是1∶20000的地图上应该画12.5厘米。 【变式训练1】徐州地铁1号线长约18千米，在比例尺1∶300000的地图上应画( )厘米；在这幅地图上量得徐州地铁2号线长8厘米，徐州地铁2号线实际长度大约( )千米。 【答案】 6 24 【分析】根据题意，图上距离∶实际距离＝比例尺，所以图上距离＝实际距离×比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，据此计算并换算单位进行解答。 【详解】根据分析可得： 18千米＝1800000厘米 1800000×＝6（厘米） 8÷＝2400000（厘米） 2400000厘米＝24千米 【变式训练2】在一幅比例尺是1︰7500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是10厘米。一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相对开出，3小时相遇。已知客车和货车速度的比是3︰2，客车和货车每小时各行多少千米？ 【答案】客车每小时行驶150千米，货车每小时行驶100千米。 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，即行驶路程。再用实际距离除以相遇时间求出两车的速度和。把速度和按照3∶2的占比分成3＋2＝5份，先求出1份对应的速度（每份数），再分别用每份数乘客车对应的3份、货车对应的2份，即可求出两车各自的速度。 【详解】10÷＝10×7500000＝750（千米） 750÷3＝250（千米/时） 250÷（3＋2） ＝250÷5 ＝50（千米/时） 客车速度：50×3＝150（千米/时） 货车速度：50×2＝100（千米/时） 答：客车每小时行驶150千米，货车每小时行驶100千米。 题型八、应用比例尺画图 【例题8】以学校为观测点，量一量，填一填，画一画。 （1）科技馆在学校的（    ）方向（    ）米处；书店在学校的（    ）方向（    ）米处。 （2）博物馆在学校的南偏西60°方向300米处，体育馆在学校的南偏东45°方向200米处。在图中标出它们的位置。 【答案】（1）北偏西55°（或西偏北35°）；300；北偏东30°（或东偏北60°）；250 （2）见详解 【分析】（1）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向和角度，再根据线段比例尺的意义，用图上1厘米表示实际距离100米，用100乘量出的图上距离可确定实际距离。据此解答。 （2）先确定观测点，再根据上北下南，左西右东确定方向和角度，再根据线段比例尺的意义，用图上1厘米表示实际距离100米，用实际距离除以100可确定图上距离。据此作图。 【详解】（1）量得科技馆到学校的图上距离是3厘米，书店到学校的图上距离是2.5厘米 （米） （米） 科技馆在学校的北偏西55°（或西偏北35°）方向300米处；书店在学校的北偏东30°（或东偏北60°）方向250米处。 （2）（厘米） （厘米） 作图如下： 【变式训练1】王爷爷家有一块长是45m，宽是30m的长方形菜地。请你在下图中画出这块菜地的平面图。（比例尺1∶1500）。 【答案】见详解 【分析】已知长方形菜地长、宽的实际尺寸以及比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，求出长、宽的图上尺寸，据此画出这块菜地的平面图。注意单位的换算：1m＝100cm。 【详解】45m＝4500cm 30m＝3000cm 4500×＝3（cm） 3000×＝2（cm） 长方形菜地平面图上的长是3cm，宽是2cm。 如图： 【点睛】本题考查比例尺的应用，先根据图上距离、实际距离、比例尺之间的关系求出长方形长、宽的图上尺寸，再画出长方形的平面图。 【变式训练2】根据下图中的信息解答下列问题： （1）车站在学校的（    ）偏（    ）（    ）方向（    ）米处。 （2）电影院在学校的北偏东50°方向750米处，请在图中标出电影院的位置。 （3）电影院在人民路上，人民路与中山路平行，请在图中画出人民路。 【答案】（1）西；北；50；1500 （2）（3）见详解 【分析】（1）量出车站与学校的图上距离，比例尺已知，即可求出其实际距离；根据已知角度，即可描述出二者的位置关系； （2）依据“实际距离×比例尺＝图上距离”即可求出电影院的图上距离，再据电影院与学校的方向关系，即可在图上标出电影院的位置； （3）已知道电影院的图上位置，根据人民路与中山路的平行关系，即可在图上标出人民路的位置。 【详解】（1）量出车站与学校的图上距离为6厘米，则6÷＝150000（厘米）＝1500（米） 所以车站在学校的西偏北50度方向1500米处； （2） 因为电影院在学校的北偏东50°方向750米处 750米＝75000厘米 则75000×＝3（厘米） 有了图上距离，电影院位置如下图： （3）电影院在人民路上，人民路与中山路平行，人民路位置如下图所示： 【点睛】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。 提升练习 1．有2.5、4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，添上的数不能是（    ）。 A．1 B．1.6 C．6.25 D．16 【答案】B 【分析】比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知三个数2.5、4和10，要添一个数组成比例，把这三个数两两作为内项或外项，通过“两内项积÷已知外项”的方法求出第四个数。 【详解】当2.5和4作为内项，10作为外项时： 2.5×4÷10 ＝10÷10 ＝1 此时比例可以是10∶2.5＝4∶1。 当2.5和10作为内项，4作为外项时： 2.5×10÷4 ＝25÷4 ＝6.25 此时比例可以是4∶2.5＝10∶6.25。 当4和10作为内项，2.5作为外项时： 10×4÷2.5 ＝40÷2.5 ＝16 此时比例可以是2.5∶4＝10∶16。 能得到的第四个数分别是1、6.25、16，1.6无法通过这种方法得到。则添上的数不可能是1.6。 2．已知a和b互为倒数，c和d互为倒数，则这四个数组成的比例可以是（    ）。 A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝b∶d C．a∶d＝b∶c D．a∶d＝c∶b 【答案】D 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，所以ab＝1，cd＝1，因此ab＝cd。根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，若a和b同时为比例的外项，则c和d同时为比例的内项，据此写出比例。 【详解】因为a和b互为倒数，c和d互为倒数， 则a×b＝1，c×d＝1 a×b＝c×d 所以a∶d＝c∶b。 3．把左边的长方形按（    ）的比放大成右边的长方形。 A．1∶3 B．1∶2 C．3∶1 D．2∶1 【答案】D 【分析】图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同；把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1；把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n。 【详解】8÷4＝2 2÷1＝2 把左边的长方形按2∶1的比放大成右边的长方形。 故答案为：D 4．在下面解比例的过程中，没有用到（    ）。 解： A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．小数乘、除法的计算方法 【答案】B 【分析】A．比例的基本性质：比例的两内项积等于两外项积； B．比的基本性质：比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变； C．等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式； D．小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一个有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】 解：→比例的基本性质，根据小数乘法的计算方法，计算0.6×2.2 →等式的性质2，根据小数除法的计算方法，计算1.32÷0.4 没有用到比的基本性质。 故答案为：B 5．根据6＝5（，均不为0），组成一个比例∶＝( )∶( )。一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为1.6，另一个内项是( )。 【答案】 5 6 【分析】（1）根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，把6x＝5y转化为比例，让x和6做外项、y和5做内项，就能得到x∶y＝5∶6。 （2）先根据外项互为倒数得出外项积为1，再利用比例的基本性质，用1除以已知内项求出另一个内项。 【详解】根据6＝5（，均不为0），组成一个比例x∶y＝5∶6。 1÷1.6＝ 一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为1.6，另一个内项是。 6．在一个比例中，两个外项的积正好是5的最小倍数。如果一个内项是，那么另一个内项是( )。 【答案】3 【分析】个位是0或5的数是5的倍数； 在比例中，两个内项之积＝两个外项之积； 用5的最小倍数除以一个内项即可得另一个内项。 【详解】5的最小倍数是5。 5÷＝5×＝3 7．如果a×8＝b×5，那么a∶b＝( )：如果a∶4＝2∶0.5，那么a＝( )。 【答案】 5∶8 16 【分析】第一个空：根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；据此根据比例的基本性质的逆运算，求出a∶b的值； 第二个空：解比例，把a∶4＝2∶0.5化为：0.5a＝4×2，再根据等式的性质2，方程两边同时除以0.5即可。 【详解】因为a×8＝b×5，所以a∶b＝5∶8。 a∶4＝2∶0.5 解：0.5x＝4×2 0.5x＝8 0.5x÷0.5＝8÷0.5 x＝16 如果a×8＝b×5，那么a∶b＝5∶8：如果a∶4＝2∶0.5，那么a＝16。 8．爸爸身高1.75米，在一张照片上他只有3.5厘米高，这张照片的比例尺是( )，小云在照片上的高度是3.1厘米，她实际身高( )米。 【答案】 1∶50 1.55 【分析】先统一单位，根据图上距离∶实际距离＝比例尺，求出比例尺。再用图上距离除以比例尺，求出实际身高并转换单位。 【详解】3.5厘米∶1.75米 ＝3.5厘米∶175厘米 ＝3.5∶175 ＝（3.5×10）∶（175×10） ＝35∶1750 ＝（35÷35）∶（1750÷35） ＝1∶50 3.1÷ ＝3.1×50 ＝155（厘米） 155厘米＝1.55米 9．一个正方形的周长是24厘米，把它的边长按2∶1的比放大。放大后正方形的面积是( )平方厘米。 【答案】144 【分析】先根据“正方形周长＝边长×4”，计算出正方形的边长，再求出放大后的边长，按2∶1的比放大意味着放大后的边长是原来边长的2倍，最后根据“正方形面积＝边长×边长”计算出答案即可。 【详解】24÷4＝6（厘米） 6×2＝12（厘米） 12×12＝144（平方厘米） 所以放大后正方形的面积是144平方厘米。 10．一张设计图上标有，用线段比例尺表示是( )，在这张图上量得一个操场长4cm，宽3cm，这个操场的实际面积是( )。 【答案】 4800 【分析】比例尺，表示图上1厘米代表实际距离20米，据此画出线段比例尺；图上1厘米代表实际距离20米，则操场实际长是80米，宽是60米，据此求出操场的实际面积。 【详解】 线段比例尺： 长：（米） 宽：（米） 面积：（平方米） 【点睛】本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺、实际距离、图上距离之间的数量关系式。 11．解比例。                             【答案】 ；； ； 【分析】根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.1求解； 根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时乘5求解； 将分数形式的比写成一般形式，再根据比例的基本性质，两个内项的积等于两个外项的积，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.25求解； 分数形式的比例，分子、分母交叉相乘积相等，将比例转化为方程，先化简，再根据等式的性质，方程两边同时除以3.5求解。 【详解】 解： 解： 解： 解： 12．按2∶1的比画出三角形AOB放大后的图形，按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 【答案】见详解 【分析】（1）由图可知，三角形AOB的两条直角边分别是3格和2格。根据题意，按2∶1的比放大，即放大后的三角形的每条边都变成原来的2倍。所以放大后的三角形相应的两条直角边的长分别为3×2＝6格，2×2＝4格。画图时，保持直角形状不变，画出两条直角边分别为6格和4格的新三角形。 （2）由图可知，长方形的长和宽分别是9格和6格。根据题意，按1∶3的比缩小，缩小后的长方形的长和宽都变为原来的。缩小后的长方形的长是9×＝3格，宽是6×＝2格。画图时，保持长方形形状不变，画出长为3格，宽为2格的新长方形。 【详解】 如图： 13．（1）杜甫雕像在李白雕像正东方向，距离李白雕像90米。请画出杜甫雕像的位置。 （2）有一个半径为45米的圆形花坛，李白雕像正好在这个圆形花坛的圆心处。请画出这个圆形花坛。 【答案】（1）（2）图见详解 【分析】（1）已知比例尺是1∶3000，根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出杜甫雕像与李白雕像的图上距离，再根据杜甫雕像在李白雕像正东方向，据此画出杜甫雕像的位置。 （2）根据比例尺求出这个花坛的图上半径是多少厘米，然后根据圆的画法画出这个花坛即可。 【详解】（1）90米＝9000厘米 9000×＝3（厘米） （2）45米＝4500厘米 4500×＝1.5（厘米） 这个花坛的图上半径是1.5厘米。 （1）（2）作图如下： 14．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 【答案】2000克 【分析】根据题意，洗洁精∶清水＝1∶500，我们可以设清水为x克，然后列出关系式，即4∶x＝1∶500，从而通过解方程求得清水的克数。 【详解】解：设要加清水x克。 4∶x＝1∶500 x＝4×500 x＝2000 答：要加清水2000克。 15．在比例尺是1∶2000的图纸上，量得学校长方形植物园的长是4.5厘米，宽是3.6厘米。学校植物园的实际面积是多少平方米？ 【答案】6480平方米 【分析】比例尺是1∶2000，即图上1厘米代表实际2000厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出长方形植物园实际的长和宽，再根据长方形面积＝长×宽，代入数据，求出植物园的面积。注意单位的统一，1米＝100厘米。 【详解】长：4.5÷ ＝4.5×2000 ＝9000（厘米） 9000厘米＝90米 宽：3.6÷ ＝3.6×2000 ＝7200（厘米） 7200厘米＝72米 植物园面积：90×72＝6480（平方米） 答：学校植物园的面积是6480平方米。 16．在一幅比例尺是的地图上，量得两地间的距离是12厘米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车的，4.5小时后两车相遇，相遇时甲车行驶了多少千米？ 【答案】270千米 【分析】先根据比例尺，用图上距离除以比例尺求得实际距离。因为“甲车速度是乙车的”，所以乙车被看作单位“”，可以设乙车的速度为千米时，则甲车速度为千米时。根据路程和＝速度和×相遇时间列出方程算出甲车速度，再根据速度×时间算出甲车的路程。 【详解】千米＝厘米 比例尺为 （厘米） （千米） 解：设乙车的速度为千米时，则甲车速度为千米时。 （千米） 答：相遇时甲车行驶了千米。 17．在比例尺1∶30000000的地图上，量得一条公路长4.2厘米，甲、乙两辆汽车从两头同时出发，相向而行，经过6小时相遇。甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 【答案】120千米/时 【分析】实际距离＝图上距离÷比例尺，1千米＝100000厘米，低级单位化高级单位除以进率，相遇问题：乙车速度＝总路程÷共同行驶时间－甲车速度。 【详解】实际距离： 4.2÷ ＝4.2×30000000 ＝126000000（厘米） 126000000厘米＝126000000÷100000＝1260千米 乙车速度： 1260÷6－90 ＝210－90 ＝120（千米/时） 答：乙车的速度是120千米/时。 18．消毒液有一定的刺激性和腐蚀性，在使用时需要加水稀释，下面是某种品牌的消毒液与水的配比表。现在一个食堂要对餐具进行消毒，若有0.8千克的消毒液，需要加多少千克的水？ 消毒对象 稀释比例（消毒液∶水） 使用方法 垃圾 1∶50 喷洒物体 地面、桌面 1∶200 喷洒物体 餐饮具 1∶250 浸泡式或擦拭 【答案】200千克 【分析】分析题目，设若有0.8千克的消毒液，需要加x千克的水，根据消毒液∶水＝1∶250列出比例0.8∶x＝1∶250，进一步解出比例即可。 【详解】解：设若有0.8千克的消毒液，需要加x千克的水。 0.8∶x＝1∶250 x＝0.8×250 x＝200 答：若有0.8千克的消毒液，需要加200千克的水。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义04：比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、图形的放大与缩小 1.定义：指在保持图形形状不变的前提下，改变图形的大小，使图形按一定比例变大（放大）或变小（缩小）的过程。 2.特点： (1)对应边的长度成比例（放大或缩小的倍数相同）； (2)对应角的大小不变（图形形状不变）； (3)图形的周长、面积等按比例变化（面积比是对应边比例的平方）。 3.关键要素：放大或缩小的“比例”，通常表示为“原图边长:新图边长”（如1:2表示缩小到原来的1/2，2:1表示放大到原来的2倍）。 4.操作步骤： (1)确定原图的关键点（如顶点、端点等）； (2)根据放大或缩小的比例，计算各关键点的新坐标（或距离）； (3)按新坐标连接关键点，得到放大或缩小后的图形。 考点二、比例的意义 1.定义：表示两个比相等的式子叫做比例。例如，若a:b和c:d的比值相等（即a/b = c/d），则a:b = c:d是比例。 2.组成部分：比例由四个项组成，两端的两项叫做比例的“外项”，中间的两项叫做比例的“内项”。例如在比例a:b = c:d中，a和d是外项，b和c是内项。 3.判断方法：判断两个比能否组成比例，需计算两个比的比值，若比值相等则能组成比例，反之不能。 4.与“比”的区别：“比”表示两个数相除的关系（如a:b），只有两项；“比例”表示两个比相等的等式（如a:b = c:d），有四项。 考点三、比例的基本性质 1.定义：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 2.表达式：若比例为a:b = c:d（或a/b = c/d），则有a×d = b×c（外项积=内项积）。 3.作用： (1)判断两个比能否组成比例（若外项积等于内项积，则能组成比例）； (2)解比例的核心依据； (3)简化比例计算（可通过交叉相乘转化为方程）。 4.拓展：当比例的内项或外项相同时（如a:b = b:c），则b² = a×c（此时b是a和c的比例中项）。 考点四、解比例 1.定义：求比例中未知项的过程叫做解比例。 2.依据：比例的基本性质（外项积=内项积）。 3.关键步骤： (1)明确比例中的未知项（通常用x表示）； (2)根据比例基本性质，将比例转化为方程（外项积=内项积）； (3)解方程求出未知项x的值； (4)检验：将x的值代入原比例，验证两个比的比值是否相等（或外项积是否等于内项积）。 4.注意事项：解比例时需确保比例书写规范（如“:”或分数线的正确使用），计算过程中注意单位统一（若涉及实际量）。 考点五、比例的应用 1.应用核心：利用比例的意义和基本性质，解决生活与数学中成比例关系的实际问题，核心是建立比例模型求解未知量。 2.解题步骤 (1)分析题意，判断问题中两种相关联的量是否成比例关系，确定比例式的结构。 (2)设未知量为 ，依据比例关系列出正确的比例式。 (3)运用比例的基本性质解比例，求出未知量的值。 (4)检验结果是否符合实际意义，作答。 考点六、比例尺的意义 1.定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺 = 图上距离:实际距离。 2.表示形式： (1)数值比例尺：用数字形式表示（如1:1000，表示图上1厘米代表实际1000厘米）； (2)线段比例尺：在图上用一条线段表示实际距离（如 ，表示图上1厘米代表实际50千米）。 3.特点： (1)比例尺是一个比，不带单位； (2)为便于计算，通常把比例尺写成前项或后项是1的形式（如1:500000或500000:1）； (3)缩小比例尺的前项为1（如1:1000），放大比例尺的后项为1（如5:1，表示图上5厘米代表实际1厘米）。 考点七、比例尺应用 1.已知图上距离和比例尺，求实际距离： (1)公式：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺。 (2)注意：计算时需先统一图上距离和比例尺的单位（如将图上距离的厘米转化为米或千米）。 2.已知实际距离和比例尺，求图上距离： (1)公式：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 (2)注意：实际距离的单位需与比例尺中实际距离的单位一致（如实际距离为5千米，需先转化为500000厘米，再乘以比例尺）。 3.单位换算：常见单位换算关系为1千米=1000米=100000厘米，计算时需根据比例尺灵活转换。 考点八、应用比例尺画图 1.步骤： (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸，选择合适的比例尺（如绘制校园平面图可选用1:1000）； (2)测量实际距离：用工具（如卷尺）测量实际物体各部分的长度（如教室长、宽）； (3)计算图上距离：根据比例尺和实际距离，计算各部分的图上距离（图上距离=实际距离×比例尺）； (4)画图并标注：根据计算的图上距离画出图形，标注各部分名称、比例尺及单位（如“比例尺1:1000”）。 2.注意事项： (1)测量实际距离时需准确，减少误差； (2)计算图上距离时注意单位统一； (3)图形绘制需规范，比例协调，标注清晰。 例题讲解 题型一、图形的放大与缩小 【例题1】画一画。（注：每小方格的边长表示1cm） 按的比画出平行四边形缩小后的图形，再按的比画出三角形放大后的图形。 【变式训练1】把正方形按1∶4缩小后，正方形的边长是原来的。面积是原来的。 【变式训练2】按要求画一画。 (1)按2∶1的比画出梯形放大后的图形，放大后的面积是原来的（    ）倍。 (2)按1∶2的比画出圆缩小后的图形，并和原来的圆组成一个圆环。 题型二、比例的意义 【例题2】下面各比中，能与∶组成比例的是（    ）。 A．5∶4 B．4∶5 C．∶5 D． 【变式训练1】12的因数有( )个，从中选出4个数写成比例式是( )。 【变式训练2】在比例中，两个比的比值是最小的质数，这个比例的两个内项分别是8.4和6，这个比例可能是( )。 题型三、比例的基本性质 【例题3】在一个比例中，两个外项的积是，一个内项是3，另一个内项是( )。 【变式训练1】已知（x、y均不为0），则x∶y＝( )∶( )。 【变式训练2】一个比例的两个内项之积是最小的质数，若其中一个外项是，则另一个外项是( )。 题型四、解比例 【例题4】解比例。                         【变式训练1】已知，12，4和x能组成比例，则x的值最大是( )，最小是( )。 【变式训练2】解比例。 24∶x＝12∶14        x∶15＝13∶26                题型五、比例的应用 【例题5】贝贝在购买奶茶时，她发现营业员把40克奶茶粉和300克热水放到杯子里搅拌均匀，这时杯中未满，营业员又往杯中加入了90克热水。要想保持口感不变，还需要加上多少克奶茶粉？（用比例解） 【变式训练1】某日下午四时一根10米高的电线杆经太阳照射投出25米长的影子，同一时间里，该电线杆旁边的一棵树投出的影子比树长9米。这棵树高多少米？ 【变式训练2】客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的，货车每小时行50千米。相遇时客车和货车所行的路程的比是3∶2，甲、乙两地相距多少千米？ 题型六、比例尺的意义 【例题6】一个零件6厘米，设计图上是3分米，这幅图的比例尺是（    ）。 A．1∶2 B．1∶5 C．5∶1 D．20∶1 【变式训练1】某幅地图的比例尺是，若比例尺缩小到原比例尺的一半，缩小后的地图比例尺是（    ）。 A． B．图上1厘米代表实地距离20千米 C． D． 【变式训练2】明明量得相距120千米的甲、乙两地在图上的距离是4厘米，那么这幅地图的数值比例尺是( )，转化成线段比例尺是( )。 题型七、比例尺应用 【例题7】南湖风景名胜区，位于浙江省嘉兴市区，是AAAAA级旅游区。嘉兴南湖与南京玄武湖和杭州西湖并称江南三大名湖，素来以“微风拂岸，风光旖旎”的迷人景色著称于世。在一幅比例尺是1∶50000的地图上，量得南湖风景名胜区距离张强家5厘米，那么在比例尺是1∶20000的地图上，应该画多少厘米？ 【变式训练1】徐州地铁1号线长约18千米，在比例尺1∶300000的地图上应画( )厘米；在这幅地图上量得徐州地铁2号线长8厘米，徐州地铁2号线实际长度大约( )千米。 【变式训练2】在一幅比例尺是1︰7500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是10厘米。一列客车和一列货车同时从甲、乙两地相对开出，3小时相遇。已知客车和货车速度的比是3︰2，客车和货车每小时各行多少千米？ 题型八、应用比例尺画图 【例题8】以学校为观测点，量一量，填一填，画一画。 （1）科技馆在学校的（    ）方向（    ）米处；书店在学校的（    ）方向（    ）米处。 （2）博物馆在学校的南偏西60°方向300米处，体育馆在学校的南偏东45°方向200米处。在图中标出它们的位置。 【变式训练1】王爷爷家有一块长是45m，宽是30m的长方形菜地。请你在下图中画出这块菜地的平面图。（比例尺1∶1500）。 【变式训练2】根据下图中的信息解答下列问题： （1）车站在学校的（    ）偏（    ）（    ）方向（    ）米处。 （2）电影院在学校的北偏东50°方向750米处，请在图中标出电影院的位置。 （3）电影院在人民路上，人民路与中山路平行，请在图中画出人民路。 提升练习 1．有2.5、4和10这三个数，再添上一个数，就可以组成一个比例，添上的数不能是（    ）。 A．1 B．1.6 C．6.25 D．16 2．已知a和b互为倒数，c和d互为倒数，则这四个数组成的比例可以是（    ）。 A．a∶b＝c∶d B．a∶c＝b∶d C．a∶d＝b∶c D．a∶d＝c∶b 3．把左边的长方形按（    ）的比放大成右边的长方形。 A．1∶3 B．1∶2 C．3∶1 D．2∶1 4．在下面解比例的过程中，没有用到（    ）。 解： A．比例的基本性质 B．比的基本性质 C．等式的性质 D．小数乘、除法的计算方法 5．根据6＝5（，均不为0），组成一个比例∶＝( )∶( )。一个比例的两个外项互为倒数，如果其中一个内项为1.6，另一个内项是( )。 6．在一个比例中，两个外项的积正好是5的最小倍数。如果一个内项是，那么另一个内项是( )。 7．如果a×8＝b×5，那么a∶b＝( )：如果a∶4＝2∶0.5，那么a＝( )。 8．爸爸身高1.75米，在一张照片上他只有3.5厘米高，这张照片的比例尺是( )，小云在照片上的高度是3.1厘米，她实际身高( )米。 9．一个正方形的周长是24厘米，把它的边长按2∶1的比放大。放大后正方形的面积是( )平方厘米。 10．一张设计图上标有，用线段比例尺表示是( )，在这张图上量得一个操场长4cm，宽3cm，这个操场的实际面积是( )。 11．解比例。                             12．按2∶1的比画出三角形AOB放大后的图形，按1∶3的比画出长方形缩小后的图形。 13．（1）杜甫雕像在李白雕像正东方向，距离李白雕像90米。请画出杜甫雕像的位置。 （2）有一个半径为45米的圆形花坛，李白雕像正好在这个圆形花坛的圆心处。请画出这个圆形花坛。 14．妈妈买回一些瓜果和一瓶洗洁精，笑笑要将这些瓜果进行清洗，她看到洗洁精的瓶子上有这样的说明（如下图），笑笑取出4克的洗洁精，要加清水多少克？（用比例知识解答） 15．在比例尺是1∶2000的图纸上，量得学校长方形植物园的长是4.5厘米，宽是3.6厘米。学校植物园的实际面积是多少平方米？ 16．在一幅比例尺是的地图上，量得两地间的距离是12厘米，甲、乙两车分别从两地同时出发，相向而行，甲车速度是乙车的，4.5小时后两车相遇，相遇时甲车行驶了多少千米？ 17．在比例尺1∶30000000的地图上，量得一条公路长4.2厘米，甲、乙两辆汽车从两头同时出发，相向而行，经过6小时相遇。甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 18．消毒液有一定的刺激性和腐蚀性，在使用时需要加水稀释，下面是某种品牌的消毒液与水的配比表。现在一个食堂要对餐具进行消毒，若有0.8千克的消毒液，需要加多少千克的水？ 消毒对象 稀释比例（消毒液∶水） 使用方法 垃圾 1∶50 喷洒物体 地面、桌面 1∶200 喷洒物体 餐饮具 1∶250 浸泡式或擦拭 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $