期中复习讲义01：简易方程（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

期中复习讲义01：简易方程 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、等式和方程的认识 1.等式的定义：表示相等关系的式子叫做等式。其特征是式子中必须含有等号“=”，等号左右两边的表达式在数值上相等。例如：3+2=5、10-4=6等，都是等式。 2.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。构成方程需满足两个条件：一是必须是等式，二是等式中必须含有未知数（通常用字母x、y、z等表示）。例如：x+5=12、3y=18、2z-7=9等，都是方程。 3.等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式包含方程，方程是特殊的等式（即含有未知数的等式）。 考点二、等式的性质1和2 （一）等式的性质1 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 (1)数学表达式：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c（c为任意数）。 (2)核心要点：“同时”指对等式两边进行相同的操作；“同一个数”确保操作的一致性，若两边加（减）不同的数，等式不再成立。 （二）等式的性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 (1)数学表达式：如果a=b，那么a×c=b×c，a÷c=b÷c（c≠0）。 (2)核心要点：“不为0”是关键，因为0不能作为除数（0做除数无意义），若c=0，等式两边同时除以0的操作不成立；乘0时虽等式仍成立（0=0），但无法用于解方程（会丢失未知数信息），故实际应用中解方程时一般不乘0。 考点三、应用等式的性质1和2解方程 1.解方程的定义：求方程中未知数的值的过程叫做解方程，解得的未知数的值叫做方程的解。 2.利用等式的性质1解方程（形如x±a=b） (1)步骤：方程两边同时加上或减去a，消去左边的常数项，得到x的值。 (2)示例逻辑（非例题）：对于方程x+3=8，根据性质1，两边同时减3，得x+3-3=8-3，即x=5。 3.利用等式的性质2解方程（形如ax=b或x÷a=b，a≠0） (1)解ax=b（a≠0）：方程两边同时除以a，得x=b÷a。 (2)解x÷a=b（a≠0）：方程两边同时乘a，得x=b×a。 4.书写规范：解方程时，等号需上下对齐；每一步变形需注明依据（如“根据等式的性质1”）；求出解后，可将解代入原方程检验（左边=右边则解正确）。 考点四、列简易方程 列简易方程是根据文字描述或数量关系，用含有未知数的等式表示等量关系的过程，步骤如下： 1.找等量关系：分析题目中的数量关系，找出表示相等关系的语句（如“一共”“比……多/少”“是……的几倍”“等于”等），或依据常见数量公式（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等）确定等量关系。 2.设未知数：根据等量关系，选择合适的未知数（通常用x表示），明确未知数代表的具体量（如“设苹果的质量为x千克”）。 3.列方程：用含未知数的式子表示等量关系中的各部分，再用等号连接，形成方程。例如，“一个数的3倍加上5等于20”，等量关系为“一个数的3倍+5=20”，设这个数为x，列方程为3x+5=20。 考点五、列方程解含一个未知数的问题 列方程解决含一个未知数的实际问题，需遵循以下步骤： 1.审题：明确题目中的已知条件和所求问题，找出关键信息（如数量、关系词等）。 2.设未知数：设所求的未知量为x（通常直接设问题中的量为x），并注明单位。 3.找等量关系：根据题目中的数量关系，确定表示相等关系的式子（可借助线段图、关键词等辅助分析）。 4.列方程：根据等量关系，用含x的式子表示相关量，列出方程。 5.解方程：利用等式的性质求出x的值，注意书写规范和检验。 6.检验并作答：将x的值代入原方程检验（左边是否等于右边），同时检查是否符合实际题意，最后写出答语。 考点六、列方程解含两个未知数的问题 当问题中涉及两个相关联的未知数时，列方程的关键是用含一个未知数的式子表示另一个未知数，步骤如下： 1.分析数量关系：明确两个未知数之间的关系（如和差关系、倍数关系等），确定哪个未知数为标准量（通常设较小的数或被比较的量为x）。 2.设未知数：设标准量为x，根据两个未知数的关系，用含x的式子表示另一个未知数（如“甲比乙多5”，设乙为x，则甲为x+5；“甲是乙的3倍”，设乙为x，则甲为3x）。 3.找等量关系：根据题目中的总和、差、倍数等条件，确定等量关系（如“甲和乙的和是20”，则x+（x+5）=20）。 4.列方程并求解：根据等量关系列出方程，解方程求出x的值，再根据含x的式子求出另一个未知数。 5.检验作答：检验两个未知数的值是否满足所有条件，确认无误后作答。 例题讲解 题型一、等式和方程的认识 【例题1】在①2＋x＝8②a＋24③2m＝15④5×18＝90⑤y÷6＝1.7⑥4x＞100中，等式有：( )；方程有( )。（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ①③⑤ 【分析】表示两个数或两个式子相等（能用等号连接）的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；据此判断。 【详解】①2＋x＝8表示左右两边相等，是等式；含有未知数，也是方程； ②a＋24不能表示两边相等，不是等式，也不是方程； ③2m＝15表示左右两边相等，是等式；含有未知数，也是方程； ④5×18＝90表示左右两边相等，是等式；没有未知数，不是方程； ⑤y÷6＝1.7表示左右两边相等，是等式；含有未知数，也是方程； ⑥4x＞100不能表示两边相等，不是等式，也不是方程。 所以，等式有①③④⑤；方程有①③⑤。 【变式训练1】下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要判断哪个式子是方程，需明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，据此分析每个选项。 【详解】A．3x＝12.3，既含有未知数x，又是等式，符合方程的定义，所以它是方程。 B．x－1.2x＜6，虽然含有未知数x，但它是不等式，不是等式，不符合方程的定义，所以不是方程。 C．2y＋4，只是一个含有未知数y的式子，不是等式，不符合方程的定义，所以不是方程。 D．7－5＝2，是等式，但不含有未知数，不符合方程的定义，所以不是方程。 所以选项A中的“3x＝12.3”是方程。 故答案为：A 【变式训练2】在括号里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝4。 ( )×x＝20    x－( )＝2.7    ( )÷x＝0.24 【答案】 5 1.3 0.96 【分析】将x＝4代入每个算式中，再根据积÷乘数＝另一个乘数，被减数－差＝减数，商×除数＝被除数计算即可。 【详解】20÷4＝5；4－2.7＝1.3；0.24×4＝0.96 题型二、等式的性质1和2 【例题2】数学老师用天平演示解方程的过程，（    ）运用了“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式”这一性质。 A．3 B．2 C．1 D．2 【答案】A 【分析】等式性质：在等式两边同时都加上（或减去）一个相同的数；两边同时都乘上（或除以）一个相同的数（0除外），等式仍然成立。1→2，2→3，2→1都是运用等式性质1，等式两边同时加上或减去一个相同的数，等式仍然成立。3→4，运用等式性质2，等式两边同时乘一个数，等式仍然成立。 【详解】A.3→4物品数量从2个减少为1个，砝码数量从4个减少为2个，运用等式性质2，等式两边同时除以2，得到的结果仍然等式，符合题意； B．2→3天平两边同时减少一个物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时减少一个数结果仍然是等式，不符合题意； C．1→2天平两边同时减去相同数量的物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时减去一个数结果仍然是等式，不符合题意； D．2→1天平两边同时加上相同数量的物品，天平平衡，运用等式性质1，等式两边同时加上一个数结果仍然是等式，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练1】根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 【答案】 3.6 9.6 【分析】等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的性质2：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0除外），等式仍然成立。 【详解】已知a＋3b＝4.8，等式左边减去1.2，为了使等式仍然成立，等式右边也需要减去1.2，即a＋3b－1.2＝4.8－1.2＝3.6； 因为2a＋6b＝2（a＋3b），已知a＋3b＝4.8，等式两边同时乘2，得到2（a＋3b）＝2×4.8＝9.6，所以2a＋6b＝9.6。 【变式训练2】学数学要知其然，更要知其所以然。以下三个数学基本事实应用特别广泛： A．等式的性质 B．等量的等量相等 C．总量等于分量加分量 琪琪在解决上图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内。 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（    ） 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（    ） 【答案】A；B 【分析】琪琪的第一个思考过程：因为2个苹果＋1个梨＝5个梨，所以2个苹果＝4个梨。 这个推理过程可以表示为等式： 2×苹果＋1×梨＝5×梨，通过移项得到2×苹果＝4×梨，这里应用的是等式的性质，即在等式两边同时减去相同的量，等式仍然成立，因此，第一个思考过程应用了数学事实A。 琪琪的第二个思考过程是：因为2个苹果＝400克，2个苹果＝4个梨，所以4个梨＝400克。这个推理过程可以表示为等式： 2×苹果＝400克和2×苹果＝4×梨。由于两个等式的左边相等，根据等量的等量相等的原则，可以得出4×梨＝400克，因此，第二个思考过程应用了数学事实B，据此解答。 【详解】根据分析可知： 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……A 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……B 题型三、应用等式的性质1和2解方程 【例题3】解下列方程。                     【答案】；；； 【分析】（1）将合并为，再利用等式的性质，左右两边同时除以4.2求解。 （2）先计算，再利用等式的性质，左右两边同时加上2.7，再同时除以7求解。 （3）利用等式的性质，左右两边同时减去15，再同时除以5求解。 （4）利用等式的性质，左右两边同时乘4，再同时除以2.5求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： （4） 解： 【变式训练1】如果4＋18的值是42，那么15－18的值是( )。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝( )。 【答案】 72 12 【分析】①根据题意，先解方程（先根据等式的性质1，等式两边同时减去18；再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可）求出，再将代入即可； ②根据题意，先解方程26－4a＝18（先根据等式的性质1，等式两边同时加上4a，再同时减去18；再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可）求出a＝2，再将a＝2代入4a＋4即可。 【详解】 解： ＝15×6－18 ＝90－18 ＝72 如果的值是42，那么的值是72。 26－4a＝18 解：26－4a＋4a＝18＋4a 26＝18＋4a 18＋4a＝26 18＋4a－18＝26－18 4a＝8 4a÷4＝8÷4 a＝2 4a＋4 ＝4×2＋4 ＝8＋4 ＝12 如果26－4a＝18，那么4a＋4＝12。 如果4＋18的值是42，那么15－18的值是72。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝12。 【变式训练2】解方程。 1.6x－2.4＝7.2         24×（2.9＋x）＝96         x－0.6x＝16.4 【答案】x＝6；x＝1.1；x＝41 【分析】（1）根据等式的性质，先给方程两边同时加上2.4，然后再同时除以1.6，即可求出x的值； （2）根据等式的性质，先给方程两边同时除以24，然后再同时减去2.9，即可求出x的值； （3）先计算x－0.6x＝0.4x，根据等式的性质，给方程两边同时除以0.4，即可求出x的值。 【详解】1.6x－2.4＝7.2 解：1.6x－2.4＋2.4＝7.2＋2.4 1.6x＝9.6 1.6x÷1.6＝9.6÷1.6 x＝6 （2）24×（2.9＋x）＝96 解：24×（2.9＋x）÷24＝96÷24 2.9＋x＝4 2.9＋x－2.9＝4－2.9 x＝1.1 （3）x－0.6x＝16.4 解：0.4x＝16.4 0.4x÷0.4＝16.4÷0.4 x＝41 题型四、列简易方程 【例题4】根据数量间的相等关系列出方程。（不用求解） (1)爸爸今年岁，小刚今年12岁，小刚比爸爸小26岁。( ) (2)果园里种了棵桃树，杏树的棵数是桃树的3倍，杏树比桃树多90棵。( ) 【答案】(1)x－12＝26/x－26＝12 (2)3x－x＝90 【分析】（1）设爸爸今年x岁，小刚比爸爸小26岁，根据数量关系：爸爸今年的年龄－小刚的年龄＝26，据此列出方程。 （2）设果园里种了x棵桃树，则杏树的棵数是3x，根据数量关系：杏树的棵数－桃树的棵数＝杏树比桃树多的棵数，据此列出方程。 【详解】（1）解：设爸爸今年x岁。 x－12＝26 x－12＋12＝26＋12 x＝38 根据数量间的相等关系列出的方程是：x－12＝26或x－26＝12。 （2）解：设果园里种了x棵桃树，则杏树的棵树是3x。 3x－x＝90 2x＝90 2x÷2＝90÷2 x＝45 根据数量间的相等关系列出的方程是：3x－x＝90。（答案不唯一） 【变式训练1】看图列方程并解答。 【答案】 【分析】由图可知，假设公鸡有x只，母鸡的数量是公鸡的4倍再加16只，其中的3份加16只的和等于124只，据此列方程解答即可。 【详解】 【变式训练2】看图列方程计算。 【答案】7x＝8.4×10 x＝12 【分析】根据平行四边形面积公式：面积＝底×高，根据平行四边形面积不变，用两组底和高分别表示面积相等，列方程即可求解。 【详解】7x＝8.4×10 解：7x＝84 7x÷7＝84÷7 x＝12 题型五、列方程解含一个未知数的问题 【例题5】邳州市是一座优秀旅游城市，沙沟湖湿地公园的面积约270公顷，比桃花岛公园的3倍还多60公顷。桃花岛公园的面积大约多少公顷？（列方程解答） 【答案】70公顷 【分析】已知沙沟湖湿地公园的面积“比桃花岛公园的3倍还多60公顷”，即：桃花岛公园面积×3＋60公顷＝沙沟湖湿地公园面积。设桃花岛公园的面积大约x公顷，沙沟湖湿地公园面积约270公顷，代入可得方程为：3x＋60＝270，然后解方程即可。 【详解】解：设桃花岛公园的面积大约x公顷。 3x＋60＝270 3x＋60－60＝270－60 3x＝210 3x÷3＝210÷3 x＝70 答：桃花岛公园的面积大约70公顷。 【变式训练1】A、B两地相距300米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相背而行，7分钟后两人相距860米（如图）。已知甲每分钟走37米，则乙每分钟走多少米？ 【答案】43米 【分析】A、B两地相距300米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相背而行，7分钟后两人相距860米（如图），所以甲7分钟走的路程＋乙7分钟走的路程＋300米＝860米，可以设乙每分钟走x米，根据等量关系列出方程，即可求出结果。 【详解】解：设乙每分钟走x米， 37×7＋7x＋300＝860 259＋7x＋300＝860 559＋7x＝860 559＋7x－559＝860－559 7x＝301 7x÷7＝301÷7 x＝43 答：乙每分钟走43米。 【变式训练2】学校要进行跳绳比赛，王老师为班级购买了10根短绳和5根长绳，共花了360元。每根短绳多少元？（列方程解答） 【答案】每根短绳18元。 【分析】单价×数量＝总价，用乘法计算出10根短绳的价格，再加上5根长绳的价格，等于共花了360元；那么将每根短绳的价格设为x元，再列方程求解即可。 【详解】解：设每根短绳x元。 10x＋5×36＝360 10x＋180＝360 10x＝360－180 10x＝180 x＝180÷10 x＝18 答：每根短绳18元。 题型六、列方程解含两个未知数的问题 【例题6】学校图书馆一共买来故事书和科普书150本，其中故事书的本数是科普书的4倍。图书馆买来故事书和科普书各多少本？（列方程解答） 【答案】科普书30本；故事书120本 【分析】根据题意得：故事书本数＋科普书本数＝150，故事书本数＝科普书×4，可设科普书本数为未知数x，则故事书本数为4x，据此可列出方程，运用等式性质计算得出答案。 【详解】解：设图书馆买来科普书x本，则故事书4x本。 4x＋x＝150 5x＝150 x＝150÷5 x＝30 则故事书本数为：4×30＝120（本） 答：图书馆买来故事书120本科普书30本。 【变式训练1】王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【答案】400毫升 【分析】设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升，5大瓶装果汁5×（200＋x）毫升，9小瓶装果汁9x毫升，根据5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升列方程解答即可。 【详解】解：设每个小瓶中装有x毫升果汁，则大瓶装有（x＋200）毫升。 14x＋1000＝6600 14x＋1000－1000＝6600－1000 14x÷14＝5600÷14 答：每个小瓶中装有400毫升果汁。 【变式训练2】学校计划配备垃圾分类提示牌和垃圾箱。已经购买了5个提示牌和9个垃圾箱，共需要1280元，一个提示牌比一个垃圾箱便宜80元。每个垃圾箱多少元？每个提示牌呢？ 【答案】垃圾箱120元；提示牌40元 【分析】设每个垃圾箱的价格为x元，因为一个提示牌比一个垃圾箱便宜80元，所以每个提示牌的价格为（x－80）元。根据“5个提示牌和9个垃圾箱共1280元”，列方程为：5（x－80）＋9x＝1280，然后解方程即可。 【详解】解：设每个垃圾箱的价格为x元。 5（x－80）＋9x＝1280 5x－400＋9x＝1280 14x－400＝1280 14x＝1280＋400 14x＝1680 x＝1680÷14 x＝120 120－80＝40（元） 答：每个垃圾箱120元，每个提示牌40元。 提升练习 1．在①35＋x；②x－1.8＝6；③3y＝0.15；④1.2÷0.1＝12；⑤2a－5b＝4；⑥x－2.3＜10中，共有（    ）个是方程。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。 【详解】①35＋x不是等式，所以不是方程； ②x－1.8＝6是等式，有未知数，所以是方程； ③3y＝0.15是等式，有未知数，所以是方程； ④1.2÷0.1＝12没有未知数，所以不是方程； ⑤2a－5b＝4是等式，有未知数，所以是方程； ⑥x－2.3＜10不是等式，所以不是方程。 共有3个是方程。 2．下面的问题可以用方程2x＋25＝85解决的是（    ）。 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①数量关系为：2个排球的价格＋足球的价格＝85元，据此列出方程； ②数量关系为：第一段长度＋第二段长度＝85，据此列出方程； ③数量关系为：裤子价格的2倍＋25元＝上衣价格，据此列出方程； ④数量关系为：2条腰的长度＋底边长度＝周长，据此列出方程。 【详解】①已知足球价格是25元，排球价格是x元，有2个排球，总共花费85元，根据数量关系可列出方程：2x＋25＝85，符合； ②已知第一段长度是x，第二段长度是2x＋25，两段长度和是85，根据数量关系可列出方程：x＋2x＋25＝85，不符合； ③设一条裤子x元，已知上衣价格是85元，上衣比裤子价格的2倍还多25元，根据数量关系可列出方程：2x＋25＝85，符合； ④设其中一条腰长x厘米，等腰三角形两腰相等，已知底边长25厘米，周长85厘米，根据数量关系可列出方程：2x＋25＝85，符合。 综上，可以用方程2x＋25＝85解决的是①③④。 3．如果3x＋4＝19，那么4x＋3＝（    ）。 A．5 B．19 C．20 D．23 【答案】D 【分析】先根据等式的性质1，方程两边同时减去4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3求出方程3x＋4＝19的解；再把x的值代入4x＋3计算即可解答。 【详解】3x＋4＝19 解：3x＋4－4＝19－4 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 把x＝5代入4x＋3 4×5＋3 ＝20＋3 ＝23 如果3x＋4＝19，那么4x＋3＝23。 4．如图，每个大盒比每个小盒多装10个球，每个大盒装（    ）个球。 A．40 B．50 C．150 D．200 【答案】B 【分析】根据题意，把每个大盒看成一个小盒与10个小球的整体。根据大盒装球的数量＋小盒装球的数量＝总数量列方程解决。 【详解】解：设每个小盒装x个球，则每个大盒装（x＋10）个球。 （x＋10）×3＋5x＝350 3x＋3×10＋5x=350 8x＋30＝350 8x＋30－30＝350－30 8x＝320 8x÷8＝320÷8 x＝40 x＋10＝40＋10＝50 所以，每个大盒装50个球。 故答案为：B 5．娜娜买了1本笔记本和3支铅笔，帅帅买了9支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。1本笔记本的价格相当于（    ）支铅笔的价钱。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】设1本笔记本的价格为a元，1支铅笔的价格为b元，根据题意：1本笔记本和3支铅笔的总价＝9支铅笔的价钱，据此列出等式a＋3b＝9b，计算即可。 【详解】解：设1本笔记本的价格为a元，1支铅笔的价格为b元。 a＋3b＝9b a＋3b－3b＝9b－3b a＝6b 1本笔记本的价钱相当于6支铅笔的价钱。 6．下列四个实际问题中，不能用方程“”解决的是（    ）。 A．故宫博物院的面积是72万平方米，故宫博物院的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？ B．师傅每小时加工72个零件，师傅每小时加工的零件个数比徒弟加工的2倍少16个，徒弟每小时加工零件多少个？ C．张叔叔和王叔叔是长跑爱好者，张叔叔上周共跑了72千米，张叔叔上周跑的比王叔叔的2倍少16千米，王叔叔上周跑了多少千米？ D．第一小队每天铺路72米，第二小队每天铺的比第一小队的2倍少16米。第二小队每天铺路多少米？ 【答案】D 【分析】方程“2x－16＝72”表示一个量的2倍减去16等于72，据此逐项分析，是否运用方程解答问题。 【详解】A．故宫博物院的面积是72万平方米，故宫博物院的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？ 设天安门广场的面积是x万平方米，天安门广场的面积×2－16＝故宫博物院的面积，列方程：2x－16＝72，能运用方程“2x－16＝72”解答。 B．师傅每小时加工72个零件，师傅每小时加工的零件个数比徒弟加工的2倍少16个，徒弟每小时加工零件多少个？ 设徒弟每小时加工零件x个；徒弟加工零件个数×2－16＝师傅加工零件个数，列方程：2x－16＝72，能运用方程“2x－16＝72”解答。 C．张叔叔和王叔叔是长跑爱好者，张叔叔上周共跑了72千米，张叔叔上周跑的比王叔叔的2倍少16千米，王叔叔上周跑了多少千米？ 设王叔叔上周跑了x千米，王叔叔上周跑的路程×2－16＝张叔叔上周跑的路程，列方程：2x－16＝72，能运用方程“2x－16＝72”解答。 D．第一小队每天铺路72米，第二小队每天铺的比第一小队的2倍少16米。第二小队每天铺路多少米？ 设第二小队每天铺x米，第二小队每天铺的长度＋16米，再除以2，等于第一小队铺的路程，列方程：（x＋16）÷2＝72，不能运用方程“2x－16＝72”解答。 不能用方程“2x－16＝72” 解决的是第一小队每天铺路72米，第二小队每天铺的比第一小队的2倍少16米。第二小队每天铺路多少米？ 故答案为：D 7．①99X＋23；②5－100a＝5；③0.12m＝24；④X－2.5＜11；⑤12×2＝24；⑥12s＝24；在这6个式子中，( )是等式；( )是方程。（填序号） 【答案】 ②③⑤⑥ ②③⑥ 【分析】表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程，需要同时满足两个条件，必须是等式；必须含有未知数。 【详解】①99X＋23；不是等式，也不是方程。 ②5－100a＝5；是等式，也是方程。 ③0.12m＝24；是等式，也是方程。 ④X－2.5＜11；不是等式，也不是方程。 ⑤12×2＝24；是等式，但不是方程。 ⑥12s＝24；是等式，也是方程。 在这6个式子中，②③⑤⑥是等式；②③⑥是方程。 8．若x＝3是方程9x－3a＝9的解，则a为( )。 【答案】6 【分析】已知x＝3是方程9x－3a＝9的解，先将x＝3代入方程中，可得：9×3－3a＝9，再根据等式的性质1和2求出a的值。 【详解】将x＝3代入9x－3a＝9得： 9×3－3a＝9 解：27－3a＝9 27－3a＋3a＝9＋3a 9＋3a＝27 9＋3a－9＝27－9 3a＝18 3a÷3＝18÷3 a＝6 若x＝3是方程9x－3a＝9的解，则a为6。 9．如果X÷3＝1.8，那么X＋1.6＝( )；10－X＝( )。 【答案】 7 4.6 【分析】先根据等式的性质2，方程两边同时乘3，求出X的值；再把X的值分别代入X＋1.6和10－X，计算即可。 【详解】X÷3＝1.8 解：X÷3×3＝1.8×3 X＝5.4 当X＝5.4时 X＋1.6＝5.4＋1.6＝7 10－X＝10－5.4＝4.6 10．今年艺术节展演，美术社团举行优秀作品展评活动，127件作品共计布置了5块大展板和4块小展板，已知每块大展板比小展板多贴2件作品，则每块大展板可以贴( )件作品，每块小展板可以贴( )件作品。 【答案】 15 13 【分析】设每块小展板可以贴x件作品，则每块大展板可以贴（x＋2）件作品，4块小展板可以贴4x件作品，5块大展板可以贴5×（x＋2）件作品，根据等量关系：“5块大展板可以贴的作品件数＋4块小展板可以贴的作品件数＝127件”列方程解答求出小展板可以贴的作品件数，用小展板可以贴的作品件数再加上2就是大展板可以贴的作品件数。 【详解】解：设每块小展板可以贴x件作品，则每块大展板可以贴（x＋2）件作品。 4x＋5×（x＋2）＝127 4x＋5x＋10＝127 9x＋10＝127 9x＋10－10＝127－10 9x＝117 9x÷9＝117÷9 x＝13 13＋2＝15（件） 每块大展板可以贴15件作品，每块小展板可以贴13件作品。 11．如图，一支钢笔的价格是一支铅笔的6倍，那么一支铅笔( )元，一支钢笔( )元。 【答案】 1.4 8.4 【分析】分析题目，设一支铅笔是x元，则一支钢笔是6x元，根据等量关系：铅笔的数量×铅笔的单价＋钢笔的数量×钢笔的单价＝12.6列出方程3x＋6x＝12.6，进一步解方程即可得到一支铅笔多少元，再用一支铅笔的价钱乘6即可得到一支钢笔的价钱。 【详解】解：设一支铅笔是x元，则一支钢笔是6x元。 3x＋6x＝12.6 9x＝12.6 9x÷9＝12.6÷9 x＝1.4 1.4×6＝8.4（元） 一支钢笔的价格是一支铅笔的6倍，那么一支铅笔1.4元，一支钢笔8.4元。 12．小明和小刚购买同一本《趣味数学》，小明单独购买还差9.5元，小刚单独购买还差15.3元，两人共同购买一本多5.2元。《趣味数学》的单价为( )元。 【答案】30 【分析】设《趣味数学》的单价为x元，则小明有（x－9.5）元钱，小刚有（x－15.3）元钱，根据小明的钱数＋小刚的钱数＝《趣味数学》的单价＋5.2元，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设《趣味数学》的单价为x元。 （x－9.5）＋（x－15.3）＝x＋5.2 x－9.5＋x－15.3＝x＋5.2 2x－24.8＝x＋5.2 2x－24.8－x ＝x＋5.2－x x－24.8＝5.2 x－24.8＋24.8＝5.2＋24.8 x＝30 《趣味数学》的单价为30元。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 13．如图，长方形被分成了一个三角形和一个梯形。已知三角形的面积比梯形少360平方厘米。三角形的面积是( )平方厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 【答案】 120 480 【分析】利用长方形面积公式即长乘宽计算长方形面积，长方形面积等于三角形面积加梯形面积； 则可设三角形的面积为平方厘米，三角形面积比梯形面积小360平方厘米，则梯形面积为平方厘米，据此列方程即可求解。 【详解】解：设三角形的面积为平方厘米，则梯形面积为平方厘米。 （平方厘米） （平方厘米） 即三角形的面积为平方厘米，则梯形面积为平方厘米。 14．解方程。 2.5＋x＝19.5     6x－14＝76     0.8x＋1.6x＝12 1.5×4＋4x＝9.6     3x－6×2＝1.8     x－0.24＋0.76＝5 【答案】x＝17；x＝15；x＝5； x＝0.9；x＝4.6；x＝4.48 【分析】先算出等式一边的结果，再根据等式性质1和2解方程。 【详解】2.5＋x＝19.5         解：x＝19.5－2.5     x＝17     6x－14＝76 解：6x＝76＋14     6x＝90   x＝90÷6     x＝15     0.8x＋1.6x＝12 解：2.4x＝12 x＝12÷2.4 x＝5 1.5×4＋4x＝9.6         解：6＋4x＝9.6     4x＝9.6－6         x＝3.6÷4     x＝0.9     3x－6×2＝1.8 解：3x－12＝1.8     3x＝1.8＋12 x＝13.8÷3 x＝4.6 x－0.24＋0.76＝5 解：x＝5－0.76＋0.24 x＝4.48 15．看图列方程并解答。 长方形的周长是130厘米。 【答案】（x＋25）×2＝130 x＝40 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，列方程求解即可。 【详解】（x＋25）×2＝130 解：2x＋50＝130 2x＋50－50＝130－50 2x＝80 2x÷2＝80÷2 x＝40 16．看图列方程计算。 【答案】5x＋24＝30 x＝1.2 【分析】由图可知，乒乓球拍的24元加上5个乒乓球的总价等于总花费30元，再根据“总价＝单价×数量”，据此列出方程5x＋24＝30，解方程求出x的值即可解答。 【详解】5x＋24＝30 解：5x＋24－24＝30－24 5x＝6 5x÷5＝6÷5 x＝1.2 17．苹果和梨共600千克，其中苹果的重量是梨的3倍多40千克，苹果和梨各多少千克？（列方程解答） 【答案】苹果460千克，梨140千克 【分析】设梨的重量为x千克，可表示出苹果的重量为（3x＋40）千克。可根据“苹果重量＋梨的重量＝总重量”这个等量关系列出方程并求解。 【详解】解：设梨为x千克，则苹果为（3x＋40）千克。 （3x＋40）＋x＝600 4x＋40－40＝600－40 4x÷4＝560÷4 x＝140 3x＋40＝3×140＋40＝420＋40＝460（千克） 答：苹果460千克，梨140千克。 18．小云现在身高1.59米，比出生时身高的3倍少0.15米。小云出生时的身高是多少米？（列方程解答） 【答案】0.58米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几。设小云出生时的身高是x米，根据小云出生时的身高×3－0.15米＝现在身高，列出方程解答即可。 【详解】解：设小云出生时的身高是x米。 3x－0.15＝1.59 3x－0.15＋0.15＝1.59＋0.15 3x＝1.74 3x÷3＝1.74÷3 x＝0.58 答：小云出生时的身高是0.58米。 19．小华原来有一些邮票，今年又收集了23枚，送给小军30枚后，还剩52枚。小华原来有邮票多少枚？（列方程解答） 【答案】59枚 【分析】设小华原来有邮票x枚，根据题意：原来的邮票数量＋23－30＝52，据此列方程解答。 【详解】解：设小华原来有邮票x枚。 x＋23－30＝52 x＋23－30－23＋30＝52－23＋30 x＝59 答：小华原来有邮票59枚。 20．学校与青少年活动中心在同一条路上，相距2400米。王东以每分钟120米的速度从青少年活动中心回学校，同时，李老师从学校骑自行车去青少年活动中心，经过6分钟相遇。李老师骑自行车的速度是多少？（列方程解答） 【答案】280米/分钟 【分析】这是相遇问题，两人相向而行，相遇时路程和等于总路程，设李老师速度为x米/分钟，根据速度和乘相遇时间等于总路程列方程。 【详解】解：设李老师骑自行车的速度是x米/分钟。 （120＋x）×6＝2400 120＋x＝2400÷6 120＋x＝400 x＝400-120 x＝280 答：李老师骑自行车的速度是280米/分钟。 21．甲、乙两人沿着300米的环形跑道跑步，他们同时从A点出发，同向而行。甲的速度是210米/分，乙的速度是180米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？（列方程解决问题） 【答案】10分钟 【分析】甲第一次追上乙时，甲比乙多跑1圈，根据甲跑的路程－乙跑的路程＝300，列方程解答即可。 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙。 210x－180x＝300 30x＝300 30x÷30＝300÷30 x＝10 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 22．800米跑步比赛开始了，丽丽和小芳同时从起跑线出发，丽丽的速度是4米/秒，小芳的速度是4.5米/秒。出发多少时间后，她们相距35米？（列方程解答） 【答案】70秒 【分析】设出发x秒后，她们相距35米，根据小芳的速度×出发时间－丽丽的速度×出发时间＝路程差，列出方程解答即可。 【详解】解：设出发x秒后，她们相距35米。 4.5x－4x＝35 0.5x＝35 0.5x÷0.5＝35÷0.5 x＝70 答：出发70秒后，她们相距35米。 23．“互联网＋助农”成为赋能乡村振兴的重要方式，是解决优质农产品销路难题的有效方式之一。在某场助农直播中，共卖出草莓40箱、葡萄30箱，共1600千克。每箱草莓比每箱葡萄重5千克。草莓和葡萄各卖出了多少千克？ 【答案】1000千克； 600千克 【分析】先设每箱葡萄的重量为x千克，根据“每箱草莓比每箱葡萄重5千克”，则每箱草莓的重量为（x＋5）千克，再根据“40箱草莓的重量＋30箱葡萄的重量＝总重量”，列出方程求解出每箱草莓和葡萄的重量，再用每箱草莓的重量乘40，每箱葡萄的重量乘30，据此解答。 【详解】解：设每箱葡萄的重量为x千克，则每箱草莓的重量为（x＋5）千克。 40（x＋5）＋30x＝1600 40×x＋40×5＋30x＝1600 40x＋200＋30x＝1600 70x＋200＝1600 70x＋200－200＝1600－200 70x＝1400 70x÷70＝1400÷70 x ＝20 20＋5＝25（千克） 25×40＝1000（千克） 20×30＝600（千克） 答：草莓卖出了1000千克，葡萄卖出了600千克。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义01：简易方程 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、等式和方程的认识 1.等式的定义：表示相等关系的式子叫做等式。其特征是式子中必须含有等号“=”，等号左右两边的表达式在数值上相等。例如：3+2=5、10-4=6等，都是等式。 2.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。构成方程需满足两个条件：一是必须是等式，二是等式中必须含有未知数（通常用字母x、y、z等表示）。例如：x+5=12、3y=18、2z-7=9等，都是方程。 3.等式与方程的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。等式包含方程，方程是特殊的等式（即含有未知数的等式）。 考点二、等式的性质1和2 （一）等式的性质1 等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 (1)数学表达式：如果a=b，那么a+c=b+c，a-c=b-c（c为任意数）。 (2)核心要点：“同时”指对等式两边进行相同的操作；“同一个数”确保操作的一致性，若两边加（减）不同的数，等式不再成立。 （二）等式的性质2 等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 (1)数学表达式：如果a=b，那么a×c=b×c，a÷c=b÷c（c≠0）。 (2)核心要点：“不为0”是关键，因为0不能作为除数（0做除数无意义），若c=0，等式两边同时除以0的操作不成立；乘0时虽等式仍成立（0=0），但无法用于解方程（会丢失未知数信息），故实际应用中解方程时一般不乘0。 考点三、应用等式的性质1和2解方程 1.解方程的定义：求方程中未知数的值的过程叫做解方程，解得的未知数的值叫做方程的解。 2.利用等式的性质1解方程（形如x±a=b） (1)步骤：方程两边同时加上或减去a，消去左边的常数项，得到x的值。 (2)示例逻辑（非例题）：对于方程x+3=8，根据性质1，两边同时减3，得x+3-3=8-3，即x=5。 3.利用等式的性质2解方程（形如ax=b或x÷a=b，a≠0） (1)解ax=b（a≠0）：方程两边同时除以a，得x=b÷a。 (2)解x÷a=b（a≠0）：方程两边同时乘a，得x=b×a。 4.书写规范：解方程时，等号需上下对齐；每一步变形需注明依据（如“根据等式的性质1”）；求出解后，可将解代入原方程检验（左边=右边则解正确）。 考点四、列简易方程 列简易方程是根据文字描述或数量关系，用含有未知数的等式表示等量关系的过程，步骤如下： 1.找等量关系：分析题目中的数量关系，找出表示相等关系的语句（如“一共”“比……多/少”“是……的几倍”“等于”等），或依据常见数量公式（如路程=速度×时间、总价=单价×数量等）确定等量关系。 2.设未知数：根据等量关系，选择合适的未知数（通常用x表示），明确未知数代表的具体量（如“设苹果的质量为x千克”）。 3.列方程：用含未知数的式子表示等量关系中的各部分，再用等号连接，形成方程。例如，“一个数的3倍加上5等于20”，等量关系为“一个数的3倍+5=20”，设这个数为x，列方程为3x+5=20。 考点五、列方程解含一个未知数的问题 列方程解决含一个未知数的实际问题，需遵循以下步骤： 1.审题：明确题目中的已知条件和所求问题，找出关键信息（如数量、关系词等）。 2.设未知数：设所求的未知量为x（通常直接设问题中的量为x），并注明单位。 3.找等量关系：根据题目中的数量关系，确定表示相等关系的式子（可借助线段图、关键词等辅助分析）。 4.列方程：根据等量关系，用含x的式子表示相关量，列出方程。 5.解方程：利用等式的性质求出x的值，注意书写规范和检验。 6.检验并作答：将x的值代入原方程检验（左边是否等于右边），同时检查是否符合实际题意，最后写出答语。 考点六、列方程解含两个未知数的问题 当问题中涉及两个相关联的未知数时，列方程的关键是用含一个未知数的式子表示另一个未知数，步骤如下： 1.分析数量关系：明确两个未知数之间的关系（如和差关系、倍数关系等），确定哪个未知数为标准量（通常设较小的数或被比较的量为x）。 2.设未知数：设标准量为x，根据两个未知数的关系，用含x的式子表示另一个未知数（如“甲比乙多5”，设乙为x，则甲为x+5；“甲是乙的3倍”，设乙为x，则甲为3x）。 3.找等量关系：根据题目中的总和、差、倍数等条件，确定等量关系（如“甲和乙的和是20”，则x+（x+5）=20）。 4.列方程并求解：根据等量关系列出方程，解方程求出x的值，再根据含x的式子求出另一个未知数。 5.检验作答：检验两个未知数的值是否满足所有条件，确认无误后作答。 例题讲解 题型一、等式和方程的认识 【例题1】在①2＋x＝8②a＋24③2m＝15④5×18＝90⑤y÷6＝1.7⑥4x＞100中，等式有：( )；方程有( )。（填序号） 【变式训练1】下面的式子中，（    ）是方程。 A． B． C． D． 【变式训练2】在括号里填上合适的数，使每个方程的解都是x＝4。 ( )×x＝20    x－( )＝2.7    ( )÷x＝0.24 题型二、等式的性质1和2 【例题2】数学老师用天平演示解方程的过程，（    ）运用了“等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式”这一性质。 A．3 B．2 C．1 D．2 【变式训练1】根据等式的性质，在括号里填上合适的数。 已知a＋3b＝4.8，则a＋3b－1.2＝( )，2a＋6b＝( )。 【变式训练2】学数学要知其然，更要知其所以然。以下三个数学基本事实应用特别广泛： A．等式的性质 B．等量的等量相等 C．总量等于分量加分量 琪琪在解决上图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内。 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（    ） 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（    ） 题型三、应用等式的性质1和2解方程 【例题3】解下列方程。                     【变式训练1】如果4＋18的值是42，那么15－18的值是( )。如果26－4a＝18，那么4a＋4＝( )。 【变式训练2】解方程。 1.6x－2.4＝7.2         24×（2.9＋x）＝96         x－0.6x＝16.4 题型四、列简易方程 【例题4】根据数量间的相等关系列出方程。（不用求解） (1)爸爸今年岁，小刚今年12岁，小刚比爸爸小26岁。( ) (2)果园里种了棵桃树，杏树的棵数是桃树的3倍，杏树比桃树多90棵。( ) 【变式训练1】看图列方程并解答。 【变式训练2】看图列方程计算。 题型五、列方程解含一个未知数的问题 【例题5】邳州市是一座优秀旅游城市，沙沟湖湿地公园的面积约270公顷，比桃花岛公园的3倍还多60公顷。桃花岛公园的面积大约多少公顷？（列方程解答） 【变式训练1】A、B两地相距300米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相背而行，7分钟后两人相距860米（如图）。已知甲每分钟走37米，则乙每分钟走多少米？ 【变式训练2】学校要进行跳绳比赛，王老师为班级购买了10根短绳和5根长绳，共花了360元。每根短绳多少元？（列方程解答） 题型六、列方程解含两个未知数的问题 【例题6】学校图书馆一共买来故事书和科普书150本，其中故事书的本数是科普书的4倍。图书馆买来故事书和科普书各多少本？（列方程解答） 【变式训练1】王强家买来5大瓶果汁和9小瓶果汁，一共有6600毫升。每个大瓶中的果汁比每个小瓶中的果汁多200毫升，每个小瓶中装有多少毫升果汁？ 【变式训练2】学校计划配备垃圾分类提示牌和垃圾箱。已经购买了5个提示牌和9个垃圾箱，共需要1280元，一个提示牌比一个垃圾箱便宜80元。每个垃圾箱多少元？每个提示牌呢？ 提升练习 1．在①35＋x；②x－1.8＝6；③3y＝0.15；④1.2÷0.1＝12；⑤2a－5b＝4；⑥x－2.3＜10中，共有（    ）个是方程。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．下面的问题可以用方程2x＋25＝85解决的是（    ）。 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 3．如果3x＋4＝19，那么4x＋3＝（    ）。 A．5 B．19 C．20 D．23 4．如图，每个大盒比每个小盒多装10个球，每个大盒装（    ）个球。 A．40 B．50 C．150 D．200 5．娜娜买了1本笔记本和3支铅笔，帅帅买了9支同样的铅笔，两人用去的钱同样多。1本笔记本的价格相当于（    ）支铅笔的价钱。 A．3 B．6 C．9 D．12 6．下列四个实际问题中，不能用方程“”解决的是（    ）。 A．故宫博物院的面积是72万平方米，故宫博物院的面积比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？ B．师傅每小时加工72个零件，师傅每小时加工的零件个数比徒弟加工的2倍少16个，徒弟每小时加工零件多少个？ C．张叔叔和王叔叔是长跑爱好者，张叔叔上周共跑了72千米，张叔叔上周跑的比王叔叔的2倍少16千米，王叔叔上周跑了多少千米？ D．第一小队每天铺路72米，第二小队每天铺的比第一小队的2倍少16米。第二小队每天铺路多少米？ 7．①99X＋23；②5－100a＝5；③0.12m＝24；④X－2.5＜11；⑤12×2＝24；⑥12s＝24；在这6个式子中，( )是等式；( )是方程。（填序号） 8．若x＝3是方程9x－3a＝9的解，则a为( )。 9．如果X÷3＝1.8，那么X＋1.6＝( )；10－X＝( )。 10．今年艺术节展演，美术社团举行优秀作品展评活动，127件作品共计布置了5块大展板和4块小展板，已知每块大展板比小展板多贴2件作品，则每块大展板可以贴( )件作品，每块小展板可以贴( )件作品。 11．如图，一支钢笔的价格是一支铅笔的6倍，那么一支铅笔( )元，一支钢笔( )元。 12．小明和小刚购买同一本《趣味数学》，小明单独购买还差9.5元，小刚单独购买还差15.3元，两人共同购买一本多5.2元。《趣味数学》的单价为( )元。 13．如图，长方形被分成了一个三角形和一个梯形。已知三角形的面积比梯形少360平方厘米。三角形的面积是( )平方厘米，梯形的面积是( )平方厘米。 14．解方程。 2.5＋x＝19.5     6x－14＝76     0.8x＋1.6x＝12 1.5×4＋4x＝9.6     3x－6×2＝1.8     x－0.24＋0.76＝5 15．看图列方程并解答。 长方形的周长是130厘米。 16．看图列方程计算。 17．苹果和梨共600千克，其中苹果的重量是梨的3倍多40千克，苹果和梨各多少千克？（列方程解答） 18．小云现在身高1.59米，比出生时身高的3倍少0.15米。小云出生时的身高是多少米？（列方程解答） 19．小华原来有一些邮票，今年又收集了23枚，送给小军30枚后，还剩52枚。小华原来有邮票多少枚？（列方程解答） 20．学校与青少年活动中心在同一条路上，相距2400米。王东以每分钟120米的速度从青少年活动中心回学校，同时，李老师从学校骑自行车去青少年活动中心，经过6分钟相遇。李老师骑自行车的速度是多少？（列方程解答） 21．甲、乙两人沿着300米的环形跑道跑步，他们同时从A点出发，同向而行。甲的速度是210米/分，乙的速度是180米/分。经过多少分钟甲第一次追上乙？（列方程解决问题） 22．800米跑步比赛开始了，丽丽和小芳同时从起跑线出发，丽丽的速度是4米/秒，小芳的速度是4.5米/秒。出发多少时间后，她们相距35米？（列方程解答） 23．“互联网＋助农”成为赋能乡村振兴的重要方式，是解决优质农产品销路难题的有效方式之一。在某场助农直播中，共卖出草莓40箱、葡萄30箱，共1600千克。每箱草莓比每箱葡萄重5千克。草莓和葡萄各卖出了多少千克？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $