专题05 四边形压轴解答题（4种类型24道）（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形压轴解答题 ☆4大高频考点概览 考点01平行四边形相关综合压轴题 考点02矩形相关综合压轴题 考点03菱形相关综合压轴题 考点04正方形相关综合压轴题 考点 平行四边形相关综合压轴题 1.(24-25八下·重庆巴蜀中学教育集团初期中)已知平行四边形ABCD中，∠B=45°，AB=1,AD=2, 过点A作AE⊥AB交BC边于点E. B FD 图1 图2 图3 ()如图1，F为AD边上一点，当DAEF=105°时，求线段EF的长： (2)如图2，P为平行四边形ABCD所在平面内一点，将线段BP绕点P顺时针旋转90°到B'P,连接BE, M为线段BE的中点，连接AM,AP,探究并证明线段AM和AP之间的数量关系； (3)如图3，G为直线BC上一动点，连接AG并将AG绕点A逆时针旋转45°到AR,连接CR,DR,当 CR+DR取得最小值时，过点R作RH⊥BC于点H,将线段HC在直线BC上平移得到HC,连接AH', CR,直接写出AH'+HC+CR的最小值. 2.(24-25八下·重庆南开中学期中)已知，△ABC中，∠B=a,点D为边BC上一点，BD=AB=AC,连 接AD. 图1 图2 1/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图I,点E为BD边上一点，作点E关于AD的对称点F,直线FH交AD于点G,交AB于点H,且 ∠FGD=a.求∠AHG的度数；（用含的式子表示） (2)在(I)问的条件下，求证：DF+DC=BH (3)如图2，以AD,AB为边构造平行四边形ADMB,点N为AB边上一点，点P为AD中点，连接PN, 过点N作NQL4B交DM于点Q:连接BQ:当Sam44C2=8时，请直接写出此时(PN+QB2的最小 1 4 值 3.(23-24八下·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D为边BC上一点. A M 图1 图2 图3 AD⊥B (1)如图1，若 于点D,B=8AC=6 的长； (2)如图2，已知AB=AC,延长BA至点E,以BE、BC为边作BCFE,连接DE、AF,若AD⊥AF于 点A,求证：AF=AD+ED; (3)如图3，已知AB=AC=2,将△ABC沿直线BC翻折，点A落在点M,在线段BC上求一点P,使得 PA+PB+PM的值最小，请直接写出最小值. ABCD,E、BC 4.(23-24八下·重庆大渡口区·期中)已知平行四边形 为BC边上的中点，F为B边上的一点. D D B G E E 图1 图2 图3 (I)如图1，连接FE并延长交DC的延长线于点G,求证：FE=GE; FB+AB=DF,∠EDC=36 (2)如图2，若 ，求D 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B如图3，若FE=DE,P为F的中点，e为FD的中点，40=4DP=54 求线段BE的长. t△ABC ∠BAC=90°，AB=A 5.(23-24八下…重庆第十一中学校·期中)如图，在 中， ,M是AC边上的一 点，连接BM,作AP⊥BM于点P,过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E. 图 图2 图3 (I)如图1，求证：AM=CE: (2)如图2，过点A作AG∥BM,过点B作BG∥AM,AG、BG交于点G.连接GE交BC于点N,连接 GE AW,求AN的值： (3)如图3，若M是AC的中点，过点A作AG∥BM,过点M作G∥AB,AG、MG交于点G.连接GE NC 1 GE 交BC于点N,连接AN,经探究发现BC8,请直接写出4N的值. 6.(24-25八下·重庆渝北区五校期中)如图1，在口ABCD中，∠B=45°，过点C作CE⊥AD于点E,连接 AC,过点D作DF⊥AC于点F,交CE于点G,连接EF. E 图1 图2 (I)若DG=8,求对角线AC的长： 2求证：AF+FG=V5ER (3)如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AMLBC于点M,取线段AB的中点N,作点B关于直线 PM的对称点B,连接NB9,若AB=10,请直接写出当NB4取得最大值时PB的长. 3/12 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 城02 矩形相关综合压轴题 7.(24-25八下·重庆沙坪坝区第七中学校期中)在矩形ABCD中，点M是AB边上一动点（不与A、B点重 合)，连接DM,DM的延长线交CB的延长线于点N. D M M G 3 B 图① 图② 图③ ()如图0.当∠4DM=30 M=2,DC= 时，若 6,求N的长 (2)如图②，连接AC,与DM交于点G,当∠ADM=∠BAC时，有BM=BC,连接BG,求证： NG=AG+2BG (3)如图③， MD=25.CD=6,将△ADM沿直线DM折叠，得到△EDM.当射线CE交线段1B于点F 时，连接DF,当DF最大时，直接写出AF的值. 8.(22-23八下·重庆巴南区·期中)在矩形ABCD中，E是AD边上一点. F G 图1 图2 图3 (I)若∠ABE=60°，EC平分∠BED,且AB=1,求△EDC的面积： ②若H是ME中点且1E=BA,BF⊥BH于F点，求证：BF=H+5EF (3)若∠ABE=60°，EF LAD于E点，连接AF并反向延长至G点使得AG=AF=3EF.点H在直线AD上 方，连接BH、HF,GB=BH,∠GBH+∠ABE=18O°，请探究并请直接写出AF与FH的数量关系. 9.(24-25八下·重庆四川外语学院重庆第二外国语学校期中)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的 中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且∠EOF=9O°，连接EF. 4/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D 图1 图2 图3 AB=8,AD=6 (I)如图1，若点E在AB中点处，且 ,求EF的长； EF2-CF2=AE2 (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证： AE=AC,∠BAC=30°，BC=1 (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且 请直接写出线段EF 的值. 10.(24-25八下·重庆渝北中学教育集团·期中)在矩形ABCD中，BD为矩形对角线，E在AD边上，连接 EC. E D B 图1 图2 (1)如图1，若∠DCE=45°，BC=CE,CD=1,求BD: (2)如图2，CF⊥EC,CF=CD,连接BF交EC于H,当H为BF的中点时，求证：DE=2HC. 11.(24-25八下·重庆第一一O中学校·期中)矩形ABCD中，∠ACB=30°，aBEF中， ∠BBF=90,∠BFE=30,BF=AC.连接FD'点G是FD中点，将△BEr绕点B顺时针旋转 0°<<360°) 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图1 图2 图3 (I)如图1，若点B恰好在线段DF延长线上，AB=4,连接EG,求EG的长度： (2)如图2，若点E恰好落在线段FD上.连接MG,证明： 2(GD-GA)=3DC (3)如图3，若点E恰好落在线段AB延长线上，点M是线段AD上一点，3AM=DM,N是平面内一点， 满足∠MND=∠FDC,己知AB=4,当△DMW是等腰三角形时，直接写出线段MN的长度 12.(24-25八下·重庆巴南区·期中)如图，在矩形ABCD中，点E为直线BC上一动点，连接AE,作等腰直 角三角形AEF,使∠AEF=90°，AE=EF, D B 图1 图2 图3 0图1，若∠CEr=0,4B=85 3,BC=6,求四边形AECD的面积： (2)如图2，若点E为线段BC的中点，且AB>CE,连接DF,试探究线段AB,CE,DF之间的数量关系， 并证明你的猜想； (3)如图3，连接DF,若AB=4,BC=6.请思考AF+DF是否存在最小值，若存在，请直接写出 AF+DF的最小值，若不存在，请说明理由. 城点03 菱形相关综合压轴题 13.(23-24八下·重庆开州区开州初中教育集团期中)如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上 一点，连接DE、EF,且AE=AF,∠DAE=∠BAF. 6/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (I)求证：CE=CF; (2)若∠ABC=120°，点G是线段AF的中点，连接DG,EG.求证：DG⊥GE. 14.(22-23八下·重庆武隆区第一初级中学·期中)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O, 过点B作BE⊥CD,交AC于点H,交CD于点E.过点C作CF∥BD,交BE的延长线于点F,过点F 作FG∥BC,交BD的延长线于点G. G G D E E B 图1 图2 (I)若AC=8,BD=6,求BE的长； 2如图2，连接4F,交BG于点K,若∠GFA=∠BFC,求证：BF-BC=V2CD 15.(24-25八下·重庆第十一中学校期中)如图1，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、CD上，且 BE=DF E E 图1 图2 (1)求证：∠BAE=∠DAF 7/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)如图2，若∠EAF=∠B,连接EF,M是EF中点，连接AM,在不添加字母和任何辅助线的情况下， 直接写出图中的所有直角三角形 16.(24-25八下·重庆(K12)·期中)菱形ABCD的对角线交于点0 图1 图2 图3 (I)如图1，过菱形ABCD的顶点A作AE⊥BC于点E,交OB于点H,若∠ABC=60°，四边形AECD的面 积为24 3,求菱形4BCD的边长： (2)如图2，菱形ABCD中，过顶点A作AF⊥BC于点E,交DC延长线于点F,线段AF交OB于点H, 4D=4'求证：OH= 2 BH-OC; (3)如图3，菱形ABCD中，∠ABC=45°，AB=9,点P为射线AD上一动点，连接BP,将BP绕点B逆时 针旋转60°到BQ,连接AQ,直接写出线段AQ的最小值. 17.(24-25八下·重庆重庆一中学区共同体期中)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一 条直线上，P是线段DF的中点，连接PG,PC. 图 图2 (1)如图1，探究PG与PC的位置关系，写出你的猜想并加以证明： (2)如图1，若PG=PC,BE=2,求菱形BEFG的面积. (3)如图2，将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB 在同一条直线上，若∠ABC=∠BEF=60°，请直接写出PG与PC的数量关系. 18.(24-25八下·重庆渝中区巴蜀中学校期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的点，延长 8/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD至点E,使CD=DE,连接AE,过点E作EF∥AC交AB于点F,连接CF D D G 图1 图2 (1)如图L,若CD⊥AB,求证：四边形ACFE为菱形： (②如图2，若4C=8C=6,连接E,过点°作8GLBE,8G=BE,造接6，CG=25,求四边 形ACFE的面积. 城04 正方形相关综合压轴题 19.(24-25八下·重庆渝北区松树桥中学校·期中)如图1，正方形 ABCD E,F AB,AD 中， 分别为 上的点， AF=BE,BF与CE交于点H. O 9 图1 图2 图3 (求证：BF⊥CE: AC,BF (2)如图2，连接 交1C于点,0为1C的中点，OB交CE于 AC 于点，连接H N CH-BH =20H 求证： )如图3，若正方形4CD的边长为8，P,2是4C上两动点，且P0=V ,请直接写出B0+PQ+DP的 最小值. 9/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.(23-24八下·重庆二外期中)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点， 且DF=BE,连接CF、CE. 图1 图2 图3 (I)求证：CE=CF; (2)在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，连接GE,求证：GE=BE+GD: (3)根据你所学的知识，运用(1)、(2)解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形ABCD中，ADIBC(BC>D),∠B=90°，AB=BC=6,E是AB的中点，且 ∠DCE=45°，求DE的长： ②如图3，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别在BC和CD上，且∠EAF=60°，连接EF.若 BE=2,DF=4,请直接写出EF的长度 21.(24-25八下·重庆第一中学校期中)已知，在正方形ABCD中，点E,F分别为AD上的两点，连接BE、 CF,并延长交于点G,连接DG;H为CF上一点，连接BH、DH,∠GBH+∠GED=9O°. G G 图1 图2 图3 (I)如图1，若H为CF的中点，AB=3,且AF=2DF,求线段DH的长： (2)如图2，若BH=BC,过点B作B11CH于点L求证： DG-CG 2 3)如图3，若8=3，P为线段1D(包含端点A、D)上一动点，连接C”,过点B作 Q⊥CP 于点Q,将 △BCQ、B 沿 C翻折得△BCM,N为直线1B上一动点，连接MN,当△BCM 面积最大时，直接写出 10/12命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形压轴解答题 ☆4大高频考点概览 考点01平行四边形相关综合压轴题 考点02形相关综合压轴题 考点03形相关综合压轴题 考点04正方形相关综合压轴题 目目 考点01 平行四边形相关综合压轴题 1.(24-25八下·重庆巴蜀中学教育集团初期中)已知平行四边形ABCD中，∠B=45°，AB=1,AD=2,过 点A作AE⊥AB交BC边于点E. FD M E H'CEG HO 图1 图2 图3 (I)如图1，F为AD边上一点，当∠AEF=105°时，求线段EF的长： (②)如图2，P为平行四边形ABCD所在平面内一点，将线段BP绕点P顺时针旋转90°到B'P,连接BE, M为线段B'E的中点，连接AM,AP,探究并证明线段AM和AP之间的数量关系： (3)如图3，G为直线BC上一动点，连接AG并将AG绕点A逆时针旋转45°到AR,连接CR,DR,当 CR+DR取得最小值时，过点R作RH⊥BC于点H,将线段HC在直线BC上平移得到HC,连接AH',C'R, 直接写出AH'+HC'+C'R的最小值. 【答案】(1)√2 (2)AP=√2AM,证明见解析 (3)2 【来源】重庆市巴蜀中学教育集团初2024一2025学年下学期八年级期中数学试题 1/66 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ∠B=45°，AB⊥AE, :.LAEB=45°，△ABE是等腰直角三角形， .AB=AE=1, :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC, ∠AEB=∠EAD=45°， :∠AET=45°，△AET是等腰直角三角形， :7E=4E、2 V22 :LAEF=105°， ·LFET=AEF-∠AET=105°-45°=60°， ∴在Rt△EFT中，∠EFT=30°， “EF=2ET=√2； (2)解：AP=√2AM,理由如下： 如图，延长AM到点A,使AM=A'M,连接A'P,A'B,延长A'B交BA的延长线于点Q, 在△AME和△A'MB'中， AM=A'M ∠AME=∠A'MB', ME=MB' △AME≌△A'MB', AE=AB=A'B',∠EAM=∠B'A'M, AE∥A'B', ∠Q=∠BAE=90°， 由旋转知BP=BP,∠BPB'=90°， .∠Q+∠BPB'=180°， 2166 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :∠QBP+∠QB'P=180°， 又：∠A'B'P+∠QB'P=180°， ∠QBP=∠AB'P,即∠ABP=∠A'B'P, 在△ABP和△AB'P中， AB=A'B' ∠ABP=∠AB'P, PB=PB' ∴△ABP≌△A'B'P, AP=A'P,∠APB=∠A'PB', :∠APB+∠APB'=∠BPB'=90°， LA'PB'+∠APB'=∠APA'=90°， ·△APA'是等腰直角三角形， :.2AP=AA'=2AM, AP=2AM (3)解：取BC中点K,将AK绕点A逆时针旋转45°，得AK',连接KK',RK', 由旋转得AK=AK',AG=AR,∠KAK'=∠GAR=45°， .∠GAK=∠RAK', △GAK≌△RAK', ∠AKG=∠AKR, :平行四边形ABCD中，AB=1,AD=2,K为BC中点， .AB=BK=1, :∠B=45°， ∠BKA=∠BAK=67.5°， ∠AKG=180°-∠BKA=112.5°， ∴.∠AK'R=∠AKG=112.5°， :AK=AK',∠KAK'=45°， ∠AK'K=∠AKK'=二(180°-∠KAK)）=67.5°， ∠AK'R+∠AKK=180°， 点K、K'、R共线， :∠AKK'=∠BAK=67.5°， 3/66 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 KR∥AB, :点R的轨迹为过线段BC中点且平行于AB的直线KR上， 如图，过点D作直线KR的对称点D,连接CD', 4 由对称得DR=D'R, :.CR+DR=CR+D'R≥CD',当且仅当C、R、D依次共线时，CR+DR取得最小值CD', 此时点R位置如图，过点R作RL⊥CD于点，过点C作CV⊥RK于点V, :KR∥AB,∠B=45°， ∴.∠RKC=45°， ∠KCV=∠RKC=45°， ÷Kr=CK-2 √22 DR=D'R, ∠RDD'=∠RD'D, 由对称得DD'⊥KR, :AB∥CD∥KR, DD'⊥CD, .90°-∠RDD'=90°-∠RD'D, .ZRDC=ZRCD .RC=RD, c-cD- :AB∥CD∥KR,RL⊥CD,CV⊥RK, CV⊥CD, .四边形CLRV是矩形， 4/66 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CL-VR-7' 1 KR=K+R=21, 22 :∠RKC=45°，RH⊥BC, .∠KRH=LRKC=45°， w=-g台要cm-c-w-号9 作点R关于BC的对称点W,在4D上取点S,使S=CH=5,设M交AD于点J,过点C作 24 CX⊥AD于点X, D B 1 ∴HW=RH=二+ RC'=WC',AS=CH', 24 :AS∥BC, :四边形AHC'S是平行四边形， .AH'=SC', .AH'+H'C'+C'R=SC'+C'W+ 1√2 24 由两点之间最短距离得SC'+C'W≥SW,当且仅当S、C、W依次共线时SC'+CW取得最小值SW, 由(1)知AD与BC间的距离为2 Cx- 2 ..WJ=JH+HW= 13v2 24’ 5166 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CX⊥AD,平行四边形中∠ADC=45°，AD∥BC, DY=cx= ,CX⊥BC, 2 四边形CHJX是矩形， ÷X=CH='2 24 .SJ AD-AS-JX XD=1, 2 ·SW=VSJ2+JW2 6+V2 4 AH'+HC'+CR的最小值为6+迈，LV2 4 24 =2 2.(2425八下·重庆南开中学期中已知，ABC中，∠B=a,点D为边BC上一点，BD=AB=AC,连 接AD. B E 图1 图2 (I)如图1，点E为BD边上一点，作点E关于AD的对称点F,直线FH交AD于点G,交AB于点H,且 LFGD=a·求∠AHG的度数；（用含a的式子表示） (2)在(1)问的条件下，求证：DF+DC=BH. (3)如图2，以AD,AB为边构造平行四边形ADMB,点N为AB边上一点，点P为AD中点，连接PN,过 点N作NQ1AB交DM于点Q,连接BQ.当SAm=AC2=8时，请直接写出此时(PN+QB'的最小值. 4 【答案】(090°- 2 (2)证明见解析 (3)32+8V3 【来源】重庆市南开中学2024一2025学年下学期八年级数学半期考试 【详解】(1)解：：BD=AB,∠B=a, ∠BAD=LBDA=180°-a 2 :∠FGD=a, ∴∠AGH=LFGD=a, 6/66 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ÷∠AHG=180°-∠BAD-∠4GH=180°_180°-a-a=90°-g: 2 (2)解：过点D作DT∥FH交AB于点T, AB=AC, ∠B=LC=a, :点E关于AD的对称点是F, :∠FDA=∠BDA=180°-&， 2 ∠FDA=∠BAD, AB∥DF, :四边形DTHF是平行四边形， .DF =TH, :DT∥FH, ∠BTD=∠BHF=180°-∠AHG=90°+ 2 :∠ADC=180°-∠BDA=90°+ 2 ∠BTD=∠ADC, 又：LB=∠C,BD=AC, △BDT≌△CAD, .BT =CD, .BH =BT +HT CD DF, 即DF+DC=BH; (3)解：如图，过点D作DS⊥AB于点S, S=4C-8. ·AC=4V2, .BD=AB=AC=42, 7166 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ?S△ABD=8=5AB·SD, 2 SD=22, :四边形ADMB是平行四边形， AB∥DM, DS⊥AB,NQ⊥AB, .NQ=SD=2√2， 如图，将BQ沿着QN方向平移NQ=2√2个单位长度，得到线段B'W,使点Q与点N重合，即四边形 BQNB'是平行四边形， 则BQ=B'N,BB'=NQ=2V2, .PN+OB=PN+B'N, 由两点之间线段最短，得PN+B'N≥B'P, 当B,N,P依次共线时，PN+BN取得最小值B'P,即(PN+QB最小， 此时，如图，连接B'S,B'P,BP,过点S作SU⊥BD延长线于点U,过点P作PW⊥BD于点W,延长 WP交B'S延长线于点R, M :四边形BQNB是平行四边形， BB'=NQ=2√2=SD,BB'∥NQ, :DS⊥AB,NQ⊥AB, .SD∥NQ, BB'∥SD, 四边形BB'SD是平行四边形， :SB'∥BD,B'S=BD=42, :SU⊥BD,PW⊥BD, .SU⊥B'R, 8/66 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 :四边形SUWR是矩形， .SR=UW,SU =RW, BS=VBD2-SD2=26, .AS AB-BS=42-26, AD=√AS2+SD2=4V4-23, :点P为AD中点， :PD=4D=2N4-2N5, 2 Sam号s0=80sU :SU=BS·SD-2V6x2V2 =6, BD 4V2 SU=RW=√6， .BU=VBS2-SU2=3√2，UD=VSD2-SU2=√2， :点P为AD中点， .SAMD=75Am=4=-BD.PW. 2 PW=√2， PR=Ri-PW-SU-PW6-WD-JPD-PW-(V6-815)-2-4-8-2-6. :Uw=UD-WD=2-(2W2-6=6-2, :B'R=B'S+SR=BD+UW=4+6-2=6+32 B'p2=B'R2+PR2=(32+6)+6-V2=32+83, :(PW+QB)的最小值为32+8√5. 3.(23-24八下·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)如图，ABC中，∠BAC=90°，点D为边BC上一点. 9/66 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B D M 图1 图2 图3 (I)如图1，若AD⊥BC于点D,AB=8,AC=6,求AD的长： (②)如图2，已知AB=AC,延长BA至点E,以BE、BC为边作BCFE,连接DE、AF,若AD⊥AF于 点A,求证：AF=AD+ED; (3)如图3，己知AB=AC=2,将ABC沿直线BC翻折，点A落在点M,在线段BC上求一点P,使得 PA+PB+PM的值最小，请直接写出最小值， 【答案】(1)AD=4.8 (②)见解析 3)6+V2 【来源】重庆市凤鸣山中学教育集团校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题 【详解】(1)解：：∠BAC=90°，AB=8,AC=6, BC=VAB2+AC2=V82+62=10, :AD⊥BC, ∴Sc=)ABAC=BCAD, 2 2 6×8=10·AD, AD=4.8; (2)证明：如图，在线段AF上取一点M,使AM=AD, E A M :AD⊥AF于点A, D ∠DAF=90°， ∠BAC=90°， :∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC, .∠BAD=∠CAM, 10/66