第一单元 简易方程（期中复习讲义）培优版（导图+16个考点真题讲练+提优练 共68题）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 简易方程【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+16个考点讲练+真题提优练 共68题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 等式的性质1 奥数拓展一 列方程解决稍复杂的实际问题 考点讲练二 应用等式的性质1解方程 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 考点讲练三 等式的性质2 奥数拓展三 列方程解年龄问题 考点讲练四 应用等式的性质2解方程 奥数拓展四 列方程解相遇问题 考点讲练五 应用等式的性质1和2解方程 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 考点讲练六 解含括号的方程 奥数拓展六 列方程解应用创新题 考点讲练七 方程的检验 考点讲练八 列简易方程 考点讲练九 列方程解含一个未知数的问题 考点讲练十 列方程解含两个未知数的问题 知识点一 方程的意义 1. 方程和等式：方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 2.方程必须具备两个条件：（1）必须是等式； （2）必须含有未知数。 知识点二 等式的性质 等式的性质： 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 2.等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 知识点三 方程的解与解方程 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 2. 求方程的解的过程叫做解方程。 知识点四 解方程的基本方法 1. 利用等式的基本性质解方程 （1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 （2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 2. 利用四则运算转化关系解方程 （1）加法：加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 （2）乘法：因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 （3）减法：被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 （4）除法：被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 3. 方程的检验 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点五：列方程解应用题 1. 列方程解应用题 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2. 列方程解应用题的一般步骤 （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 考点讲练一 等式的性质1 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山东潍坊·期中）图形口，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（    ）不成立。 A．☆÷2＝□×0.5 B．☆÷7.2＝□÷7.2 C．☆－2.3＝□－2.3 D．☆＋3＝□＋0.3 【答案】D 【思路引导】根据等式两边同时加、减、乘或除以一个相同的数（0除外），等式的左右两边仍相等，据此解答即可。 【规范解答】A．☆÷2＝□×0.5，等式左边除以2，即乘0.5，等式右边乘0.5，所以等式左右两边同时乘0.5，等式成立； B．☆÷7.2＝□÷7.2，等式的左右两边同时除以7.2，所以等式成立； C．☆－2.3＝□－2.3，等式的左右两边同时减去2.3，所以等式成立； D．☆＋3＝□＋0.3，等式左边加的是3，等式右边加的是0.3，所以等式不成立。 故答案为：D 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东临沂·期中）买15张桌子和25把椅子共用去3050元，买同样的15张桌子和20把椅子，需要2800元，那么买一张桌子和一把椅子各需要多少钱？ 【答案】一张桌子120元；一把椅子50元 【思路引导】根据题意可知，多买了（25－20）把椅子多花了（3050－2800）元，根据除法的意义，用多花的钱数除以多买的把数即是1把椅子的单价，进而求出20把椅子的总价，再根据15张桌子和20把椅子，需要2800元，用2800减去20把椅子的总价求出15张桌子的总价，再除以15即可求出1张桌子的单价。 【规范解答】（3050－2800）÷（25－20） ＝250÷5 ＝50（元） （2800－20×50）÷15 ＝（2800－1000）÷15 ＝1800÷15 ＝120（元） 答：买一张桌子需要120元，买一把椅子需要50元。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·福建厦门·期中）天平上左盘装有两个大小相同的小球、一个大球和一个正方体。下图表示将球从天平左盘取走的过程和天平右盘砝码的变化情况，a、b、c表示三个砝码的质量。根据图中的信息，下面表示大球质量的式子中，正确的是（    ）。 A．a－b B．2b－a－c C．a－b－c D．a＋b－2c 【答案】B 【思路引导】A．a表示2个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；b表示1个小球、1个大球、1个正方体的质量之和；所以a－b表示一个小球的质量； B．2b表示2个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去a（2个小球、1个大球、1个正方体），再减去c（1个正方体），可知2b－a－c表示一个大球的质量； C．由选项A可知a－b表示一个小球的质量，再减去c（1个正方体），则a－b－c表示1个小球与1个正方体的质量之差； D．a＋b表示3个小球、2个大球、2个正方体的质量之和，减去2c（2个正方体）后剩下3个小球、2个大球的质量之和。 【规范解答】A．a－b表示1个小球的质量，不符合题意； B．2b－a－c表示1个大球的质量，符合题意； C．a－b－c表示1个小球与1个正方体的质量之差，不符合题意； D．a＋b－2c表示3个小球与2个大球的质量之和，不符合题意。 所以，表示大球质量的式子中，正确的是2b－a－c。 故答案为：B 考点讲练二 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山西临汾·期中）在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是。 ( )    ( ) 【答案】 2.7 0.1 【思路引导】将代入方程，将括号里的数看成未知数，假设括号里的数是y，解方程求出y的值即可。 【规范解答】5－y＝2.3 解：5－y＋y ＝2.3＋y 2.3＋y＝5 2.3＋y－2.3＝5－2.3 y＝2.7 5÷y＝50 解：5÷y×y＝50×y 50×y＝5 50×y÷50＝5÷50 y＝0.1 2.7    0.1 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西防城港·期中）解方程。 5x＋3x＝96            9.2－4x＝0.8        x÷16＝2.5 2.4x－1.7×5＝3.5        18x÷3＝150        x＋57＝63 【答案】x＝12；x＝2.1；x＝40； x＝5；x＝25；x＝6 【思路引导】先计算出5x＋3x＝8x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以8求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时加上4x，然后交换两边位置，再同时减去0.8，最后同时除以4求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时乘16求解出x； 先计算出1.7×5＝8.5，然后根据等式的性质，方程两边同时加上8.5，再同时除以2.4求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时乘3，再同时除以18求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时减去57求解出x。 【规范解答】5x＋3x＝96 解：8x＝96 8x÷8＝96÷8 x＝12 9.2－4x＝0.8 解：9.2－4x＋4x＝0.8＋4x 9.2＝0.8＋4x 0.8＋4x＝9.2 0.8＋4x－0.8＝9.2－0.8 4x＝8.4 4x÷4＝8.4÷4 x＝2.1 x÷16＝2.5 解：x÷16×16＝2.5×16 x＝40 2.4x－1.7×5＝3.5 解：2.4x－8.5＝3.5 2.4x－8.5＋8.5＝3.5＋8.5 2.4x＝12 2.4x÷2.4＝12÷2.4 x＝5 18x÷3＝150 解：18x÷3×3＝150×3 18x＝450 18x÷18＝450÷18 x＝25 x＋57＝63 解：x＋57－57＝63－57 x＝6 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·湖南邵阳·期中）已知，，则（    ）。 A．40 B．20 C．4 【答案】C 【思路引导】已知y＝10，x＋y＝50，将y＝10代入x＋y＝50中，可得x＋10＝50； 根据等式的性质，等式两边同时减去10计算出x的值；最后把x和y的值代入x÷y中计算出结果。 【规范解答】将y＝10代入x＋y＝50中，得x＋10＝50 x＋10＝50 解：x＋10－10＝50－10 x＝40 当x＝40，y＝10时， x÷y ＝40÷10 ＝4 已知y＝10，x＋y＝50，则x÷y＝4。 故答案为：C 考点讲练三 等式的性质2 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·山东滨州·期中）观察下面两组等式，先填空，再回答下面问题。 27＋8＝35                              40×3＝120 27＋8－5＝35____( )       40×3×4＝120____( ) 27＋8＋10＝35____( )       40×3÷2＝120____( ) 通过以上两组等式，我想到的数学结论：_______________________。 【答案】 － 5 × 4 ＋ 10 ÷ 2 等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 【思路引导】根据等式的性质1，在算式27＋8＝35的两边同时加上10或减去5，等式仍然成立；根据等式的性质2，在算式40×3＝120的两边同时乘4或除以2，等式仍然成立。再结合等式的性质的定义解答即可。 【规范解答】27＋8＝35                         40×3＝120 27＋8－5＝35－5                      40×3×4＝120×4 27＋8＋10＝35＋10                    40×3÷2＝120÷2 通过以上两组等式，我想到的数学结论：在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立；等式的两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 【答案】D 【思路引导】根据等式的性质1，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 根据等式的性质2，等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式，据此解答。 【规范解答】A．根据等式的性质2，5x＝8y两边同时乘5，可得到25x＝40y；等式成立，不符合题意； B．根据等式的性质1，5x＝8y两边同时加上7y，可得到5x＋7y＝15y；等式成立，不符合题意； C．根据等式的性质1，5x＝8y边同时减去3x，可得到2x＝8y－3x；等式成立，不符合题意； D．根据等式的性质1，5x＋3x＝8y＋3x无法得到8x＝5y，等式不成立，符合题意。 已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是8x＝5y。 故答案为：D 【考点剖析】熟练掌握等式的性质1和性质2是解答本题的关键。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江苏连云港·期中）已知2m＝3n（m、n为非零自然数），根据等式的性质判断，下面等式成立的是（    ）。 A．4m＝9n B．2m＋2＝3n－2 C．m＝3n÷2 D．2m×3＝n 【答案】C 【思路引导】等式的性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；（2）等式两边同时乘或除以同一个不为0点数，所得结果还是等式。 【规范解答】A．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时×2，可得4m＝6n；两边同时×3，可得6m＝9n，得不出4m＝9n； B．2m＝3n，根据等式的性质1，两边同时＋2，可得2m＋2＝3n＋2；两边同时－2，可得2m－2＝3n－2，得不出2m＋2＝3n－2； C．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时÷2，可得m＝3n÷2； D．2m＝3n，根据等式的性质2，两边同时×3，可得2m×3＝9n；两边同时÷3，可得2m÷3＝n，得不出2m×3＝n。 等式成立的是m＝3n÷2。 故答案为：C 考点讲练四 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·山东潍坊·期中）已知，那么（    ）。 A．16 B．14 C．12 D．18 【答案】B 【思路引导】把2a＋6b化为2×（a＋3b），再利用等式的性质2，方程两边同时除以2，即可求得。 【规范解答】2a＋6b＝28 解：2×（a＋3b）＝28 （a＋3b）×2÷2＝28÷2 a＋3b＝14 故答案为：B 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·陕西西安·期中）解方程。 x÷1.5＝0.68       3x－2.7＝5.4        16.8y－2×6y＝9.6 【答案】；； 【思路引导】等式左右两边同时乘1.5即可求解； 等式两边先同时加2.7，再同时除以3即可求解； 等式左边先计算得出4.8y，等式两边再同时除以4.8即可求解。 【规范解答】÷1.5＝0.68 解：÷1.5×1.5＝0.68×1.5 ＝1.02 3－2.7＝5.4 解：3－2.7＋2.7＝5.4＋2.7 3＝8.1 3÷3＝8.1÷3 ＝2.7 16.8y－2×6y＝9.6 解：16.8y－12y＝9.6 4.8y＝9.6 4.8y÷4.8＝9.6÷4.8 y＝2 【变式2】（难度：☆☆☆）（2025五年级下·全国·专题练习）解方程。 12x－8x＝0.48   1.2x－0.4＝5.6       0.25x÷2＝10        3.6＋0.8x＝12.6 【答案】x＝0.12；x＝5 ；x＝80；x＝11.25 【思路引导】先合并方程左边的未知数得到4x，方程两边再同时除以4； 方程两边同时加上0.4后方程两边再同时除以1.2； 方程两边同时乘2后方程两边再同时除以0.25； 方程两边同时减去3.6后方程两边再同时除以0.8，据此解答。 【规范解答】12x－8x＝0.48 解：（12－8）x＝0.48 4x＝0.48 4x÷4＝0.48÷4 x＝0.12 1.2x－0.4＝5.6 解：1.2x－0.4＋0. 4＝5.6＋0. 4 1.2x＝6 1.2x÷1.2＝6÷1.2 x＝5 0.25x÷2＝10 解：0.25x÷2×2＝10×2 0.25x＝20 0.25x÷0.25＝20÷0.25 x＝80 3.6＋0.8x＝12.6 解：3.6＋0.8x－3.6＝12.6－3.6 0.8x＝9 0.8x÷0.8＝9÷0.8 x＝11.25 考点讲练五 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山东滨州·期中）水果超市运来苹果350千克，比运来橘子的2倍多60千克，运来橘子多少千克？请写出等量关系式( )。设运来橘子x千克，列方程为( )，方程的解是( )。 【答案】 苹果的重量＝橘子的重量×2＋60 2x＋60＝350 x＝145 【思路引导】苹果的重量比运来橘子的2倍多60千克，也就是苹果的重量＝橘子的重量×2＋60，设运来橘子x千克，据此列方程为2x＋60＝350，然后利用等式的性质1左右两边同时减去60，再利用等式的性质2，等式两边同时除以2即可解题。 【规范解答】根据分析： 解：设运来橘子x千克。 2x＋60＝350 2x＋60－60＝350－60 2x＝290 2x÷2＝290÷2 x＝145 水果超市运来苹果350千克，比运来橘子的2倍多60千克，运来橘子多少千克？请写出等量关系式苹果的重量＝橘子的重量×2＋60。设运来橘子x千克，列方程为（2x＋60＝350），方程的解是x＝145。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏宿迁·期中）解方程。 6.4－2＝0.4       2－4.2＋5.6＝10      15÷5＝45 【答案】x＝3；x＝4.3；x＝15 【思路引导】根据等式的性质，方程两边同时加上2x，两边交换位置，再同时减去0.4，最后两边同时除以2求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时减去5.6，再同时加上4.2，最后两边同时除以2求解出x； 根据等式的性质，方程两边同时乘5，再同时除以15求解出x。 【规范解答】6.4－2x＝0.4 解：6.4－2x＋2x＝0.4＋2x 6.4＝0.4＋2x 0.4＋2x＝6.4 0.4＋2x－0.4＝6.4－0.4 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 2x－4.2＋5.6＝10 解：2x－4.2＋5.6－5.6＝10－5.6 2x－4.2＝4.4 2x－4.2＋4.2＝4.4＋4.2 2x＝8.6 2x÷2＝8.6÷2 x＝4.3 15x÷5＝45 解：15x÷5×5＝45×5 15x＝225 15x÷15＝225÷15 x＝15 【变式2】（难度：☆☆☆☆）龟兔赛跑，同时同地出发，全程是20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑。 （1）若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？ （2）如果兔子在途中要睡1.5小时（乌龟和兔子的速度保持不变），且兔子不输给乌龟，则路程至少为多少米？ 【答案】（1）225分钟；（2）8000米 【思路引导】（1）计算出乌龟爬完全程需要的时间和兔子不休息跑完全程的时间，求出两个时间之差即可； （2）假设兔子跑的时间为未知数，等量关系式：乌龟的速度×乌龟和兔子共同跑的时间＋乌龟1.5小时行的路程＝兔子的速度×兔子跑的时间，列方程解答。 【规范解答】（1）20000÷80－20000÷800 ＝250－25 ＝225（分钟） 答：它在途中最多只能睡225分钟。 （2）解：设如果兔子在途中要睡1.5小时，兔子要跑x分钟的路程。 80x＋80×1.5×60＝800x 80x＋120×60＝800x 80x＋7200＝800x 7200＝800x－80x 720x＝7200 x＝7200÷720 x＝10 兔子跑的路程：800×10＝8000（米） 答：比赛路程至少为8000米。 【考点剖析】乌龟爬行的路程分为两部分，一部分是乌龟和兔子共同行驶的路程，一部分是兔子睡觉时间乌龟行驶的路程。 考点讲练六 解含括号的方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·河北沧州·期中）解方程。 9－6x＝4.5 6.3÷3x＝7    （100－3x）÷2＝8 【答案】x＝0.75；x＝0.3；x＝28 【思路引导】9－6x＝4.5根据减数＝被减数－差，变为6x＝9－4.5，根据等式性质2，方程两边同时除以6，解方程。 6.3÷3x＝7根据除数＝被除数÷商，先变为3x＝6.3÷7，方程两边再同时除以3进行解答。 （100－3x）÷2＝8方程两边先同时乘2，变为100－3x＝8×2，即3x＝100－8×2，再把方程两边同时除以3进行解答。 【规范解答】9－6x＝4.5 解：6x＝9－4.5 6x＝4.5 6x÷6＝4.5÷6 x＝0.75 6.3÷3x＝7 解：3x＝6.3÷7 3x＝0.9 3x÷3＝0.9÷3 x＝0.3 （100－3x）÷2＝8 解：100－3x＝8×2 100－3x＝16 3x＝100－16 3x＝84 3x÷3＝84÷3 x＝28 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南洛阳·期中）当( )时，；当( )时，。 【答案】 7 12 【思路引导】对于，先计算左边，原式变为，根据“减数＝被减数－差”，即：，计算后根据等式的性质2计算即可解出a的值。 对于，结果是0，因为0乘任何数都得0，所以等式中的的结果为0，即24＝2a，然后根据等式的性质2计算即可解出a的值。 【规范解答】 解： 解： 当7时，；当12时，。 【变式2】（难度：☆☆☆）（2025六年级下·西藏·专题练习）小亮家今年猕猴桃大丰收，周末小亮和父母去摘猕猴桃，摘了8大筐和5小筐猕猴桃共计445千克，已知一大筐比一小筐多15千克，大筐和小筐各装猕猴桃多少千克？ 【答案】40千克；25千克 【思路引导】设一个小筐装猕猴桃x千克，则一个大筐装猕猴桃（x＋15）千克，根据一个小筐装的质量×小筐数量＋一个大筐装的质量×大筐数量＝总质量，列出方程求出x的值是一个小筐装的质量，一个小筐装的质量＋15千克＝一个大筐装的质量。 【规范解答】解：设一个小筐装猕猴桃x千克。 5x＋8×（x＋15）＝445 5x＋8x＋120＝445 13x＋120－120＝445－120 13x＝325 13x÷13＝325÷13 x＝25 25＋15＝40（千克） 答：大筐装猕猴桃40千克，小筐装猕猴桃25千克。 考点讲练七 方程的检验 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏苏州·期中）解方程，带★的要检验。 ★        【答案】x＝720，检验见详解；x＝6.4；x＝10 【思路引导】对于方程x÷120＝6，根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。在方程x÷120＝6两边同时乘120，即可解得x的值，然后把x的值代入原方程计算检验即可。 对于方程2.5x－0.5×8＝12，先计算方程中的乘法部分：0.5×8＝4，原方程变为2.5x－4＝12。根据等式的性质，等式两边同时加4：2.5x－4＋4＝12＋4，得到2.5x＝16。再在等式两边同时除以2.5，即可解得x的值。 对于方程2.4x＋3.8x＝62，先计算方程左边，2.4x＋3.8x＝（2.4＋3.8）x＝6.2x，原方程变为6.2x＝62。根据等式的性质，等式两边同时除以6.2，即可解得x的值。 【规范解答】x÷120＝6 解：x÷120×120＝6×120 x＝720 检验： 方程左边＝720÷120 ＝6 ＝右边 经检验，x＝720是原方程的解。 2.5x－0.5×8＝12 解：2.5x－4＋4＝12＋4 2.5x＝12＋4 2.5x＝16 2.5x÷2.5＝16÷2.5 x＝6.4 2.4x＋3.8x＝62 解：6.2x＝62 6.2x÷6.2＝62÷6.2 x＝10 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·湖南永州·期中）解下列方程。 8.8＋x＝12.4              6x＋3x＝32.4 75－3x＝15               3（x－6）＝27（需检验） 【答案】x＝3.6；x＝3.6 x＝20；x＝15 【思路引导】（1）根据等式的性质，方程两边同时减去8.8即可解答； （2）把方程左边化简为9x，再把方程两边同时除以9即可解答； （3）减数＝被减数－差，据此可得3x＝75－15，方程两边同时除以3即可解出方程； （4）方程两边同时除以3，再同时加上6即可。将求出的未知数值代入原方程，分别计算等号左右两边的结果，如果两边相等，则为原方程的解；如不相等，则不是原方程的解。 【规范解答】8.8＋x＝12.4 解：8.8＋x－8.8＝12.4－8.8 x＝3.6              6x＋3x＝32.4 解：9x＝32.4 9x÷9＝32.4÷9 x＝3.6 75－3x＝15 解：3x＝75－15 3x＝60 3x÷3＝60÷3 x＝20               3（x－6）＝27 解：3（x－6）÷3＝27÷3 x－6＝9 x－6＋6＝9＋6 x＝15 检验：将x＝15代入原方程，左边3×（15－6）＝27，右边＝27，左边＝右边，所以x＝15是原方程的解。 【变式2】（难度：☆☆☆）已知，那么。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】先根据等式的性质，求出方程的解，再把x的值代入到方程的左边，若方程的左边等于方程的右边，则此时x的值是该方程的解；反之，就不是该方程的解。 【规范解答】 解： 把代入 左边＝12＋x ＝22 不等于方程的右边 原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查解方程，熟练运用等式的性质是解题的关键。 考点讲练八 列简易方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·福建漳州·期中）用120米布做衣服，已经做了15套，每套衣服用布b米。 （1）用式子表示剩下的布的米数为：___________。 （2）根据这个式子，当时，剩下的布有多少米？ （3）这里的b能表示哪些整数？ 【答案】 （1）； （2）82.5米； （3）1，2，3，4，5，6，7，8 【思路引导】（1）要求用式子表示剩余布的米数。已知总布量为120米，已做15套衣服，每套用布b米，则已用布量为15b米。剩余布量等于总布量减已用布量，因此式子为120－15b。 （2）当b＝2.5时，需计算剩余布量。将b＝2.5代入式子120－15b，先计算15×2.5，再求差。 （3）求这里的b能表示哪些整数，b表示每套衣服用布的米数，因做衣服需要布料，故b＞0，所以至少为1，且剩余布量最多为0，即：120−15b＝0，解答出b的最大值，即可确定b的范围。 【规范解答】（1）由分析得，用式子表示为120−15b。 用式子表示剩下的布的米数为：120−15b。 （2）当b＝2.5时， 120−15b ＝120−15×2.5 ＝120－37.5 ＝82.5（米） 答：剩下的布有82.5米。 （3）120−15b＝0 120−15b＋15b＝0＋15b 120＝15b 15b＝120 15b÷15＝120÷15 b＝8 答：这里的b能表示的整数是1，2，3，4，5，6，7，8。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东聊城·期中）看图列出方程。 【答案】3x－28＝122 【思路引导】由图可知，香蕉的重量是苹果的3倍少28千克，已知香蕉重122千克，苹果重x千克。根据“苹果重量的3倍－28千克＝香蕉的重量”，可列出方程：3x－28＝122。 【规范解答】3x－28＝122 解：3x－28＋28＝122＋28 3x＝150 3x÷3＝150÷3 x＝50 苹果是50kg，列方程为3x－28＝122。 【变式2】（难度：☆☆☆）看图写等量关系式，列出方程，不解答。 等量关系式：___________ 方程：___________ 【答案】 梨树的棵数×3＋24棵＝苹果树的棵数 3x＋24＝120 【思路引导】由图可知，苹果数的棵数比梨树的3倍还多24棵，据此列出等量关系式：梨树的棵数×3＋24＝苹果树的棵数。其中，把梨树的棵数设为未知数x，苹果树的棵数为120棵，根据关系式列方程即可。 【规范解答】由分析得，梨树的棵数×3＋24＝苹果树的棵数 x×3＋24＝120，可以化简为：3x＋24＝120 所以等量关系式为：梨树的棵数×3＋24＝苹果树的棵数 方程为：3x＋24＝120 考点讲练九 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东滨州·期中）振兴服装厂5月份做儿童服装1500套，做的儿童服装比成人服装的3倍多75套，这个服装厂5月份做成人服装多少套？（列方程解答） 【答案】475套 【思路引导】儿童服装数量比成人服装的3倍多75套，据此可得：成人服装的数量×3＋75＝儿童服装的数量。设成人服装为x套，可列出方程，解出方程即可。 【规范解答】解：设这个服装厂5月份做成人服装套。 答：这个服装厂5月份做成人服装475套。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·江苏盐城·期中）李梅和小伟一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。李梅差23元，小伟差37.2元，两人现金凑在一起合买这本书还差10.25元，这本书多少元？ 【答案】49.95元 【思路引导】设这本书x元，则李梅有（x－23）元，小伟有（x－37.2）元，根据李梅的钱数＋小伟的钱数＝这本书的钱数－10.25元，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设这本书x元。 x－23＋x－37.2＝x－10.25 2x－60.2＝x－10.25 2x－60.2－x＋60.2＝x－10.25－x＋60.2 x＝49.95 答：这本书49.95元。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式2】（难度：☆☆☆）幼儿园给小朋友们分苹果，如果每个小朋友分2个，还余1个，如果每个小朋友分3个，还差2个。至少有多少个苹果？ 【答案】个 【思路引导】设有x个小朋友，两次分配方案不同，但是苹果总数不变，根据人数×2＋1＝人数×3－2，列出方程求出人数，人数×2＋1＝苹果数量。 【规范解答】解：设有个小朋友， （个） 答：至少有7个苹果。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 考点讲练十 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·山西大同·期中）北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射。天舟六号此行的主要任务是把货包和推进剂等物资送上天。天舟六号装载了5.8吨货包，装载的推进剂是天舟五号装载的推进剂的1.25倍，比天舟五号装载的推进剂多0.35吨。天舟五号、六号分别装载多少吨推进剂？（列方程解题） 【答案】1.4吨；1.75吨 【思路引导】设天舟五号装载x吨推进剂，则天舟六号装载（1.25x）吨推进剂，根据天舟六号装载的吨数－天舟五号装载的吨数＝0.35吨，列出方程求出x的值是天舟五号装载的吨数，天舟五号装载的吨数×1.25＝天舟六号装载的吨数。 【规范解答】解：设天舟五号装载x吨推进剂，则天舟六号装载（1.25x）吨推进剂。 1.25x－x＝0.35 0.25x＝0.35 0.25x÷0.25＝0.35÷0.25 x＝1.4 1.4×1.25＝1.75（吨） 答：天舟五号、六号分别装载1.4吨、1.75吨推进剂。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·河北沧州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余17本；如果每人分5本，则还缺28本，这批图书共有多少本？ 【答案】197本 【思路引导】设这个班有x名学生。根据两种分书方式表示图书总数：每人分4本，剩余17本，那么图书总数可表示为（4x＋17）本。每人分5本，还缺28本，那么图书总数可表示为（5x－28）本。列方程求解：因为图书总数是固定不变的，所以可列方程4x＋17＝5x－28。解答出x的值，即为学生人数后，再根据第一种分配方式算出图书的总本数，即用每人分4本乘学生人数加17本即可。 【规范解答】解：设这个班有x名学生。 4x＋17＝5x－28 4x＋17＋28＝5x－28＋28 4x＋（17＋28）＝5x 4x＋45＝5x 4x＋45－4x＝5x－4x 45＝x x＝45 45×4＋17 ＝180＋17 ＝197（本） 答：这批图书共有197本。 【考点剖析】用方程解本题，关键有二：一是抓住图书总数不变这一核心等量关系；二是合理设学生人数为未知数，基于此列出方程求解。 【变式2】（难度：☆☆☆）有4桶酒精，共重55千克。如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶酒精重量相等。原来每桶各有多少千克？ 【答案】原来这四桶的质量分别是：15千克、10千克、24千克、6千克。 【思路引导】根据题意，变化后4桶酒精重量相等，设都是x千克，利用逆推法，计算变化前的总质量为55千克，列方程求解即可。 【规范解答】解：设变化后4桶质量都是x千克。 （x＋3）＋（x－2）＋2x＋0.5x＝55 x＋3＋x－2＋2.5x＝55 （x＋x）＋（3－2）＋2.5x＝55 2x＋1＋2.5x＝55 4.5x＋1＝55 4.5x＝54 x＝12 所以原来第一桶有：12＋3＝15（千克） 第二桶有：12－2＝10（千克） 第三桶有：2×12＝24（千克） 第四桶有12×0.5＝6（千克） 答：原来这四桶的质量分别是：15千克、10千克、24千克、6千克。 【考点剖析】这个题目主要考察的是对等量关系式的理解和应用，以及将实际问题转化为数学方程的方法。在解答这类问题时，我们需要明确题意，找出等量关系，然后根据等量关系列出方程。 奥数拓展一 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某商场以每条8.4元的价格购进毛巾若干条，以每条10元的价格出售，当毛巾还剩20条时，去除进货成本外还获利600元，该商场购进毛巾多少条？ 【答案】500条 【思路引导】单价×数量＝总价，设该商场购进毛巾x条，卖出的条数×售价＝卖出的钱数，进价×购进的条数＝进货成本，根据卖出的钱数－进货成本＝600元，据此列出方程解答即可。 【规范解答】解：设该商场购进毛巾x条。 （x－20）×10－8.4x ＝600 10x－200－8.4x＝600 1.6x－200＝600 1.6x－200＋200＝600＋200 1.6x＝800 1.6x÷1.6＝800÷1.6 x＝500 答：该商场购进毛巾500条。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 【变式1】（难度：☆☆☆）．（24-25五年级下·江苏宿迁·期中）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过( )分钟甲比乙多跑2圈。 【答案】 20 【思路引导】已知甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，设经过x分钟甲比乙多跑2圈，即2×400＝800米，则甲行驶了290x千米，乙行驶了250x千米，据此可列出方程290x－250x＝800，先计算出290x－250x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以40求解出x，即甲比乙多跑2圈所需要的时间。 【规范解答】解：设经过x分钟甲比乙多跑2圈。 290x－250x＝400×2 290x－250x＝800 40x＝800 40x÷40＝800÷40 x＝20 所以经过20分钟甲比乙多跑2圈。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·江苏宿迁·期中）小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 【答案】小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 【思路引导】设小刚收集的邮票数为枚，小勇是小刚的2倍就是枚，小明是小勇的3倍，，就是枚，由题意可知，小明的邮票枚数＋小勇邮标枚数＋小刚的邮票枚数＝360，据此列方程求解，可得小刚的邮票数，再用小刚的邮票数乘2得小勇的邮票数，最后用小勇的邮票数乘3得小明的邮票数。 【规范解答】解：设小刚收集的邮票数为枚。 （枚） （枚） 答：小明收集了240枚邮票，小勇收集了80枚邮票，小刚收集了40枚邮票。 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）果园里一共种了660棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树棵数的3倍多20棵，桃树和杏树各有多少棵？（用方程解） 【答案】杏树160棵；桃树500棵 【思路引导】先设杏树为x棵，根据“桃树的棵数比杏树棵数的3倍多20棵”这一数量关系，用含x的式子表示出桃树的棵数为3x＋20棵；再根据“果园里一共种了660棵桃树和杏树”这一条件，列出方程，再根据等式的性质1和2解方程求出x的值，再算出桃树棵数。 【规范解答】解：设杏树为x棵，则桃树为3x＋20棵。 x＋（3x＋20）＝660 4x＋20＝660 4x＋20－20＝660－20 4x＝640 x＝640÷4 x＝160 3x＋20＝3×160＋20＝480＋20＝500（棵） 答：杏树有160棵，桃树有500棵。 【变式1】（难度：☆☆☆）三个连续的奇数的和是21，这三个连续的奇数是( )。 【答案】5、7、9 【思路引导】相邻的两个奇数之间的差为2，则设三个连续奇数中的第一个奇数为x，则第二个为x＋2，第三个为x＋4，然后再根据三个连续的奇数的和是21，据此列方程解答即可。 【规范解答】解：可设三个连续奇数中的第一个奇数为x，则第二个为x＋2，第三个为x＋4。 由此可得方程： x＋（x＋2）＋（x＋4）＝21 x＋x＋2＋x＋4＝21 3x＋6＝21 3x＋6－6＝21－6 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 则后两个为：5＋2＝7，5＋4＝9。 则三个连续的奇数的和是21，这三个连续的奇数是5、7、9。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·上海松江·期中）小巧家买了同样多的桔子和苹果，每天吃6个桔子和4个苹果，吃了几天后，苹果还剩12个，桔子正好吃完。已经吃了几天？苹果和桔子原来共有多少个？ 【答案】已经吃了6天，苹果和桔子原来共有72个。 【思路引导】设已经吃了x天，则桔子吃了6x个，苹果吃了4x个，吃的苹果个数加上苹果剩下的个数等于吃的桔子的个数，据此列方程求出吃的天数；用每天吃的桔子个数乘吃的天数就是桔子原来的个数，据此即可求解。 【规范解答】解：设已经吃了x天。 6x＝4x＋12   6x－4x＝4x＋12－4x 2x＝12 2x÷2＝12÷2        x＝6         6×6×2 ＝36×2 ＝72（个）       答：已经吃了6天，苹果和桔子原来共有72个。 奥数拓展三 列方程解年龄问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·海南海口·期中）五年前，爸爸的年龄比小军大27岁。今年爸爸的年龄刚好是小军的4倍，今年小军和爸爸各几岁？ 【答案】小军9岁；爸爸36岁 【思路引导】无论过多少年小军和爸爸的年龄差不变，把小军今年的年龄设为未知数，爸爸今年的年龄＝小军今年的年龄×4，等量关系式：爸爸今年的年龄－小军今年的年龄＝27岁，据此列方程解答。 【规范解答】解：设今年小军x岁，则今年爸爸4x岁。 4x－x＝27 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 4×9＝36（岁） 答：今年小军9岁，今年爸爸36岁。 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·四川成都·期末）妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，笑笑今年几岁？设笑笑今年x岁，根据其中的等量关系，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设笑笑今年x岁，根据等量关系笑笑年龄×3＋4岁＝妈妈的年龄，逐项判断即可。 【规范解答】A．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的4倍多3岁，该选项错误。 B．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的4倍少3岁，该选项错误。 C．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，该选项正确。 D．，表示妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍少4岁，该选项错误。 故答案为：C 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山西大同·期中）小华、小娟、小美三人的年龄都是偶数，且相差两岁，她们三人年龄的总和是48岁，年龄最大的是( )岁，年龄最小的是( )岁。 【答案】 18 14 【思路引导】设中间年龄的人为x岁，则年龄最小的是（x－2）岁，年龄最大的是（x＋2）岁，根据三人年龄的总和是48岁列方程求出中间年龄的人的岁数，再加上2就是年龄最大的岁数，减去2就是年龄最小的岁数。 【规范解答】解：设中间年龄的人为x岁。 x－2＋x＋x＋2＝48 x＋x＋x＋（2－2）＝48 3x＝48 3x÷3＝48÷3 x＝16 16＋2＝18（岁） 16－2＝14（岁） 所以年龄最大的是18岁，年龄最小的是14岁。 奥数拓展四 列方程解相遇问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海松江·期中）小海和小华相约一起去看篮球比赛，两家相距6600米，两人同时从家骑自行车出发，相向而行，途中小海因修车耽误了5分钟，已知小华每分钟行180米，小海每分钟行200米，小海出发多少分钟后与小华相遇？ 【答案】20分钟 【思路引导】设小海出发x分钟后与小华相遇，小海因修车耽误了5分钟，所以实际骑行时间为（x－5）分钟，骑行路程为200（x－5）米；小华全程骑行，时间为x分钟，骑行路程为180x米。两人从出发到相遇，骑行路程之和等于两家的总距离，可列方程：200（x－5）＋180x＝6600。先化简，再求出x的值即可解答。 【规范解答】解：设小海出发x分钟后与小华相遇。 200（x－5）＋180x＝6600    200x－200×5＋180x＝6600 200x＋180x－1000＝6600 380x－1000＝6600        380x＝6600＋1000 380x＝7600         x＝7600÷380 x＝20          答：小海出发20分钟后与小华相遇。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）学校环形跑道长250米，小文和小凯从同一地点同时出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇；小文的速度是3米/秒，小凯的速度是多少米/秒？（用方程解） 【答案】2米/秒 【思路引导】在环形跑道上，两人从同一地点背向而行，第一次相遇时两人所跑路程之和等于跑道一圈的长度。设小凯的速度为x米/秒，根据小文的速度×行走的时间＋小凯的速度×行走的时间＝跑道长度，列出方程并解方程，即可求出小凯的速度。 【规范解答】解：设小凯的速度为 x米/秒。 50×3＋50x＝250 150＋50x＝250 150＋50x－150＝250－150 50x＝100 50x÷50＝100÷50 x＝2 答：小凯的速度是2米/秒。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两车同时从两地出发，甲车比乙车快，甲车行驶了300千米与乙车相遇，相遇时乙车离两地中点还有30千米，已知乙车每小时行驶80千米，甲车每小时行驶( )千米。 【答案】100 【思路引导】假设两地的路程为x，由于甲车比乙车快，甲车行驶了300千米与乙车相遇，相遇时乙车离两地中点还有30千米，所以乙车行驶的路程为千米，根据甲车行驶路程＋乙车行驶路程＝总路程，列方程求出总路程，再减去甲行驶的路程，求出乙行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度，求出甲乙相遇时行驶的时间，再根据速度＝路程÷时间，求出甲的速度即可。 【规范解答】解：设总路程为千米，则乙车行驶路程为千米。 540－300＝240（千米） 240÷80＝3（小时） 300÷3＝100（千米/小时） 所以甲车每小时行驶100千米。 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·浙江湖州·期中）一位自行车运动员以24千米/时的速度从甲地到乙地，2小时后一辆摩托车以56千米/时的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地中点处追上了自行车运动员。问：甲、乙两地相距多远？ 【答案】168千米 【思路引导】设摩托车行驶x小时后摩托车追上了自行车。相遇时，自行车的时间为（x＋2）小时，摩托车的时间为x小时。根据路程＝速度×时间，二人在摩托车骑行x小时后追上自行车，即自行车骑行（x＋2）小时的路程等于摩托车骑行x小时的路程，据此列出方程，解出方程。由两人在中点处相遇，求出摩托车的路程乘2，即可求得甲、乙两地相距多远。 【规范解答】解：设摩托车开出x小时后，摩托车追上自行车。 （千米） 答：甲、乙两地相距168千米。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两人同时从同一地点驾车背向而行，经过半小时甲突然想起有事要跟乙见面说，于是立即掉头去追乙，甲追上乙需要x小时，甲每小时行80千米，乙每小时行60千米。请根据问题选择正确的算式、含有字母的式子或方程。 ①半小时后甲乙两人相距多少千米？( )。 ②甲从掉头开始去追上乙，共行了多少千米？( )。 ③乙从出发到被甲追上一共行了多少千米？( )。 ④甲几小时后追上乙？正确的方程是( )。 A．（80＋60）×0.5＋60x＝80x B．80×0.5＋60×0.5 C．80x D．60×0.5＋60x 【答案】 B C D A 【思路引导】先算距离：前半小时两人背向而行，用“速度和×时间”算出相距多远，对应①。 再列方程：甲掉头追乙时，甲走的路程＝之前两人拉开的距离＋乙在追及时间里继续走的路程，据此列出方程④，再分别表示出甲、乙的总路程，对应②和③。 【规范解答】先把整个过程拆成两个阶段来分析： 背向而行阶段：前半小时，甲乙两人背向而行，各自行驶了0.5小时。 甲行驶的距离：80×0.5千米 乙行驶的距离：60×0.5千米 两人相距的总距离：80×0.5＋60×0.5，这对应选项B，也就是问题①的答案。 追及阶段：甲掉头去追乙，追及时间为x小时。 甲在追及阶段行驶的距离：80x，这对应选项C，也就是问题②的答案。 乙在追及阶段继续行驶的距离：60x。 乙从出发到被追上的总行驶距离：前半小时的距离＋追及阶段的距离＝60×0.5＋60x，这对应选项D，也就是问题③的答案。 追及问题的核心是：甲在追及阶段行驶的总路程，等于两人背向而行产生的距离加上乙在追及阶段继续行驶的距离。因此方程为：80x＝（80×0.5＋60×0.5）＋60x，整理后为 （80＋60）×0.5＋60x＝80x，这对应选项A，也就是问题④的答案。 【变式2】（难度：☆☆☆）小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 【答案】1500米 【思路引导】设小强正常从家到学校时间为x分钟，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，小强实际走了（x＋3）分钟，走了50×（x＋3）米，就是家到学校的路程；如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到学校，小强实际走了（x－2）分钟，走了60×（x－2）米，也就是家到学校的路程，由于学校路程不变，列方程：50×（x＋3）＝60×（x－2），解方程，求出小强正常从家到学校的时间。进而求出家到学校的路程。 【规范解答】解：设小强正常从家到学校的时间为x分钟。 50×（x＋3）＝60×（x－2） 50x＋150＝60x－120 60x－50x＝150＋120 10x＝270 x＝270÷10 x＝27 50×（27＋3） ＝50×30 ＝1500（米） 答：小强家到学校的路程是1500米。 【考点剖析】本题考查方程的实际应用，利用路程不变，小强正常上学的时间不变，列方程，找出相关的量，列方程，解方程。 奥数拓展六 列方程解应用创新题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2022五年级上·全国·竞赛）勤奋小学组织部分老师和学生参加红色研学活动，需要安排宿舍。如果每间住8人，则有20人没房间住，如果每间住10人，则正好空出2间宿舍。那么参加研学活动的一共有( )人，宿舍有( )间。 【答案】 180 20 【思路引导】本题属于盈亏问题，可以设宿舍间数为x间。 根据如果每间住8人，则有20人没房间住得出总人数为：8x＋20； 如果每间住10人，则正好空出2间宿舍得出总人数为：10（x－2）； 由于人数不变可以列出方程，得出房间数，再得出总人数即可。 【规范解答】解：设宿舍有 间。 （人） 则参加研学活动的一共有 180 人，宿舍有 20 间。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（2023五年级上·广东汕尾·竞赛）一辆公共汽车从甲站开往乙站，平均每小时行驶20千米。到乙站后，这辆车又以每小时30千米的速度返回甲站，往返一次共用2.5小时。那么，甲站和乙站间的距离是多少千米？ 【答案】30千米 【思路引导】本题可以用方程来解决，设这辆公共汽车从甲站开往乙站需要x小时，则返回的时间为（2.5－x）小时。根据这辆公共汽车从甲站开往乙站，平均每小时行驶20千米可知甲站和乙站间的距离是20x千米；根据这辆车又以每小时30千米的速度返回甲站可知甲站和乙站间的距离是30（2.5－x）千米；往返的路程不变，因此可以列出方程：20x＝30（2.5－x），据此即可求出这辆公共汽车从甲站开往乙站需要的时间。最后再用从甲站开往乙站需要的时间乘从甲站到乙站的速度即可求出从甲站到乙站的距离。 【规范解答】解：设这辆公共汽车从甲站开往乙站需要x小时，则返回的时间为（2.5－x）小时。 20x＝30（2.5－x） 20x＝75－30x 20x＋30x＝75 50x＝75 x＝1.5 20×1.5＝30（千米） 答：甲站和乙站间的距离是30千米。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（2023五年级·全国·竞赛）商店里有若干个柚子和西瓜，其中西瓜个数是柚子个数的3倍。如果每天卖出30个西瓜和20个柚子，3天后，西瓜个数比柚子个数的4倍少26。则商店里原有________个柚子。 【答案】176 【思路引导】本题可以用方程来解决。设最后还剩余x个柚子，则还剩余（4x－26）个西瓜。一共卖出去的柚子数为：20×3＝60（个），因此原来的柚子数为（x＋60）个；一共卖出去的西瓜数为：30×3＝90（个），因此原来的西瓜数为（4x－26＋90）个；再根据原来西瓜个数是柚子个数的3倍即可列出方程：3（x＋60）＝4x－26＋90，解出这个方程即可知道最后还剩余多少个柚子。最后再用剩余的柚子数加上卖出去的柚子数即可求出商店里原有多少个柚子。 【规范解答】设最后还剩余x个柚子，则还剩余（4x－26）个西瓜。 3（x＋20×3）＝4x－26＋30×3 3（x＋60）＝4x－26＋90 3x＋180＝4x－26＋90 180＋26－90＝4x－3x x＝116 116＋20×3 ＝116＋60 ＝176（个） 因此商店里原有176个柚子。 1．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）根据下面收款单据中的信息判断，（    ）是正确的。 A．y＋56＝7200 B．7200－2y＝56 C．2y－7200＝56 D．7200－y＝56 【答案】B 【思路引导】电脑单价为y元，购买数量是2台，收款金额7200元，找零金额56元。在购物场景中，。已知电脑单价是y元，购买了2台，根据，可得出购买2台电脑的实际花费为2y元。将付款金额7200元，实际花费2y元，找零金额56元代入，就能推导出对应的等式，再与选项进行对比，即可确定正确答案。 【规范解答】买2台电脑的总价：（元） 结合收款和找零的关系列等式： A．，未考虑购买数量2台，错误； B．，与推导等式一致，正确； C．，逻辑上实际花费不可能大于付款金额，错误； D．，同样未考虑购买数量2台，错误。 所以“”是正确的。 故答案为：B 2．（25-26五年级上·山东滨州·期中）一家玩具加工厂要生产300个玩具熊，已经生产了4天，还剩下60个没有生产。小明将问题中的未知数设为x，列出方程：60＋4x＝300，从方程中可以看出他要解决的问题是（    ）。 A．剩下的还要几天才能生产完 B．一共要生产多少个玩具熊 C．这4天平均每天生产多少个玩具熊 D．生产了多少个玩具熊 【答案】C 【思路引导】根据题意，方程：60＋4x＝300，相当于是用4天生产的数量加上剩下的60个，等于总个数300个。那么题中的未知数可以理解成这4天平均每天生产的个数，据此解答。 【规范解答】由分析可得，从方程中可以看出他要解决的问题是这4天平均每天生产多少个玩具熊。 故答案为：C 3．（25-26五年级上·山东枣庄·期中）下列说法不正确的是（    ）。 A．方程一定是等式，但等式不一定是方程。 B．2.17561756的循环节是1756。 C．循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 D．图形在旋转和平移时，形状和大小都不发生变化。 【答案】B 【思路引导】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程。方程和等式的关系：方程一定是等式，但等式不一定是方程。循环小数的定义：循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。循环小数和无限小数的关系：循环小数（如0.3⋯或0.142857142857⋯）属于无限小数，但无限小数中除了循环小数还有无限不循环小数。图形在平移和旋转时发生的变化：平移和旋转都是物体或图形的位置发生变化而形状、大小都不变。区别在于，平移时物体沿直线运动，本身方向不发生改变；旋转是物体绕着某一点或轴运动，本身方向发生了变化。据此来解答此题即可。 【规范解答】A．方程一定是等式，但等式不一定是方程。例如，x＋2＝5是方程，同时也是等式；而等式如3＋2＝5没有未知数，所以不是方程。因此该说法正确。 B．2.17561756的循环节是1756。题目中的数2.17561756只是写到这里就结束了，没有省略号或循环符号（如点标记），所以它是一个有限小数，而不是循环小数。有限小数没有循环节，因此该说法错误。 C．循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。该说法正确。 D． 图形在旋转和平移时，形状和大小都不发生变化。该说法正确。 故答案为：B 4．（25-26五年级上·山东德州·期中）两个加数的和是74.8，其中一个加数的小数点向右移动一位等于另一个加数，两个加数中较小的加数是（    ）。 A．68 B．8.3 C．6.8 D．68 【答案】C 【思路引导】两个加数的和是74.8，其中一个加数的小数点向右移动一位等于另一个加数。可以设其中一个较小的加数为x，则另外一个较大加数为10x，可列方程x＋10x＝74.8，再解方程求出较小的加数即可。 【规范解答】解：设其中一个较小的加数为x，则另外一个较大加数为10x。 x＋10x＝74.8 11x＝74.8 11x÷11＝74.8÷11 x＝6.8 则另一个加数10x＝68 验证结果，较小的加数是6.8，小数点向右移动一位等于68，也就是另一个加数，且68＋6.8＝74.8，所求结果正确。 故答案为：C 【考点剖析】根据小数的意义和性质，小数点向右移动一位是扩大10倍，找出两个加数之间的关系。 5．下列语句描述中，说法正确的有（    ）个。 ①0.3乘一个小数，所得的积一定比0.3小。 ②无限小数一定是循环小数。 ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，一定反面朝上。 ④＝0是一个方程。 ⑤14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； ②一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数；循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数； ③无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件； ④含有未知数的等式叫做方程； ⑤根据“被除数＝商×除数＋余数”，验证商是5.9，除数是2.4，余数为0.14时的被除数是否是14.3，据此判断。 【规范解答】①如：0.3×10.1＝3.03，3.03＞0.3；原题说法错误； ②如：3.14159…是无限小数，但不是循环小数；原题说法错误； ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，可能正面朝上，也可能反面朝上；原题说法错误； ④＝0既含有未知数，又是等式，所以它是一个方程，原题说法正确； ⑤检验： 5.9×2.4＋0.14 ＝14.16＋0.14 ＝14.3 14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14；原题说法正确； 综上所述，说法正确的有④⑤，共2个。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查积与因数之间的大小关系、循环小数的认识、可能性、方程的认识以及小数除法的计算。 6．（25-26五年级上·山东滨州·期中）从50里减去x与3的积，差是14，正确的解是x＝( )。 【答案】12 【思路引导】根据题意可知，需要先算出x与3的积，也就是3x，然后再用50－3x计算出差，差等于14，也就是50－3x＝14，然后等式两边先同时加3x，再同时减14，最后同时除以3即可解题。 【规范解答】50－3x＝14 解：50－3x＋3x＝14＋3x 50＝14＋3x 14＋3x＝50 14＋3x－14＝50－14 3x＝36 3x÷3＝36÷3 x＝12 从50里减去x与3的积，差是14，正确的解是x＝12。 7．（25-26五年级上·福建泉州·期中）某市两家出租车公司收费标准不同（不足1千米，按整千米数计费）： 甲公司：起步价10元（3千米及以内），之后按2.0元/千米计费。 乙公司：无起步价，按2.5元/千米计费。 请你算一算，打车的路程按( )千米计费时，两公司的收费刚好一样。 【答案】8 【思路引导】设打车路程为x千米（x＞3，因为若x≤3，甲公司收费10元，乙公司收费2.5x≤7.5，不可能相等）。 甲公司收费：3千米及以内起步价10元， 超出3千米的路程为（x－3）千米，超出部分按2.0元/千米计费，则超出部分的费用表示为2（x－3）元，总共收费为：10＋2（x－3）元。 乙公司收费：无起步价，按2.5元/千米计费，即2.5x元。 令两公司收费相等，可列方程为：10＋2（x－3）＝2.5x，计算得4＋2x＝2.5x，根据等式的性质，方程两边同时减去2x，交换两边位置，再同时除以0.5求解x即可。 【规范解答】解：设打车路程为x千米（x＞3）。 10＋2（x－3）＝2.5x 10＋2x－2×3＝2.5x 10＋2x－6＝2.5x 4＋2x＝2.5x 4＋2x－2x＝2.5x－2x 0.5x＝4 0.5x÷0.5＝4÷0.5 x＝8 所以打车的路程按8千米计费时，两公司的收费刚好一样。 8．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）选择信息解决问题。 两辆汽车同时从相距522千米的两地相向而行，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，设出发了x小时后（    ）。 根据信息选择合适的方程。（将正确答案的字母填在括号里） ①两车相遇( ) ②两车还相距72千米( ) ③甲车比乙车多行72千米( ) A．        B． C．        D． 【答案】 B A D 【思路引导】结合不同情境分析两车行驶路程与总路程的关系： 相遇时：两车行驶的路程和＝总路程； 还相距72千米时：两车行驶的路程和＋剩余距离＝总路程； 甲车比乙车多行72千米时：甲车行驶路程－乙车行驶路程＝多行的距离。 【规范解答】①两车相遇 相遇时，甲车行驶的路程是50x千米，乙车行驶的路程是40x千米，两车路程和等于总路程，因此方程为：50x＋40x＝522。 故答案为：B ②两车还相距72千米 此时两车还没相遇，已行驶的路程和＋剩余的72千米＝总路程，因此方程为：50x＋40x＋72＝522。 故答案为：A ③甲车比乙车多行72千米 甲车路程是50x，乙车路程是40x，甲车路程－乙车路程＝多行的72千米，因此方程为：50x－40x＝72。 故答案为：D 9．（24-25五年级上·江苏镇江·期中）小明和小刚购买同一本《趣味数学》，小明单独购买还差9.5元，小刚单独购买还差15.3元，两人共同购买一本多5.2元。《趣味数学》的单价为( )元。 【答案】30 【思路引导】设《趣味数学》的单价为x元，则小明有（x－9.5）元钱，小刚有（x－15.3）元钱，根据小明的钱数＋小刚的钱数＝《趣味数学》的单价＋5.2元，列出方程求出x的值即可。 【规范解答】解：设《趣味数学》的单价为x元。 （x－9.5）＋（x－15.3）＝x＋5.2 x－9.5＋x－15.3＝x＋5.2 2x－24.8＝x＋5.2 2x－24.8－x ＝x＋5.2－x x－24.8＝5.2 x－24.8＋24.8＝5.2＋24.8 x＝30 《趣味数学》的单价为30元。 【考点剖析】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 10．（24-25五年级上·河南许昌·期中）某小学五年级学生人数是四年级学生人数的1.3倍，如果四年级学生再转来30人，则两个年级学生人数就一样多，原来四年级有( )人。 【答案】 100 【思路引导】设原来四年级学生人数为x人，则五年级学生人数为1.3x人。根据条件，四年级转来30人后，人数变为x＋30，此时与五年级人数相等，因此列出方程x＋30＝1.3x，解方程即可求出x的值。 【规范解答】解：设原来四年级学生人数为x人，五年级学生人数为1.3x人，则 x＋30＝1.3x x＋30−x＝1.3x−x 30＝0.3x x＝30÷0.3 x＝100 答：原来四年级有100人。 【考点剖析】根据“五年级人数是四年级的1.3倍”和“四年级转来30人后与五年级人数相等”的数量关系，设四年级人数为x建立一元一次方程求解。 11．（24-25五年级下·广西防城港·期中）如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋7。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据等式的基本性质，等式两边加上相同的数，结果仍相等，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋8。 原题干说法错误。 故答案为：× 12．（2025五年级下·全国·专题练习）一班和二班共有学生123人，已知二班比一班多3人，一班有x人。根据数量关系，可以列方程2x＋3＝123。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】已知一班有x人，因为二班比一班多3人，所以二班的人数就是一班的人数x加上3，即二班有（x＋3）人。一班和二班共有学生123人，那么一班人数加上二班人数（x＋3）就等于总人数123人；据此列方程即可解答。 【规范解答】x＋3＋x＝123 解：2x＋3＝123 2x＋3－3＝123－3 2x＝120 2x÷2＝120÷2 x＝60 所以原题说法正确。 故答案为：√ 13．（23-24五年级下·陕西西安·期中）＝1是方程3－2＝2的解。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】先求方程3－2＝2的解，根据等式的性质，方程两边先同时加上2，再同时除以3，即可求出方程的解，与＝1进行对比，据此判断。 【规范解答】3－2＝2 解：3－2＋2＝2＋2 3＝4 3÷3＝4÷3 ＝ 所以，＝1不是方程3－2＝2的解。 原题说法错误。 故答案为：× 14．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 7×2.1＋0.6＝17.1    ÷8＝0.06    ＋19.5＝31.2 【答案】；； 【思路引导】先计算7×2.1＝14.7，等式两边同时减14.7，再两边同时除以0.6，即可解此方程； 等式两边同时乘8，计算出等号右边的得数，再两边同时除以2，即可解此方程； 等式两边同时减19.5，再两边同时除以0.3，即可解此方程。 【规范解答】 15．（24-25五年级下·河南洛阳·期中）2012年9月，我国首艘航空母舰“辽宁舰”（舷号：16）交付海军，从此中国跻身航空母舰大国。经过10年的技术经验积累，2022年6月，我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰“福建舰”（舷号：18）下水，这是中华民族站起来、富起来到强起来的生动见证。据资料显示，“福建舰”可搭载的舰载机数量约为60架，比“辽宁舰”的1.5倍还多6架，“辽宁舰”可搭载的舰载机数量约是多少架？（列方程解答） 【答案】36架 【思路引导】“福建舰可搭载的舰载机数量比‘辽宁舰’的1.5倍还多6架”，由此可得：辽宁舰搭载舰载机数量×1.5＋6＝福建舰搭载舰载机数量。设“辽宁舰”搭载的舰载机数量为x架，已知福建舰可搭载约60架舰载机，将未知数x和已知数60代入等量关系，即可列出方程：1.5x＋6＝60，然后解方程即可。 【规范解答】解：设“辽宁舰”搭载的舰载机数量为x架。 1.5x＋6＝60 1.5x＝60－6 1.5x＝54 x＝54÷1.5 x＝36 答：“辽宁舰”可搭载的舰载机数量约是36架。 16．（24-25五年级下·河南洛阳·期中）实验小学采办部的王老师要去商场购买一批课桌椅，下面是王老师购买课桌椅的收据，其中部分内容被墨水遮住了。请你根据下面这张不完整的收据求出一张桌子的价格。（列方程解答） 【答案】112.5元 【思路引导】椅子买了4把，单价38.5元；桌子买了3张，单价未知；总计金额491.5元。由此可知椅子的总价＋桌子的总价＝总计金额。设一张桌子的价格是x元，桌子数量是3张，单价x元，所以桌子总价为3x元。椅子数量是4把，单价38.5元，根据总价＝数量×单价，可得椅子总价为（38.5×4）元。根据等量关系列出方程：38.5×4＋3x＝491.5，然后解方程即可。 【规范解答】解：设一张桌子的价格是x元。 38.5×4＋3x＝491.5 154＋3x＝491.5 3x＝491.5－154 3x＝337.5 x＝337.5÷3 x＝112.5 答：一张桌子的价格是112.5元。 17．（24-25五年级下·广西钦州·期中）小明和小红进行跳绳比赛，他们俩同时跳了2分钟，一共跳了380下，已知小明平均每分钟跳90下。小红平均每分钟跳多少下？（列方程解答） 【答案】 100下 【思路引导】设小红平均每分钟跳x下，根据两人各跳2分钟的总次数之和等于380下，列出方程求解。 【规范解答】解：设小红平均每分钟跳x下。 2×90＋2x＝380 180＋2x＝380 2x＝380－180 2x＝200 x＝200÷2 x＝100 答：小红平均每分钟跳100下。 18．（24-25五年级下·安徽蚌埠·期中）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功。学校组织五、六年级共972名学生在报告厅观看神舟十九号载人飞船升空的视频。报告厅每排坐了18人，五年级坐了26排。六年级坐了多少排？（列方程解答） 【答案】28排 【思路引导】把六年级坐的排数设为未知数，五年级坐的排数＋六年级坐的排数＝总排数，等量关系式：总排数×每排坐的人数＝五、六年级学生的总人数，据此列方程解答。 【规范解答】解：设六年级坐了x排。 （26＋x）×18＝972 （26＋x）×18÷18＝972÷18 26＋x＝54 26＋x－26＝54－26 x＝28 答：六年级坐了28排。 19．（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 【答案】30件 【思路引导】设共购进这种女童装上衣件，则卖出件，根据单价×数量＝总价，可得总收入为元，总成本为元，根据总收入－总成本＝盈利钱数，列出方程解答即可。 【规范解答】解：设共购进这种女童装上衣件。 答：儿童服装商店共购进这种女童装上衣30件。 【考点剖析】本题主要考查列方程解应用题，关键是找到等量关系，同时要注意利润是售价减成本。 20．（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 【答案】22元 【思路引导】由题意可知，计算丙需要付的钱数时，必须以甲和乙所买食品的数量及所付的钱数为突破口。通过比较，发现：甲买的食品数量×2＝8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干，乙买的食品数量×3＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干，此时他们购买商品数量的差为（9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干），化简可得，1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干＝26×3－33.5×2＝11元，由此求出（1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2需要付的钱数，据此解答。 【规范解答】甲：4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干＝33.5元 （4根棒棒糖＋1瓶果汁＋10包小饼干）×2＝33.5元×2 8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干＝67元 乙：3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干＝26元 （3根棒棒糖＋1瓶果汁＋7包小饼干）×3＝26元×3 9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干＝78元 （9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干）－（8根棒棒糖＋2瓶果汁＋20包小饼干） ＝9根棒棒糖＋3瓶果汁＋21包小饼干－8根棒棒糖－2瓶果汁－20包小饼干 ＝1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干 ＝78－67 ＝11（元） （1根棒棒糖＋1瓶果汁＋1包小饼干）×2＝11元×2 2根棒棒糖＋2瓶果汁＋2包小饼干＝22元 答：丙需付22元。 【考点剖析】仔细分析题意并运用等式的性质2化简求出1根棒棒糖、1瓶果汁和1包小饼干需要付的钱数是解答题目的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第一单元 简易方程【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+16个考点讲练+真题提优练 共68题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 等式的性质1 奥数拓展一 列方程解决稍复杂的实际问题 考点讲练二 应用等式的性质1解方程 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 考点讲练三 等式的性质2 奥数拓展三 列方程解年龄问题 考点讲练四 应用等式的性质2解方程 奥数拓展四 列方程解相遇问题 考点讲练五 应用等式的性质1和2解方程 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 考点讲练六 解含括号的方程 奥数拓展六 列方程解应用创新题 考点讲练七 方程的检验 考点讲练八 列简易方程 考点讲练九 列方程解含一个未知数的问题 考点讲练十 列方程解含两个未知数的问题 知识点一 方程的意义 1. 方程和等式：方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。 2.方程必须具备两个条件：（1）必须是等式； （2）必须含有未知数。 知识点二 等式的性质 等式的性质： 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式； 2.等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。 知识点三 方程的解与解方程 1. 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 2. 求方程的解的过程叫做解方程。 知识点四 解方程的基本方法 1. 利用等式的基本性质解方程 （1）等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。 （2）等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。 2. 利用四则运算转化关系解方程 （1）加法：加数＋加数=和 和-加数=另一个加数 （2）乘法：因数×因数=积 积÷因数=另一个因数 （3）减法：被减数-减数=差 减数=被减数-差 被减数=减数＋差 （4）除法：被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商 3. 方程的检验 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 知识点五：列方程解应用题 1. 列方程解应用题 列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的值，从而解出应用题的办法，解这类题的核心是正确找出等量关系，然后根据等量关系列出合适的方程。 2. 列方程解应用题的一般步骤 （1）审题：找出已知量和未知量。 （2）设未知数：找关键词。 ①直接设未知数，即问什么设什么。 ②间接设未知数，应设小不设多，设少不设多。 （3）找等量关系（列方程解应用题的核心） ①根据语言描述来找等量： 出现“比......多（少）”、“是”、“共”、“等于”、“总”、“和”、“差”、“倍”、“一样多”等。 ②公式法： 图形问题：长方形周长=（长+宽）×2 正方形周长=边长×4 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长×边长 行程问题：路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题：总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 年龄问题：年龄差不变 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间 （4）列方程，根据等量关系列方程。 （5）解方程。 （6）检验，检验答案正确与否。 考点讲练一 等式的性质1 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山东潍坊·期中）图形口，☆表示两个不为0的数，并且☆＝□，依据等式的性质，下面等式中（    ）不成立。 A．☆÷2＝□×0.5 B．☆÷7.2＝□÷7.2 C．☆－2.3＝□－2.3 D．☆＋3＝□＋0.3 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东临沂·期中）买15张桌子和25把椅子共用去3050元，买同样的15张桌子和20把椅子，需要2800元，那么买一张桌子和一把椅子各需要多少钱？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·福建厦门·期中）天平上左盘装有两个大小相同的小球、一个大球和一个正方体。下图表示将球从天平左盘取走的过程和天平右盘砝码的变化情况，a、b、c表示三个砝码的质量。根据图中的信息，下面表示大球质量的式子中，正确的是（    ）。 A．a－b B．2b－a－c C．a－b－c D．a＋b－2c 考点讲练二 应用等式的性质1解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·山西临汾·期中）在（    ）里填上合适的数，使每个方程的解都是。 ( )    ( ) 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·广西防城港·期中）解方程。 5x＋3x＝96            9.2－4x＝0.8        x÷16＝2.5 2.4x－1.7×5＝3.5        18x÷3＝150        x＋57＝63 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·湖南邵阳·期中）已知，，则（    ）。 A．40 B．20 C．4 考点讲练三 等式的性质2 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·山东滨州·期中）观察下面两组等式，先填空，再回答下面问题。 27＋8＝35                              40×3＝120 27＋8－5＝35____( )       40×3×4＝120____( ) 27＋8＋10＝35____( )       40×3÷2＝120____( ) 通过以上两组等式，我想到的数学结论：_______________________。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）已知5x＝8y，根据等式的性质，下面的等式不成立的是（    ）。 A．25x＝40y B．5x＋7y＝15y C．2x＝8y－3x D．8x＝5y 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江苏连云港·期中）已知2m＝3n（m、n为非零自然数），根据等式的性质判断，下面等式成立的是（    ）。 A．4m＝9n B．2m＋2＝3n－2 C．m＝3n÷2 D．2m×3＝n 考点讲练四 应用等式的性质2解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·山东潍坊·期中）已知，那么（    ）。 A．16 B．14 C．12 D．18 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·陕西西安·期中）解方程。 x÷1.5＝0.68       3x－2.7＝5.4        16.8y－2×6y＝9.6 【变式2】（难度：☆☆☆）（2025五年级下·全国·专题练习）解方程。 12x－8x＝0.48   1.2x－0.4＝5.6       0.25x÷2＝10        3.6＋0.8x＝12.6 考点讲练五 应用等式的性质1和2解方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·山东滨州·期中）水果超市运来苹果350千克，比运来橘子的2倍多60千克，运来橘子多少千克？请写出等量关系式( )。设运来橘子x千克，列方程为( )，方程的解是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏宿迁·期中）解方程。 6.4－2＝0.4       2－4.2＋5.6＝10      15÷5＝45 【变式2】（难度：☆☆☆☆）龟兔赛跑，同时同地出发，全程是20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑。 （1）若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？ （2）如果兔子在途中要睡1.5小时（乌龟和兔子的速度保持不变），且兔子不输给乌龟，则路程至少为多少米？ 考点讲练六 解含括号的方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26五年级上·河北沧州·期中）解方程。 9－6x＝4.5 6.3÷3x＝7    （100－3x）÷2＝8 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·河南洛阳·期中）当( )时，；当( )时，。 【变式2】（难度：☆☆☆）（2025六年级下·西藏·专题练习）小亮家今年猕猴桃大丰收，周末小亮和父母去摘猕猴桃，摘了8大筐和5小筐猕猴桃共计445千克，已知一大筐比一小筐多15千克，大筐和小筐各装猕猴桃多少千克？ 考点讲练七 方程的检验 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·江苏苏州·期中）解方程，带★的要检验。 ★        【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24五年级上·湖南永州·期中）解下列方程。 8.8＋x＝12.4              6x＋3x＝32.4 75－3x＝15               3（x－6）＝27（需检验） 【变式2】（难度：☆☆☆）已知，那么。( )（判断对错） 考点讲练八 列简易方程 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·福建漳州·期中）用120米布做衣服，已经做了15套，每套衣服用布b米。 （1）用式子表示剩下的布的米数为：___________。 （2）根据这个式子，当时，剩下的布有多少米？ （3）这里的b能表示哪些整数？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东聊城·期中）看图列出方程。 【变式2】（难度：☆☆☆）看图写等量关系式，列出方程，不解答。 等量关系式：___________ 方程：___________ 考点讲练九 列方程解含一个未知数的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·山东滨州·期中）振兴服装厂5月份做儿童服装1500套，做的儿童服装比成人服装的3倍多75套，这个服装厂5月份做成人服装多少套？（列方程解答） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级上·江苏盐城·期中）李梅和小伟一起逛书店，两人看中了同一本书，但手里的现金都不够买这本书。李梅差23元，小伟差37.2元，两人现金凑在一起合买这本书还差10.25元，这本书多少元？ 【变式2】（难度：☆☆☆）幼儿园给小朋友们分苹果，如果每个小朋友分2个，还余1个，如果每个小朋友分3个，还差2个。至少有多少个苹果？ 考点讲练十 列方程解含两个未知数的问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·山西大同·期中）北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射。天舟六号此行的主要任务是把货包和推进剂等物资送上天。天舟六号装载了5.8吨货包，装载的推进剂是天舟五号装载的推进剂的1.25倍，比天舟五号装载的推进剂多0.35吨。天舟五号、六号分别装载多少吨推进剂？（列方程解题） 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（25-26五年级上·河北沧州·期中）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余17本；如果每人分5本，则还缺28本，这批图书共有多少本？ 【变式2】（难度：☆☆☆）有4桶酒精，共重55千克。如果第一桶减少3千克，第二桶增加2千克，第三桶减少一半，第四桶增加一倍，那么4桶酒精重量相等。原来每桶各有多少千克？ 奥数拓展一 列方程解决稍复杂的实际问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某商场以每条8.4元的价格购进毛巾若干条，以每条10元的价格出售，当毛巾还剩20条时，去除进货成本外还获利600元，该商场购进毛巾多少条？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·江苏宿迁·期中）甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行。甲的速度是每分钟290米，乙的速度是每分钟250米，经过( )分钟甲比乙多跑2圈。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（23-24五年级下·江苏宿迁·期中）小明、小勇和小刚一共收集360枚邮票，小明收集的邮票枚数是小勇的3倍，小勇收集的邮票枚数是小刚的2倍，三人各收集了多少枚邮票？ 奥数拓展二 列方程解和差倍问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）果园里一共种了660棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树棵数的3倍多20棵，桃树和杏树各有多少棵？（用方程解） 【变式1】（难度：☆☆☆）三个连续的奇数的和是21，这三个连续的奇数是( )。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·上海松江·期中）小巧家买了同样多的桔子和苹果，每天吃6个桔子和4个苹果，吃了几天后，苹果还剩12个，桔子正好吃完。已经吃了几天？苹果和桔子原来共有多少个？ 奥数拓展三 列方程解年龄问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·海南海口·期中）五年前，爸爸的年龄比小军大27岁。今年爸爸的年龄刚好是小军的4倍，今年小军和爸爸各几岁？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（23-24五年级下·四川成都·期末）妈妈的年龄比笑笑年龄的3倍多4岁，妈妈今年37岁，笑笑今年几岁？设笑笑今年x岁，根据其中的等量关系，下列方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·山西大同·期中）小华、小娟、小美三人的年龄都是偶数，且相差两岁，她们三人年龄的总和是48岁，年龄最大的是( )岁，年龄最小的是( )岁。 奥数拓展四 列方程解相遇问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海松江·期中）小海和小华相约一起去看篮球比赛，两家相距6600米，两人同时从家骑自行车出发，相向而行，途中小海因修车耽误了5分钟，已知小华每分钟行180米，小海每分钟行200米，小海出发多少分钟后与小华相遇？ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）学校环形跑道长250米，小文和小凯从同一地点同时出发，背向而行，50秒后两人第一次相遇；小文的速度是3米/秒，小凯的速度是多少米/秒？（用方程解） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两车同时从两地出发，甲车比乙车快，甲车行驶了300千米与乙车相遇，相遇时乙车离两地中点还有30千米，已知乙车每小时行驶80千米，甲车每小时行驶( )千米。 奥数拓展五 列方程解稍复杂的行程问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级上·浙江湖州·期中）一位自行车运动员以24千米/时的速度从甲地到乙地，2小时后一辆摩托车以56千米/时的速度也从甲地到乙地，在甲地到乙地中点处追上了自行车运动员。问：甲、乙两地相距多远？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25五年级下·上海浦东新·期中）甲乙两人同时从同一地点驾车背向而行，经过半小时甲突然想起有事要跟乙见面说，于是立即掉头去追乙，甲追上乙需要x小时，甲每小时行80千米，乙每小时行60千米。请根据问题选择正确的算式、含有字母的式子或方程。 ①半小时后甲乙两人相距多少千米？( )。 ②甲从掉头开始去追上乙，共行了多少千米？( )。 ③乙从出发到被甲追上一共行了多少千米？( )。 ④甲几小时后追上乙？正确的方程是( )。 A．（80＋60）×0.5＋60x＝80x B．80×0.5＋60×0.5 C．80x D．60×0.5＋60x 【变式2】（难度：☆☆☆）小强家到学校，如果每分走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走60米，就可以提前2分钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 奥数拓展六 列方程解应用创新题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）（2022五年级上·全国·竞赛）勤奋小学组织部分老师和学生参加红色研学活动，需要安排宿舍。如果每间住8人，则有20人没房间住，如果每间住10人，则正好空出2间宿舍。那么参加研学活动的一共有( )人，宿舍有( )间。 【变式1】（难度：☆☆☆☆☆）（2023五年级上·广东汕尾·竞赛）一辆公共汽车从甲站开往乙站，平均每小时行驶20千米。到乙站后，这辆车又以每小时30千米的速度返回甲站，往返一次共用2.5小时。那么，甲站和乙站间的距离是多少千米？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（2023五年级·全国·竞赛）商店里有若干个柚子和西瓜，其中西瓜个数是柚子个数的3倍。如果每天卖出30个西瓜和20个柚子，3天后，西瓜个数比柚子个数的4倍少26。则商店里原有________个柚子。 1．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）根据下面收款单据中的信息判断，（    ）是正确的。 A．y＋56＝7200 B．7200－2y＝56 C．2y－7200＝56 D．7200－y＝56 2．（25-26五年级上·山东滨州·期中）一家玩具加工厂要生产300个玩具熊，已经生产了4天，还剩下60个没有生产。小明将问题中的未知数设为x，列出方程：60＋4x＝300，从方程中可以看出他要解决的问题是（    ）。 A．剩下的还要几天才能生产完 B．一共要生产多少个玩具熊 C．这4天平均每天生产多少个玩具熊 D．生产了多少个玩具熊 3．（25-26五年级上·山东枣庄·期中）下列说法不正确的是（    ）。 A．方程一定是等式，但等式不一定是方程。 B．2.17561756的循环节是1756。 C．循环小数一定是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。 D．图形在旋转和平移时，形状和大小都不发生变化。 4．（25-26五年级上·山东德州·期中）两个加数的和是74.8，其中一个加数的小数点向右移动一位等于另一个加数，两个加数中较小的加数是（    ）。 A．68 B．8.3 C．6.8 D．68 5．下列语句描述中，说法正确的有（    ）个。 ①0.3乘一个小数，所得的积一定比0.3小。 ②无限小数一定是循环小数。 ③掷一枚硬币，连续10次均是正面朝上，如果再掷一次，一定反面朝上。 ④＝0是一个方程。 ⑤14.3÷2.4的商是5.9，余数为0.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26五年级上·山东滨州·期中）从50里减去x与3的积，差是14，正确的解是x＝( )。 7．（25-26五年级上·福建泉州·期中）某市两家出租车公司收费标准不同（不足1千米，按整千米数计费）： 甲公司：起步价10元（3千米及以内），之后按2.0元/千米计费。 乙公司：无起步价，按2.5元/千米计费。 请你算一算，打车的路程按( )千米计费时，两公司的收费刚好一样。 8．（25-26五年级上·山东潍坊·期中）选择信息解决问题。 两辆汽车同时从相距522千米的两地相向而行，甲车每小时行驶50千米，乙车每小时行驶40千米，设出发了x小时后（    ）。 根据信息选择合适的方程。（将正确答案的字母填在括号里） ①两车相遇( ) ②两车还相距72千米( ) ③甲车比乙车多行72千米( ) A．        B． C．        D． 9．（24-25五年级上·江苏镇江·期中）小明和小刚购买同一本《趣味数学》，小明单独购买还差9.5元，小刚单独购买还差15.3元，两人共同购买一本多5.2元。《趣味数学》的单价为( )元。 10．（24-25五年级上·河南许昌·期中）某小学五年级学生人数是四年级学生人数的1.3倍，如果四年级学生再转来30人，则两个年级学生人数就一样多，原来四年级有( )人。 11．（24-25五年级下·广西防城港·期中）如果7x＝8y，那么7x＋8＝8y＋7。( )（判断对错） 12．（2025五年级下·全国·专题练习）一班和二班共有学生123人，已知二班比一班多3人，一班有x人。根据数量关系，可以列方程2x＋3＝123。( )（判断对错） 13．（23-24五年级下·陕西西安·期中）＝1是方程3－2＝2的解。( )（判断对错） 14．（25-26五年级上·山东德州·期中）解方程。 7×2.1＋0.6＝17.1    ÷8＝0.06    ＋19.5＝31.2 15．（24-25五年级下·河南洛阳·期中）2012年9月，我国首艘航空母舰“辽宁舰”（舷号：16）交付海军，从此中国跻身航空母舰大国。经过10年的技术经验积累，2022年6月，我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰“福建舰”（舷号：18）下水，这是中华民族站起来、富起来到强起来的生动见证。据资料显示，“福建舰”可搭载的舰载机数量约为60架，比“辽宁舰”的1.5倍还多6架，“辽宁舰”可搭载的舰载机数量约是多少架？（列方程解答） 16．（24-25五年级下·河南洛阳·期中）实验小学采办部的王老师要去商场购买一批课桌椅，下面是王老师购买课桌椅的收据，其中部分内容被墨水遮住了。请你根据下面这张不完整的收据求出一张桌子的价格。（列方程解答） 17．（24-25五年级下·广西钦州·期中）小明和小红进行跳绳比赛，他们俩同时跳了2分钟，一共跳了380下，已知小明平均每分钟跳90下。小红平均每分钟跳多少下？（列方程解答） 18．（24-25五年级下·安徽蚌埠·期中）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功。学校组织五、六年级共972名学生在报告厅观看神舟十九号载人飞船升空的视频。报告厅每排坐了18人，五年级坐了26排。六年级坐了多少排？（列方程解答） 19．（25-26五年级上·陕西西安·期中）儿童服装商店按批发价购进一批女童装上衣，批发价每件40.5元，零售价每件50元。当销售到仅剩4件时，发现除去购进时的全部成本外，还盈利85元。儿童服装商店共购进这种女童装上衣多少件？ 20．（24-25五年级上·宁夏银川·期中）甲、乙、丙三个人买食品，甲买了4根棒棒糖、1瓶果汁和10包小饼干，付了33.5元；乙买了同样的3根棒棒糖、1瓶果汁和7包小饼干，付了26元；丙买了同样的2根棒棒糖、2瓶果汁和2包小饼干，需付多少元？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $