精品解析：江苏淮安市涟水县第一中学2025-2026学年高一第二学期第一次阶段检测数学试卷

2025～2026学年高一第二学期第一次阶段检测 数学 试卷 命题：凡 成　　　　　　　　　　审核：凡 成 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分．） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，其中为坐标原点， 则. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由两角差的余弦公得式 . 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 5. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得，得出向量的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】向量与垂直，可得，解得， 所以，则，所以. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 【答案】C 【解析】 【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，任意向量都与共线，则不一定共线，A错误； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量，C正确； 对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误. 7. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 8. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的几何意义，求出在上投影向量的长，再求出的值即可. 【详解】 如图所示，过作于，则，， 设，则， 在中，根据勾股定理可得, 代入得，解得， 所以，则. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 【答案】BCD 【解析】 【详解】由已知，， 对于选项A：，，向量不垂直，A错误； 对于选项B：在上的投影向量公式为，又， ，因此投影向量为，B正确； 对于选项C：，，C正确； 对于选项D：与方向相同的单位向量为，又， 因此与向量方向相同的单位向量为，D正确. 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 【答案】ACD 【解析】 【详解】因为， 所以，所以，所以B错误； 所以， 因为，所以，所以A正确； 因为，所以C正确； 因为， 且，所以，所以D正确. 11. 已知，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，因为，所以， 由，得， 又，其中， 假若，则，因在上单调递减，故，得， 这与矛盾，所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__． 【答案】 【解析】 【详解】因与是共线向量，则存在唯一的，满足， 即， 又因是两个不共线的向量， 故有，解得. 13. 已知，，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，即， 由，得，即， 所以， 又， 所以． 14. 将化为形式，其中，则_____ 【答案】 【解析】 【详解】由， 得， 所以，， 又，所以． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量坐标运算即可求解； （2）由数量积的坐标运算以及定义，列方程即可化简求解. 【小问1详解】 若，则，，所以， 所以． 【小问2详解】 ， ． 即，平方得：， ∴或， ． 由于，所以不符合要求，故舍去； ∴． 16. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． （1）请用和表示； （2）求． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算分别得解. 【小问1详解】 由已知， 即， 所以； 【小问2详解】 为线段的中点， ， 又，, , 又， 所以， 即. 17. 已知角的终边过点，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义即可得解； （2）利用三角函数的平方关系与余弦函数的和差公式即可得解. 【小问1详解】 因为角的终边过点，， 所以，解得， 则，． 【小问2详解】 因为，， 所以， 则 18. 已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对等式进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可； （2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出的值，再由同角三角函数关系式结合的值求出的值，最后利用两角和的正弦公式求出的值即可. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 因为， 所以，而，故 所以， 因为，， 所以. 因此有 . 19. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为的等边三角形，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得，代入即可求得结果； （2）根据三点共线可求得，利用“”的代换和基本不等式可求得结果； （3）以为基底可表示出，平方后可整理得到关于的二次函数，利用基本不等式可求得的范围，进而得到结果. 【小问1详解】 为中点，， 为中点，，， . 【小问2详解】 由（1）得：， 三点共线，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 【小问3详解】 ， ， ，，， ， ， ， 由（2）知：，即． 又，，解得：（当且仅当时取等号）， ， ，当时，取得最小值：， 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年高一第二学期第一次阶段检测 数学 试卷 命题：凡 成　　　　　　　　　　审核：凡 成 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分．） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 若向量与垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它同向的一个单位向量 D. 零向量没有方向 7. 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知线段AB是的一条直径，的半径为R（），点P是上的一点且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 无法确定 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，下列选项正确的是（） A. B. 向量在向量上的投影向量是 C. D. 与向量方向相同的单位向量是 10. 已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ） A. 与夹角为 B. C. D. 与夹角为 11. 已知，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数__． 13. 已知，，则向量与的夹角为______． 14. 将化为形式，其中，则_____ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求实数的值． 16. 如图，在中，，为线段的中点，且，，为实数，记，． （1）请用和表示； （2）求． 17. 已知角的终边过点，且． （1）求的值； （2）若，，求的值． 18. 已知向量，，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 19. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点的直线与边分别相交于点．设，． （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为的等边三角形，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $