期中复习讲义04：比例（考点梳理+例题讲解+提升练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

期中复习讲义04：比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、比例的意义 1. 定义 表示两个比相等的式子叫做比例。例如，6:8和3:4的比值都是0.75，可组成比例 6:8=3:4。 2. 组成部分 比例由四个项组成，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。例如，在比例 中， 和 是外项， 和 是内项。 3. 与比的区别 (1)比：表示两个数相除的关系，只有两个项（前项和后项）； (2)比例：表示两个比相等的式子，有四个项（两个外项和两个内项）。 4. 判断方法 若两个比的比值相等，则这两个比能组成比例；反之则不能。 考点二、比例的基本性质 1. 性质内容 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2. 字母表示 若 （或 ， ），则 。 3. 应用 (1)判断两个比能否组成比例（若外项积等于内项积，则能组成比例）； (2)解比例（求比例中的未知项）； (3)验证比例是否成立。 考点三、解比例 1. 定义 求比例中的未知项叫做解比例。 2. 依据 比例的基本性质（外项积=内项积）。 3. 步骤 (1)设未知项为 ，根据题意列出比例式； (2)根据比例基本性质，将比例式转化为方程（外项积=内项积）； (3)解方程求出未知项 ； (4)检验结果（代入原比例验证比值是否相等）。 4. 注意事项 书写格式规范，未知项通常写在比例的内项或外项位置，计算时注意单位统一。 考点四、正比例的意义及辨识 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的比值一定，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 字母表示 若用 和 表示两种相关联的量， 表示比值（一定），则 （ 为常数， ）。 3. 条件 (1)两种量必须相关联（一种量变化，另一种量随之变化）； (2)变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）； (3)比值（商）一定。 4. 辨识方法 判断两种量是否相关联，且相对应的两个数的比值是否恒定。 考点五、正比例图象的认识 1. 图象特点 成正比例关系的两种量的图象是一条经过原点的直线。 2. 意义 图象直观反映两种量的变化规律，从图象上可直接读取任意一组相对应的量的值。 3. 读取信息 在直线上找到一个量对应的点，过该点作坐标轴的垂线，垂足对应的数值即为另一个量的值。 考点六、反比例的意义及辨识 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 字母表示 若用 和 表示两种相关联的量， 表示乘积（一定），则 （ 为常数， ）。 3. 条件 (1)两种量必须相关联（一种量变化，另一种量随之变化）； (2)变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）； (3)乘积一定。 4. 辨识方法 判断两种量是否相关联，且相对应的两个数的乘积是否恒定。 考点七、比例尺的意义及应用 1. 定义 图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺 = 图上距离 : 实际距离（或 ）。 2. 分类 (1)数值比例尺：用数字形式表示，如 （表示图上1厘米代表实际1000厘米）； (2)线段比例尺：用线段标注实际距离，如“”表示图上1厘米代表实际50千米； (3)缩小比例尺：比例尺的前项为1（如 ），用于缩小实际物体； (4)放大比例尺：比例尺的后项为1（如 ），用于放大微小物体。 3. 应用 (1)已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺； (2)已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 4. 注意事项 计算时单位需统一（通常将实际距离单位转化为与图上距离相同的单位）。 考点八、应用比例尺画图 1. 步骤 (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸选择合适的比例尺； (2)计算图上距离：根据实际距离和比例尺，用“图上距离 = 实际距离 × 比例尺”计算各部分长度； (3)画图：按计算出的图上距离画出物体的轮廓，并标注关键点的名称； (4)标注：在图的下方或右下角标注比例尺（如“比例尺 ”）。 2. 注意事项 单位统一，确保各部分比例协调，图形形状与原图一致。 考点九、图形的放大与缩小 1. 定义 保持图形的形状不变，只改变图形的大小（放大或缩小）。 2. 特点 (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比一定）； (2)对应角的大小不变； (3)图形的周长比等于放大或缩小的比，面积比等于放大或缩小比的平方。 3. 方法 (1)确定放大或缩小的比（如 表示放大到原来的2倍， 表示缩小到原来的 ）； (2)按比例计算图形各边的新长度； (3)根据地物的新长度画出放大或缩小后的图形。 4. 区别 放大比例尺后项为1（如 ），缩小比例尺前项为1（如 ）。 考点十、用比例解决问题 1. 步骤 (1)判断比例关系：分析题目中两种相关联的量成正比例还是反比例； (2)设未知量：设所求量为 ； (3)列比例式：根据正比例（ ）或反比例（ ）关系列出比例式； (4)解比例：根据比例基本性质解方程求出 ； (5)检验作答：检验结果是否符合题意，写出答案。 2. 适用场景 已知两种量成比例关系，且已知其中三组对应量，求第四组未知量（如行程问题、工程问题、浓度问题等）。 3. 注意事项 正确判断比例类型（正比例比值一定，反比例乘积一定），单位统一，结果需带单位。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．0.4∶0.5 B．2∶5 C．∶ D．4∶10 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例。 【详解】∶＝ A．因为0.4∶0.5＝，≠，不符合题意； B．因为2∶5＝，≠，不符合题意； C．因为∶＝，＝，符合题意； D．因为4∶10＝，≠，不符合题意； 【变式训练1】在2.5∶0.15＝6∶0.36中，比例的两个外项是( )和( )。 【答案】 2.5 0.36 【分析】比例指的是比值相等的两个比写成的式子，其中第一个比的前项和第二个比的后项叫作比例的外项，第一个比的后项和第二个比的前项叫作比例的内项，据此解答。 【详解】根据分析可知，在2.5∶0.15＝6∶0.36中，2.5和0.36是比例的两个外项。 在2.5∶0.15＝6∶0.36中，比例的两个外项是2.5和0.36。 【变式训练2】用4、6、16、24这四个数组成比例。如果在这个比例中，两个比的比值都是。那么这个比例是( )。 【答案】4∶6＝16∶24 【分析】根据比例的意义，先用四个数写出两个比值都等于的比，进而写出比例即可。 【详解】 那么这个比例是4∶6＝16∶24。 题型二、比例的基本性质 【例题2】如图，平行四边形a边上的高是b，c边上的高是d。根据这些信息，下列式子中（    ）不成立。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平行四边形面积＝底×高，则ab＝cd。根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，逐一分析。 【详解】A．a∶c＝d∶b得ab＝cd，成立； B．得ad＝bc，不成立； C．c∶a＝b∶d得ab＝cd，成立； D．得ab＝cd，成立。 根据这些信息，下列式子中不成立。 【变式训练1】在一个比例里，两个外项互为倒数，一个内项是17，另一个内项是( )。 【答案】 【分析】两个外项互为倒数，则两个外项的积为1，根据比例的基本性质可知，两个内项的积也是1，据此解答即可。 【详解】1÷17＝ 【变式训练2】如果A的与B的相等，（与均不为0），那么＝( )∶( )。 【答案】 25 9 【分析】求一个数的几分之几可用乘法解决，由于的与的相等，即 根据比例的基本性质，内项之积等于内项之积即可求出和的比。 【详解】，则，那么。 题型三、解比例 【例题3】若x是比例1.2∶x＝2∶5解，那么，3x＋1.5＝( )。 【答案】10.5 【分析】根据比例的基本性质，两个内项积等于两个外项积，先解比例，再根据等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立；求出x的值；再把x的值代入算式3x＋1.5，即可解答。 【详解】1.2∶x＝2∶5 解：2x＝1.2×5 2x＝6 x＝6÷2 x＝3 当x＝3时： 3×3＋1.5 ＝9＋1.5 ＝10.5 【变式训练1】解比例。                       【答案】；； 【分析】（1）利用比例的基本性质，将比例转换为求解。 （2）利用比例的基本性质，交叉相乘，将比例转换为求解。 （3）利用比例的基本性质，将比例转换为求解。 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式训练2】解比例。 ＝                               ∶＝ 2∶1.5＝6∶x                        3∶x＝2∶（3.6＋2.6） 【答案】x＝4；x＝3 x＝4.5；x＝9.3 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积； 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立；据此解比例。 【详解】＝ 解：＝ 2x＝1.6×5 2x＝8 2x÷2＝8÷2 x＝4 ∶＝ 解：∶＝5∶8 ×8＝×5 x＝3 2∶1.5＝6∶x 解：2x＝1.5×6 2x＝9 2x÷2＝9÷2 x＝4.5 3∶x＝2∶（3.6＋2.6） 解：3∶x＝2∶6.2 2x＝3×6.2 2x＝18.6 2x÷2＝18.6÷2 x＝9.3 题型四、正比例的意义及辨识 【例题4】下面是关于哈尔滨2025年第九届亚冬会的信息，其中成正比例关系的是（    ）。 A．用相同的客车接送运动员，在每辆车恰好坐满的情况下，接送运动员的总人数与客车的数量。 B．亚冬会场馆个数与比赛项目个数。 C．速度滑冰100米项目，运动员的速度和时间。 D．参赛男运动员人数与参赛女运动员人数。 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，判断这两个量是对应的比值是否一定，如果是比值一定，就成正比例。 【详解】A．接送运动员的总人数÷客车的数量＝每辆车坐满的人数（一定），商一定，所以接送运动员的总人数与客车的数量成正比例； B．亚冬会场馆个数×比赛项目个数＝场馆的总数（一定），乘积一定，所以亚冬会场馆个数与比赛项目个数不成正比例； C．速度×时间＝100（一定），乘积一定，所以速度滑冰100米项目，运动员的速度和时间不成正比例； D．参赛男运动员人数＋参赛女运动员人数＝参赛总人数（一定），和一定，所以参赛男运动员人数与参赛女运动员人数不成比例。 故答案为：A 【变式训练1】一个三角形的底一定，它的高与面积成正比例关系。( ) 【答案】 √ 【分析】判断两个量是否成正比例关系，需看它们的比值是否一定。根据三角形面积公式，当底一定时，面积与高的比值是一定的。因此，三角形的高与面积成正比例关系。 【详解】三角形的面积公式为：。当底一定时，面积与高的关系可表示为：。由于底是定值，底÷2也为定值，即面积与高的比值一定。因此，三角形的高与面积成正比例关系。 故答案为：√ 【变式训练2】如果＝（a、b均不为0），那么，a∶b的比值是( )，a与b成( )比例。 【答案】 //1.25 正 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。根据比例的基本性质将＝改写成一个外项是a，内项是b的比例式，进而求出比值； 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【详解】由＝可得＝，即a∶b＝； a∶b的比值一定，所以a与b成正比例。 题型五、正比例图象的认识 【例题5】有两个相关联的量的关系可以用下图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．一个圆的半径和它的面积 C．铺设方砖的总面积一定，每块方砖的面积和所需方砖的块数 D．灌溉机每小时浇地的面积一定，所用的时间和浇地的总面积 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系，其图象是一条经过原点的直线。据此逐一分析选项，找出成比例关系的量。 【详解】A．小明的身高和年龄：在成长过程中，身高增长不是随年龄均匀变化的，比如青春期前身高增长慢，青春期身高增长快，二者不成正比例关系，所以不符合图象关系； B．圆的半径r和面积S：根据圆的面积公式可得＝πr（不是定值），所以半径和面积不成正比例关系，不符合图象关系； C．每块方砖面积和所需块数：因为铺设方砖总面积一定，即每块方砖面积×所需块数＝总面积（一定），二者乘积一定，不是比值一定，不成正比例关系，不符合图象关系； D．时间和浇地总面积：因为灌溉机每小时浇地面积一定，即浇地的总面积÷所用的时间＝每小时浇地面积（一定），二者比值一定，所以所用时间和浇地总面积成正比例关系，图象是经过原点的直线，符合图象关系。 故答案为：D 【变式训练1】成正比例关系的图象是一条直线。( ) 【答案】√ 【分析】正比例关系的定义是两种相关联的量，其比值一定，即形如（为常数且）。其图象在平面直角坐标系中表现为一条过原点的直线。 【详解】据分析可知，成正比例关系的图象是一条直线。原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】水是生命之源。新学期伊始，实验小学对同学们进行了节约用水教育。优优打开了一个水龙头，测试了它的出水量。 时间（秒） 10 20 30 40 50 … 出水量（升） 2 4 6 … （1）把上表填写完整。 （2）把上表中打开水龙头的时间和出水量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接起来。 （3）打开水龙头的时间和出水量成（    ）比例。 （4）如果打开水龙头70秒，那么出水量是（    ）升。 【答案】（1）8；10 （2）图见详解 （3）正 （4）14 【分析】（1）通过统计表中的数据，发现用出水量除以时间的商是一定的，即水流的速度一定。根据水流速度×打开水龙头的时间＝出水量，分别求出时间为40秒、50秒时出水量，把表格补充完整。 （2）结合统计表中的数据，在图中描出打开水龙头的时间和出水量所对应的点，再顺次连接起来。 （3）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。 （4）根据水流速度×打开水龙头的时间＝出水量，代入数据计算即可解答。 【详解】（1）2÷10＝0.2（升/秒） 4÷20＝0.2（升/秒） 6÷30＝0.2（升/秒） 40秒时的出水量：0.2×40＝8（升） 50秒时的出水量：0.2×50＝10（升） 填表如下： 时间（秒） 10 20 30 40 50 … 出水量（升） 2 4 6 8 10 … （2）如下图： （3）＝＝＝＝＝0.2（一定） 比值一定，所以打开水龙头的时间和出水量成（正）比例。 （4）0.2×70＝14（升） 如果打开水龙头70秒，那么出水量是（14）L。 题型六、反比例的意义及辨识 【例题6】下面各种关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，长和宽 B．铺地面积一定，每块砖的边长和铺砖的块数 C．分数值一定，分母和分子 D．圆锥的体积一定，它的底面积和高 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．长方形的长＋宽＝周长÷2，当长方形的周长一定时，长与宽的和一定，长和宽不成反比例，不符合题意； B．每块砖的边长×边长×铺砖的块数＝铺地面积，当铺地面积一定时，每块砖的边长和铺砖的块数不成比例，不符合题意； C．分子÷分母＝分数值，当分数值一定时，分母和分子的商一定，分母和分子成正比例关系，不符合题意； D．圆锥的底面积×高＝圆锥的体积×3，所以当圆锥的体积一定时，底面积和高的积一定，所以圆锥的底面积和高成反比例关系，此选项正确； 【变式训练1】如果7x＝8y（x，y都不为0），则x与y成( )关系；如果＝，则x与y成( )关系。 【答案】 正比例 反比例 【分析】根据正比例和反比例的判断规则，两种相关联的量，若对应的比值一定，则成正比例关系；若对应的乘积一定，则成反比例关系。先对第一个等式7x＝8y进行变形，推导x与y的比值是否为定值；再利用比例的基本性质对第二个等式＝​进行变形，推导x与y的乘积是否为定值，据此判断两个量的比例关系。 【详解】7x＝8y（x，y都不为0）等式两边同时÷7y，得：​＝比值为固定值，因此x与y成正比例关系。 ＝​（x，y都不为0）根据比例的基本性质，交叉相乘得：xy＝8×3＝24 x与y的乘积为固定值24，因此x与y成反比例关系。 【变式训练2】下表中，如果a和b（a，b均不为0）成正比例，那么“？”处填( )；如果a和b成反比例，那么“？”处填( )。 a 12 24 b 4 ？ 【答案】 8 2 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定（也就是商一定），这两种量成正比例关系。如果a和b成正比例，则a∶b＝12∶4；把a＝24代入式子，求出b的值。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。如果a和b成反比例，则ab＝12×4；把a＝24代入式子，求出b的值。 【详解】如果a和b成正比例，则a∶b＝4∶12； 当a＝24时 24∶b＝12∶4 解：12b＝24×4 12b＝96 12b÷12＝96÷12 b＝8 如果a和b成反比例，则ab＝12×4； 当a＝24时 24×b＝12×4 解：24b＝48 24b÷24＝48÷24 b＝2 题型七、比例尺的意义及应用 【例题7】实验小学的运动场长108米，宽65米，明明想画在作业本上，比较合适的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要选择合适的比例尺，需要先把运动场的实际长和宽换算成厘米，再结合作业本的尺寸（图上尺寸应适中，便于在常见作业本上绘制），通过计算不同比例尺下的图上距离，判断是否能合理绘制在作业本上。 【详解】108米＝10800厘米 65米＝6500厘米 A．图上长＝10800÷200＝54厘米，图上宽＝6500÷200＝32.5厘米，超出作业本范围，不合适； B．图上长＝10800÷2000＝5.4厘米，图上宽＝6500÷2000＝3.25厘米，符合作业本的绘制空间，合适； C．图上长＝10800÷10000＝1.08厘米，图上宽＝6500÷10000＝0.65厘米，尺寸过小，不便绘制； D．图上长＝10800÷20000＝0.54厘米，图上宽＝6500÷20000＝0.325厘米，尺寸过小，无法清晰呈现。 比较合适的比例尺是1∶2000。 【变式训练1】一幅地图上的线段比例尺是，那么图上的1厘米表示实际距离( )千米；如果实际距离是360千米，那么图上距离是( )厘米；把这个线段比例尺改写成数值比例尺是( )。 【答案】 60 6 1∶6000000 【分析】①观察线段比例尺可直接得出图上1厘米表示的实际距离； ②图上距离＝实际距离÷图上1厘米表示的实际距离； ③比例尺＝图上距离∶实际距离。（1千米＝100000厘米） 【详解】观察线段比例尺可知图上的1厘米表示实际距离60千米； 360÷60＝6（厘米） 1厘米∶60千米 ＝1厘米∶6000000厘米 ＝1∶6000000 【变式训练2】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行55千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？ 【答案】11：20 【分析】先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两城之间的实际距离，注意求出的单位是厘米，需要换算成千米。再根据“时间＝路程÷速度”，求出货车行驶的时间。最后用出发时间加上行驶时间，求出货车到达乙地的时间。 【详解】甲、乙两城之间的实际距离：5.5÷ ＝5.5×4000000 ＝22000000（厘米） 22000000厘米＝220千米 货车行驶的时间：220÷55＝4（小时） 货车到达乙地的时刻：7时20分＋4小时＝11时20分 答：上午11：20到达乙地。 题型八、应用比例尺画图 【例题8】芳芳家在少年宫正北方向，距少年宫400米；晶晶家在少年宫正西方向，距少年宫500米。算一算，并在下图中画出她们两家和少年宫的位置平面图。（要求在图中标出线段比例尺） 【答案】见详解 【分析】先进行单位换算：1米＝100厘米，400米为400×100＝40000厘米，500米为500×100＝50000厘米。已知比例尺为1∶20000，1∶20000＝，芳芳家到少年宫图上距离为40000×＝2厘米。晶晶家到少年宫图上距离为50000×＝2.5厘米。 以少年宫为中心，正北方向画2厘米长线段标芳芳家；正西方向画2.5厘米长线段标晶晶家。线段比例尺：画1厘米线段，代表200米。 【详解】1米＝100厘米 400×100＝40000（厘米） 500×100＝50000（厘米） 1∶20000＝ 40000×＝2（厘米） 50000×＝2.5（厘米） 如图： 【变式训练1】少年宫在超市的正北方向，距超市300米；新华书店在超市正西方向，距超市400米；邮局在新华书店正东方向，距新华书店800米。在下面画出这三个地点和超市的位置平面图。（比例尺：） 【答案】见详解 【分析】先根据1米＝100厘米，把米化成厘米，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出图上距离，根据上北下南，左西右东，以超市为起点，向正北（上）方向画出少年宫距离超市的图上距离，并标上少年宫，以超市为起点，向超市的正西（左）方向画出新华书店距离超市的图上距离，并标上新华书店，以新华书店为起点，向正东（右）方向画出新华书店到邮局的图上距离，并标出邮局。据此画图。 【详解】300米＝30000厘米 30000×＝3（厘米） 400米＝40000厘米 40000×＝4（厘米） 800米＝80000厘米 80000×＝8（厘米） 如图： 【变式训练2】小明家正西方向300米是街心公园，街心公园正北方向200米是科技馆，科技馆正东方向500米是动物园。请用1∶10000的比例尺，画出上述地点的平面图。 【答案】见详解 【分析】根据题中给定的实际距离和比例尺，结合比例尺＝计算出各个地点在平面上的图上距离，并且根据方向确定它们的相对位置。 【详解】首先将实际距离换算成厘米，并根据比例尺计算出图上距离。 300米＝30000厘米 200米＝20000厘米 500米＝50000厘米 因为比例尺＝，所以图上距离＝比例尺×实际距离 实际距离30000厘米，代表图上距离：30000×＝3厘米 实际距离20000厘米，代表图上距离：20000×＝2厘米 实际距离50000厘米，代表图上距离：50000×＝5厘米 再确定各个地点在平面图上的相对位置。 小明家正西方向3厘米处是街心公园；街心公园正北方向2厘米处是科技馆；科技馆正东方向5厘米处是动物园。 如图所示： 题型九、图形的放大与缩小 【例题9】按要求画一画。 (1)将下图中的长方形按3∶1的比放大后画在方格纸上。 (2)将下图中的平行四边形按1∶2的比缩小后画在方格纸上。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）原长方形的长占2格，宽占1格。 放大后长：2×3＝6格； 放大后宽：1×3＝3格 在方格纸上画出长6格、宽3格的长方形（画法不唯一）。 （2）原平行四边形底占6格，高占4格。 缩小后底：6÷2＝3格 缩小后高：4÷2＝2格 在方格纸上画出底2格、高1格且形状与原平行四边形一致的平行四边形（画法不唯一）。 【详解】（1）见下图 放大后长：2×3＝6（格） 放大后宽：1×3＝3（格） （画法不唯一） （2）缩小后底：6÷2＝3（格） 缩小后高：4÷2＝2（格） （画法不唯一） 【变式训练1】在下面的方格纸上画出一个面积是12平方厘米的三角形，再把这个三角形按1∶2的比缩小，画出缩小后的三角形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【答案】见详解 【分析】（1）根据三角形面积＝底×高÷2，得底×高÷2＝12平方厘米，得出底×高＝12×2＝24平方厘米，因为24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，因此任选一组作为三角形的底和高的长度画出即可； （2）图形缩小的比例为1∶2，即缩小后的边长是原边长的。根据画出的三角形的底边和高长度，先计算出缩小后的三角形的底和高的长度，保持三角形的形状不变（对应角的度数不变）以缩小后的底边和高画出三角形。 【详解】画出底为6厘米，高为4厘米的三角形如下。 缩小后的底：6×＝3（厘米） 缩小后的高：4×＝2（厘米） 画出底为3厘米，高为2厘米的三角形如下。 （画法不唯一） 【变式训练2】把一个底是8cm，高是5cm的三角形按2∶1放大，得到的图形面积是( )。 【答案】80 【分析】先根据2∶1的放大比例，分别将原三角形的底和高乘2，得到放大后的底和高，再根据三角形的面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据即可解答。 【详解】放大后的底：8×2＝16（cm） 放大后的高：5×2＝10（cm） 三角形面积：16×10÷2 ＝160÷2 ＝80（cm2） 题型十、用比例解决问题 【例题10】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一时间、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？（用比例的方法解答） 【答案】3.6米 【分析】同一时间同一地点的物体高度与其影长成正比，即小明身高∶影子长＝大树的身高∶影子长度，根据比例的基本性质，两个内项的积＝两个外项的积解答。 【详解】解：设这棵大树高x米。 1.2∶1.5＝x∶4.5 1.5x＝1.2×4.5 1.5x＝5.4 x＝3.6 答：这棵大树高3.6米。 【变式训练1】工程队修一条水渠，每天工作8小时15天可以完成。如果工作效率不变，每天比原来多工作2小时，多少天可以完成任务？（用比例知识解答） 【答案】12天 【分析】设x天可以完成任务；工作总量不变，所以每天工作时间和天数成反比例，工作量＝每天工作时间×天数，原来每天工作8小时15天可以完成，总工作量＝8×15；每天比原来多工作2小时，则每天工作（8＋2）小时，x天完成任务，总工作量＝（8＋2）×x；据此列比例，解比例解答。 【详解】解：设x天可以完成任务。 8×15＝（8＋2）×x 120＝10x 10x＝120 x＝120÷10 x＝12 答：12天可以完成任务。 【变式训练2】一艘货轮，从A港开往B港，去时顺水行驶，平均每小时行48km，30小时到达。返回时因逆水行驶，平均每小时行45km，这样多少小时能返回A港？（用比例知识解答） 【答案】 32小时 【分析】本题考查反比例的应用。解题关键在于判断题目中哪个量是一定的。从A港到B港的路程是固定的，不会改变。根据数量关系式“速度×时间＝路程”，当路程一定时，速度和时间成反比例关系。这意味着去时的速度与时间的乘积等于返回时的速度与时间的乘积。据此设未知数，列出方程求解即可。 【详解】解：设这样小时能返回。 答：这样32小时能返回。 提升练习 1．下面（    ）中的两种量不成比例。 A．从北京到广州，列车行驶的平均速度和所需时间 B．一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数 C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度 D．购买数学书的总钱数和本数 【答案】B 【分析】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定，如果是比值（商）一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值（商）不一定，就不成比例。 【详解】A．从北京到广州的路程一定，列车行驶的平均速度×所需时间＝北京到广州的总路程（一定），所以从北京到广州，列车行驶的平均速度和所需时间成反比例； B．吃掉的个数＋剩下的个数＝这箱苹果的总个数（一定），所以一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数不成比例； C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子长度的比值一定，所以同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度成正比例； D．数学书的单价一定，购买数学书的总钱数÷本数＝数学书的单价（一定），所以购买数学书的总钱数和本数成正比例。 一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数不成比例。 2．下列各组中的两个比，能组成比例的是（    ）。 A．4∶5和2.5∶2 B．8∶5和2∶0.8 C．3∶5和5∶15 D．0.2∶0.4和2.5∶5 【答案】D 【分析】比例是表示两个比相等的式子，用比的前项除以比的后项求得比值，比值相等则可以组成比例。 【详解】A．4∶5＝，2.5∶2＝，≠，不能组成比例，不符题意； B．8∶5＝，2∶0.8＝，≠，不能组成比例，不符题意； C．3∶5＝，5∶15＝，≠，不能组成比例，不符题意； D．0.2∶0.4＝，2.5∶5＝，＝，可以组成比例，符合题意。 3．表示x和y成反比例关系的式子是（    ）。 A．y＝3x B．x＋y＝10 C．xy＝15 D．y＝x＋3 【答案】C 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且商（比值）一定，这两种量就成正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且乘积一定，这两种量就成反比例关系。据此分析各选项中x和y是否乘积一定。 【详解】A．y＝3x，可写成＝3，是商一定，属于正比例关系，选项错误。 B．x＋y＝10，变量和为定值，属于加法关系，非乘积关系，选项错误。 C．xy＝15，满足乘积一定，符合反比例关系定义，选项正确。 D．y＝x＋3，可写成y－x＝3，变量差为定值，属于减法关系，非乘积关系，选项错误。 4．平安小区的草坪长120米，宽80米，把它的平面图画在作业本上，选用比例尺（    ）比较合适。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将实际距离单位换算为厘米（1米＝100厘米），再根据各选项比例尺分别计算图上距离（图上距离＝实际距离×比例尺），结合实际，选择图上尺寸适合作业本的比例尺。 【详解】实际长：120×100＝12000（厘米），实际宽：80×100＝8000（厘米） A．12000×＝600（厘米）；8000×＝400（厘米），600厘米和400厘米过大，远超出作业本范围，不符合题意。 B．12000×＝60（厘米）；8000×＝40（厘米），60厘米和40厘米过大，超出作业本范围，不符合题意。 C．12000×＝6（厘米）；8000×＝4（厘米），6厘米和4厘米符合作业本绘图需求，符合题意。 D．12000×＝0.6（厘米）；8000×＝0.4（厘米），0.6厘米和0.4厘米过小，无法绘制，不符合题意。 5．袁隆平团队培育的第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例的是（    ）。 A．1500∶1＝3000∶2 B．4500∶3＝4∶6000 C．＝ D．1500∶6000＝4∶1 【答案】A 【分析】根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，据此逐项分析解答。 【详解】A．1500∶1＝3000∶2 外项之积：1500×2＝3000 内项之积：1×3000＝3000 3000＝3000，可以组成比例。 B．4500∶3＝4∶6000 外项之积：4500×6000＝27000000 内项之积：3×4＝12 27000000≠12，不可以组成比例。 C．＝ 外项之积：2×3＝6 内项之积：3000×4500＝13500000 6≠13500000，不可以组成比例。 D．1500∶6000＝4∶1 外项之积：1500×1＝1500 内项之积：6000×4＝24000 1500≠24000，不可以组成比例。 根据表中的数据可以组成比例的是1500∶1＝3000∶2。 6．一种钢笔的单价一定，总价和数量成( )比例；购买这种钢笔的总价一定，单价与数量成( )比例。 【答案】 正 反 【分析】两种相关联的量，若它们相对应的两个数的比值一定，则成正比例；两种相关联的量，若它们相对应的两个数的乘积一定，则成反比例。据此判断两种量的比值或乘积是否一定，从而确定比例关系。 【详解】（1）因为总价＝单价×数量，当单价一定时，总价与数量的比值（总价÷数量＝单价）是固定不变的，所以总价和数量成正比例。 （2）因为总价＝单价×数量，当总价一定时，单价与数量的乘积（单价×数量＝总价）是固定不变的，所以单价和数量成反比例。 7．如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 【答案】 32 2 【分析】根据比例的基本性质，内项积等于外项积，则x最大为8×12÷3；最小是3×8÷12。据此解答即可。 【详解】最大：8×12÷3 ＝96÷3 ＝32 最小：3×8÷12 ＝24÷12 ＝2 8．已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 【答案】 1.6 【分析】根据比例的基本性质，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。设另一个内项为x，根据内项积等于外项积，可列出方程求解。同时，需验证比值条件是否满足。 【详解】 设另一个内项为x，则： 验证：若内项为8和1.6，根据比值是则比例为 计算比值：4÷8＝0.5，1.6÷3.2＝0.5，比值均为，符合题意。 因此，另一个内项是1.6。 9．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )，明明在地图量得伊旗至东胜的距离是1.14厘米，那么伊旗至东胜的实际距离是( )。 【答案】 1∶3000000 34.2千米 【分析】（1）先根据线段比例尺得出图上1厘米代表的实际距离，再将单位换算成厘米，从而得到数值比例尺。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺计算即可。 【详解】（1）由图知，图上1厘米代表实际30千米。 30千米＝30×100000＝3000000厘米 所以这幅图的数值比例尺为1∶3000000。 （2）1.14÷ ＝1.14×3000000 ＝3420000（厘米） 3420000厘米＝3420000÷100000＝34.2（千米） 10．一面国旗的长是240厘米，宽是160厘米，按1∶40的比例尺画在图纸上，长应该画( )厘米，宽应该画( )厘米。 【答案】 6 4 【分析】已知比例尺为1∶40＝，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，国旗长是240厘米，则在图纸上的长是240×＝6厘米；国旗宽是160厘米，则在图纸上的宽是160×＝4厘米。 【详解】240×＝6（厘米） 160×＝4（厘米） 所以一面国旗的长是240厘米，宽是160厘米，按1∶40的比例尺画在图纸上，长应该画6厘米，宽应该画4厘米。 11．共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 【答案】(1) 每天生产数量 生产天数 反 (2) 256 【分析】根据自行车生产的天数随着每天生产数量的变化而变化可知它们两个是相关联的量；计算可得80×80＝100×64＝128×50＝160×40＝200×32，这两个量的乘积是一定的，所以是反比例关系；已知两个数的积和其中一个数，求另一个数用除法。 【详解】（1）表示两个相关联的量是每天生产数量和生产天数，这两个相关联的量成反比例关系 （2）80×80÷25 ＝6400÷25 ＝256（辆） 12．解比例。             7∶8＝56∶x         3.2∶0.6＝x∶4.5 【答案】；； 【分析】（1）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成，然后等式的两边同时除以即可； （2）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成7x＝56×8，然后等式的两边同时除以7即可； （3）根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，把原式改写成0.6x＝3.2×4.5，然后等式的两边同时除以0.6即可。 【详解】（1） 解： （2）7∶8＝56∶x 解：7x＝56×8 7x÷7＝448÷7 x＝64 （3）3.2∶0.6＝x∶4.5 解：0.6x＝3.2×4.5 0.6x＝14.4 0.6x÷0.6＝14.4÷0.6 13．以学校为观测点，根据下面的条件在图中标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校东偏北45°，500米处。 （2）体育场在学校西偏南30°，1000米处。 （3）少年宫在学校正南1500米处。 【答案】见详解 【分析】因为1米＝100厘米，把500米先化成厘米，再根据比例尺1∶50000，图上距离＝实际距离×比例尺，分别求出三个地点的图上距离，最后根据方向规则（上北下南，左西右东）及角度和距离，以学校为观测点，分别标出图书馆、体育场和少年宫的位置。 【详解】（1）500米＝50000厘米 图上距离：50000×＝1（厘米） 以学校为观测点，向东偏北45°方向画出1厘米线段，标出图书馆如下。 （2）1000米＝100000厘米 图上距离：100000×＝2（厘米） 以学校为观测点，向西偏南30°方向画出2厘米线段，标出体育场如下。 （3）1500米＝150000厘米 图上距离：150000×＝3（厘米） 以学校为观测点，向正南方向画出3厘米线段，标出少年宫如下。 14．在方格纸上按要求画图。 （1）按2∶1画出平行四边形变化后的图形。 （2）按1∶3画出三角形变化后的图形。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）因2∶1＝2÷1＝2，将平行四边形的底和高扩大到原平行四边形底和高的2倍即可； （2）1∶3＝1÷3＝，将三角形的底和高缩小为原来的。 【详解】（1）（2）2∶1＝2÷1＝2，3×2＝6，2×2＝4，画一个底为6格，高为4格的平行四边形；1∶3＝1÷3＝，9×＝3，5×＝，画一个底为3格，高为格的三角形，如图： 15．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车上午7：30从甲城出发送货到乙城，平均每小时行80千米，这辆货车什么时候到达乙城？ 【答案】10：15 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出甲、乙两成的实际距离；再根据时间＝路程÷速度，求出货车行驶的时间，进而求出到达乙城的时间，注意单位换算。 【详解】5.5÷ ＝5.5×4000000 ＝22000000（厘米） 22000000厘米＝220千米 220÷80＝2.75（小时） 2.75小时＝2小时＋0.75小时 0.75×60＝45（分钟） 2.75小时＝2小时45分钟 7：30＋2：45＝10：15 答：这辆货车10：15到达乙城。 16．一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要960块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？（用比例知识解答） 【答案】216块 【分析】房子地面的总面积是一定的，每块方砖的面积与所需方砖的块数成反比例关系。 先根据已知条件求出房子地面的总面积，再根据反比例关系（乘积一定）列出方程求解。 【详解】0.3×0.3×960 ＝0.09×960 ＝86.4（平方米） 解：设需要x块0.4平方米的方砖，由题意得： 0.4x＝86.4 x＝86.4÷0.4 x＝216 答：需要216块0.4平方米的方砖。 17．喀什市人民公园健康步道一圈全长2600米，小明从起点出发，4分钟走了260米，照这样的速度，走完一圈还需要多少分钟？（用比例知识列方程解答） 【答案】36分钟 【分析】根据题意，小明行走的速度保持不变，因此路程与时间成正比例关系。已知4分钟走了260米，用2600－260求出剩余路程。设走完剩余路程需要分钟，根据速度一定，路程与时间成正比例，列比例方程求解。 【详解】2600－260＝2340（米） 解：设走完一圈还需要分钟。 答：走完一圈还需要36分钟。 18．《考工记》是我国春秋战国时期的一部文献，记述了官营手工业各工种的规范和制造工艺。镈是当时的一种重要农具，制造镈所需锡和铜的比是1∶5，如果制造一件镈需要铜共4100克，那么需要锡多少克？（列方程解答） 【答案】820克 【分析】分析题目，设需要锡x克，根据制造镈所需锡和铜的比是1∶5列出方程x∶4100＝1∶5，再进一步解出方程即可。 【详解】解：设需要锡x克。 x∶4100＝1∶5 5x＝4100 x＝4100÷5 x＝820 答：需要锡820克。 19．我国自行研制的“运－20”飞机运载量大，性能优越。 (1)根据图象，图中的飞机飞行时间和航程成( )比例。（填“正”或“反”） (2)根据图象估一估，“运－20”飞机飞行7200千米用多少小时？ 【答案】(1)正 (2)约8小时 【分析】（1）判断两个量成正比例或反比例关系：若商（比值）一定，则是正比例；若积一定，则是反比例。飞行时间×飞行速度＝航程，据此判断即可。 （2）由图像可知，飞机飞行每1小时飞行900千米，即可求出飞行速度。根据飞行时间＝航程÷飞行速度，估算出飞机飞行7200千米的用时。或用比例的方法解答，设飞机飞行7200千米的用时约x小时，根据比例的性质（内项积＝外项积）解出x。 【详解】（1）因为航程÷飞行时间＝飞行速度，飞行速度不变，也就是飞机飞行时间和航程的比值一定，所以飞机飞行时间和航程成正比例。 （2）解：方法一：900÷1＝900（千米每小时） 7200÷900＝8（小时） 方法二：设飞机飞行7200千米的用时约x小时 900x＝7200×1 900x÷900＝7200÷900 x＝8 答：“运－20”飞机飞行7200千米约用8小时。 20．下图是比例尺为1∶5000的地图。晓峰以70米/分的速度从A地出发经B地前往公交站。若公交车还有4分钟到达，则晓峰能否赶上这趟公交车？将比例尺补充完整并回答问题。 【答案】见详解；能赶上 【分析】根据比例尺1∶5000，图上1厘米等于实际5000厘米，换算成米就是50米。 先测量出A地到B地的图上距离，B地到公交站的图上距离，再根据实际距离＝图上距离÷比例尺，分别求出A地到B地的实际距离、B地到公交站的实际距离，再把它们的实际距离相加，求出A地到公交站的实际距离；再根据路程＝速度×时间，用70×4求出晓峰4分钟走的路程，如果晓峰走的路程大于A地到公交站的实际距离，就能赶上，如果小于，就不能赶上。 【详解】图上1厘米对应的实际距离：5000÷100＝50（米） 如图： 测得A地到B地的图上距离是1厘米；B地到公交站的图上距离是4厘米。 A地到B地的实际距离： 1÷＝1×5000＝5000（厘米）＝50（米） B地到公交站的实际距离： 4÷＝4×5000＝20000（厘米）＝200（米） A地到公交站的总实际距离： 50＋200＝250（米） 晓峰4分钟走的路程： 70×4＝280（米） 280＞250 答：晓峰能赶上这趟公交车。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义04：比例 （考点梳理+例题讲解+提升练习） 考点梳理 考点一、比例的意义 1. 定义 表示两个比相等的式子叫做比例。例如，6:8和3:4的比值都是0.75，可组成比例 6:8=3:4。 2. 组成部分 比例由四个项组成，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。例如，在比例 中， 和 是外项， 和 是内项。 3. 与比的区别 (1)比：表示两个数相除的关系，只有两个项（前项和后项）； (2)比例：表示两个比相等的式子，有四个项（两个外项和两个内项）。 4. 判断方法 若两个比的比值相等，则这两个比能组成比例；反之则不能。 考点二、比例的基本性质 1. 性质内容 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 2. 字母表示 若 （或 ， ），则 。 3. 应用 (1)判断两个比能否组成比例（若外项积等于内项积，则能组成比例）； (2)解比例（求比例中的未知项）； (3)验证比例是否成立。 考点三、解比例 1. 定义 求比例中的未知项叫做解比例。 2. 依据 比例的基本性质（外项积=内项积）。 3. 步骤 (1)设未知项为 ，根据题意列出比例式； (2)根据比例基本性质，将比例式转化为方程（外项积=内项积）； (3)解方程求出未知项 ； (4)检验结果（代入原比例验证比值是否相等）。 4. 注意事项 书写格式规范，未知项通常写在比例的内项或外项位置，计算时注意单位统一。 考点四、正比例的意义及辨识 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的比值一定，则这两种量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2. 字母表示 若用 和 表示两种相关联的量， 表示比值（一定），则 （ 为常数， ）。 3. 条件 (1)两种量必须相关联（一种量变化，另一种量随之变化）； (2)变化方向相同（一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）； (3)比值（商）一定。 4. 辨识方法 判断两种量是否相关联，且相对应的两个数的比值是否恒定。 考点五、正比例图象的认识 1. 图象特点 成正比例关系的两种量的图象是一条经过原点的直线。 2. 意义 图象直观反映两种量的变化规律，从图象上可直接读取任意一组相对应的量的值。 3. 读取信息 在直线上找到一个量对应的点，过该点作坐标轴的垂线，垂足对应的数值即为另一个量的值。 考点六、反比例的意义及辨识 1. 定义 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2. 字母表示 若用 和 表示两种相关联的量， 表示乘积（一定），则 （ 为常数， ）。 3. 条件 (1)两种量必须相关联（一种量变化，另一种量随之变化）； (2)变化方向相反（一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）； (3)乘积一定。 4. 辨识方法 判断两种量是否相关联，且相对应的两个数的乘积是否恒定。 考点七、比例尺的意义及应用 1. 定义 图上距离与实际距离的比叫做比例尺，公式为：比例尺 = 图上距离 : 实际距离（或 ）。 2. 分类 (1)数值比例尺：用数字形式表示，如 （表示图上1厘米代表实际1000厘米）； (2)线段比例尺：用线段标注实际距离，如“”表示图上1厘米代表实际50千米； (3)缩小比例尺：比例尺的前项为1（如 ），用于缩小实际物体； (4)放大比例尺：比例尺的后项为1（如 ），用于放大微小物体。 3. 应用 (1)已知图上距离和比例尺，求实际距离：实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺； (2)已知实际距离和比例尺，求图上距离：图上距离 = 实际距离 × 比例尺。 4. 注意事项 计算时单位需统一（通常将实际距离单位转化为与图上距离相同的单位）。 考点八、应用比例尺画图 1. 步骤 (1)确定比例尺：根据实际物体大小和图纸尺寸选择合适的比例尺； (2)计算图上距离：根据实际距离和比例尺，用“图上距离 = 实际距离 × 比例尺”计算各部分长度； (3)画图：按计算出的图上距离画出物体的轮廓，并标注关键点的名称； (4)标注：在图的下方或右下角标注比例尺（如“比例尺 ”）。 2. 注意事项 单位统一，确保各部分比例协调，图形形状与原图一致。 考点九、图形的放大与缩小 1. 定义 保持图形的形状不变，只改变图形的大小（放大或缩小）。 2. 特点 (1)对应边的比相等（即放大或缩小的比一定）； (2)对应角的大小不变； (3)图形的周长比等于放大或缩小的比，面积比等于放大或缩小比的平方。 3. 方法 (1)确定放大或缩小的比（如 表示放大到原来的2倍， 表示缩小到原来的 ）； (2)按比例计算图形各边的新长度； (3)根据地物的新长度画出放大或缩小后的图形。 4. 区别 放大比例尺后项为1（如 ），缩小比例尺前项为1（如 ）。 考点十、用比例解决问题 1. 步骤 (1)判断比例关系：分析题目中两种相关联的量成正比例还是反比例； (2)设未知量：设所求量为 ； (3)列比例式：根据正比例（ ）或反比例（ ）关系列出比例式； (4)解比例：根据比例基本性质解方程求出 ； (5)检验作答：检验结果是否符合题意，写出答案。 2. 适用场景 已知两种量成比例关系，且已知其中三组对应量，求第四组未知量（如行程问题、工程问题、浓度问题等）。 3. 注意事项 正确判断比例类型（正比例比值一定，反比例乘积一定），单位统一，结果需带单位。 例题讲解 题型一、比例的意义 【例题1】下面能与∶组成比例的是（    ）。 A．0.4∶0.5 B．2∶5 C．∶ D．4∶10 【变式训练1】在2.5∶0.15＝6∶0.36中，比例的两个外项是( )和( )。 【变式训练2】用4、6、16、24这四个数组成比例。如果在这个比例中，两个比的比值都是。那么这个比例是( )。 题型二、比例的基本性质 【例题2】如图，平行四边形a边上的高是b，c边上的高是d。根据这些信息，下列式子中（    ）不成立。 A． B． C． D． 【变式训练1】在一个比例里，两个外项互为倒数，一个内项是17，另一个内项是( )。 【变式训练2】如果A的与B的相等，（与均不为0），那么＝( )∶( )。 题型三、解比例 【例题3】若x是比例1.2∶x＝2∶5解，那么，3x＋1.5＝( )。 【变式训练1】解比例。                       【变式训练2】解比例。 ＝                               ∶＝ 2∶1.5＝6∶x                        3∶x＝2∶（3.6＋2.6） 题型四、正比例的意义及辨识 【例题4】下面是关于哈尔滨2025年第九届亚冬会的信息，其中成正比例关系的是（    ）。 A．用相同的客车接送运动员，在每辆车恰好坐满的情况下，接送运动员的总人数与客车的数量。 B．亚冬会场馆个数与比赛项目个数。 C．速度滑冰100米项目，运动员的速度和时间。 D．参赛男运动员人数与参赛女运动员人数。 【变式训练1】一个三角形的底一定，它的高与面积成正比例关系。( ) 【变式训练2】如果＝（a、b均不为0），那么，a∶b的比值是( )，a与b成( )比例。 题型五、正比例图象的认识 【例题5】有两个相关联的量的关系可以用下图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．小明的身高和年龄 B．一个圆的半径和它的面积 C．铺设方砖的总面积一定，每块方砖的面积和所需方砖的块数 D．灌溉机每小时浇地的面积一定，所用的时间和浇地的总面积 【变式训练1】成正比例关系的图象是一条直线。( ) 【变式训练2】水是生命之源。新学期伊始，实验小学对同学们进行了节约用水教育。优优打开了一个水龙头，测试了它的出水量。 时间（秒） 10 20 30 40 50 … 出水量（升） 2 4 6 … （1）把上表填写完整。 （2）把上表中打开水龙头的时间和出水量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接起来。 （3）打开水龙头的时间和出水量成（    ）比例。 （4）如果打开水龙头70秒，那么出水量是（    ）升。 题型六、反比例的意义及辨识 【例题6】下面各种关系中，成反比例关系的是（    ）。 A．长方形的周长一定，长和宽 B．铺地面积一定，每块砖的边长和铺砖的块数 C．分数值一定，分母和分子 D．圆锥的体积一定，它的底面积和高 【变式训练1】如果7x＝8y（x，y都不为0），则x与y成( )关系；如果＝，则x与y成( )关系。 【变式训练2】下表中，如果a和b（a，b均不为0）成正比例，那么“？”处填( )；如果a和b成反比例，那么“？”处填( )。 a 12 24 b 4 ？ 题型七、比例尺的意义及应用 【例题7】实验小学的运动场长108米，宽65米，明明想画在作业本上，比较合适的比例尺是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练1】一幅地图上的线段比例尺是，那么图上的1厘米表示实际距离( )千米；如果实际距离是360千米，那么图上距离是( )厘米；把这个线段比例尺改写成数值比例尺是( )。 【变式训练2】在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车早上7：20从甲地出发送货到乙地，平均每小时行55千米，如果货车途中没有休息，什么时候到达乙地？ 题型八、应用比例尺画图 【例题8】芳芳家在少年宫正北方向，距少年宫400米；晶晶家在少年宫正西方向，距少年宫500米。算一算，并在下图中画出她们两家和少年宫的位置平面图。（要求在图中标出线段比例尺） 【变式训练1】少年宫在超市的正北方向，距超市300米；新华书店在超市正西方向，距超市400米；邮局在新华书店正东方向，距新华书店800米。在下面画出这三个地点和超市的位置平面图。（比例尺：） 【变式训练2】小明家正西方向300米是街心公园，街心公园正北方向200米是科技馆，科技馆正东方向500米是动物园。请用1∶10000的比例尺，画出上述地点的平面图。 题型九、图形的放大与缩小 【例题9】按要求画一画。 (1)将下图中的长方形按3∶1的比放大后画在方格纸上。 (2)将下图中的平行四边形按1∶2的比缩小后画在方格纸上。 【变式训练1】在下面的方格纸上画出一个面积是12平方厘米的三角形，再把这个三角形按1∶2的比缩小，画出缩小后的三角形。（每个小方格的边长表示1厘米） 【变式训练2】把一个底是8cm，高是5cm的三角形按2∶1放大，得到的图形面积是( )。 题型十、用比例解决问题 【例题10】树高测量：小明身高1.2米，在阳光下的影子长1.5米。同一时间、同一地点，一棵大树的影子长4.5米，这棵大树高多少米？（用比例的方法解答） 【变式训练1】工程队修一条水渠，每天工作8小时15天可以完成。如果工作效率不变，每天比原来多工作2小时，多少天可以完成任务？（用比例知识解答） 【变式训练2】一艘货轮，从A港开往B港，去时顺水行驶，平均每小时行48km，30小时到达。返回时因逆水行驶，平均每小时行45km，这样多少小时能返回A港？（用比例知识解答） 提升练习 1．下面（    ）中的两种量不成比例。 A．从北京到广州，列车行驶的平均速度和所需时间 B．一箱苹果，吃掉的个数和剩下的个数 C．同一时刻、同一地点物体的高度和影子的长度 D．购买数学书的总钱数和本数 2．下列各组中的两个比，能组成比例的是（    ）。 A．4∶5和2.5∶2 B．8∶5和2∶0.8 C．3∶5和5∶15 D．0.2∶0.4和2.5∶5 3．表示x和y成反比例关系的式子是（    ）。 A．y＝3x B．x＋y＝10 C．xy＝15 D．y＝x＋3 4．平安小区的草坪长120米，宽80米，把它的平面图画在作业本上，选用比例尺（    ）比较合适。 A． B． C． D． 5．袁隆平团队培育的第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例的是（    ）。 A．1500∶1＝3000∶2 B．4500∶3＝4∶6000 C．＝ D．1500∶6000＝4∶1 6．一种钢笔的单价一定，总价和数量成( )比例；购买这种钢笔的总价一定，单价与数量成( )比例。 7．如果用3，8，12和x可以组成比例，那么x最大是( )，最小是( )。 8．已知一个比例的两个外项分别是4和3.2，组成比例的两个比比值是，其中一个内项是8，另一个内项是( )。 9．一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )，明明在地图量得伊旗至东胜的距离是1.14厘米，那么伊旗至东胜的实际距离是( )。 10．一面国旗的长是240厘米，宽是160厘米，按1∶40的比例尺画在图纸上，长应该画( )厘米，宽应该画( )厘米。 11．共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 12．解比例。             7∶8＝56∶x         3.2∶0.6＝x∶4.5 13．以学校为观测点，根据下面的条件在图中标出各场所的位置。 （1）图书馆在学校东偏北45°，500米处。 （2）体育场在学校西偏南30°，1000米处。 （3）少年宫在学校正南1500米处。 14．在方格纸上按要求画图。 （1）按2∶1画出平行四边形变化后的图形。 （2）按1∶3画出三角形变化后的图形。 15．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两城之间的直线距离是5.5厘米。一辆货车上午7：30从甲城出发送货到乙城，平均每小时行80千米，这辆货车什么时候到达乙城？ 16．一间房子用方砖铺地，用边长为0.3米的方砖铺，需要960块。如果改用面积为0.4平方米的方砖铺，需用方砖多少块？（用比例知识解答） 17．喀什市人民公园健康步道一圈全长2600米，小明从起点出发，4分钟走了260米，照这样的速度，走完一圈还需要多少分钟？（用比例知识列方程解答） 18．《考工记》是我国春秋战国时期的一部文献，记述了官营手工业各工种的规范和制造工艺。镈是当时的一种重要农具，制造镈所需锡和铜的比是1∶5，如果制造一件镈需要铜共4100克，那么需要锡多少克？（列方程解答） 19．我国自行研制的“运－20”飞机运载量大，性能优越。 (1)根据图象，图中的飞机飞行时间和航程成( )比例。（填“正”或“反”） (2)根据图象估一估，“运－20”飞机飞行7200千米用多少小时？ 20．下图是比例尺为1∶5000的地图。晓峰以70米/分的速度从A地出发经B地前往公交站。若公交车还有4分钟到达，则晓峰能否赶上这趟公交车？将比例尺补充完整并回答问题。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $