第二单元 因数和倍数（期中复习讲义）培优版（导图+18个考点真题讲练+提优练 共56题）-2025-2026学年人教版数学五年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 因数和倍数【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练二 据因数的特征解决问题 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 考点讲练六 2、5的倍数特征 考点讲练七 奇数与偶数的认识 考点讲练八 3的倍数特征 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 考点讲练十 质数与合数的认识 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 考点讲练十二 运算性质（奇数和偶数) 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 奥数拓展四 2、3、5的倍数特征综合 奥数拓展五 质数与合数的综合应用 奥数拓展六 运算性质（奇数和偶数) 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，这个数是( )，这个数的全部因数有( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是________。 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是( )。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【变式】（难度：☆☆☆☆）实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）按要求填空。 (1)17( )，既是2的倍数，又是5的倍数。 (2)251( )，既是3的倍数，又是2的倍数。 (3)( )，既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）32是一个四位数，它既是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 考点讲练七 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）三个连续偶数的和是126，这三个偶数各是多少？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 考点讲练八 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）要使16□是3的倍数，□中最大能填( )，最小能填( )。 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆）按要求填写数字。 (1)28既是2的倍数又是5的倍数：( )。 (2)50既是2的倍数又是3的倍数：( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 考点讲练十 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）用最小的质数、最小的合数和0组成同时是2、3、5的倍数的数，其中最大的三位数是( )，最小的三位数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）．乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 考点讲练十二 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）下列说法正确的是（    ）。 A．奇数×奇数＝奇数 B．连续的三个质数之和一定是奇数 C．偶数一定是合数 D．60个连续自然数的乘积一定是奇数 【变式】（难度：☆☆☆☆）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 【变式】（难度：☆☆☆☆）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【变式】（难度：☆☆☆☆）赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【变式】（难度：☆☆☆☆）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 奥数拓展四 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆）寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 奥数拓展五 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是__________。 【变式】（难度：☆☆☆☆）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 奥数拓展六 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）面是四张写有五位数的卡片，按要求回答问题。 69777      24888      48666      34567 （1）用卡片上的数写出和是偶数的一个式子与差是奇数的一个式子。（不计算出结果） （2）用卡片上的数写出积是偶数的一个式子与积是奇数的一个式子。（不计算出结果） 1．下列说法中错误的是（    ）。 A．一个数的最小的倍数是它本身 B．合数至少有3个因数 C．一个自然数不是奇数，就是偶数 D．两个质数的和一定是偶数 2．若a是一个奇数，则下面有（    ）个算式的结果一定是奇数。 ①a＋5     ②a2       ③4a＋1             ④21个a相加 A．1 B．2 C．3 D．4 3．有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 4．一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 5．刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 6．“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，明明“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，明明的积分最多有( )分。 7．一辆公交车在A站和B站之间往返。这辆公交车最初从A站发车，发车一次到B站，再发车一次到A站…发车99次后到达( )站。 8．费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 9．“三八”女神节那天，爸爸给妈妈买了一束鲜花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。这束花中玫瑰的枝数是最大的一位数，狐尾百合的枝数为奇数，康乃馨应为( )枝。 10．奇数与偶数的和仍是奇数。( )（判断对错） 11．合数的因数个数一定比质数的因数个数多。( )（判断对错） 12．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )（判断对错） 13．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 14．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 15．弘扬英雄在边境冲突中誓死捍卫国土，维护边境地区和平安宁的精神，莆田市小学生代表在城市广场中央搭起了“感恩墙”。这个“感恩墙”是个长方形，这个长方形的长、宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 16．阅读思考并填空。 （1）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数。8的因数有1、2、4、8，而1＋2＋4＝7，所以8不是完全数。28是完全数吗？把你的验证过程写出来。 （2）完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数的和。请你把28也写成几个连续自然数和的形式。 （3）4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5……那么，是不是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的。所以被称为哥德巴赫猜想。 请写出：28＝（    ）＋（    ） 再举一个偶数试一试：（    ）＝（    ）＋（    ） 17．阳光小学要在校园里栽24棵松树，要求每行的棵数相同，一共有几种不同的栽法？（行数要大于1且小于列数） 18．有4张数字卡片7、0、3、1，按要求完成下面各题。 （1）如果把这四张卡片上的数字按从大到小的顺序排列下去，7、3、1、0、7、3、1、0…那么第100个数是奇数还是偶数？ （2）用这四张数字卡片可以组成多少个不同的四位数？把这些数相加，所得的和是偶数还是奇数？ 19．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 20．（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第二单元 因数和倍数【期中复习讲义】-培优版 【导图+知识梳理+18个考点讲练+真题提优练 共56题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 考点讲练二 据因数的特征解决问题 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 考点讲练六 2、5的倍数特征 考点讲练七 奇数与偶数的认识 考点讲练八 3的倍数特征 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 考点讲练十 质数与合数的认识 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 考点讲练十二 运算性质（奇数和偶数) 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 奥数拓展四 2、3、5的倍数特征综合 奥数拓展五 质数与合数的综合应用 奥数拓展六 运算性质（奇数和偶数) 知识点一 因数与倍数 1. 因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数和商是被除数的因数。 例如：12÷2=6，12是6的倍数，6是12的因数；a×b=c(a、b、c都是不为0的整数)，那么a是c的因数，b也是c的因数；c是a的倍数，c也是b的倍数。 2. 找一个数的因数的方法 （1）列乘法算式找，有序地写出两个自然数相乘得这个数的所有乘法算式，两个因数都是这个数的因数。 （2）列除法算式找，有序地写出这个数被整除的所有除法算式，除数和商都是这个数的因数。 3. 因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 4. 找一个数的倍数的方法 （1）列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 （2）列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 5. 倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。 注意：一个非零自然数的最大因数与最小倍数是相等的且都等于它本身。 知识点二 2、5、3的倍数特征 1. 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 2. 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3. 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4. 2、5、3倍数特征之间的联系 2、3的倍数：个位上是0,2,4,6,8,且各个数位2、3的上的数字之和是3的倍数。 3、5的倍数：倍数个位上是0.5.且各个数位上的数3、5的字之和是3的倍数。 2、3、5的倍数：倍数个位上是0，且各个数位上的数字之和是3的倍数。 知识点三 奇数与偶数 1. 偶数：能被2整除的数就叫偶数（俗称双数），习惯用2n表示。 2. 奇数：不能被2整除的数就叫奇数（俗称单数），习惯用2n－1表示。 3. 奇数与偶数的运算性质 加法：(1)奇数+偶数=奇数 (2)奇数+奇数=偶数 (3)偶数+偶数=偶数 (4)相邻两个自然数的和是奇数，相邻四个自然数的和是偶数。 减法：奇数－奇数=偶数 奇数－偶数=奇数 偶数－奇数=奇数 偶数－偶数=偶数 乘法：(1)奇数×偶数=偶数 (2)奇数×奇数=奇数 (3)偶数×偶数=偶数 知识点四 质数与合数 1. 质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 例如：20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19。 注意： ①质数只有两个因数，一个质数的最小因数是1，最大因数是它本身 ②最小的质数是2，没有最大的质数 2. 合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 例如：20以内的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。 注意： ①合数质数至少有三个因数，一个合数的最小因数是1，最大因数是它本身。 ②最小的合数是4，没有最大的合数。 3. 注意 （1）0、1既不是质数，也不是合数。 （2）100以内的质数2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共25个。 知识点五 分解质因数 1. 分解质因数：就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。 例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。 2. 注意：分解质因数是解决数论最有效最直接的途径。 考点讲练一 找一个数的因数及因数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，这个数是( )，这个数的全部因数有( )。 【答案】 16 1，2，4，8，16 【思路引导】已知一个数的最大因数和最小倍数相加等于32，根据“一个数的最大因数和最小倍数都是它本身”得出这个数是32的一半，再写出这个数的所有因数即可。 【规范解答】这个数是：32÷2＝16 16的全部因数有：1，2，4，8，16。 【变式】（难度：☆☆☆☆）黑板上贴着7张数字卡片，细心的妙想发现：这7个数字正好是某个自然数的所有因数，这个自然数是________。 【答案】64 【思路引导】根据因数和倍数的意义，a、b、c是不为0的自然数，当a×b＝c时，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。如8＝1×8＝2×4，8的因数就有1、8、2、4，共4个。一个数的因数总是成对出现的，因数的个数一般是偶数个；又如16＝1×16＝2×8＝4×4，16的因数有1、16、2、8、4共5个，因为16＝4×4＝42，16因数的个数是奇数个。当一个数能表示成某个整数的平方的形式时，它的因数的个数是奇数个。据此解答即可。 【规范解答】16是这个数的因数，16的因数也一定是这个数的因数。16的因数有1、2、4、8、16共5个。16是这个数的因数，这个数就是16的倍数。当16的倍数中，16×4＝64＝82，64的因数有1、2、4、8、16、32、64，共7个因数。因此这个自然数是64。 【考点剖析】本题考查的是因数和倍数的意义，明确这个数是某个整数的平方是解题的关键。 考点讲练二 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆）为了保护铁路线免受沙漠掩埋，经常会采用“草方格沙障”固沙的方式，“草方格沙障”是一种防风固沙，涵养水分的治沙方法，用麦草、稻草、芦苇等材料在沙漠中扎成方格形状，现计划在一条铁路沿线设置32个“草方格沙障”，要求每行的方格数相同，可以排几行？有几种不同的排法？ 【答案】 1行、2行、4行、8行、16行、32行；6种 【思路引导】每行的方格数和行数必须均为32的因数。通过列举32的所有因数，即可确定符合条件的行数。 【规范解答】32＝32×1＝16×2＝8×4 32的因数有：1、2、4、8、16、32，共6个。 答：可以排1行、2行、4行、8行、16行、32行，有6种不同的排法。 【变式】（难度：☆☆☆☆）唐崖土司城址是中国第48处世界文化遗产，位于湖北省恩施州咸丰县唐崖镇的唐崖河畔，实验小学五年级部分学生利用周末去参观唐崖土司城址，已知参观学生人数在40～50人之间。领队张老师把84瓶矿泉水平均分给参观学生，正好分完。那么参观的学生有( )人。 【答案】42 【思路引导】由题意可知，参观的学生人数是矿泉水总数量的因数，并且在40～50之间，求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，按顺序列举出84的所有因数，再找出符合条件的因数，据此解答。 【规范解答】84÷1＝84 84÷2＝42 84÷3＝28 84÷4＝21 84÷6＝14 84÷7＝12 84的因数有1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84，其中在40～50之间的是42。 所以，参观的学生有42人。 考点讲练三 找一个数的倍数及倍数的特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆）一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是( )。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是( )。 【答案】 12 8或12 【思路引导】（1）根据因数和倍数的基本性质：一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 （2）先列出24的所有因数，再从中找出是4的倍数的数。 【规范解答】一个数的最大因数和最小倍数都是12，因此这个数就是12。 先列出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24 再从中找出是4的倍数的数：4、8、12、24 这个数既不是4，也不是24，因此剩下符合要求的数是8和12。 一个数的最大因数和最小倍数都是12，这个数是12。一个数既不是4，也不是24，但是是4的倍数，也是24的因数，这个数是8或12。 【变式】（难度：☆☆☆☆）小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 【答案】D 【思路引导】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【规范解答】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【考点剖析】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 考点讲练四 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）小兵在文具店买了3本笔记本、1支钢笔、2支自动铅笔和4块橡皮。笔记本每本2元，钢笔每支5元，自动铅笔和橡皮的价格小兵记不清了售货员要小兵付18元，小兵马上说售货员把账算错了，你知道为什么吗？ 【答案】见详解 【思路引导】从题意可以知道，四种商品的数量已知，根据，笔记本和钢笔的价格能够算出来一共是11元，但是因为自动笔和橡皮的数量是双数，所以，不管买多少，它们的总价格也应该是双数，因为偶数乘偶数，偶数乘奇数积都是偶数，而11是奇数，根据奇数加偶数等于奇数，因此，要付款的钱数应是奇数，但是根据售货员算的价格是偶，所以判断是错误的。 【规范解答】 （元） 答：因为2支自动铅笔和4块橡皮的价格是偶数，而3本笔记本、1支钢笔的价格是奇数，根据奇数加偶数等于奇数可知，总价应该是奇数，而售货员算的是18元（偶数），所以账算错了。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【思路引导】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【规范解答】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 考点讲练五 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）有下面三种规格的包装箱，选用哪种规格的包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。 【答案】 因为8是64的因数，选8本/箱。 【思路引导】找出哪个种规格包装箱每箱所装的本数是64的因数，即用64除以每箱所装的本数，能整除的即为解。 【规范解答】 答：因为8是64的因数，所以应选每箱8本的包装箱。 【变式】（难度：☆☆☆☆）实践乐园。猜号码。ABCDEFG。 已知：A－5的最小倍数；B－最小的自然数； C－5的最大因数；D－既是4的倍数，又是4的因数； E－所有因数是1、2、3、6； F－所有因数是1，3；G－只有一个因数。 这个号码是( )。 【答案】5054631 【思路引导】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，最小的自然数是0，1只有1个因数，就是它本身。 【规范解答】根据分析可知，5的最小倍数是5； 最小的自然数是0； 5的最大因数是5； 既是4的倍数，又是4的因数的数是4； 所有因数是1、2、3、6的数是6； 所有因数是1，3的数是3； 只有一个因数的数是1； 所以这个号码是：5054631。 【考点剖析】本题考查了因数和倍数的认识以及应用。 考点讲练六 2、5的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）按要求填空。 (1)17( )，既是2的倍数，又是5的倍数。 (2)251( )，既是3的倍数，又是2的倍数。 (3)( )，既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【答案】(1)0 (2)4 (3)105 【思路引导】2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；同时是2和5的倍数的数的特征是：个位上必须是0；同时是2和3的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8，且各位上的数字之和是3的倍数；同时是3和5的倍数的数的特征是：个位上是0或5，且各位上的数字之和是3的倍数。 【规范解答】（1）根据“同时是2和5的倍数的数，个位必须是0”的特征，可知应填0。 170，既是2的倍数，又是5的倍数。 （2）先满足2的倍数：个位只能是0、2、4、6、8； 再满足3的倍数：各位数字之和2＋5＋1＝8，8＋括号里的数需是3的倍数； 验证：8＋4＝12，12是3的倍数，所以应填4。 2514，既是3的倍数，又是2的倍数。 （3）先满足5的倍数：个位只能是0或5； 要找最小三位数，百位取1，十位取0； 验证个位为0：1＋0＋0＝1，不是3的倍数； 验证个位为5：1＋0＋5＝6，是3的倍数，所以这个数是105。 105既是3的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 【变式】（难度：☆☆☆☆）32是一个四位数，它既是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 3120 3720 【思路引导】这个数同时是2和5的倍数，这个四位数的个位数字是0；这个数还是3的倍数，各位数字之和是3的倍数，逐一分析百位上可填的数字（0到9），进而确定最小的数和最大的数。 【规范解答】这个数同时是2和5的倍数，所以个位数字是0。 3＋2＋0＝5 5＋0＝5，5不是3的倍数，不符合； 5＋1＝6，6是3的倍数，符合，这个数是3120； 5＋2＝7，7不是3的倍数，不符合； 5＋3＝8，8不是3的倍数，不符合； 5＋4＝9，9是3的倍数，符合，这个数是3420； 5＋5＝10，10不是3的倍数，不符合； 5＋6＝11，11不是3的倍数，不符合； 5＋7＝12，12是3的倍数，符合，这个数是3720； 5＋8＝13，13不是3的倍数，不符合； 5＋9＝14，14不是3的倍数，不符合。 综上，这个数最小是3120，最大是3720。 考点讲练七 奇数与偶数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）三个连续偶数的和是126，这三个偶数各是多少？ 【答案】40、42、44 【思路引导】相邻的偶数之间相差2，三个连续偶数的和÷3＝中间偶数；中间偶数－2＝较小偶数；中间偶数＋2＝较大偶数。 【规范解答】126÷3＝42 42－2＝40 42＋2＝44 答：这三个偶数是40、42、44。 【变式】（难度：☆☆☆☆）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【规范解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 考点讲练八 3的倍数特征 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）五年级三个班的人数都是3的倍数，且都在30~40之间（不含30和40），但又各不相同。五（1）班的人数是奇数，五（2）班的人数是偶数，五（3）班的人数最少。这三个班各有多少人？ 【答案】五（1）班：39人；五（2）班：36人；五（3）班：33人 【思路引导】3的倍数的特征：所有数位上的数字之和能被3整除的数；倍数：如果a×b＝c（a、b、c是不为0的自然数），那么c是a、b的倍数。如：4×9＝36，36是4和9的倍数；据此先找出30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数；再把这些数比较大小，其中最小的数就是五（3）班的人数；偶数：能被2整除的数，奇数：不能被2整除的数，据此找出其中的奇数和偶数并确定五（1）班和五（2）班的人数。 【规范解答】30~40之间（不含30和40）是3的倍数的数：33，36，39； 其中33和39是奇数，36是偶数， 且39＞36＞33。 答：五（1）班有39人，五（2）班有36人，五（3）班有33人。 【变式】（难度：☆☆☆☆）要使16□是3的倍数，□中最大能填( )，最小能填( )。 【答案】 8 2 【思路引导】3的倍数特征：一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，据此判断。 【规范解答】已知这个数是16□，， 当□中填的是2时，，，所以9是3的倍数，符合题意； 当□中填的是5时，，，所以12是3的倍数，符合题意； 当□中填的是8时，，，所以15是3的倍数，符合题意， 因为8＞5＞2，所以□中最大能填8，最小能填2。 因此要使16□是3的倍数，□中最大能填8，最小能填2。 考点讲练九 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆）按要求填写数字。 (1)28既是2的倍数又是5的倍数：( )。 (2)50既是2的倍数又是3的倍数：( )。 【答案】(1)0 (2)4 【思路引导】（1）同时是2和5倍数的倍数特征：个位数字是0； （2）同时是2和3倍数的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8，各个位上数字相加的和是3的倍数，据此解答。 【规范解答】（1） 分析可知，28既是2的倍数又是5的倍数，里填0。 （2） 为0时，5＋0＋0＝5，5不是3的倍数，不符合条件； 为2时，5＋0＋2＝7，7不是3的倍数，不符合条件； 为4时，5＋0＋4＝9，9是3的倍数，符合条件； 为6时，5＋0＋6＝11，11不是3的倍数，不符合条件； 为8时，5＋0＋8＝13，13不是3的倍数，不符合条件。 所以，50既是2的倍数又是3的倍数，里填4。 【变式】（难度：☆☆☆☆）从四张卡片中选出三张，按要求组成一个三位数，使它符合题目要求。（每题写两个） (1)奇数：( )，( )。 (2)偶数：( )，( )。 (3)3的倍数：( )，( )。 (4)5的倍数：( )，( )。 (5)既是2的倍数，又是5的倍数：( )，( )。 (6)同时是2，3，5的倍数：( )，( )。 【答案】(1) 603 605 (2) 630 306 (3) 603 306 (4) 630 635 (5) 630 350 (6) 630 360 【思路引导】（1）奇数是不能被2整除的整数，个位需是1、3、5、7、9 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选3或5可构成奇数。 （2）偶数是能被2整除的整数，个位需是0、2、4、6、8 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或6可构成偶数。 （3）一个数各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。计算所选三张卡片数字和，判断是否为3的倍数。 （4）5的倍数个位是0或5 。从6、0、3、5选三张组成三位数，个位选0或5可构成5的倍数。 （5）既是2的倍数又是5的倍数，个位一定是0 。从6、0、3、5选三张且个位为0组成三位数。 （6）同时是2、3、5的倍数，个位是0且各位数字和是3的倍数。从6、0、3、5选三张，个位为0且数字和是3的倍数来组成三位数。 【规范解答】（1）当个位是3时，组成603；个位是5时，组成605 。 奇数为603，605（答案不唯一） （2）当个位是0时，组成630；个位是6时，组成306。 偶数为630，306（答案不唯一） （3）6＋0＋3＝9（9是3的倍数），组成603；3＋0＋6＝9，组成306 。 3的倍数为603，306（答案不唯一） （4）个位是0时，组成630；个位是5时，组成635 。 5的倍数为630，635（答案不唯一） （5）个位是0时，组成630、350 。 既是2的倍数，又是5的倍数为630，350（答案不唯一） （6）6＋3＋0＝9（9是3的倍数），组成630；3＋6＋0＝9，组成360 。 同时是2，3，5的倍数为630，360。 考点讲练十 质数与合数的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）用最小的质数、最小的合数和0组成同时是2、3、5的倍数的数，其中最大的三位数是( )，最小的三位数是( )。 【答案】 420 240 【思路引导】最小的质数是2；最小的合数是4；同时是2、3、5的倍数的特征：个位为0且各位数字之和是3的倍数。最大三位数：个位数字是0，百位数字＞十位数字；最小三位数：个位数字是0，百位数字＜十位数字。 【规范解答】最小的质数是2；最小的合数是4。 用2、4、0三个数字组成同时是2、3、5的倍数的最大三位数是420；最小三位数是240。 【变式】（难度：☆☆☆☆）为了推进美丽乡村的建设，幸福村规划再建一个长方形健身场所，这个长方形健身场所的长和宽均为质数，并且周长是64米。这个长方形健身场所的面积最大是多少？ 【答案】247平方米 【思路引导】先根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出长与宽的和。然后根据质数的定义，找出和为该值的两个质数有哪些组合。接着根据长方形面积＝长×宽，分别求出每种组合下的长方形面积。最后比较面积大小，求出最大值。 【规范解答】长与宽的和：64÷2＝32（米） 32以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31。 3＋29＝32（3和29均为质数） 13＋19＝32（13 和 19 均为质数） 3×29＝87（平方米） 13×19＝247（平方米） 247＞87 答：这个长方形健身场所的面积最大是247平方米。 考点讲练十一 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）生命在于运动，有人说走路是最好的运动，妈妈每天坚持走路，今天她的运动步数是一个五位数，位居排行榜第一。这个数万位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是10以内最大的质数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的偶数，个位上的数是最小的合数。这个五位数是( )。 【答案】17904 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。据此确定各数位上的数，写出这个五位数。 【规范解答】1既不是质数也不是合数；10以内最大的质数是7；最大的一位数是9；最小的偶数是0；最小的合数是4，这个五位数是17904。 【变式】（难度：☆☆☆☆）．乐乐在解答“a、b均为质数，且3a＋7b＝41，则a＋b＝（      ）”这道题。 他这样想： 因为奇数＋偶数＝奇数，所以3a和7b中一定有一个数是偶数； 又因为它们的和为41，那么b一定是小于7的质数。 根据以上思考，乐乐推算出a是( )，b是( )。 【答案】 2 5 【思路引导】因为a、b均为质数，且3a＋7b＝41，所以3a和7b一定是一奇数一偶数，又因为和＝41，则b小于7，小于7的只数只有2、3、5，因为奇数乘偶数等于偶数，所以a或b一定有一个2。即可把2代入等式推算出另一个数，符合“a、b均为质数”即可得解。 【规范解答】当a＝2时 解： 2、5均为质数，推算成立； 当b＝2时 解： 9不是质数，故推算不成立。 根据以上思考，乐乐推算出a是2，b是5。 考点讲练十二 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆）下列说法正确的是（    ）。 A．奇数×奇数＝奇数 B．连续的三个质数之和一定是奇数 C．偶数一定是合数 D．60个连续自然数的乘积一定是奇数 【答案】A 【思路引导】奇数：个位数字是1、3、5、7、9的数。偶数：个位数字是0、2、4、6、8的数。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。分别举例说明各选项。 【规范解答】A．例如：3和5是奇数，3×5＝15，15是奇数；7和9是奇数，7×9＝63，63是奇数；所以奇数×奇数＝奇数，该选项说法正确； B．2、3、5是三个连续的质数，2＋3＋5＝10，它们的和是偶数，该选项说法错误； C．2是偶数，但不是合数，该选项说法错误； D．60个连续的自然数，一定包含偶数，只要有一个因数是偶数，则乘积一定是偶数，该选项说法错误。 【变式】（难度：☆☆☆☆）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【答案】(1) 偶 偶 偶 (2) 奇 偶 奇 (3) 奇 偶 【思路引导】（1）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断海海卡片上的数的奇偶性。根据“偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数”进行解答。 （2）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断园园卡片上的数的奇偶性。根据“奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”进行解答。 （3）根据奇数与偶数的运算性质，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行判断即可。 【规范解答】（1），，，， 海海卡片上的数都是偶数，根据偶数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是偶数。 （2），，， 园园卡片上的数都是奇数，根据奇数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数。 （3）海海和园园各拿出一张卡片，海海卡片上的数都是偶数，园园卡片上的数都是奇数，那么卡片上两数的和是奇数，积是偶数。 奥数拓展一 根据因数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）144个橘子平均分成若干份，使每份橘子的个数在10~100的范围内，有______种分法。 【答案】7 【思路引导】根据题意可知，橘子的总数＝份数×每份的数量，因为份数和每份的数量都是整数，所以将144拆分为2个整数相乘，据此列举出所有可能，再找到符合10~100的范围内的数。 【规范解答】144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12 符合题意的有：72、48、36、24、18、16、12，共7种分法。 【考点剖析】解答本题的关键是每份橘子的个数是整数，然后一一列举出所有可能。 【变式】（难度：☆☆☆☆）小明带了100元出去购物，在第一家店买了若干件A商品，在第二家店买了若干件B商品，在第三家店买了若干件C商品，在第四家店买了若干件D商品，在第五家买了若干件E商品，在第六家店买了若干件F商品，六种商品的单价各不相同且都是整数元，他在六家店里花的钱相同，最后他剩( )元。 【答案】28 【思路引导】由于小明只带了100元出去购物，并且在六家店里花的钱相同，因此，小明在每个商店内所花的钱不能超过16元。在小于等于16的自然数中，只有12可以分解成有6个因数的积，因此，小明在每个商店所花的钱都是12元，进而求得剩下的钱数。 【规范解答】（元）……4（元） 小明在每个商店内所花的钱不能超过16元，且这个数有6个不同的因数。 在小于16的数中，只有12有6个不同的因数。 ＝ ＝28（元） 最后他剩（28）元。 【考点剖析】先明确小明在每个商店内所花的钱的最高金额、以及找到12的因数，是解答题的关键。 奥数拓展二 根据倍数的特征解决问题 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）某旅游景点的门票价格及优惠方法如下表： 人数 50人以内 51~99人 100人及以上 票价 30元/人 28元/人 25元/人 （例如：60人需要付门票费28×60＝1680元。） 导游星星和望望各带一个旅游团，如果分别购票，两个团共应付门票费3660元；如果两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元。若星星带的团人数多一些，那么星星带的团共有多少人？ 【答案】90人 【思路引导】当人数在50以内，最大为50时，需要票价50×30＝1500（元）；当人数在51～99人时，最大为99时，票价应该是99×28＝2772（元）；两个旅游团合并在一起购票，两个团一共只需门票费3200元，超过了2772元，则两个团合并在一起超过100人，每人25元，则有128人。如果两个班级带团的人数都在51～99人之间，总门票付的钱是28的倍数，显然3660不是28的倍数。星星带的团人数多一些，则星星带的团51~99人，望望带的团50人以内。假设两个团的人都是30元/人的门票，128人应该付128×30＝3840（元），和总门票钱3660元对比，多了180元，也就是需要将180元的门票钱减去。两种购票的一张门票的钱可以减2元，就是求180元里面有几个2元，用除法。则星星带的团有90人。 【规范解答】3200÷25＝128（人） （128×30－3660）÷（30－28） ＝（3840－3660）÷（30－28） ＝180÷2 ＝90（人） 答：星星带的团共有90人。 【变式】（难度：☆☆☆☆）赵老师为同学们买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元。已知处数字相同，请问每支钢笔多少元？ 【答案】3.51元 【思路引导】 因为买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9.2元．已知处数字相同，说明9.2是28的倍数，又因28同一个数相乘，末尾的数一定是0，2，4，6，8，故方框内的数可能是0，2，4，6，8，中的任意一个，分别填入0，2，4，6，8试一试，据此可列式解答。 【规范解答】 9.2元92分。 9020、9222、9424、9626均不能被28整除，9828能被28整除，所以处应该填8。（元） 答：每支钢笔3.51元。 【考点剖析】本题考查了学生对因数和倍数的认识、小数除法，以及人民币的掌握情况，关键要弄清28同一个数相乘末尾数的特征。 奥数拓展三 倍数和因数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）五年级排队做广播体操，每一列都刚好是13人，五年级可能有（    ）人。 A．45 B．52 C．55 D．64 【答案】B 【思路引导】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。每一列的人数×列数＝全班总人数，如果每一列都刚好是13人，那么全班总人数一定是13的倍数。据此解答。 【规范解答】A．45除以13有余数，则45不是13的倍数，此选项不符合题意； B．52÷13＝4，则52是13的倍数，五年级可能有52人； C．55除以13有余数，则55不是13的倍数，此选项不符合题意； D．64除以13有余数，则64不是13的倍数，此选项不符合题意。 故答案为：B 【变式】（难度：☆☆☆☆）4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【思路引导】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【规范解答】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 奥数拓展四 2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）从0，2，3，4，8中挑选三个数字组成一个三位数，使它同时是2，3，5的倍数，这个三位数最小是( )，最大是( )。 【答案】 240 840 【思路引导】要同时是2，3，5的倍数，这个数必须满足：个位是0和各位数字之和是3的倍数两个条件。 我们先确定个位必须是0，然后从剩下的数字2，3，4，8中挑选两个，使其与0的和是3的倍数组成一个三位数。 ①找最小三位数的方法：要使数最小，百位和十位都要优先选用较小的数，所以百位优先考虑2，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最小的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数3，4，8中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最小的三位数。 ②找最大三位数的方法：要使数最大，百位和十位都要优先选用较大的数，所以百位优先考虑8，接下来考虑十位，十位也确保是剩下的最大的数，同时要保证所有数位之和是3的倍数，再剩下的数2，3，4中只有从只有4满足条件，这样三个数字就可以组成最大的三位数。 【规范解答】确定个位：0 ①找最小三位数 最小数的百位：从2，3，4，8选最小的，只能是2 最小数的十位：从3，4，8选最小的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最小的三位数是：240 ②找最大三位数 最大数的百位：从2，3，4，8选最大的，只能是8 最大数的十位：从2，3，4选最大的，同时所有数位之和是3的倍数，只能是4 这个最大的三位数是：840 所以，这个三位数最小是240，最大是840。 【考点剖析】关键点是先根据2和5的倍数特征确定个位为0，再根据3的倍数特征筛选数字，最后按要求排列。 【变式】（难度：☆☆☆☆）寻找最大数与最小数。 （1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是多少？ （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是多少？ 【答案】（1）68580（2）26850 【思路引导】需要构造五位数并满足同时是2、3、5的倍数的条件。解题时先确定个位数字，再计算各位数字之和是否满足3的倍数要求，最后根据题目要求选择最大或最小的数。 （1）同时是2和5的倍数，个位必须是0。因此五位数最后一个数字为0。原数为685后加两位数字，构造为685X0其中X为第四位。各位数字之和，必须是3的倍数。X为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最大，X应取最大的可能值8，五位数为68580，验证：是3的倍数。 （2）构造五位数为A685B，个位B为0以满足2和5的倍数条件， 五位数形式为A6850，其中A为首位数字 （不能为0）。各位数字之和，必须是3的倍数。A为2，5，8时原数是3的倍数。为使五位数最小，A应取最小的可能值2。五位数为26850，验证：是3的倍数。 【规范解答】（1）在685的后面加上两个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最大是68580； （2）在685的前后各加上一个数字，使这个五位数同时是2，3，5的倍数，这个五位数最小是26850。 【考点剖析】根据2,3,5的倍数特征，判断末尾为0，结合题目要求填出最大最小的数。 奥数拓展五 质数与合数的综合应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）贝贝家的电话是一个八位数，从左边开始，第一位数字是第六位数字的2倍，第二位数字与第五位数字相同，第三位数字是最小的质数，第四位数字与第七位数字相同，第六位数字是最小的合数，第八位数字是8个数字的公因数。已知前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477，贝贝家的电话是__________。 【答案】84254451 【思路引导】 第三位数字是最小的质数，则是2；六位数字是最小的合数，是4，第一位数字是第六位数字的2倍，第一位就8；第八位数字是8个数字的公因数，是1。设这个数的第二位和第五位是a，第四位和第七位是b，则这个8位数是，观察后设，根据运算的算理则＝8020＋x，，再根据前四位数字组成的四位数比后四位数字组成的四位数的2倍小477列出方程求出a和b的值。 【规范解答】设 则a是4，b是5 贝贝家的电话是84254451。 【考点剖析】要熟练掌握加减乘除的运算的算理。 【变式】（难度：☆☆☆☆）如果a×（b＋c）＝209，并且a、b、c是不同的质数（c＜b），那么a、b、c各代表多少？ 【答案】11、17、2 【思路引导】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【规范解答】209＝11×19 19＝17＋2 答：a、b、c各代表11、17、2。 【考点剖析】关键是掌握质数、合数的分类标准。 奥数拓展六 运算性质（奇数和偶数) 【典例精讲】（难度：☆☆☆☆）三个连续奇数的和是27，这三个奇数分别是( )，( )，( )；三个连续偶数的积是960，这三个偶数分别是( )，( )，( )。 【答案】 7 9 11 8 10 12 【思路引导】可用连续三个奇数的和除以3，得到的是这三个连续奇数的平均数即连续三个奇数的中间一个数，然后再用中间的数分别减去2、加上2即可得到答案；三个连续偶数的积是960，把960分解质因数，然后化成三个连续偶数的积，由此求解。 【规范解答】，， 这三个奇数分别是7，9，11。 这三个偶数分别是8，10，12。 【考点剖析】此题主要利用计算平均数的方法求得三个连续奇数的中间一个数，然后再分别计算出另外两个数，熟练掌握分解质因数的方法是解题的关键。 【变式】（难度：☆☆☆☆☆）面是四张写有五位数的卡片，按要求回答问题。 69777      24888      48666      34567 （1）用卡片上的数写出和是偶数的一个式子与差是奇数的一个式子。（不计算出结果） （2）用卡片上的数写出积是偶数的一个式子与积是奇数的一个式子。（不计算出结果） 【答案】（1）和是偶数：24888＋48666（答案不唯一） 差是奇数：69777－24888（答案不唯一） （2）积是偶数：24888×69777（答案不唯一） 积是奇数：69777×34567 【思路引导】（1）奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数-奇数＝奇数，奇数-偶数＝奇数； （2）偶数偶数＝偶数，偶数奇数＝偶数，奇数奇数＝奇数。据此解答。 【规范解答】（1）24888是偶数，48666是偶数，所以和是偶数（答案不唯一）； 69777是奇数，24888是偶数，差是奇数（答案不唯一）； （2）24888是偶数，69777是奇数，所以积是偶数（答案不唯一）； 69777是奇数，34567是奇数，所以积是奇数。 1．下列说法中错误的是（    ）。 A．一个数的最小的倍数是它本身 B．合数至少有3个因数 C．一个自然数不是奇数，就是偶数 D．两个质数的和一定是偶数 【答案】D 【思路引导】A．找一个数的倍数的方法：列乘法算式找倍数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出这个数与非0自然数的乘法算式，乘法算式中的积就是这个数的倍数。 B．合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数。 C．偶数：像0，2，4，6，8……都是2的倍数的数叫做偶数。奇数：像1，3，5，7……不是2的倍数的数叫做奇数。 D．质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数。 【规范解答】A．据分析可知，一个数的最小倍数是它本身，例如3的最小倍数是3，该选项说法正确。 B．据分析可知，合数至少有3个因数，如4的因数为1、2、4，该选项说法正确。 C．据分析可知，自然数非奇即偶，该选项说法正确。 D．据分析可知，两个质数的和不一定为偶数。例如2（质数）＋3（质数）＝5（奇数），此选项错误。 故答案为：D 2．若a是一个奇数，则下面有（    ）个算式的结果一定是奇数。 ①a＋5     ②a2       ③4a＋1             ④21个a相加 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数，奇数×偶数＝偶数，把a2转化为a×a，21个a相加表示为21×a，最后逐个判断算式结果的奇偶性，据此解答。 【规范解答】①a（奇数）＋5（奇数），奇数与奇数的和一定是偶数。 ②a2＝a（奇数）×a（奇数），奇数与奇数的积一定是奇数，所以a2一定是奇数。 ③4a＋1，a是一个奇数，奇数与偶数的积一定是偶数，则4a是偶数，偶数与奇数的和一定是奇数，所以4a＋1一定是奇数。 ④21个a相加可以表示为21×a，21（奇数）×a（奇数），奇数与奇数的积一定是奇数，所以21个a相加结果一定是奇数。 综上所述，②a2，③4a＋1，④21个a相加这3个算式的结果一定是奇数。 故答案为：C 3．有101个不同的正整数，在这101个数中有100个数互相不成倍数，但任意两数的和是2的倍数，任意三个数的和是3的倍数，任意四个数的和是4的倍数，任意六个数的和是6的倍数，则这101个数平均数的最小值可能是（    ）。 A．505 B．600 C．601 D．606 【答案】C 【思路引导】个位上是0，2，4，6，8的数是2的倍数；如果一个数的各个数位上的数的和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数，根据题目条件逐步分析得出这 100个数的特征，进而判断平均数的特点； 除以2的余数情况：因为任意两个数的和是2的倍数，两个数相加和是2的倍数，说明这两个数要么都是偶数（即除以2余数为0），要么都是奇数（即除以2余数为1）。又因为这100个数互相不成倍数，所以不能都是偶数（如果都是偶数，必然存在倍数关系），所以这100个数除以2的余数都为1。 除以3的余数情况：由于任意三个数的和是3的倍数，设这三个数分别为a、b、c，a＋b＋c＝3k（k为整数）。根据余数的性质，a、b、c除以3的余数之和要是3的倍数。因为这100个数互相不成倍数，若有不同余数，就很难保证任意三个数和是3的倍数，所以这100个数除以3的余数都相同，又因为要满足和是3的倍数，所以余数只能为1（若余数为0，则这些数有倍数关系）。 除以4的余数情况：同理，任意四个数的和是4的倍数，设这四个数为m、n、p、q，m＋n＋p＋q＝4s（s为整数），根据余数性质，这100个数除以4的余数之和要是4的倍数。由于这100个数互相不成倍数，所以它们除以4的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况容易出现倍数关系不符合题意）。 除以6的余数情况：任意六个数的和是6的倍数，设这六个数为、、、、、，＋＋＋＋＋＝6t（t为整数），根据余数性质，这100个数除以6的余数之和要是6的倍数。因为这100个数互相不成倍数，所以它们除以6的余数都相同，且为1（若余数为0或其他情况，会出现倍数关系不符合要求）。 分析平均数：因为这100个数的平均数等于这100个数的总和除以100，而这100个数除以2、3、4、6余数都为1，那么它们的平均数除以2、3、4、6余数也都为1。 【规范解答】A．505÷2＝252……1，505÷3＝168……1，505÷4＝126……1，505÷6＝84……1，满足余数都为1； B．600÷2＝300，余数为0，不满足除以2余数为1，所以B选项错误； C．601÷2＝300……1，601÷3＝200……1、601÷4＝150……1、601÷6＝100……1，满足余数都为1； D．606÷2＝303，余数为0，不满足除以2余数为1，所以D选项错误。 比较505和601，505＜601，但题目问的是这101个数平均数的最小值，因为101个数中有100个数满足上述余数条件，当这100个数最小且满足余数条件时，平均数会最小，601比505更符合这101个数平均数最小的情况（因为505作为平均数时，可能无法满足101个数整体的条件，而601满足所有余数条件且能保证101个数整体的合理性）。 故答案为：C 【考点剖析】找出这100个数余数的特点，通过余数特点来判断平均数满足的条件是解题的关键。 还可以这样理解：这100个数的除以2、3、4、6的余数都为1，可写作12k＋1的形式（k＝1-100），求和为12×（1＋2＋3＋…100）＋1×100＝60700，再取1为第101个数，60701为这101个数最小和，60701÷101＝601，故选C。 4．一个两位数只有两个因数，且它的十位数字比个位数字少1，这样的两位数有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】只有两个因数的数是质数，找出十位数字比个位数字少1的两位数，从里面筛选出其中的质数即可。 【规范解答】一个两位数只有两个因数，说明这个数是质数。十位数字比个位数字少1，这样的两位数只有12、23、34、45、56、67、78、89，而这些数中只有23、67和89是质数。这样的两位数有3个。 【考点剖析】先按条件列出所有符合“十位数字比个位数字少1”的两位数，再从中筛选出质数。 5．刘叔叔在学习平台“学习强国”上的分数达到了2965分，至少增加( )分就是3的倍数，至少增加( )分就同时是2和5的倍数。 【答案】 2 5 【思路引导】3的倍数是一个数各位数字之和能被3整除。同时是2和5的倍数是一个数末尾必须是0。计算2965各位数字之和：2＋9＋6＋5＝22。比22大且能被3整除的最小数是24。需增加的分是：24－22＝2。2965末尾是5，要满足末尾为0，需找到比2965大且末尾为0的最小数，即2970。需增加的分是：2970－2965＝5。 【规范解答】2＋9＋6＋5＝22 24是3的倍数； 24－22＝2（分） 2970是2和5的倍数； 2970－2965＝5（分） 至少增加2分就是3的倍数，至少增加5分就同时是2和5的倍数。 6．“学习强国”是党中央推出的全国学习平台，明明“学习强国”的积分达到了1□7□分。这个四位数既是3的倍数，又是5的倍数，明明的积分最多有( )分。 【答案】1875 【思路引导】3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。5的倍数的特征：个位上的数字是0或5的数，在此条件下，尽可能让数字最大即可。据此解答。 【规范解答】个位上最大能选取5； 1＋7＋5＝13 13＋8＝21 21÷3＝7 所以百位上的数字是8； 所以积分最多有1875分。 7．一辆公交车在A站和B站之间往返。这辆公交车最初从A站发车，发车一次到B站，再发车一次到A站…发车99次后到达( )站。 【答案】B 【思路引导】已知公交车最初从A站出发，从当前站点出发到下一站，即为1次发车。发车1次：从A站→B站（到达B站）；发车2次：从B站→A站（到达A站）；发车3次：从A站→B站（到达B站）；发车4次：从B站→A站（到达A站）；奇数是不能被2整除的数，偶数是能被2整除的数，由此可总结规律：奇数次发车：最终到达B站（1次、3次、5次…均到B站）；偶数次发车：最终到达A站（2次、4次、6次…均到A站）。99是奇数，根据上述规律，奇数次发车最终到达B站。 【规范解答】发车1次：A站→B站； 发车2次：B站→A站； 发车3次：A站→B站； 发车4次：B站→A站； 奇数次发车：最终到达B站；偶数次发车：最终到达A站，99是奇数。 所以发车99次后到达B站。 8．费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 【答案】(1)不符合 (2) 5 1 2 【思路引导】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a²＋b²”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）20以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。其中质数有3、5、7、11、13、17、19。即是奇数又是质数的是：3、5、7、11、13、17、19，分别计算它们÷4的余数： 3÷4＝0⋯⋯3 5÷4＝1⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成“a²＋b²”的形式。 7÷4＝1⋯⋯3 11÷4＝2⋯⋯3 13÷4＝3⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成 “a²＋b²”的形式。 17÷4＝4⋯⋯1，余数为1，符合要求。可以写成“a²＋b²”的形式。 19÷4＝4⋯⋯3 5可以写成12＋22的形式。 13可以写成22＋32的形式。 17可以写成42＋12的形式。 但题目要求只写一个，所以选择5。 【规范解答】（1）31不符合费马平方和定理的要求。 （2）20以内符合要求的奇质数是5，它可以写成12＋22的形式。（答案不唯一） 【考点剖析】此题重点考查对奇质数概念的理解以及运用费马平方和定理进行分析判断的能力，同时要熟练掌握除法运算求余数。 9．“三八”女神节那天，爸爸给妈妈买了一束鲜花，共花93元，其中康乃馨3元/枝，玫瑰5元/枝，狐尾百合10元/枝。这束花中玫瑰的枝数是最大的一位数，狐尾百合的枝数为奇数，康乃馨应为( )枝。 【答案】6 【思路引导】单价×数量＝总价，这束鲜花的总钱数93元，是个奇数，玫瑰的枝数是最大的一位数，即9枝，玫瑰单价5元，是奇数，奇数×奇数＝奇数，总钱数－玫瑰钱数＝偶数；狐尾百合单价10元，是偶数，枝数为奇数，偶数×奇数＝偶数，狐尾百合钱数是偶数；康乃馨单价是奇数，总价应为偶数，所以康乃馨枝数为偶数，据此再根据3的倍数的特征推算出康乃馨的枝数。 【规范解答】最大的一位数是9。 93－9×5 ＝93－45 ＝48（元） 狐尾百合的枝数为奇数，只能是1枝或3枝。康乃馨3元/枝，康乃馨的钱数是3的倍数。 48－10×1 ＝48－10 ＝38（元） 38不是3的倍数，狐尾百合不可能是1枝。 48－10×3 ＝48－30 ＝18（元） 18是3的倍数，狐尾百合有3枝，则： 18÷3＝6（枝） 康乃馨应为6枝。 【考点剖析】关键是理解奇数和偶数的运算性质，掌握3的倍数的特征。 10．奇数与偶数的和仍是奇数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【规范解答】如：1＋2＝3，3是奇数； 3＋10＝13，13是奇数； 所以，奇数与偶数的和仍是奇数。 原题说法正确。 故答案为：√ 11．合数的因数个数一定比质数的因数个数多。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】自然数中，除了1和它本身外，没有其它因数的数为质数。除了1和它本身外，还有其它因数的数为合数。由此判断即可。 【规范解答】质数只有两个因数，即1和它本身。合数的因数除了1和它本身外至少还要有一个因数，即至少有3个因数。则合数的因数个数（至少3个）一定比质数的因数个数（2个）多。 故答案为：√ 12．三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数可以知道，三个奇数相加的和一定是奇数，所以这三个自然数中必须有偶数，才能让和成为偶数，但会有两种情况：①偶数＋奇数＋奇数＝偶数；②偶数＋偶数＋偶数＝偶数。所以这三个自然数中至少有一个数是偶数。 【规范解答】由分析得： 三个自然数的和是偶数，这三个自然数中至少有一个数是偶数。这种说法是正确的。 故答案为：√。 【考点剖析】本题通过借助奇偶数运算的性质，来验证题中结论。在这个过程中，对于奇偶数运算的性质由两个数扩充到三个数，分析的难度也随之增大了。 13．求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和32         15和25         30和40 【答案】（1）8；96；（2）5；75；（3）10；120 【思路引导】两个或多个整数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个公因数就叫做这几个整数的最大公因数。两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。用枚举法分别写出每组数中每个数的因数与倍数，从而找到每组数的最大公因数和最小公倍数。 【规范解答】（1）24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 32的因数有1，2，4，8，16，32。 24和32的最大公因数是8。 24的倍数有24，48，72，96，120…。 32的倍数有32，64，96，128，160…。 24和32的最小公倍数是96。 （2）15的因数有1，3，5，15。 25的因数有1，5，25。 15和25的最大公因数是5。 15的倍数有15，30，45，60，75…。 25的倍数有25，50，75，100，125…。 15和25的最小公倍数是75。 （3）30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30。 40的因数有1，2，4，5，8，10，20，40。 30和40的最大公因数是10。 30的倍数有30，60，90，120，150…。 40的倍数有40，80，120，160，200…。 30和40的最小公倍数是120。 14．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【思路引导】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【规范解答】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 15．弘扬英雄在边境冲突中誓死捍卫国土，维护边境地区和平安宁的精神，莆田市小学生代表在城市广场中央搭起了“感恩墙”。这个“感恩墙”是个长方形，这个长方形的长、宽都是以厘米为单位的质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 【答案】77平方厘米 【思路引导】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。长方形周长÷2＝长＋宽，据此确定质数情况的长和宽，根据长方形面积＝长×宽，分别计算出面积，比较即可。 【规范解答】36÷2＝18（厘米） 18＝17＋1＝16＋2＝15＋3＝14＋4＝13＋5＝12＋6＝11＋7＝10＋8＝9＋9 质数情况有：长13厘米、宽5厘米；长11厘米、宽7厘米。 13×5＝65（平方厘米） 11×7＝77（平方厘米） 77＞65 答：这个长方形的面积最大是77平方厘米。 16．阅读思考并填空。 （1）6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6，像6这样，等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫做完全数。8的因数有1、2、4、8，而1＋2＋4＝7，所以8不是完全数。28是完全数吗？把你的验证过程写出来。 （2）完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数的和。请你把28也写成几个连续自然数和的形式。 （3）4＝2＋2，6＝3＋3，8＝5＋3，10＝7＋3，12＝7＋5……那么，是不是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的。所以被称为哥德巴赫猜想。 请写出：28＝（    ）＋（    ） 再举一个偶数试一试：（    ）＝（    ）＋（    ） 【答案】（1）是；验证过程见详解 （2）28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 （3）5；23； 30；7；23（答案不唯一） 【思路引导】（1）先列举出28的所有因数，然后根据完全数的定义，把除28以外的其它因数相加，如果和等于28，就是完全数，否则就不是完全数。 （2）把28写成几个连续自然数和的形式，可以试着从1＋2＋3＋…开始加，加到和为28为止。 （3）整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 根据哥德巴赫猜想，把28或其它偶数改写成两个质数相加的形式即可。 【规范解答】（1）28的因数：1，2，4，7，14，28； 1＋2＋4＋7＋14＝28 答：28是完全数。 （2）28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7 （3）28＝5＋23，或28＝11＋17。 30＝7＋23（答案不唯一） 17．阳光小学要在校园里栽24棵松树，要求每行的棵数相同，一共有几种不同的栽法？（行数要大于1且小于列数） 【答案】3种 【思路引导】根据找一个数的因数的方法，把24写成2个整数乘积的形式，进而根据题意求出有几种不同的栽法。 【规范解答】24＝2×12＝3×8＝4×6 因为行数要大于1且小于列数，所以每一对因数，都有一种栽法，一共有3种不同的栽法。 第一种：栽2行，每行栽12棵； 第二种：栽3行，每行栽8棵； 第三种：栽4行，每行栽6棵。 答：一共有3种不同的栽法。 18．有4张数字卡片7、0、3、1，按要求完成下面各题。 （1）如果把这四张卡片上的数字按从大到小的顺序排列下去，7、3、1、0、7、3、1、0…那么第100个数是奇数还是偶数？ （2）用这四张数字卡片可以组成多少个不同的四位数？把这些数相加，所得的和是偶数还是奇数？ 【答案】（1）偶数； （2）18；偶数 【思路引导】（1）分析题目，7、3、1、0这4个数为一组，据此用100除以4所得的余数是几，则第100个数就是这组数中的第几个，如果刚好整除，则第100个数就等于这组数中的最后一个数，据此确定第100个数是几；奇数：能被2整除的数，偶数：不能被2整除的数，据此判断奇偶性即可； （2）分析题目，组成的四位数，千位上有7，3，1共3种选择，百位有除了千位数字之外的3种选择，十位有2种选择，个位只有一种选择，据此用3×3×2×1即可求出一共可以组成多少个不同的四位数；再根据偶数的特征可知：组成的四位数中只有个位是0的数是偶数，据此确定偶数的个数，进而确定奇数的个数，再根据奇数个奇数之和是奇数，偶数个奇数之和是偶数确定奇偶性，最后根据奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数确定这些数的和的奇偶性即可。 【规范解答】（1）100÷4＝25（组），第100个数是0，0是偶数。 答：第100个数是偶数。 （2）3×3×2×1＝18（个） 这18个数中偶数是：7310，7130，3710，3170，1370，1730，一共有6个偶数，则奇数有18－6＝12（个）； 12个奇数之和是偶数，6个偶数之和也是偶数，因为偶数＋偶数＝偶数，所以这些数的和还是偶数。 答：用这四张数字卡片可以组成18个不同的四位数，把这些数相加，所得的和是偶数。 19．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 【答案】179头 【思路引导】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。 【规范解答】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有： 15×10＋14 ＝150＋14 ＝164 15×11＋14 ＝165＋14 ＝179 15×12＋14 ＝180＋14 ＝194 164÷4＝41 164不符合题意； 179÷4＝44……3 179÷6＝29……5 179符合题意； 194÷4＝48……2 194不符合题意。 答：这群奶牛有179头。 【考点剖析】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。 20．（1）韶关某社区有一个长方形花坛，面积是24平方米，长和宽都是整数米，且长是合数，宽是质数。这个花坛的长和宽可能分别是多少米？ （2）花坛里有两种花，一种花的数量是质数，另一种花的数量是合数，两种花的总数是20株，且合数数量是质数数量的倍数。这两种花可能各有多少株？ 【答案】（1）长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【思路引导】（1）除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数，据此确定长和宽； （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，再用20减去质数求出对应的数看是否是合数且满足合数数量是质数数量的倍数。 【规范解答】（1）24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 符合条件的是2×12和3×8 答：这个花坛的长和宽可能长12米，宽2米或长8米；宽3米。 （2）20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19 对应的数为18、17、15、13、9、7、3、1 2＋18＝20，18÷2＝9 5＋15＝20，15÷5＝3 答：这两种花一种可以有2株，另一种可能有18株。或一种可能有5株，另一种可能有15株。 【考点剖析】本题主要考查质数合数的概念与长方形面积的结合。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $