专题03 勾股定理实际问题（6种类型36道）（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

专题03 勾股定理实际问题 6大高频考点概览 考点01 方位角问题 考点02 测量高度 考点03 判断是否超速 考点04 选址问题 考点05 判断谁先到达 考点06 梯子滑落 ( 地 城 考点01 方位角问题 ) 1．(23-24八下·重庆綦江中学·期中)在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)货船从A港口到B港口需要5小时 (2)这艘船在本次运输中是合航行安全标准，理由见解析 【来源】重庆市綦江中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题 【详解】（1）解：由已知得：， （海里）， （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中是否符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得（海里） ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵且， ∴（海里）， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 2．（24-25八下·重庆二外·期中）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？ 【答案】此时两艘海舰相距300海里 【详解】由题意知，∠BAC＝90° （海里） （海里） 在Rt△ABC中， 由勾股定理得， （海里） 答：此时两艘海舰相距300海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用－方位角问题，把实际问题转化为解直角三角形的问题是解题的关键． 3．(23-24八下·重庆第八中学校·期中)图1为重庆中央公园的平面图，已知点B（桂花山茶园）位于点A（阳光大草坪）的北偏东方向相距处，点C（桑梓园）位于点A（阳光大草坪）的正南方（如图2）．周末小倩与小玲相约去中央公园游玩，某时刻小倩刚好在点B（桂花山茶园）处，小玲刚好在点C（桑梓园）处．电话沟通后，她们决定在点A（阳光大草坪）处碰面．由于点A与点B之间是山坡，小倩需要先沿正西方向走至点E处，再沿正南方向走至点A；而点A与点C之间隔着镜湖，因此小玲从点C出发，需要先沿着北偏东方向行走至点D（丛樾园），再从点D沿北偏西方向行走至点A． (1)求点A与点C之间的直线距离；（结果保留根号） (2)若小倩与小玲同时出发且速度一致，请计算说明，谁更先到达点A．（参考数据：，） 【答案】(1)点A与点C之间的距离为米 (2)小玲先到达点A，计算见解析 【详解】（1）解：过点D作于点F， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 答：点A与点C之间的距离为米； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴，又， 则小倩的路程为， 小玲的路程为， ∵， ∴小玲先到达点A． 4．(23-24八下·重庆南开中学校·期中)某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东的方向前往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只． (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (2)求此时该船只所在处C与的距离为多少海里？ 【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里 (2)此时该船只所在处C与的距离为海里 【详解】（1）解：，，， ，， ， ，， ∴在中，由勾股定理得， ， 答：巡逻艇的速度为每小时48海里； （2）解：作于， ， ， 答：此时该船只所在处C与的距离为海里． 5．（24-25八下·重庆渝北区实验中学校·期中)如图，距学校A的正南方向的B处有一辆汽车，且该汽车正以的速度沿北偏东的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音．若汽车周围以内会受到噪音的影响，请问： (1)该学校是否受到噪音影响？请说明理由． (2)若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长． 【答案】(1)该学校受到噪音影响 (2)噪音影响该学校的持续时间有10秒 【详解】（1）解：该学校受到噪音影响，理由如下： 如图：过点A作， ∵，米， ∴米米， 故该学校受到噪音影响； （2）过点A作， ∴， 由勾股定理得：， 则， 则， 则影响时间：（秒）． 答：噪音影响该学校的持续时间有10秒． 6．(24-25八下·重庆实验外国语学校·期中)如图，海中有一小岛P，它的周围海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东方向上，航行海里到N处，这时测得小岛P在北偏东方向上． (1)求N点与小岛P的距离； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险．并说明理由． 【答案】(1)海里 (2)没有触礁危险，理由见解析 【详解】（1）解：如图，过点P作于D， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 答：N点与小岛P的距离是海里． （2）解：没有触礁危险，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴没有触礁危险． ( 地 城 考点0 2 测量高度 ) 7．(23-24八下·重庆第一中学学区共同体·期中)下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度． 【答案】小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米 ． 【详解】解：如图，延长FC交AB于点G 则CG⊥AB，AG=CD=1米，GC=AD=15米 设BG=x米，则BC=(26－1－x)米 在Rt△BGC中， ∵ ∴ 解得       ∴ BA=BG＋GA=8+1=9（米） ∴ 小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度长为9米． 8．(23-24八下·重庆江津区·期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度CE； (2)如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)17.7米 (2)5米 【详解】（1）根据题意有：BD=12米，BC=20米，CD⊥BD，AB=DE=1.7米， ∴在Rt△BCD中，（米）， ∴CE=CD+DE=16+1.7=17.7（米）， 即风筝的垂直高度为17.7米； （2）∵风筝沿CD方向下降7米，DE保持不变， ∴此时的CD=16-7=9（米）， 即此时在Rt△BCD中，BD=12米，有（米）， 相比下降之前，BC缩短长度为：20-15=5（米）， 即小明应该回收线5米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，明确题意并能灵活运用勾股定理是解答本题的关键． 9．(24-25八下·重庆武隆区武隆区江口中学校·期中)小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多（如图①）．当他把绳子的底端拉开后，发现底端刚好接触地面（如图②）．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 根据勾股定理可得：， 解得，． 答：旗杆的高度为米． 【点睛】此题考查学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长． 10．(24-25八下·重庆大渡口区·期中)“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米．    (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 【答案】(1)米 (2)他应该放出8米 【详解】（1）解：∵米，米 ∴根据勾股定理可得（米）， 由题可知，米， ∴米； （2）解：根据勾股定理可得：放出后（米）， 即他应该放出8米． 11．(24-25八下·重庆川外基础教育集团·期中)如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长的平方． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)388 【详解】（1）解：小明的猜想是不正确的；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 焊接的钢索BF的长的平方为388． 12．(24-25八下·重庆巴南区·期中)如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【详解】（1）如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米： （2）由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， ∴米． 故绳结离地面米高．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． ( 地 城 考点0 3 判断是否超速 ) 13．(23-24八下·重庆万州区·期中)“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方18米的C处，过了2秒后到达B处（BC⊥AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？ 【答案】这辆小汽车超速，每小时超速千米． 【详解】解：根据题意，得， 在Rt△ACB中，根据勾股定理可得： 小汽车2秒行驶米， 则1小时行驶， 即小汽车行驶速度为千米/时，因为＞， 所以小汽车超速行驶，超速（千米/时）． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出BC的长是解题关键． 14．(24-25八下·重庆实验外国语学校·期中)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70 km/h，如图，一辆小汽车在该笔直路段l上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方30 m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为 50m． (1)求BC的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1)40 (2)超速 【详解】（1）解：则根据题意可以得到， 根据勾股定理可得： ， ∴BC的长为40m. （2）解：∵该小汽车的速度为：， ， 这辆小汽车超速了． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出BC的长是解题关键． 15．(24-25八下·重庆南川区·期中)“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？    【答案】超速了，16.8千米/时 【详解】解：根据题意，得， 在中，根据勾股定理，， 所以， 小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米）， 即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 ， 所以小汽车已超速行驶,超速千米/时． 16．(24-25八下·重庆长寿中学校·期中)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 17．(24-25八下·重庆育才中学校·期中)如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． (1)求B、C间的距离； (2)这辆汽车超速了吗?请说明理由． 【答案】(1)B、C间的距离为 (2)这辆汽车未超速，理由见解析 【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． （2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， ∴这辆小汽车没有超速． 18．(23-24八下·重庆凤鸣山中学教育集团校·期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． ( 地 城 考点0 4 选址问题 ) 19．(22-23八下·重庆铜梁区巴川中学校·期中)如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？               【答案】E站应建在离A站处． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 20．(24-25八下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期中)小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A，小川家住B．两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里，两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离． 【答案】公里． 【详解】解：由题意得：公里，公里，，， （公里）， 设公里，则公里， 在中，，即， 解得（公里）， 答：小渝家到见面地点的距离为公里． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 21．(23-24八下·重庆开州区·期中)如图，九龙大道上A，B两点相距，C，D为两商场，于A，于B．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等． (1)求E站应建在离A点多少处？ (2)若某人从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？ 【答案】(1)E站应建在离A点处 (2)2小时 【详解】（1）解：设，则， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∵C，D两商场到E站的距离相等， ∴，则， ∴，又，， ∴，解得， ∴E站应建在离A点处； （2）解：在中，， ， 答：某人需要多少小时从商场D以的速度匀速步行到收购站E，需要2小时． 22．(24-25八下·重庆沙坪坝区凤鸣山中学·期中)如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 23．(24-25八下·重庆南川区·期中)为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？    【答案】 【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等， 则千米； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， 答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等． 24．(24-25八下·重庆南开中学校·期中)某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，． (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)基地E距A为，图见解析，的最小值为 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． ( 地 城 考点0 5 判断谁先到达 ) 25．(23-24八下·重庆九龙坡区·期中)如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上设立四个点，并给出以下信息：点在点的西北方向上，点在点的北偏西方向上，点在点的东北方向上，，米，米． (1)求的长； (2)若小明和小亮从点同时出发，分别沿和到达点，若两人的速度相同，请判断小明和小亮谁先到达？并说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)40米 (2)小明先到达，理由见详解 【详解】（1）解：如下图， 根据题意，点在点的西北方向上，点在点的东北方向上， ∴，， ∵点在点的北偏西方向上，即， ∴， 又∵米， ∴米， ∵，米， ∴米； （2）由（1）可知，，米，米， ∴米， 设两人的速度均为米/分钟（）， 则到达点，小明用时， 小亮用时， ∵， ∴小明先到达点． 26．(24-25八下·重庆丰都县平都中学·期中)上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 27．(24-25八下·重庆巴南区·期中)如图，某公园有①，②，③三条步道．经勘测：B在A北偏东的方向上，米，C在B的东南方向，D在A的正南方向300米处，E在D的正东方向，．（参考数据：，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)小华和小南同时从A出发，小华选择步道①，小南选择步道③，若小华和小南的速度相同，则谁先到达C，请通过计算说明．（结果精确到0.1） 【答案】(1)步道的长度为米； (2)小南先到C处，见解析． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为F． 由B在A北偏东的方向上，可得． 在中，，． ∴， ∴． 在中，， ∴． ∴． 答：步道BC的长度为米． （2）解：如图，过点E作，垂足为G． 由（1）可知，， ∴步道①的长度为， 由（1）可知，，． ∴ ∵E在D的正东方向，D在A的正南方向，． ∴，． ∵ ∴ 在中，，． ∴，即， ∴， ∴． ∴步道③的长度为． ∵小华和小南的速度相同，且， ∴小南先到C处． 答：小南先到C处． 28．(23-24八下·重庆巴南区·期中)某街道根据市民建议，决定对一公园内沿水域健身步道进行修缮，经勘测规划，修缮后的健身步道（局部）如图，从A地分别往北偏东方向和东南方向各修一步道，从A地的正东方向（水域对面）的C地分别往西北方向和西南方向各修建一步道，汇合于B、D两地，若测得米．（参考数据：） (1)求A、C两地之间距离．（结果精确到1米） (2)小华和小明周末到公园锻炼身体，准备从A地跑步到C地，小华决定选择路线，小明决定选择路线，若两人速度相同，请计算说明谁先到达C地？ 【答案】(1)A、C两地之间距离为1930米 (2)小华先到达C地 【详解】（1）解：如图，连接，过D作于E； 由题意得：； 在中，则， ， 由勾股定理得：， 米； 则米； 在中，， 则米，由勾股定理得：米， (米)； （2）解：由（1）的计算知，米， 米； 由题意得分别在东南方向、西南方向，则， ， 即是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 米， 米； ， ，即小华的路程更小， 又∵两人速度相同， 所以小华先到达C地． 29．(23-24八下·重庆江津中学·期中)如图，四边形是汉丰湖某处的休闲步道．经测量，点B在A的正南方向，点D在A的西南方向，点C在B的正西方向，米，米，点D在点C的北偏西方向上． (1)求步道的长度（结果保留根号）； (2)周末，小明和父亲在C处晨练，晨练结束后两人同时步行到A处，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】(1) (2)小明爸爸先到家，理由见解析 【详解】（1）解：过作于，过作于， 则，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：小明爸爸先到家；理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴小明所用的时间为（分）， ∵， ∴小明爸爸所用的时间为（分）， ∵， ∴小明爸爸先到家． 30．(23-24八下·重庆徐悲鸿中学·期中)如图，某游泳池长48米，小刘和小杨进行游泳比赛，从同一处（点）出发，小刘平均速度为3米/秒，小杨为3.2米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（方向）游，而小刘直游（方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点？请说明理由．    【答案】小杨先到达终点，理由见解析 【详解】解：如图，表示小刘的路线，表示小杨的路线， 由题意可知，，， 在直角三角形中，， 小刘用时：秒，小杨用时秒， 因为，所以小杨用时少，即小杨先到达终点． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． ( 地 城 考点0 6 梯子滑落 ) 31．(24-25八下·重庆大渡口区巴渝学校·期中)如图，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，这时米，云梯的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，，设的长度为x米．    (1)求的长度； (2)若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，通过计算说明云梯的底部B往外移动多少米． 【答案】(1)15米 (2)云梯的底部外移了5米 【详解】（1）解：∵米，的长度比的长度（云梯底端离墙的距离）大10米， ∴米， 在中，， ∴，解得：， ∴的长度为15米； （2）∵的长度为15米， ∴米， 当云梯的顶端沿墙下滑了5米到达点处时，（米）， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， ∴云梯的底部外移了5米． 32．(22-23八下·重庆涪陵区·期中)如图，将长为米长的梯子斜靠在墙上，的长度为米． (1)求梯子上端到墙底端E的距离； (2)如果梯子顶端A沿墙下滑米，（即米）则梯脚B往外移多少米？ 【答案】(1)梯子上端到墙底端E的距离为米； (2)梯脚B将外移米． 【详解】（1）解：由题意得：米，米， ∵在中，，， ∴（米）； 答：梯子上端到墙底端E的距离为米； （2）解：由题意得：（米）， ∵在中，， ， ∴（米）， ∴（米）， 答：梯脚B将外移米． 33．(24-25八下·重庆兼善中学·期中)如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．    (1)求梯子顶端与地面的距离OA的长． (2)若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离． 【答案】(1)4米 (2)1米 【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米， ∴AO＝＝4（米）， 答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米． （2）解：∵（米），米， ∴OD＝＝4（米）， ∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的内容，如果一个直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么． 34．(24-25八下·重庆合川区·期中)如图，一架消防梯的长为25米，斜靠在竖直的墙面上，消防梯底端A距墙面的水平距离为7米． (1)求消防梯顶端B离地面的竖直高度为多少米？ (2)若消防梯顶端B沿墙面竖直向下滑动了4米，试求其底端A在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【详解】（1）解：由题意得，米，米，， ∴米， 答：消防梯顶端B离地面的竖直高度为米； （2）解：由题意得，米，米， ∴米， ∴米， 答：底端A在水平方向滑动了米． 35．(24-25八下·重庆渝中区巴蜀中学校·期中)一架梯子AB长25m，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑动了4m吗？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑动了多长的距离呢？ 【答案】（1）这个梯子的顶端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【详解】解：（1）由题意，得， 所以：（米)． （2）由，得 （米)． （米)． 答：梯子底部在水平方向不是滑动了4米，而是8米． 【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，解题的关键是善于观察题目的信息． 36．(24-25八下·重庆第七中学·期中)如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米． （1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？ （2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？ 【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米． 【详解】解：（1）根据勾股定理： 所以梯子距离地面的高度为：AO米； （2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5米， 根据勾股定理：OB′＝2米， 所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米， 答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03勾股定理实际问题 ☆6大高频考点概览 考点01方位角问题 考点02测量高度 考点03判断是否超速 考点04选址问题 考点05判断谁铣到达 考点06梯子滑落 目目 考点01 方位角问题 1.(23-24八下·重庆綦江中学期中)在海平面上有A,B,C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北 偏西54°方向上，港口与灯塔C的距离是80海里，港口B在灯塔C的南偏西36°方向上，港口与灯塔C的 距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时. (I)货船从A港口航行到B港口需要多少时间： (②)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由A 港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1.2小时才符合航行 安全标准，这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 2.(24-25八下·重庆二外期中)如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/ 时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B,另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发， 向南偏东30°方向航行到达C,则此时两艘海舰相距多少海里？ 1/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 北 ⊙ 东 南 3.(23-24八下·重庆第八中学校期中)图1为重庆中央公园的平面图，己知点B(桂花山茶园)位于点A(阳 光大草坪)的北偏东30°方向相距1000m处，点C(桑梓园)位于点A(阳光大草坪)的正南方（如图2）. 周末小倩与小玲相约去中央公园游玩，某时刻小倩刚好在点B(桂花山茶园)处，小玲刚好在点C(桑梓园) 处.电话沟通后，她们决定在点A(阳光大草坪)处碰面.由于点A与点B之间是山坡，小倩需要先沿正 西方向走至点E处，再沿正南方向走至点A;而点A与点C之间隔着镜湖，因此小玲从点C出发，需要先 沿着北偏东60°方向行走600m至点D(丛樾园)，再从点D沿北偏西45°方向行走至点A. 北 划设计 B09 45o D 图1 图2 ()求点A与点C之间的直线距离；（结果保留根号） (2)若小倩与小玲同时出发且速度一致，请计算说明，谁更先到达点A.（参考数据：√3≈1.7，√6≈2.4) 4.(23-24八下·重庆南开中学校·期中)某日我海防巡逻艇在A处探测到在它正东方向距它30海里的B处有 一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西40°方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东50°的方向前 往拦截，半小时后恰好在C处拦截到该船只. 2/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C M N 409 50 B (1)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？ (②)求此时该船只所在处C与AB的距离为多少海里？ 5.(24-25八下·重庆渝北区实验中学校期中)如图，距学校A的正南方向240m的B处有一辆汽车，且该汽 车正以18ms的速度沿北偏东30°的方向往C处移动，汽车在行进的过程中会发出噪音.若汽车周围150m以 内会受到噪音的影响，请问： 北 东 30° B (1)该学校是否受到噪音影响？请说明理由 (②)若学校会受到噪音影响，求该学校受到噪音影响的持续时间有多长 6.(24-25八下·重庆实验外国语学校期中如图，海中有一小岛P,它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼 群由西向东航行，在M处测得小岛P在北偏东60°方向上，航行16海里到N处，这时测得小岛P在北偏东 30°方向上。 北 北 ()求N点与小岛P的距离； (②)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险.并说明理由， 目目 考点02 测量高度 7.(23-24八下·重庆第一中学学区共同体期中下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目， 3/15 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质 平台的主视图.小敏经过现场测量得知：CD=1米，AD=15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米， 请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度， B C F A D E 8.(23-24八下·重庆江津区期中)“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节.某校八 年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE,他们进行了如下操作：①测 得水平距离BD的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；③牵线放风筝的小 明的身高为1.7米 B D E 777777777777777777 (I)求风筝的垂直高度CE; (2)如果小明想风筝沿CD方向下降7米，则他应该往回收线多少米？ 9.(2425八下·重庆武隆区武隆区江口中学校期中小李想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂 直到地面还多2m(如图①)·当他把绳子的底端拉开10m后，发现底端刚好接触地面（如图②），求旗杆 的高度。 4/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 2m 7V777777777 -10m ① ② 10.(24-25八下·重庆大渡口区·期中)“儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节，某校 八年级(1)班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度AD,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BC的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米；③牵线放风筝 的小明放风筝时手距离地面17米. B C 777777777777T7777 (1)求风筝的垂直高度AD； (②)如果小明想让风筝沿DA方向再上升12米，BC长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 11.(24-25八下·重庆川外基础教育集团期中)如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小 明，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平 台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD=2米，AD=I5米. B A (I)小明猜想立柱AB的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立 5/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 柱AB的正确长度： (②)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE=3米，请你求出要焊接的钢索BF的 长的平方 12.(24-25八下·重庆巴南区·期中如图1，同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了 地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方 案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米， 如图2. 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点D处，如图3， B 图1 图2 图3 (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度： (2)已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远，此时绳结离地面多高？ 目目 考点03 判断是否超速 13.(23-24八下·重庆万州区·期中)“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过 40千米时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前 方18米的C处，过了2秒后到达B处(BCLAC),测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为30米，请问 这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？ B-------- 观测点 14.(24-25八下·重庆实验外国语学校期中)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过 70mh,如图，一辆小汽车在该笔直路段1上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪A的正前方 6/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 30m的点C处，2s后小汽车行驶到点B处，测得此时小汽车与车速检测仪A间的距离为50m. ⊙A 车速检测仪 (I)求BC的长， (②)这辆小汽车超速了吗？并说明理由. 15.(24-25八下·重庆南川区·期中)“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前 方24米的C处，过了1.5秒后到达B处(BC⊥AC),测得小汽车与车速检测仪间的距离AB为40米，请 问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？ B5---- A 观测点 16.(24-25八下·重庆长寿中学校期中)交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不 按规定行驶.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图，先在笔直的公路1旁选 取一点P,在公路1上确定点0、B,使得P0⊥1，P0=100米，∠PB0=45°.这时，一辆轿车在公路1上 由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°.此路段限速每小 时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）. 17.(24-25八下·重庆育才中学校期中)如图，一辆汽车在一条限速120km/h的笔直的公路上沿直线匀速行驶， 某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方60m处的点C处，3s后汽车行驶到距离车速检测仪A点100m的 7/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 点B处. B (I)求B、C间的距离： (2)这辆汽车超速了吗？请说明理由. 18.(23-24八下·重庆凤鸣山中学教育集团校期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻 刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了15秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车 与车速检测仪间的距离为20米. 小汽车 小汽车 BQ---- ---0C A 检测仪 (I)求BC的长： (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？（结果精确到0.1） 目目 考点04 选址问题 19.(22-23八下·重庆铜梁区巴川中学校期中)如图，铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄， DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=I5km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站 E,使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？ E B D 20.(24-25八下，重庆北碚区西南大学附属中学校期中)小渝和小川是一对好朋友，如图，小渝家住A,小川 家住B.两家相距10公里，小渝家A在一条笔直的公路AC边上，小川家到这条公路的距离BC为6公里， 两人相约在公路D处见面，且两家到见面地点D的距离相等，求小渝家A到见面地点D的距离. 8/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 21.(23-24八下·重庆开州区·期中)如图，九龙大道上A,B两点相距14km,C,D为两商场，DA⊥AB于A, CB⊥AB于B.已知DA=8km,CB=6km,现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E,使得C,D 两商场到E站的距离相等. E (I)求E站应建在离A点多少km处？ (2)若某人从商场D以5kmh的速度匀速步行到收购站E,需要多少小时？ 22.(24-25八下·重庆沙坪坝区凤鸣山中学.期中)如图，小区A与公路1的距离AC=200米，小区B与公路 1的距离BD=400米，已知CD=800米. B A 1 D (I)政府准备在公路边建造一座公交站台Q,使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长： (②)现要在公路旁建造一利民超市P,使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，求出此最 小值. 23.(24-25八下·重庆南川区·期中)为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建 一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A,DB⊥AB于B.己知 AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学 校的距离相等？ 9/15 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D 24.(24-25八下·重庆南开中学校期中)某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距 8k的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地.如图，DA⊥AB于点A,CB⊥AB于B.己知 DA=2km CB 4km A D A D E B B C 图1 图2 (I)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和DE+CE最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求 出DE+CE的最小值. 目目 考点05 判断谁先到达 25.(23-24八下·重庆九龙坡区期中)如图，某校数学兴趣小组开展“初二几何现场实践活动”，他们在操场上 设立A,B,C,D四个点，并给出以下信息：点A在点B的西北方向上，点D在点B的北偏西15°方向上，点D在 点A的东北方向上，∠BCD=90°，CD=30米，AD=25米. D 北 北 (I)求BC的长； (②)若小明和小亮从点B同时出发，分别沿B→A→D和B→C→D到达点D,若两人的速度相同，请判断 小明和小亮谁先到达？并说明理由.（参考数据：√5≈1.73，√2≈1.41） 10/15