第四单元 比例（期中复习讲义）基础版（导图+13个考点真题讲练+提优练 共60题）-2025-2026学年人教版数学六年级下册专项复习精讲练

2025-2026学年人教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 比例【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+13个考点讲练+真题提优练 共60题】 （解析版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 考点讲练八 反比例的应用 考点讲练二 比例的基本性质 考点讲练九 比例尺的意义 考点讲练三 解比例 考点讲练十 比例尺应用 考点讲练四 正比例的意义及辨识 考点讲练十一 应用比例尺画图 考点讲练五 正比例图象的认识 考点讲练十二 图形的放大与缩小 考点讲练六 正比例的应用 考点讲练十三 比例的应用 考点讲练七 反比例的意义及辨识 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邯郸·期中）我国一个人造地球卫星绕地球运行3周约需要5.7小时，另一个人造地球卫星绕地球运行20周约需要38小时。两个人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比( )组成比例（填“可以”或“不可以”），如果可以组成比例，写出这个比例是( )。 【答案】 可以 【思路引导】先分别求出两个人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比，如果比值相等就可以组成比例，如果不相等就不可以。 【规范解答】 3∶5.7＝20∶38 比值相等，所以两个人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比可以组成比例，如果可以组成比例，写出这个比例是3∶5.7＝20∶38。 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·广西贵港·期中）不能与15∶12组成比例的是（    ）。 A．0.5∶0.4 B． C． 【答案】B 【思路引导】依据比例的定义：两个比的比值相等，就能组成比例。15∶12＝＝。 【规范解答】A．0.5∶0.4＝＝＝，和15∶12比值相等； B．1∶＝1÷＝1×＝，和15∶12比值不相等； C．∶＝÷＝＝，和15∶12比值相等； 故答案为：B 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邢台·期中）第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路引导】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别计算每个选项中左右两个比的比值，比值相等的即可。 【规范解答】A．1500∶1 ＝1500÷1 ＝1500 3000∶2 ＝3000÷2 ＝1500 可以组成比例； B．4500∶3 ＝4500÷3 ＝1500 4∶6000 ＝4÷6000 ＝ 不可以组成比例； C．2∶3000 ＝2÷3000 ＝ 4500∶3 ＝4500÷3 ＝1500 不可以组成比例。 可以组成比例的是。 故答案为：A 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）用1、2、3、6组成一个比例是( )。在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是1，另一个内项是( )。 【答案】 1∶2＝3∶6 【思路引导】表示两个比相等的式子，叫做比例，据此即可填空。 互为倒数的两个数乘积为1，依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，先求出两外项的积，就等于知道了两内项之积，进而可以求出另一个内项；据此解答即可。 【规范解答】，，即用1、2、3、6组成一个比例是1∶2＝3∶6； 在一个比例里，两个外项互为倒数，则外项之积＝1＝内项之积，则其中一个内项是，则另一个内项是的倒数，则的倒数为，即另一个内项是。 【变式1】（难度：☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是( )；如果，那么( )∶( )。 【答案】 8 7 【思路引导】从两个内项互为倒数可知：两个内项的积为1。根据比例的基本性质：在比例中，两个内项的积等于两个外项的积，即两个外项的积也为1，用1÷1.5即可求出另一个外项； 根据b∶c＝（ ）∶（ ）可知：若b为外项，7b就是外项积，7就是另一个外项；8c则为内项积，8为另一个内项。那么b∶c＝8∶7，据此解答。 【规范解答】1÷1.5 ＝1÷ ＝1× ＝ 由分析得，在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是；如果7b＝8c，那么8∶7。 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邯郸·期中）在一个比例中，两个比的比值都是3，两个外项都是2，这个比例是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。两个外项积等于两个内项积，根据题意两个内项积＝2×2＝4，据此计算出题中内项积是2，且两个比的比值都是3的选项即可。 【规范解答】2×2＝4 A．6×＝3；不满足两个内项积是4的要求； B．2∶6＝＝，不满足比值是3的要求； C．2∶＝2÷＝2×3＝6，不满足比值是3的要求； D．，，×6＝4，符合要求。 在一个比例中，两个比的比值都是3，两个外项都是2，这个比例是。 故答案为：D 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）解方程。        【答案】；； 【思路引导】（1）等式的两边同时除以，即可求解； （2）等式的两边同时除以，即可求解； （3）利用比的定义，将比变为除法，再利用等式的性质，等式两边同时乘，即可求解。 【规范解答】（1） 解： （2） 解： （3） 解： 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）求未知的项。                    【答案】＝；＝20；＝ 【思路引导】（1）先根据比例的基本性质把比例方程改写成×＝×4，然后方程两边同时除以，求出方程的解。 （2）方程两边先同时加上80%×15，再同时除以3，求出方程的解； （3）根据比例的基本性质，把比例改写成3＝0.5×0.8的形式，再根据等式的性质，再同时除以3，算出方程的解。 【规范解答】（1）：＝ 解：×＝×4 ＝×4÷ ＝×4×2 ＝×2 ＝ （2）3－80%×15＝48 解：3＝48＋0.8×15 3＝48＋12 3＝60 ＝60÷3 ＝20 （3）＝ 解：3＝0.5×0.8 3＝0.4 ＝÷3 ＝× ＝ 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）解比例。      【答案】 ； 【思路引导】利用比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。 （1）根据比例的基本性质，列出，计算出乘法的积，再两边同时除以即可； （2）根据比例的基本性质，列出，将左边的算式用乘法分配律计算后，先计算出左右两边乘法的积，再两边同时减去3，最后两边同时除以即可。 【规范解答】 解： 解： 考点讲练四 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）2025年3月26日，某加油站92号汽油的价格为6.98元/升，下面图像（    ）能表示出王老师当天在这个加油站加油总价和数量之间的关系。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。已知汽油的价格为6.98元/升，即总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。据此解答。 【规范解答】已知汽油的价格为6.98元/升，可得总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系，其图像是经过原点的直线。 故答案为：B 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如果a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，a与b成( )比例关系。 【答案】 3 1 正 【思路引导】已知a＝3b（a、b均不为0），可以看作1a＝3b，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），把a和1看作外项，3和b看作内项，可得：a∶b＝3∶1。 比例的定义是：两种相关联的量，若比值一定，则成正比例关系。由a＝3b可得（比值为3，是定值），因此a与b成正比例关系。 【规范解答】a＝3b（a、b均不为0），可以看作1a＝3b，所以a∶b＝3∶1。 a＝3b，即（一定），所以a与b成正比例关系。 如果a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝3∶1，a与b成正比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）一辆小汽车在高速上行驶路程与耗油量如下表所示。 行驶路程/千米 20 40 60 80 100 耗油量/升 1.5 3 4.5 6 7.5 (1)这辆小汽车行驶路程与耗油量成( )比例关系。 (2)照这样计算，小汽车行驶240千米的耗油量是( )升，小汽车的油箱容积是45升加满油可以行驶( )千米。 【答案】(1)正 (2) 18 600 【思路引导】（1）根据“两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量成正比例关系；如果乘积一定，这两种量成反比例关系”。 （2）利用“计算耗油量÷行驶路程”计算出“单位路程的耗油量”，再用“路程×单位路程耗油量”即用240×0.075可计算出小汽车行驶240千米的耗油量；用“总油量÷单位路程耗油量”可得45升加满油可以行驶路程。 【规范解答】（1）1.5÷20＝0.075 3÷40＝0.075 4.5÷60＝0.075 …… 比值始终是0.075（一定），所以小汽车行驶路程与耗油量成正比例关系。 （2）1.5÷20＝0.075（升/千米） 240×0.075＝18（升） 45÷0.075＝600（千米） 考点讲练五 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 【答案】D 【思路引导】从图中可以看出，该图像是一条过原点的直线，说明两个相关联的量成正比例关系，即两个量的比值一定。据此分析各选项，进而得出答案。 【规范解答】A．根据“教室的面积＝每块砖的面积×方砖的块数”，当教室的面积一定时，每块砖的面积越大，所需方砖的块数越少，每块砖的面积和方砖的块数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； B．根据“这批衬衫的总数＝每天生产的数量×所需天数”，当衬衫总数一定时，每天生产的数量越多，所需天数越少，每天生产的数量和所需天数的乘积一定，二者不成正比例关系，不符合图像特征； C．根据“班级总人数＝已完成课堂练习的人数＋未完成课堂练习的人数”，已完成课堂练习人数和未完成课堂练习的人数是和的关系，不是比值一定或乘积一定的关系，二者不成比例，不符合图像特征； D．根据“总价＝单价×数量”，当某科普书的单价一定时，总价与数量的比值（单价）一定，购买的数量越多，所用总钱数越多，二者成正比例关系，符合图像特征。 故答案为：D 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 【答案】（1）见详解；（2）8.5；（3）正；2∶0.4＝6∶1.2 【思路引导】（1）由图可知，横轴表示树高，纵轴表示影长，据此根据表中数据依次描出各点，图象是一条从（0，0）出发的射线； （2）在图象上找出纵轴上1.7米所对应的横轴上的数据即可； （3）判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是乘积一定；如果是比值一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。 【规范解答】（1）如图所示： 图象特点：树高与对应影长的图象是一条从（0，0）出发的射线。 （2）由图可知，楼房影长1.7米对应的楼高为8.5米。 （3）2÷0.4＝3÷0.6＝6÷1.2＝…＝5，则树高÷影长＝5（一定），所以这里的树高和影长成正比例关系；2∶0.4＝6∶1.2。（答案不唯一） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 【答案】(1)正 (2) 270 120 (3)750 【思路引导】（1）甲车行驶的路程与时间的图象是一条经过原点的直线，是正比例图象，说明甲车行驶的路程与时间的比值一定，即甲车行驶的路程与时间成正比例。 （2）从图中找出甲车3小时行驶的路程，乙车2小时行驶的路程。 （3）由上一题的数据，根据“速度＝路程÷时间”，分别求出甲车、乙车的速度；再根据相遇问题中“路程＝速度和×相遇时间”，求出两地的距离。 【规范解答】（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成（正）比例。 （2）甲车行驶3小时，行驶的路程是（270）千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是（120）千米。 （3）甲车的速度：270÷3＝90（千米/时） 乙车的速度：120÷2＝60（千米/时） （90＋60）×5 ＝150×5 ＝750（千米） 如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距（750）千米。 考点讲练六 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①    ②30：      ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【思路引导】把全程看作单位“1”，根据李医生的速度一定，他跑的总路程与跑的时间成正比例，列式即可。 【规范解答】如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟。 30∶x＝∶1或1∶x＝∶30 正确的关系式是②③。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： （1）甲车行驶的路程与时间成______比例关系。 （2）乙车1.5小时行驶______千米。 （3）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇，A、B两地相距多少千米？ 【答案】（1）正 （2）75 （3）1050千米 【思路引导】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。从图像中可以看出，甲车行驶的路程与时间的图像是一条过原点的直线，说明甲车的速度是一定的，即路程与时间的比值（速度）一定，所以甲车行驶的路程与时间成正比例关系。 （2）从图像中可知，乙车5小时行驶250千米，根据速度＝路程÷时间，可得乙车的速度为：250÷5＝50（千米/小时）。那么乙车1.5小时行驶的路程为：50×1.5＝75（千米）。 （3）从图像中可知，甲车2小时行驶250千米，所以甲车速度为250÷2＝125（千米/小时）。由（2）已求出乙车速度为50千米/小时。那么甲车与乙车的速度和为：（125＋50），甲、乙两车经过6小时相遇，根据相遇问题公式“路程和＝速度和×相遇时间”，用（125＋50）乘6计算即可得出A、B两地的距离。 【规范解答】（1）甲车行驶的路程与时间的图像是一条过原点的直线，说明甲车的速度是一定的，即路程与时间的比值（速度）一定，所以甲车行驶的路程与时间成正比例关系。 （2）250÷5＝50（千米/小时） 50×1.5＝75（千米） 乙车1.5小时行驶75千米。 （3）250÷2＝125（千米/小时） （125＋50）×6 ＝175×6 ＝1050（千米） 答：A、B两地相距1050千米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 【答案】 （1）3∶2，3∶2，3∶2，3∶2，3∶2 （2）4.5∶3=7.5∶5；15∶10=30∶20（答案不唯一） （3）90千米 【思路引导】（1）根据比的意义，即可写出各列中行驶路程和行驶时间的比，不是最简整数比的要根据比的基本性质（比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变）化成最简整数比，然后填表； （2）表示两个比相等的式子叫比例，由（1）可知每列中行驶路程和行驶时间的比相同，即行驶路程和行驶时间成正比例，据此可写出其中两组比例（答案不唯一）； （3）设小汽车60分钟行驶千米，据此列出比例∶60＝3∶2，再根据比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）解比例即可。 【规范解答】（1）4.5∶3 ＝（4.5÷1.5）∶（3÷1.5） ＝3∶2 7.5∶5 ＝（7.5÷2.5）∶（5÷2.5） ＝3∶2 15∶10 ＝（15÷5）∶（10÷5） ＝3∶2 30∶20 ＝（30÷10）∶（20÷10） ＝3∶2 填表如下： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 3∶2 （2）由（1）可写出两个比例： 4.5∶3＝7.5∶5；15∶10＝30∶20（答案不唯一） （3）解：设小汽车60分钟行驶千米。 ∶60＝3∶2 ＝60×3 ＝180 ＝180÷2 ＝90 答：行驶60分钟，小汽车行驶90千米。 考点讲练七 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）下面各题中的两个量不成反比例的是（    ）。 A．面粉的总质量一定，每袋面粉的质量与袋数； B．做题的总数一定，做对的题数与做错的题数； C．a＝bx（a、b、x都不为0），当a一定时，b和x； D．打一份稿件，打字的速度和所用的时间； 【答案】B 【思路引导】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此判断。 【规范解答】A．每袋面粉质量×袋数＝总质量，面粉的总质量一定，每袋面粉的质量与袋数成反比例关系 B．做对的题数＋做错的题数＝总题数，和的关系，做题的总数一定，做对的题数与做错的题数不成比例关系； C． a＝bx（a、b、x都不为0），当a一定时，b和x的乘积一定，所以当a一定时，b和x成反比例； D．速度×时间＝稿件总量（一定），成反比例。 所以两个量不成反比例的是做题的总数一定，做对的题数与做错的题数。 故答案为：B 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）加工一批零件的时间一定，每个零件所需的时间和零件的个数成正比例。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】判断两个相关联的量是否成正比例，要看它们相对应的两个数的比值是否一定。由题意可知，每个零件所需的时间×零件的个数＝总时间（一定），它们的乘积一定，是成反比例，而非正比例。 【规范解答】每个零件所需的时间和零件的个数是两个相关联的量，每个零件所需的时间×零件的个数＝总时间（一定），也就是这两个量的乘积一定，说明这两个量成反比例关系。所以题干说成正比例是错误的。 故答案为：× 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南信阳·期中）红红的妈妈用微信扫码租了一辆共享单车。红红数了数，这辆共享单车的前齿轮齿数是28个，后齿轮齿数是16个，经测量，车轮直径为66厘米。红红知道妈妈的公司与家的距离大约是1500米，红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬多少圈呢？（结果保留整数） 【答案】 414圈 【思路引导】已知车轮直径为66厘米，先统一单位，66厘米＝0.66米，根据圆的周长公式C＝πd计算出车轮的周长；因为在同一链条传动下，前齿轮转过的总齿数和后齿轮转过的总齿数是相等的，前齿轮齿数×蹬的圈数＝后齿轮齿数×车轮转动的圈数，用前齿轮齿数乘1除以后齿轮齿数，即可计算出蹬一圈车轮转动的圈数；然后用车轮的周长乘车轮转动的圈数计算出蹬一圈前进的距离；已知家到公司的距离大约是1500米，最后用家到公司的距离除以蹬一圈前进的距离，即可得到需要蹬的圈数。 【规范解答】66厘米＝0.66米 3.14×0.66＝2.0724（米） 28×1÷16 ＝28÷16 ＝1.75（圈） 2.0724×1.75＝3.6267（米） 1500÷3.6267≈414（圈） 答：红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬414圈。 考点讲练八 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 【答案】(1)30 (2)34 【思路引导】（1）先求出两轮的齿数比，再根据齿数比与圈数比相反，求出后齿轮转的圈数。 （2）由（1）可知前齿轮与后齿轮的圈数比，由此先求出1小时车轮转动的圈数，再根据圆的周长＝πd，求出车轮转一圈行驶的距离，再与车轮转动的圈数相乘，即可求出骑行1小时行驶的距离。注意单位名数的转换和结果保留整数。 【规范解答】（1）前、后齿轮的齿数比为：48∶16＝3∶1 那么，前、后齿轮的圈数比为：1∶3 10×3＝30（圈） 如果前齿轮转10圈，则后齿轮转30圈。 （2）1小时＝60分 90×3×60＝16200（圈） 3×70＝210（cm） 16200×210＝3402000（cm）＝34.02（km）≈34（km） 因此，爸爸骑行1小时能行驶34km。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）有三个相关联的量，并有。当P一定时，O与Q成( )比例关系；当O一定时，P与Q成( )比例关系。 【答案】 正 反 【思路引导】已知O＝PQ，当P一定时，（P为定值）。根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。所以当P一定时，O与Q成正比例关系。 已知O＝PQ，当O一定时。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。所以当O一定时，P与Q成反比例关系。 【规范解答】O＝PQ 当P一定时 （P为定值） 当O一定时 O＝P×Q 所以。当P一定时，O与Q成正比例关系；当O一定时，P与Q成反比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·河南周口·期中）修一条公路，计划每天修105m，450天完成；如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？解：设实际每天要修米，下面列式正确的是（    ）。 A．105×450＝×（450－30） B．105×450＝×30 C．105×30＝450× 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，这条公路的全长一定，即每天修路的长度×修的天数＝这条公路的全长（一定），乘积一定，则每天修路的长度与修的天数成反比例关系，据此列出反比例方程。 【规范解答】解：设实际每天要修米。 105×450＝×（450－30） 47250＝420 ＝47250÷420 ＝112.5 实际每天要修112.5米。 列式正确的是105×450＝×（450－30）。 故答案为：A 【变式3】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）学校食堂买来一批面粉，计划每天用50千克，可以用27天。实际每天用54千克，实际可以用多少天？（用比例的知识解答） 【答案】25天 【思路引导】这批面粉的总量一定，因为每天用面粉数量×用的天数＝面粉总量，乘积一定    ，所以每天用面粉量与用的天数成反比例，据此列出方程解答即可。 【规范解答】解：设实际可以用x天。 54x＝50×27 54x＝1350 54x÷54＝1350÷54 x＝25 答：实际可以用25天。 考点讲练九 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东中山·期中）一幅地图的比例尺为，把这个线段比例尺改写成数值比例尺为( )。 【答案】1∶4000000 【思路引导】 线段比例尺表示图上1厘米代表实际距离40千米。因为1千米＝100000厘米，所以40千米转化为厘米是：40×100000＝4000000厘米。比例尺是图上距离与实际距离的比，所以数值比例尺为1∶4000000。 【规范解答】 表示图上1厘米代表实际距离40千米。 1千米＝100000厘米 40×100000＝4000000（厘米） 图上距离∶实际距离＝1∶4000000 改写成数值比例尺为1∶4000000。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大约是50km，在一幅地图上量得这两地之间的距离是2cm，这幅地图的比例尺是______。 【答案】1∶2500000 【思路引导】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据，即可解答，注意单位单位的统一。 【规范解答】50km＝5000000cm 2∶5000000 ＝（2÷2）∶（5000000÷2） ＝1∶2500000 从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大约是50km，在一幅地图上量得这两地之间的距离是2cm，这幅地图的比例尺是1∶2500000。 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）郑州园博园规划为“一园三区”，包括园博园（园博园A区）、双鹤湖中央公园（园博园B区）、苑陵故城遗址公园（园博园C区），总面积6180亩，大约相当于13.6个人民公园。 （1）苑陵故城遗址公园（园博园C区）到双鹤湖中央公园（园博园B区）的距离约是11千米，在一幅地图上量得这两个园区的距离是2.2厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）这三个园区的位置大致如下：园博园（园博园A区）在苑陵故城遗址公园（园博园C区）的南偏东45°方向约3千米处；双鹤湖中央公园（园博园B区）在园博园（园博园A区）的南偏西15°方向约9千米处。根据以上信息，在空白处分别画出这三个园区的大致位置。 【答案】（1）1∶500000 （2）图见详解 【思路引导】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可； （2）园博园A区在园博园C区的南偏东45°方向约3千米处，根据位置的相对性，则园博园C区在园博园A区的北偏西45°方向约3千米处。 先以园博园A区为观测中心，找到北偏西45°方向，再根据图中所示的比例尺换算3千米为图上距离多少厘米，标出园博园C区的位置； 园博园B区在园博园A区的南偏西15°方向约9千米处,再以园博园A区为观测中心，找到南偏西15°方向，再根据图中所示的比例尺换算9千米为图上距离多少厘米，标出园博园B区的位置即可。 【规范解答】（1）11千米＝11000米＝1100000厘米 2.2∶1100000 ＝（2.2÷2.2）∶（1100000÷2.2） ＝1∶500000 所以这幅地图的比例尺是1∶500000。 （2）3÷3＝1（厘米） 9÷3＝3（厘米） 这三个园区的大致位置如下图所示： 考点讲练十 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山西长治·期中）在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得南京到北京的距离是18厘米，一辆汽车每小时行驶75千米，这辆汽车从南京到北京需要多少小时？ 【答案】12小时 【思路引导】地图比例尺为1∶5000000＝，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，图上南京到北京的距离是18厘米。那么18厘米对应的实际距离为：厘米，1千米＝100000厘米，所以90000000厘米为90000000÷100000＝900（千米）。一辆汽车每小时行驶75千米，根据“时间＝路程÷速度”，用900除以75即可。 【规范解答】1∶5000000＝ （厘米） 1千米＝100000厘米 90000000÷100000＝900（千米） 900÷75＝12（小时） 答：这辆汽车从南京到北京需要12小时。 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西抚州·期中）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 【答案】 2小时 【思路引导】由比例尺1∶4000000可知，图上距离1厘米表示实际距离4000000厘米，即40千米；已知A、B两地图上距离是2.5厘米，则实际距离为40×2.5＝100千米；又已知汽车每小时行驶50千米，根据“时间＝路程÷速度”即可计算出所需时间。 【规范解答】4000000厘米＝40千米 40×2.5＝100（千米） 100÷50＝2（小时） 答：需要2小时到达。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃天水·期中）某网红饭店因短视频爆火（播放量超10亿），现需扩建店面，设计师将新店平面图按1∶200的比例尺绘制，图纸上用餐区为长方形，长12厘米，宽8厘米，实际用餐区的面积是多少平方米？ 【答案】 384平方米 【思路引导】根据比例尺1∶200，先分别计算实际的长和宽，再求面积。图上1厘米代表实际200厘米，将图上长和宽分别乘以200得到实际长度，再转换为米，最后相乘得到实际面积。 【规范解答】（厘米）＝24（米） （厘米）＝16（米） （平方米） 答：实际用餐区的面积是384平方米。 考点讲练十一 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：一辆汽车从A城开往B城。 （1）从A城到B城的实际路程是______千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶90千米，______小时能从A城到达B城。 （3）C城在D城的南偏东60°方向，到D城的实际距离约60千米，请你在图中标出C城的位置。 【答案】（1）180； （2）2； （3）见详解 【思路引导】（1）先测量出A城到D城和D城到B城的图上距离，再求出A城到B城的图上距离，然后根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出从A城到B城的实际路程，最后把单位转化为“千米”； （2）从A城到B城的实际路程是180千米，汽车平均每小时行驶90千米，根据“时间＝路程÷速度”求出这辆汽车从A城到达B城需要的时间； （3）由数值比例尺可知，图上1厘米表示实际距离2000000厘米，2000000厘米＝20千米，据此把数值比例尺转化为线段比例尺，以D城为观测点，在D城正南偏东60°方向上截取60÷20＝3厘米，标出角度，终点处标注C城，据此解答。 【规范解答】（1）测量可知，A城到D城的图上距离是5厘米，D城到B城的图上距离是4厘米。 5＋4＝9（厘米） 9÷ ＝9×2000000 ＝18000000（厘米） 18000000厘米＝180千米 所以，从A城到B城的实际路程是180千米。 （2）180÷90＝2（小时） 所以，如果汽车平均每小时行驶90千米，2小时能从A城到达B城。 （3）作图如下： 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南商丘·期中）如图是商场附近的部分平面图。 （1）地铁站位于商场北偏西45°方向，距离商场250米，请你在图中画出地铁站的位置。 （2）量得商场与图书馆的图上距离为（    ）厘米，则商场与图书馆的实际距离为（    ）千米，若宇浩每分走50米，则他从图书馆沿图上路线走到商场大约需要（    ）分。 【答案】（1）见详解 （2）2；0.5；10 【思路引导】（1）已知比例尺1∶25000，表示图上1厘米代表实际距离25000厘米，1米＝100厘米，25000厘米为25000÷100＝250（米），实际距离250米，因为1厘米代表实际250米，所以图上距离为250÷250＝1（厘米）。以商场为观测点，地铁站在北偏西45°方向1厘米处； （2）用直尺测量商场与图书馆的图上距离得2厘米，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，比例尺1∶25000＝，图上距离2厘米，则实际距离为2÷＝2×25000＝50000厘米。因为1千米＝100000厘米，1米＝100厘米，所以50000厘米为50000÷100000＝0.5（千米），为50000÷100＝500（米）。根据行程公式“时间＝路程÷速度”，路程为实际距离500米，宇浩每分走50米，把数据代入计算即可。 【规范解答】根据分析： （1）如图： （2）1∶25000＝ 2÷ ＝2×25000 ＝50000（厘米） 50000÷100000＝0.5（千米） 则50000厘米＝0.5千米 50000÷100＝500（米） 则50000厘米＝500米 500÷50＝10（分） 量得商场与图书馆的图上距离为2厘米，则商场与图书馆的实际距离为0.5千米，若宇浩每分走50米，则他从图书馆沿图上路线走到商场大约需要10分。 【变式2】（难度：☆☆☆））量一量，填一填，画一画。    （1）苹苹的新家到学校的实际距离是10千米，量出两地的图上距离为2厘米。这幅图的比例尺是（    ）。 （2）超市位于学校正西方向10千米处；文化宫位于超市正北方向15千米处；公园位于文化宫正东方向5千米处。请根据比例尺，在图中画出以上位置的平面图。 【答案】（1）1∶500000； （2）见详解 【思路引导】（1）根据比例尺的意义可知，比例尺＝图上距离÷实际距离，统一单位后，把数据代入即可求出这幅图的比例尺。 （2）根据图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据分别求出超市与学校、文化宫与超市、公园与文化宫之间的图上距离，再根据地图上的方向“上北下南，左西右东”，分别以学校、超市、文化宫为观测点，根据方向、距离确定超市、文化宫、公园的位置，并在图中画出以上位置。 【规范解答】（1）2厘米∶10千米 ＝2厘米∶1000000厘米 ＝2∶1000000 ＝1∶500000 即这幅图的比例尺是1∶500000。 （2）10千米＝1000000厘米 15千米＝1500000厘米 5千米＝500000厘米 1000000×＝2（厘米） 1500000×＝3（厘米） 500000×＝1（厘米） 如图：    【考点剖析】此题主要考查比例尺的意义、图上距离和实际距离之间的换算以及根据方向、距离确定物体的位置。 考点讲练十二 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）按要求完成下列各题。 （1）图中点用数对表示为（4，8），则点可表示为__________。 （2）请面出将三角形向右平移5格后的图形。 （3）将三角形绕点逆时针旋转90°得到三角形，画出旋转后的图形。 （4）画出三角形按缩小后的图形。如果图中小正方形的边长是1厘米，那么缩小后的三角形面积是__________平方厘米。 【答案】（1）（6，6） （2）~（3）见详解 （4）画图见详解；1 【思路引导】（1）数对的表示方法是（列数，行数）。观察图形，点C在第6列，第6行。 （2）平移的特征是图形上所有点都按照相同方向和距离移动。将三角形ABC的三个顶点A、B、C分别向右平移5格，得到对应点，再依次连接这三个点，即可画出向右平移5格后的图形。 （3）根据旋转的特征，这个图形绕点B逆时针旋转90°后，点B位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形，并标记即可。 （4）按1∶2缩小，即各边长度变为原来的。图中小正方形的边长是1厘米，原三角形底是4厘米（BC长度，占4个小格），高是2厘米（A到BC的垂直距离，占2个小格）。缩小后底为4×＝2厘米，高为2×＝1厘米，据此画出缩小后的三角形。 根据三角形面积公式S＝ah÷2（a是底，h是高），缩小后三角形底2厘米，高1厘米，把数据代入公式计算即可得出缩小后三角形的面积。 【规范解答】（1）点C在第6列，第6行。 点可表示为（6，6）。 （2）（3）：见下图 （4）画图如下 4×＝2（厘米） 2×＝1（厘米） 2×1÷2 ＝2÷2 ＝1（平方厘米） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）按要求画一画。 （1）将下面的三角形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶4。 （2）将下面的平行四边形放大，使放大后的图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 【答案】见详解 【思路引导】（1）先找到原三角形的两条直角边，数出它们在方格中的格数，再按照1∶4的比例，把每条边的格数除以4，得到缩小后直角边的格数，最后按新的格数画出直角边并连接斜边即可。 （2）先确定原平行四边形的底和高的格数，再按照2∶1的比例，把底和高的格数分别乘2，得到放大后底和高的格数，最后保持平行四边形的形状不变，按新的格数画出图形。 【规范解答】画图如下： 【变式2】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·陕西安康·期中）按要求画一画，填一填。 （1）如图：三角形①的顶点A的位置是（5，7），那么顶点C的位置是（   ，   ）。 （2）画出三角形①向右平移7格后的图形②。 （3）画出三角形①按1∶2缩小后得到的图形③。 【答案】（1）（5，3） （2）（3）见详解 【思路引导】（1）数对的表示方法：（列数，行数），数对的第一个数表示列，第二个数表示行，找出顶点C在方格中对应的列数和行数，再用数对表示出来。 （2）根据平移的特征，把三角形①的各顶点分别向右平移7格，依次连接各顶点，即可得到平移后的图形②。 （3）把三角形①按照1∶2缩小，就是将三角形①的底和高缩小到原来的，缩小后图形③与原图形对应边长的比是1∶2，形状没有发生变化。 【规范解答】（1）如图：三角形①的顶点A的位置是（5，7），那么顶点C的位置是（5，3）。 （2）（3）如图： 考点讲练十三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·河北保定·期中）消毒液具有消毒杀菌的作用，下表是不同用途时消毒液和水的含量比。 用途 餐具消毒 室内消毒 医院消毒 消毒液与水的含量之比 1∶200 1∶100 1∶50 医院进行大面积消毒，医护人员准备了8千克的水，应倒入多少消毒液？（用比例知识解答） 【答案】0.16千克 【思路引导】由表格知：医院消毒时消毒液与水的含量之比是1∶50，设应倒入x千克消毒液，根据消毒液x千克与8千克的水的比是1∶50，列比例并根据比例的基本性质求解即可。 【规范解答】解：设应倒入x千克消毒液。 x∶8＝1∶50 50x＝8 50x÷50＝8÷50 x＝0.16 答：应倒入0.16千克消毒液。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广西贵港·期中）一根5米长的竹竿，某一时刻测得它在阳光下的影子长度为3.5米，同一时刻测得旁边的旗杆影子长为10.5米，这根旗杆高多少米？ 【答案】15米 【思路引导】同一时刻阳光照射角度相同，因此竹竿高度与竹竿影长的比，和旗杆高度与旗杆影长的比相等，即高度与影长成正比例关系，即竹竿高度∶竹竿影长＝旗杆高度∶旗杆影长。设旗杆高x米，已知竹竿高5米、影长3.5米，旗杆影长10.5米，代入比例关系可得：5∶3.5＝x∶10.5，然后根据比例的基本性质解比例即可。 【规范解答】解：设这根旗杆高x米。 5∶3.5＝x∶10.5 3.5x＝10.5×5 3.5x＝52.5 x＝52.5÷3.5 x＝15 答：这根旗杆高15米。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北张家口·期中）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚硬的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）一个这样的塑料零件体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）16厘米 （2）7159.2立方厘米 【思路引导】（1）设这个零件底面的内圆直径是x厘米，根据内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11列比例解答； （2）用底面直径是22厘米的圆柱的体积减去空心圆柱的体积就是塑料零件的体积，根据公式：外圆柱的体积与空心圆柱的体积差为：π×（R2－r2）h解答即可。 【规范解答】（1）解：设这个零件底面的内圆直径是x厘米。 x∶22＝8∶11 11x＝8×22 11x＝176 x＝176÷11 x＝16 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （2）22÷2＝11（厘米） 16÷2＝8（厘米） 3.14×（112－82）×40 ＝3.14×（121－64）×40 ＝3.14×57×40 ＝178.98×40 ＝7159.2（立方厘米） 答：一个这样的塑料零件体积是7159.2立方厘米。 1．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列成正比例关系的有（    ）个。 （1）圆的周长和直径。        （2）差一定，被减数和减数。 （3）圆柱体的侧面积一定，底面周长和高。    （4）一幅地图上的图上距离和实际距离。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例。据此解答即可。 【规范解答】（1）根据圆的周长计算公式“圆的周长＝直径×π”可知，，比值一定，圆的周长和直径成正比例关系。 （2）被减数－减数＝差，差一定，所以被减数和减数不成正比例关系。 （3）圆柱的侧面积＝底面周长×高，侧面积一定，就是底面周长和高的乘积一定，不是比值一定，所以圆柱的底面周长和高不成正比例关系，而是成反比例关系。 （4），同一幅地图的比例尺是不变的，即一幅地图上的图上距离和实际距离的比值一定，所以图上距离和实际距离是成正比例关系的。 成正比例关系的有（1）和（4），所以有2个。 2．（24-25六年级下·广西百色·期中）能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】表示两个比相等的式子叫比例，分别计算出题干和各选项比的比值，找到与题干比值相等的选项即可。 【规范解答】 A．＝4÷5＝； B．＝5÷4＝； C．； D．。 能与组成比例的比是。 3．（24-25六年级下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ）。 ①一个圆柱有无数条高，一个圆锥只有一条高。 ②在带箭头的直线上表示﹣3的点与表示﹢1的点的距离为2个单位长度。 ③运用V＝Sh，可以计算长方体、正方体和圆柱的体积。 ④正方形的边长按1∶2缩小，它的周长和面积也按1∶2缩小。 A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】B 【思路引导】逐项分析各选项关于圆柱与圆锥的认识、负数在数轴上的表示、立体图形体积公式的通用性以及图形的放大与缩小规律。 【规范解答】①圆柱两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高；圆锥的顶点到底面圆心之间的距离叫做高，圆锥只有一条高。此选项正确； ②在数轴上，表示﹣3的点在原点左侧3个单位长度处，表示﹢1的点在原点右侧1个单位长度处，两点之间的距离为3＋1＝4个单位长度，不是2个单位长度。此选项错误； ③长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长＝底面积×高，圆柱体积＝底面积×高，三者均可用公式V＝Sh计算。此选项正确； ④正方形边长按1∶2 缩小，即缩小为原来的二分之一。周长比等于边长比，为1∶2；面积比等于边长比的平方，为1²∶2²＝1∶4。题干中说面积也按1∶2缩小，不符合规律。此选项错误。 综上所述，说法正确的是①和③。 4．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在2、3、这三个数中插入第四个数x，使得这四个数能组成比例，那么x最小是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，要使插入的第四个数x最小，即要使两内项之积或两外项之积最小，据此解答即可。 【规范解答】 所以x最小是。 5．（24-25六年级下·山东济宁·期中）甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（    ）。 A． B．6∶5 C．5∶6 【答案】C 【思路引导】根据求一个数的几分之几是多少，用这个数×几分之几，再根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积。 【规范解答】甲数×＝乙数× 甲数∶乙数＝∶ ＝（×15）∶（×15） ＝10∶12 ＝（10÷2）∶（12÷2） ＝5∶6 甲数与乙数的比是5∶6。 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是3厘米，甲地到乙地的实际距离为( )千米。上海到北京的实际距离是1400千米，在这幅地图上两地的图上距离是( )厘米。 【答案】 150 28 【思路引导】比例尺＝图上距离∶实际距离，据此进行解答，再根据1千米＝100000厘米，进行单位换算。 【规范解答】3÷ ＝3×5000000 ＝15000000（厘米） 甲地到乙地的实际距离：15000000厘米＝150千米 1400千米＝140000000厘米 两地的图上距离：140000000×＝28（厘米） 7．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）笑笑一家计划乘“复兴号”高铁出发去成都，已知两地的实际距离约是348km，在一幅地图上量得这两地间的距离是34.8cm，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1：1000000/ 【思路引导】首先，把实际距离化为统一单位，然后计算比例尺：比例尺＝地图距离：实际距离，然后得出答案。 【规范解答】348km＝34800000cm 图上距离∶实际距离 ＝34.8cm：34800000cm ＝（34.8÷34.8）∶（34800000÷34.8） ＝1：1000000 故这幅地图的比例尺是1：1000000。 8．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个比例的内项积是1，一个外项是，另一个外项是( )。 【答案】 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。已知内项积是1，所以两个外项的积也必然是1。 【规范解答】1÷＝1×＝ 所以，一个比例的内项积是1，一个外项是，另一个外项是。 9．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )，明明在地图量得伊旗至东胜的距离是1.14厘米，那么伊旗至东胜的实际距离是( )。 【答案】 1∶3000000 34.2千米 【思路引导】（1）先根据线段比例尺得出图上1厘米代表的实际距离，再将单位换算成厘米，从而得到数值比例尺。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺计算即可。 【规范解答】（1）由图知，图上1厘米代表实际30千米。 30千米＝30×100000＝3000000厘米 所以这幅图的数值比例尺为1∶3000000。 （2）1.14÷ ＝1.14×3000000 ＝3420000（厘米） 3420000厘米＝3420000÷100000＝34.2（千米） 10．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 【答案】(1) 每天生产数量 生产天数 反 (2)256 【思路引导】根据自行车生产的天数随着每天生产数量的变化而变化可知它们两个是相关联的量；计算可得80×80＝100×64＝128×50＝160×40＝200×32，这两个量的乘积是一定的，所以是反比例关系；已知两个数的积和其中一个数，求另一个数用除法。 【规范解答】（1）表示两个相关联的量是每天生产数量和生产天数，这两个相关联的量成反比例关系 （2）80×80÷25 ＝6400÷25 ＝256（辆） 11．（24-25六年级上·山东菏泽·期中）a和b都是不为0的自然数，a的等于b的，a比b大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】首先根据题目条件建立等式，再通过等式变形（利用比例基本性质）求出a与b的比例关系，进而比较两者的大小，以此判断原题说法是否正确。 【规范解答】已知（、为非零自然数），根据比例的基本性质，可得。这表明是5份，是6份，因为，所以。原说法错误。 故答案为：× 12．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一辆自行车的前、后齿轮的齿数比是7∶3，如果后齿轮转了28圈，那么前齿轮转了12圈。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据自行车齿轮的工作原理，前、后齿轮走过的路程相同，因此齿数与转圈数成反比。已知前、后齿轮的齿数比为7∶3，则转的圈数比为3∶7，即前齿轮转的圈数占3份，后齿轮转的圈数占7份；用后齿轮转的圈数除以7，求出一份数，再用一份数乘3，求出前齿轮转的圈数。 【规范解答】由前、后齿轮齿数比为7∶3可得出：前、后齿轮的圈数比为3∶7。 28÷7×3 ＝4×3 ＝12（圈） 那么前齿轮转了12圈。 故答案为：√ 13．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）在一幅比例尺是1∶6000的图上，甲、乙两地的图上距离是9cm。那么在另一幅比例尺是1∶4000的图上，甲、乙两地的图上距离是8cm。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】甲、乙两地的实际距离不变，先根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的实际距离，再根据另一幅图的比例尺利用“图上距离＝实际距离×比例尺”求出甲、乙两地的图上距离。 【规范解答】9÷ ＝9×6000 ＝54000（cm） 54000×＝13.5（cm） 所以，甲、乙两地的图上距离是13.5cm，而不是8cm，题目说法错误。 故答案为：× 14．（24-25六年级下·河南洛阳·期中）解方程或解比例。            【答案】x＝1.8；x＝7.5；x＝0.005 【思路引导】（1）先根据等式的性质1，方程两边同时减去3.8；再根据等式的性质2，方程两边同时除以2求解。 （2）根据比例的基本性质，把式子转化为0.7x＝3.5×1.5，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以0.7求解； （3）根据比例的基本性质，把式子转化为24x＝0.3×0.4，再化简方程，最后根据等式的性质2，方程两边同时除以24求解； 【规范解答】（1）3.8＋2x＝7.4 解：3.8＋2x－3.8＝7.4－3.8 2x＝3.6 2x÷2＝3.6÷2 x＝1.8 （2）3.5∶x＝0.7∶1.5 解：0.7x＝3.5×1.5 0.7x＝5.25 0.7x÷0.7＝5.25÷0.7 x＝7.5 （3） 解：24x＝0.3×0.4 24x＝0.12 24x÷24＝0.12÷24 x＝0.005 15．（24-25六年级下·广东广州·期中）汽车厂按1∶20的比生产了一批汽车模型。汽车模型长20cm，汽车的实际长度是多少？（请用比例知识解答） 【答案】4米 【思路引导】由题意可知：汽车厂按1∶20的比生产了汽车模型，即汽车模型的长度与实际长度的比值是一定的，符合正比例的意义，则汽车模型的长度与实际长度成正比例。据此即可列比例求解。 【规范解答】解：设汽车的实际长度为x厘米， 1∶20＝20：x x＝20×20 x＝400 400厘米＝4米 答：汽车的实际长度是4米。 16．（24-25六年级下·广西百色·期中）三月三，亦称“上巳节”，是壮族祭祖、祭拜盘古、布洛陀始祖的重要日子。小华全家要回老家去祭祖。在比例尺为的地图上量得南宁到老家的图上距离是8厘米，小华爸爸以每小时80千米的速度行驶，多少小时能到老家？ 【答案】2小时 【思路引导】实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出南宁到老家的实际距离并化成千米单位（1千米＝100000厘米），再用两地距离除以行驶速度得到回老家所需的时间，据此解答。 【规范解答】8÷÷100000÷80 ＝8×2000000÷100000÷80 ＝160÷80 ＝2（小时） 答：2小时能到老家。 17．（24-25六年级下·山东济宁·期中）邹城孟府孟庙景区历史底蕴深厚，吸引众多游客前来参观。某旅游团在网上预订孟府孟庙门票，已知预订2张门票花费60元，照这样计算，预订50张门票需要花费多少钱？（用比例知识解答） 【答案】1500元 【思路引导】由于孟府孟庙门票单价固定，门票总价与数量成正比例。设50张门票需花费x元，根据“总价÷数量＝单价（一定）”，可列出比例，再根据比例的基本性质，内项积等于外项积，解比例即可解答。 【规范解答】解：设预订50张门票需要花费x元。 2x＝60×50 2x＝3000 2x÷2＝3000÷2 x＝1500 答：预订50张门票需要花费1500元。 18．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）小欢把一块长与宽的比为7∶2的长方形草坪，按1∶500的比例尺画在图纸上。图纸上的长方形草坪的周长是36厘米。这块长方形草坪的实际面积是多少平方米？ 【答案】1400平方米 【思路引导】先用周长除以2求出长和宽的和，再按长与宽的比求出总份数，用长和宽的和分别乘长、宽对应的分率求出图上的长和宽，接着用图上的长和宽分别乘比例尺的实际倍数求出实际的长和宽，得到实际的长度后再转换单位，最后用实际的长乘实际的宽求出面积。 【规范解答】图上长与宽的和：36÷2＝18（厘米） 总份数：7＋2＝9 图上的长：18× ＝14（厘米） 图上的宽：18× ＝4（厘米） 实际的长：14×500＝7000（厘米）＝70（米） 实际的宽：4×500＝2000（厘米）＝20（米） 实际面积：70×20＝1400（平方米） 答：这块长方形草坪的实际面积是1400平方米。 19．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）秸秆还田有助于提升粮食产量。张爷爷要将粉碎后的秸秆均匀地撒在耕地中，计划每天撒12公顷耕地，用12天完成任务。若每天多撒20%，这样可以提前几天撒完？（用比例的知识解） 【答案】2天 【思路引导】反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若它们的乘积一定，则这两种量成反比例。根据题意，耕地总面积是固定不变的量，每天撒的面积与所需天数成反比例关系，设实际需要x天，依据“总面积不变”列出反比例方程，解出实际天数后，用原计划天数减去实际天数，得到提前的天数。 【规范解答】解：设现在需要天完成。 （天） 答：这样可以提前2天撒完。 20．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）王爷爷家新建了一座房。王奶奶对王爷爷说：“咱们家的客厅用边长为0.6米的方砖铺地，正好需要128块。”王爷爷不同意，坚持用边长8分米的方砖铺。请你算一下，按王爷爷的想法，客厅需要多少块方砖？（用比例解答） 【答案】72块 【思路引导】客厅面积不变，每块方砖面积与所需块数成反比例。 先统一单位，再根据“方砖面积×块数＝客厅面积”列比例并解比例。 【规范解答】8分米＝0.8米 0.6×0.6×128 ＝0.36×128 ＝46.08（平方米） 解：设需要x块方砖。 （0.8×0.8）x＝46.08 0.64x＝46.08 x＝46.08÷0.64 x＝72 答：需要72块方砖。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学六年级下册期中真题汇编复习精讲练【重点突破】 第四单元 比例【期中复习讲义】-基础版 【导图+知识梳理+13个考点讲练+真题提优练 共60题】 （原卷版） 考点序列 考点内容 考点序列 考点内容 考点讲练一 比例的意义 考点讲练八 反比例的应用 考点讲练二 比例的基本性质 考点讲练九 比例尺的意义 考点讲练三 解比例 考点讲练十 比例尺应用 考点讲练四 正比例的意义及辨识 考点讲练十一 应用比例尺画图 考点讲练五 正比例图象的认识 考点讲练十二 图形的放大与缩小 考点讲练六 正比例的应用 考点讲练十三 比例的应用 考点讲练七 反比例的意义及辨识 知识点一 比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式：例如：80:2=200:5 （2）分数式：例如： （3）乘积式：例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点二 比例的基本性质 1. 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项：如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点三 解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点四：正比例 1.正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。用含有字母的式子表示为（一定）。 2.正比例图象的特点：正比例关系的图象是一条直线。从图象中可以直观地看到相对应两种量的变化情况，不用计算，由一个量的值可以直接找到相对应的另一个量的值。 3.判断正比例：在判断某些关系式中两个量成什么比例时，有时将原式变形后，更容易判断两种量成什么比例。 知识点五：反比例 1.反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例关系可以用“（一定）”来表示。 2.正比例与反比例的相同点与不同点： 对比项目 正比例 反比例 相同点 都是两种相关联的量；都是一种量随着另一种量的变化而变化 不同点 变化规律：两种量同时扩大、同时缩小；相对应的两个数的比值一定。关系式：（一定） 变化规律：一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）；相对应的两个数的乘积一定。关系式：（一定） 知识点六 比例尺 1. 比例尺的认识和意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法。 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式。 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点七 比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点八 图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 考点讲练一 比例的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邯郸·期中）我国一个人造地球卫星绕地球运行3周约需要5.7小时，另一个人造地球卫星绕地球运行20周约需要38小时。两个人造地球卫星绕地球运行的周数和所需时间的比( )组成比例（填“可以”或“不可以”），如果可以组成比例，写出这个比例是( )。 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·广西贵港·期中）不能与15∶12组成比例的是（    ）。 A．0.5∶0.4 B． C． 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邢台·期中）第三代杂交水稻刷新了杂交水稻双季亩产记录，亩产量情况如下表。 产量/千克 1500 3000 4500 6000 面积/亩 1 2 3 4 根据表中的数据可以组成比例（    ）。 A． B． C． 考点讲练二 比例的基本性质 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）用1、2、3、6组成一个比例是( )。在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是1，另一个内项是( )。 【变式1】（难度：☆☆）（24-25六年级下·广西百色·期中）在一个比例中，两个内项互为倒数，其中一个外项1.5，另一个外项是( )；如果，那么( )∶( )。 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北邯郸·期中）在一个比例中，两个比的比值都是3，两个外项都是2，这个比例是（    ）。 A． B． C． D． 考点讲练三 解比例 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·江苏宿迁·期中）解方程。        【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东广州·期中）求未知的项。                    【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）解比例。      考点讲练四 正比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南郑州·期中）2025年3月26日，某加油站92号汽油的价格为6.98元/升，下面图像（    ）能表示出王老师当天在这个加油站加油总价和数量之间的关系。 A． B． C． D． 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）如果a＝3b（a、b均不为0），那么a∶b＝( )∶( )，a与b成( )比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）一辆小汽车在高速上行驶路程与耗油量如下表所示。 行驶路程/千米 20 40 60 80 100 耗油量/升 1.5 3 4.5 6 7.5 (1)这辆小汽车行驶路程与耗油量成( )比例关系。 (2)照这样计算，小汽车行驶240千米的耗油量是( )升，小汽车的油箱容积是45升加满油可以行驶( )千米。 考点讲练五 正比例图象的认识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·福建厦门·期中）有两个相关联的量的关系可以用如图来表示，这两个量可能是（    ）。 A．教室的面积一定，每块砖的面积和方砖的块数 B．某制衣厂生产一批衬衫，每天生产的数量和所需天数 C．某班已完成课堂练习的人数和未完成课堂练习的人数 D．某科普书的单价一定，购买的数量和所用总钱数 【变式1】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）同一时间，同一地点测得三棵树的树高及影长如下表，根据数据完成下面各小题。 树高/米 2 3 6 9 影长/米 0.4 0.6 1.2 1.8 （1）在图中描出树高与对应影长的点，然后把它们连起来并延长，观察图象的特点。 （2）同时同地测得一座楼房的影长为1.7米，利用图象推断这座楼房的高度为（    ）米。 （3）这里的树高和影长成（    ）比例。根据数据或图象写出一个比例是（    ）。 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山东菏泽·期中）甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图。 (1)从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成( )比例。 (2)甲车行驶3小时，行驶的路程是( )千米。乙车行驶2小时，行驶的路程是( )千米。 (3)如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇，A、B两地相距( )千米。 考点讲练六 正比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南洛阳·期中）2024年3月10日至16日是第17个“世界青光眼周”。为更好的宣传和普及青光眼防治知识，3月16日上午19所医院参加了在北京园博园举行的2024年“世界青光眼周”北京第二届“健步走公益乐跑”活动。李医生30分钟跑了全程的，照这样计算，如果他要跑完7千米全程，跑完全程的时间为x分钟，下面正确的关系式是（    ）。 ①    ②30：      ③1：        ④ A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图表示甲、乙两辆车行驶的路程与时间的关系，看图回答问题： （1）甲车行驶的路程与时间成______比例关系。 （2）乙车1.5小时行驶______千米。 （3）如果甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，经过6小时相遇，A、B两地相距多少千米？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·河北唐山·期中）一辆汽车在高速公路上行驶，行驶的时间和路程如下表： 行驶时间（分） 3 5 10 20 60 行驶路程（千米） 4.5 7.5 15 30 ？ 行驶路程和时间的比 （1）写出行驶路程和时间的比，填在表中。 （2）根据上面的结果写出两个比例。 （3）算一算：行驶60分钟，小汽车行驶多少千米？ 考点讲练七 反比例的意义及辨识 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）下面各题中的两个量不成反比例的是（    ）。 A．面粉的总质量一定，每袋面粉的质量与袋数； B．做题的总数一定，做对的题数与做错的题数； C．a＝bx（a、b、x都不为0），当a一定时，b和x； D．打一份稿件，打字的速度和所用的时间； 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·江西九江·期中）加工一批零件的时间一定，每个零件所需的时间和零件的个数成正比例。( )（判断对错） 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南信阳·期中）红红的妈妈用微信扫码租了一辆共享单车。红红数了数，这辆共享单车的前齿轮齿数是28个，后齿轮齿数是16个，经测量，车轮直径为66厘米。红红知道妈妈的公司与家的距离大约是1500米，红红的妈妈骑这辆共享单车上班大约要蹬多少圈呢？（结果保留整数） 考点讲练八 反比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）春天来了，明明和爸爸骑着自行车去郊游。自行车两个车轮的直径都是70cm，前齿轮有48个齿，后齿轮有16个齿。 (1)如果前齿轮转10圈，则后齿轮转______圈。 (2)自行车工作的原理是：脚踏板带动前齿轮，前齿轮带动后齿轮，后齿轮又带动后车轮转动，后车轮转动的圈数就是车轮转动的圈数。如果爸爸每分钟能蹬90圈，则他骑行1小时能行驶______km（取，得数保留整数）。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃庆阳·期中）有三个相关联的量，并有。当P一定时，O与Q成( )比例关系；当O一定时，P与Q成( )比例关系。 【变式2】（难度：☆☆☆）（23-24六年级下·河南周口·期中）修一条公路，计划每天修105m，450天完成；如果要提前30天完成，那么实际每天要修多少米？解：设实际每天要修米，下面列式正确的是（    ）。 A．105×450＝×（450－30） B．105×450＝×30 C．105×30＝450× 【变式3】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·海南省直辖县级单位·期中）学校食堂买来一批面粉，计划每天用50千克，可以用27天。实际每天用54千克，实际可以用多少天？（用比例的知识解答） 考点讲练九 比例尺的意义 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·广东中山·期中）一幅地图的比例尺为，把这个线段比例尺改写成数值比例尺为( )。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·北京·期中）从天安门到北京大兴国际机场的实际距离大约是50km，在一幅地图上量得这两地之间的距离是2cm，这幅地图的比例尺是______。 【变式2】（难度：☆☆☆）（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）郑州园博园规划为“一园三区”，包括园博园（园博园A区）、双鹤湖中央公园（园博园B区）、苑陵故城遗址公园（园博园C区），总面积6180亩，大约相当于13.6个人民公园。 （1）苑陵故城遗址公园（园博园C区）到双鹤湖中央公园（园博园B区）的距离约是11千米，在一幅地图上量得这两个园区的距离是2.2厘米，这幅地图的比例尺是（    ）。 （2）这三个园区的位置大致如下：园博园（园博园A区）在苑陵故城遗址公园（园博园C区）的南偏东45°方向约3千米处；双鹤湖中央公园（园博园B区）在园博园（园博园A区）的南偏西15°方向约9千米处。根据以上信息，在空白处分别画出这三个园区的大致位置。 考点讲练十 比例尺应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·山西长治·期中）在一幅比例尺是1∶5000000的地图上，量得南京到北京的距离是18厘米，一辆汽车每小时行驶75千米，这辆汽车从南京到北京需要多少小时？ 【变式1】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·江西抚州·期中）在比例尺是1∶4000000的地图上，量得A、B两地相距2.5厘米，若一辆汽车以每小时50千米的速度从A地开往B地，需要多少小时到达？ 【变式2】（难度：☆☆☆☆）（24-25六年级下·甘肃天水·期中）某网红饭店因短视频爆火（播放量超10亿），现需扩建店面，设计师将新店平面图按1∶200的比例尺绘制，图纸上用餐区为长方形，长12厘米，宽8厘米，实际用餐区的面积是多少平方米？ 考点讲练十一 应用比例尺画图 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广东梅州·期中）如图：一辆汽车从A城开往B城。 （1）从A城到B城的实际路程是______千米。 （2）如果汽车平均每小时行驶90千米，______小时能从A城到达B城。 （3）C城在D城的南偏东60°方向，到D城的实际距离约60千米，请你在图中标出C城的位置。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河南商丘·期中）如图是商场附近的部分平面图。 （1）地铁站位于商场北偏西45°方向，距离商场250米，请你在图中画出地铁站的位置。 （2）量得商场与图书馆的图上距离为（    ）厘米，则商场与图书馆的实际距离为（    ）千米，若宇浩每分走50米，则他从图书馆沿图上路线走到商场大约需要（    ）分。 【变式2】（难度：☆☆☆））量一量，填一填，画一画。    （1）苹苹的新家到学校的实际距离是10千米，量出两地的图上距离为2厘米。这幅图的比例尺是（    ）。 （2）超市位于学校正西方向10千米处；文化宫位于超市正北方向15千米处；公园位于文化宫正东方向5千米处。请根据比例尺，在图中画出以上位置的平面图。 考点讲练十二 图形的放大与缩小 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北保定·期中）按要求完成下列各题。 （1）图中点用数对表示为（4，8），则点可表示为__________。 （2）请面出将三角形向右平移5格后的图形。 （3）将三角形绕点逆时针旋转90°得到三角形，画出旋转后的图形。 （4）画出三角形按缩小后的图形。如果图中小正方形的边长是1厘米，那么缩小后的三角形面积是__________平方厘米。 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北邯郸·期中）按要求画一画。 （1）将下面的三角形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶4。 （2）将下面的平行四边形放大，使放大后的图形与原图形对应线段长的比为2∶1。 【变式2】（难度：☆☆☆☆）．（24-25六年级下·陕西安康·期中）按要求画一画，填一填。 （1）如图：三角形①的顶点A的位置是（5，7），那么顶点C的位置是（   ，   ）。 （2）画出三角形①向右平移7格后的图形②。 （3）画出三角形①按1∶2缩小后得到的图形③。 考点讲练十三 比例的应用 【典例精讲】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·河北保定·期中）消毒液具有消毒杀菌的作用，下表是不同用途时消毒液和水的含量比。 用途 餐具消毒 室内消毒 医院消毒 消毒液与水的含量之比 1∶200 1∶100 1∶50 医院进行大面积消毒，医护人员准备了8千克的水，应倒入多少消毒液？（用比例知识解答） 【变式1】（难度：☆☆☆）（24-25六年级上·广西贵港·期中）一根5米长的竹竿，某一时刻测得它在阳光下的影子长度为3.5米，同一时刻测得旁边的旗杆影子长为10.5米，这根旗杆高多少米？ 【变式2】（难度：☆☆☆）（24-25六年级下·河北张家口·期中）阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，动物的骨、植物的茎等都是空心的，而且内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11。研究表明，当一根空心管子底面的内圆直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚硬的目的。 （1）按照上面的研究，工人师傅制作了一种塑料零件（如下图）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （2）一个这样的塑料零件体积是多少立方厘米？ 1．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下列成正比例关系的有（    ）个。 （1）圆的周长和直径。        （2）差一定，被减数和减数。 （3）圆柱体的侧面积一定，底面周长和高。    （4）一幅地图上的图上距离和实际距离。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25六年级下·广西百色·期中）能与组成比例的比是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·广东广州·期中）下列说法正确的是（    ）。 ①一个圆柱有无数条高，一个圆锥只有一条高。 ②在带箭头的直线上表示﹣3的点与表示﹢1的点的距离为2个单位长度。 ③运用V＝Sh，可以计算长方体、正方体和圆柱的体积。 ④正方形的边长按1∶2缩小，它的周长和面积也按1∶2缩小。 A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 4．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）在2、3、这三个数中插入第四个数x，使得这四个数能组成比例，那么x最小是（    ）。 A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·山东济宁·期中）甲数的等于乙数的（甲数、乙数不为0），那么甲数与乙数的比是（    ）。 A． B．6∶5 C．5∶6 6．（24-25六年级下·山东济宁·期中）在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是3厘米，甲地到乙地的实际距离为( )千米。上海到北京的实际距离是1400千米，在这幅地图上两地的图上距离是( )厘米。 7．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）笑笑一家计划乘“复兴号”高铁出发去成都，已知两地的实际距离约是348km，在一幅地图上量得这两地间的距离是34.8cm，这幅地图的比例尺是( )。 8．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个比例的内项积是1，一个外项是，另一个外项是( )。 9．（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）一幅地图的比例尺是把它改写成数值比例尺是( )，明明在地图量得伊旗至东胜的距离是1.14厘米，那么伊旗至东胜的实际距离是( )。 10．（24-25六年级下·四川绵阳·期中）共享单车的广泛使用，为保卫蓝天贡献了一份力量。下图是某自行车厂每天生产数量和生产天数的对应数据。 每天生产数量/辆 80 100 128 160 200 生产天数/天 80 64 50 40 32 (1)表中两个相关联的量是( )和( )，这两个相关联的量成( )比例关系。 (2)如果有批订单的工期是25天，那么每天要生产( )辆共享单车才能如期完工。 11．（24-25六年级上·山东菏泽·期中）a和b都是不为0的自然数，a的等于b的，a比b大。( )（判断对错） 12．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一辆自行车的前、后齿轮的齿数比是7∶3，如果后齿轮转了28圈，那么前齿轮转了12圈。( )（判断对错） 13．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）在一幅比例尺是1∶6000的图上，甲、乙两地的图上距离是9cm。那么在另一幅比例尺是1∶4000的图上，甲、乙两地的图上距离是8cm。( )（判断对错） 14．（24-25六年级下·河南洛阳·期中）解方程或解比例。            15．（24-25六年级下·广东广州·期中）汽车厂按1∶20的比生产了一批汽车模型。汽车模型长20cm，汽车的实际长度是多少？（请用比例知识解答） 16．（24-25六年级下·广西百色·期中）三月三，亦称“上巳节”，是壮族祭祖、祭拜盘古、布洛陀始祖的重要日子。小华全家要回老家去祭祖。在比例尺为的地图上量得南宁到老家的图上距离是8厘米，小华爸爸以每小时80千米的速度行驶，多少小时能到老家？ 17．（24-25六年级下·山东济宁·期中）邹城孟府孟庙景区历史底蕴深厚，吸引众多游客前来参观。某旅游团在网上预订孟府孟庙门票，已知预订2张门票花费60元，照这样计算，预订50张门票需要花费多少钱？（用比例知识解答） 18．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）小欢把一块长与宽的比为7∶2的长方形草坪，按1∶500的比例尺画在图纸上。图纸上的长方形草坪的周长是36厘米。这块长方形草坪的实际面积是多少平方米？ 19． （24-25六年级下·河北邯郸·期中）秸秆还田有助于提升粮食产量。张爷爷要将粉碎后的秸秆均匀地撒在耕地中，计划每天撒12公顷耕地，用12天完成任务。若每天多撒20%，这样可以提前几天撒完？（用比例的知识解） 20．（24-25六年级下·四川遂宁·期中）王爷爷家新建了一座房。王奶奶对王爷爷说：“咱们家的客厅用边长为0.6米的方砖铺地，正好需要128块。”王爷爷不同意，坚持用边长8分米的方砖铺。请你算一下，按王爷爷的想法，客厅需要多少块方砖？（用比例解答） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $