专题02 勾股定理拓展提升（4种类型32道）（期中真题汇编，重庆专用）八年级数学下学期

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理拓展提升 ☆4大高频考点概览 考点01折叠问题 考点02最值问题 考点03综合性问题 考点04动点问题 目目 考点01 折叠问题 1.(24-25八下·重庆第一中学校期中)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,点E在AD上，连接 BE,将△ABE沿着BE翻折得到△FBE,点F刚好落到长方形ABCD的对角线BD上，点G是CD上一点， 连接BG,EG,若∠EBG=45°，则EC 的值为() BG G A. 65 B. 9√65 60 C.1 9 D 65 67 【答案】A 【详解】解：依题意，AD=BC=6,AB=8,∠A=90° BD=AB2+AD2=10 :将△ABE沿着BE翻折得到△FBE,点F刚好落到长方形ABCD的对角线BD上， BF=AB=8,∠EFB=∠A=90°，EF=AE,∠ABE=∠DBE DF=BD-BF=10-8=2 设AE=x,则EF=AE=x,DE=AD-AE=6-x, 在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2 (6-x)}2=22+x2 解得：x=3 8 1/54 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 810 .DE AD-AE=6- 33 如图，过点G作GH⊥BD于点H, B :∠EBG=45°，即∠DBE+LDBG=45° :∠ABE+∠CBG=90°-∠EBG=45° :∠ABE=∠DBE :∠DBG=LCBG .GH⊥BD .LBHG=∠C=90° 又：BG=BG △BGH≌△BGC(AAS .BH =BC=6,HG=CG, .DH BD-BH =4, 设DG=y,则HG=CG=8-y 在RtADHG中，DH2+HG=DG2 .42+(8-y)2=y2 解得：y=5,即DG=5,则CG=DC-DG=8-5=3, .EG=DE2+DG2 +-86=Bc+c0=6-35 10)2 5V13 .EG 3 V65, BG35=9 故选：A, 2.(24-25八下·重庆大渡口区巴渝学校期中)如图，在等腰RIAABC中，∠C=90°，AB=8,点D和E分别 是BC和AB上两点，连接DE,将BDE沿DE折叠，得到ABDE,点B恰好落在AC的中点处，DE与 BB'交于点F,则折痕DE的长度为() 2/54 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B B E A.2√2 B.10 C.5v10 D.3V5 6 2 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，BD=B'D,BF=B'F,DF⊥BF, 等腰Rt ABC中，∠C=90°，AB=8, :BC=AC=42, :B是AC的中点， .CB'=2V2, 在Rt BCB′中，BB'=VBC2+B'C2=V(42y+(2V2y2=2V0, :BF=0,设BD=x,则CD=4V2-,B'D=x,在RtACDB'中，BD=√CD+BC, x2=(4V2-x)2+(2V2)2 .x= 2,:BD=55,在MBDF中，DF=NBD-BF 52 2 2 2 过点B作BG⊥AB于点G, B ∠A=45, G ..AG=B'G .AB'=2v2 :AG=B'G=2, 设BE=y,则GE=6-,B'E=y, 在Rt△B'GE中，GE2+B'G2=B'E2, .(6-x)2+4=x2 3/54 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10 .x= 3 :BE=3 .10 在Rt△BEF中，EF2=BE2-BF2, ..EF2 10 3 (10)2=10 EF=10 .ED=DF+EF=1010510 2 3 6 故选：C. 【点晴】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，掌握勾股定理是解题的关键 3.(23-24八下·重庆第七中学校·期中)如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD,把△ABD 沿着直线AD翻折，得到△AED,DE交AC于点G,连接BE交AD于点F.若DG=EG,AF=4,AB=5, △1BG的面积为；，则BD:的值为() B D A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】A 【详解】解：由折叠得，AB=AE,∠BAF=∠EAF, 在△BAF和△EAF中， AB=AE ∠BAF=∠EAF, AF=AF ∴△BAF≌△EAF(SAS, .BF=EF, AF⊥BE, 又AF=4,AB=5, 4/54 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 BF=VAB2-AF2=3, 在△ADE中，EF⊥AD,DG=EG,设DE边上的高线长为h, .S-DEF-DG+EG. 即S+5am号40-Ef, =)GBh=9, SAAEG -2SA0G-SALG 99=9 SADG+SAFG 9=AD3, 2 AD=6, FD=AD-AF=6-4=2, 在Rt△BDF中，BF=3,FD=2, BD2=BF2+FD2=32+22=13, 故选：A 【点晴】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的 面积求出AD的长度是解答本题的关键. 4.(24-25八下·重庆大渡口区第三十七中学校期中)如图，在ABC中，∠BAC=60°，AB=6,AC=10,点 D在边AC上，AB=BD,将△BCD沿BD折叠，BC的对应边为BE,连接AE.则AE的长为() A.5 B.2√7 C.35 D.310 【答案】B 【详解】解：过点E作EF⊥AC于点F,如图， 5/54 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B :∠BAC=60°，AB=BD, ·△ABD为等边三角形， AB=BD=AD=6,∠ADB=60°， ∠BDC=120°，CD=AC-AD=10-6=4, 根据折叠的性质可得，∠BDC=∠BDE=120°，CD=DE=4, ∠EDF=∠BDE-∠BDF=120°-60°=60°， ∠DEF=30°， 在RtAEDF中，DF=DE=2, 2 EF=VDE2-DF2=V42-22=2V5, .AF=AD-DF=6-2=4, 在RtAEF中，AE=VEF2+AF2=25+42=2V7. 故选：B 5.(24-25八下·重庆万州中学教育集团期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2,AC边 上有一点D,连接BD,将△ABD沿BD翻折得到△EBD,连接CE,若BC平分∠DBE,则点C到DE的 距离为() A.1 B.2V5-1 C.2√2-1 D.V5-1 【答案】D 【详解】解：过点C作CF⊥DE于点F, 6/54 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D Fh B :BC平分∠DBE, ∠DBF=∠EBF, 又：将△ABD沿BD翻折得到△EBD, ∠ABD=∠EBD,∠ADB=∠EDB, 设∠DBF=x,则∠ABD=2x, :AB=AC,∠A=90°， ∠ABC=45°， x+2x=45°， .x=15°， .∠ABD=30°， .BD 2AD, :AD2+AB2=BD2,即AD2+22=(2AD)2, AD=25 3 DC=AC-AD=2-23 在Rt△ABD中，∠ADB=∠EDB=60°， .∠CDF=60°，∠DCF=30°， .DF-ICD=1- 2 CF =CD2-DF2 25 =5-1. 故选：D, 6.(24-25八下·重庆沙坪坝区第一中学校期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1,以 AB为边在AB上方作一个等边△ABD,将四边形ACBD折叠，使D点与C点重合，折痕为HK,则点H到 直线BD的距离为() 7154 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A.75 8 B.55 7 C. 6 5 D.36 10 【答案】A 【详解】解：如图所示，作KM⊥BC交BC的延长线于M,作KN⊥AD交AD于N, D -口M B 130 A 由翻折的性质可得：DH=CH,DK=CK, :△ABD为等边三角形， :AD=AB=BD,∠D=∠DBA=∠DAB=60°， :∠BAC=30°，∠ACB=90°，BC=1, :AD=BD=AB=2BC=2,LHAC=LDAB+LBAC=90°，LABC=60°，AC=VAB2-BC2=5, 设AH=x,则CH=DH=2-x, 在RtAHAC中，AH2+AC2=CH2, x2+3=(2-x2, 解得：x=4' 1 -0m=2-x=子 :∠KBM+∠KBA+∠ABC=180°， ∠KBM=60°， BM a,BK =2a,KM =3a,CM BC+BM =1+a,CK DK =2-2a, 8/54 丽学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 在RtACMK中，KM2+CM2=CK2, (3a+(a+12=(2-2a2, 解得：a=10 7 DK=2-2a= 5 :∠D=60°，KN⊥DH, :∠DKN=30°， Dk=7 .DN= 'K=3Dw=73 10 设点H到BD的距离为h, 5sm Dl 2 775 :h=DH.K=4x10-7 DK 7 8 5 故选A. 7.(22-23八下·重庆广益中学校期中)如图，在ABC中，AB=√57，BC=18,点D为BC上一点，连接 AD,将△ABD沿AD翻折，得到△AED,连接BE.若BE=DE,SAACD=2 SAAED,则AD的长度为() D A.7V5 B.12 C.75 D.18 【答案】A 【详解】解：如图，过点A作AF⊥CB的延长线于点F,设AD与BE交于点G, E 由翻折可知：△AED兰△ABD, BD=DE,∠ADB=∠ADE, BE DE, 9/54 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 .BE DE BD, “.BDE是等边三角形， ∠EDB=60°， .∠ADB=LADE=30°， :△AED兰△ABD, S.4CD =2S.4ED =2S.ABD, 2 xCDAF-2x)×BDaF, 2 CD=2BD, 3BD=BC=18, BD=6, 由翻折可知：AD⊥BE, BG-BD=3 DG=√5BG=3V3, :AB=V57, :AG=AB2-BG2=43, :AD=AG+DG=45+3V5=75. 故选：A, 8.(23-24八下重庆开州区云枫教育集团期中)如图，在纸片△ABC中，AB=AC=12,∠B=30°，折叠纸片， 使点B落在AC的中点D处，折痕为EF,则△DEF的面积为() E B--_- F A. 49V5 B.105 C.115 D. 56V3 5 【答案】A 【详解】解：过点D作AB的垂线，垂足为G, 10/54命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02勾股定理拓展提升 ☆4大高频考点概览 考点01折叠问题 考点02最值问题 考点03综合性问题 考点04动点问题 目目 考点01 折叠问题 1.(24-25八下·重庆第一中学校期中)如图，在长方形ABCD中，AB=8,BC=6,点E在AD上，连接 BE,将△ABE沿着BE翻折得到△FBE,点F刚好落到长方形ABCD的对角线BD上，点G是CD上一点， 连接BG,EG,若∠EBG=45°，则EC 的值为() BG A.65 B.9V65 60 C.1 D. 9 65 67 2.(24-25八下·重庆大渡口区巴渝学校·期中)如图，在等腰RIAABC中，∠C=90°，AB=8,点D和E分别 是BC和AB上两点，连接DE,将BDE沿DE折叠，得到。B'DE,点B恰好落在AC的中点处，DE与 BB'交于点F,则折痕DE的长度为() B B A.2√2 B.10 C.5v10 D.3v5 6 2 3.(23-24八下，重庆第七中学校期中)如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD,把△ABD 沿着直线AD翻折，得到△AED,DE交AC于点G,连接BE交AD于点F.若DG=EG,AF=4,AB=5, △4EG的面积为号，则BD的值为() 1/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.13 B.12 C.11 D.10 4.(24-25八下·重庆大渡口区第三十七中学校期中)如图，在ABC中，∠B4C=60°，AB=6,AC=10,点 D在边AC上，AB=BD,将△BCD沿BD折叠，BC的对应边为BE,连接AE.则AE的长为() A.5 B.2√7 C.3√5 D.310 5.(24-25八下·重庆万州中学教育集团期中)如图，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2,AC边 上有一点D,连接BD,将△ABD沿BD翻折得到△EBD,连接CE,若BC平分∠DBE,则点C到DE的 距离为() A.1 B.2√5-1 C.22-1 D.V5-1 6.(24-25八下·重庆沙坪坝区第一中学校期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1,以 AB为边在AB上方作一个等边△ABD,将四边形ACBD折叠，使D点与C点重合，折痕为HK,则点H到 直线BD的距离为() 2/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A.75 B.5V5 7 8 6 C.5 D.35 10 7.(22-23八下·重庆广益中学校期中)如图，在ABC中，AB=√57，BC=18,点D为BC上一点，连接 AD,将△ABD沿AD翻折，得到△AED,连接BE,若BE=DE,SAACD=2S△AED,则AD的长度为() A.7V5 B.12 C.75 D.18 8.(23-24八下·重庆开州区云枫教育集团期中)如图，在纸片△ABC中，AB=AC=12,∠B=30°，折叠纸片， 使点B落在AC的中点D处，折痕为EF,则△DEF的面积为() E D A. 495 B.10√5 C.115 D.6V5 5 5 目目 考点02 最值问题 9.(2425八下·重庆育才中学校期中)如图，在等腰Rt△ABC中，CA=CB=2,∠C=90°，点D是AC的中 点，E、F分别是BC、AB边上的动点，连接DE、DF、EF,则ADEF的周长最小值为() 3/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.√10 B.3 c.⑧ D.√7 10.(24-25八下.重庆川外基础教育集团期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm, AD平分∠CAB交BC于点D,点M,N分别是AC和AD边上的动点，则MN+NC的最小值为() M D A.3 B.2 C. 2 D.2 5 11.(22-23八下·重庆朝阳中学·期中)如图，凸四边形ABCD中，若点M、N分别为边CD,AD上的动点， ∠A=90°，∠C=90°，∠D=60°，AD=3,AB=√3，则△BMN的周长最小值为() B D A.2√6 B.3√6 C.6 D.3 12.(24-25八下·重庆忠县期中)如图，已知线段AB=4,∠BAC=15°，点E为AC边上动点，则 (E5BE)的最小信为() B E A.2 B.2W2 C.25 D.6 13.(2425八下·重庆高新区期中)如图，在边长为4的等边ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上， 连接BE,在BE的下方作等边△BEF,连接DF,当DF最小时，AE的长度为(）· 4/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 E A.√2 B.2 C.5 D.3 14.(2425八下·重庆第七中学校期中)如图，等边ABC内部有一点D,DB=3,DC=4,∠BDC=150°， 在AB、AC上分别有一动点E、F,且AE=AF,则DE+DF的最小值是() E B A.5 B.3V5 C.25 D.7 15.(2425八下·重庆北碚区江北中学校期中)如图，∠A0B=45°，点P是∠A0B内的定点，且0P=1,若 点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则aPMN周长的最小值是() M 一B N A.√2 B.3 C.2 D.1.5 16.(24-25八下·重庆南开中学期中如图，在△ABE中，∠AEB=90°，点C是边BE上的点，且 BC=AE=3,CE=1,BD平分∠ABC交AC于D,点M,N分别是BD,BC上的动点，则CM+MN的最 小值为() 5/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D M B C E A.12 9 B.3 C. D.14 5 5 目目 考点03 综合性问题 17.(24-25八下，重庆北碚区西南大学附属中学校期中)如图，在Rt△ABC中，AC=BC,CD⊥AB,∠BAC 的平分线AE交BC于点E,交CD于G,EF⊥AB,连接GF、CF,CF交AE于点H、下列结论：①若将 △EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上：②图中有8对全等三角形；③S△ADG=S西边形DGEF;④若 S&CEM=1,则SABc=6V2+8,上述结论中正确的个数是() D G E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.(2425八下·重庆西南大学附属中学校期中如图，ABC为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接 CD,过D作DE⊥DC交AB于点E,F为DE上一点且DF=DC,连接BF,N为BF中点，延长DN至点M, 交BC于点G,使得∠ABM=∠ACD,连接AM,AF,BM,下列结论：①MN=ND;②DM=√2AM; ③LBAM>∠CGD;④2AF+BF=DM;⑤若BM=2,AB=VI0,AF=√2，则S因边形ACDF=4.其中 正确的个数为() 6/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.(24-25八下·重庆第一中学期中)如图，在ABC中，AB=AC=8,∠BAC=90°，点D是BC的中点， 点E是AB边上的动点，连接DE,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF,下列结论：① ADE≌CDF;②∠AFE=∠ADE;③BE+CF=EF;④DE的最小值是4：⑤四边形AEDF的面积是定 值.其中正确的个数有() M E D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 20.(24-25八下·重庆川外基础教育集团期中)如图，在△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一条直线上，连接B、D和B,E,下列四个 结论：①LBDE=90°；②BD=CE；③∠ACE+∠DBC=30°④BE2=2AD2+AB2)-CD2,其中，正确的 个数是() D B A.1 B.2 C.3 D.4 21.(24-25八下，重庆复旦中学教育集团期中)如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D、E为 BC上两点，∠DAE=45°，点F为△ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE,则下列结论：①CE=BF; ②BD+CE'=DE,@S.:=}4DEF:@CE+BE=2EF,其中正确的是《） 7/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B D E A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.②③ 22.(2425八下·重庆渝中区巴蜀中学校·期中)如图，P为正方形ABCD内一点，过P作直线PD交BC于点 E,过P作直线GH交AB、DC于G、H,，且GH=DE.若LAPD=LDEC,LEDC=I5°，以下结论：① 。BP为等边三角形：②PG=3PD:③SAPEPD;④V2BP=PE+PG:其中正确的有 D G E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.(23-24八下·重庆第十一中学校期中)如图，在RIAABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D,E分别在 边BC及其延长线上，BD2+CE2=DE2,F为ABC外一点，且FB⊥BC,FA⊥AE,则结论：① FA=AE:@∠D1E=45,@Se=4D-EF:④CE+BE-24E,其巾正确的是（） D C A.①②③④B.①②④ C.①③④ D.①② 24.(24-25八下.重庆长寿实验中学校期中)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D,BE平分 ∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连接DH,与BE相交于点G,下列 结论：①BF=AC;②GE?+CE2=BG2;③△ABC、△DGF都是等腰三角形；④DG=CF.其中正确结论的 个数是() 8/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 考点04 动点问题 25.(24-25八下·重庆第110中学教育集团三校联考期中)如图1，四边形ADC0中，∠A0C=90°， ∠ADC=90°，AD=7,DC=24,C0=15. D D 图1 图2 (1)求线段A0的长度； (②)如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动， 设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t的值. 26.(24-25八下·重庆南岸区三校期中)如图所示，已知ABC中，4B=90°，AB=16cm,AC=20cm,P、 Q是ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B 开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒. Q ▣ B P一A 备用图① 备用图② (I)当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？ (2)当点Q在边CA上运动时，直接写出使△BCQ成为等腰三角形的运动时间. 27.(24-25八下·重庆巴川中学校期中)已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,CD为 9/11 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 AB边上的高.动点P从点A出发，沿着ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s,设运动时 间为t. (1)求CD的长： (②)当△ACP为等腰三角形时，求t的值. 28.(24-25八下·重庆江津中学校期中)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,AC=3cm, 动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为s. B 备用图 (I)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 29.(2425八下·重庆商务学校（重庆第九十四初级中学校）·期中如图，在ABC中， ∠ACB=90°，AB=15cm,AC=12cm,动点D从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t. D B D (I)求BC边的长. (②)当以A,D,B为顶点的三角形是等腰三角形时，求t的值. 30.(24-25八下·重庆北碚区江北中学校期中)如图，已知ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,P、 Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A一→B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开 始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm,它们同时出发，设出发的时间为t秒. 10/11