期中复习讲义02：长方体（一）（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

期中复习讲义02：长方体（一） （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.定义 (1)长方体：由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 (2)正方体：长、宽、高都相等的长方体，6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度都相等，是特殊的长方体。 2.各部分名称 (1)面：围成立体图形的平面部分，长方体和正方体都有6个面。 (2)棱：面与面相交的线段，长方体和正方体都有12条棱。 (3)顶点：棱与棱相交的点，长方体和正方体都有8个顶点。 3.具体特征 (1)长方体： ①　面：6个面，一般为长方形（可能有2个相对面是正方形），相对的面形状相同、面积相等。 ②　棱：12条棱，按长度可分为3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等。 ③　顶点：8个顶点。 (2)正方体： ①　面：6个面，都是正方形，6个面形状相同、面积相等。 ②　棱：12条棱，所有棱长度都相等。 ③　顶点：8个顶点。 4.联系与区别 (1)联系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 (2)区别：长方体的面和棱存在差异，正方体的面和棱完全相同。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.棱长总和计算公式 (1)长方体棱长总和： ，用字母表示为 （其中 为长， 为宽， 为高）。 (2)正方体棱长总和： ，用字母表示为 （其中 为棱长）。 2.应用场景 (1)已知棱长总和求长、宽、高或棱长：如“一个长方体棱长总和是96cm，长是10cm，宽是8cm，求高”，可通过公式变形 计算。 (2)计算框架用料：如“用铁丝焊接一个正方体框架，棱长5cm，至少需要多长铁丝”，直接用 。 (3)解决实际问题：如“一个长方体木箱，长8dm，宽5dm，高4dm，在木箱各棱上镶铁皮，需多长铁皮”，即求棱长总和 。 考点三、长方体和正方体的展开图 1.展开图的概念 (1)将长方体或正方体的表面沿棱剪开，展开成平面图形，称为展开图。展开图中相对的面在立体图形中不相邻。 2.长方体展开图的特点 (1)由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面完全相同且不相邻。 (2)常见形式：“1-4-1”型（1个面、4个面、1个面依次排列）、“2-3-1”型（2个面、3个面、1个面排列）、“2-2-2”型（2个面、2个面、2个面并列）、“3-3”型（3个面、3个面并列）。 3.正方体展开图的类型（共11种） (1)“1-4-1”型（6种）：中间4个正方形，上下各1个正方形。 (2)“2-3-1”型（3种）：中间3个正方形，上2下1或上1下2。 (3)“2-2-2”型（1种）：2个正方形并列，共3组。 (4)“3-3”型（1种）：3个正方形并列，共2组。 4.判断能否折成正方体的方法 (1)展开图中出现“田”字格或“凹”字形，一定不能折成正方体。 (2)相对的面在展开图中不相邻（如“1-4-1”型中，上下两个面相对，中间4个面中相隔一个面的两个面相对）。 考点四、长方体和正方体表面积的计算 1.表面积的定义 (1)长方体或正方体6个面的总面积，称为它的表面积。 2.计算公式 (1)长方体表面积： ，用字母表示为 。 (2)正方体表面积： ，用字母表示为 。 3.计算要点 (1)明确每个面的长和宽：长方体中，前后面=长×高，上下面=长×宽，左右面=宽×高。 (2)单位统一：所有棱长单位需统一（如cm、dm），表面积单位为对应面积单位（如cm²、dm²）。 (3)结果化简：计算结果需用最简单位表示（如1000cm²=10dm²）。 考点五、长方体和正方体表面积的应用 1.应用场景 (1) 完整表面积：如计算封闭包装盒的用料（长方体礼盒、正方体魔方的包装纸面积）。 (2) 部分表面积： ①　无盖容器（如鱼缸、水池）：表面积=侧面积+1个底面积（长方体： ；正方体： ）。 ②　粉刷墙壁（扣除门窗面积）：需计算房间的表面积（地面不刷时， ）。 ③　贴瓷砖（游泳池、烟囱）：根据实际需求计算侧面或部分面的面积。 2.解题关键 (1)明确“需要计算哪些面”：根据实际物体的结构判断（如“通风管”只需计算侧面积，无上下底面）。 (2)单位换算：如“一个长方体木箱长1.2m，宽0.8m，高0.5m，求表面积”，需统一单位后计算（结果单位为m²）。 考点六、露在外面的面 1.概念 (1) 将正方体或长方体堆放在一起（如放在地面或墙角），未被遮挡的面称为“露在外面的面”。 2.计算方法 (1) 观察法：直接数出露在外面的面的数量，再乘以单个面的面积（适用于简单堆放）。 (2) 规律法： ①　平放一排（n个正方体）：露在外面的面=3n+2（如1个正方体露5个面，2个露8个面，3个露11个面，依次增加3个面）。 ②　叠放（n个正方体叠成一列）：露在外面的面=4n+1（如1个露5个面，2个露9个面，3个露13个面，依次增加4个面）。 ③　墙角堆放（如2×2×2正方体）：露在外面的面=3×(层数×列数)（需根据具体摆放方式调整）。 3.影响因素 (1)摆放方式（平放、叠放、组合放）、正方体/长方体的个数、与接触面的数量（如放在地面会遮挡底面，放在墙角会遮挡两个或三个面）。 考点七、组合体的表面积（长方体、正方体） 1.组合体的定义 (1)由两个或多个长方体、正方体拼接或堆叠而成的立体图形（如两个正方体并排摆放、一个正方体放在长方体上方等）。 2.表面积计算方法 (1)原则：组合体的表面积=各部分表面积之和-2×重叠面面积（重叠部分为两个面贴合，需减去2个重叠面的面积）。 (2)步骤： ①　分别计算每个基本立体图形的表面积。 ②　确定重叠面的数量和面积（如两个正方体棱长都是2cm，并排拼接后重叠1个面，面积=2×2=4cm²，需减去2×4=8cm²）。 ③　总和=各部分表面积之和-2×重叠面面积。 3.特殊情况 (1)复杂组合体（如“L”型、“T”型）：可通过“平移法”将不规则图形转化为规则图形，或分区域计算露在外面的面的面积。 (2)重叠面为多个时：需逐一计算每个重叠部分的面积并扣除（如三个正方体叠放，有2个重叠面，需减去2×2×重叠面面积）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 【答案】 6 8 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同；长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等；有8个顶点。据此解答。 【详解】通过分析可得：长方体和正方体都有6个面，8个顶点。 【变式训练1】长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点，而且正方体的每条棱长都( )。 【答案】 6 12 8 相等 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。 正方体的特征：正方体有6个面，且都是面积相等的正方形；有8个顶点；有12条棱，且长度都相等。 【详解】长方体和正方体都有6个面，12条棱，8个顶点，而且正方体的每条棱长都相等。 【变式训练2】在实践活动中，同学们需要制作一个长方体结构的诗词灯笼。下列选项提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【详解】A．不能拼成长方体，再增加2根4cm或2根5cm的框架材料才能拼成长方体； B．能拼成长方体； C．不能拼成长方体，有四个面完全相同，另外两个面是正方形才能拼成长方体； D．不能拼成长方体，有四个面完全相同，另外两个面是正方形才能拼成长方体。 提供的材料正好能拼成长方体的是。 故答案为：B 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】用一根长（    ）的铁丝正好可以做一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。 A．17厘米 B．68厘米 C．160厘米 D．184厘米 【答案】B 【分析】长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（8＋5＋4）×4 ＝17×4 ＝68（厘米） 【变式训练1】用彩带捆扎一种礼盒（如图），接头处要用掉彩带25cm，那么捆扎这个礼盒至少需要( )cm的彩带。 【答案】107 【分析】观察图形可知，彩带的长度是由2条长、2条宽、4条高及接头处长度的和组成。据此解答。 【详解】10×2＋15×2＋8×4＋25 ＝20＋30＋32＋25 ＝50＋32＋25 ＝82＋25 ＝107（cm） 【变式训练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是( )cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是( )cm。 【答案】 5 7.8 【分析】由于用这么长的铁丝做一个正方体或者长方体，那么正方体的棱长总和或者长方体的棱长总和是这根铁丝的长度。 根据正方体棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体棱长； 根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。 【详解】60÷12＝5（cm） 60÷4－3.6－3.6 ＝15－3.6－3.6 ＝11.4－3.6 ＝7.8（cm） 用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是5cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是7.8cm。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】下列四个平面图形中，不能折叠成长方体或正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体展开是完全相同的六个面，正方体展开图有如下类型： 长方体展开后的类型也符合上述规律，只不过只有相对的面的大小形状一样。 【详解】 A．，不能折叠成任何长方体或正方体，因为它上下两个面应该是长方形，而不是正方形。 B．符合“1－3－2”型。 C． 符合“1－4－1”型。 D．符合“1－4－1”型。 【变式训练1】笑笑需要将一个平面展开图折叠成一个正方体（如图）。涂色的5个面是展开图的一部分，添上①～④中的（    ）号面能折叠成一个正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】正方体展开图有11种基本形式，其“1-4-1”型是最常见的一种，即中间4个正方形，两侧各1个正方形。观察图形，现有涂色的5个面，要折叠成正方体，需要补充的面应能与现有面构成“1-4-1”型。 【详解】观察现有涂色的5个面，补充②号面后，能形成“1-4-1”型的正方体展开图：第一行有1个面，第二行有4个面，第三行有1个面，符合正方体展开图的结构，因此能折叠成正方体。而补充①、③、④号面时，无法形成符合要求的正方体展开图结构。 故答案为：B 【变式训练2】做一个“2”的对面是“( )”，“5”的对面是“( )”。 【答案】 4 6 【分析】如果展开图中，两个数字在同一行或同一列，且中间隔一个的两个面就是相对面，以此判断。 【详解】与“2”相邻的是“1”和“3”，且“4”和“2”在同一行，中间相隔“3”，所以“2”的对面是“4”； 与“5”相邻的是“2”，且“5”和“6”在同一列，中间相隔“2”，所以“5”的对面是“6”。 因此，做一个“2”的对面是“4”，“5”的对面是“6”。 题型四、长方体和正方体表面积的计算 【例题4】计算下面立体图形的表面积。 【答案】（1）150 （2）3.92 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）。结合图形将数据代入公式计算即可。 【详解】 正方体的表面积是。 长方体的表面积是。 【变式训练1】下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。 【答案】180 【分析】由图可知，长方体的长是8cm，宽是6cm，高是（12－6）÷2＝3cm。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】（12－6）÷2 ＝6÷2 ＝3（cm） （8×6＋8×3＋6×3）×2 ＝（48＋24＋18）×2 ＝180（） 【变式训练2】把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原来正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】96 【分析】把这个正方体分成两个完全一样的长方体时，增加了两个正方形的面的面积，由此可得正方体的一个面的面积是（32÷2）平方厘米，由此再利用正方体表面积＝棱长×棱长×6＝正方形面积×6，代入数据解答。 【详解】32÷2＝16（平方厘米） 16×6＝96（平方厘米） 原来正方体的表面积是96平方厘米。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】一个长方体游泳池，长150米、宽60米、深4米。若这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】10680平方米 【分析】根据题意可知贴瓷砖只有底面、左面、右面、前面和后面共个面。根据游泳池的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2 ，代入数据即可求出贴瓷砖的面积。 【详解】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是平方米。 【变式训练1】“五育并举，德育为先”某小学进行“手拉手”活动。老师想把一个空教室布置成一个教育基地。笑笑量了一下，找到一些数学信息：教室长10米、宽9米、高为3米，门窗面积为11.6平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷多少平方米的面积？ 【答案】192.4平方米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；要粉刷教室的四壁和屋顶，即要计算长方体的上面、前后、左右5个面的面积，根据长方体的表面积公式可知：粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗的面积，据此列式计算。 【详解】10×9＋10×3×2＋9×3×2－11.6 ＝90＋30×2＋27×2－11.6 ＝90＋60＋54－11.6 ＝150＋54－11.6 ＝204－11.6 ＝192.4（平方米） 答：要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷192.4平方米的面积。 【变式训练2】有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）7厘米；（2）294平方厘米 【分析】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出一个铁丝的长度，两根铁丝长度相同，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝长度除以12即可求出正方体的棱长。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出彩纸的面积。 【详解】（1）（9＋6＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 （2）7×7×6＝294（平方厘米） 答：在这个正方体的表面贴上彩纸，需要294平方厘米的彩纸。 题型六、露在外面的面 【例题6】下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 11 44 【分析】由图可知，从正面可以看到3个小正方形，从右面可以看到4个小正方形，从上面可以看到4个小正方形，相加求出看到小正方形的总数量就是露在外面面的数量，最后乘一个小正方形的面积，即可求得露在外面的面积，据此解答。 【详解】3＋4＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 2×2×11 ＝4×11 ＝44（平方厘米） 所以，有11个面露在外面，露在外面的面积是44平方厘米。 【变式训练1】将6个棱长为2dm的小正方体摆放在地上（如图）。露在外面的面有( )个，露在外面的面积是( )dm2。 【答案】 19 76 【分析】前面和后面各有6个面，左面和右面各有2个面，上面有3个面，相加即可。 每个面都是棱长为2dm的小正方形，计算出一个面的面积后再乘上一问计算出面的数量即可。 【详解】6＋6＋2＋2＋3＝19（个） 2×2×19 ＝4×19 ＝76（dm2） 露在外面的面有19个面，露在外面的面积是76dm2。 【变式训练2】将几个棱长为5分米的正方体纸箱摆放在墙角处（如图），露在外面的面面积是( )分米2，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要( )个这样的正方体纸箱。    【答案】 275 22 【分析】从正面看露在外面是4个小正方形，从上面看露在外面是3个小正方形，从右面看露在外面是4个小正方形，即露在外面的面一共有：4＋3＋4＝11（个），一个正方形的面积：5×5＝25（平方分米），再乘小正方形的个数即可求解；由于搭建一个更大的正方体，更大一点的正方体每条棱长都有3个小正方体组成，即一共需要3×3×3＝27（个）小正方体，由于已经有5个，再需要27－5＝22（个）即可。 【详解】5×5＝25（分米2） 4＋3＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 25×11＝275（分米2） 由于更大的正方体每条棱上是3个小正方体。 3×3×3－5 ＝9×3－5 ＝27－5 ＝22（个） 露在外面的面的面积一共是275分米2，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要22个这样的正方体纸箱。 【点睛】本题主要考查组合体的表面积以及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式并灵活运用。 题型七、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例题7】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【答案】 【分析】因为正方体与长方体粘合在一起，所以求表面积时，上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求表面积，根据长方体的表面积公式：，正方形的面积公式：把数据代入公式解答。 【详解】 立体图形的表面积为。 【变式训练1】计算下面图形的表面积。 【答案】2400cm2 【分析】观察可知，在长方体的顶点处切去一个正方体，看上去表面积减少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形的面，因此这个图形的表面积＝长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（30×20＋30×12＋20×12）×2 ＝（600＋360＋240）×2 ＝1200×2 ＝2400（cm2） 这个图形的表面积是2400cm2。 【变式训练2】下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【答案】512平方厘米 【分析】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 提升练习 1．下列平面图形，不能折叠成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要判断平面图形能否折叠成正方体，需依据正方体展开图的结构特征（如常见的1－4－1型、2－3－1型、2－2－2型、3－3型等），分析每个选项折叠时是否存在面重叠或无法封闭的情况。 【详解】A．选项A的平面图形属于正方体展开图的2－2－2型，折叠过程中各面能对应拼接，可围成正方体。 B．选项B的平面图形符合正方体展开图的结构特征，属于2－3－1型，折叠后各面无冲突，能够形成正方体。 C．选项C的平面图形属于正方体展开图的合理布局3－3型，折叠时各面可顺利组合，能围成正方体。 D．选项D的平面图形在尝试折叠时，会出现面的位置冲突（如部分面无法对应封闭或存在重叠），无法围成正方体。 不能折叠成正方体的是。 2．一个长方体的所有棱长之和是48厘米，则相交于一个顶点的三条棱长之和是（    ）。 A．12厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．4厘米 【答案】A 【分析】根据长方体的特征：长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。已知一个长方体的所有棱长之和是48厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算求解。 【详解】48÷4＝12（厘米） 则相交于一个顶点的三条棱长之和是12厘米。 故答案为：A 3．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 【答案】C 【分析】丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋20 ＝30＋20＋32＋20 ＝102（厘米） 至少需要102厘米长的丝带。 4．把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 【答案】A 【分析】A分析重叠面的情况，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多。 B找出重叠的面求出其面积，重叠的面积越多，说明表面积减少的越多 C分别计算三种方式的包装纸面积，再比较，分三种情况。 第1种：三个长方体竖直叠放在一起，形成一个长为3厘米、宽为2厘米、高为3厘米的长方体。 第2种：三个长方体平放在一起，形成一个长为9厘米、宽为2厘米、高为1厘米的长方体。 第3种：三个长方体侧放在一起，形成一个长为6厘米、宽为3厘米、高为1厘米的长方体。 D实际动手操作时间较长，不考虑这一情况。 【详解】A．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形。重叠个数相同，3厘米宽、为2厘米的长方形面积最大，方法1最省包装纸。此选项不用计算，最快捷。 B．方法1中重叠的面是4个长为3厘米宽、为2厘米的长方形，减少的面积为：3×2×4＝24（平方厘米）；方法2中重叠的面是4个长为2厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：2×1×4＝8（平方厘米）；方法3中重叠的面是4个长为3厘米宽、为1厘米的长方形，减少的面积为：3×1×4＝12（平方厘米）。24＞12＞8，方法1减少的面积最多，最省包装纸，需要计算，没有A快捷，不符合题意。 C．第1种方法：（3×2＋3×3＋2×3）×2 ＝（6＋9＋6）×2 ＝21×2 ＝42（平方厘米） 第2种方法：（9×2＋9×1＋2×1）×2 ＝（18＋9＋2）×2 ＝29×2 ＝58（平方厘米） 第3种方法：（6×3＋6×1＋3×1）×2 ＝（18＋6＋3）×2 ＝27×2 ＝54（平方厘米） 42＜54＜58，方法1最省包装纸，计算繁琐，不快捷，不符合题意。 D．实际动手包装一下，用时较长，不快捷，不符合题意。 故答案为：A 5．一个长方体木块的表面积是96cm2，下面是面积为12cm2的正方形，在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，这个组合体的表面积是（    ）cm2。 A．120 B．126 C．108 D．132 【答案】A 【分析】因为正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，如图，连接对边的中点，把正方形分成相等的8份，正方体的一个面正好占4份，即正方体一个面的面积是长方体底面面积的一半。据此先求出正方体一个面的面积；再根据组合体的表面积等于长方体的表面积加上正方体4个面的面积，求出组合体的表面积。 【详解】12÷2＝6（cm2） 96＋6×4 ＝96＋24 ＝120（cm2） 6．一个长方体至少有( )个面是长方形，最多有( )条棱相等。 【答案】 4 8 【分析】长方体有6个面，一般情况下都是长方形。当有两个面是正方形时，剩下的四个面是长方形，因此至少有4个面是长方形。 对于棱的数量，长方体最多有8条棱相等，这种情况发生在长和宽相等时，此时与长、宽对应的棱各有4条，共8条。 【详解】长方体共有6个面。若有两个面是正方形，则其余四个面均为长方形，因此至少有4个面是长方形。 长方体有12条棱，分为长、宽、高三组，每组4条。当长和宽相等时（此时有两个面是正方形），与长、宽对应的棱各有4条，共8条棱长度相等，而高对应的4条棱长度不同。因此最多有8条棱相等。 因此，一个长方体至少有4个面是长方形，最多有8条棱相等。 7．“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后，与“御”字相对的是“( )”字。与“乐”字相对的是“( )”字。 【答案】 礼 数 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个面在同层中隔着一个面（小正方形）寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。据此解答。 【详解】通过分析可得：与“御”字相对的是“礼”字；与“乐”字相对的是“数”字。 8．一个长方体的长6cm，宽5cm，高4cm，它的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2。 【答案】 60 148 【分析】长方体棱长总和公式为：棱长总和＝4×（长＋宽＋高），已知长方体长为6cm、宽为5cm、高为4cm，将数据代入公式计算即可得出长方体的棱长总和。长方体表面积公式为：表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），把数据代入公式计算即可得出长方体表面积。 【详解】4×（6＋5＋4） ＝4×15 ＝60（cm） 2×（6×5＋6×4＋5×4） ＝2×（30＋24＋20） ＝2×74 ＝148（cm2） 这个长方体的棱长总和是60cm，表面积是148cm2。 9．用一根48dm的铁丝围成一个最大的正方体框架（连接处不计），它的棱长为( )dm；如果把它的每个面都围上纸片（连接处不计），至少需要( )dm2的纸片。 【答案】 4 96 【分析】正方体有12条长度相等的棱，因此正方体的棱长总和＝12a，已知铁丝总长度为48dm，用铁丝的总长度除以12，求出棱长；再根据正方体的表面积S＝6a2，代入公式即可求出所需纸片面积。 【详解】48÷12＝4（dm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（dm2） 用一根48dm的铁丝围成一个最大的正方体框架（连接处不计），它的棱长为4dm；如果把它的每个面都围上纸片（连接处不计），至少需要96dm2的纸片。 10．一个长方体按照以下三种方法切成两个长方体，表面积分别增加了16、24、48，原来长方体的表面积是( )。 【答案】88 【分析】第一种切法增加的是宽高面的面积，且增加了2个；第二种切法增加的是长高面的面积，且增加了2个，第三种切法增加的是长宽面的面积，且增加了2个，根据“长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2”，直接将三种情况增加的表面积相加即可。 【详解】 原来长方体的表面积是88。 11．4个棱长为2分米的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】 9 36 【分析】根据图示，从上面看有3个露在外面的面，从正面看有4个露在外面的面，从右面看有2个露在外面的面，这三个方向露在外面的面的个数相加，即可求出露在外面的面的个数；先用“正方形面积＝边长×边长”求出正方体木箱一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即是露在外面的面积，据此解答。 【详解】根据分析可得： 3＋4＋2＝9（个） 2×2×9 ＝4×9 ＝36（平方分米） 所以有9个面露在外面，露在外面的面积是36平方分米。 12．计算下面图形的表面积。 【答案】94cm2；150dm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 5×5×6＝150（dm2） 13．求下面立体图形的表面积。（单位：分米） 【答案】216平方分米 【分析】观察图形可知，通过右上角3个截面的平移，这个形体的表面积等于棱长是6分米的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【详解】6×6×6＝216（平方分米） 则这个立体图形的表面积是216平方分米。 14．展开与折叠。（每个方格是1平方厘米） （1）给图中的平面图形添上一部分，使它成为一个长方体的展开图。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）2 【分析】（1）观察现有平面图形，还缺少一个长3格，宽1格的长方形；所以在左边长3格，宽2格的大长方形下面补充即可。 （2）每个方格是1平方厘米，所以方格边长为1÷1＝1厘米。观察图形，与★所在面相对的面，其长为2厘米，宽为1厘米。根据长方形面积公式：面积＝长×宽，可得面积为2×1＝2平方厘米。 【详解】 （1）如图： （2）1÷1＝1（厘米） 与★所在面相对的面，长为2厘米，宽为1厘米。 2×1＝2（平方厘米） 与★相对的面的面积是2平方厘米。 15．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？ 【答案】12.4米 【分析】制作长方体框架所需的角铁长度即为长方体的棱长总和。长方体共有 12 条棱，分为长、宽、高 3 组，每组 4 条棱长度相等。根据公式“棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，将长、宽、高数据代入公式计算即可。 【详解】（0.9＋0.4＋1.8）×4 ＝3.1×4 ＝12.4（米） 答：制作这个售卖柜台至少需要 12.4 米的角铁。 16．一个长方形无盖的玻璃鱼缸，长4米，宽1.5米，高0.8米，做这样一个鱼缸，需要玻璃多少平方米？ 【答案】14.8平方米 【分析】求无盖长方体鱼缸的表面积，即左右2个面，前后2个面和1个底面的总面积：（长×高＋宽×高）×2＋长×宽＝所需玻璃面积。 【详解】（4×0.8＋1.5×0.8）×2＋4×1.5 ＝（3.2＋1.2）×2＋6 ＝4.4×2＋6 ＝8.8＋6 ＝14.8（平方米） 答：需要玻璃14.8平方米。 17．一个长方体的饼干盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈宽5厘米商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 【答案】160平方厘米 【分析】围着长方体贴一圈宽5厘米商标纸（上、下面不贴），把这圈商标纸沿着长方体的高剪开，会得到一个长方形，长方形的宽是5厘米，长是长方体一个面的周长，求这张商标纸的面积至少有多少平方厘米，即以长方体最小的面（由两条短边围成的面）的周长为商标纸的长即可，再根据，长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。 【详解】 （平方厘米） 答：这张商标纸的面积至少有160平方厘米。 18．一间教室长12米、宽8米、高3.5米，现要用乳胶漆粉刷这间教室的四面墙壁和顶部（除去门窗和黑板的面积共15.5平方米），如果每平方米需要0.2千克乳胶漆，那么共需要多少千克乳胶漆？ 【答案】44.1千克 【分析】要粉刷这间教室的四面墙壁和顶部，则长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，求出表面积后减去门窗和黑板的面积得到实际粉刷的面积，最后用实际粉刷的面积乘0.2解答。 【详解】 （平方米） （平方米） （千克） 答：共需要44.1千克乳胶漆。 19．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】2000平方厘米 【分析】要想使用的包装纸最少，那么就需要把最大的面拼在一起，这样拼成后的大长方体表面积就最小。长×宽的面的面积：20×15＝300（平方厘米），长×高的面的面积：20×5＝100（平方厘米），宽×高的面的面积：15×5＝75（平方厘米），因为75＜100＜300，所以长×宽的面面积最大，将长×宽的面拼在一起。此时拼成后的大长方体的长为20厘米，宽为15厘米，高为（5×4）厘米。然后根据长方体表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2进行计算，即可求出最少需要多少平方厘米的包装纸。 【详解】5×4＝20（厘米） （20×15＋20×20＋15×20）×2 ＝（300＋400＋300）×2 ＝1000×2 ＝2000（平方厘米） 答：最少需要2000平方厘米的包装纸。 20．茶厂有若干个装茶叶的正方体纸箱，靠墙堆放于仓库中（如下图）。 （1）这些纸箱有_____个面露在外面。 （2）露在外面的面的总面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）15 （2）84375平方厘米 【分析】（1）从正面能看到6个面，最底层3个，中间层2个，最上层1个，从侧面能看到4个面，因为靠墙只有一侧面有面露出来，从下往上分别是2个、1个、1个，从上面能看到5个面，最底层一排2个，最上层3个，即可求出露在外面的面的总数； （2）根据正方体每个面的面积＝边长×边长，要求露在外面的面的总面积。由图可知正方体的棱长为75厘米，露在外面面的数量为15个，即可求出露在外面的面的总面积。 【详解】（1）正面：（个） 侧面：（个） 上面：（个） 露在外面的面的总数：（个） 答：露在外面的面的总数为15个。 （2）正方体一个面的面积：（平方厘米） 露在外面的面的面积：（平方厘米） 答：露在外面的面的总面积是84375平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义02：长方体（一） （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1.定义 (1)长方体：由6个长方形（特殊情况有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 (2)正方体：长、宽、高都相等的长方体，6个面都是完全相同的正方形，12条棱长度都相等，是特殊的长方体。 2.各部分名称 (1)面：围成立体图形的平面部分，长方体和正方体都有6个面。 (2)棱：面与面相交的线段，长方体和正方体都有12条棱。 (3)顶点：棱与棱相交的点，长方体和正方体都有8个顶点。 3.具体特征 (1)长方体： ①　面：6个面，一般为长方形（可能有2个相对面是正方形），相对的面形状相同、面积相等。 ②　棱：12条棱，按长度可分为3组（长、宽、高），每组4条棱长度相等。 ③　顶点：8个顶点。 (2)正方体： ①　面：6个面，都是正方形，6个面形状相同、面积相等。 ②　棱：12条棱，所有棱长度都相等。 ③　顶点：8个顶点。 4.联系与区别 (1)联系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 (2)区别：长方体的面和棱存在差异，正方体的面和棱完全相同。 考点二、长方体和正方体有关棱长的应用 1.棱长总和计算公式 (1)长方体棱长总和： ，用字母表示为 （其中 为长， 为宽， 为高）。 (2)正方体棱长总和： ，用字母表示为 （其中 为棱长）。 2.应用场景 (1)已知棱长总和求长、宽、高或棱长：如“一个长方体棱长总和是96cm，长是10cm，宽是8cm，求高”，可通过公式变形 计算。 (2)计算框架用料：如“用铁丝焊接一个正方体框架，棱长5cm，至少需要多长铁丝”，直接用 。 (3)解决实际问题：如“一个长方体木箱，长8dm，宽5dm，高4dm，在木箱各棱上镶铁皮，需多长铁皮”，即求棱长总和 。 考点三、长方体和正方体的展开图 1.展开图的概念 (1)将长方体或正方体的表面沿棱剪开，展开成平面图形，称为展开图。展开图中相对的面在立体图形中不相邻。 2.长方体展开图的特点 (1)由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面完全相同且不相邻。 (2)常见形式：“1-4-1”型（1个面、4个面、1个面依次排列）、“2-3-1”型（2个面、3个面、1个面排列）、“2-2-2”型（2个面、2个面、2个面并列）、“3-3”型（3个面、3个面并列）。 3.正方体展开图的类型（共11种） (1)“1-4-1”型（6种）：中间4个正方形，上下各1个正方形。 (2)“2-3-1”型（3种）：中间3个正方形，上2下1或上1下2。 (3)“2-2-2”型（1种）：2个正方形并列，共3组。 (4)“3-3”型（1种）：3个正方形并列，共2组。 4.判断能否折成正方体的方法 (1)展开图中出现“田”字格或“凹”字形，一定不能折成正方体。 (2)相对的面在展开图中不相邻（如“1-4-1”型中，上下两个面相对，中间4个面中相隔一个面的两个面相对）。 考点四、长方体和正方体表面积的计算 1.表面积的定义 (1)长方体或正方体6个面的总面积，称为它的表面积。 2.计算公式 (1)长方体表面积： ，用字母表示为 。 (2)正方体表面积： ，用字母表示为 。 3.计算要点 (1)明确每个面的长和宽：长方体中，前后面=长×高，上下面=长×宽，左右面=宽×高。 (2)单位统一：所有棱长单位需统一（如cm、dm），表面积单位为对应面积单位（如cm²、dm²）。 (3)结果化简：计算结果需用最简单位表示（如1000cm²=10dm²）。 考点五、长方体和正方体表面积的应用 1.应用场景 (1) 完整表面积：如计算封闭包装盒的用料（长方体礼盒、正方体魔方的包装纸面积）。 (2) 部分表面积： ①　无盖容器（如鱼缸、水池）：表面积=侧面积+1个底面积（长方体： ；正方体： ）。 ②　粉刷墙壁（扣除门窗面积）：需计算房间的表面积（地面不刷时， ）。 ③　贴瓷砖（游泳池、烟囱）：根据实际需求计算侧面或部分面的面积。 2.解题关键 (1)明确“需要计算哪些面”：根据实际物体的结构判断（如“通风管”只需计算侧面积，无上下底面）。 (2)单位换算：如“一个长方体木箱长1.2m，宽0.8m，高0.5m，求表面积”，需统一单位后计算（结果单位为m²）。 考点六、露在外面的面 1.概念 (1) 将正方体或长方体堆放在一起（如放在地面或墙角），未被遮挡的面称为“露在外面的面”。 2.计算方法 (1) 观察法：直接数出露在外面的面的数量，再乘以单个面的面积（适用于简单堆放）。 (2) 规律法： ①　平放一排（n个正方体）：露在外面的面=3n+2（如1个正方体露5个面，2个露8个面，3个露11个面，依次增加3个面）。 ②　叠放（n个正方体叠成一列）：露在外面的面=4n+1（如1个露5个面，2个露9个面，3个露13个面，依次增加4个面）。 ③　墙角堆放（如2×2×2正方体）：露在外面的面=3×(层数×列数)（需根据具体摆放方式调整）。 3.影响因素 (1)摆放方式（平放、叠放、组合放）、正方体/长方体的个数、与接触面的数量（如放在地面会遮挡底面，放在墙角会遮挡两个或三个面）。 考点七、组合体的表面积（长方体、正方体） 1.组合体的定义 (1)由两个或多个长方体、正方体拼接或堆叠而成的立体图形（如两个正方体并排摆放、一个正方体放在长方体上方等）。 2.表面积计算方法 (1)原则：组合体的表面积=各部分表面积之和-2×重叠面面积（重叠部分为两个面贴合，需减去2个重叠面的面积）。 (2)步骤： ①　分别计算每个基本立体图形的表面积。 ②　确定重叠面的数量和面积（如两个正方体棱长都是2cm，并排拼接后重叠1个面，面积=2×2=4cm²，需减去2×4=8cm²）。 ③　总和=各部分表面积之和-2×重叠面面积。 3.特殊情况 (1)复杂组合体（如“L”型、“T”型）：可通过“平移法”将不规则图形转化为规则图形，或分区域计算露在外面的面的面积。 (2)重叠面为多个时：需逐一计算每个重叠部分的面积并扣除（如三个正方体叠放，有2个重叠面，需减去2×2×重叠面面积）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体和正方体都有( )个面，( )个顶点。 【变式训练1】长方体和正方体都有( )个面，( )条棱，( )个顶点，而且正方体的每条棱长都( )。 【变式训练2】在实践活动中，同学们需要制作一个长方体结构的诗词灯笼。下列选项提供的材料正好能拼成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、长方体和正方体有关棱长的应用 【例题2】用一根长（    ）的铁丝正好可以做一个长8厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体框架。 A．17厘米 B．68厘米 C．160厘米 D．184厘米 【变式训练1】用彩带捆扎一种礼盒（如图），接头处要用掉彩带25cm，那么捆扎这个礼盒至少需要( )cm的彩带。 【变式训练2】用60cm长的铁丝做一个最大的正方体框架，它的棱长是( )cm；如果用这根铁丝做一个长和宽都是3.6cm的长方体框架，那么这个长方体框架的高是( )cm。 题型三、长方体和正方体的展开图 【例题3】下列四个平面图形中，不能折叠成长方体或正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】笑笑需要将一个平面展开图折叠成一个正方体（如图）。涂色的5个面是展开图的一部分，添上①～④中的（    ）号面能折叠成一个正方体。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练2】做一个“2”的对面是“( )”，“5”的对面是“( )”。 题型四、长方体和正方体表面积的计算 【例题4】计算下面立体图形的表面积。 【变式训练1】下面是一个长方体的展开图，求它的表面积。 【变式训练2】把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体，结果表面积增加了32平方厘米，原来正方体的表面积是( )平方厘米。 题型五、长方体和正方体表面积的应用 【例题5】一个长方体游泳池，长150米、宽60米、深4米。若这个游泳池的底面和四壁都贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式训练1】“五育并举，德育为先”某小学进行“手拉手”活动。老师想把一个空教室布置成一个教育基地。笑笑量了一下，找到一些数学信息：教室长10米、宽9米、高为3米，门窗面积为11.6平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，共要粉刷多少平方米的面积？ 【变式训练2】有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 题型六、露在外面的面 【例题6】下图中，堆在墙角的每个小正方体的棱长都是2厘米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】将6个棱长为2dm的小正方体摆放在地上（如图）。露在外面的面有( )个，露在外面的面积是( )dm2。 【变式训练2】将几个棱长为5分米的正方体纸箱摆放在墙角处（如图），露在外面的面面积是( )分米2，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要( )个这样的正方体纸箱。    题型七、组合体的表面积（长方体、正方体） 【例题7】计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练1】计算下面图形的表面积。 【变式训练2】下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 提升练习 1．下列平面图形，不能折叠成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个长方体的所有棱长之和是48厘米，则相交于一个顶点的三条棱长之和是（    ）。 A．12厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．4厘米 3．如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 4．把下图3盒完全相同的礼品包装在一起，要知道哪种包装方法最省包装纸，下面思路最快捷的是（    ）。 A．分析重叠面的情况，不计算也可推出结论 B．分别计算三种方式的重叠面面积总和，再比较 C．分别计算三种方式的包装纸面积，再比较 D．实际动手包装一下，看看哪种用的最少 5．一个长方体木块的表面积是96cm2，下面是面积为12cm2的正方形，在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体上面各边的中点，这个组合体的表面积是（    ）cm2。 A．120 B．126 C．108 D．132 6．一个长方体至少有( )个面是长方形，最多有( )条棱相等。 7．“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后，与“御”字相对的是“( )”字。与“乐”字相对的是“( )”字。 8．一个长方体的长6cm，宽5cm，高4cm，它的棱长总和是( )cm，表面积是( )cm2。 9．用一根48dm的铁丝围成一个最大的正方体框架（连接处不计），它的棱长为( )dm；如果把它的每个面都围上纸片（连接处不计），至少需要( )dm2的纸片。 10．一个长方体按照以下三种方法切成两个长方体，表面积分别增加了16、24、48，原来长方体的表面积是( )。 11．4个棱长为2分米的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米。 12．计算下面图形的表面积。 13．求下面立体图形的表面积。（单位：分米） 14．展开与折叠。（每个方格是1平方厘米） （1）给图中的平面图形添上一部分，使它成为一个长方体的展开图。 （2）观察并想象，与★相对的面的面积是（    ）平方厘米。 15．四川成都自古被誉为“天府之国”，又是熊猫的故乡。商店准备为熊猫玩偶专门制作售卖柜台。柜台长0.9米，宽0.4米，高1.8米。需要先用角铁做一个长方体框架再安装其他部件，制作这个售卖柜台至少需要多少米的角铁？ 16．一个长方形无盖的玻璃鱼缸，长4米，宽1.5米，高0.8米，做这样一个鱼缸，需要玻璃多少平方米？ 17．一个长方体的饼干盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈宽5厘米商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？ 18．一间教室长12米、宽8米、高3.5米，现要用乳胶漆粉刷这间教室的四面墙壁和顶部（除去门窗和黑板的面积共15.5平方米），如果每平方米需要0.2千克乳胶漆，那么共需要多少千克乳胶漆？ 19．在西安举办的“丝路文化交流博览会”上，某商家准备将4盒精美的兵马俑纪念礼盒打包成套装，作为特色礼品进行展销。每盒礼盒尺寸为长20厘米、宽15厘米、厚5厘米。若用包装纸将4盒礼盒包装成一个整体（接头处忽略不计），最少需要多少平方厘米的包装纸？ 20．茶厂有若干个装茶叶的正方体纸箱，靠墙堆放于仓库中（如下图）。 （1）这些纸箱有_____个面露在外面。 （2）露在外面的面的总面积是多少平方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $