期中复习讲义02：圆柱和圆锥（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

期中复习讲义02：圆柱和圆锥 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、圆柱的认识及特征 1. 定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面和一个连接底面的曲面（侧面）围成的几何体。 2. 组成部分： (1)底面： 两个完全相同的圆形，所在平面相互平行。 (2)侧面： 一个光滑的曲面，连接两个底面的边缘。 (3)高： 两个底面之间的垂直距离，有无数条，且所有高的长度相等。 3. 特征： (1)底面是全等的圆，半径（或直径）决定底面大小。 (2)侧面展开后为长方形（或正方形），长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 (3)上下底面圆心的连线垂直于底面。 考点二、圆锥的认识及特征 1. 定义：圆锥是由一个圆形底面和一个顶点，以及连接顶点与底面圆周上任意一点的曲面（侧面）围成的几何体。 2. 组成部分： (1)底面： 一个圆形。 (2)侧面： 一个曲面，展开后为扇形。 (3)高： 从顶点到底面圆心的垂直距离，只有一条。 3. 特征： (1)底面是一个圆，半径决定底面大小。 (2)侧面展开图的扇形半径等于圆锥的母线（顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 (3)高与底面圆心和顶点共线，且垂直于底面。 考点三、圆柱的展开图 1. 侧面展开图： (1)沿圆柱的高剪开，侧面展开后是一个长方形（或正方形）。 (2)长方形的长 = 圆柱底面周长（ 或 ），宽 = 圆柱的高（ ）。 (3)若底面周长等于高（ ），则侧面展开图为正方形。 2. 表面展开图：由两个圆形底面和一个侧面展开图（长方形或正方形）组成，两个圆形分别位于长方形的上下两边。 考点四、圆柱的侧面积 1. 定义：圆柱侧面的面积，不包括两个底面。 2. 计算公式： 侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为： 其中 （ 为底面半径）或 （ 为底面直径），故： 考点五、圆柱的表面积 1. 定义：圆柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和。 2. 计算公式： 表面积 = 侧面积 + 2×底面积，用字母表示为： 其中底面积 ，故： 考点六、圆柱的体积 1. 定义：圆柱所占空间的大小。 2. 计算公式： 体积 = 底面积 × 高，用字母表示为： 考点七、圆柱的容积 1. 定义：圆柱形容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但需从容器内部测量数据（如内半径、内高）。 2. 单位：常用容积单位为升（L）、毫升（mL），换算关系：1升 = 1立方分米（ ），1毫升 = 1立方厘米（ ）。 考点八、圆柱与圆锥体积的关系 1. 等底等高条件： 若圆柱和圆锥的底面半径（或直径）相等，且高相等，则： (1)圆锥体积是圆柱体积的 ，即 。 (2)圆柱体积是圆锥体积的3倍，即 。 2. 非等底等高情况：体积关系需根据具体底面积和高计算，不满足上述倍数关系。 考点九、圆锥的体积 1. 定义：圆锥所占空间的大小。 2. 计算公式： 体积 = 底面积 × 高，用字母表示为： 考点十、圆锥的容积 1. 定义：圆锥形容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，需从容器内部测量底面半径（或直径）和高。 2. 单位：与容积单位一致，常用升（L）、毫升（mL），计算结果需根据实际需求换算单位。 例题讲解 题型一、圆柱的认识及特征 【例题1】用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有( )种卷法，底面周长和高各是( )或( )。 【答案】 两/2 30厘米和20厘米 20厘米和30厘米 【分析】根据题意，用一张长方形纸卷成圆柱，可以卷成两种形状不同的圆柱，一个圆柱是把长方形的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高；另一个圆柱是把长方形的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高；据此解答。 【详解】用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有（两）种卷法，底面周长和高各是（30厘米和20厘米）或（20厘米和30厘米）。 【变式训练1】圆柱的上、下两个面叫做( )，它们是( )的两个圆，它的侧面是一个( )面，圆柱有( )条高。 【答案】 底面 完全相同 曲 无数 【分析】圆柱是以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。其中，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，所以圆柱的上、下两个底面是完全相同的两个圆，因为在旋转过程中，垂直于轴的边长度不变，旋转形成的圆半径相等；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，由于平行于轴的边在旋转时形成了一个连续弯曲的面，所以圆柱侧面是一个曲面；圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高，因为圆柱的两个底面是平行的，在两个平行底面之间可以做出无数条垂线段，所以圆柱有无数条高。 【详解】综上分析所述，圆柱的上、下两个面叫做底面，它们是完全相同的两个圆，它的侧面是一个曲面，圆柱有无数条高。 【变式训练2】将如图的长方形旋转一周得到的图形是( )，这个图形的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 圆柱/圆柱体 10 2 【分析】长方形绕着一条边旋转一周，会形成一个圆柱。从图中可知，长方形的长为5cm，当绕着长方形的一条宽（长度为2cm的边）所在的直线旋转时，长方形的长5cm就成为了圆柱底面的半径。那么底面直径为5×2＝10cm。长方形的宽2cm，在旋转过程中，这条宽的长度就是圆柱的高。 【详解】长方形绕着一条边旋转一周，会形成一个圆柱。长方形的长为圆柱底面半径，宽为圆柱的高。 5×2＝10（cm） 长方形旋转一周得到的图形是圆柱，这个图形的底面直径是10cm，高是2cm。 题型二、圆锥的认识及特征 【例题2】如图所示，若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个( )，它的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【答案】 圆锥 16 3 【分析】3＜8；以三角形短边（3cm）为轴的直角边所在的直线为轴旋转一周，可以得到一个圆锥体，圆锥的底面半径正好等于三角形的长的直角边，是8cm，高是三角形的短的直角边，是3cm。 【详解】3＜8，以3cm边为旋转轴，轴旋转一周，可以得到一个圆锥。 直径：8×2＝16（cm）；高是3cm。 若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个圆锥，它的底面直径是16cm，高是3cm。 【变式训练1】圆锥的底面是一个( )形，圆锥的侧面展开后是一个( )。从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，用字母( )表示。 【答案】 圆 扇形 顶点 底面圆心 h 【详解】 如图所示，圆锥的底面是一个圆形，将圆锥的侧面展开得到一个扇形。 如图所示，从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫圆锥的高。 因此，圆锥的底面是一个圆形，圆锥的侧面展开后是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，用字母h表示。 【变式训练2】下面四个图形旋转后，哪一个会得到圆锥？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当直角三角形绕一条直角边旋转时，另一条直角边会绕轴做圆周运动，形成圆锥的底面，其长度就是底面半径；所以圆锥是由直角三角形绕着一条直角边旋转一周得到的。据此分析各选项，进而得出正确答案。 【详解】A．是长方形，绕着一条边旋转一周得到的是圆柱，不是圆锥。 B．是半圆，绕着直径旋转一周得到的是球，不是圆锥。 C．是直角梯形，绕着垂直于底的腰旋转一周得到的是圆台，不是圆锥。 D．是直角三角形，绕着一条直角边旋转一周得到的是圆锥。 故答案为：D 题型三、圆柱的展开图 【例题3】下列图中，圆柱的展开图正确的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。已知圆柱的底面直径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．底面周长为：3.14×3＝9.42（cm），因为长＝9.42cm，所以是圆柱的展开图。 B．底面周长为：3.14×3＝9.42（cm），因为长＝3cm，所以不是圆柱展开图。 C．底面周长为：3.14×3＝9.42（cm），因为长＝12cm，所以不是圆柱展开图。 D．底面周长为：3.14×3＝9.42（cm），因为长＝15cm，所以不是圆柱展开图。 【变式训练1】圆柱的侧面展开图不可能是（    ）。 A．梯形 B．平行四边形 C．正方形 D．长方形 【答案】A 【分析】根据圆柱的侧面展开图的特点，将圆柱的侧面的几种展开方法与展开后的图形列举出来，利用排除法即可进行选择。 【详解】（1）如果圆柱的底面周长与高相等，把圆柱的侧面展开有两种情况：①沿高剪开：此时圆柱的侧面展开是一个正方形；②不沿高剪：斜着剪开将会得到一个平行四边形； （2）如果圆柱的底面周长与高不相等，把圆柱的侧面展开有两种情况：①沿高剪开：此时圆柱的侧面展开是一个长方形；②不沿高剪：斜着剪开将会得到一个平行四边形或菱形； 根据上述圆柱的展开图的特点可得：圆柱的侧面展开图不能是梯形。 故答案为：A 【变式训练2】一张长方形铁皮，按图剪下阴影部分，恰好能制成一个圆柱，圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】100.48 【分析】长方形的长等于圆柱的底面周长，底面周长＝π×底面直径，由图可知，长方形的长＋底面直径＝16.56分米，即：πd＋d＝16.56，即可求出圆的直径d；制成的圆柱的高＝d×2，圆的半径＝d÷2，根据圆柱的体积＝π即可得出结果。 【详解】设圆的直径为d， 3.14d＋d＝16.56 4.14d＝16.56 d＝16.56÷4.14 d＝4 圆柱的高＝4×2＝8（分米） 底面半径＝4÷2＝2（分米） 圆柱的体积：3.14×＝3.14×4×8＝100.48（立方分米） 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】做10节长1米、底面半径为6厘米的圆柱形烟囱管。至少需要铁皮多少平方厘米？ 【答案】37680平方厘米 【分析】烟囱要用多少铁皮，求的是圆柱的侧面积，已知底面半径可求底面周长，底面周长则是圆柱侧面展开后的长，进而乘圆柱的高可得一节烟囱要用多少铁皮，然后乘10节即可得10节烟囱要用多少铁皮。注意单位换算。 【详解】1米＝100厘米 一节烟囱要用铁皮面积： 3.14×2×6×100＝37.68×100＝3768（平方厘米） 10节烟囱要用铁皮的面积：3768×10＝37680（平方厘米） 答：至少需要铁皮37680平方厘米。 【变式训练1】求以长方形的宽为轴旋转一周得到的几何体的侧面积。 【答案】 301.44平方厘米 【分析】以长方形的宽为轴旋转一周得到圆柱，长方形的长是圆柱底面半径，宽是圆柱的高，用圆柱侧面积公式计算。 【详解】2×3.14×8×6 ＝50.24×6 ＝301.44（平方厘米） 答：侧面积是301.44平方厘米。 【变式训练2】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮滚动30周，压路的面积是多少平方米？ 【答案】226.08平方米 【分析】求压路机压路的面积，需先求出前轮的侧面积。根据求侧面积，再用侧面积乘30解答。 【详解】 （平方米） （平方米） 答：压路的面积是226.08平方米。 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求表面积。 【答案】150.72dm2 【分析】已知圆柱的底面直径是4dm、高是10dm，根据圆柱的表面积S表＝S侧＋2S底，其中S侧＝πdh，S底＝πr2，代入数据计算，即可求出它的表面积。 【详解】3.14×4×10＋3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×10＋3.14×22×2 ＝3.14×4×10＋3.14×4×2 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（dm2） 圆柱的表面积是150.72dm2。 【变式训练1】如图，一个无盖铁皮水桶，李师傅用卷尺测量出这个水桶的底面直径和高。他做一个这样的水桶至少需要多少铁皮？（结果精确到十分位） 【答案】54.2平方分米 【分析】由题意可知，一个无盖的圆柱体铁皮水桶需要铁皮的面积，就是圆柱的一个底面积加上圆柱的侧面积，根据无盖圆柱的表面积公式：S＝πr2＋πdh（π取3.14），代入数值计算，并按要求保留小数即可。 【详解】3.14×（3÷2）2＋3.14×3×5 ＝3.14×1.52＋9.42×5 ＝3.14×2.25＋47.1 ＝7.065＋47.1 ＝54.2（平方分米） 答：他做一个这样的水桶至少需要54.2平方分米铁皮。 【变式训练2】为了参加“六一”儿童节的服装表演，六（1）班同学准备自己动手用硬纸片做40个礼帽（如图，单位厘米），至少要用硬纸片多少平方分米？ 【答案】1632.8平方分米 【分析】硬纸板的面积就是这个礼帽的表面积，先计算出1个礼帽需要的硬纸板面积，再乘40，最后根据1平方分米＝100平方厘米换算单位。 结合图示可知：一个礼帽的表面积由两部分组成：直径为（20＋20＋20）厘米的大圆面积和直径为20厘米高为20厘米的圆柱侧面积，再根据圆的面积：，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此列式计算。 【详解】礼帽下面大圆的半径： （20＋20＋20）÷2 ＝（40＋20）÷2 ＝60÷2 ＝30（厘米） 礼帽上面圆柱的底面周长：3.14×20＝62.8（厘米） （3.14×30×30＋62.8×20）×40 ＝（94.2×30＋1256）×40 ＝（2826＋1256）×40 ＝4082×40 ＝163280（平方厘米） 163280平方厘米＝1632.8平方分米 答：至少要用硬纸片1632.8平方分米。 题型六、圆柱的体积 【例题6】计算下面圆柱的表面积和体积。（图中单位：cm） 【答案】125.6cm2；100.48cm3 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱的体积＝底面积×高；代入数据计算即可。 【详解】表面积：（4÷2）2×3.14×2＋4×3.14×8 ＝22×3.14×2＋12.56×8 ＝4×3.14×2＋100.48 ＝12.56×2＋100.48 ＝25.12＋100.48 ＝125.6（cm2） 体积：（4÷2）2×3.14×8 ＝22×3.14×8 ＝4×3.14×8 ＝12.56×8 ＝100.48（cm3） 【变式训练1】乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 18 226.08 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的周长＝（r为圆的半径），用圆柱的侧面积除以底面周长，求出高，再根据圆柱的体积公式（h为圆柱的高，r为底面圆的半径）求出圆柱的体积。据此解答。 【详解】 底面圆的周长： （dm） 圆柱的高：（dm） 圆柱的体积： （dm） 乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是18dm，体积是226.08dm3。 【变式训练2】如图，一个圆柱形食品罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为471平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是多少立方厘米？（π值取3.14） 【答案】1177.5立方厘米 【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为平行四边形，利用平行四边形的面积471平方厘米除以平行四边形的高15厘米即可得到平行四边形的底边长，即是圆柱的底面的周长； 利用圆的周长公式求出圆柱的底面半径，侧面展开图的高即为圆柱的高； 利用圆柱的体积公式求出食品罐的体积。 【详解】471÷15＝31.4（厘米） 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 3.14×52×15 ＝3.14×25×15 ＝78.5×15 ＝1177.5（立方厘米） 答：这个食品罐的体积是1177.5立方厘米。 题型七、圆柱的容积 【例题7】一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，从里面量，底面直径是4分米，高是3分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果把这个铁皮水桶装满水，能装多少升？ 【答案】50.24平方分米；37.68升 【分析】（1）分析题目，根据圆柱的表面积公式可知：铁皮的面积＝πdh＋π（d÷2）2，据此代入数据列式计算； （2）圆柱的体积＝π（d÷2）2h，据此求出圆柱的体积，再根据1立方分米＝1升把单位换算成升即可。 【详解】4×3.14×3＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×3＋3.14×22 ＝37.68＋3.14×4 ＝37.68＋12.56 ＝50.24（平方分米） 3.14×（4÷2）2×3 ＝3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方分米） 37.68立方分米＝37.68升 答：做一个这样的水桶大约用铁皮50.24平方分米，能装37.68升水。 【变式训练1】根据中国学龄儿童膳食指南建议：每日喝水应不少于1500毫升。笑笑每天用底面直径6厘米，杯子内高10厘米的圆柱形水杯喝满6杯水。笑笑每天饮水量( )（填“达到了”或“没达到”）要求。 【答案】达到了 【分析】圆柱的体积＝πr²h，代入计算出一杯水的体积是多少立方厘米。再乘每天喝满的杯数，就是笑笑每天喝了多少立方厘米。转换成毫升作单位，再与1500毫升比较即可。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14××10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 282.6×6＝1695.6（立方厘米） 1695.6立方厘米＝1695.6毫升 1695.6＞1500，所以笑笑每天饮水量达到了要求。 【变式训练2】一个圆柱形状的水池，底面直径10米，深2米。 (1)在水池的侧面和底面都抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)池内最多能容水多少立方米？ 【答案】(1)141.3平方米 (2)157立方米 【分析】（1）根据题意，抹水泥部分的面积是圆柱形水池的侧面积与一个底面积之和。圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆柱的底面积S＝πr2。 （2）根据圆柱的体积V＝πr2h，可以算出这个圆柱形水池的容积。 【详解】（1）10÷2＝5（米） 3.14×10×2＋3.14×52 ＝3.14×10×2＋3.14×25 ＝62.8＋78.5 ＝141.3（平方米） 答：抹水泥部分的面积是141.3平方米。 （2）10÷2＝5（米） 3.14×52×2 ＝3.14×25×2 ＝157（立方米） 答：池内最多能容水157立方米。 题型八、圆柱与圆锥体积的关系 【例题8】一个圆柱体木块，削去12立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥体，这个圆锥体的体积是( )立方分米，原来圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 6 18 【分析】一个圆柱体与圆锥等底等高，则圆锥的体积是圆柱的，削去的12立方分米是圆柱体积的1－＝，根据单位“1”的量＝部分量÷对应分率，则可求出圆柱的体积。然后用圆柱的体积÷3即可求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的体积： 12÷（1－） ＝12÷ ＝12× ＝18（立方分米） 圆锥的体积：18÷3＝6（立方分米） 【变式训练1】一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是36立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】 27 9 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×底面积×高，所以圆锥体积是与它等底等高圆柱体积的。把圆锥体积看作1份，则与它等底等高圆柱的体积是3份，它们的体积之和是4份，用体积之和除以4求出每份的体积，即为圆锥的体积，再用每份的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】圆锥的体积：36÷（1＋3）           ＝36÷4           ＝9（立方厘米） 圆柱的体积：9×3＝27（立方厘米） 【变式训练2】如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 【答案】50.24cm3 【分析】如图，圆柱、圆锥的底面半径相等都是2cm，圆柱、圆锥的高相等都是3cm，圆柱的体积公式是，据此可以求出圆柱的体积。等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一，据此圆锥体积可求，组合图形的体积是两部分体积之和，据此解答。 【详解】 （cm3） 它的体积是50.24cm3。 题型九、圆锥的体积 【例题9】求圆锥的体积。 【答案】150.72立方厘米 【分析】需要先根据圆锥底面直径求出半径，再利用圆锥体积公式V＝πr2h（其中V是体积，r是底面半径，h是高）进行计算。已知圆锥底面直径8厘米、高9厘米，先求半径，再代入公式求解，据此解答。 【详解】求圆锥底面半径：已知圆锥底面直径为8厘米，因为半径r＝直径÷2，所以底面半径r＝8÷2＝4厘米。 计算圆锥体积：根据圆锥体积公式V＝πr2h，r＝4厘米，h＝9厘米，代入可得： V＝×（3.14×42×9） ＝×（3.14×16×9） ＝×（50.24×9） ＝×452.16 ＝150.72（立方厘米） 圆锥的体积150.72立方厘米。 【变式训练1】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重750千克，这堆小麦大约重多少吨？ 【答案】4.71吨 【分析】先根据“”求出圆锥的底面半径，再根据“”求出小麦的体积，然后乘每立方米小麦的重量求出小麦的总重量，最后根据“1吨＝1000千克”把单位转化为“吨”。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝（3.14×4）×（1.5×） ＝12.56×0.5 ＝6.28（立方米） 6.28×750＝4710（千克） 4710千克＝4.71吨 答：这堆小麦大约重4.71吨。 【变式训练2】一个圆锥形沙堆高2.7米，底面积是15平方米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？ 【答案】45厘米 【分析】沙子在从圆锥形态变为长方体形态的过程中，总体积保持不变。先通过圆锥体积公式：体积＝底面积×高，算出沙子总量，再根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，将该体积代入长方体体积公式，逆推出长方体沙坑中沙子的高度。 【详解】×15×2.7 ＝5×2.7 ＝13.5（立方米） 13.5÷（7.5×4） ＝13.5÷30 ＝0.45（米） 0.45米＝0.45×100＝45厘米 答：沙坑里沙子的厚度是45厘米。 题型十、圆锥的容积 【例题10】传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 【答案】28.26立方分米 【分析】从顶点向下垂直切开，纵切片是一个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥高的三角形，三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，据此求出圆锥的底面直径，再根据圆锥的容积＝底面积×高×，据此求出这个斗笠的容积。 【详解】9÷3×2 ＝3×2 ＝6（分米） 3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×3× ＝3.14×9×3× ＝28.26×3× ＝84.78× ＝28.26（立方分米） 答：这个斗笠的容积是28.26立方分米。 【变式训练1】如图是一个高为18厘米的密闭容器，乐乐将容器倒过来后，水面高度是( )厘米。 【答案】6厘米 【分析】由图可知，圆锥的高为6厘米，圆柱和圆锥等底。正放时，圆锥部分水的体积，倒过来后变为圆柱部分，因为等底等高圆柱体积是圆锥的3倍，所以圆锥高6厘米的水，在圆柱中高度为（6×）厘米。正放时，容器下部是圆锥，高6厘米，上部是圆柱，水的高度到10厘米，即圆柱部分水高（10 – 6）厘米。最后将两部分加起来就是水面高度。 【详解】　10－6＋6× ＝10－6＋2 ＝6（厘米） 答：水面高度是6厘米。 【变式训练2】在一个底面直径18厘米的圆柱形容器中盛满水，水中浸没一个底面半径是3厘米的圆锥形铁锤（如图一），当铁锤被取出后，容器中的水面下降了2厘米（如图二）。这个圆锥形铁锤体积是多少立方厘米？ 【答案】508.68立方厘米 【分析】圆锥形铁锤浸没在水中，取出后水面下降的那部分圆柱的体积，就等于圆锥形铁锤的体积。根据圆柱的体积公式，代入圆柱的半径和水面下降的高度，即可解答。 【详解】圆柱底面半径 答：这个圆锥形铁锤体积是508.68立方厘米。 提升练习 1．一个圆柱体和一个正方体底面周长和高分别相等，那么圆柱体的体积和正方体的体积相比较（    ）。 A．正方体大 B．圆柱体大 C．一样大 D．无法比较 【答案】B 【分析】圆柱的体积＝底面积×高，正方体的体积＝底面积×高，高相等，比较底面积的大小即可。 【详解】假设圆柱底面圆的周长是12.56 正方形边长： 12.56÷4＝3.14 正方形面积： 3.14×3.14＝9.8596 圆的半径 12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2 圆的面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56 12.56＞9.8596 圆的面积大于正方形的面积，所以圆柱体的体积大于正方体的体积。 2．有一块长28.26厘米，宽15.7厘米的长方形铁皮，配上直径（    ）厘米的圆形铁皮就可以做成一个容积最大的容器。（铁皮厚度不计） A．2.5 B．4.5 C．5 D．9 【答案】D 【分析】以长方形的长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高，先根据“”求出圆柱的底面半径，再根据“”求出圆柱的容积；以长方形的宽为圆柱的底面周长，长为圆柱的高，先根据“”求出圆柱的底面半径，再根据“”求出圆柱的容积；比较大小找出容积最大的圆柱，最后根据“在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍”求出圆形铁皮的直径。 【详解】以长方形的长为圆柱的底面周长，宽为圆柱的高： 28.26÷3.14÷2 ＝9÷2 ＝4.5（厘米） ＝ ＝（立方厘米） 以长方形的宽为圆柱的底面周长，长为圆柱的高： 15.7÷3.14÷2 ＝5÷2 ＝2.5（厘米） ＝ ＝（立方厘米） 因为＞，所以以长方形的长为圆柱的底面周长，宽为高的圆柱是容积最大的圆柱。 4.5×2＝9（厘米） 配上直径9厘米的圆形铁皮就可以做成一个容积最大的容器。 3．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这道题用转化思想：瓶子正放和倒放时，水的体积不变，空的部分体积也不变。根据，底面积相同，水的体积占瓶子容积的比例，就是水的高度除以总高度。 【详解】正放时水高14cm 倒放时空的部分高度： 总高度：14＋4＝18（cm） 水的体积占瓶子容积： 瓶中水的体积占瓶子容积的，选A。 4．一个圆柱形木料，如图，如果把它沿横截面截成两个小圆柱，它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿直径切成两个半圆柱，它的表面积增加16平方厘米。这个圆柱形木料原来的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．31.4 C．50.24 D．100.48 【答案】A 【分析】如果把它截成两个小圆柱，它的表面积增加6.28平方厘米，则增加的表面积是2个圆柱木料的底面圆面积，底面积＝πr2，求出圆柱的底面半径；如果沿直径切成两个半圆柱，它的表面积增加16平方厘米，则增加的面积是2个长方形，2个长方形的宽为圆柱底面直径，长为圆柱的高，据此可计算出圆柱的高。再根据圆柱体积＝πr2h，π取3.14，据此解答。 【详解】半径：6.28÷（2×3.14） ＝6.28÷6.28 ＝1（厘米） 高：16÷2÷（1×2） ＝16÷2÷2 ＝4（厘米） 体积：3.14×12×4 ＝3.14×1×4 ＝12.56（立方厘米） 这个圆柱形木料原来的体积是12.56立方厘米。 5．一个圆柱，底面半径2厘米，高3厘米，底面积是( )平方厘米，侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 12.56 37.68 62.8 37.68 【分析】圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方；圆柱侧面积＝底面周长×高；圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积；圆柱体积＝底面积×高。 【详解】底面积：3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 侧面积：2×3.14×2×3＝37.68（平方厘米） 表面积：12.56×2＋37.68 ＝25.12＋37.68 ＝62.8（平方厘米） 体积：12.56×3＝37.68（立方厘米） 6．如图，把一个高为20厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体后，长比宽多6.42厘米，长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】565.2 【分析】根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高； 已知长比宽多6.42厘米，也就是底面周长的一半比底面半径多6.42，据此列出方程，并求出底面半径； 因为拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】解：设圆柱的底面半径为r厘米。 3.14r－r＝6.42 2.14r＝6.42 r＝6.42÷2.14 r＝3 体积： 3.14×32×20 ＝3.14×9×20 ＝28.26×20 ＝565.2（立方厘米） 长方体的体积是565.2立方厘米。 7．圆柱的底面半径和高都扩大5倍，它的侧面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 【答案】 25 125 【分析】设圆柱底面半径和高均为1，根据“圆柱的侧面积＝底面的周长×高，即S侧＝Ch（C表示底面的周长，h表示圆柱的高），或S侧＝2πrh”和“圆柱的体积＝底面积×高，即V＝πr2h”分别计算后即可解答。 【详解】S侧面积＝2×π×1×1＝2π S扩大5倍后侧面积＝2×π×（1×5）×（1×5）＝50π 50π÷2π＝25 V体积＝π×12×1＝π V扩大5倍后体积＝π×（1×5）2×（1×5）＝125π 125π÷π＝125 所以圆柱的底面半径和高都扩大5倍，它的侧面积扩大25倍，体积扩大125倍。 8．一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等，已知圆柱的底面积是9.42平方厘米，则圆锥的底面积是( )平方厘米。 【答案】28.26 【分析】当圆柱和圆锥的体积、高分别相等时，圆锥的底面积是圆柱的底面积的3倍，据此解答。 【详解】9.42×3＝28.26（平方厘米） 9．一根长8分米的圆柱木料，如果把它的长截掉3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木的横截面周长是( )分米，体积是( )立方分米。 【答案】 6.28 25.12 【分析】由题可知，减少的表面积即截掉部分的侧面积，横截面周长＝侧面积÷高；底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，再根据圆柱的体积公式即可解答。 【详解】18.84÷3＝6.28（分米） 6.28÷3.14÷2 ＝2÷2 ＝1（分米） 3.14×12×8 ＝3.14×8 ＝25.12（立方分米） 10．用彩带捆扎一个圆柱形礼盒（如下图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带20cm。 (1)制作这个礼盒至少要( )平方厘米的硬纸板。 (2)这个礼盒的体积是( )立方厘米。 (3)捆扎这个礼盒共用去彩带( )厘米。 【答案】(1)2355 (2)7065 (3)180 【分析】用直径除以2算出半径。 （1）求用多少平方厘米的硬纸板，就是求圆柱的表面积。圆柱的表面积＝πdh＋2πr2，带入计算即可。 （2）圆柱的体积＝πr2h，代入计算出体积。 （3）彩带的长度是4个直径长度加上4个高的长度，再加上打结的彩带的长度。 【详解】（1）3.14×30×10＋2×3.14×（30÷2）2 ＝3.14×30×10＋2×3.14×152 ＝3.14×30×10＋2×3.14×225 ＝942＋1413 ＝2355（平方厘米） （2）3.14×（30÷2）2×10 ＝3.14×152×10 ＝3.14×225×10 ＝7065（立方厘米） （3）30×4＋10×4＋20 ＝120＋40＋20 ＝180（厘米） 11．如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。它的上、下两部分是两个完全相同的圆锥，其中一个装满细沙，单个圆锥的高为9厘米。漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟。这个沙漏的底面积是( )平方厘米。 【答案】30 【分析】1分＝60秒，漏完全部细沙用时30分钟，将分化为秒。 沙漏体积＝漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米×漏完全部细沙用的时间。 沙漏体积＝1个圆锥的体积 因为圆锥体积公式V＝Sh，变形得到底面积的计算S＝3V÷h 将已知的圆锥体积和高代入公式，即可算出底面积。 【详解】1分＝60秒 30×60＝1800（秒） V＝1800×0.05＝90（立方厘米） 90×3÷9 ＝270÷9 ＝30（平方厘米） 这个沙漏的底面积是30平方厘米。 12．计算圆柱的表面积和体积，计算圆锥的体积（单位：厘米）。 【答案】圆柱表面积62.8平方厘米；体积37.68立方厘米；圆锥体积47.1立方厘米 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，底面积，需先求出半径，侧面积，圆柱的体积；圆锥的体积。 【详解】（厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆柱的表面积是62.8平方厘米。 （立方厘米） 圆柱的体积是37.68立方厘米。 （立方厘米） 圆锥的体积是47.1立方厘米。 13．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 【答案】159.48立方分米 【分析】正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为正方体的棱长），已知正方体的棱长为6分米，所以正方体的体积为：6×6×6＝216（立方分米）。要在正方体中挖去一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6分米，高为6分米。圆锥的底面半径为6÷2＝3分米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），所以圆锥的体积为：×3.14×32×6＝56.52（立方分米）。剩余部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，用216减56.52计算即可。 【详解】6×6×6＝216（立方分米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 剩余部分的体积是159.48立方分米。 14．炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 【答案】847.8千焦 【分析】由图可知，冰激凌的形状是一个圆锥，已知圆锥底面直径为6厘米，那么底面半径为6÷2＝3厘米，高为15厘米。圆锥体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），把数据代入公式后计算出圆锥的体积。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量，把圆锥体积单位换算成毫升后与6相乘即可解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×15 ＝×3.14×9×15 ＝3×3.14×15 ＝141.3（立方厘米） 141.3立方厘米＝141.3毫升 6×141.3＝847.8（千焦） 答：这个冰激凌大约含有847.8千焦热量。 15．打谷场上堆着一个近似圆锥形的谷堆，小钟测得其底面周长是18.84米，高是1.5米。爸爸说每立方米的稻谷约重550千克，小钟告诉爸爸这堆稻谷有7吨多，他算得对吗？ 【答案】对 【分析】圆锥的底面周长＝，根据周长计算出底面半径，圆锥体积＝，据此算出圆锥的体积，再用体积乘550可算出这堆稻谷多重，1吨＝1000千克。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） （千克）＝7吨771.5千克 答：他算得对。 16．一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】240.5平方厘米 【分析】铅锤的体积等于如图所示的圆柱形3厘米高水的体积与20毫升水的体积和，根据圆柱的体积公式V＝Sh求出铅锤的体积。圆锥体积公式V＝Sh，则S＝3V÷h，据此代入数据解答。 【详解】20毫升＝20立方厘米 [3.14×（20÷2）2×3＋20]×3÷12 ＝[3.14×102×3＋20]×3÷12 ＝[3.14×100×3＋20]×3÷12 ＝[942＋20]×3÷12 ＝962×3÷12 ＝240.5（平方厘米） 答：这个铅锤的底面积是240.5平方厘米。 17．为了抢种一批蔬菜，王叔叔用塑料薄膜覆盖了一个蔬菜大棚（如下图所示），长30米，横截面是半径为2米的半圆。（π取3.14） （1）搭建这个蔬菜大棚需要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间有多大？ 【答案】（1）200.96平方米 （2）188.4立方米 【分析】（1）观察图形可知，这个蔬菜大棚用塑料薄膜覆盖的面包括两个半径为2米的半圆和圆柱侧面的一半，则需要塑料薄膜的面积＝圆的面积＋圆柱侧面积的一半，其中圆的面积公式S＝πr2，圆柱侧面积的公式S侧＝2πrh，代入数据计算求解。 （2）求大棚内的空间大小，就是求圆柱体积的一半；根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出整个圆柱的体积，再除以2即可。 【详解】（1）3.14×22＋2×3.14×2×30÷2 ＝3.14×4＋2×3.14×2×30÷2 ＝12.56＋188.4 ＝200.96（平方米） 答：搭建这个蔬菜大棚需要用200.96平方米的塑料薄膜。 （2）3.14×22×30÷2 ＝3.14×4×30÷2 ＝188.4（立方米） 答：大棚内的空间有188.4立方米大。 18．一个圆柱形水池，从里面量底面半径是5米，深是2米。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）在水池的池壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池最多能蓄水多少立方米？ 【答案】（1）平方米 （2）平方米 （3）立方米 【分析】（1）先根据圆的面积公式：（其中为圆的半径），代入数值即可求出这个水池的占地面积是多少平方米。 （2）根据圆柱表面积公式：（其中为底面半径，是圆柱的高），代入数值即可求出抹水泥部分的面积是多少平方米。 （3）根据圆柱的体积公式：（其中为底面半径，是圆柱的高），代入数值即可求出这个水池最多能蓄水多少立方米。 【详解】（1）水池的占地面积：（平方米） 答：这个水池的占地面积是78.5平方米。 （2）抹水泥部分的面积： （平方米） 答：抹水泥部分的面积是141.3平方米。 （3）水池的体积： 立方米 答：这个水池最多能蓄水157立方米。 19．小麦是世界上分布最广、面积最大、贸易额最多、营养价值最高的粮食作物之一。如图，麦场上有一个近似圆锥形的麦堆，底面半径是3米，高是1.2米。工作人员用铁皮制作了一个底面半径为2米，高为10米的圆柱形粮囤（无盖）。 （1）制作这个圆柱形粮囤至少需要多少平方米铁皮？ （2）如果将这堆小麦装到这个圆柱形粮囤中，能装多高？ 【答案】（1）138.16平方米； （2）0.9米 【分析】（1）由题意可知，求制作这个粮囤需要铁皮的面积就是求圆柱的表面积，因为圆柱形粮囤无盖，所以只计算侧面积与一个底面积的和即可，，把题目中的数据代入公式计算； （2）先利用“”求出这堆小麦的体积，再根据“”求出圆柱形粮囤的底面积，粮囤装入小麦的高度＝这堆小麦的体积÷圆柱形粮囤的底面积，据此解答。 【详解】（1）2×3.14×2×10＋3.14×22 ＝2×3.14×2×10＋3.14×4 ＝6.28×2×10＋12.56 ＝12.56×10＋12.56 ＝125.6＋12.56 ＝138.16（平方米） 答：制作这个圆柱形粮囤至少需要138.16平方米铁皮。 （2）3.14×32×1.2× ＝3.14×9×1.2× ＝28.26×1.2× ＝28.26×（1.2×） ＝28.26×0.4 ＝11.304（立方米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 11.304÷12.56＝0.9（米） 答：如果将这堆小麦装到这个圆柱形粮囤中，能装0.9米高。 20．陀螺，是普及性的儿童玩具。据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣：“杨柳儿活，抽陀螺”，并介绍了具体玩法，同现代的陀螺完全一样。如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 (1)已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ (2)如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 【答案】(1)502.4立方厘米 (2)576平方厘米 【分析】（1）由于圆锥的高是圆柱高的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，即可求出圆锥的高，根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入即可求出这两部分的体积，再相加即可； （2）要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒，那么这个包装盒的长和宽是底面的直径，高是圆柱和圆锥的高的和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入即可求解。 【详解】（1）8×＝6（厘米） 3.14×（8÷2）2×8＋×3.14×（8÷2）2×6 ＝3.14×16×8＋3.14×16××6 ＝50.24×8＋50.24×2 ＝401.92＋100.48 ＝502.4（立方厘米） 答：这个陀螺的体积是502.4立方厘米。 （2）8＋6＝14（厘米） 8×8×2＋8×14×4 ＝64×2＋112×4 ＝128＋448 ＝576（平方厘米） 答：至少需要576平方厘米硬纸板。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02：圆柱和圆锥 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、圆柱的认识及特征 1. 定义：圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形底面和一个连接底面的曲面（侧面）围成的几何体。 2. 组成部分： (1)底面： 两个完全相同的圆形，所在平面相互平行。 (2)侧面： 一个光滑的曲面，连接两个底面的边缘。 (3)高： 两个底面之间的垂直距离，有无数条，且所有高的长度相等。 3. 特征： (1)底面是全等的圆，半径（或直径）决定底面大小。 (2)侧面展开后为长方形（或正方形），长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 (3)上下底面圆心的连线垂直于底面。 考点二、圆锥的认识及特征 1. 定义：圆锥是由一个圆形底面和一个顶点，以及连接顶点与底面圆周上任意一点的曲面（侧面）围成的几何体。 2. 组成部分： (1)底面： 一个圆形。 (2)侧面： 一个曲面，展开后为扇形。 (3)高： 从顶点到底面圆心的垂直距离，只有一条。 3. 特征： (1)底面是一个圆，半径决定底面大小。 (2)侧面展开图的扇形半径等于圆锥的母线（顶点到底面圆周上任意一点的距离）。 (3)高与底面圆心和顶点共线，且垂直于底面。 考点三、圆柱的展开图 1. 侧面展开图： (1)沿圆柱的高剪开，侧面展开后是一个长方形（或正方形）。 (2)长方形的长 = 圆柱底面周长（ 或 ），宽 = 圆柱的高（ ）。 (3)若底面周长等于高（ ），则侧面展开图为正方形。 2. 表面展开图：由两个圆形底面和一个侧面展开图（长方形或正方形）组成，两个圆形分别位于长方形的上下两边。 考点四、圆柱的侧面积 1. 定义：圆柱侧面的面积，不包括两个底面。 2. 计算公式： 侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为： 其中 （ 为底面半径）或 （ 为底面直径），故： 考点五、圆柱的表面积 1. 定义：圆柱的表面积是侧面积与两个底面面积之和。 2. 计算公式： 表面积 = 侧面积 + 2×底面积，用字母表示为： 其中底面积 ，故： 考点六、圆柱的体积 1. 定义：圆柱所占空间的大小。 2. 计算公式： 体积 = 底面积 × 高，用字母表示为： 考点七、圆柱的容积 1. 定义：圆柱形容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，但需从容器内部测量数据（如内半径、内高）。 2. 单位：常用容积单位为升（L）、毫升（mL），换算关系：1升 = 1立方分米（ ），1毫升 = 1立方厘米（ ）。 考点八、圆柱与圆锥体积的关系 1. 等底等高条件： 若圆柱和圆锥的底面半径（或直径）相等，且高相等，则： (1)圆锥体积是圆柱体积的 ，即 。 (2)圆柱体积是圆锥体积的3倍，即 。 2. 非等底等高情况：体积关系需根据具体底面积和高计算，不满足上述倍数关系。 考点九、圆锥的体积 1. 定义：圆锥所占空间的大小。 2. 计算公式： 体积 = 底面积 × 高，用字母表示为： 考点十、圆锥的容积 1. 定义：圆锥形容器所能容纳物体的体积，计算方法与体积相同，需从容器内部测量底面半径（或直径）和高。 2. 单位：与容积单位一致，常用升（L）、毫升（mL），计算结果需根据实际需求换算单位。 例题讲解 题型一、圆柱的认识及特征 【例题1】用一张长30厘米、宽20厘米的长方形纸卷成一个圆柱形纸筒。有( )种卷法，底面周长和高各是( )或( )。 【变式训练1】圆柱的上、下两个面叫做( )，它们是( )的两个圆，它的侧面是一个( )面，圆柱有( )条高。 【变式训练2】将如图的长方形旋转一周得到的图形是( )，这个图形的底面直径是( )cm，高是( )cm。 题型二、圆锥的认识及特征 【例题2】如图所示，若以此三角形的短边为轴旋转一周，可以得到一个( )，它的底面直径是( )cm，高是( )cm。 【变式训练1】圆锥的底面是一个( )形，圆锥的侧面展开后是一个( )。从圆锥的( )到( )的距离是圆锥的高，用字母( )表示。 【变式训练2】下面四个图形旋转后，哪一个会得到圆锥？（    ） A． B． C． D． 题型三、圆柱的展开图 【例题3】下列图中，圆柱的展开图正确的是（    ）。（单位：cm） A． B． C． D． 【变式训练1】圆柱的侧面展开图不可能是（    ）。 A．梯形 B．平行四边形 C．正方形 D．长方形 【变式训练2】一张长方形铁皮，按图剪下阴影部分，恰好能制成一个圆柱，圆柱的体积是( )立方分米。 题型四、圆柱的侧面积 【例题4】做10节长1米、底面半径为6厘米的圆柱形烟囱管。至少需要铁皮多少平方厘米？ 【变式训练1】求以长方形的宽为轴旋转一周得到的几何体的侧面积。 【变式训练2】一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径1.2米，前轮滚动30周，压路的面积是多少平方米？ 题型五、圆柱的表面积 【例题5】求表面积。 【变式训练1】如图，一个无盖铁皮水桶，李师傅用卷尺测量出这个水桶的底面直径和高。他做一个这样的水桶至少需要多少铁皮？（结果精确到十分位） 【变式训练2】为了参加“六一”儿童节的服装表演，六（1）班同学准备自己动手用硬纸片做40个礼帽（如图，单位厘米），至少要用硬纸片多少平方分米？ 题型六、圆柱的体积 【例题6】计算下面圆柱的表面积和体积。（图中单位：cm） 【变式训练1】乐乐有一个圆柱，它的底面半径是2dm，侧面积是226.08dm2，圆柱的高是( )dm，体积是( )dm3。 【变式训练2】如图，一个圆柱形食品罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个面积为471平方厘米的平行四边形，那么这个食品罐的体积是多少立方厘米？（π值取3.14） 题型七、圆柱的容积 【例题7】一种没有盖的圆柱形铁皮水桶，从里面量，底面直径是4分米，高是3分米。做一个这样的水桶大约用铁皮多少平方分米？如果把这个铁皮水桶装满水，能装多少升？ 【变式训练1】根据中国学龄儿童膳食指南建议：每日喝水应不少于1500毫升。笑笑每天用底面直径6厘米，杯子内高10厘米的圆柱形水杯喝满6杯水。笑笑每天饮水量( )（填“达到了”或“没达到”）要求。 【变式训练2】一个圆柱形状的水池，底面直径10米，深2米。 (1)在水池的侧面和底面都抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ (2)池内最多能容水多少立方米？ 题型八、圆柱与圆锥体积的关系 【例题8】一个圆柱体木块，削去12立方分米，正好削成一个与它等底等高的圆锥体，这个圆锥体的体积是( )立方分米，原来圆柱的体积是( )立方分米。 【变式训练1】一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知它们的体积之和是36立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。 【变式训练2】如图是由一个圆柱体和一个圆锥体组成的零件，求它的体积。 题型九、圆锥的体积 【例题9】求圆锥的体积。 【变式训练1】一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高1.5米。如果每立方米小麦大约重750千克，这堆小麦大约重多少吨？ 【变式训练2】一个圆锥形沙堆高2.7米，底面积是15平方米。如果用这堆沙子去填一个长7.5米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？ 题型十、圆锥的容积 【例题10】传统竹编工艺有着悠久的历史，富含着劳动人民辛勤劳作的结晶。如图，一个高为3分米的圆锥形竹编斗笠，如果将这个斗笠从顶点向下垂直切开。纵切片的面积是9平方分米，这个斗笠的容积是多少立方分米？ 【变式训练1】如图是一个高为18厘米的密闭容器，乐乐将容器倒过来后，水面高度是( )厘米。 【变式训练2】在一个底面直径18厘米的圆柱形容器中盛满水，水中浸没一个底面半径是3厘米的圆锥形铁锤（如图一），当铁锤被取出后，容器中的水面下降了2厘米（如图二）。这个圆锥形铁锤体积是多少立方厘米？ 提升练习 1．一个圆柱体和一个正方体底面周长和高分别相等，那么圆柱体的体积和正方体的体积相比较（    ）。 A．正方体大 B．圆柱体大 C．一样大 D．无法比较 2．有一块长28.26厘米，宽15.7厘米的长方形铁皮，配上直径（    ）厘米的圆形铁皮就可以做成一个容积最大的容器。（铁皮厚度不计） A．2.5 B．4.5 C．5 D．9 3．数学思想方法是数学的灵魂。转化思想作为重要的数学思想方法之一，在我们的学习生活中，它无处不在。一个瓶子里装有一些水（如图），根据图中标出的数据，可得瓶中水的体积占瓶子容积的（    ）。 A． B． C． D． 4．一个圆柱形木料，如图，如果把它沿横截面截成两个小圆柱，它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿直径切成两个半圆柱，它的表面积增加16平方厘米。这个圆柱形木料原来的体积是（    ）立方厘米。 A．12.56 B．31.4 C．50.24 D．100.48 5．一个圆柱，底面半径2厘米，高3厘米，底面积是( )平方厘米，侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 6．如图，把一个高为20厘米的圆柱切拼成一个近似的长方体后，长比宽多6.42厘米，长方体的体积是( )立方厘米。 7．圆柱的底面半径和高都扩大5倍，它的侧面积扩大( )倍，体积扩大( )倍。 8．一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等，已知圆柱的底面积是9.42平方厘米，则圆锥的底面积是( )平方厘米。 9．一根长8分米的圆柱木料，如果把它的长截掉3分米，表面积就减少18.84平方分米，这根圆木的横截面周长是( )分米，体积是( )立方分米。 10．用彩带捆扎一个圆柱形礼盒（如下图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带20cm。 (1)制作这个礼盒至少要( )平方厘米的硬纸板。 (2)这个礼盒的体积是( )立方厘米。 (3)捆扎这个礼盒共用去彩带( )厘米。 11．如图是我国古代的一种计量时间的仪器——沙漏（又称沙钟）。它的上、下两部分是两个完全相同的圆锥，其中一个装满细沙，单个圆锥的高为9厘米。漏口每秒漏出细沙0.05立方厘米，漏完全部细沙用时30分钟。这个沙漏的底面积是( )平方厘米。 12．计算圆柱的表面积和体积，计算圆锥的体积（单位：厘米）。 13．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 14．炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 15．打谷场上堆着一个近似圆锥形的谷堆，小钟测得其底面周长是18.84米，高是1.5米。爸爸说每立方米的稻谷约重550千克，小钟告诉爸爸这堆稻谷有7吨多，他算得对吗？ 16．一个装有水的圆柱形玻璃杯，从里面量得它的直径是20厘米，杯中水面距杯口3厘米。如果把一个高12厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水会溢出20毫升。这个铅锤的底面积是多少平方厘米？ 17．为了抢种一批蔬菜，王叔叔用塑料薄膜覆盖了一个蔬菜大棚（如下图所示），长30米，横截面是半径为2米的半圆。（π取3.14） （1）搭建这个蔬菜大棚需要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间有多大？ 18．一个圆柱形水池，从里面量底面半径是5米，深是2米。 （1）这个水池的占地面积是多少平方米？ （2）在水池的池壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （3）这个水池最多能蓄水多少立方米？ 19．小麦是世界上分布最广、面积最大、贸易额最多、营养价值最高的粮食作物之一。如图，麦场上有一个近似圆锥形的麦堆，底面半径是3米，高是1.2米。工作人员用铁皮制作了一个底面半径为2米，高为10米的圆柱形粮囤（无盖）。 （1）制作这个圆柱形粮囤至少需要多少平方米铁皮？ （2）如果将这堆小麦装到这个圆柱形粮囤中，能装多高？ 20．陀螺，是普及性的儿童玩具。据推断，陀螺产生于我国宋朝，相关古籍记载了当时流行于北京的一句童谣：“杨柳儿活，抽陀螺”，并介绍了具体玩法，同现代的陀螺完全一样。如图的陀螺，上面是圆柱，下面是圆锥，且圆锥的高是圆柱高的。 (1)已知圆柱的底面直径8厘米，高是8厘米，这个陀螺的体积是多少立方厘米？ (2)如果要给这个陀螺做一个带盖长方体包装盒（粘合处忽略不计），至少需要多少平方厘米硬纸板？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $